Hilbert 空間上の Schur 函手 | 位相群論 I

定義 1.1. $H$ を複素 Hilbert 空間、 $n\geq0$ を整数、 $\lambda\vdash n$ とし、内積は第一変数について線形とする。 $S^\lambda$ には§E7.34 命題 1.9の不変内積を入れ、そのユニタリ表現を $\rho_\lambda$ 、次元を $d_\lambda$ と書く。 $E_n(H)=H^{\widehat\otimes n}$ と置き、因子置換のユニタリ表現を $U^H$ と書く。零次には $S_0=\{1\}$ 、 $S^\varnothing=E_0(H)=\C$ とする。

同変な複素線形写像の空間

M_\lambda(H)=\Hom_{S_n}(S^\lambda,E_n(H))

に、 $S^\lambda$ の正規直交基底 $e_1,\ldots,e_{d_\lambda}$ を用いて

\langle A,B\rangle_M =\frac1{d_\lambda}\sum_{i=1}^{d_\lambda}\langle Ae_i,Be_i\rangle

を定める。この内積をもつ空間を $H$ の Hilbert Schur 空間 (Hilbert Schur space) という。 $M_\lambda(H)$ を $\mathbb S_\lambda(H)$ とも書く。零次には $A\mapsto A(1)$ によって $M_\varnothing(H)=\C$ と同定する。

補題 1.2. $H$ を複素 Hilbert 空間、 $n\geq0$ 、 $\lambda,\mu\vdash n$ とする。このとき、次が成り立つ。

$M_\lambda(H)$ の内積は正規直交基底の選択によらない。
$M_\lambda(H)$ は Hilbert 空間である。
$A\in M_\lambda(H)$ 、 $B\in M_\mu(H)$ 、 $s\in S^\lambda$ 、 $t\in S^\mu$ に対して $\langle As,Bt\rangle= \begin{cases} \langle s,t\rangle\langle A,B\rangle_M&\lambda=\mu,\\ 0&\lambda\ne\mu \end{cases}$ が成り立つ。特に、単位ベクトル $s\in S^\lambda$ に対する $A\mapsto As$ は等長である。

証明. 別の正規直交基底を $f_j=\sum_i u_{ij}e_i$ と書くと、行列 $(u_{ij})$ はユニタリである。したがって

\sum_j\langle Af_j,Bf_j\rangle =\sum_{i,k,j}u_{ij}\overline{u_{kj}}\langle Ae_i,Be_k\rangle =\sum_i\langle Ae_i,Be_i\rangle.

有限次元の始域をもつ線形写像はすべて有界である。基底像を並べる同定によって、線形写像全体の空間は $E_n(H)^{d_\lambda}$ となり、表示した内積で完備である。同変条件 $A\rho_\lambda(\sigma)=U_\sigma^HA$ は閉条件なので、その共通の解空間 $M_\lambda(H)$ も完備である。

$B^*A\colon S^\lambda\to S^\mu$ は同変である。実際、 $B$ の同変性と両表現のユニタリ性から $B^*U_\sigma^H=\rho_\mu(\sigma)B^*$ を得る。Specht 表現の既約性と相互非同型性§E7.34 定理 2.5、および§E7.32 系 3.1によって、 $\lambda\ne\mu$ ならば $B^*A=0$ である。 $\lambda=\mu$ ならば§E7.32 系 3.2によって $B^*A=cI$ であり、

c=\frac1{d_\lambda}\sum_i\langle B^*Ae_i,e_i\rangle =\langle A,B\rangle_M.

ゆえに $\langle As,Bt\rangle=\langle B^*As,t\rangle$ から主張を得る。▨

定理 1.3. $H$ を複素 Hilbert 空間、 $n\geq0$ とする。このとき、次が成り立つ。

評価によってユニタリ同型 $\bigoplus_{\lambda\vdash n}S^\lambda\widehat\otimes M_\lambda(H) \longrightarrow E_n(H),\qquad s\otimes A\longmapsto As$ が定まる。この同型を $\Phi_H$ と書く。
$\Phi_H$ の始域の直和 $\bigoplus_{\lambda\vdash n}$ は直交直和である。
$S_n$ を左辺の Specht 因子だけに作用させると、 $\Phi_H$ は $S_n$ -同変である。
零次の評価は $\C\widehat\otimes\C\to\C$ の係数の積である。
$H=0$ 、 $n\geq1$ ならば、すべての $M_\lambda(H)$ は零である。

証明.補題 1.2の内積公式を有限和に適用すると、評価は各代数的テンソル積上で内積を保ち、異なる分割の像は直交する。§E12.9 定理 2.4によって、評価は表示した有限直交直和からの等長作用素へ延長される。

代数的テンソル冪 $H^{\otimes_{\mathrm{alg}}n}$ は§E12.9 命題 5.1 (1)によって $E_n(H)$ の稠密部分空間である。§E7.35 定理 1.4を複素ベクトル空間 $H$ に適用すると、この代数的テンソル冪の各元は、代数的テンソル冪を値域とする同変写像の評価の有限和である。そのような写像は $M_\lambda(H)$ の元でもあるので、 $\Phi_H$ の像は稠密である。等長作用素の像は閉じているから $\Phi_H$ は全射である。同変性は $A\rho_\lambda(\sigma)s=U_\sigma^HAs$ から従う。零次と零空間の場合は定義から従う。▨

例 1.4. 自明群の表現 $S=\C^2$ 、 $E=\C$ を考える。このとき、標準基底を $e_1,e_2$ 、第一座標への写像を $f_1$ とすると、

e_2\otimes f_1\in S\otimes\Hom(S,E)

は非零であるが、評価による像は $f_1(e_2)=0$ である。したがって、既約表現を可約表現に置き換えた評価は、単射とは限らない。

命題 2.1. $H$ を複素 Hilbert 空間、 $\lambda\vdash n$ とする。このとき、自然な単射

\mathbf S_\lambda(H)=\Hom_{S_n}(S^\lambda,H^{\otimes_{\mathrm{alg}}n}) \longrightarrow M_\lambda(H)

の像は稠密である。したがって、 $\mathbf S_\lambda(H)$ の内積 $\langle\ ,\ \rangle_M$ による完備化は $M_\lambda(H)$ とユニタリに同一視される。

証明. $A\in M_\lambda(H)$ と $\varepsilon>0$ を取る。正規直交基底 $e_i$ の各像 $Ae_i$ を代数的テンソル $v_i$ で近似し、 $Fe_i=v_i$ と定めると、 $\|F-A\|_M<\varepsilon$ とすることができる。ここでは同じ有限和の式によって、同変とは限らない写像にもノルム $\|\ \|_M$ を入れている。

有限群平均

Q(F)=\frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}U_\sigma^HF\rho_\lambda(\sigma)^{-1}

は同変であり、代数的テンソル冪を値域とする。左右に合成した作用素はユニタリなので、基底独立性によって各項は写像空間のノルムを保つ。したがって $\|Q(F)-Q(A)\|_M\leq\|F-A\|_M$ である。同変性から $Q(A)=A$ なので、 $Q(F)$ が所要の近似を与える。零次には自然な単射は恒等写像である。▨

命題 2.2. $H$ を複素 Hilbert 空間、 $\lambda\vdash n$ 、 $t$ を分割 $\lambda$ に対応する Young 盤とし、 $\varepsilon_t$ を正規化 Young 冪等元、 $P_t=U^H(\varepsilon_t)$ 、 $p_t\in S^\lambda$ を polytabloid とする。このとき、次が成り立つ。

$P_t$ は $E_n(H)$ 上の有界冪等作用素であり、その像は閉じている。
$p_t$ による評価 $M_\lambda(H)\longrightarrow P_tE_n(H),\qquad A\longmapsto A(p_t)$ は有界線形同型である。
任意の $A\in M_\lambda(H)$ に対して $\|A(p_t)\|=\|p_t\|\|A\|_M$ である。特に $A\mapsto A(p_t/\|p_t\|)$ は像へのユニタリ同型である。

証明. $P_t$ は有限個のユニタリ作用素の線形結合なので有界であり、§E7.35 命題 2.2によって $P_t^2=P_t$ である。 $\operatorname{im}P_t=\ker(I-P_t)$ なので像は閉じている。§E7.35 命題 2.3を単位的 $\C[S_n]$ -加群 $E_n(H)$ に適用すると、表示した評価は全単射である。 $p_t\ne0$ であり、補題 1.2によってノルムの式を得る。その式から評価と逆写像の有界性、および正規化評価の等長性が従う。▨

例 2.3. $H=\C^2$ の正規直交基底を $e_1,e_2$ とし、

x=e_1\otimes e_1\otimes e_2,\quad z=e_1\otimes e_2\otimes e_1,\quad w=e_2\otimes e_1\otimes e_1

と置く。このとき、Young 盤 $t=\begin{array}{cc}1&2\\3&\end{array}$ に対して $y_t=(1-(13))(1+(12))$ であり、因子置換を計算すると

U^H(y_t)x=2(x-w),\qquad U^H(y_t)z=w-x.

$x,z,w$ は互いに直交する単位ベクトルなので、

\langle U^H(y_t)x,z\rangle=0,\qquad \langle x,U^H(y_t)z\rangle=-1.

したがって $P_t=U^H(y_t)/3$ は自己共役でなく、直交射影でない。Young 像への正規化評価がユニタリであっても、Young 冪等作用素自体は直交射影とは限らない。

命題 3.1. $H,K$ を複素 Hilbert 空間、 $n\geq1$ 、 $\lambda\vdash n$ 、 $T\in B(H,K)$ とし、 $A\in M_\lambda(H)$ に $T^{\widehat\otimes n}A$ を対応させる写像を $M_\lambda(T)$ と書く。このとき、次が成り立つ。

$M_\lambda(T)$ は $M_\lambda(H)$ から $M_\lambda(K)$ への有界線形作用素であり、 $\|M_\lambda(T)\|\leq\|T\|^n$ である。
対応 $T\mapsto M_\lambda(T)$ は恒等作用素と合成を保つ。
次の等式が成り立つ。 $M_\lambda(T)^*=M_\lambda(T^*),\qquad M_\lambda(cT)=c^nM_\lambda(T)\quad(c\in\C)$
$T$ が等長作用素ならば $M_\lambda(T)$ は等長作用素であり、 $T$ がユニタリ作用素ならば $M_\lambda(T)$ はユニタリ作用素である。
評価分解は $T$ について自然であり、 $T^{\widehat\otimes n}\Phi_H =\Phi_K\bigoplus_{\lambda\vdash n}(I_{S^\lambda}\widehat\otimes M_\lambda(T))$ が成り立つ。

零次には、すべての有界作用素に $I_\C$ を対応させる。

証明.§E12.9 命題 7.1によって $T^{\widehat\otimes n}A$ は同変である。§E12.9 命題 6.1によって

\|M_\lambda(T)A\|_M^2 =\frac1{d_\lambda}\sum_i\|T^{\widehat\otimes n}Ae_i\|^2 \leq\|T\|^{2n}\|A\|_M^2.

同じ有限テンソル積の命題から、恒等・合成・スカラー倍の式を得る。 $A\in M_\lambda(H)$ 、 $B\in M_\lambda(K)$ に対して

\langle M_\lambda(T)A,B\rangle_M =\frac1{d_\lambda}\sum_i\langle Ae_i,(T^*)^{\widehat\otimes n}Be_i\rangle =\langle A,M_\lambda(T^*)B\rangle_M

なので、共役作用素の式が成り立つ。 $T^*T=I$ ならば $M_\lambda(T)^*M_\lambda(T)=I$ である。さらに $TT^*=I$ ならば逆順の積も恒等作用素である。自然性の両辺は $s\otimes A$ を $T^{\widehat\otimes n}As$ に写すので、稠密性により一致する。零次のすべての等式は $I_\C$ に対する等式である。▨

命題 3.2. $H,K$ を複素 Hilbert 空間、 $n\geq0$ 、 $\lambda\vdash n$ 、 $0\leq R<\infty$ とする。このとき、ノルム有界集合

\mathcal B_R=\{T\in B(H,K):\|T\|\leq R\}

上で、 $T\mapsto T^{\widehat\otimes n}$ と $T\mapsto M_\lambda(T)$ は強作用素位相について連続である。

証明. $n=0$ では両写像は定数である。 $n\geq1$ とし、 $T_\alpha\to T$ を $\mathcal B_R$ 内の強収束する net とする。 $x_1,\ldots,x_n\in H$ に対して、一因子ずつ差を取ると

\begin{aligned} &(T_\alpha^{\widehat\otimes n}-T^{\widehat\otimes n})(x_1\otimes\cdots\otimes x_n)\\ &=\sum_{j=1}^n T_\alpha x_1\otimes\cdots\otimes T_\alpha x_{j-1} \otimes(T_\alpha-T)x_j\otimes Tx_{j+1}\otimes\cdots\otimes Tx_n. \end{aligned}

$L=\max(1,R)$ と置くと、第 $j$ 項のノルムは

L^{n-1}\|(T_\alpha-T)x_j\|\prod_{k\ne j}\|x_k\|

以下であり、零へ収束する。したがって純テンソルの有限和上で強収束する。任意の $\xi\in E_n(H)$ と純テンソルの有限和 $\eta$ に対し、

\|(T_\alpha^{\widehat\otimes n}-T^{\widehat\otimes n})\xi\| \leq2L^n\|\xi-\eta\| +\|(T_\alpha^{\widehat\otimes n}-T^{\widehat\otimes n})\eta\|.

稠密性によって第一項を任意に小さくした後、第二項の収束を用いると全空間上の強収束を得る。

$A\in M_\lambda(H)$ に対しては

\|(M_\lambda(T_\alpha)-M_\lambda(T))A\|_M^2 =\frac1{d_\lambda}\sum_i \|(T_\alpha^{\widehat\otimes n}-T^{\widehat\otimes n})Ae_i\|^2 \longrightarrow0.

有限和であるから、重複度空間上でも強収束する。▨

例 3.3. $H=\C$ 、 $n=2$ 、 $\lambda=(2)$ とする。このとき、 $M_{(2)}(\C)=\C$ の同定の下で

M_{(2)}(2I)=4I\ne2I=M_{(2)}(I)+M_{(2)}(I)

である。各 $M_\lambda(T)$ は線形作用素であるが、 $T$ に対する対応は加法的とは限らない。

命題 4.1. $H,K$ を複素 Hilbert 空間、 $\lambda\vdash n$ とする。 $S^\lambda$ の実モデルに伴う反線形等長対合を $c_\lambda$ とし、因子ごとの共役による反線形等長全単射

C_n\colon E_n(H)\longrightarrow E_n(\overline H),\qquad x_1\otimes\cdots\otimes x_n\longmapsto \overline{x_1}\otimes\cdots\otimes\overline{x_n}

を考える。零次には $C_0(z)=\overline z$ とする。 $T\in B(H,K)$ に対して $\overline T\colon\overline H\to\overline K$ を $\overline T(\overline x)=\overline{Tx}$ で定め、 $\overline A\in\overline{M_\lambda(H)}$ に $C_nAc_\lambda$ を対応させる写像を $J_H$ と書く。このとき、次が成り立つ。

$T\in B(H,K)$ に対して $\overline T$ は有界線形作用素である。
対応 $T\mapsto\overline T$ はノルム、恒等、合成、およびユニタリ性を保つ。
$J_H$ はユニタリ同型 $\overline{M_\lambda(H)}\longrightarrow M_\lambda(\overline H)$ である。
$T\in B(H,K)$ に対して、自然性 $J_K\overline{M_\lambda(T)}=M_\lambda(\overline T)J_H$ が成り立つ。

証明. 共役空間のスカラー倍と内積§E12.9 定義 1.1から、 $\overline T$ は線形であり、 $\|\overline T\overline x\|=\|Tx\|$ である。したがってノルムの等式が成り立ち、恒等と合成の式は各 $\overline x$ への作用で確かめられる。 $T$ がユニタリならば、 $\overline T$ は内積を保つ全単射なのでユニタリである。

代数的テンソル積上の因子ごとの共役は反線形であり、純テンソルの内積を複素共役へ写す。共役空間を始域とする線形写像として§E12.9 定理 2.4を用いると、完備化上の反線形等長写像 $C_n$ を得る。因子ごとの逆の共役も同じ構成で延長され、両合成は純テンソル上で恒等なので、 $C_n$ は全単射である。置換との可換性と

C_nT^{\widehat\otimes n}=\overline T^{\widehat\otimes n}C_n

も純テンソル上で成立し、連続性によって全体で成立する。

$c_\lambda$ は§E7.34 命題 1.9によって群作用と可換する。したがって $C_nAc_\lambda$ は Specht 変数について線形かつ同変である。 $A$ に関して反線形なので、 $J_H$ は共役空間からの線形写像である。正規直交基底 $e_i$ に対して $c_\lambda e_i$ も正規直交基底なので、

\langle J_H\overline A,J_H\overline B\rangle_M =\frac1{d_\lambda}\sum_i\langle Bc_\lambda e_i,Ac_\lambda e_i\rangle =\langle B,A\rangle_M =\langle\overline A,\overline B\rangle.

任意の $D\in M_\lambda(\overline H)$ は $A=C_n^{-1}Dc_\lambda$ と置くと $D=J_H(\overline A)$ を満たす。よって $J_H$ はユニタリである。自然性は $C_nT^{\widehat\otimes n}=\overline T^{\widehat\otimes n}C_n$ に $Ac_\lambda$ を合成して得られる。▨

命題 4.2. $H$ を複素 Hilbert 空間、 $\lambda\vdash n$ 、 $\mu\vdash m$ とする。 $n>0$ のときは単位ベクトル $s\in S^\lambda$ を選び、 $n=0$ のときは $s=1$ とする。 $m>0$ のときは単位ベクトル $t\in S^\mu$ を選び、 $m=0$ のときは $t=1$ とする。 $A\in M_\lambda(H)$ 、 $B\in M_\mu(H)$ に対して $A\otimes B\longmapsto As\otimes Bt$ で定まる写像を

\iota_H\colon M_\lambda(H)\widehat\otimes M_\mu(H) \longrightarrow E_{n+m}(H)

と書く。ここで $As\otimes Bt$ ではテンソル積の括弧を変更している。このとき、次が成り立つ。

$\iota_H$ は等長埋込みを定める。
$n+m>0$ のとき、 $a\in\C$ 、 $|a|=1$ とし、正の次数に対応する単位ベクトルを一つ $a$ 倍に取り替えて得る埋込みを $\iota_H'$ とすると、 $\iota_H'=a\iota_H$ である。 $n=m=0$ のときは、規約により単位ベクトルの選択はない。
$T\in B(H,K)$ に対して、同じ単位ベクトルで定めた $\iota_K$ について $T^{\widehat\otimes(n+m)}\iota_H =\iota_K(M_\lambda(T)\widehat\otimes M_\mu(T))$ が成り立つ。

証明.補題 1.2によって $A\mapsto As$ と $B\mapsto Bt$ は等長である。§E12.9 命題 6.1により、その二因子のテンソル積も等長である。さらに§E12.9 命題 5.1 (2)のユニタリ作用素を合成すると $\iota_H$ を得る。主張 (3)の両辺は $A\otimes B$ 上で $T^{\widehat\otimes n}As\otimes T^{\widehat\otimes m}Bt$ に一致し、稠密性により全体で一致する。正の次数に対応する $s$ または $t$ を $|a|=1$ の $a\in\C$ で $a$ 倍すると、各純テンソル上で $\iota_H'=a\iota_H$ が成り立つ。両辺は有界なので、稠密性により全体で同じ等式が成り立つ。 $n=m=0$ ならば $s=t=1$ であり、零因子の同一視は§E12.9 命題 5.1に含まれる。▨

命題 5.1. $H$ を複素 Hilbert 空間、 $n\geq1$ とする。このとき、一行型と一列型の Specht モデルで単位ベクトルを選ぶと、評価によって

M_{(n)}(H)\cong P_+^HE_n(H),\qquad M_{(1^n)}(H)\cong P_-^HE_n(H)

というユニタリ同型を得る。ここで

P_+^H=\frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}U_\sigma^H,\qquad P_-^H=\frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)U_\sigma^H.

これらの像をそれぞれ Hilbert 対称冪 (Hilbert symmetric power)、Hilbert 外冪 (Hilbert exterior power) といい、 $\operatorname{Sym}_H^nH$ 、 $\bigwedge_H^nH$ と書く。零次には両方とも $\C$ とする。

証明.§E7.34 例 1.5によって、一行型と一列型はそれぞれ一次元の自明表現と符号表現である。単位ベクトル $s$ での評価は、それぞれ置換不変な部分空間と符号型の部分空間への全単射である。逆写像は $v\mapsto(as\mapsto av)$ である。§E12.9 命題 7.2によってこれらの部分空間は $P_+^H$ と $P_-^H$ の像であり、補題 1.2によって評価は等長である。▨

例 5.2. $H=\ell^2$ とし、標準正規直交基底を $(e_j)_{j\geq1}$ とする。このとき、級数

u=\sum_{j=1}^\infty\frac1j e_j\otimes e_j

は $E_2(H)$ で収束する。各部分和は交換作用に不変であるから、その連続性によって $u$ も交換作用に不変であり、 $u\in\operatorname{Sym}_H^2H$ である。一方、§E12.9 例 9.1によって $u$ は代数的テンソル積に属さない。したがって $u$ は、代数的対称二乗から自然な評価によって得られる像にも属さない。

例 5.3. $H=\C^2$ の正規直交基底を $e_1,e_2$ とする。このとき、 $\operatorname{Sym}_H^2H$ の正規直交基底は

e_1\otimes e_1,\quad \frac{e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1}{\sqrt2},\quad e_2\otimes e_2

であり、 $\bigwedge_H^2H$ の正規直交基底は

\frac{e_1\otimes e_2-e_2\otimes e_1}{\sqrt2}

である。実際、テンソル積の正規直交基底の係数を比較すると、交換作用に固定される条件は混合二項の係数が等しいことであり、符号が変わる条件は対角二項が零で混合二項の係数が互いの負となることである。内積の積の式によって、表示したベクトルは単位ベクトルであり、相互に直交する。

例 5.4. $I$ を任意の集合、 $n\geq0$ とする。このときユニタリ同型

\ell^2(I)^{\widehat\otimes n}\cong\ell^2(I^n)

が存在する。 $n\geq1$ では§E12.9 命題 5.1 (3)の完全正規直交系 $e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_n}$ を、 $\ell^2(I^n)$ の標準基底 $e_{(i_1,\ldots,i_n)}$ へ写す等長写像を延長すると、この同型を得る。 $n=0$ では $I^0$ は一元集合であり、両辺は $\C$ である。 $I=\varnothing$ 、 $n\geq1$ では両辺は零である。

例 5.5. $H,K$ を複素 Hilbert 空間とする。このときユニタリ同型

\operatorname{Sym}_H^2(H\oplus K) \cong\operatorname{Sym}_H^2H\oplus(H\widehat\otimes K)\oplus\operatorname{Sym}_H^2K

が存在する。 $H,K$ を $H\oplus K$ の直交部分空間と同定すると、混合項から左辺への写像は

h\otimes k\longmapsto\frac{h\otimes k+k\otimes h}{\sqrt2}

である。実際、 $(H\oplus K)^{\widehat\otimes2}$ は、 $H\widehat\otimes H$ 、 $H\widehat\otimes K$ 、 $K\widehat\otimes H$ 、 $K\widehat\otimes K$ の直交直和である。各成分への射影は、 $H\oplus K$ の二つの直交射影のテンソル積から得られ、その和は純テンソル上で恒等写像なので全体でも恒等写像である。交換作用は第一成分と第四成分をそれぞれ保ち、中央の二成分を交換する。したがって、交換不変な混合部分の元は一意に $(v+U_{(12)}v)/\sqrt2$ 、 $v\in H\widehat\otimes K$ と書かれる。二項は直交し、交換作用はユニタリなので、この対応は等長である。各成分の交換不変部分を合わせると、表示した同型を得る。

$H=K=\C$ では左辺の次元は $3$ であり、 $\operatorname{Sym}_H^2H\oplus\operatorname{Sym}_H^2K$ の次元 $2$ と異なる。したがって Hilbert 対称二乗は直和を保たない。

定理 6.1. $G$ を位相群、 $H$ を複素 Hilbert 空間、 $\pi\colon G\to \Uni(H)$ を強連続ユニタリ表現とし、 $\lambda\vdash n$ 、 $n\geq0$ とする。 $g\in G$ に対して $M_\lambda(\pi)(g)=M_\lambda(\pi(g))$ と定める。このとき、次が成り立つ。

$M_\lambda(\pi)$ は $M_\lambda(H)$ 上の強連続ユニタリ表現である。
零次は $\C$ 上の自明表現である。
評価ユニタリ同型 $\Phi_H$ は $G\times S_n$ -同変である。左辺では $G$ は重複度因子だけに、 $S_n$ は Specht 因子だけに作用し、右辺では $G$ は $\pi^{\widehat\otimes n}$ 、 $S_n$ は因子置換によって作用する。
強連続ユニタリ表現 $\rho\colon G\to \Uni(K)$ の間の有界同変作用素 $T\colon H\to K$ に対し、 $M_\lambda(T)$ も $M_\lambda(\pi)$ と $M_\lambda(\rho)$ の間の同変作用素である。

証明.命題 3.1によって、 $g\mapsto M_\lambda(\pi(g))$ はユニタリ作用素を値とする群準同型である。 $\pi$ は強連続であり、 $\|\pi(g)\|\leq1$ なので、命題 3.2を $R=1$ に適用すると強連続性を得る。

§E12.9 命題 7.1によって、 $\pi(g)^{\widehat\otimes n}$ と因子置換は可換するので、右辺に $G\times S_n$ が作用する。評価に対して

\Phi_H(\rho_\lambda(\sigma)s\otimes M_\lambda(\pi(g))A) =\pi(g)^{\widehat\otimes n}A\rho_\lambda(\sigma)s =\pi(g)^{\widehat\otimes n}U_\sigma^HAs

であるから、稠密性により $\Phi_H$ は $G\times S_n$ -同変である。 $T\pi(g)=\rho(g)T$ に函手性を適用すると

M_\lambda(T)M_\lambda(\pi(g)) =M_\lambda(\rho(g))M_\lambda(T)

を得る。零次にはすべての作用素が $I_\C$ である。▨

例 6.2. $H=\C^3$ の正規直交基底を $e_0,e_1,e_3$ とし、円周群 $\mathbb T$ の連続ユニタリ表現 $\pi$ を

\pi(z)e_j=z^je_j\qquad(j\in\{0,1,3\})

で定める。このとき、定理 6.1を一行型と一列型に適用すると、 $\operatorname{Sym}_H^2H$ と $\bigwedge_H^2H$ 上の表現を得る。

対称二乗の正規直交基底は、三つの対角ベクトル $d_j=e_j\otimes e_j$ と、三つの混合ベクトル

s_{jk}=\frac{e_j\otimes e_k+e_k\otimes e_j}{\sqrt2} \qquad(j,k\in\{0,1,3\},\ j<k)

からなる。外二乗の正規直交基底は

a_{jk}=\frac{e_j\otimes e_k-e_k\otimes e_j}{\sqrt2} \qquad(j,k\in\{0,1,3\},\ j<k)

の三つである。実際、テンソル積の正規直交基底 $e_j\otimes e_k$ の係数を比べると、交換に不変なベクトルの係数は $c_{jk}=c_{kj}$ を、交換で符号が変わるベクトルの係数は $c_{jk}=-c_{kj}$ を満たす。したがって表示したベクトルは各部分空間を張り、テンソル積の内積から正規直交性を得る。

純テンソルへの作用は

(\pi(z)\otimes\pi(z))(e_j\otimes e_k) =z^{j+k}e_j\otimes e_k

なので、 $d_j$ の重みは $2j$ 、 $s_{jk}$ と $a_{jk}$ の重みは $j+k$ である。 $\chi_m(z)=z^m$ と書けば、対称二乗の基底 $d_0,s_{01},d_1,s_{03},s_{13},d_3$ と、外二乗の基底 $a_{01},a_{03},a_{13}$ により

\operatorname{Sym}_H^2\pi\cong \chi_0\oplus\chi_1\oplus\chi_2\oplus\chi_3\oplus\chi_4\oplus\chi_6, \qquad \bigwedge_H^2\pi\cong\chi_1\oplus\chi_3\oplus\chi_4

を得る。特に対称二乗は一次元の不変ベクトル空間 $\C d_0$ をもち、外二乗の不変ベクトル空間は零である。

系 6.3. $G$ を位相群、 $\pi\colon G\to \Uni(H)$ を複素 Hilbert 空間上の強連続ユニタリ表現とする。このとき

\overline\pi(g)(\overline x)=\overline{\pi(g)x}

は $\overline H$ 上の強連続ユニタリ表現である。これを $\pi$ の共役表現 (conjugate representation) という。 $\lambda\vdash n$ に対して、 $J_H$ は共役表現 $\overline{M_\lambda(\pi)}$ と $M_\lambda(\overline\pi)$ の間のユニタリ同変作用素である。

証明.命題 4.1によって、 $\overline\pi$ はユニタリ作用素を値とする群準同型である。任意の $x\in H$ と $g_0\in G$ に対して

\|\overline\pi(g)\overline x-\overline\pi(g_0)\overline x\| =\|\pi(g)x-\pi(g_0)x\|\longrightarrow0\qquad(g\to g_0)

なので強連続である。 $J_H$ の自然性に $T=\pi(g)$ を代入すると同変性を得る。▨

系 6.4. $G$ を位相群、 $\pi\colon G\to \Uni(H)$ を複素 Hilbert 空間上の強連続ユニタリ表現とし、 $\lambda\vdash n$ 、 $\mu\vdash m$ とする。このとき、各正の次数に対応する Specht モデルの単位ベクトルをそれぞれ選び、零次には $1$ とすると、命題 4.2の $\iota_H$ は

M_\lambda(\pi)\widehat\otimes M_\mu(\pi) \longrightarrow\pi^{\widehat\otimes(n+m)}

の等長な同変作用素である。したがって、 $\iota_H$ は左辺の表現を右辺の部分表現として実現する。

証明. 左辺の表現は§E14.8 命題 3.3によって強連続である。命題 4.2 (3)に $T=\pi(g)$ を代入すると同変性を得る。この自然性に用いた括弧変更は、各純テンソルに $\pi(g)$ を作用させる操作と可換し、稠密性により全体でも可換する。等長作用素 $\iota_H$ の像は閉じており、同変性によって不変なので、像への制限はユニタリ同変作用素である。▨

§E14.9Hilbert 空間上の Schur 函手

1 Hilbert 重複度空間と評価分解

2 代数的部分の稠密性と Young 像

3 有界作用素と強作用素位相

4 共役空間と次数を加える埋込み

5 対称冪・外冪と非可分空間

6 Schur 函手と連続ユニタリ表現

前提記事