§E14.19指標と Fourier 級数

証明.§E14.18 命題 1.1により、$\rho$の表現空間に不変内積を入れると、$\rho$は既約ユニタリ表現の有限直和に分解される。また、§E14.18 定理 5.2により、$\widehat G$のすべての表現は有限次元である。

各既約表現の正規直交基底について$\chi_\pi=\sum_{i=1}^{d_\pi}\pi_{ii}$と書く。§E14.18 定理 4.1により、$\pi\ne\sigma$ならば内積は零であり、$\pi=\sigma$ならば

である。直和のトレースは各成分のトレースの和なので、$\chi_\rho=\sum_\pi m_\pi\chi_\pi$である。この有限和と$\chi_\pi$との内積を取ると主張 (2)を得る。同じ直交関係から主張 (4)も従う。非負整数の平方和が$1$であることは、一つの重複度だけが$1$で残りが零であることと同値である。指標が一致する二つの表現はすべての重複度が等しいため同型であり、逆向きはトレースの基底不変性による。▨

証明.$dx(G)=1$なので Cauchy–Schwarz の不等式から$\|f\|_1\leq\|f\|_2$であり、$\widehat f(\pi)$は定義される。§E14.18 定理 4.1により$\sqrt{d_\pi}\pi_{ij}$は$L^2(G)$の正規直交基底である。その$\pi$に属する成分の和は

である。したがって$S_F$は、$F$に属する行列要素が張る空間への直交射影であり、

となる。行列要素の有限線形結合は稠密であるから、任意の$\varepsilon>0$に対して、ある有限集合$F_0$の行列要素の線形結合$p$を$\|f-p\|_2<\varepsilon$となるように選ぶことができる。$F\supseteq F_0$ならば、直交射影の最良近似性から$\|f-S_Ff\|_2\leq\|f-p\|_2<\varepsilon$である。以上から主張 (2)と主張 (1)を得る。

有限部分和の上限が有限である族$(A_\pi)$を取る。各正整数$n$に対して$d_\pi\|A_\pi\|_{\mathrm{HS}}^2\geq1/n$を満たす$\pi$は有限個なので、$A_\pi\ne0$となる$\pi$は高々可算個である。Schur の直交関係から、有限和

の差のノルムの平方は、対応する$d_\pi\|A_\pi\|_{\mathrm{HS}}^2$の和に等しい。したがってこの有限和のネットは Cauchy であり、$L^2(G)$の完備性からある$f$に収束する。各行列要素との内積を取って極限へ移ると$\widehat f(\pi)=A_\pi$となる。単射性は主張 (1)による。▨

証明.§E14.5 定理 3.1により、$x=aya^{-1}$と変数変換すると

を得る。したがって$C_af=f$がすべての$a$について成り立つならば、$\widehat f(\pi)$はすべての$\pi(a)$と可換である。§E14.8 定理 4.6により$\widehat f(\pi)=c_\pi I$となる。逆にすべての$\widehat f(\pi)$がスカラーならば、各$a$について$C_af$と$f$の Fourier 変換が一致する。定理 2.2 (3)の単射性により$C_af=f$である。

トレースを取ると

となる。定理 2.2 (2)と定理 2.2 (1)に代入すれば、主張 (3)を得る。各指標は類関数であり、命題 1.2により正規直交するので、指標の族は$L^2_{\mathrm{cl}}(G)$の正規直交基底である。▨

証明. 行列式が$1$の二次行列の逆行列の公式と$g^{-1}=g^*$を比較すると、表示された成分の関係を得る。逆にその形の行列は$g^*g=(|a|^2+|b|^2)I$、$\det g=|a|^2+|b|^2$を満たす。座標を取る写像と行列を作る写像はいずれも連続なので、球面との同相を得る。

$g$の固有値を$\lambda$、対応する単位固有ベクトルを$v$とする。ユニタリ性から$|\lambda|=1$である。$v$の直交補空間も$g$で不変であり、行列式が$1$なので、その一次元空間上での固有値は$\lambda^{-1}$である。二つの固有値の順序を選べば、$\lambda=e^{i\theta}$、$0\leq\theta\leq\pi$とすることができる。固有ベクトルから作るユニタリ行列の一方の列に絶対値$1$の定数を掛け、行列式を$1$にする。この行列は$g$を$t_\theta$へ共役する。トレースは$2\Re a=2\cos\theta$であり、$\cos$は$[0,\pi]$上で単射なので、$\theta$は一意である。▨

証明.$\R^4$上の確率測度

を取る。一変数の積分$\int_\R e^{-s^2}\,ds$は正で有限なので、§E10.19 定理 2.3により$0<Z<\infty$である。四次元 Lebesgue 測度は§E10.16 定理 9.1によりコンパクト内正則であり、コンパクト集合上で有限である。密度$Z^{-1}e^{-|q|^2}$は連続かつ非負なので、§E10.32 補題 3.2により$\gamma$は Radon 測度である。§E10.44 定理 2.1 (4)を直交線形写像に適用すると、$\gamma$は直交変換で不変である。

$q\ne0$を$q/|q|\in S^3$へ送り、補題 4.1の同相写像で$\SU(2)$へ移した確率測度を$\nu$とする。半径方向の写像は$\R^4\setminus\{0\}$上で連続である。$\gamma$の内部正則性により、Borel 集合の逆像をコンパクト集合で内部近似し、その像を取ることができるので、$\nu$は Radon 測度である。

行列$g(a,b)$の形は、$|a|^2+|b|^2=1$を外しても四次元実線形空間をなす。固定した$u\in \SU(2)$による左乗法はこの空間を保ち、行列式

を保つ。したがって左乗法は$\R^4$上の直交線形写像となり、半径方向の写像とも可換である。$\gamma$の直交不変性から$\nu$は左不変である。§E14.4 定理 3.3と全測度$1$の条件により、$\nu=dg$である。

球面座標を

とする。範囲は$r>0$、$0<\theta,\varphi<\pi$、$0<\psi<2\pi$とする。四つの偏微分ベクトルは互いに直交し、その長さは順に

である。したがって Jacobi 行列式の絶対値は$r^3\sin^2\theta\sin\varphi$となる。この座標写像は、角度の切れ目と座標が退化する集合を除けば微分同相である。除いた集合は$\R^4$の超平面$q_3=0$に含まれるので Lebesgue 零集合である。

§E10.44 定理 2.1 (3)と§E10.19 定理 2.3を適用すると、非負関数$h$に対して、半径$r$と二つの角度$\varphi,\psi$の積分は分離し、

を得る。分母は同じ変数変換を$h=1$に適用した正規化から生じる。複素関数の場合は$|h|$への公式で絶対可積分性を確かめ、実部と虚部の正負の部分へ適用する。連続な類関数については、補題 4.1により$f(g)=f(t_{\theta(g)})$であるから、$h(\theta)=f(t_\theta)$と取ればよい。▨

証明. 代入の合成から$\rho_n(g)\rho_n(h)=\rho_n(gh)$となり、成分は$g$の成分の多項式なので連続である。$n\geq1$のとき、単項式$X^{n-k}Y^k$を、$(\C^2)^{\otimes n}$内で$e_1$が$n-k$個、$e_2$が$k$個現れる相異なる$\binom nk$個の純テンソルの平均へ送る。この線形写像は単射であり、テンソル因子の置換による固定部分空間を像とする。相異なる純テンソルは正規直交するので、平均のノルムの平方は$\binom nk^{-1}$であり、異なる$k$の平均は直交する。各テンソル因子へ同じ$g$を作用させる操作は置換と可換であり、この対応の下で多項式への代入作用に一致する。§E14.8 命題 3.3によりテンソル積表現はユニタリなので、$\rho_n$もユニタリである。$n=0$では定数空間に通常の内積を入れればよい。

$t_\theta$の代入は$X$を$e^{i\theta}X$に、$Y$を$e^{-i\theta}Y$に送るため、基底に対する作用の式主張 (2)を得る。対角成分の和を取ると指標の有限和表示を得る。$0<\theta<\pi$ならば等比数列の和から

となる。端点での値は有限和表示から従う。すべての$\theta\in\R$について$e^{i(n-2k)\theta}=1$となることは$n-2k=0$と同値なので、主張 (4)も従う。▨

証明.定理 4.2と命題 5.2から、指標の内積は表示された正弦の積の積分に等しい。$n\ne m$ならば

を$0$から$\pi$まで積分すると零となる。$n=m$の場合には$\sin^2((n+1)\theta)$の積分は$\pi/2$である。したがって$\|\chi_n\|_2=1$であり、命題 1.2により各$\rho_n$は既約である。異なる$n$の表現は次元が異なるので同値でない。

多項式を

で定める。正弦の加法公式と端点での連続性により

となる。$U_n$の次数は$n$、最高次係数は$2^n$であるから、任意の一変数多項式は$U_n$の有限線形結合で表される。

$f$を$\SU(2)$上の連続な類関数とする。関数

は連続である。$[-1,1]$上の複素係数多項式は、定数を含み、点を分離し、複素共役について閉じた部分代数である。§E2.32 系 3.5により$H$を一様近似する多項式列が存在する。補題 4.1と$U_n$の線形包の性質から、$f$は$\chi_n$の有限線形結合で一様近似される。

$\sigma$を任意の既約ユニタリ表現とする。§E14.18 定理 5.2により$\sigma$は有限次元であり、$\chi_\sigma$は連続な類関数である。$\sigma$がどの$\rho_n$とも同値でないと仮定すると、命題 1.2により$\chi_\sigma$はすべての$\chi_n$と直交する。一方、直前の一様近似は$L^2$近似でもあるので、$\chi_\sigma$は自分自身と直交する。これは$\|\chi_\sigma\|_2=1$に反する。したがって$\sigma$はある$\rho_n$と同値である。分類が得られたので、定理 3.2により$(\chi_n)_{n\geq0}$は二乗可積分類関数の正規直交基底である。▨

証明. 証明は演習とする（問題 6.1）。▨