§E14.5モジュラー関数

証明.$a\in G$に対して$\mu_a(E)=\mu(Ea)$とおく。右移動は同相写像であり、コンパクト集合をコンパクト集合へ写すので、$\mu_a$は非零の Radon 測度である。実際、$Ea$のコンパクト部分集合は$E$のコンパクト部分集合の右移動と一対一に対応するから、コンパクト内正則性も保存される。$b\in G$に対して

である。したがって§E14.4 定理 3.3により、一意な$\Delta(a)>0$が存在して$\mu_a=\Delta(a)\mu$となる。

$a,b\in G$に対して

であるから、定数の一意性により$\Delta(ab)=\Delta(a)\Delta(b)$である。また、$\Delta(e)=1$と$\Delta(a^{-1})=\Delta(a)^{-1}$を得る。左 Haar 測度は正定数倍を除いて一意であり、上の測度の等式ではその定数が両辺に共通して現れる。したがって$\Delta$は左 Haar 測度の選択によらない。

$f=\mathbf1_E$の場合には

である。非負単関数への線形性と非負単関数による増加近似から、非負 Borel 関数の積分公式を得る。絶対値にも同じ公式を適用すると、可積分性が保存される。実部・虚部の正負部分へ公式を適用して、可積分関数の公式も得る。

零でない非負関数$g\in C_c(G,\R)$を固定すると、積分公式により

である。§E14.4 補題 3.2により分母は連続かつ正なので、$\Delta$は連続である。▨

証明.§E14.4 命題 1.2により、$\nu$は右 Haar 測度である。

$w=\Delta^{-1}$とおき、Borel 集合$E$に対して$\lambda(E)=\int_Ew\,d\mu$と定める。定理 1.2により$w$は連続かつ正であるから、§E10.32 補題 3.2により$\lambda$は Radon 測度である。

定理 1.2の積分公式を$\mathbf1_{Ea}w$に適用すると

である。$w>0$と$\mu\ne0$により$\lambda\ne0$なので、$\lambda$も右 Haar 測度である。したがって§E14.4 定理 3.3により、ある$c>0$が存在して$\nu=c\lambda$となる。指示関数から単関数近似を経て、

が任意の非負 Borel 関数$h$に対して成り立つ。

零でない非負関数$f\in C_c(G,\R)$を取る。等式$\int_G h(x^{-1})\,d\mu(x)=c\int_G h(x)w(x)\,d\mu(x)$に$h=f\circ(\cdot)^{-1}$を代入すると

を得る。関数$k(x)=f(x)\Delta(x)$に対して$k(x^{-1})=f(x^{-1})w(x)$であるから、同じ等式を$h=k$に適用して

を得る。$0<\int f\,d\mu<\infty$と$c>0$により$c=1$である。よって主張 (1)と主張 (2)が従う。主張 (3)は、絶対値に主張 (2)を適用して可積分性の同値を得た後、実部・虚部の正負部分へ主張 (2)を適用して得る。▨

証明. 左移動$T(x)=ax$、右移動$T(x)=xa$、反転$T(x)=x^{-1}$に対して、対応する密度をそれぞれ$w(x)=1$、$w(x)=\Delta(a)$、$w(x)=\Delta(x)^{-1}$とする。左不変性、定理 1.2および定理 2.1により、Borel 集合$B$について$\mu(TB)=\int_Bw\,d\mu$である。各$T$は同相写像で、$w$は正の連続関数であるから、§E10.35 命題 3.2により、主張 (1)と主張 (2)が従う。

一般の変数変換公式を左移動と右移動に適用すると、主張 (3)の最初の二式を得る。反転については、非負関数$x\mapsto f(x)\Delta(x)^{-1}$に適用し、$\Delta(x^{-1})^{-1}=\Delta(x)$を用いると第三式を得る。絶対値に公式を適用すると可積分性の同値が従い、実部と虚部の正負部分に公式を適用すると主張 (3)の複素数値の場合を得る。▨

証明.$\Delta$を$G$のモジュラー関数とする。主張 (1)から主張 (2)と主張 (3)が従うことは、それぞれ定理 1.2と定理 2.1 (1)による。逆に、主張 (2)を仮定すると、定理 1.2の定数の一意性により、任意の$a\in G$に対して$\Delta(a)=1$である。

主張 (3)を仮定する。§E14.4 命題 1.2により、$E\mapsto\mu(E^{-1})$は右 Haar 測度であり、仮定により$\mu$に一致する。したがって主張 (2)が成り立ち、既に示した含意により主張 (1)が従う。▨

証明.$G$がコンパクトならば、§E14.4 系 4.4により正規化された Haar 測度は右不変である。したがって命題 4.2により$G$はユニモジュラーである。

一般の局所コンパクト群$G$について左 Haar 測度$\mu$を取る。$G$が可換ならば、$Ea=aE$と左不変性から$\mu(Ea)=\mu(E)$である。したがってモジュラー関数を定める定数の一意性により$\Delta(a)=1$である。

$G$が離散群ならば、§E14.4 例 5.1の数え上げ測度は、右移動が全単射であることから右不変でもある。よって$\Delta(a)=1$である。

コンパクト Hausdorff 群上の正規化された Haar 測度の存在と一意性は§E14.4 系 4.3による。右不変性と反転不変性は§E14.4 系 4.4による。▨

証明.§E14.1 命題 6.4により、$G$は行列空間の閉部分集合であるから、$\GL_2(\mathbb F)$の閉部分群である。§E14.2 例 4.1により$\GL_2(\mathbb F)$は局所コンパクト群であるから、§E14.2 定理 3.1により$G$は局所コンパクト群である。

§E7.2 補題 3.3の$u(x)$・$v(x)$と、$t>0$に対する

は、行列式が$1$なので$G$の元である。

• $G$はコンパクトでない。実際、$A\in G$の$(1,1)$成分を$A_{11}$と書くと、各$m\in\NN$に対して$U_m=\{A\in G\mid |A_{11}|<m\}$は$G$の開集合であり、$(U_m)_{m\in\NN}$は増加する$G$の開被覆である。有限個の$U_m$の和は、そのうち最大の添字$M$に対する$U_M$に等しく、$d(M)\notin U_M$である。したがって、この被覆は有限部分被覆をもたない。
• $G$は離散でない。実際、$x\mapsto u(x)$は連続であり、$x\ne0$ならば$u(x)\ne I_2$であるから、$I_2$の任意の近傍は$I_2$と異なる元を含む。
• $G$は可換でない。実際、 $$u(1)v(1)=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}=v(1)u(1)$$ である。

$\Delta$を$G$のモジュラー関数とする。定理 1.2により、$\Delta$は乗法群$\R_{>0}$への連続な群準同型である。$\R_{>0}$は可換であるから、任意の$g,h\in G$に対して$\Delta(ghg^{-1})=\Delta(h)$である。行列の積を計算すると

であるから、任意の$x\in\mathbb F$と$t>0$に対して

である。$t\to0$のとき$u(t^2x)\to I_2$であり、$t\to\infty$のとき$v(t^{-2}x)\to I_2$である。$\Delta$の連続性と$\Delta(I_2)=1$により、$\Delta(u(x))=\Delta(v(x))=1$を得る。$\Delta$は群準同型であり、§E7.2 補題 3.3により$G$の任意の元は$u(x)$と$v(y)$の有限個の積であるから、$G$上で$\Delta=1$である。▨

証明.§E14.1 命題 6.4により$G$は位相群である。$\R\rtimes\R_{>0}$の積は$(b,a)(d,c)=(b+ad,ac)$であるから、全単射$(a,b)\mapsto(b,a)$は群同型である。§E10.44 定理 2.1 (3)を線形写像$b\mapsto ab$に適用すると、Borel 集合$B\subseteq\R$に対して$\lambda_1(aB)=a\lambda_1(B)$である。$G$は$\R^2$の開集合であり、各点の周りに$G$に含まれる閉球を取ることができるから、局所コンパクト Hausdorff 空間である。

$\lambda_2^B$を二次元 Lebesgue 測度の Borel 集合族への制限とし、

と定める。$G$は$\R^2$の開集合なので、$G$の Borel 集合とコンパクト集合は$\R^2$の Borel 集合とコンパクト集合である。したがって、§E10.16 定理 9.1により$\lambda_2^B$の$G$への制限は$G$上の Radon 測度である。密度$a^{-2}$は$G$上で連続かつ正であるから、§E10.32 補題 3.2により$\mu$は Radon 測度である。密度が正であり、例えば$[1,2]\times[0,1]$は正の Lebesgue 測度をもつので、$\mu\ne0$である。

$(\alpha,\beta)\in G$を固定する。左移動と右移動はそれぞれ

であり、いずれも$G$から$G$への$C^1$級微分同相写像である。Jacobian の絶対値はそれぞれ$\alpha^2$と$\alpha$である。§E10.44 定理 2.1 (3)により、任意の Borel 集合$E\subseteq G$に対して

を得る。したがって$\mu$は左 Haar 測度であり、モジュラー関数を定める定数の一意性から$\Delta(\alpha,\beta)=\alpha^{-1}$である。定理 2.1により、$\nu(E)=\mu(E^{-1})$で定まる右 Haar 測度$\nu$は

を満たす。例えば$\Delta(2,0)=1/2\ne1$なので、この群はユニモジュラーでない。▨

証明.$(a,b),(c,d)\in G$に対して、行列の積を計算すると

である。$\varphi$は$B$への全単射であり、逆写像は$\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\0&\alpha^{-1}\end{pmatrix}\mapsto(\alpha^2,\alpha\beta)$である。$\varphi$は積を保つ単射であるから、$B=\varphi(G)$は$\SL_2(\R)$の部分群であり、$\varphi$は$B$への群同型である。$\varphi$と逆写像の各成分は連続であるから、$\varphi$は位相群としての同型である。$A\in\SL_2(\R)$の$(2,1)$成分が$0$ならば、$(1,1)$成分と$(2,2)$成分の積は$1$であり、$(1,1)$成分は$0$でない。したがって、$B$は$(2,1)$成分が$0$であり、$(1,1)$成分が$0$以上である元の全体に等しく、閉集合である。

例 5.2により$G$は局所コンパクト群であるから、位相群として同型な$B$も局所コンパクト群である。$\mu$を$G$の左 Haar 測度とし、Borel 集合$E\subseteq B$に対して$\mu_B(E)=\mu(\varphi^{-1}(E))$とおく。$\varphi$は同相写像かつ群同型であるから、$\mu_B$は$B$上の左 Haar 測度であり、$g\in G$に対して

である。ここで$\Delta_G$は$G$のモジュラー関数である。例 5.2により$\Delta_G(2,0)=1/2$であるから、$B$のモジュラー関数は$\varphi(2,0)$で$1/2$をとり、$B$はユニモジュラーでない。▨