§E14.1位相群

証明. 写像$x\mapsto(a,x)$と$x\mapsto(x,a)$は連続であり、積との合成$L_a$と$R_a$も連続である。逆写像はそれぞれ$L_{a^{-1}}$と$R_{a^{-1}}$であるから、$L_a$と$R_a$は同相写像である。反転は連続であり$i\circ i=\mathrm{id}_G$であるから同相写像である。共役は$L_a\circ R_{a^{-1}}$に等しい。▨

証明. 必要性を示す。単位元の開近傍基は条件 (a)を満たす。積の$(e,e)$における連続性により、$U\in\mathcal B$に対して$VW\subseteq U$を満たす$V,W\in\mathcal B$が存在する。$V\cap W$に含まれる基の元を取ると条件 (b)を得る。反転の$e$における連続性から条件 (c)を得る。$x\in U$ならば$x^{-1}U$は$e$の開近傍であるから、その内部に基の元を取ると条件 (d)を得る。共役写像が$e$を固定する同相写像であることから条件 (e)を得る。

十分性を示す。各$x\in G$に対して

とおく。条件 (a)により、$\mathcal N(x)$は$x$を含む集合からなるフィルターである。$N\in\mathcal N(x)$に対して$xU\subseteq N$を満たす$U\in\mathcal B$を取る。$y\in xU$とすると$y=xu$を満たす$u\in U$が存在し、条件 (d)により$uV\subseteq U$を満たす$V\in\mathcal B$が存在する。よって$yV\subseteq xU$であり、$xU\in\mathcal N(y)$である。したがって$\mathcal N$は近傍系の公理を満たし、§E2.11 補題 6.8により$\mathcal N(x)$を各点の近傍系とする位相が一意に定まる。各$xU$は、そのすべての点の近傍であるから開集合であり、これらの集合は開基をなす。

$(x,y)\in G\times G$と$U\in\mathcal B$を取る。条件 (b)により$WW\subseteq U$を満たす$W\in\mathcal B$が存在し、条件 (e)により$y^{-1}Vy\subseteq W$を満たす$V\in\mathcal B$が存在する。このとき

であるから、積は$(x,y)$で連続である。

$x\in G$と$U\in\mathcal B$を取る。条件 (c)により$W^{-1}\subseteq U$を満たす$W\in\mathcal B$が存在し、条件 (e)により$xVx^{-1}\subseteq W$を満たす$V\in\mathcal B$が存在する。したがって

であるから、反転は$x$で連続である。

別の位相群の位相で$\mathcal B$が$e$の開近傍基をなすとする。命題 1.4により、各$x$の開近傍基は$\{xU\mid U\in\mathcal B\}$である。両位相の近傍系は一致するので、§E2.11 補題 6.8により両位相は一致する。▨

証明.$U$に含まれる単位元の開近傍$U_0$を取る。定理 2.1 条件 (b)により$WW\subseteq U_0$を満たす単位元の開近傍$W$が存在する。$V=W\cap W^{-1}$とおくと、命題 1.4により$V$は開集合であり、$e\in V$、$V^{-1}=V$および$VV\subseteq WW\subseteq U$が成り立つ。▨

証明.$H$を$G$の部分群とする。$H\times H$の積位相は$G\times G$の相対位相に一致するので、積の制限$H\times H\to G$と反転の制限$H\to G$は連続である。両写像の像は$H$に含まれるから、終域を$H$に制限した写像も連続である。

$P=\prod_{j\in J}G_j$とおき、座標射影を$\pi_j$とする。積$m_P$の各座標は

であり、反転$i_P$の各座標は$\pi_j\circ i_P=i_{G_j}\circ\pi_j$である。右辺はすべて連続であるから、§E2.14 定理 1.6により$m_P$と$i_P$は連続である。▨

証明.$H$が開集合ならば、命題 1.4により各左剰余類$xH$は開集合である。$G\setminus H$は$H$と異なる左剰余類の和集合であるから開集合であり、$H$は閉集合である。

$x,y\in\tpcl{H}$とし、$xy^{-1}$の任意の開近傍$O$を取る。写像$(a,b)\mapsto ab^{-1}$は連続であるから、$AB^{-1}\subseteq O$を満たす$x$の開近傍$A$と$y$の開近傍$B$が存在する。閉包の近傍による特徴づけにより、$h\in A\cap H$と$k\in B\cap H$が存在する。したがって$hk^{-1}\in O\cap H$であり、$O$は$H$と交わる。よって$xy^{-1}\in\tpcl{H}$である。$e\in H\subseteq\tpcl{H}$であるから、$\tpcl{H}$は部分群である。

$H$を正規部分群とする。各$a\in G$に対して共役$c_a$は同相写像であり、$c_a(H)=H$であるから、

が成り立つ。したがって$\tpcl{H}$は正規部分群である。▨

証明.主張 (1)を示す。連続性と全射性は商位相の定義から従う。$g\in G$について、$x\mapsto gx$は連続写像$x\mapsto(g,x)$と作用の合成であるから連続であり、その逆写像$x\mapsto g^{-1}x$も同じ理由で連続である。したがって$x\mapsto gx$は$X$の同相写像である。$U\subseteq X$を開集合とすると、

は開集合である。商位相の定義により$q(U)$は開集合であり、$q$は開写像である。

主張 (2)を示す。$\Delta_{X/G}$を$X/G$の対角集合とすると、$R=(q\times q)^{-1}(\Delta_{X/G})$である。§E2.15 命題 2.11により、$X/G$が Hausdorff 空間であることは$\Delta_{X/G}$が閉集合であることと同値である。$q\times q$は連続であるから、$\Delta_{X/G}$が閉集合ならば$R$は閉集合である。逆に、$R$を閉集合とする。主張 (1)と§E2.14 系 1.19により$q\times q$は開写像であり、$q\times q$は全射であるから、

は開集合である。したがって$\Delta_{X/G}$は閉集合である。▨

証明.命題 3.1により$H$は相対位相に関して位相群である。写像$(h,x)\mapsto xh^{-1}$は$H$の$G$への連続左作用であり、$x\in G$の軌道は$xH$であるから、この作用の軌道空間は$G/H$である。定理 4.2 (1)により$q$は連続な開全射である。

この作用について、定理 4.2の集合$R$は

である。写像$(x,y)\mapsto x^{-1}y$は連続であるから、$H$が閉集合ならば$R$は閉集合である。逆に、$R$が閉集合ならば、$H$は連続写像$y\mapsto(e,y)$による$R$の逆像であるから閉集合である。したがって、定理 4.2 (2)により主張 (2)が成り立つ。

主張 (3)を示す。$q$が完全写像であるとする。§E2.20 系 5.5により、$H=q^{-1}(\{eH\})$はコンパクトである。逆に、$H$がコンパクトであるとする。$x\in G$について、$q^{-1}(\{xH\})=xH$は命題 1.4により$H$と同相であるからコンパクトである。$F\subseteq G$を閉集合とし、$x\notin FH$とする。$N=\{(h,y)\in G\times G\mid yh^{-1}\notin F\}$は$G\times G$の開集合であり、$x\notin FH$であるから$H\times\{x\}\subseteq N$である。§E2.20 補題 4.1により、$H\subseteq U$と$x\in V$と$U\times V\subseteq N$を満たす$G$の開集合$U$、$V$が存在する。$y\in V$と$h\in H$について$yh^{-1}\notin F$であるから、$V\cap FH=\varnothing$である。したがって$FH$は閉集合である。$q^{-1}(q(F))=FH$であるから、商位相の定義により$q(F)$は閉集合であり、$q$は閉写像である。$q$は全射であるから、§E2.20 系 5.5により$q$は完全写像である。

主張 (4)を示す。写像$a\colon G\times(G/H)\to G/H$を$a(g,yH)=gyH$で定めると、$a$の値は代表元の選び方によらず、$a$は$G$の$G/H$への左作用である。$G$の恒等写像は開写像であるから、主張 (1)と§E2.14 系 1.19により$\id_G\times q$は連続な開全射であり、§E2.12 命題 8.3により商写像である。$m$を$G$の積とすると$a\circ(\id_G\times q)=q\circ m$は連続であるから、§E2.12 定理 8.10により$a$は連続である。$yH=a(y,eH)$であるから、この作用は推移的である。▨

証明.§E7.7 定理 2.2により、$G/H$の積と反転は、$m_H(xH,yH)=xyH$および$i_H(xH)=x^{-1}H$で与えられる。系 4.3 (1)により$q$は連続な開全射である。積写像$q\times q$も連続な開全射である。実際、積位相の基本開集合$U\times V$の像は開集合$q(U)\times q(V)$であり、任意の開集合は基本開集合の和集合だからである。§E2.12 命題 8.3により$q\times q$は商写像である。

等式

の右辺は連続である。§E2.12 定理 8.10により$m_H$と$i_H$は連続である。主張 (2)は系 4.3 (2)による。▨

証明.主張 (1)を示す。§E7.10 命題 4.4により$\Stab{x}$は$G$の部分群である。$g,g'\in G$について、$gx=g'x$であることは$g^{-1}g'\in \Stab{x}$、すなわち$g\Stab{x}=g'\Stab{x}$であることと同値である。したがって$\overline\omega_x$の値は代表元の選び方によらず、$\overline\omega_x$は単射である。作用は推移的であるから、$\overline\omega_x$は全射である。$\omega_x$は連続写像$g\mapsto(g,x)$と作用の合成であるから連続である。$q\colon G\to G/\Stab{x}$を標準全射とすると$\overline\omega_x\circ q=\omega_x$であるから、§E2.12 定理 8.10により$\overline\omega_x$は連続である。また、$\overline\omega_x(gy\Stab{x})=(gy)x=g(yx)=g\,\overline\omega_x(y\Stab{x})$である。

主張 (2)を示す。系 4.3 (1)により$q$は開写像である。$\overline\omega_x$が同相写像ならば、$\omega_x=\overline\omega_x\circ q$は開写像の合成であるから開写像である。逆に、$\omega_x$が開写像であるとする。$G/\Stab{x}$の開集合$V$について、$q$の全射性により$\overline\omega_x(V)=\omega_x(q^{-1}(V))$であり、これは$X$の開集合である。したがって連続な全単射$\overline\omega_x$は開写像であり、§E2.12 命題 6.3により同相写像である。▨

証明.§E7.8 定理 1.1により、$\overline p$は群の同型である。写像$(g,y)\mapsto p(g)y$は$G$の$H$への連続左作用であり、$p$は全射であるからこの作用は推移的である。したがって$H$は$G$の左等質空間である。$H$の単位元$e_H$の安定化群は$\ker p$であり、命題 4.5の記号で$\omega_{e_H}=p$、$\overline\omega_{e_H}=\overline p$である。$p$は開写像であるから、命題 4.5 (2)により$\overline p$は同相写像である。系 4.4 (1)により$G/\ker p$は位相群であるから、$\overline p$は位相群としての同型である。▨

証明.§E2.43 命題 6.3により$G_0$は閉集合である。§E2.43 定理 3.2により$G_0\times G_0$は連結であり、写像$(a,b)\mapsto ab^{-1}$は連続である。したがって§E2.43 定理 1.4により$G_0G_0^{-1}$は連結である。この集合は$e$を含むので、§E2.43 定理 6.2 (1)により$G_0G_0^{-1}\subseteq G_0$である。$e\in G_0$と合わせて、$G_0$は部分群である。

$a\in G$とする。共役$c_a$は$e$を固定する同相写像であるから、§E2.43 定理 1.4と§E2.43 定理 6.2 (1)により$c_a(G_0)\subseteq G_0$である。$a^{-1}$に同じ包含を適用して$c_a$を作用させると$G_0\subseteq c_a(G_0)$を得る。したがって$aG_0a^{-1}=G_0$であり、$G_0$は正規部分群である。

$x$の連結成分を$C(x)$と書く。$xG_0=L_x(G_0)$は連結であり$x$を含むから、§E2.43 定理 6.2 (1)により$xG_0\subseteq C(x)$である。一方、$x^{-1}C(x)$は連結であり$e$を含むから、同じ最大性により$x^{-1}C(x)\subseteq G_0$である。よって$C(x)\subseteq xG_0$であり、$C(x)=xG_0$となる。正規性により$xG_0=G_0x$である。▨

証明.§E7.1 命題 3.2により$\GL_n(\mathbb F)$は行列の積に関して群である。行列の積の各成分は行列成分の多項式であり、逆行列は

によって与えられる。分母は$\GL_n(\mathbb F)$上で零にならないので、積と反転は連続である。

§E7.1 命題 3.2と§E7.2 命題 2.2により、$\Orth(n)$、$\SL_n(\mathbb F)$、$\SO(n)$は対応する一般線形群の部分群である。$\Uni(n)$と$\SU(n)$も定義により$\GL_n(\C)$の部分群であるから、命題 3.1により五つの群は位相群である。

写像$A\mapsto A^{\mathsf T}A$と$A\mapsto A^*A$は連続であり、$\{I_n\}$は行列空間の閉集合であるから、$\Orth(n)$と$\Uni(n)$は行列空間の閉部分集合である。行列式は行列成分の多項式なので連続であり、$\{1\}$は$\mathbb F$の閉集合であるから、$\SL_n(\mathbb F)=\det^{-1}(\{1\})$も行列空間の閉部分集合である。したがって、$\SO(n)=\Orth(n)\cap\SL_n(\R)$と$\SU(n)=\Uni(n)\cap\SL_n(\C)$は、それぞれの行列空間の二つの閉部分集合の共通部分として閉部分集合である。

$\iota(a,b)$の行列式は$a>0$であるから、$\iota$は$\GL_2(\R)$への写像である。また、

であるから、$\iota$は単射準同型である。したがって、その像$P$は$\GL_2(\R)$の部分群であり、$\iota$は$P$への群同型である。$\iota$と逆写像の各成分は座標関数または定数であるから、$\iota$は同相写像でもある。命題 3.1により$P$は位相群であるから、積と逆元の連続性は$\iota$を通して向きを保つアフィン変換群へ移り、向きを保つアフィン変換群は位相群であり、$\iota$は位相群としての同型である。▨

証明.$p(a,b)=a$とおくと、$(a,b)(c,d)=(ac,ad+b)$により$p$は$G$から乗法群$\R_{>0}$への準同型であり、その核は$N$である。したがって$N$は正規部分群である。$p$は座標関数なので連続である。$\{1\}$は$\R_{>0}$の閉集合であるから、$N=p^{-1}(\{1\})$は閉集合である。また、$p$は全射であり、$\R_{>0}\times\R$から第一成分への射影なので開写像である。

系 4.6により、写像$(a,b)N\mapsto a$は$G/N$から$\R_{>0}$への位相群としての同型である。▨