§E14.18Peter–Weyl の定理

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コンパクト群の表現を調べるうえで、有限次元表現は基本的な役割をもつ。たとえば、平面の回転は二次元の直交行列として記述される。しかし、群の上の関数や無限次元の表現が、有限次元表現によってどこまで記述されるかは、有限次元の議論だけからは明らかでない。有限次元表現の行列成分を群の上の関数とみなしたものを行列要素という。行列要素による関数の近似と有限次元既約表現によるユニタリ表現の分解との関係を、Peter–Weyl の定理によって調べる。本記事では、Peter–Weyl の定理とコンパクト群のユニタリ表現の構造を扱う。

1 有限次元表現と行列要素

命題 1.1.GGを Hausdorff なコンパクト群、μ\muを正規化された Haar 測度、VVを有限次元複素ベクトル空間とし、π ⁣:G→GL⁡(V)\pi\colon G\to\GL(V)を連続な表現とする。VVの内積⟨⋅,⋅⟩0\langle\cdot,\cdot\rangle_0を任意に取り、

⟨v,w⟩G=∫G⟨π(x)v,π(x)w⟩0 dμ(x)\langle v,w\rangle_G =\int_G\langle\pi(x)v,\pi(x)w\rangle_0\,d\mu(x)

とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. ⟨⋅,⋅⟩G\langle\cdot,\cdot\rangle_Gはπ\pi不変な内積である。
  2. VVに⟨⋅,⋅⟩G\langle\cdot,\cdot\rangle_Gを入れるとπ\piは連続ユニタリ表現となる。
  3. VVは⟨⋅,⋅⟩G\langle\cdot,\cdot\rangle_Gについて互いに直交する既約不変部分空間の有限直和に分解される。

証明. 被積分関数はコンパクト空間上で連続であるから可積分であり、積分は半双線形性と共役対称性を保つ。v≠0v\ne0ならば、∥π(e)v∥02=∥v∥02>0\|\pi(e)v\|_0^2=\|v\|_0^2>0と連続性により、ある単位元の開近傍UU上で∥π(x)v∥02>∥v∥02/2\|\pi(x)v\|_0^2>\|v\|_0^2/2となる。§E14.4 命題 1.3によりμ(U)>0\mu(U)>0なので、⟨v,v⟩G>0\langle v,v\rangle_G>0である。

a∈Ga\in Gに対して、§E14.4 系 4.4による右不変性を用いると

⟨π(a)v,π(a)w⟩G=∫G⟨π(xa)v,π(xa)w⟩0 dμ(x)=⟨v,w⟩G\langle\pi(a)v,\pi(a)w\rangle_G =\int_G\langle\pi(xa)v,\pi(xa)w\rangle_0\,d\mu(x) =\langle v,w\rangle_G

である。有限次元の内積ノルムは同値なので、π\piは新しい内積についても連続である。

V≠{0}V\ne\{0\}のとき、正の次元が最小の不変部分空間WWを取るとWWは既約である。§E14.8 命題 4.2によりW⊥W^\perpも不変である。次元について帰納すると、V=W⊕W⊥V=W\oplus W^\perpから既約不変部分空間の直交直和分解を得る。V={0}V=\{0\}の場合は空の直和である。▨

定義 1.2.GGを Hausdorff なコンパクト群、π ⁣:G→U⁡(V)\pi\colon G\to \Uni(V)を有限次元複素 Hilbert 空間上のユニタリ表現とする。v,w∈Vv,w\in Vに対する連続関数

cv,wπ(x)=⟨π(x)v,w⟩(x∈G)c^\pi_{v,w}(x)=\langle\pi(x)v,w\rangle \qquad(x\in G)

をπ\piの 行列要素 (matrix coefficient) という。有限次元ユニタリ表現の行列要素全体が張る複素線形空間をR(G)⊆C(G)\mathcal R(G)\subseteq C(G)と書く。

命題 1.3.GGを Hausdorff なコンパクト群とする。このとき、次の主張が成り立つ。

  1. GGの有限次元ユニタリ表現は、有限個の既約ユニタリ表現の直交直和である。したがってR(G)\mathcal R(G)は、有限次元既約ユニタリ表現の行列要素全体が張る空間でもある。
  2. R(G)\mathcal R(G)は定数関数を含むC(G)C(G)の部分代数であり、複素共役について閉じている。
  3. 任意のp∈R(G)p\in\mathcal R(G)に対して、{Lap:a∈G}\{L_ap:a\in G\}が張る空間は有限次元である。ただし(Lap)(x)=p(a−1x)(L_ap)(x)=p(a^{-1}x)とする。

証明.主張 (1)を示す。ユニタリ表現の内積を Haar 平均しても内積は変わらない。したがって、命題 1.1により既約不変部分空間への直交直和分解を得る。V=⨁r=1mVrV=\bigoplus_{r=1}^m V_rとし、v=∑rvrv=\sum_r v_r、w=∑rwrw=\sum_r w_rと書くと、

cv,wπ(x)=∑r=1m⟨π∣Vr(x)vr,wr⟩c^\pi_{v,w}(x)=\sum_{r=1}^m \langle\pi|_{V_r}(x)v_r,w_r\rangle

であるから、行列要素の線形包も一致する。

主張 (2)を示す。自明な一次元表現の行列要素は定数関数である。§E14.8 命題 3.3により

cv,wπ(x)cu,zσ(x)=cv⊗u,w⊗zπ⊗σ(x)c^\pi_{v,w}(x)c^\sigma_{u,z}(x) =c^{\pi\otimes\sigma}_{v\otimes u,w\otimes z}(x)

は有限次元ユニタリ表現の行列要素である。正規直交基底についてπ(x)\pi(x)の各成分を複素共役にした行列π(x)‾\overline{\pi(x)}は連続なユニタリ表現を定める。その行列要素はπ\piの行列要素の複素共役を含むので、R(G)\mathcal R(G)は複素共役について閉じている。

主張 (3)を示す。ユニタリ性により

Lacv,wπ(x)=⟨π(x)v,π(a)w⟩L_ac^\pi_{v,w}(x) =\langle\pi(x)v,\pi(a)w\rangle

である。wwをVVの正規直交基底で展開すると、左移動の全体はdim⁡V\dim V個以下の行列要素が張る空間に含まれる。ppは有限個の行列要素の線形結合であるから、ppの左移動全体も有限次元空間に含まれる。▨

2 畳み込み作用素と有限次元不変部分空間

命題 2.1.GGを Hausdorff なコンパクト群、dxdxを全測度が11の Haar 測度とし、f∈C(G)f\in C(G)とする。このとき、各ξ∈L2(G)\xi\in L^2(G)に対して、λ(f)ξ\lambda(f)\xiとρ(f)ξ\rho(f)\xiは、それぞれ次の連続な代表元をもつ。

(λ(f)ξ)(x)=∫Gf(xy−1)ξ(y) dy,(ρ(f)ξ)(x)=∫Gf(x−1y)ξ(y) dy\begin{aligned} (\lambda(f)\xi)(x)&=\int_G f(xy^{-1})\xi(y)\,dy,\\ (\rho(f)\xi)(x)&=\int_G f(x^{-1}y)\xi(y)\,dy \end{aligned}

また、λ(f)\lambda(f)とρ(f)\rho(f)はL2(G)L^2(G)からC(G)C(G)への有界作用素である。

  1. λ(f)\lambda(f)とρ(f)\rho(f)はコンパクト作用素である。
  2. f=f∗f=f^*、すなわちf(x)=f(x−1)‾f(x)=\overline{f(x^{-1})}がすべてのx∈Gx\in Gについて成り立つならば、両作用素は自己共役である。それぞれの零でない固有値に対する固有空間は有限次元である。λ(f)\lambda(f)の固有空間は右正則表現で不変であり、ρ(f)\rho(f)の固有空間は左正則表現で不変である。零でない固有値に対する固有空間の元は、連続関数の代表元をもつ。

証明. 連続核Kλ(x,y)=f(xy−1)K_\lambda(x,y)=f(xy^{-1})とKρ(x,y)=f(x−1y)K_\rho(x,y)=f(x^{-1}y)に§E12.2 定理 3.1を適用すると、二つの核はL2(G)L^2(G)からC(G)C(G)への有界作用素を定め、L2(G)L^2(G)の同値類への写像との合成はコンパクトである。

ξ∈C(G)\xi\in C(G)とする。§E14.4 系 4.4により、正規化された Haar 測度は右不変かつ反転不変である。§E14.10 定理 3.1の積分形において、左正則表現ではy=a−1xy=a^{-1}x、右正則表現ではy=xay=xaと変数変換すると

∫Gf(a)ξ(a−1x) da=∫Gf(xy−1)ξ(y) dy,∫Gf(a)ξ(xa) da=∫Gf(x−1y)ξ(y) dy\int_Gf(a)\xi(a^{-1}x)\,da=\int_Gf(xy^{-1})\xi(y)\,dy,\qquad \int_Gf(a)\xi(xa)\,da=\int_Gf(x^{-1}y)\xi(y)\,dy

を得る。各左辺の被積分関数を、aaのC(G)C(G)値関数とみなす。(a,x)(a,x)についての連続性とGGのコンパクト性から、この関数は一様ノルムについて連続である。その像はコンパクトな距離空間なので、有限値可測単関数で一様近似することができる。ノルムも有界であるから、§E10.18 定理 2.4によりC(G)C(G)値で Bochner 可積分である。評価写像とC(G)→L2(G)C(G)\to L^2(G)の同値類への写像はいずれも有界線形なので、§E10.18 命題 5.2によって積分と交換する。したがって、表示した点ごとの積分の同値類は正則表現の積分形に一致する。

§E10.35 補題 4.1によりC(G)C(G)の類はL2(G)L^2(G)で稠密である。核による作用素と積分形はいずれもL2L^2ノルムについて有界なので、両者の一致はL2(G)L^2(G)全体へ延長される。

主張 (2)を示す。§E14.10 定理 1.2によりλ(f)∗=λ(f∗)\lambda(f)^*=\lambda(f^*)、ρ(f)∗=ρ(f∗)\rho(f)^*=\rho(f^*)である。したがってf=f∗f=f^*ならば両作用素は自己共役であり、§E12.6 定理 4.1 (1)により零でない固有値に対する固有空間は有限次元である。§E14.10 定理 3.1の可換性を積分すると

ρ(a)λ(f)=λ(f)ρ(a),λ(a)ρ(f)=ρ(f)λ(a)\rho(a)\lambda(f)=\lambda(f)\rho(a),\qquad \lambda(a)\rho(f)=\rho(f)\lambda(a)

を得るから、それぞれの固有空間は対応する正則表現で不変である。固有値α≠0\alpha\ne0に属するξ\xiはξ=α−1λ(f)ξ\xi=\alpha^{-1}\lambda(f)\xiまたはξ=α−1ρ(f)ξ\xi=\alpha^{-1}\rho(f)\xiと表されるため、連続な代表元をもつ。▨

補題 2.2.GGを Hausdorff なコンパクト群とし、L2(G)L^2(G)を正規化された Haar 測度について定める。このとき、左正則表現で不変な有限次元部分空間E⊆L2(G)E\subseteq L^2(G)の各元が連続な代表元をもつならば、その代表元はR(G)\mathcal R(G)に属する。

証明. 連続関数がL2(G)L^2(G)で零ならば、その関数は恒等的に零である。実際、ある点で絶対値が正ならば、連続性により絶対値が正の定数以上となる非空な開集合が存在する。§E14.4 命題 1.3により、その関数のL2L^2ノルムは正となり、零であることに反する。したがって各元の連続な代表元は一意であり、EEをC(G)C(G)の部分空間とみなすことができる。

τ=λ∣E\tau=\lambda|_Eとおく。EEは有限次元であるから、評価汎関数u↦u(e)u\mapsto u(e)は有界である。正規直交基底について評価汎関数を展開すると、u(e)=⟨u,w⟩u(e)=\langle u,w\rangleを満たすw∈Ew\in Eが存在する。よって各u∈Eu\in Eとx∈Gx\in Gについて

u(x)=(τ(x−1)u)(e)=⟨τ(x−1)u,w⟩=⟨τ(x)w,u⟩‾u(x)=(\tau(x^{-1})u)(e) =\langle\tau(x^{-1})u,w\rangle =\overline{\langle\tau(x)w,u\rangle}

である。τ\tauは有限次元ユニタリ表現であり、命題 1.3 (2)により右辺はR(G)\mathcal R(G)に属する。▨

3 行列要素の稠密性と点分離性

定理 3.1 (Peter–Weyl の定理).GGを Hausdorff なコンパクト群とし、Haar 測度を全測度が11となるように正規化する。このとき、次の主張が成り立つ。

  1. R(G)\mathcal R(G)はL2(G)L^2(G)で稠密である。
  2. 相異なるa,b∈Ga,b\in Gに対して、π(a)≠π(b)\pi(a)\ne\pi(b)を満たす有限次元既約ユニタリ表現π\piが存在する。
  3. R(G)\mathcal R(G)は一様ノルムについてC(G)C(G)で稠密である。

証明.主張 (1)を示す。h∈L2(G)h\in L^2(G)がR(G)\mathcal R(G)に直交するとする。任意のf=f∗∈C(G)f=f^*\in C(G)に対して、命題 2.1 (2)によるρ(f)\rho(f)の非零固有値に対する固有空間は、補題 2.2によってR(G)\mathcal R(G)に含まれる。したがってhhはこれらの固有空間すべてに直交する。§E12.6 定理 4.1 (2)によりh∈ker⁡ρ(f)h\in\ker\rho(f)である。

単位元の対称な開近傍U=U−1U=U^{-1}ごとに、§E14.7 定理 4.3の非負関数uUu_Uを取り、

fU=uU+uU∗2f_U=\frac{u_U+u_U^*}{2}

とおく。§E14.5 定理 3.1の反転公式とΔ=1\Delta=1により、fU≥0f_U\geq0、∫GfU=1\int_Gf_U=1、supp⁡fU⊆U\supp f_U\subseteq U、fU=fU∗f_U=f_U^*である。右正則表現の強連続性と積分形のノルム評価から

∥ρ(fU)h−h∥2≤sup⁡a∈U∥ρ(a)h−h∥2⟶0\|\rho(f_U)h-h\|_2 \leq\sup_{a\in U}\|\rho(a)h-h\|_2 \longrightarrow0

である。一方、各UUについてρ(fU)h=0\rho(f_U)h=0であるから、h=0h=0となる。したがってR(G)⊥={0}\mathcal R(G)^\perp=\{0\}であり、稠密性を得る。

主張 (2)を示す。すべての有限次元既約ユニタリ表現π\piについてπ(a)=π(b)\pi(a)=\pi(b)と仮定する。命題 1.3 (1)により、この等式はすべての有限次元ユニタリ表現についても成り立つ。行列要素に対する式

λ(a)cv,wπ(x)=⟨π(x)v,π(a)w⟩\lambda(a)c^\pi_{v,w}(x) =\langle\pi(x)v,\pi(a)w\rangle

により、λ(a)\lambda(a)とλ(b)\lambda(b)はR(G)\mathcal R(G)上で一致する。主張 (1)と両作用素の有界性からL2(G)L^2(G)上でも一致する。§E14.10 定理 3.3の単射性によりa=ba=bとなる。したがって、a≠ba\ne bならば所要の既約表現が存在する。

主張 (3)を示す。主張 (2)により、相異なる二点ではある有限次元表現の行列の成分が異なるので、R(G)\mathcal R(G)は点を分離する。命題 1.3 (2)と§E2.32 系 3.5を適用すると一様稠密性を得る。▨

4 Schur の直交関係

定理 4.1 (Schur の直交関係).GGを Hausdorff なコンパクト群、dxdxを正規化された Haar 測度とする。有限次元既約ユニタリ表現のユニタリ同値類から代表を一つずつ取り、その集合をG^fin\widehat G_{\mathrm{fin}}とする。各π∈G^fin\pi\in\widehat G_{\mathrm{fin}}の表現空間に正規直交基底e1π,…,edππe^\pi_1,\ldots,e^\pi_{d_\pi}を選び、

πij(x)=⟨π(x)ejπ,eiπ⟩\pi_{ij}(x)=\langle\pi(x)e^\pi_j,e^\pi_i\rangle

とおく。このとき

∫Gπij(x)σkl(x)‾ dx={dπ−1δikδjl,π=σ,0,π≠σ\int_G\pi_{ij}(x)\overline{\sigma_{kl}(x)}\,dx = \begin{cases} d_\pi^{-1}\delta_{ik}\delta_{jl},&\pi=\sigma,\\ 0,&\pi\ne\sigma \end{cases}

である。また

{dπ πij:π∈G^fin, 1≤i,j≤dπ}\{\sqrt{d_\pi}\,\pi_{ij}: \pi\in\widehat G_{\mathrm{fin}},\ 1\leq i,j\leq d_\pi\}

はL2(G)L^2(G)の正規直交基底である。

証明.A ⁣:Vσ→VπA\colon V_\sigma\to V_\piを線形写像とし、有限次元の作用素空間で成分ごとに積分して

TA=∫Gπ(x)Aσ(x)∗ dxT_A=\int_G\pi(x)A\sigma(x)^*\,dx

とおく。左不変性からπ(a)TAσ(a)∗=TA\pi(a)T_A\sigma(a)^*=T_Aである。したがって、TAT_Aは同変作用素である。π≠σ\pi\ne\sigmaのとき、零でない同変作用素TTがあれば、その核と像の不変性および既約性からTTは同型となる。さらに§E14.8 定理 4.6によりT∗T=cIT^*T=cIであり、c>0c>0であるからc−1/2Tc^{-1/2}Tはユニタリな同変作用素となる。これは代表の選び方に反する。したがってπ≠σ\pi\ne\sigmaならばTA=0T_A=0である。

π=σ\pi=\sigmaのとき、§E14.8 定理 4.6によりTA=cIT_A=cIである。トレースと有限次元積分を交換すると

dπc=∫Gtr⁡(π(x)Aπ(x)∗) dx=tr⁡Ad_\pi c =\int_G\operatorname{tr}\bigl(\pi(x)A\pi(x)^*\bigr)\,dx =\operatorname{tr}A

である。ゆえにTA=dπ−1(tr⁡A)IT_A=d_\pi^{-1}(\operatorname{tr}A)Iとなる。

Az=⟨z,elσ⟩ejπA z=\langle z,e^\sigma_l\rangle e^\pi_jと取ると、

⟨TAekσ,eiπ⟩=∫Gπij(x)σkl(x)‾ dx\langle T_A e^\sigma_k,e^\pi_i\rangle =\int_G\pi_{ij}(x)\overline{\sigma_{kl}(x)}\,dx

である。π=σ\pi=\sigmaの場合にはtr⁡A=δjl\operatorname{tr}A=\delta_{jl}なので、直交関係を得る。したがって、正規化した行列要素は正規直交系であり、その線形包は命題 1.3 (1)によりR(G)\mathcal R(G)に一致する。定理 3.1 (1)により、この正規直交系は完全である。▨

例 4.2.S3S_3に離散位相と正規化された数え上げ測度を入れる。r=(123)r=(123)、s=(23)s=(23)とし、

R=(−1/2−3/23/2−1/2),S=(100−1)R=\begin{pmatrix}-1/2&-\sqrt3/2\\ \sqrt3/2&-1/2\end{pmatrix},\qquad S=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

とおく。R3=S2=IR^3=S^2=I、SRS=R−1SRS=R^{-1}であるから、π(rksε)=RkSε\pi(r^ks^\varepsilon)=R^kS^\varepsilon（0≤k≤20\leq k\leq2、ε∈{0,1}\varepsilon\in\{0,1\}）はS3S_3のC2\C^2上のユニタリ表現を定める。このとき、RRの二つの固有直線C(1,i)\C(1,i)、C(1,−i)\C(1,-i)はSSによって交換される。したがって共通の不変直線は存在せず、π\piは既約である。

ck=cos⁡(2πk/3)c_k=\cos(2\pi k/3)、sk=sin⁡(2πk/3)s_k=\sin(2\pi k/3)とすると、標準正規直交基底について

π(rk)=(ck−skskck),π(rks)=(cksksk−ck)\pi(r^k)=\begin{pmatrix}c_k&-s_k\\s_k&c_k\end{pmatrix},\qquad \pi(r^ks)=\begin{pmatrix}c_k&s_k\\s_k&-c_k\end{pmatrix}

である。三つの値は

(c0,c1,c2)=(1,−1/2,−1/2),(s0,s1,s2)=(0,3/2,−3/2)(c_0,c_1,c_2)=(1,-1/2,-1/2),\qquad (s_0,s_1,s_2)=(0,\sqrt3/2,-\sqrt3/2)

なので、∑kck2=∑ksk2=3/2\sum_k c_k^2=\sum_k s_k^2=3/2、∑kcksk=0\sum_k c_ks_k=0である。L2(S3)L^2(S_3)の内積を六つの元について計算すると、

∥π11∥22=∥π22∥22=26∑k=02ck2=12,∥π12∥22=∥π21∥22=26∑k=02sk2=12\|\pi_{11}\|_2^2=\|\pi_{22}\|_2^2 =\frac{2}{6}\sum_{k=0}^2c_k^2=\frac12,\qquad \|\pi_{12}\|_2^2=\|\pi_{21}\|_2^2 =\frac{2}{6}\sum_{k=0}^2s_k^2=\frac12

となる。相異なる二つの行列要素の内積は

6⟨π11,π12⟩=∑k(−cksk+cksk)=0,6⟨π11,π21⟩=2∑kcksk=0,6⟨π11,π22⟩=∑k(ck2−ck2)=0,6⟨π12,π21⟩=∑k(−sk2+sk2)=0,6⟨π12,π22⟩=−2∑kcksk=0,6⟨π21,π22⟩=∑k(skck−skck)=0\begin{aligned} 6\langle\pi_{11},\pi_{12}\rangle&=\sum_k(-c_ks_k+c_ks_k)=0,& 6\langle\pi_{11},\pi_{21}\rangle&=2\sum_k c_ks_k=0,\\ 6\langle\pi_{11},\pi_{22}\rangle&=\sum_k(c_k^2-c_k^2)=0,& 6\langle\pi_{12},\pi_{21}\rangle&=\sum_k(-s_k^2+s_k^2)=0,\\ 6\langle\pi_{12},\pi_{22}\rangle&=-2\sum_k c_ks_k=0,& 6\langle\pi_{21},\pi_{22}\rangle&=\sum_k(s_kc_k-s_kc_k)=0 \end{aligned}

である。したがって、四つの行列要素を2\sqrt2倍した関数は正規直交系である。正規化された数え上げ測度の下では、正規化の係数は∣S3∣\sqrt{|S_3|}ではなく、表現の次元の平方根である。

5 任意のユニタリ表現の分解

補題 5.1.GGを Hausdorff なコンパクト群、H≠{0}H\ne\{0\}を複素 Hilbert 空間とする。このとき、任意のユニタリ表現π ⁣:G→U⁡(H)\pi\colon G\to \Uni(H)は、零でない有限次元既約部分表現をもつ。

証明.v∈H∖{0}v\in H\setminus\{0\}を取る。§E14.7 定理 4.3の非負関数uU∈C(G)u_U\in C(G)について、強連続性と§E14.10 定理 1.2から

∥π(uU)v−v∥≤sup⁡x∈U∥π(x)v−v∥⟶0\|\pi(u_U)v-v\| \leq\sup_{x\in U}\|\pi(x)v-v\|\longrightarrow0

である。したがって、π(u)v≠0\pi(u)v\ne0を満たすu∈C(G)u\in C(G)が存在する。定理 3.1 (3)によりp∈R(G)p\in\mathcal R(G)を

∥u−p∥∞∥v∥<∥π(u)v∥\|u-p\|_\infty\|v\|<\|\pi(u)v\|

となるように取ると、∥π(u−p)v∥≤∥u−p∥1∥v∥≤∥u−p∥∞∥v∥\|\pi(u-p)v\|\leq\|u-p\|_1\|v\|\leq\|u-p\|_\infty\|v\|からπ(p)v≠0\pi(p)v\ne0である。

F=span⁡{Lap:a∈G}F=\operatorname{span}\{L_ap:a\in G\}とおく。命題 1.3 (3)によりFFは有限次元である。§E14.10 定理 1.2のπ(a)π(q)=π(Laq)\pi(a)\pi(q)=\pi(L_aq)により

E={π(q)v:q∈F}E=\{\pi(q)v:q\in F\}

は有限次元不変部分空間であり、π(p)v\pi(p)vを含むので零でない。命題 1.3 (1)をEE上の部分表現に適用すると、零でない既約部分表現を得る。▨

定理 5.2.GGを Hausdorff なコンパクト群、HHを任意の複素 Hilbert 空間とし、π ⁣:G→U⁡(H)\pi\colon G\to \Uni(H)をユニタリ表現とする。このとき、互いに直交する有限次元不変部分空間の族(Hα)α∈I(H_\alpha)_{\alpha\in I}が存在し、各π∣Hα\pi|_{H_\alpha}は既約であり、

H=⨁^α∈IHα,π=⨁α∈Iπ∣HαH=\widehat{\bigoplus}_{\alpha\in I}H_\alpha,\qquad \pi=\bigoplus_{\alpha\in I}\pi|_{H_\alpha}

となる。記号⨁^\widehat\bigoplusは代数的直交直和の Hilbert 空間としての完備化を表し、添字集合IIは任意の濃度をもってよい。特に、GGの既約ユニタリ表現は有限次元である。

証明.HHの零でない有限次元既約不変部分空間からなる互いに直交する族全体を、包含で順序づける。鎖の和集合も互いに直交する族であるから、Zorn の補題により極大な族(Hα)α∈I(H_\alpha)_{\alpha\in I}が存在する。代数的直交直和の閉包をMMとおく。MMは閉不変部分空間であり、§E14.8 命題 4.2によりM⊥M^\perpも不変である。

M⊥≠{0}M^\perp\ne\{0\}と仮定すると、補題 5.1によりM⊥M^\perp内に零でない有限次元既約不変部分空間EEが存在する。EEはすべてのHαH_\alphaと直交するので、元の族へEEを加えた族は真に大きい。これは極大性に反する。したがってM⊥={0}M^\perp=\{0\}であり、M=HM=Hとなる。

有限個の成分の和をHHの中の和へ送る写像は内積を保ち、その像はM=HM=Hに稠密である。したがって、この写像は Hilbert 直和からHHへのユニタリ同型へ延長される。有限和上で各π(x)\pi(x)と可換であり、連続性によって全空間でも可換であるから、表現の直和分解を得る。π\piが既約ならば、補題 5.1の非零有限次元不変部分空間がHH全体に一致する。▨

系 5.3.GGを Hausdorff なコンパクト可換群とする。このとき、連続な指標χ ⁣:G→{z∈C:∣z∣=1}\chi\colon G\to\{z\in\C:|z|=1\}の全体は、正規化された Haar 測度に関するL2(G)L^2(G)の正規直交基底である。また、任意のユニタリ表現は指標の直和に分解される。

証明.§E14.8 系 4.9により、既約ユニタリ表現は一次元であり、連続な指標で与えられる。正規直交基底の主張は定理 4.1に、直和分解の主張は定理 5.2に、この特徴づけを適用して得る。▨

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