§E14.6商空間上の不変測度

証明.§E14.2 定理 3.1により$H$と$X$は局所コンパクト Hausdorff 空間であり、§E14.4 定理 3.1により$dh$が存在する。$k\in H$に対して、左不変性から

であるから、$Tf$は代表元に依存しない。

$A=\supp f$とおき、$x_0\in G$のコンパクト近傍$B$を取る。$x\in B$のとき、$f(xh)\ne0$となる$h$はコンパクト集合$M=B^{-1}A\cap H$に属する。写像$(x,h)\mapsto f(xh)$の連続性と$M$の有限被覆により、$x\to x_0$のとき

したがって$Tf\circ q$は連続であり、商位相の定義から$Tf$も連続である。$\supp Tf\subseteq q(A)$であるから$Tf$はコンパクトな台をもつ。積分の線形性と正値性から$T$は正線形写像である。

$F\geq0$とし、$C=\supp F$とおく。各$z\in C$に対して$q(x)=z$となる$x\in G$を選び、§E10.32 補題 1.2により$\psi_z(x)>0$となる非負関数$\psi_z\in C_c(G,\R)$を取る。関数$h\mapsto\psi_z(xh)$は単位元の近傍で正であり、§E14.4 命題 1.3により$T\psi_z(z)>0$である。$C$のコンパクト性から有限個の$\psi_z$の和$\psi$を取り、$T\psi>0$が$C$上で成り立つようにする。$C=\varnothing$ならば$f=0$としてよい。$C\ne\varnothing$のとき

とおく。$C$は開集合$\{T\psi>0\}$に含まれる閉集合なので、その開集合の境界の近傍では$F=0$である。したがって零による延長は連続であり、$f\geq0$、$\supp f\subseteq\supp\psi$、$Tf=F$となる。

任意の実関数は正負部分の差であり、複素関数は実部と虚部からなるから、非負関数についての結論は$T$の全射性を与える。$F(q(xh))=F(qx)$を積分の外へ出すと、主張 (3)を得る。▨

証明.§E14.2 命題 1.2により対称なコンパクト単位元近傍$K$を取り、$L=\bigcup_{n\in\NN}K^n$とおく。§E14.2 命題 2.1により$L$は σ-コンパクトな開部分群である。$X$における$L$の軌道は$O=q(Lx)$の形をもち、§E14.1 系 4.3により開集合である。異なる軌道は交わらず、その合併は$X$なので、各軌道は閉集合でもある。

各軌道$O=q(Lx)$において$C_n=q(K^nx)$とおく。$K^n\subseteq K^n\tpint{K}\subseteq\tpint{K^{n+1}}$と$q$の開性から

である。各$C_n$はコンパクトなので、§E10.32 補題 1.2により

を満たす$\chi_n\in C_c(O,\R)$を取る。

とおく。各点はある$\tpint[O]{C_m}$に属する。その近傍では$\chi_m=1$なので、$n>m$ならば$\eta_n=0$である。ゆえに$(\eta_n)$は局所有限である。また

により、$O$上で$\sum_n\eta_n=1$である。各$\eta_n$を開閉集合$O$の外で零とし、全軌道の関数族を合わせると、非負のコンパクト台関数の局所有限族$(\eta_i)_{i\in I}$で$\sum_i\eta_i=1$を満たすものを得る。

命題 1.1により、$\phi_i\geq0$、$T\phi_i=\eta_i$を満たす$\phi_i\in C_c(G,\R)$を取る。$\phi_i(y)>0$ならば、$h\mapsto\phi_i(yh)$は単位元の近傍で正である。§E14.4 命題 1.3により$\eta_i(qy)>0$であり、連続性から

を得る。したがって$\theta=\sum_i\phi_i$は局所有限和であり、連続である。各剰余類上では有限個の項しか寄与しないので、$\int_H\theta(xh)\,dh=\sum_i\eta_i(qx)=1$である。

コンパクト集合$C\subseteq X$は有限個の$\supp\eta_i$としか交わらない。実際、各点の近傍で寄与する添字は有限個であり、$C$の有限部分被覆を取ればよい。局所有限族の台の和集合は閉集合であるから、$\supp\theta$は$\bigcup_i\supp\phi_i$に含まれる。ゆえに$\supp\theta\cap q^{-1}(C)$は有限個の$\supp\phi_i$の和集合の閉部分集合であり、コンパクトである。▨

証明.$H$の左 Haar 測度$dh$を固定し、補題 2.1の関数$\theta$を取る。

とおく。$B\subseteq G$をコンパクト近傍とすると、$S=\supp\theta\cap q^{-1}(q(B))$はコンパクトである。$x\in B$、$\theta(xh)\ne0$ならば$h\in B^{-1}S\cap H$であるから、積分に寄与する$h$は共通のコンパクト集合に属する。§E14.5 定理 1.2により密度は連続かつ正であり、コンパクト集合上の有限被覆による一様な評価から$\rho$は有限かつ連続である。$\int_H\theta(xh)\,dh=1$なので$\rho(x)>0$でもある。

$k\in H$に対して$h=k^{-1}u$と置換し、左不変性とモジュラー関数の準同型性を用いると

したがって$\rho$はρ関数である。▨

証明.補題 2.1の関数$\theta$を取り、$F\in C_c(X,\R)$に対して

とおく。被積分関数の台はコンパクト集合$\supp\theta\cap q^{-1}(\supp F)$に含まれる。したがって$J$は正線形汎関数であり、§E10.33 定理 2.1により Radon 測度$\nu_\rho$を一意に定める。

$f\in C_c(G,\C)$とし、$A=\supp f$、$S=\supp\theta\cap q^{-1}(q(A))$とおく。核

の台はコンパクト集合$S\times(S^{-1}A\cap H)$に含まれる。§E10.36 補題 1.1を実部と虚部へ適用し、$y=xh$と置換する。§E14.5 定理 1.2による右移動の係数とρ関数の等式から

最後の核の台も$A\times(S^{-1}A\cap H)$に含まれるので、再び積分順序を交換することができる。§E14.5 定理 2.1を$H$に適用すると

ゆえに$J(Tf)=\int_Gf\rho\,d\mu$である。命題 1.1の全射性により、この公式を満たす Radon 測度は一意である。非負非零の$f\in C_c(G,\R)$を取ると、$\rho>0$と§E14.4 命題 1.3により$\int_Gf\rho\,d\mu>0$である。したがって$\nu_\rho\ne0$である。

ρ関数の変換則により$\rho(axh)/\rho(xh)=\rho(ax)/\rho(x)$なので、$r_a$は剰余類上の関数を定める。商位相により$r_a$は連続である。$f_a(x)=f(a^{-1}x)$とおくと$Tf_a(z)=Tf(a^{-1}z)$であり、左不変性から

最後の等式では、積$x\mapsto r_a(qx)f(x)$に積分公式を適用した。

同相写像による測度の像は Radon 測度である。また、$r_a$は連続かつ正であるから、§E10.32 補題 3.2により$r_a\nu_\rho$は Radon 測度である。したがって$E\mapsto\nu_\rho(aE)$と$r_a\nu_\rho$は、$T$の全射性と§E10.33 定理 2.1の一意性から一致する。$r_a>0$なので、任意の Borel 集合$E\subseteq X$について、$\nu_\rho(aE)=0$と$\nu_\rho(E)=0$は同値である。▨

証明. 存在と一意性は正線形汎関数$f\mapsto\int Tf\,d\nu$に対する§E10.33 定理 2.1による。$\nu\ne0$ならば、内正則性と§E10.32 補題 1.2により$\int F\,d\nu>0$となる$F\in C_c(G/H,\R)$、$F\geq0$が存在する。命題 1.1により$F=Tf$とすることができるので$\nu^\#\ne0$である。

$\nu_2\ll\nu_1$を仮定し、$\nu_1^\#(A)=0$を満たすコンパクト集合$A\subseteq G$を取る。$A$を含む相対コンパクトな開集合$V$を固定する。§E10.32 命題 3.3により$A\subseteq U_n\subseteq V$、$\nu_1^\#(U_n)<1/n$を満たす開集合$U_n$を取り、§E10.32 補題 1.2により$A$上で1となり$U_n$に台をもつ$0\leq g_n\leq1$を取る。$f_n=\min(g_1,\ldots,g_n)$とおけば

$v_n=Tf_n$は非負の減少列であり、$0\leq v_n\leq v_1\in C_c(G/H,\R)$である。$v=\lim_n v_n$とおくと、§E10.11 定理 3.1により$\int v\,d\nu_1=0$である。絶対連続性から$v=0$が$\nu_2$ほとんど至る所で成り立つ。$v_1$は$\nu_2$に関しても可積分なので、同じ定理により

内正則性から$\nu_2^\#\ll\nu_1^\#$となる。

$q:G\to G/H$を商写像とする。任意の非負関数$f\in C_c(G,\R)$に対して

が成り立つ。実際、$f\nu^\#$はコンパクトな台をもつ有限 Radon 測度である。その押出しは有限であり、逆像内のコンパクト集合を$q$で送ればコンパクト内正則性も従う。右辺も有限 Radon 測度である。$F\in C_c(G/H,\R)$に対して

であるから、Radon 測度の表現の一意性により式 (4.1.1)を得る。

$\nu_2^\#\ll\nu_1^\#$を仮定すると、非負密度を掛ける操作と押出しは絶対連続性を保つので

となる。コンパクト集合$C\subseteq G/H$に対して、切断関数と$T$の正全射性により$Tf=1$が$C$上で成り立つ$f\geq0$を取る。$\nu_1(C)=0$ならば上の絶対連続性から$\nu_2(C)=0$である。内正則性により$\nu_2\ll\nu_1$を得る。

最後に$T(f\circ L_a)=(Tf)\circ L_a$を持上げの積分公式へ代入すれば、$(L_a)_*(\nu^\#)$と$((L_a)_*\nu)^\#$の$C_c(G)$積分は一致する。表現の一意性から両測度は等しい。▨

証明. 十分性を示す。$\Delta_G|_H=\Delta_H$ならば$\rho=1$はρ関数である。定理 3.2により積分公式を満たす非零の Radon 測度が存在し、その移動密度は$1$であるから$G$不変である。

必要性を示す。$\nu$を非零の$G$不変 Radon 測度とし、補題 4.1による持上げを$\eta=\nu^\#$とする。同補題により$\eta$は非零であり、左移動と持上げが可換なので左不変でもある。§E14.4 定理 3.3により$\eta=c\mu$となる$c>0$が存在する。

$h\in H$に対して$R_h(x)=xh$とおく。§E14.5 定理 1.2を$H$に適用すると

一方、$\eta=c\mu$に同じ公式を適用すると

$\int_G f\,d\eta>0$となる$f\geq0$を代入して比較すれば$\Delta_H(h)=\Delta_G(h)$となる。

任意の非零不変測度の持上げは左 Haar 測度であるから、二つの持上げは正定数倍である。$T$の全射性と Radon 測度の表現の一意性により、商測度自身も同じ定数倍である。$c^{-1}\nu$の持上げは$\mu$なので、所要の正規化を得る。▨

証明.§E14.5 命題 4.3により$\Delta_H=1$である。$\Delta_G(H)$は乗法群$\R_{>0}$のコンパクト部分群である。$t\ne1$がこの部分群に属すれば、$t$または$t^{-1}$の正整数乗が上に有界でなくなるので、コンパクト性に反する。したがって$\Delta_G|_H=1$であり、定理 5.1を適用することができる。▨

証明.

コンパクト集合$A\subseteq G$と非負関数$f\in C_c(G,\R)$を取り、$K=\supp f$とおく。関数

は有界非負上半連続であり、その台は$K\times K^{-1}A$に含まれる。主張 6.1.1により

$\eta(A)=0$と仮定する。準不変性により、この等式の左辺は0である。$\eta$の非零性と内正則性から$\eta(B)>0$となるコンパクト集合$B$を取り、$AB^{-1}$上で1となる非負関数$f\in C_c(G,\R)$を取る。$y\in B$ならば、右辺の内積分は$\mu(Ay^{-1})$に等しい。もし$\mu(A)>0$ならば、§E14.5 定理 1.2により$\mu(Ay^{-1})=\Delta_G(y)^{-1}\mu(A)>0$が$B$の全点で成り立つ。したがって右辺は正となるが、左辺は0である。ゆえに$\mu(A)=0$である。

逆に$\mu(A)=0$と仮定する。§E14.5 定理 1.2により、式 (6.1.1)の右辺の内積分はすべての$y$で0である。非負非零の$f\in C_c(G,\R)$を取る。もし$\eta(A)>0$ならば、準不変性により$\eta(x^{-1}A)>0$がすべての$x$で成り立つ。集合$\{f>0\}$は非空開集合であり、§E14.4 命題 1.3により正の Haar 測度をもつ。したがって左辺は正となるが、右辺は0である。ゆえに$\eta(A)=0$である。

コンパクト集合について零性が一致した。両測度はすべての Borel 集合でコンパクト内正則であるから、Borel 零集合も一致する。▨

証明.主張 (1)を示す。$\nu$を非零の準不変 Radon 測度とする。補題 4.1により$\nu^\#$は非零であり、$(L_a)_*\nu$と$\nu$の同値性は$(L_a)_*\nu^\#$と$\nu^\#$の同値性を与える。したがって$\nu^\#$は$G$上で左準不変である。補題 6.1により$\nu^\#$は左 Haar 測度と同値である。二つの非零準不変測度$\nu_1,\nu_2$の持上げは同値なので、補題 4.1の反映性により$\nu_1,\nu_2$も同値である。

主張 (2)を示す。Borel 零集合が一致すれば、Borel 集合と Borel 零集合の部分集合からなる完備化の可測集合族も一致し、その零集合も一致する。$X=G/H$は局所コンパクト Hausdorff 空間なので、§E10.35 補題 3.1を$X$上の Radon 測度$\alpha$に適用すると

を得る。したがって、完備化の可測集合族の一致は、局所化の可測集合族の一致を与える。同じ補題の零性の判定によって、完備化の零集合の一致から局所化の零集合の一致も従う。

主張 (3)を示す。二つのρ関数の比は$H$による右移動で不変なので、$s$は正の連続関数を定める。任意の$f\in C_c(G,\C)$に対して

命題 1.1の全射性と Radon 測度の表現の一意性から$\nu_{\rho_2}=s\nu_{\rho_1}$である。▨

証明.$1\leq w\leq2$と Lebesgue 測度の内正則性から$\nu$は Radon 測度であり、Lebesgue 測度と同じ零集合をもつ。Lebesgue 測度の平行移動不変性により$\nu$は準不変である。$H$の Haar 測度を質量1とすれば$T$は恒等写像である。したがって連続ρ関数が$\nu$を与えるならば、$\rho=w$が Lebesgue ほとんど至る所で成り立つ。連続性により$\rho=1$が$(-\infty,0)$上で、$\rho=2$が$(0,\infty)$上で成り立つが、これは0での連続性に反する。▨

証明.$r_a(xH)=\rho(ax)/\rho(x)$とおく。定理 3.2の Borel 集合の公式に§E10.35 命題 3.2を適用すると、左移動は完備化の可測集合と零集合を双方向に保ち、非負完備可測関数$F$について

である。したがって、$f\circ L_{a^{-1}}$と正の連続密度$r_{a^{-1}}^{1/2}$との積は同値類上で定まる。$r_{a^{-1}}(ay)r_a(y)=1$なので

また

したがって作用法則が成り立ち、$\pi_\rho(a^{-1})$は$\pi_\rho(a)$の逆である。複素線形な全射等長写像なので、偏極恒等式により内積を保ち、ユニタリである。

$\phi\in C_c(G/H,\C)$とし、$C=\supp\phi$とおく。$G$のコンパクト単位元近傍$B$を取る。商写像$q$は開写像なので$\operatorname{id}_G\times q$も開全射である。積$(a,x)\mapsto ax$と連続関数$(a,x)\mapsto\rho(a^{-1}x)/\rho(x)$はこの商写像を通じて、それぞれ連続な作用$G\times G/H\to G/H$と連続関数$(a,z)\mapsto r_{a^{-1}}(z)$を誘導する。ゆえに

は連続であり、$a=e$で零である。$a\in B$のとき、この関数の$z$に関する台は共通のコンパクト集合$D=BC$に含まれる。各$z\in D$の近傍での連続性と$D$の有限被覆から

を得る。したがって

§E10.34 定理 1.2により$C_c(G/H,\C)$は$\mathcal H$で稠密である。任意の$f\in\mathcal H$を$\phi\in C_c(G/H,\C)$で近似すると、等長性により

である。したがって単位元において軌道写像は連続である。作用法則と等長性により、任意の$a_0\in G$について

となる。$\rho=1$ならば定義式の密度因子は1である。▨

証明. 二つのρ関数の変換則の比を取ると、$\rho_2/\rho_1$は右$H$不変である。したがって$s$は商上の正の連続関数として定まる。定理 6.2により$d\nu_2=s\,d\nu_1$であり、完備化の可測集合と零集合は一致する。この密度公式は完備可測な非負関数の積分にも成り立つので、

$s^{-1/2}$による乗算が逆写像を与えるため、$U$はユニタリである。さらに、$z=xH$とおくと