§E14.22Kac–Takesaki 作用素

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局所コンパクト群の左正則表現は、群の元による関数の左移動を表す基本的なユニタリ表現である。この表現に別のユニタリ表現をテンソル積で組み合わせたとき、加えた表現の作用がユニタリ同値によって取り除かれるかが問題となる。例えば、左正則表現どうしのテンソル積は、一方の因子にだけ群が作用する表現とユニタリ同値になる。Fell の吸収定理は、もう一方の表現が任意の強連続ユニタリ表現であっても、この同値が成り立つことを述べる。本記事では、Kac–Takesaki 作用素と Fell の吸収定理、テンソル積と整合するユニタリ作用素場の正則成分への制限、および吸収同値から従う作用素等式を扱う。

1 Kac–Takesaki 作用素

定理 1.1.GGを Hausdorff な局所コンパクト群、μ\muを左 Haar 測度、mmをB(G×G)\mathcal B(G\times G)上のμ\muとμ\muの Radon 積測度とする。mlocm_{\mathrm{loc}}をmmの完備化の局所化とし、λ\lambdaを左正則表現とし、§E12.9 定理 8.2のユニタリ同型によってL2(mloc)L^2(m_{\mathrm{loc}})とL2(G)⊗L2(G)L^2(G)\otimes L^2(G)を同一視する。IIをL2(G)L^2(G)の恒等作用素とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 一意なユニタリ作用素A ⁣:L2(mloc)⟶L2(mloc)A\colon L^2(m_{\mathrm{loc}})\longrightarrow L^2(m_{\mathrm{loc}})が存在し、任意のF∈Cc(G×G)F\in C_c(G\times G)について(AF)(x,y)=F(y−1x,y)(AF)(x,y)=F(y^{-1}x,y)、(A−1F)(x,y)=F(yx,y)(A^{-1}F)(x,y)=F(yx,y)を満たす。このAAをKac–Takesaki 作用素 (Kac–Takesaki operator) という。
  2. 任意のa∈Ga\in Gに対してA(I⊗λ(a))=(λ(a)⊗λ(a))AA(I\otimes\lambda(a))=(\lambda(a)\otimes\lambda(a))Aである。
  3. AAは1L2(G)⊗λ1_{L^2(G)}\otimes\lambdaとλ⊗λ\lambda\otimes\lambdaのユニタリ同値を与える。

証明. 写像θ(x,y)=(y−1x,y)\theta(x,y)=(y^{-1}x,y)は、逆写像θ−1(x,y)=(yx,y)\theta^{-1}(x,y)=(yx,y)をもつG×GG\times Gの同相写像である。したがって

A0F=F∘θ,B0F=F∘θ−1A_0F=F\circ\theta,\qquad B_0F=F\circ\theta^{-1}

はCc(G×G)C_c(G\times G)からそれ自身への互いに逆な線形写像である。§E10.36 定理 1.2の連続関数の積分公式と左 Haar 測度の左不変性により、

∥A0F∥22=∫G(∫G∣F(y−1x,y)∣2 dμ(x))dμ(y)=∫G(∫G∣F(z,y)∣2 dμ(z))dμ(y)=∥F∥22.\begin{aligned} \|A_0F\|_2^2 &=\int_G\left(\int_G|F(y^{-1}x,y)|^2\,d\mu(x)\right)d\mu(y)\\ &=\int_G\left(\int_G|F(z,y)|^2\,d\mu(z)\right)d\mu(y) =\|F\|_2^2. \end{aligned}

この計算は∣A0F∣2,∣F∣2∈Cc(G×G)|A_0F|^2,|F|^2\in C_c(G\times G)に対するものである。A0B0F=FA_0B_0F=FなのでB0B_0も等長である。§E10.35 補題 4.1によりCc(G×G)C_c(G\times G)はL2(mloc)L^2(m_{\mathrm{loc}})で稠密である。よってA0,B0A_0,B_0は互いに逆な等長作用素A,BA,Bへ一意に延長され、AAはユニタリでB=A−1B=A^{-1}である。

a∈Ga\in Gを固定する。Cc(G×G)C_c(G\times G)上の写像

(SaF)(x,y)=F(x,a−1y),(DaF)(x,y)=F(a−1x,a−1y)(S_aF)(x,y)=F(x,a^{-1}y),\qquad (D_aF)(x,y)=F(a^{-1}x,a^{-1}y)

も、同じ連続関数の積分公式と左不変性によってL2L^2ノルムを保つ。それぞれSa−1,Da−1S_{a^{-1}},D_{a^{-1}}が逆写像なので、ユニタリ作用素へ延長される。F(x,y)=f(x)g(y)F(x,y)=f(x)g(y)、f,g∈Cc(G)f,g\in C_c(G)に対する値と§E12.9 定理 8.2の同一視から、これらの延長はそれぞれI⊗λ(a)I\otimes\lambda(a)とλ(a)⊗λ(a)\lambda(a)\otimes\lambda(a)である。ここでは各因子のCc(G)C_c(G)の稠密性と§E12.9 命題 2.3 (4)を用いた。テンソル積の作用素の存在は§E14.8 命題 3.2による。

任意のF∈Cc(G×G)F\in C_c(G\times G)とx,y∈Gx,y\in Gに対して

(A0SaF)(x,y)=F(y−1x,a−1y),(DaA0F)(x,y)=F((a−1y)−1a−1x,a−1y)=F(y−1x,a−1y)\begin{aligned} (A_0S_aF)(x,y)&=F(y^{-1}x,a^{-1}y),\\ (D_aA_0F)(x,y) &=F((a^{-1}y)^{-1}a^{-1}x,a^{-1}y) =F(y^{-1}x,a^{-1}y) \end{aligned}

である。稠密部分空間上の等式を連続延長して、主張 (2)の等式を得る。▨

2 Hilbert 空間値の関数と吸収同値

補題 2.1.GGを Hausdorff な局所コンパクト群、μ\muを左 Haar 測度、μloc\mu_{\mathrm{loc}}をその完備化の局所化とする。HHを複素 Hilbert 空間、π ⁣:G→U⁡(H)\pi\colon G\to \Uni(H)を強連続ユニタリ表現とし、L2(G;H)=L2(μloc;H)L^2(G;H)=L^2(\mu_{\mathrm{loc}};H)と書く。F∈L2(G;H)F\in L^2(G;H)の強可測代表元を一つ取り、二つの関数x⟼π(x)F(x)x\longmapsto\pi(x)F(x)、x⟼π(x)−1F(x)x\longmapsto\pi(x)^{-1}F(x)を考える。このとき、次が成り立つ。

  1. 二つの関数はいずれもμloc\mu_{\mathrm{loc}}-強可測である。
  2. 二つの関数は、それぞれ代表元の選択によらずL2(G;H)L^2(G;H)の元を定める。
  3. 二つの関数が定める元のL2L^2ノルムは、いずれも∥F∥2\|F\|_2に等しい。

証明.FFを強可測代表元とする。§E12.9 定理 8.3 (2)と§E10.35 補題 4.1のCc(G)C_c(G)の稠密性により、

Fn(x)=∑j=1rnfnj(x)vnj,fnj∈Cc(G),vnj∈H,F_n(x)=\sum_{j=1}^{r_n}f_{nj}(x)v_{nj}, \qquad f_{nj}\in C_c(G),\quad v_{nj}\in H,

を∥Fn−F∥2→0\|F_n-F\|_2\to0となるように取ることができる。実際、Hilbert テンソル積の純テンソルの有限和は稠密であり、その各スカラー因子をCc(G)C_c(G)で近似すればよい。

ε∈{1,−1}\varepsilon\in\{1,-1\}を固定し、Qn(x)=π(x)εFn(x)Q_n(x)=\pi(x)^\varepsilon F_n(x)とおく。各x↦π(x)vnjx\mapsto\pi(x)v_{nj}は連続であり、x↦π(x)−1vnj=π(x−1)vnjx\mapsto\pi(x)^{-1}v_{nj}=\pi(x^{-1})v_{nj}も連続である。したがってQnQ_nは連続で、その台はコンパクト集合Kn=⋃j=1rnsupp⁡fnjK_n=\bigcup_{j=1}^{r_n}\supp f_{nj}に含まれる。像Qn(G)Q_n(G)はコンパクトな距離空間Qn(Kn)∪{0}Q_n(K_n)\cup\{0\}に含まれる。各正整数kkについて有限個の半径1/k1/kの球でこのコンパクト集合を覆い、球の中心を集めると可算な稠密集合を得る。その閉線形包Mn⊆HM_n\subseteq Hは可分である。任意のw∈Mnw\in M_nに対してx↦∥Qn(x)−w∥x\mapsto\|Q_n(x)-w\|は連続なので、§E10.18 命題 1.2 (2)によりQnQ_nは強可測である。

可測関数x↦∥Fn(x)−F(x)∥x\mapsto\|F_n(x)-F(x)\|に§E10.21 命題 5.1を適用すると、ある部分列についてFnk(x)→F(x)F_{n_k}(x)\to F(x)がほとんど至る所で成り立つ。ユニタリ性により、同じ点で

∥Qnk(x)−π(x)εF(x)∥=∥Fnk(x)−F(x)∥⟶0.\|Q_{n_k}(x)-\pi(x)^\varepsilon F(x)\| =\|F_{n_k}(x)-F(x)\|\longrightarrow0.

§E10.18 命題 1.4 (2)によってx↦π(x)εF(x)x\mapsto\pi(x)^\varepsilon F(x)はμloc\mu_{\mathrm{loc}}-強可測である。さらに、点ごとの等式∥π(x)εF(x)∥=∥F(x)∥\|\pi(x)^\varepsilon F(x)\|=\|F(x)\|から二乗可積分性とノルム保存を得る。二つの代表元が一致する点では乗数による像も一致するので、得られる同値類は代表元によらない。▨

定理 2.2 (Fell の吸収定理).GGを Hausdorff な局所コンパクト群、μ\muを左 Haar 測度、λ\lambdaをL2(G)L^2(G)上の左正則表現とする。HHを任意の複素 Hilbert 空間、π ⁣:G→U⁡(H)\pi\colon G\to \Uni(H)を任意の強連続ユニタリ表現とする。§E12.9 定理 8.3 (2)によってL2(G)⊗HL^2(G)\otimes HとL2(G;H)L^2(G;H)を、f⊗vf\otimes vに関数x↦f(x)vx\mapsto f(x)vを対応させて同一視する。このとき、次が成り立つ。

  1. F∈L2(G;H)F\in L^2(G;H)に対して(AπF)(x)=π(x)F(x)(A_\pi F)(x)=\pi(x)F(x)と定めることにより定まるAπA_\piは、L2(G;H)L^2(G;H)上のユニタリ作用素であり、その逆は(Aπ−1F)(x)=π(x)−1F(x)(A_\pi^{-1}F)(x)=\pi(x)^{-1}F(x)である。
  2. 任意のa∈Ga\in Gに対してAπ(λ(a)⊗IH)=(λ(a)⊗π(a))AπA_\pi(\lambda(a)\otimes I_H)=(\lambda(a)\otimes\pi(a))A_\piが成り立つ。
  3. AπA_\piはλ⊗1H\lambda\otimes1_Hとλ⊗π\lambda\otimes\piのユニタリ同値を与える。

証明.補題 2.1によりAπA_\piと表示された逆の式は同値類上の線形等長作用素を定める。点ごとの積π(x)−1π(x)=IH\pi(x)^{-1}\pi(x)=I_Hとπ(x)π(x)−1=IH\pi(x)\pi(x)^{-1}=I_Hから二つの作用素は互いに逆であり、AπA_\piはユニタリである。

a∈Ga\in Gを固定する。§E14.5 定理 3.1により左移動は局所可測集合と零集合を保ち、左 Haar 測度の積分を保つ。強可測関数の単関数近似を左移動すると強可測性も保たれる。したがって

F⟼F(a−1 ⋅),F⟼π(a)F(a−1 ⋅)F\longmapsto F(a^{-1}\,\cdot),\qquad F\longmapsto\pi(a)F(a^{-1}\,\cdot)

はL2(G;H)L^2(G;H)上のユニタリ作用素である。純テンソルに対応するF(x)=f(x)vF(x)=f(x)vでの値を計算すると、それぞれλ(a)⊗IH\lambda(a)\otimes I_Hとλ(a)⊗π(a)\lambda(a)\otimes\pi(a)に一致する。§E12.9 命題 2.3 (3)によって、この同定は空間全体で成り立つ。

任意のF∈L2(G;H)F\in L^2(G;H)に対して、ほとんどすべてのxxで

(Aπ(λ(a)⊗IH)F)(x)=π(x)F(a−1x),((λ(a)⊗π(a))AπF)(x)=π(a)π(a−1x)F(a−1x)=π(x)F(a−1x)\begin{aligned} \bigl(A_\pi(\lambda(a)\otimes I_H)F\bigr)(x) &=\pi(x)F(a^{-1}x),\\ \bigl((\lambda(a)\otimes\pi(a))A_\pi F\bigr)(x) &=\pi(a)\pi(a^{-1}x)F(a^{-1}x) =\pi(x)F(a^{-1}x) \end{aligned}

である。よって主張 (2)の等式が成り立つ。▨

系 2.3.GGを Hausdorff な局所コンパクト群、λ\lambdaを左正則表現、κ\kappaをmax⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}以上の無限基数とし、TTをRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)（§E14.21 定義 1.1参照）上の、§E14.21 定義 2.6 条件 (a)を満たすユニタリ作用素場（§E14.21 定義 2.1参照）とする。TTの次元がκ\kappa以下の表現への延長（§E14.21 命題 4.3参照）によりR=TλR=T_\lambdaとおく。このとき、次が成り立つ。

  1. Kac–Takesaki 作用素AAはL2(G)⊗L2(G)L^2(G)\otimes L^2(G)上でA(I⊗R)=(R⊗R)AA(I\otimes R)=(R\otimes R)Aを満たす。
  2. 次元がκ\kappa以下の複素 Hilbert 空間HH上の強連続ユニタリ表現π\piに対して、Fell の吸収同値AπA_\piはL2(G)⊗HL^2(G)\otimes H上でAπ(R⊗IH)=(R⊗Tπ)AπA_\pi(R\otimes I_H)=(R\otimes T_\pi)A_\piを満たす。

証明.主張 (1)を示す。定理 1.1によりAAは1L2(G)⊗λ1_{L^2(G)}\otimes\lambdaからλ⊗λ\lambda\otimes\lambdaへのユニタリ同変作用素である。dim⁡L2(G)≤κ\dim L^2(G)\le\kappaなので、§E12.9 命題 4.1により両表現空間の次元はκ\kappa以下である。§E14.21 命題 4.3の有界同変作用素との可換性およびテンソル積の等式と、§E14.21 系 4.4から

A(I⊗R)=AT1L2(G)⊗λ=Tλ⊗λA=(R⊗R)AA(I\otimes R) =A T_{1_{L^2(G)}\otimes\lambda} =T_{\lambda\otimes\lambda}A =(R\otimes R)A

を得る。

主張 (2)を示す。dim⁡H≤κ\dim H\le\kappaならばdim⁡(L2(G)⊗H)≤κ\dim(L^2(G)\otimes H)\le\kappaである。定理 2.2によりAπA_\piはλ⊗1H\lambda\otimes1_Hからλ⊗π\lambda\otimes\piへのユニタリ同変作用素であるから、§E14.21 命題 4.3の有界同変作用素との可換性およびテンソル積の等式と、§E14.21 系 4.4から

Aπ(R⊗IH)=AπTλ⊗1H=Tλ⊗πAπ=(R⊗Tπ)AπA_\pi(R\otimes I_H) =A_\pi T_{\lambda\otimes1_H} =T_{\lambda\otimes\pi}A_\pi =(R\otimes T_\pi)A_\pi

を得る。▨

命題 2.4.GGを Hausdorff な局所コンパクト群、λ\lambdaを左正則表現、κ\kappaをmax⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}以上の無限基数とし、T,ST,SをRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)（§E14.21 定義 1.1参照）上の、§E14.21 定義 2.6 条件 (a)を満たすユニタリ作用素場とする。このとき、Tλ=SλT_\lambda=S_\lambdaならばT=ST=Sである。とくに、§E14.21 命題 8.1のΨ ⁣:Tκ(G)→U⁡(L2(G))\Psi\colon\mathcal T_\kappa(G)\to\Uni(L^2(G))は単射である。

証明.Tλ=Sλ=RT_\lambda=S_\lambda=Rとする。任意のπ∈Rep⁡κ(G)\pi\in\operatorname{Rep}_\kappa(G)に対して、系 2.3の Fell の吸収同値AπA_\piを用いると

R⊗Tπ=Aπ(R⊗I)Aπ−1=R⊗SπR\otimes T_\pi =A_\pi(R\otimes I)A_\pi^{-1} =R\otimes S_\pi

である。L2(G)L^2(G)の単位ベクトルffを取り、v,w∈Hπv,w\in H_\piに対してこの等式をf⊗vf\otimes vに作用させ、Rf⊗wRf\otimes wとの内積を取る。RRはユニタリなので

⟨Tπv,w⟩=⟨Sπv,w⟩\langle T_\pi v,w\rangle=\langle S_\pi v,w\rangle

となる。したがってTπ=SπT_\pi=S_\piがすべてのπ\piについて成り立ち、T=ST=Sである。▨

3 例

例 3.1.G=Z/3ZG=\Z/3\Zに離散位相と正規化された数え上げ測度を入れ、ω=e2πi/3\omega=e^{2\pi i/3}、χ(x)=ωx\chi(x)=\omega^xとする。χ\chiをC\C上の一次元表現とみなす。このとき、L2(G)L^2(G)の正規直交基底

ek(x)=ωkx(k=0,1,2)e_k(x)=\omega^{kx}\qquad(k=0,1,2)

について、Fell の同値は

Aχek=ek+1A_\chi e_k=e_{k+1}

で与えられる。添字は33を法として解釈する。

実際、13∑x=02ω(k−ℓ)x=δkℓ\frac13\sum_{x=0}^2\omega^{(k-\ell)x}=\delta_{k\ell}なので(e0,e1,e2)(e_0,e_1,e_2)は正規直交基底である。L2(G)⊗C=L2(G)L^2(G)\otimes\C=L^2(G)と同一視すると、AχA_\chiは関数にχ\chiを掛けるので表示された巡回を与える。一方、a∈Ga\in Gに対して

λ(a)ek=ω−kaek,\lambda(a)e_k=\omega^{-ka}e_k,

であり、

Aχλ(a)ek=ω−kaek+1,χ(a)λ(a)Aχek=ωaω−(k+1)aek+1=ω−kaek+1.A_\chi\lambda(a)e_k=\omega^{-ka}e_{k+1}, \qquad \chi(a)\lambda(a)A_\chi e_k =\omega^a\omega^{-(k+1)a}e_{k+1} =\omega^{-ka}e_{k+1}.

したがって、Aχλ(a)=χ(a)λ(a)AχA_\chi\lambda(a)=\chi(a)\lambda(a)A_\chiが基底の各元で成り立つ。指標χ\chiをテンソル積で掛ける操作は、正則表現の三つの指標成分を巡回させる。

例 3.2.R\Rに通常の位相を入れ、H=ℓ2(R)H=\ell^2(\R)の標準正規直交基底を(δt)t∈R(\delta_t)_{t\in\R}とする。x∈Rx\in\Rに対して

π(x)δt=δt+x\pi(x)\delta_t=\delta_{t+x}

と定める。このとき、各π(x)\pi(x)はユニタリであり、π\piは群準同型であるが、強連続でない。軌道x↦π(x)δ0=δxx\mapsto\pi(x)\delta_0=\delta_xは Lebesgue 測度について強可測でない。

基底の置換は内積を保ち、逆置換はπ(−x)\pi(-x)なので、各π(x)\pi(x)はユニタリである。π(x)π(y)δt=δt+y+x\pi(x)\pi(y)\delta_t=\delta_{t+y+x}より群法を保つ。一方、x≠0x\ne0ならば

∥π(x)δ0−δ0∥=2\|\pi(x)\delta_0-\delta_0\|=\sqrt2

なので、単位元で強連続ではない。

任意のv∈ℓ2(R)v\in\ell^2(\R)の台は可算である。実際、各正整数nnに対し∣v(t)∣≥1/n|v(t)|\geq1/nとなるttは有限個である。したがって、可分な閉部分空間M⊆ℓ2(R)M\subseteq\ell^2(\R)の可算な稠密集合(vn)(v_n)に対し、J=⋃nsupp⁡vnJ=\bigcup_n\supp v_nは可算であり、座標評価の連続性からM⊆ℓ2(J)M\subseteq\ell^2(J)である。特にδx∈M\delta_x\in Mならばx∈Jx\in Jである。

軌道が強可測ならば、可測単関数による近似の値の閉線形包を取ることで、ある可分な閉部分空間にほとんど至る所で値を取る。直前の結論により、これはある可算集合JJにほとんどすべてのx∈[0,1]x\in[0,1]が属することを意味する。可算集合の Lebesgue 測度は零であり、区間の測度は11なので矛盾する。

さらに、F(x)=1[0,1](x)δ0F(x)=\mathbf1_{[0,1]}(x)\delta_0は強可測で∥F∥2=1\|F\|_2=1であるが、

π(x)F(x)=1[0,1](x)δx\pi(x)F(x)=\mathbf1_{[0,1]}(x)\delta_x

は同じ理由で強可測でない。したがって、各群元でのユニタリ性だけでは補題 2.1の乗数はL2(R;H)L^2(\R;H)上に定まらない。

前提記事