§E14.17Fourier 展開

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周期関数の Fourier 級数と有限可換群の離散 Fourier 変換は、関数を指標によって分解する Fourier 解析の基本的な例である。ただし、Fourier 係数から関数を復元する際には、ほとんど至る所等しい関数を同一視した同値類と、各点で値を指定した関数との違いが問題になる。たとえば、鋸歯状関数の Fourier 級数は、跳躍点では指定した関数値によらず左右極限の平均へ収束する。部分和やその平均の収束を調べることで、関数の復元がどの意味で成り立つかを明確にすることができる。また、関数の平行移動を足し合わせて周期関数を作る周期化は、群と商群の双対性を通して、格子上の和と Fourier 変換の値の和を結ぶ Poisson 和公式へつながる。本記事では、可換群上の Fourier 変換の具体例を、関数の復元と周期化の観点から解説する。

1 円周群の Fourier 展開

定義 1.1 (Fourier 係数と部分和). 加法表示の円周群T=R/Z\mathbb T=\R/\Zに全測度11の Haar 測度を入れる。n∈Zn\in\Zに対してen(t)=e2πinte_n(t)=e^{2\pi int}とおく。f∈L1(T)f\in L^1(\mathbb T)の Fourier 係数と第NN部分和を

f^(n)=∫01f(t)e−2πint dt,SNf(x)=∑∣n∣≤Nf^(n)e2πinx(N≥0)\hat f(n)=\int_0^1 f(t)e^{-2\pi int}\,dt,\qquad S_Nf(x)=\sum_{|n|\leq N}\hat f(n)e^{2\pi inx}\quad(N\geq0)

で定める。

命題 1.2. 円周群T=R/Z\mathbb T=\R/\Zに全測度11の Haar 測度を入れる。このとき、次が成り立つ。

  1. (en)n∈Z(e_n)_{n\in\Z}はL2(T)L^2(\mathbb T)の正規直交基底である。
  2. 任意のf∈L2(T)f\in L^2(\mathbb T)について∥SNf−f∥2→0\|S_Nf-f\|_2\to0である。
  3. 任意のf∈L2(T)f\in L^2(\mathbb T)について∫01∣f(t)∣2 dt=∑n∈Z∣f^(n)∣2\int_0^1|f(t)|^2\,dt=\sum_{n\in\Z}|\hat f(n)|^2である。

証明.∫01e2πi(n−m)t dt\int_0^1e^{2\pi i(n-m)t}\,dtはn=mn=mのとき11、それ以外では00である。したがって(en)(e_n)は正規直交系である。§E14.13 例 4.3 (2)と§E14.15 例 3.2により、双対群は数え上げ測度を備えたZ\Zである。全測度が11なのでL2(T)⊆L1(T)L^2(\mathbb T)\subseteq L^1(\mathbb T)であり、§E14.15 定理 4.1のユニタリ同型はf↦(f^(n))n∈Zf\mapsto(\hat f(n))_{n\in\Z}である。この写像はene_nをℓ2(Z)\ell^2(\Z)の第nn座標ベクトルへ送る。有限台の列はℓ2(Z)\ell^2(\Z)で稠密なので、(en)(e_n)は完全である。また等長性から Parseval の等式を得る。SNfS_Nfの変換はf^\hat fを[−N,N]∩Z[-N,N]\cap\Zに制限した列なので、

∥f−SNf∥22=∑∣n∣>N∣f^(n)∣2⟶0\|f-S_Nf\|_2^2=\sum_{|n|>N}|\hat f(n)|^2\longrightarrow0

である。▨

例 1.3.f∈L2(T)f\in L^2(\mathbb T)を0<t<10<t<1でf(t)=t−1/2f(t)=t-1/2と定める。このとき、端点の値はL2L^2の元を変えない。f^(0)=0\hat f(0)=0であり、n≠0n\ne0に対する部分積分から

f^(n)=[−(t−1/2)e−2πint2πin]01+12πin∫01e−2πint dt=−12πin\begin{aligned} \hat f(n) &=\left[-\frac{(t-1/2)e^{-2\pi int}}{2\pi in}\right]_0^1 +\frac1{2\pi in}\int_0^1e^{-2\pi int}\,dt\\ &=-\frac1{2\pi in} \end{aligned}

を得る。したがって命題 1.2により

112=∫01(t−1/2)2 dt=12π2∑n=1∞1n2,∑n=1∞1n2=π26\frac1{12}=\int_0^1(t-1/2)^2\,dt =\frac1{2\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2},\qquad \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

である。

2 Fejér 核と点ごとの収束

定義 2.1 (Dirichlet 核と Fejér 核). 全測度11のT=R/Z\mathbb T=\R/\Z上で、整数N≥0N\geq0に対して

DN(t)=∑∣n∣≤Ne2πint,FN(t)=1N+1∑k=0NDk(t)D_N(t)=\sum_{|n|\leq N}e^{2\pi int},\qquad F_N(t)=\frac1{N+1}\sum_{k=0}^ND_k(t)

と定める。f∈L1(T)f\in L^1(\mathbb T)の Fejér 平均を

σNf=1N+1∑k=0NSkf=FN∗f\sigma_Nf=\frac1{N+1}\sum_{k=0}^NS_kf=F_N*f

と呼ぶ。最後の等式は、有限和を積分の外へ出すことで従う。同じ計算によりSNf=DN∗fS_Nf=D_N*fである。畳み込みは(k∗f)(x)=∫01k(t)f(x−t) dt(k*f)(x)=\int_0^1k(t)f(x-t)\,dtと書く。

補題 2.2.T=R/Z\mathbb T=\R/\Zに全測度11の Haar 測度を入れ、N≥0N\geq0とする。このとき、次が成り立つ。

  1. FN≥0F_N\geq0である。
  2. ∫01FN(t) dt=1\int_0^1F_N(t)\,dt=1である。
  3. t∉Zt\notin\Zならば、DN(t)=sin⁡((2N+1)πt)sin⁡πtD_N(t)=\dfrac{\sin((2N+1)\pi t)}{\sin\pi t}である。
  4. t∉Zt\notin\Zならば、FN(t)=1N+1∣∑j=0Ne2πijt∣2=sin⁡2((N+1)πt)(N+1)sin⁡2πtF_N(t)=\dfrac1{N+1}\left|\displaystyle\sum_{j=0}^Ne^{2\pi ijt}\right|^2=\dfrac{\sin^2((N+1)\pi t)}{(N+1)\sin^2\pi t}である。
  5. 特に任意の0<δ<1/20<\delta<1/2に対して∫δ1−δFN(t) dt≤1(N+1)sin⁡2πδ\displaystyle\int_\delta^{1-\delta}F_N(t)\,dt\leq\frac1{(N+1)\sin^2\pi\delta}であり、右辺はN→∞N\to\inftyで00に収束する。

証明. 有限等比級数により

DN(t)=e−2πiNt1−e2πi(2N+1)t1−e2πit=sin⁡((2N+1)πt)sin⁡πtD_N(t)=e^{-2\pi iNt}\frac{1-e^{2\pi i(2N+1)t}}{1-e^{2\pi it}} =\frac{\sin((2N+1)\pi t)}{\sin\pi t}

である。∣n∣≤N|n|\leq Nに対してe2πinte^{2\pi int}のFNF_Nにおける係数は1−∣n∣/(N+1)1-|n|/(N+1)である。一方、∣∑j=0Ne2πijt∣2\bigl|\sum_{j=0}^Ne^{2\pi ijt}\bigr|^2における同じ係数は、j−k=nj-k=nを満たす組の数N+1−∣n∣N+1-|n|である。よって平方絶対値の表示と非負性を得る。等比級数の絶対値を取ると正弦による表示を得る。定数項が11なので積分は11である。δ≤t≤1−δ\delta\leq t\leq1-\deltaではsin⁡πt≥sin⁡πδ\sin\pi t\geq\sin\pi\deltaであり、分子は11以下なので、主張 (5)が従う。▨

定理 2.3. 全測度11の円周群T\mathbb T上で1≤p<∞1\leq p<\inftyとする。このとき、任意のf∈Lp(T)f\in L^p(\mathbb T)に対して∥σNf−f∥p→0\|\sigma_Nf-f\|_p\to0である。また、任意のf∈C(T)f\in C(\mathbb T)に対して∥σNf−f∥∞→0\|\sigma_Nf-f\|_\infty\to0である。

証明.Ltf(x)=f(x−t)L_tf(x)=f(x-t)とおく。非負性補題 2.2 (1)と積分11補題 2.2 (2)、および積分形の Minkowski の不等式から

∥σNf−f∥p≤∫TFN(t)∥Ltf−f∥p dt\|\sigma_Nf-f\|_p \leq\int_{\mathbb T}F_N(t)\|L_tf-f\|_p\,dt

である。任意のε>0\varepsilon>0に対して、§E14.7 定理 1.2により、零の近傍UUをt∈Ut\in Uならば∥Ltf−f∥p<ε\|L_tf-f\|_p<\varepsilonとなるように取る。移動は等長なので、近傍内と外に分けると

∥σNf−f∥p≤ε+2∥f∥p∫T∖UFN(t) dt.\|\sigma_Nf-f\|_p \leq\varepsilon+2\|f\|_p\int_{\mathbb T\setminus U}F_N(t)\,dt.

ある0<δ<1/20<\delta<1/2に対してT∖U\mathbb T\setminus Uは[δ,1−δ][\delta,1-\delta]の像に含まれる。補題 2.2 (5)によって右辺第二項は零へ収束する。ε\varepsilonは任意なのでLpL^p収束を得る。

ffが連続ならばコンパクト性から一様連続であり、∥Ltf−f∥∞→0\|L_tf-f\|_\infty\to0である。同じ近傍内外の評価を一様ノルムについて用いると一様収束を得る。▨

命題 2.4. 全測度11のT=R/Z\mathbb T=\R/\Z上のf∈L1(T)f\in L^1(\mathbb T)、点x∈Tx\in\mathbb T、数ℓ∈C\ell\in\Cを取る。このとき、ある0<δ<1/20<\delta<1/2に対して

∫0δ∣f(x+t)+f(x−t)−2ℓ∣t dt<∞\int_0^\delta\frac{|f(x+t)+f(x-t)-2\ell|}{t}\,dt<\infty

ならば、SNf(x)→ℓS_Nf(x)\to\ellである。特に、あるa+,a−∈Ca_+,a_-\in\C、α>0\alpha>0、C<∞C<\inftyに対して

∣f(x+t)−a+∣+∣f(x−t)−a−∣≤Ctα(0<t<δ)|f(x+t)-a_+|+|f(x-t)-a_-|\leq Ct^\alpha \quad(0<t<\delta)

が成り立つならば、SNf(x)→(a++a−)/2S_Nf(x)\to(a_++a_-)/2である。

証明.DND_Nは偶関数で積分が11なので、h(t)=f(x+t)+f(x−t)−2ℓh(t)=f(x+t)+f(x-t)-2\ellとおくと

SNf(x)−ℓ=∫01/2h(t)sin⁡((2N+1)πt)sin⁡πt dt.S_Nf(x)-\ell =\int_0^{1/2}h(t)\frac{\sin((2N+1)\pi t)}{\sin\pi t}\,dt.

0<t≤1/20<t\leq1/2ではsin⁡πt≥2t\sin\pi t\geq2tである。仮定によりh(t)/sin⁡πth(t)/\sin\pi tは(0,δ)(0,\delta)で可積分である。[δ,1/2][\delta,1/2]では分母が正数で下から抑えられ、ffは可積分なので、g(t)=h(t)/sin⁡πtg(t)=h(t)/\sin\pi tは(0,1/2)(0,1/2)全体で可積分である。

ggを区間外で零と定めてR\R上の可積分関数とする。正弦を二つの指数関数の差で表すと、上の積分はggの実数群上の Fourier 変換を周波数±(N+1/2)\pm(N+1/2)で評価した値の線形結合である。§E14.13 定理 3.3と§E14.13 例 4.3 (1)により両評価値は零へ収束する。したがってSNf(x)→ℓS_Nf(x)\to\ellである。

片側の評価が成り立つ場合には、ℓ=(a++a−)/2\ell=(a_++a_-)/2とおけば∣h(t)∣≤Ctα|h(t)|\leq Ct^\alphaである。∫0δtα−1 dt=δα/α<∞\int_0^\delta t^{\alpha-1}\,dt=\delta^\alpha/\alpha<\inftyなので Dini 条件が成り立つ。▨

例 2.5. 全測度11のT\mathbb T上で、f(0)=1f(0)=1、x≠0x\ne0ではf(x)=0f(x)=0と定める。このときf^(n)=0\hat f(n)=0がすべてのn∈Zn\in\Zに対して成り立つので、SNfS_NfもσNf\sigma_Nfも恒等的に零である。したがって Fourier 係数から指定した代表元のすべての点の値を復元することはできない。LpL^pの同値類としてはf=0f=0であり、定理 2.3と矛盾しない。

例 2.6.例 1.3の鋸歯状関数について、0<x<10<x<1では片側 Hölder 条件がa+=a−=x−1/2a_+=a_-=x-1/2、α=1\alpha=1で成り立つので、命題 2.4によりSNf(x)→x−1/2S_Nf(x)\to x-1/2である。x=0x=0では、0<t<1/20<t<1/2に対して

f(t)=t−1/2,f(−t)=1/2−tf(t)=t-1/2,\qquad f(-t)=1/2-t

であり、左右極限はそれぞれ−1/2-1/2と1/21/2である。したがって端点での部分和は平均値00へ収束する。実際、f^(−n)=−f^(n)\hat f(-n)=-\hat f(n)なのでSNf(0)=0S_Nf(0)=0がすべてのNNで成り立つ。端点でf(0)f(0)をどのように指定してもL2L^2収束は変わらないが、端点での点ごとの極限は00のままである。

3 有限可換群の離散 Fourier 変換

定義 3.1 (離散 Fourier 変換).AAを数え上げ測度を備えた有限可換群とする。関数f ⁣:A→Cf\colon A\to\Cの離散 Fourier 変換を

f^(χ)=∑a∈Af(a)χ(a)‾(χ∈A^)\hat f(\chi)=\sum_{a\in A}f(a)\overline{\chi(a)}\quad(\chi\in\widehat A)

で定める。関数f,g ⁣:A→Cf,g\colon A\to\Cの畳み込みは

(f∗g)(a)=∑b∈Af(b)g(a−b)(f*g)(a)=\sum_{b\in A}f(b)g(a-b)

である。

命題 3.2.AAを数え上げ測度を備えた有限可換群とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 任意の関数f ⁣:A→Cf\colon A\to\Cとa∈Aa\in Aについてf(a)=1∣A∣∑χ∈A^f^(χ)χ(a)f(a)=\dfrac1{|A|}\displaystyle\sum_{\chi\in\widehat A}\hat f(\chi)\chi(a)である。
  2. 任意の関数f,g ⁣:A→Cf,g\colon A\to\Cについて∑a∈Af(a)g(a)‾=1∣A∣∑χ∈A^f^(χ)g^(χ)‾\displaystyle\sum_{a\in A}f(a)\overline{g(a)}=\dfrac1{|A|}\sum_{\chi\in\widehat A}\hat f(\chi)\overline{\hat g(\chi)}である。
  3. 任意の関数f,g ⁣:A→Cf,g\colon A\to\Cとχ∈A^\chi\in\widehat Aについてf∗g^(χ)=f^(χ)g^(χ)\widehat{f*g}(\chi)=\hat f(\chi)\hat g(\chi)である。
  4. 指標表の行の直交関係として、任意のχ,ψ∈A^\chi,\psi\in\widehat Aについて∑a∈Aχ(a)ψ(a)‾=∣A∣ 1{χ=ψ}\displaystyle\sum_{a\in A}\chi(a)\overline{\psi(a)}=|A|\,\mathbf1_{\{\chi=\psi\}}である。
  5. 指標表の列の直交関係として、任意のa,b∈Aa,b\in Aについて∑χ∈A^χ(a)χ(b)‾=∣A∣ 1{a=b}\displaystyle\sum_{\chi\in\widehat A}\chi(a)\overline{\chi(b)}=|A|\,\mathbf1_{\{a=b\}}である。

証明.§E14.15 例 3.3により双対測度の各点の質量は∣A∣−1|A|^{-1}である。したがって§E14.15 定理 4.1により、Fourier 変換は、数え上げ内積を持つCA\C^Aから∣A∣−1|A|^{-1}倍の数え上げ内積を持つCA^\C^{\widehat A}へのユニタリ同型である。内積の保存が Parseval の等式主張 (2)である。この変換の随伴は有限和を交換することによって

(F∗h)(a)=1∣A∣∑χ∈A^h(χ)χ(a)(\mathcal F^*h)(a)=\frac1{|A|}\sum_{\chi\in\widehat A}h(\chi)\chi(a)

となる。ユニタリ性からF∗=F−1\mathcal F^*=\mathcal F^{-1}なので反転公式主張 (1)を得る。主張 (3)は§E14.13 命題 3.2による。

FF∗=I\mathcal F\mathcal F^*=Iの(χ,ψ)(\chi,\psi)成分を計算すると主張 (4)を得る。F∗F=I\mathcal F^*\mathcal F=Iの(a,b)(a,b)成分を計算すると主張 (5)を得る。▨

例 3.3.A=Z/4ZA=\Z/4\Zの元を0,1,2,30,1,2,3の順に並べ、χk(j)=ikj\chi_k(j)=i^{kj}とする。このとき、f=(1,1,0,0)f=(1,1,0,0)ならば

f^(k)=1+i−k,f^=(2,1−i,0,1+i).\hat f(k)=1+i^{-k},\qquad \hat f=(2,1-i,0,1+i).

である。命題 3.2の逆変換は

f(j)=14(2+(1−i)ij+(1+i)i3j)f(j)=\frac14\bigl(2+(1-i)i^j+(1+i)i^{3j}\bigr)

であり、j=0,1,2,3j=0,1,2,3の代入値は順に1,1,0,01,1,0,0となる。また

f∗f^=(4,−2i,0,2i),(f∗f)(j)=14(4−2i ij+2i i3j),\widehat{f*f}=(4,-2i,0,2i),\qquad (f*f)(j)=\frac14\bigl(4-2i\,i^j+2i\,i^{3j}\bigr),

したがってf∗f=(1,2,1,0)f*f=(1,2,1,0)である。直接にも、ffの非零成分の添え字の和は0+0=00+0=0、0+1=1+0=10+1=1+0=1、1+1=21+1=2なので同じ値を得る。

例 3.4.A=Z/2Z×Z/2ZA=\Z/2\Z\times\Z/2\Zの指標は、§E14.13 補題 1.3により

χr,s(a,b)=(−1)ra+sb(r,s∈{0,1})\chi_{r,s}(a,b)=(-1)^{ra+sb}\quad(r,s\in\{0,1\})

である。元と指標をともに(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)の順に並べると、離散 Fourier 変換の行列は

H=(11111−11−111−1−11−1−11),H−1=14HH=\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&1 \end{pmatrix},\qquad H^{-1}=\frac14H

である。たとえばffの値を順に1,2,3,41,2,3,4とすると、変換の値は順に10,−2,−4,010,-2,-4,0となる。逆変換の計算は

14H(10−2−40)=(1234)\frac14H\begin{pmatrix}10\\-2\\-4\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}

である。各行の積表示は二つの巡回因子の指標の積であり、群AA自身は巡回群ではない。

4 周期化と Poisson 和公式

命題 4.1.GGを Hausdorff な局所コンパクト可換群、Λ\Lambdaを離散余コンパクト部分群とする。GGに Haar 測度dxdx、Λ\Lambdaに数え上げ測度を入れ、§E14.6 定理 5.1によるK=G/ΛK=G/\Lambdaの商測度をdνd\nuとし、v=ν(K)v=\nu(K)とおく。f∈Cc(G)f\in C_c(G)に対して、周期化

PΛf(x+Λ)=∑λ∈Λf(x+λ)P_\Lambda f(x+\Lambda)=\sum_{\lambda\in\Lambda}f(x+\lambda)

を考える。このとき、次が成り立つ。

  1. 0<v<∞0<v<\inftyであり、dν/vd\nu/vはKKの全測度11の Haar 測度である。この測度をdmdmと書く。
  2. 任意のf∈Cc(G)f\in C_c(G)に対して、周期化PΛfP_\Lambda fは連続関数K→CK\to\Cを定める。
  3. 任意のf∈Cc(G)f\in C_c(G)に対して、§E14.16 定理 3.2 (2)によってK^\widehat Kを零化域Λ⊥\Lambda^\perpと同一視すると、正規化測度dmdmに関するPΛfP_\Lambda fの係数はPΛf^(χ)=1vf^(χ)\widehat{P_\Lambda f}(\chi)=\dfrac1v\hat f(\chi)（χ∈Λ⊥\chi\in\Lambda^\perp）である。

証明. 離散部分群Λ\Lambdaは部分空間位相で局所コンパクトなので、§E14.2 命題 3.2により閉じている。したがって商群KKはコンパクト Hausdorff 群である。Weil の公式による非零の商測度は Haar 測度であり、コンパクト性と開集合の正値性から0<v<∞0<v<\inftyを得る。

§E14.6 命題 1.1を閉部分群Λ\Lambdaとその数え上げ測度に適用すると、部分群上の積分はPΛfP_\Lambda fの和に一致するので、PΛf∈Cc(K)P_\Lambda f\in C_c(K)である。

χ∈Λ⊥\chi\in\Lambda^\perpを取る。fχ‾∈Cc(G)f\overline\chi\in C_c(G)に Weil の公式を適用すると、χ(x+λ)=χ(x)\chi(x+\lambda)=\chi(x)なので

f^(χ)=∫K∑λ∈Λf(x+λ)χ(x)‾ dν(x+Λ)=v∫KPΛf χ‾ dm.\hat f(\chi) =\int_K\sum_{\lambda\in\Lambda}f(x+\lambda)\overline{\chi(x)}\,d\nu(x+\Lambda) =v\int_KP_\Lambda f\,\overline\chi\,dm.

これが係数の式である。▨

定理 4.2.GGを Haar 測度dxdxを備えた Hausdorff な局所コンパクト可換群、Λ\Lambdaを離散余コンパクト部分群とする。Λ\Lambdaに数え上げ測度を入れ、Weil の公式で正規化したG/ΛG/\Lambdaの全測度をvvとする。このとき、f∈Cc(G)f\in C_c(G)が

∑χ∈Λ⊥∣f^(χ)∣<∞\sum_{\chi\in\Lambda^\perp}|\hat f(\chi)|<\infty

を満たすならば、すべてのx∈Gx\in Gに対して

∑λ∈Λf(x+λ)=1v∑χ∈Λ⊥f^(χ)χ(x)\sum_{\lambda\in\Lambda}f(x+\lambda) =\frac1v\sum_{\chi\in\Lambda^\perp}\hat f(\chi)\chi(x)

が成り立つ。右辺はGG上で絶対一様収束する。任意の添え字集合上の絶対和は、有限部分集合上の絶対値の和の上限として解釈する。

証明. 絶対和の有限性から、非零の係数を持つ指標は高々可算個であり、有限部分集合に関する部分和は一様 Cauchy である。したがって右辺はK=G/ΛK=G/\Lambda上の連続関数hhを定める。KK上の測度を全測度11に正規化する。異なる指標χ,ψ\chi,\psiについて、あるy∈Ky\in Kでχ(y)ψ(y)‾≠1\chi(y)\overline{\psi(y)}\ne1であり、積分の移動不変性から∫Kχψ‾ dm=0\int_K\chi\overline\psi\,dm=0である。同じ指標ならば積分は11である。一様収束する和を積分すると、h^(χ)=v−1f^(χ)\hat h(\chi)=v^{-1}\hat f(\chi)を得る。

命題 4.1によりPΛfP_\Lambda fも同じ係数を持つ。両者はコンパクト群上の連続関数なので可積分であり、§E14.15 定理 4.2からPΛf=hP_\Lambda f=hがほとんど至る所成り立つ。連続関数の差がある点で非零ならば、絶対値が正数で下から抑えられる非空開集合が存在する。Haar 測度はその集合に正の測度を与えるので、ほとんど至る所の等式に反する。よってすべての点で等しい。▨

命題 4.3.R\Rに Lebesgue 測度を入れ、Z\Zに数え上げ測度を入れる。連続関数f∈L1(R)f\in L^1(\R)について、∑n∈Zf(x+n)\sum_{n\in\Z}f(x+n)が0≤x≤10\leq x\leq1で絶対一様収束すると仮定し、さらに∑k∈Z∣f^(k)∣<∞\sum_{k\in\Z}|\hat f(k)|<\inftyとする。このとき、次が成り立つ。

  1. すべてのx∈Rx\in\Rで∑n∈Zf(x+n)=∑k∈Zf^(k)e2πikx\displaystyle\sum_{n\in\Z}f(x+n)=\sum_{k\in\Z}\hat f(k)e^{2\pi ikx}である。
  2. 級数∑n∈Zf(x+n)\sum_{n\in\Z}f(x+n)は基本区間[0,1][0,1]上で絶対一様収束する。
  3. 級数∑k∈Zf^(k)e2πikx\sum_{k\in\Z}\hat f(k)e^{2\pi ikx}はR\R上で絶対一様収束する。

証明. 基本区間上の絶対一様収束から、周期化は連続である。絶対収束による添え字の置換から周期11を持ち、円周群上の連続関数PfPfを定める。絶対値の和の尾部は[0,1][0,1]上で一様に小さいので、積分と和を交換して

Pf^(k)=∑n∈Z∫01f(x+n)e−2πikx dx=∑n∈Z∫nn+1f(y)e−2πiky dy=f^(k)\begin{aligned} \widehat{Pf}(k) &=\sum_{n\in\Z}\int_0^1 f(x+n)e^{-2\pi ikx}\,dx\\ &=\sum_{n\in\Z}\int_n^{n+1}f(y)e^{-2\pi iky}\,dy =\hat f(k) \end{aligned}

を得る。最後の等式ではf∈L1(R)f\in L^1(\R)を用いた。∑k∣f^(k)∣<∞\sum_k|\hat f(k)|<\inftyから右辺も連続な周期関数を定め、指標の直交性によりその Fourier 係数はf^(k)\hat f(k)である。§E14.15 定理 4.2と連続性により、二つの関数はすべての点で等しい。

R\Rに Lebesgue 測度を、Z\Zに数え上げ測度を入れた場合、§E14.6 例 8.2のn=1n=1の場合により、Weil の公式による商測度の全測度は11である。▨

例 4.4.t>0t>0に対してft(x)=e−πtx2f_t(x)=e^{-\pi tx^2}とする。このとき、§E14.15 例 3.1の Gaussian の変換と変数変換y=t xy=\sqrt t\,xにより

f^t(ξ)=t−1/2e−πξ2/t,∫Rft(x) dx=t−1/2\hat f_t(\xi)=t^{-1/2}e^{-\pi\xi^2/t},\qquad \int_\R f_t(x)\,dx=t^{-1/2}

である。0≤x≤10\leq x\leq1、∣n∣≥2|n|\geq2ならば∣x+n∣≥∣n∣−1|x+n|\geq|n|-1なので

sup⁡0≤x≤1e−πt(x+n)2≤e−πt(∣n∣−1)2≤e−πt(∣n∣−1).\sup_{0\leq x\leq1}e^{-\pi t(x+n)^2} \leq e^{-\pi t(|n|-1)^2} \leq e^{-\pi t(|n|-1)}.

右辺のnnに関する和は幾何級数で収束する。したがって周期化は基本区間上で絶対一様収束する。また∣k∣≥1|k|\geq1では

∣f^t(k)∣≤t−1/2e−π∣k∣/t|\hat f_t(k)|\leq t^{-1/2}e^{-\pi|k|/t}

なので、変換の整数点での絶対和も有限である。命題 4.3により

∑n∈Ze−πt(x+n)2=t−1/2∑k∈Ze−πk2/te2πikx(x∈R).\sum_{n\in\Z}e^{-\pi t(x+n)^2} =t^{-1/2}\sum_{k\in\Z}e^{-\pi k^2/t}e^{2\pi ikx} \quad(x\in\R).

特にθ(t)=∑n∈Ze−πtn2\theta(t)=\sum_{n\in\Z}e^{-\pi tn^2}とおくと、x=0x=0によって

θ(t)=t−1/2θ(1/t)\theta(t)=t^{-1/2}\theta(1/t)

を得る。

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