測度保存変換群のユニタリ表現 | 位相群論 I

命題 1.1. $\mu$ を実数直線の Lebesgue 測度、 $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ を測度保存変換群とし、 $H=L^2(\R,\mu;\C)$ 上の Koopman 表現を $U_gf=f\circ g^{-1}$ とする。 $n\geq0$ 、 $\lambda\vdash n$ とする。このとき、次が成り立つ。

$\mathbb S_\lambda(U)(g)=\mathbb S_\lambda(U_g)$ は $\mathbb S_\lambda(H)$ 上の強連続ユニタリ表現である。
評価によるユニタリ同型 $\bigoplus_{\lambda\vdash n}S^\lambda\widehat\otimes\mathbb S_\lambda(H) \longrightarrow H^{\widehat\otimes n},\qquad s\otimes A\longmapsto As$ は $G\times S_n$ -同変である。左辺では $G$ は第二因子に、 $S_n$ は第一因子に作用する。

証明.§E14.9 定理 6.1を Koopman 表現へ適用すると、強連続性と評価の同変性を得る。評価がユニタリであることは§E14.9 定理 1.3による。▨

例 1.2. $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の Koopman 表現 $U$ に対して、零次の Schur 表現は $\C$ 上の自明表現であり、一次の Schur 表現は $U$ である。二次の二つの型は§E14.9 命題 5.1の対称二乗と外二乗である。

$A=[0,1)$ 、 $B=[1,2)$ とし、 $g$ を $A$ と $B$ の交換を行い、その外で恒等となる区分平行移動とする。このとき、 $e=1_A$ 、 $f=1_B$ は正規直交する。したがって

v_+=\frac{e\otimes f+f\otimes e}{\sqrt2},\qquad v_-=\frac{e\otimes f-f\otimes e}{\sqrt2}

はそれぞれ対称二乗、外二乗の単位ベクトルである。 $U_ge=f$ 、 $U_gf=e$ なので

U_g^{\widehat\otimes2}v_+=v_+, \qquad U_g^{\widehat\otimes2}v_-=-v_-.

二つのベクトルのテンソル次数はともに二であるが、この群元の固有値は異なる。

定義 2.1. $\R$ の Lebesgue 可測集合による分割

\mathcal P=(A_1,\ldots,A_r;A_\infty)

で、 $r\geq1$ 、 $0<\mu(A_i)<\infty$ 、 $\mu(A_\infty)=\infty$ を満たすものを考える。集合の一致と包含は零集合を除いて考える。各片を保つ $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の部分群

K_{\mathcal P}=\{g\in G:gA_i=A_i\ (1\leq i\leq r),\ gA_\infty=A_\infty\}

を分割の安定部分群 (stabilizer) という。強連続ユニタリ表現 $\pi$ の空間を $H_\pi$ とするとき、 $H_{\pi,\mathcal P}=H_\pi^{K_{\mathcal P}}$ 、その直交射影を $E_{\pi,\mathcal P}$ と書く。また、 $a_i=\mu(A_i)$ 、 $D_{\mathcal P}=\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_r)$ と書く。

分割 $\mathcal Q=(B_1,\ldots,B_s;B_\infty)$ の各片が $\mathcal P$ のいずれかの片に含まれるとき、 $\mathcal Q$ は $\mathcal P$ の精細化であるという。この場合、各 $A_i$ はそれに含まれる有限片 $B_j$ の和である。

補題 2.2. $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の任意の強連続ユニタリ表現 $\pi$ を取る。このとき、次が成り立つ。

有限分割の固定空間 $H_{\pi,\mathcal P}$ は精細化に関して増大する。
任意の二つの有限分割には共通精細化が存在する。
固定空間の合併は $H_\pi$ で稠密である。
$E_{\pi,\mathcal P}\to I$ が、精細化を順序とする net の強収束として成り立つ。

証明. $v\in H_\pi$ と $\varepsilon>0$ を取る。強連続性により、 $g\in W$ ならば $\|\pi(g)v-v\|<\varepsilon/2$ となる単位元近傍 $W$ が存在する。Koopman 強位相の定義により、有限個の $f_1,\ldots,f_l\in L^2(\R,\mu)$ と $\delta>0$ を取り、すべての $j$ に対する $\|U_gf_j-f_j\|<\delta$ から $g\in W$ が従うようにすることができる。

§E14.29 補題 2.1により、有限測度の台をもつ単関数 $s_j$ を $\|f_j-s_j\|<\delta/3$ となるように取る。非零の値の逆像をすべて精細化して零測度片を除き、無限測度の残余を加えた分割を $\mathcal P$ とする。有限片がない場合には有限正測度の片を一つ加える。 $k\in K_{\mathcal P}$ ならば $U_ks_j=s_j$ なので

\|U_kf_j-f_j\|\leq2\|f_j-s_j\|<\delta.

したがって $K_{\mathcal P}\subseteq W$ である。

軌道 $\{\pi(k)v:k\in K_{\mathcal P}\}$ の閉凸包を $C$ とする。 $C$ は $v$ を含む非空閉凸集合であり、 $v$ を中心とする半径 $\varepsilon/2$ の閉球に含まれる。§E10.3 定理 2.1を $C$ と原点に適用すると、最小ノルム元 $w\in C$ が一意に存在する。各 $\pi(k)$ は $C$ を全単射に写してノルムを保つので、一意性から $\pi(k)w=w$ である。したがって $w\in H_{\pi,\mathcal P}$ かつ $\|v-w\|\leq\varepsilon/2$ である。

二つの分割の片の交差を取り、零測度片を除くと共通精細化を得る。二つの無限残余の交差は有限測度集合の和の補集合なので無限測度であり、ほかの交差は有限測度である。精細化すると安定部分群は小さくなるので固定空間は増大する。上で示した近似と直交射影の最良近似性により、射影の net は $I$ へ強収束する。▨

補題 2.3. Lebesgue 可測集合 $E,F\subseteq\R$ が $\mu(E)=\mu(F)$ を満たすとする。このとき、零集合を除いた $E$ と $F$ の間に双可測な測度保存全単射が存在する。共通の測度は有限でも無限でもよい。

証明. 零集合を変更して $E$ を Borel 集合とし、 $0<a=\mu(E)<\infty$ とする。関数

F_E(x)=\mu(E\cap(-\infty,x]),\qquad q_E(t)=\inf\{x:F_E(x)\geq t\}\quad(0<t<a)

を定める。 $F_E$ は連続な単調非減少関数であり、両端の極限は $0,a$ である。したがって $q_E(t)$ は有限であり、 $F_E(q_E(t))=t$ となる。また

q_E(t)\leq x\quad\Longleftrightarrow\quad t\leq F_E(x).

よって $q_E$ による長さの押し出しは、半直線上で $1_E\,d\mu$ と一致する。差を取ると有界半開区間でも両有限測度は一致するので、§E10.16 命題 2.3により Borel 集合上で一致する。特に $q_E(t)\in E$ がほとんど至る所で成り立つ。

$F_E$ が定数となる非退化な極大区間は、その内部に異なる有理数を取ることができるので可算個である。その内部と端点は $\mu|_E$ に関して零集合である。 $F_E$ の値が $0$ または $a$ となる部分も $\mu|_E$ に関して零集合である。これらを除けば $q_E(F_E(x))=x$ である。したがって $F_E$ と $q_E$ は余零集合上で互いに逆の測度保存写像となる。零集合の保存により、Lebesgue 完備化上でも両写像は可測である。 $F$ にも同じ構成を適用し、 $q_F\circ F_E$ を取ればよい。

$\mu(E)=\infty$ ならば、整数区間と $E$ の交差のうち正測度のものを $E_1,E_2,\ldots$ と列挙する。 $a_j=\mu(E_j)$ 、 $s_0=0$ 、 $s_j=\sum_{k\leq j}a_k$ と置くと $s_j\to\infty$ である。有限測度の場合の同型により $E_j$ を $(s_{j-1},s_j)$ に写し、可算個の写像を合わせると、 $E$ と $(0,\infty)$ の測度保存同型を得る。 $F$ に対する同型と合成すればよい。共通測度が零ならば空の余零部分集合を取る。▨

補題 2.4. $\mathcal P=(A_1,\ldots,A_r;A_\infty)$ 、 $\mathcal Q=(B_1,\ldots,B_s;B_\infty)$ を有限分割とし、 $a_i=\mu(A_i)$ 、 $b_j=\mu(B_j)$ とする。 $g\in G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ に対し

M_{\mathcal Q,\mathcal P}(g)_{ji}=\mu(B_j\cap gA_i)

と置く。このとき、次が成り立つ。

写像 $g\mapsto M_{\mathcal Q,\mathcal P}(g)$ は、二重剰余類 $K_{\mathcal Q}\backslash G/K_{\mathcal P}$ と行列の集合 $\mathcal M(\mathcal Q,\mathcal P) =\left\{M\geq0:\sum_jM_{ji}\leq a_i,\quad\sum_iM_{ji}\leq b_j\right\}$ の間の全単射を誘導する。
$M_l\to M$ が成分ごとに収束し、 $M=M_{\mathcal Q,\mathcal P}(g)$ ならば、 $M_{\mathcal Q,\mathcal P}(g_l)=M_l$ かつ $g_l\to g$ を満たす列を取ることができる。

証明. $M\in\mathcal M(\mathcal Q,\mathcal P)$ を取る。補題 2.3の区間への同型により、 $A_i$ を測度 $M_{1i},\ldots,M_{si},a_i-\sum_jM_{ji}$ の片へ分けることができる。 $B_j$ も測度 $M_{j1},\ldots,M_{jr},b_j-\sum_iM_{ji}$ の片へ分ける。 $A_\infty$ から各行の不足分、 $B_\infty$ から各列の不足分を切り取り、いずれにも無限測度の残部を残す。対応する等測度片の同型と無限残部の同型を合わせると、交差行列が $M$ である変換を得る。

$M(g)=M(h)$ とする。添字に無限残余も許すと、 $B_j\cap gA_i$ と $B_j\cap hA_i$ の測度はすべて一致する。一方だけが無限残余の場合には行和または列和の不足分であり、両方が無限残余の場合には無限測度である。各 $B_j$ 内で対応する片の同型を合わせると、 $k\in K_{\mathcal Q}$ で $kgA_i=hA_i$ を満たすものを得る。よって $h^{-1}kg\in K_{\mathcal P}$ である。左右の安定部分群による行列の不変性と合わせて主張 (1)が従う。

$C_i=gA_i$ とし、 $C_\infty$ も含めて各点に所属片の添字を付ける。有限片 $B_j$ の内部で、添字 $i$ の現在の測度は $M_{ji}$ 、目標の測度は $(M_l)_{ji}$ である。残余添字の測度はそれぞれ $b_j-\sum_iM_{ji}$ 、 $b_j-\sum_i(M_l)_{ji}$ である。過剰な添字の集合から過剰分を切り取り、不足する添字へ配分する。変更した部分の測度は、すべての添字の測度差の絶対値の和の半分であり、 $\sum_i|(M_l)_{ji}-M_{ji}|$ 以下である。

$B_\infty$ 内では、有限添字 $i$ の測度を $a_i-\sum_jM_{ji}$ から $a_i-\sum_j(M_l)_{ji}$ へ変更する。有限添字間で過剰分を配分し、足りない分を無限残余の添字から取り、余る分をその添字へ戻す。この変更部分の測度は $\sum_i|\sum_j((M_l)_{ji}-M_{ji})|$ 以下である。全変更部分を $S_l$ とすると

\mu(S_l)\leq2\sum_{j,i}|(M_l)_{ji}-M_{ji}|\longrightarrow0.

新しい添字の集合を $C_i^{(l)}$ と書く。 $S_l$ の外では新旧の集合が一致し、 $\mu(C_i)=\mu(C_i^{(l)})=a_i$ なので、 $C_i\cap S_l$ と $C_i^{(l)}\cap S_l$ は等測度である。残余添字についても、有限測度集合 $S_l$ から有限添字を除いて同じ結論を得る。これらの同型を合わせ、 $S_l$ の外で恒等とした変換を $h_l$ とする。このとき $h_lS_l=S_l$ であり、 $g_l=h_lg$ の交差行列は $M_l$ である。

任意の $f\in L^2(\R,\mu)$ について

\|U_{h_l}f-f\|_2^2\leq4\int_{S_l}|f|^2\,d\mu\longrightarrow0.

最後の収束は $|f|^2$ の積分の絶対連続性による。したがって $h_l\to e$ 、 $g_l\to g$ となり、主張 (2)が従う。▨

定義 2.5. $\pi$ を $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の強連続ユニタリ表現とし、 $\mathcal P,\mathcal Q$ を有限分割とする。 $M\in\mathcal M(\mathcal Q,\mathcal P)$ の代表元 $g\in G$ を取り、作用素

C_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}(M) =E_{\pi,\mathcal Q}\pi(g)|_{H_{\pi,\mathcal P}} \colon H_{\pi,\mathcal P}\longrightarrow H_{\pi,\mathcal Q}

を定める。この作用素を $\pi(g)$ の固定空間への圧縮 (compression) という。

補題 2.6. $\pi$ と $\mathcal P,\mathcal Q$ を定義 2.5のものとし、 $M\in\mathcal M(\mathcal Q,\mathcal P)$ とする。このとき、次が成り立つ。

圧縮 $C_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}(M)$ は代表元によらず定まり、縮小作用素である。
写像 $M\mapsto C_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}(M)$ とその随伴は、 $M$ の各成分に関して強連続である。
$C_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}(M)^*=C_{\pi;\mathcal P,\mathcal Q}(M^{\mathsf T})$ である。
$C_{\pi;\mathcal P,\mathcal P}(D_{\mathcal P})=I$ である。

証明. $k\in K_{\mathcal Q}$ 、 $l\in K_{\mathcal P}$ に対して、 $E_{\pi,\mathcal Q}\pi(k)=E_{\pi,\mathcal Q}$ であり、 $\pi(l)$ は $H_{\pi,\mathcal P}$ 上で恒等である。補題 2.4 (1)により代表元によらないことが従う。射影とユニタリ作用素の合成は縮小的である。

$M_l\to M$ に対し、補題 2.4 (2)の代表元 $g_l\to g$ を取る。 $v\in H_{\pi,\mathcal P}$ について

\|(C(M_l)-C(M))v\|\leq\|\pi(g_l)v-\pi(g)v\|\longrightarrow0.

行列の定義域は有限次元距離空間なので、列についてのこの結論は強連続性を意味する。 $g^{-1}$ の交差行列は $g$ の行列の転置であるから主張 (3)が成り立つ。転置した行列へ同じ議論を適用すると随伴の強連続性を得る。恒等変換の交差行列は $D_{\mathcal P}$ であるから、主張 (4)も成り立つ。▨

補題 3.1. $\mathcal Q=(B_1,\ldots,B_s;B_\infty)$ を有限分割とする。このとき、増大する有限部分群 $F_l\subseteq K_{\mathcal Q}$ を取り、 $\bigcup_lF_l$ が $K_{\mathcal Q}$ で稠密となるようにすることができる。任意の強連続ユニタリ表現 $\pi$ に対して

\frac1{|F_l|}\sum_{k\in F_l}\pi(k)\longrightarrow E_{\pi,\mathcal Q}

が強作用素収束として成り立つ。

証明.補題 2.3によって、 $B_j$ を $[0,b_j)$ 、 $B_\infty$ を $[0,\infty)$ と同一視する。有限片では長さ $b_j2^{-l}$ の $2^l$ 個の区間を、内部座標を保つ平行移動で置換する。無限残余では $[0,2^l)$ を長さ $2^{-l}$ の $4^l$ 個の区間に分けて置換し、その外で恒等とする。これらの有限置換群の直積を $F_l$ とする。次の段階では各区間を二分し、同じ相対位置の半区間どうしを写せば以前の置換を実現することができる。無限残余で新しく加えた区間を固定すれば、 $F_l\subseteq F_{l+1}$ となる。

$k\in K_{\mathcal Q}$ と有限測度集合の有限族を取る。その Boolean 分割の有限測度片を $D_1,\ldots,D_t$ とする。各 $B_j$ 内で $D_i\cap B_j$ と $kD_i\cap B_j$ は等測度である。有限測度集合は有限個の有界区間の和で測度差に関して近似することができるので、格子点へ端点を動かすことにより、両方の族を第 $l$ 段階の格子区間の和で近似することができる。無限残余では $[0,2^l)$ の外を切り捨て、その誤差も零へ収束する。区間に複数の添字が付く場合には一つだけを残し、残りの区間には残余の添字を付ける。元の族は互いに素なので、この修正後も誤差は零へ収束する。

一つの片 $B$ における近似を $U_{i,l},V_{i,l}$ 、共通の格子幅を $d_l$ とし、

e_l=\sum_{i=1}^t\left( \mu((D_i\cap B)\mathbin\triangle U_{i,l})+ \mu((kD_i\cap B)\mathbin\triangle V_{i,l})\right)

と置く。無限残余での切り捨てを含めて $e_l\to0$ である。 $U_{i,l},V_{i,l}$ の区間数を $u_{i,l},v_{i,l}$ とすると、 $d_l|u_{i,l}-v_{i,l}|$ は対応する二つの近似誤差の和以下である。残余添字の区間数の差は、有限添字の差の和の負である。したがって、始域の過剰添字の区間を不足添字へ変更し、すべての区間数を一致させるために必要な全測度は $e_l$ 以下である。

変更後の近似を $U'_{i,l}$ とし、各添字の区間を終域の同じ添字の区間へ一対一に対応させる。この置換を $\sigma_l$ とすると

\begin{aligned} \mu\bigl(\sigma_l(D_i\cap B)\mathbin\triangle(kD_i\cap B)\bigr) &\leq\mu((D_i\cap B)\mathbin\triangle U_{i,l}) +\mu(U_{i,l}\mathbin\triangle U'_{i,l})\\ &\quad+\mu(V_{i,l}\mathbin\triangle(kD_i\cap B))\leq2e_l. \end{aligned}

有限個の片の置換を合わせると $\sigma_l\in F_l$ となり、元の試験集合のすべてについて $\mu(\sigma_lD_i\mathbin\triangle kD_i)\to0$ となる。指示関数の二乗ノルム差は対称差の測度である。§E14.29 補題 2.1と作用素ノルムの一様上界により、任意の Koopman 強近傍に $\bigcup_lF_l$ の元が存在する。

$T_l=|F_l|^{-1}\sum_{k\in F_l}\pi(k)$ は自己共役な冪等作用素であり、その像は $F_l$ の固定空間である。 $m\geq l$ ならば $T_mT_l=T_lT_m=T_m$ なので

\|T_lv-T_mv\|^2=\|T_lv\|^2-\|T_mv\|^2.

右辺のノルムの二乗は減少する非負列であるから、 $T_lv$ は Cauchy 列である。その極限はすべての $F_l$ に固定され、稠密性と強連続性により $K_{\mathcal Q}$ に固定される。任意の $w\in H_{\pi,\mathcal Q}$ について $\langle v-T_lv,w\rangle=0$ であるから、極限は $E_{\pi,\mathcal Q}v$ である。▨

補題 3.2. $\mathcal Q$ に対して補題 3.1の証明で構成した有限群 $F_l$ を用い、 $k_l$ を $F_l$ の一様分布に従う確率変数とする。このとき、有限片 $B_j$ の可測部分集合 $X,Y$ について

\mu(Y\cap k_lX)\longrightarrow\frac{\mu(X)\mu(Y)}{\mu(B_j)}

が確率収束する。無限残余 $B_\infty$ の有限測度可測部分集合 $X,Y$ については、 $\mu(Y\cap k_lX)\to0$ が確率収束する。

証明. 有限片の格子数を $N=2^l$ 、格子幅を $d=\mu(B_j)/N$ とする。 $X,Y$ を格子区間の和 $X_l,Y_l$ で測度差に関して近似し、その区間数を $p,q$ とする。 $k_lX_l$ に属する格子区間は一様な $p$ 個の組である。そのうち $Y_l$ に入る個数を $Z$ とすると、各区間の選択確率は $p/N$ 、異なる二つの区間の同時選択確率は $p(p-1)/(N(N-1))$ である。指示関数の和とその二乗の期待値を計算すると

\mathbb EZ=\frac{pq}{N},\qquad \operatorname{Var}(Z)=p\frac qN\left(1-\frac qN\right)\frac{N-p}{N-1}\leq p.

よって

\mathbb E\mu(Y_l\cap k_lX_l)=\frac{\mu(X_l)\mu(Y_l)}{\mu(B_j)},\qquad \operatorname{Var}\bigl(\mu(Y_l\cap k_lX_l)\bigr)\leq d\mu(X_l)\longrightarrow0.

$\mathbb P(|Z-\mathbb EZ|\geq c)\leq\operatorname{Var}(Z)/c^2$ を用いると、近似集合についての確率収束を得る。すべての置換に対して

|\mu(Y\cap k_lX)-\mu(Y_l\cap k_lX_l)| \leq\mu(X\mathbin\triangle X_l)+\mu(Y\mathbin\triangle Y_l)

なので、元の集合についても同じ結論が成り立つ。

無限残余では $[0,2^l)$ 内の格子による近似を用いる。同じ期待値の計算により

\mathbb E\mu(Y_l\cap k_lX_l)=\frac{\mu(X_l)\mu(Y_l)}{2^l}\longrightarrow0.

非負変数に対する $\mathbb P(Z\geq c)\leq\mathbb EZ/c$ と、切り捨て誤差を含む上の一様評価により、元の集合について零への確率収束を得る。▨

定理 3.3. $\pi$ を $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の強連続ユニタリ表現、 $\mathcal P,\mathcal Q,\mathcal R$ を有限分割とする。 $M\in\mathcal M(\mathcal Q,\mathcal P)$ 、 $N\in\mathcal M(\mathcal R,\mathcal Q)$ を取る。このとき

C_{\pi;\mathcal R,\mathcal Q}(N)C_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}(M) =C_{\pi;\mathcal R,\mathcal P}(ND_{\mathcal Q}^{-1}M)

が成り立つ。

証明. $M=M_{\mathcal Q,\mathcal P}(g)$ 、 $N=M_{\mathcal R,\mathcal Q}(h)$ を満たす代表元を取る。 $\mathcal R$ の有限片を $R_a$ とし、 $F_l\subseteq K_{\mathcal Q}$ 上で一様な $k_l$ に対して

L^{(l)}_{ai}=\mu(R_a\cap hk_lgA_i) =\mu(h^{-1}R_a\cap k_lgA_i)

と置く。補題 3.2により、有限片 $B_j$ の寄与は

\frac{\mu(h^{-1}R_a\cap B_j)\mu(gA_i\cap B_j)}{b_j} =\frac{N_{aj}M_{ji}}{b_j}

へ確率収束し、無限残余の寄与は零へ確率収束する。片と行列成分は有限個なので、 $L^{(l)}\to L=ND_{\mathcal Q}^{-1}M$ が成分ごとに確率収束する。 $L$ の行和は $\sum_jN_{aj}$ 以下、列和は $\sum_jM_{ji}$ 以下であるから、 $L$ は許容行列である。

$v\in H_{\pi,\mathcal P}$ と $\varepsilon>0$ を固定する。補題 2.6により、 $L$ の行列近傍 $V$ を取り、 $L'\in V$ ならば $\|(C(L')-C(L))v\|<\varepsilon$ となるようにすることができる。近傍の外でも同じノルムは $2\|v\|$ 以下である。したがって

\left\|\frac1{|F_l|}\sum_{k\in F_l}C(M_{\mathcal R,\mathcal P}(hkg))v-C(L)v\right\| \leq\varepsilon+2\|v\|\mathbb P(L^{(l)}\notin V).

右辺の上極限は $\varepsilon$ 以下であり、 $\varepsilon$ は任意なので、左辺の平均は $C(L)v$ へノルム収束する。

同じ平均は

E_{\pi,\mathcal R}\pi(h) \left(\frac1{|F_l|}\sum_{k\in F_l}\pi(k)\right)\pi(g)v

に等しい。補題 3.1により、中央の平均は $E_{\pi,\mathcal Q}$ へ強収束する。左右の作用素は固定されているので、表示したベクトルの極限は $C(N)C(M)v$ である。ノルム極限の一意性により、任意の $v$ について所要の等式が成り立つ。▨

命題 3.4. $\mathcal Q$ を $\mathcal P$ の精細化とし、 $J=(\mu(B_j\cap A_i))_{j,i}$ とする。強連続ユニタリ表現 $\pi$ を取る。このとき、次が成り立つ。

$C_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}(J)$ は包含 $H_{\pi,\mathcal P}\hookrightarrow H_{\pi,\mathcal Q}$ である。
$C_{\pi;\mathcal P,\mathcal Q}(J^{\mathsf T})$ は対応する直交射影である。
有界同変作用素 $T:H_\pi\to H_\rho$ は $TE_{\pi,\mathcal P}=E_{\rho,\mathcal P}T,\qquad TC_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}(M) =C_{\rho;\mathcal Q,\mathcal P}(M)T|_{H_{\pi,\mathcal P}}$ を満たす。

証明. 恒等変換の $\mathcal P$ から $\mathcal Q$ への交差行列は $J$ である。 $H_{\pi,\mathcal P}\subseteq H_{\pi,\mathcal Q}$ なので、その圧縮は包含である。随伴を取れば主張 (2)が従う。 $T$ は各有限群平均と可換するから、補題 3.1の強極限を取ると固定射影との等式を得る。圧縮の定義にこの等式と同変性を適用すれば、最後の等式が従う。▨

命題 3.5. $\pi$ を $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の強連続ユニタリ表現とし、 $\mathcal P,\mathcal Q$ を有限分割とする。 $M\in\mathcal M(\mathcal Q,\mathcal P)$ に対して

S=D_{\mathcal Q}^{-1/2}MD_{\mathcal P}^{-1/2},\qquad \tau_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}(S)=C_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}(M)

と定め、 $S$ を正規化した許容行列という。このとき、次が成り立つ。

圧縮 $\tau_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}(S)$ は強連続な縮小作用素である。
始域・中間・終域の分割を一致させた許容行列に対して $\tau(N)\tau(M)=\tau(NM),\qquad \tau(M)^*=\tau(M^{\mathsf T}),\qquad \tau(I_{\mathcal P})=I_{H_{\pi,\mathcal P}}$ が成り立つ。また、積と転置も正規化した許容行列である。
$\mathcal Q$ が $\mathcal P$ の精細化で、 $J=(\mu(B_j\cap A_i))_{j,i}$ ならば、 $L=D_{\mathcal Q}^{-1/2}JD_{\mathcal P}^{-1/2}$ に対する $\tau(L)$ は固定空間の包含であり、 $\tau(L^{\mathsf T})$ はその随伴の直交射影である。

証明. 各有限片は正の有限測度をもつので、対角行列の平方根と逆行列は存在する。正規化した行列 $M,N$ に対応する交差行列をそれぞれ $\widetilde M=D_{\mathcal Q}^{1/2}MD_{\mathcal P}^{1/2}$ 、 $\widetilde N=D_{\mathcal R}^{1/2}ND_{\mathcal Q}^{1/2}$ とすると

D_{\mathcal R}^{-1/2}\widetilde N D_{\mathcal Q}^{-1}\widetilde M D_{\mathcal P}^{-1/2}=NM.

定理 3.3により、積の許容性と圧縮の積法則が従う。転置と正規化は可換し、 $I_{\mathcal P}$ は交差行列 $D_{\mathcal P}$ に対応するので、補題 2.6により随伴、恒等作用素、強連続性、縮小性の主張を得る。精細化に対する二つの作用素は命題 3.4による。▨

命題 4.1. $\pi$ を $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の強連続ユニタリ表現とする。このとき、次が成り立つ。

$H_\pi$ 上の強連続な正縮小作用素の族 $R_\pi(t)$ 、 $0\leq t\leq1$ がただ一つ存在し、各有限分割 $\mathcal P$ に対して $R_\pi(t)|_{H_{\pi,\mathcal P}} =\tau_{\pi;\mathcal P,\mathcal P}(tI_{\mathcal P}) =C_{\pi;\mathcal P,\mathcal P}(tD_{\mathcal P})$ を満たす。
$R_\pi(t)$ は $R_\pi(s)R_\pi(t)=R_\pi(st),\qquad R_\pi(1)=I, \qquad R_\pi(t)\pi(g)=\pi(g)R_\pi(t)$ を満たす。
任意の有界同変作用素 $T:H_\pi\to H_\rho$ について $TR_\pi(t)=R_\rho(t)T$ である。

証明. $R_{\pi,\mathcal P}(t)=\tau_{\pi;\mathcal P,\mathcal P}(tI_{\mathcal P})$ と置く。命題 3.5により、この作用素は自己共役であり、 $R_{\pi,\mathcal P}(t)=R_{\pi,\mathcal P}(\sqrt t)^2\geq0$ である。同じ積法則から乗法性が従い、恒等変換から $R_{\pi,\mathcal P}(1)=I$ を得る。

$\mathcal Q$ が $\mathcal P$ の精細化であり、 $L$ が包含の正規化した行列であるとする。行列の等式

(tI_{\mathcal Q})L=tL=L(tI_{\mathcal P})

と正規化圧縮の積法則により

R_{\pi,\mathcal Q}(t)\tau(L)=\tau(L)R_{\pi,\mathcal P}(t).

$\tau(L)$ は包含なので、 $R_{\pi,\mathcal Q}(t)$ の $H_{\pi,\mathcal P}$ への制限は $R_{\pi,\mathcal P}(t)$ と一致する。共通精細化が存在するので、固定空間の合併上で定まる作用素は分割の選択によらない。補題 2.2と縮小性により、 $H_\pi$ 全体上の正縮小作用素 $R_\pi(t)$ へ一意に延長することができる。乗法性も稠密な合併上の等式から従う。合併上では圧縮の強連続性があり、作用素ノルムは一様に $1$ 以下なので、全空間上でも $t$ に関して強連続である。

$g\mathcal P$ を片 $gA_i$ からなる分割とすると、 $\pi(g)H_{\pi,\mathcal P}=H_{\pi,g\mathcal P}$ である。 $h$ が $tD_{\mathcal P}$ を実現するならば $ghg^{-1}$ は $g\mathcal P$ に関して同じ行列を実現する。固定射影の共役も合わせると

\pi(g)R_{\pi,\mathcal P}(t)=R_{\pi,g\mathcal P}(t)\pi(g)

を得る。稠密性によって群作用との可換性が従う。有界同変作用素については命題 3.4の圧縮との等式を用い、同じく稠密な合併から全空間へ延長すればよい。▨

補題 4.2. $V\ne0$ を複素 Hilbert 空間とし、 $S:[0,1]\to B(V)$ を強連続な正縮小作用素の族とする。 $S(st)=S(s)S(t)$ 、 $S(1)=I$ を仮定する。また、各整数 $k\geq1$ と各 $0<t<1$ に対して、十分小さいすべての $h>0$ について

\Delta_h^kS(t):=\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}\binom kjS(t+jh)\geq0

が成り立つとする。 $B=S(e^{-1})$ とおく。このとき、次が成り立つ。

$\ker B=0$ である。
$\sigma(B)\subseteq\{0\}\cup\{e^{-m}:m\in\N\}$ である。
$S(e^{-s})=B^s$ がすべての $s>0$ について成り立つ。

証明.§E12.55 定理 3.1を正縮小作用素 $B$ に適用する。 $B^s$ は $[0,1]$ 上の連続関数 $\lambda\mapsto\lambda^s$ による作用素である。正作用素 $Y$ が $Y^q=X$ を満たすならば、§E12.55 定理 3.1 (3)により $(Y^q)^{1/q}=Y$ であるから、正の $q$ 乗根は一意である。半群則より $S(e^{-1/q})^q=B$ なので、 $S(e^{-1/q})=B^{1/q}$ となる。したがって $s>0$ が有理数ならば $S(e^{-s})=B^s$ である。

任意の実数 $s>0$ に対して正有理数 $s_l\to s$ を取る。 $\lambda^{s_l}\to\lambda^s$ は $[0,1]$ 上で一様収束する。実際、十分大きい $l$ では $s/2\leq s_l\leq2s$ であり、 $(\lambda,u)\mapsto\lambda^u$ はコンパクト集合 $[0,1]\times[s/2,2s]$ 上で連続である。関数計算の等長性によって $B^{s_l}\to B^s$ はノルム収束し、 $S$ の強連続性によって $S(e^{-s_l})\to S(e^{-s})$ は強収束する。よって両極限は等しい。

$v\in\ker B$ とする。関数 $\lambda^{1/q}$ は定数項が零の多項式で一様近似することができるので、 $B^{1/q}v=0$ である。 $q\to\infty$ とすると $e^{-1/q}\to1$ であり、 $S$ の強連続性から $v=S(1)v=0$ を得る。

$0<\lambda\in\sigma(B)$ とし、 $a=-\log\lambda\geq0$ と置く。 $t+kh<1$ を満たす差分は、 $S(e^{-s})=B^s$ により連続関数

F_{t,h,k}(x)=\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}\binom kjx^{-\log(t+jh)}

の $B$ における値である。各指数は正なので、この関数は $x=0$ まで連続である。§E12.55 定理 3.1 (2)の正値性の反映により

0\leq F_{t,h,k}(\lambda)=\Delta_h^k(t^a).

$a$ が整数でないと仮定し、 $m<a<m+1$ を満たす $m\in\N$ を取る。 $k=m+2$ とすれば、 $f(u)=u^a$ は $u>0$ で

f^{(k)}(u)=a(a-1)\cdots(a-k+1)u^{a-k}<0

を満たす。固定した $0<t<1$ と十分小さい $h>0$ に対し、微積分の基本定理の反復から

\Delta_h^kf(t)=\int_0^h\cdots\int_0^h f^{(k)}(t+u_1+\cdots+u_k)\,du_1\cdots du_k<0.

これは先の非負性に反する。したがって $a\in\N$ であり、スペクトルの包含が従う。▨

補題 4.3. $\pi$ を $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の強連続ユニタリ表現とする。このとき、整数 $k\geq1$ 、 $0\leq t<1$ 、 $h>0$ が $\sqrt t+k\sqrt h\leq1$ を満たすならば、 $\Delta_h^kR_\pi(t)\geq0$ である。

証明. 有限分割 $\mathcal P$ と整数 $q\geq1$ を取る。無限測度の実数直線には、互いに素な片 $B_{j,i}$ 、 $1\leq j\leq q$ 、 $1\leq i\leq r$ で $\mu(B_{j,i})=a_i$ を満たすものが存在する。これらと無限残余からなる分割を $\mathcal Q$ とする。 $x_j\geq0$ 、 $\sum_jx_j\leq1$ を満たす $x\in\R^q$ に対して

(M_x)_{(j,i),l}=x_ja_i\delta_{il}

と置く。この行列の列和は $a_l\sum_jx_j\leq a_l$ 、行和は $x_ja_i\leq a_i$ なので許容される。重み付き積を計算すると

M_x^{\mathsf T}D_{\mathcal Q}^{-1}M_y=\langle x,y\rangle D_{\mathcal P}.

したがって圧縮の随伴と積法則から

C(M_x)^*C(M_y)=R_\pi(\langle x,y\rangle)|_{H_{\pi,\mathcal P}}.

$q=k+1$ とし、 $S\subseteq\{1,\ldots,k\}$ に対して

x_S=\sqrt t\,e_0+\sqrt h\sum_{j\in S}e_j, \qquad c_S=(-1)^{k-|S|}

と置く。仮定から $x_S$ は上の非負の $\ell^1$ 単位球に属する。任意の $v\in H_{\pi,\mathcal P}$ に対して

0\leq\left\|\sum_SC(M_{x_S})c_Sv\right\|^2 =\sum_{S,T}c_Sc_T\langle R_\pi(t+h|S\cap T|)v,v\rangle.

各座標について、 $S,T$ のどちらにも属さない場合の係数は $1$ 、一方だけに属する場合はそれぞれ $-1$ 、両方に属する場合は $1$ である。最後の場合だけ $|S\cap T|$ が一つ増すので、二重和の係数を表す多項式は $(1-1-1+z)^k=(z-1)^k$ である。よって二重和は $\langle\Delta_h^kR_\pi(t)v,v\rangle$ に等しい。固定空間の合併は稠密なので、全空間上で差分は正作用素である。▨

例 4.4. $a>0$ が整数でないとき、 $S(t)=t^aI$ 、 $0\leq t\leq1$ は強連続な正縮小半群であり、 $S(1)=I$ を満たす。また、有限個の非負数 $t_i$ に対して行列 $((t_it_j)^a)_{i,j}$ は正半定値である。実際、その二次形式は $|\sum_ic_it_i^a|^2$ の形である。しかし $m<a<m+1$ とすると、 $k=m+2$ に対する $t^a$ の $k$ 階導関数は負である。したがって補題 4.2の証明の差分公式により、十分小さい正の $h$ について $\Delta_h^kS(t)$ は負のスカラー作用素となる。半群の正値性とこの一次元の核の正値性だけでは、全階差分の条件は従わない。

定理 4.5. $\pi$ を $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の任意次元の複素 Hilbert 空間上の強連続ユニタリ表現とする。このとき、一意な閉不変部分空間への直交分解

H_\pi=\widehat\bigoplus_{n\geq0}H_{\pi,n},\qquad R_\pi(t)=\sum_{n\geq0}t^nP_{\pi,n}\quad(0\leq t\leq1)

が存在する。ここで $P_{\pi,n}$ は $H_{\pi,n}$ への直交射影であり、 $0^0=1$ とする。和は強収束し、 $0\leq t<1$ ではノルム収束する。 $H_{\pi,n}$ を $\pi$ の次数 $n$ の部分空間 (degree subspace) という。次の性質が成り立つ。

$H_{\pi,n}=\ker(R_\pi(e^{-1})-e^{-n}I)$ である。
有界同変作用素 $T:H_\pi\to H_\rho$ は $TP_{\pi,n}=P_{\rho,n}T$ を満たす。特に、全空間が異なる次数である二つの表現の間の有界同変作用素は零である。
$H_{\pi,0}=H_\pi^G$ である。また、Koopman 表現 $U$ について $H_{U,1}=L^2(\R,\mu)$ である。

証明. $H_\pi=0$ の場合は各部分空間を零とすればよい。 $H_\pi\ne0$ とし、 $B=R_\pi(e^{-1})$ と置く。補題 4.3の条件は、各 $0<t<1$ と各 $k$ について十分小さいすべての $h>0$ で満たされる。したがって補題 4.2により

\sigma(B)\subseteq D:=\{0\}\cup\{e^{-n}:n\in\N\},\qquad \ker B=0.

$D$ 上で $e^{-n}$ の特性関数を $f_n$ とする。 $e^{-n}$ は孤立点なので $f_n$ は連続であり、 $P_{\pi,n}=f_n(B)$ は相互直交する直交射影である。連続汎関数計算から

BP_{\pi,n}=e^{-n}P_{\pi,n},\qquad \left\|B-\sum_{n=0}^Ne^{-n}P_{\pi,n}\right\|\leq e^{-(N+1)}.

すべての射影の像に直交するベクトル $v$ は、この評価により $Bv=0$ を満たす。 $\ker B=0$ なので $v=0$ である。よって像の直交和は $H_\pi$ 全体であり、 $\sum_nP_{\pi,n}=I$ が強収束する。

$R_\pi(e^{-s})=B^s$ により、 $0<t<1$ に対して $R_\pi(t)=\sum_nt^nP_{\pi,n}$ であり、切り捨て誤差は $t^{N+1}$ 以下である。 $t\downarrow0$ のとき正次数上のノルムは $t$ 以下なので、強連続性から $R_\pi(0)=P_{\pi,0}$ となる。 $t=1$ は射影の強和である。固有値の等式を各直交成分へ制限すると主張 (1)と一意性を得る。

命題 4.1により $B$ は $\pi(g)$ と可換するので各固有空間は不変である。同じ命題から $TB_\pi=B_\rho T$ であり、 $T$ は固有値 $e^{-n}$ の空間を同じ固有値の空間へ写す。直交分解の強収束と $T$ の有界性から、主張 (2)の射影との等式を得る。

$v\in H_\pi^G$ ならば、すべての圧縮は $v$ を固定するので $R_\pi(0)v=v$ である。逆に $v\in H_{\pi,\mathcal P}$ 、 $w=R_\pi(0)v$ とする。 $g\in G$ に対して $\mathcal Q$ を $\mathcal P$ と $g\mathcal P$ の共通精細化とすると、 $v,w,\pi(g)w\in H_{\pi,\mathcal Q}$ である。 $M_g$ を $g$ の $\mathcal Q$ に関する交差行列とすれば

\pi(g)w=C_{\pi;\mathcal Q,\mathcal Q}(M_g) C_{\pi;\mathcal Q,\mathcal Q}(0)v =C_{\pi;\mathcal Q,\mathcal Q}(0)v=w.

最後の等式は零行列の吸収性と圧縮の積法則による。固定空間の合併の像は $R_\pi(0)H_\pi$ で稠密であり、 $H_\pi^G$ は閉じている。したがって $H_{\pi,0}=H_\pi^G$ である。

Koopman 表現の $K_{\mathcal P}$ 固定空間は $1_{A_1},\ldots,1_{A_r}$ の線形包である。実際、各片上で全測度保存変換に不変な関数が非定数ならば、実部または虚部の値が離れた二つの正測度の逆像が存在する。その中から等しい有限正測度の集合を取り、補題 2.3によって交換すると不変性に反する。よって各片上では定数であり、無限残余上では二乗可積分性によって零である。正規直交基底 $e_i=a_i^{-1/2}1_{A_i}$ に関して

\langle U_ge_i,e_j\rangle=\frac{\mu(A_j\cap gA_i)}{\sqrt{a_ja_i}}.

行列 $tD_{\mathcal P}$ の圧縮は $tI$ なので、固定空間の合併の稠密性から $R_U(t)=tI$ となる。したがって主張 (3)の残りも従う。▨

命題 4.6. $\pi,\rho$ を $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の強連続ユニタリ表現とする。このとき、次が成り立つ。

Hilbert テンソル積について $H_{\pi\otimes\rho,k} =\widehat\bigoplus_{n+m=k}H_{\pi,n}\widehat\otimes H_{\rho,m}.$
共役表現について $H_{\overline\pi,n}=\overline{H_{\pi,n}}$ である。
任意の集合 $I$ で添字づけた強連続ユニタリ表現族 $(\pi_a)_{a\in I}$ について $H_{\bigoplus_{a\in I}\pi_a,n} =\widehat\bigoplus_{a\in I}H_{\pi_a,n}.$

証明. $v,v'\in H_{\pi,\mathcal P}$ 、 $w,w'\in H_{\rho,\mathcal P}$ とし、 $g$ を交差行列 $tD_{\mathcal P}$ の代表元とする。両純テンソルは $K_{\mathcal P}$ に固定されるので、圧縮の定義により

\begin{aligned} \langle R_{\pi\otimes\rho}(t)(v\otimes w),v'\otimes w'\rangle &=\langle\pi(g)v,v'\rangle\langle\rho(g)w,w'\rangle\\ &=\langle R_\pi(t)v,v'\rangle\langle R_\rho(t)w,w'\rangle. \end{aligned}

有限個の固定ベクトルには共通分割を取ることができる。そのような純テンソルの線形包は稠密であり、両作用素は縮小作用素なので

R_{\pi\otimes\rho}(t)=R_\pi(t)\widehat\otimes R_\rho(t).

各因子を有限個の次数成分で近似すれば、純テンソルも $H_{\pi,n}\widehat\otimes H_{\rho,m}$ の有限和で近似することができる。よってこれらの部分空間の直交和は全空間を尽くす。その各成分上で $R_{\pi\otimes\rho}(e^{-1})$ は $e^{-(n+m)}I$ であるから、固有空間の特徴づけにより主張 (1)が従う。

共役空間への標準反線形等長写像を $J$ とする。固定空間と固定射影は $J$ で対応する。圧縮に同じ代表元を用いると $R_{\overline\pi}(t)J=JR_\pi(t)$ である。固有値 $e^{-n}$ は実数なので、主張 (2)を得る。

直和表現は§E14.8 命題 3.1により強連続である。 $K_{\mathcal P}$ 固定性は各成分の固定性と同値なので、その固定射影は $\bigoplus_aE_{\pi_a,\mathcal P}$ である。圧縮を成分ごとに比較し、固定空間の合併の稠密性を用いると $R_{\bigoplus_a\pi_a}(t)=\bigoplus_aR_{\pi_a}(t)$ である。固有空間を取ることによって主張 (3)が従う。▨

補題 5.1. $H=L^2(\R,\mu)$ とし、各 $r\in\NN$ に対して $[-2^r,2^r)$ を長さ $a_r=2^{-r}$ の半開区間 $A_{r,1},\ldots,A_{r,d_r}$ に分ける。これらの指示関数の線形包を $V_r$ 、その直交射影を $Q_r$ とする。非負実行列 $S=(s_{ij})_{i,j=1}^{d_r}$ の行和と列和がすべて $1$ 以下であるとき、正規直交基底 $a_r^{-1/2}1_{A_{r,i}}$ に関して $V_r$ 上で $S$ として作用し、 $V_r^\perp$ 上で零となる作用素を $K_{r,S}$ とする。このとき、次が成り立つ。

$K_{r,S}$ は縮小作用素である。
$K_{r,S}$ は Koopman 作用素の列の弱極限である。特に $Q_r$ はそのような弱極限である。
すべての $0\leq t\leq1$ について、 $tI_H$ は Koopman 作用素の列の弱極限である。

証明. $z\in\C^{d_r}$ に対して

\sum_i\left|\sum_js_{ij}z_j\right|^2 \leq\sum_i\left(\sum_js_{ij}\right)\left(\sum_js_{ij}|z_j|^2\right) \leq\sum_j|z_j|^2

なので、 $\|K_{r,S}\|\leq1$ である。この作用素は非負核

\kappa(x,y)=a_r^{-1}\sum_{i,j}s_{ij}1_{A_{r,i}}(x)1_{A_{r,j}}(y)

をもち、その各変数についての積分はともに $1$ 以下である。 $l\geq r$ の分割の有限片を $B_i$ とし、

m_{ij}^{(l)}=\langle K_{r,S}1_{B_j},1_{B_i}\rangle =\int_{B_i\times B_j}\kappa(x,y)\,d\mu(x)d\mu(y)

と置く。各列和は $\mu(B_j)$ 以下、各行和は $\mu(B_i)$ 以下であるから、補題 2.4 (1)によって交差行列が $(m_{ij}^{(l)})$ である $g_l\in G$ を取ることができる。このとき、 $f,h\in V_l$ に対して

\langle U_{g_l}f,h\rangle=\langle K_{r,S}f,h\rangle.

空間 $V_l$ は増大し、その合併は§E14.29 補題 2.1の有理区間近似によって $H$ で稠密である。両作用素のノルムは $1$ 以下なので、任意の $f,h\in H$ について係数の収束を得る。 $S=I$ とすれば $K_{r,S}=Q_r$ である。

$tI_H$ に対しては、各分割で $m_{ij}^{(l)}=t\mu(B_i\cap B_j)$ と置く。この行列も同じ行和・列和の条件を満たすので実現される。 $V_l$ 上の係数の一致と稠密性により、対応する Koopman 作用素は $tI_H$ へ弱収束する。▨

定理 5.2. $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の $H=L^2(\R,\mu)$ 上の Koopman 表現を $U$ とし、 $n\geq0$ とする。 $W_\sigma$ を $\sigma\in S_n$ によるテンソル因子の置換とする。このとき

\{U_g^{\widehat\otimes n}:g\in G\}' =\operatorname{span}_\C\{W_\sigma:\sigma\in S_n\}.

この群環作用は忠実である。

証明. $n=0$ では空間は $\C$ であり、両辺は $\C I$ である。 $n\geq1$ とし、左辺の有界作用素 $B$ を取る。有界作用素による左右の乗法は弱作用素連続であるから、補題 5.1と§E12.9 補題 6.2により

BK_{r,S}^{\widehat\otimes n}=K_{r,S}^{\widehat\otimes n}B, \qquad BQ_r^{\widehat\otimes n}=Q_r^{\widehat\otimes n}B.

したがって $B$ は $V_r^{\otimes n}$ を保つ。その制限 $B_r$ は、非負で行和と列和がすべて $1$ 以下であるすべての行列 $S$ のテンソル冪と可換する。

実行列の開集合 $0<s_{ij}<1/(2d_r)$ は許容行列の集合に含まれる。行列 $B_rS^{\otimes n}-S^{\otimes n}B_r$ の各成分は、 $S$ の成分に関する複素係数の多項式である。一変数多項式が実開区間上で零ならば恒等的に零であることを各変数へ順に適用すると、その成分は全複素行列上で零となる。特に $B_r$ は $\GL(V_r)$ のすべてのテンソル冪と可換する。§E7.35 定理 3.5により

B_r=\sum_{\sigma\in S_n}c_{r,\sigma}W_\sigma|_{V_r^{\otimes n}}

と書くことができる。

$d_r\geq n$ ならば、相異なる正規直交基底ベクトルのテンソル $e_1\otimes\cdots\otimes e_n$ の置換軌道は正規直交する。よって置換作用素は一次独立であり、係数 $c_{r,\sigma}$ は一意である。 $l\geq r$ に対して $V_r\subseteq V_l$ であり、 $B_l$ と各置換の制限はそれぞれ $B_r$ と対応する置換である。したがって $d_r\geq n$ となる段階以後、係数は $r$ によらない。

$\bigcup_rV_r$ は稠密なので、各純テンソルの因子を近似することによって $\bigcup_rV_r^{\otimes n}$ も $H^{\widehat\otimes n}$ で稠密である。この合併上で $B=\sum_\sigma c_\sigma W_\sigma$ であり、両辺は有界なので全空間上で一致する。逆包含は§E12.9 命題 7.1による。忠実性も、相異なる基底ベクトルのテンソルへ作用させることから従う。▨

補題 5.3. $\pi$ を群 $G$ の複素 Hilbert 空間 $V$ 上のユニタリ表現とし、ある整数 $n\geq0$ に対して忠実な単位的＊表現 $\rho\colon\C[S_n]\to B(V)$ が

\pi(G)'=\rho(\C[S_n])

を満たすとする。このとき、次が成り立つ。

原始直交射影 $p\in\C[S_n]$ の像 $\rho(p)V$ 上の制限表現は非零既約である。
原始直交射影 $p,q\in\C[S_n]$ が異なる単純成分に属すれば、二つの像 $\rho(p)V$ 、 $\rho(q)V$ の間の有界同変作用素は零である。
原始直交射影 $p,q\in\C[S_n]$ が同じ単純成分に属すれば、二つの像 $\rho(p)V$ 、 $\rho(q)V$ の間にユニタリ同変全単射が存在する。

証明. $\rho$ は忠実で $p\ne0$ なので、 $\rho(p)V\ne0$ である。 $\rho(p)$ と $\rho(q)$ は $\pi(G)$ と可換する直交射影である。二つの像の間の有界同変作用素 $T$ を、 $\rho(p)V$ の直交補上で零として $V$ 上へ延長する。延長は $\pi(G)$ と可換するので、仮定により $\rho(a)$ 、 $a\in\C[S_n]$ の形となる。始域と像の条件から $\rho(a)=\rho(q)\rho(a)\rho(p)$ である。逆に $\rho(qap)$ の制限は二つの像の間の有界同変作用素である。よって

\operatorname{Hom}_G(\rho(p)V,\rho(q)V) =\{\rho(qap)|_{\rho(p)V}:a\in\C[S_n]\}.

§E7.34 命題 2.4と§E7.34 定理 2.5により、各単純成分は $\End(S^\lambda)$ である。Specht 加群の不変内積に関して各置換の随伴は逆置換なので、この分解は対合を保つ。原始直交射影はこの行列代数の階数一の射影なので、 $p\C[S_n]p=\C p$ である。よって $\rho(p)V$ 上の可換子はスカラー作用素だけからなる。閉不変部分空間とその直交補はユニタリ作用で保たれるので、その直交射影は可換子に属する。スカラーの直交射影は零または恒等作用素であるから、制限表現は既約である。

異なる単純成分の積は零なので、その場合には $q\C[S_n]p=0$ である。同じ単純成分の場合には、 $p,q$ の像の単位ベクトルをそれぞれ $e,f$ とし、 $e$ を $f$ へ写し $e^\perp$ 上で零となる行列 $v$ を取る。すると $v^*v=p$ 、 $vv^*=q$ である。したがって $\rho(v)$ の制限は二つの像の間のユニタリ同変作用素である。▨

系 5.4. $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の Koopman 表現 $U$ に対して、各 $\mathbb S_\lambda(U)$ 、 $\lambda\vdash n$ 、 $n\geq0$ は非零既約表現である。二つの型の間には次の性質が成り立つ。

$\mathbb S_\lambda(U)$ と $\mathbb S_\nu(U)$ がユニタリ同値であるための必要十分条件は、次数と分割がともに一致することである。異なる型の間の有界同変作用素は零である。
$\C[S_n]$ の原始直交射影 $p$ の像上の表現は、 $p$ が属する型の Schur 表現とユニタリ同値である。同じ単純成分内の二つの原始直交射影の像は群環の行列単位によってユニタリ同値となる。

証明.命題 1.1の評価分解のもとで、群環の像は

\bigoplus_{\lambda\vdash n}\End(S^\lambda)\widehat\otimes I_{\mathbb S_\lambda(H)}

である。定理 5.2の忠実性により、どの単純成分も零には作用しないので、各 $\mathbb S_\lambda(H)$ は非零である。

型 $\lambda$ の原始直交射影を $p$ とする。補題 5.3を忠実な可換子定理 5.2に適用すると、 $p$ の像上の表現は既約であり、異なる単純型の像の間の同変作用素は零である。同じ単純型の原始射影の像はユニタリ同値である。評価分解では $p$ の Specht 因子の像が一次元なので、 $p$ の像上の制限は $\mathbb S_\lambda(U)$ とユニタリ同値である。

定理 4.5 (3)と命題 4.6 (1)により、 $U^{\widehat\otimes n}$ の全空間は次数 $n$ である。その Schur 部分表現も定理 4.5 (2)によって次数 $n$ である。したがって異次数間の同変作用素は零であり、主張 (1)も従う。▨

補題 6.1. $n\geq1$ とし、 $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の強連続ユニタリ表現 $\pi$ が $R_\pi(t)=t^nI$ を満たすとする。有限片が $r$ 個の分割 $\mathcal P$ を固定し、正規化した圧縮を $\tau$ と書く。第 $i$ 対角成分が $t$ 、ほかの対角成分が $1$ である行列を $D_i(t)$ とする。このとき、相互に可換する直交射影 $P_{i,m}$ 、 $1\leq i\leq r$ 、 $0\leq m\leq n$ が存在し、

\tau(D_i(t))=\sum_{m=0}^nt^mP_{i,m},\qquad \sum_{m=0}^nP_{i,m}=I\quad(0\leq t\leq1)

を満たす。同じ $i$ の射影は互いに直交する。

証明. $S_i(t)=\tau(D_i(t))$ と置く。 $D_i(t)$ は正規化した許容行列なので、 $S_i(t)$ は強連続な縮小作用素の族である。転置と積の保存から $S_i(t)=S_i(\sqrt t)^2\geq0$ であり、 $S_i(s)S_i(t)=S_i(st)$ 、 $S_i(1)=I$ である。異なる座標の作用素も可換し、

\prod_{i=1}^rS_i(t)=t^nI.

ほかの座標の積は $S_i(t)$ と可換する正縮小作用素であるから

t^nI\leq S_i(t)\leq I.

$q\geq1$ とし、 $\mathcal P$ の第 $i$ 片と同じ測度の片を $q$ 個、ほかの各片と同じ測度の片を一つずつ持つ分割 $\mathcal Q$ を取る。非負ベクトル $x\in\R^q$ 、 $\sum_jx_j\leq1$ に対し、行列 $X_x$ の第 $i$ 列を複製した $q$ 行上の $x$ とし、ほかの各列を対応する残りの行の単位ベクトルとする。対応する交差行列 $D_{\mathcal Q}^{1/2}X_xD_{\mathcal P}^{1/2}$ の第 $i$ 列の和は $a_i\sum_jx_j\leq a_i$ 、複製行の和は $a_ix_j\leq a_i$ であり、ほかの行和・列和は対応する片の測度に等しい。したがって $X_x$ は正規化した許容行列である。命題 3.5により

X_x^{\mathsf T}X_y=D_i(\langle x,y\rangle),\qquad \tau(X_x)^*\tau(X_y)=S_i(\langle x,y\rangle).

$k\geq1$ 、 $0<t<1$ とし、 $\sqrt t+k\sqrt h\leq1$ となる $h>0$ を取る。 $q=k+1$ 、 $x_S=\sqrt t\,e_0+\sqrt h\sum_{j\in S}e_j$ 、 $c_S=(-1)^{k-|S|}$ と置くと、 $x_S$ は上の許容条件を満たす。Gram 行列を $c_Sv$ に適用すると、補題 4.3の証明と同じ係数多項式 $(z-1)^k$ により、 $\Delta_h^kS_i(t)\geq0$ を得る。この条件は各 $k,t$ に対して十分小さいすべての $h>0$ で成立する。

$H_{\pi,\mathcal P}=0$ ならばすべての射影を零とすればよい。それ以外では、補題 4.2を $S_i$ に適用する。 $B_i=S_i(e^{-1})$ は $e^{-n}I\leq B_i\leq I$ を満たすので、そのスペクトルは有限集合 $\{e^{-m}:0\leq m\leq n\}$ に含まれる。各点の特性関数による連続汎関数計算から射影 $P_{i,m}$ を得る。 $S_i(e^{-s})=B_i^s$ と $t=0$ での強連続性によって、表示した展開が成り立つ。各射影は $B_i$ の多項式であり、すべての $B_i$ は可換するので、異なる座標の射影も可換する。▨

命題 6.2. $n\geq1$ とし、 $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の強連続ユニタリ表現 $\pi$ が $R_\pi(t)=t^nI$ を満たすとする。このとき、有限分割の組 $\mathcal P,\mathcal Q$ に対して、命題 3.5の圧縮 $\tau_{\pi;\mathcal Q,\mathcal P}$ はすべての非負矩形行列へ一意に $n$ 次斉次延長される。その延長を $F_{\mathcal Q,\mathcal P}$ と書くと、 $F$ は強連続であり、

F(N)F(M)=F(NM),\quad F(M)^*=F(M^{\mathsf T}), \quad F(I_{\mathcal P})=I_{H_{\pi,\mathcal P}},\quad F(cM)=c^nF(M)

を満たす。最後の等式は $c\geq0$ について成り立ち、各積では始域・中間・終域の分割を一致させる。

証明. 正規化した許容行列 $S$ と $0<s\leq1$ を取る。命題 3.5と $R_\pi(s)=s^nI$ により、終域の行列 $sI$ との積から

\tau(sS)=s^n\tau(S)

を得る。非負行列 $S$ に対して、十分小さい $c>0$ を取り、 $cD_{\mathcal Q}^{1/2}SD_{\mathcal P}^{1/2}$ が許容されるようにする。そして

F_{\mathcal Q,\mathcal P}(S) =c^{-n}\tau_{\mathcal Q,\mathcal P}(cS)

と定める。二つの許容尺度の小さい方を大きい方の倍数として比較すると、上の斉次性によって値は尺度によらない。したがって斉次延長は一意である。

$cM$ と $dN$ をそれぞれ許容される尺度に取る。正規化した許容行列の積も許容されるので

F(N)F(M)=d^{-n}c^{-n}\tau(dN)\tau(cM) =(cd)^{-n}\tau(cdNM)=F(NM).

転置に対しては同じ尺度を用いることができるので、随伴の等式も従う。恒等行列と正の尺度の等式は定義による。零行列には $\tau(0)=s^n\tau(0)$ を $0<s<1$ で適用して $F(0)=0$ を得る。行列の有界近傍ごとに共通尺度を選ぶことができるので、圧縮の強連続性から全非負行列上の強連続性が従う。▨

命題 6.3.命題 6.2の仮定のもとで、任意の有限分割の組 $\mathcal P,\mathcal R$ に対する $F_{\mathcal R,\mathcal P}(S)$ は、非負行列 $S$ の全成分を変数とする総次数 $n$ の有界作用素係数の斉次多項式である。

証明. 有限片が $r$ 個の分割を固定し、補題 6.1の射影について

P_\alpha=\prod_{i=1}^rP_{i,\alpha_i},\qquad \alpha\in\{0,\ldots,n\}^r

と置く。これらは相互直交する射影であり、その和は $I$ である。 $\prod_i\tau(D_i(e^{-1}))=e^{-n}I$ を $P_\alpha$ の像に制限すると、その像が非零ならば $|\alpha|=n$ である。したがって

F(\operatorname{diag}(t_1,\ldots,t_r)) =\sum_{|\alpha|=n}t_1^{\alpha_1}\cdots t_r^{\alpha_r}P_\alpha

が $0\leq t_i\leq1$ で成り立つ。一般の $t_i\geq0$ に対しては、共通の正尺度で各成分を $[0,1]$ に入れ、斉次性を適用する。

$S=(s_{ji})$ を $s\times r$ 非負行列とする。有限片が $rs$ 個の中間分割 $\mathcal Q$ を取り、その片を組 $(j,i)$ で添字づける。固定行列 $A,B$ を

A_{k,(j,i)}=\delta_{kj},\qquad B_{(j,i),l}=\delta_{il}

で定めると、 $S=A\operatorname{diag}(s_{ji})B$ である。よって積の保存と上の対角展開から

F_{\mathcal R,\mathcal P}(S) =\sum_{|\alpha|=n} \left(\prod_{j,i}s_{ji}^{\alpha_{ji}}\right) F_{\mathcal R,\mathcal Q}(A)P_\alpha^{\mathcal Q}F_{\mathcal Q,\mathcal P}(B).

和は有限であり、各係数は有界作用素の合成である。したがって所要の多項式表示を得る。▨

補題 7.1. $G$ を群、 $\pi,\sigma$ を複素 Hilbert 空間上のユニタリ表現とする。 $0\ne v\in H_\pi$ と $\xi,\eta\in H_\sigma$ がすべての $g\in G$ について

\langle\pi(g)v,v\rangle=\langle\sigma(g)\xi,\eta\rangle

を満たすとする。このとき、 $\sigma\oplus\sigma$ から $\pi$ への非零有界同変作用素が存在する。

証明. 複素群環の元 $a=\sum_ga_gg$ に対して $a^*=\sum_g\overline{a_g}g^{-1}$ とする。係数の等式を線形に延長し、 $a^*a$ に適用すると

\begin{aligned} \|\pi(a)v\|^2 &=\langle\sigma(a)\xi,\sigma(a)\eta\rangle\\ &\leq\tfrac12\left(\|\sigma(a)\xi\|^2+\|\sigma(a)\eta\|^2\right). \end{aligned}

中央の数は左辺に等しいので実数かつ非負である。不等式は Cauchy–Schwarz の不等式と $2xy\leq x^2+y^2$ による。

$\widetilde\sigma=\sigma\oplus\sigma$ 、 $\zeta=(\xi,\eta)/\sqrt2$ と置く。上の評価により

\widetilde\sigma(a)\zeta\longmapsto\pi(a)v

は群環で生成される部分空間上の well-defined な線形縮小写像である。したがって、その閉包 $E$ 上の縮小作用素 $T_0$ へ延長することができる。定義から $T_0\widetilde\sigma(g)=\pi(g)T_0$ であり、 $T_0\zeta=v\ne0$ である。 $E$ は閉不変部分空間なので、その直交射影 $P_E$ は群作用と可換する。よって $T_0P_E$ は全空間上の非零有界同変作用素である。▨

定理 7.2. $n\geq1$ とし、 $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の非零な強連続ユニタリ表現 $\pi$ が $H_\pi=H_{\pi,n}$ を満たすとする。このとき、Koopman 表現のテンソル冪からの非零有界同変作用素

T:L^2(\R,\mu)^{\widehat\otimes n}\longrightarrow H_\pi

が存在する。

証明.補題 2.2により、有限分割 $\mathcal P$ と非零ベクトル $v\in H_{\pi,\mathcal P}$ を取る。 $a_i=\mu(A_i)$ 、 $e_i=a_i^{-1/2}1_{A_i}$ と置く。 $g\in G$ の正規化交差行列は

S(g)_{ji}=\frac{\mu(A_j\cap gA_i)}{\sqrt{a_ja_i}} =\langle U_ge_i,e_j\rangle

である。 $H_\pi=H_{\pi,n}$ という仮定により $R_\pi(t)=t^nI$ なので、命題 6.3を適用することができる。圧縮の定義から

\langle\pi(g)v,v\rangle=\langle F_{\mathcal P,\mathcal P}(S(g))v,v\rangle

は $S(g)$ の成分に関する総次数 $n$ の斉次多項式である。

各単項式は、適切な添字列 $i_1,\ldots,i_n$ 、 $j_1,\ldots,j_n$ によって

\prod_{l=1}^n\langle U_ge_{i_l},e_{j_l}\rangle =\left\langle U_g^{\widehat\otimes n} (e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_n}), e_{j_1}\otimes\cdots\otimes e_{j_n}\right\rangle

と書くことができる。単項式の係数を第一ベクトルへ掛け、項ごとに一つの直和成分を取ると、有限整数 $L\geq1$ と $\sigma=(U^{\widehat\otimes n})^{\oplus L}$ のベクトル $\xi,\eta$ が存在し、 $\langle\pi(g)v,v\rangle=\langle\sigma(g)\xi,\eta\rangle$ となる。

補題 7.1により、 $(U^{\widehat\otimes n})^{\oplus2L}$ から $\pi$ への非零有界同変作用素を得る。その有限個の成分への制限がすべて零ならば作用素自体も零となるので、一つの成分への制限は非零である。その制限が所要の $T$ である。▨

定理 7.3. $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ 、 $H=L^2(\R,\mu;\C)$ とし、 $U$ を Koopman 表現とする。このとき、次が成り立つ。

$G$ の任意の強連続ユニタリ表現 $\pi$ は、複素 Hilbert 空間 $M_0$ と $M_\lambda$ 、 $\lambda\vdash n$ 、 $n\geq1$ を用いて $H_\pi\simeq M_0\ \widehat\oplus\ \widehat\bigoplus_{n\geq1}\ \bigoplus_{\lambda\vdash n} \mathbb S_\lambda(H)\widehat\otimes M_\lambda$ とユニタリ同値に表される。群は $M_0$ と各 $M_\lambda$ に自明に作用し、各 Schur 因子には $\mathbb S_\lambda(U)$ として作用する。
$G$ の強連続ユニタリ表現 $\pi$ ごとに、上の形の表示に現れる重複度空間 $M_0,M_\lambda$ はユニタリ同型を除いて一意である。
逆に、任意の複素 Hilbert 空間 $M_0,M_\lambda$ に対して、上の表示の右辺の形の直和表現は強連続である。

証明.主張 (1)を示す。全空間が次数 $n\geq1$ である非零表現を取る。定理 7.2による非零同変作用素 $T:H^{\widehat\otimes n}\to H_\pi$ の始域は、命題 1.1と系 5.4により、有限個の既約 Schur 型の有限重複直和である。したがって、非零の制限 $A:\mathbb S_\lambda(H)\to H_\pi$ をもつ型 $\lambda$ が存在する。 $A^*A$ は既約表現の可換子に属する正作用素なので、§E14.8 定理 4.6により $A^*A=cI$ 、 $c>0$ となる。よって $c^{-1/2}A$ は等長な同変埋込みであり、その像は閉不変部分空間である。

$H_\pi$ 内の、Schur 型と同値で互いに直交する閉不変部分空間の族を考える。これらの族の全体は集合であり、包含に関する鎖の合併もそのような族である。Zorn の補題により極大族を取ることができる。その閉直交和の直交補 $W$ は§E14.8 命題 4.2により不変であり、定理 4.5 (2)により全体が次数 $n$ である。 $W\ne0$ ならば、前段の議論を $W$ へ適用して Schur 型の閉不変部分空間をさらに追加することができる。これは極大性に反するので $W=0$ である。

型 $\lambda$ のコピーの添字集合を $I_\lambda$ とし、 $M_\lambda=\ell^2(I_\lambda)$ と置く。各コピーへのユニタリ同変作用素を $J_i$ とすると、 $x\otimes\delta_i\mapsto J_ix$ は稠密部分空間上で内積を保ち、像は直交和全体で稠密である。したがって $\mathbb S_\lambda(H)\widehat\otimes\ell^2(I_\lambda)$ から各型の直交和へのユニタリ同型へ延長される。一般の表現には定理 4.5を適用し、各正次数でこの構成を行う。零次は固定空間 $H_\pi^G$ なので $M_0=H_\pi^G$ とすれば、表示した全空間の分解を得る。

主張 (2)を示す。既約型 $V_\lambda=\mathbb S_\lambda(H)$ を固定し、有界同変作用素の空間 $\Hom_G(V_\lambda,H_\pi)$ を考える。 $A,B$ がこの空間に属するならば、Schur の補題により $B^*A=\langle A,B\rangle I$ を満たすスカラーが一意に存在する。この式により第一変数線形の内積を定める。実際、各コピーへの成分は同型な型ではスカラー倍であり、異なる型では系 5.4 (1)により零である。 $A$ に対応するスカラー族を $(c_i)_{i\in I_\lambda}$ とすると、単位ベクトル $x\in V_\lambda$ について

\|Ax\|^2=\sum_{i\in I_\lambda}|c_i|^2.

したがって係数族は $\ell^2(I_\lambda)$ に属する。逆に任意の $\ell^2$ 族 $(c_i)$ に対して、 $x\mapsto(c_ix)_{i\in I_\lambda}$ はノルム $\|(c_i)\|_2$ の有界同変作用素を定める。よってこの Hom 空間は $\ell^2(I_\lambda)$ と等長に一致し、内積は正定値かつ完備である。表現間のユニタリ同変作用素による後合成はこの内積を保つので、 $M_\lambda$ はユニタリ同型を除いて一意である。零次の一意性は $M_0=H_\pi^G$ による。

主張 (3)を示す。任意の重複度空間について、自明表現とのテンソル積は§E14.8 命題 3.3によって強連続である。その任意 Hilbert 直和は§E14.8 命題 3.1によって強連続である。▨

系 7.4. $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の強連続ユニタリ表現 $\pi$ と $n\geq0$ に対して、 $H_{\pi,n}$ は次数 $n$ の既約部分表現が張る閉部分空間である。正次数 $n$ の既約型は $\mathbb S_\lambda(U)$ 、 $\lambda\vdash n$ であり、零次の既約型は一次元自明表現である。特に、全既約表現はこの列挙に属する。

証明.定理 7.3の分解に現れる各 Schur 成分は、系 5.4により既約であり、自然性によって対応する次数の空間に含まれる。その直交和は各 $H_{\pi,n}$ を尽くす。一方、既約部分表現へ同じ分類を適用すると、分解に現れる非零成分は一つでなければならない。したがって既約型は表示したものに限られる。零次については、自明表現の任意の一次元部分空間が不変であることから従う。▨

系 7.5. $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の強連続ユニタリ表現 $\pi$ に対して、定理 7.3の重複度空間がすべて可分であることは、 $H_\pi$ が可分であるための必要十分条件である。したがって、可分な表現は自明型と Schur 型の高々可算な直交直和として分類される。

証明.§E14.29 補題 2.1により $H=L^2(\R,\mu)$ は可分である。可算稠密集合の元の純テンソルから有理複素係数の有限和を取ると、各 $H^{\widehat\otimes n}$ の可算稠密集合を得る。Schur 型はこの空間の閉部分空間と等長であり、その直交射影による可算稠密集合の像は稠密である。よってすべての Schur 型は可分である。重複度空間も可分ならば、同じ純テンソルと有限台近似によって、分類の直和空間は可分である。

逆に $H_\pi$ が可分であるとする。各型の非零コピーから単位ベクトルを一つずつ取ると、互いに距離 $\sqrt2$ の族を得る。可分距離空間ではこのような族は高々可算である。実際、半径 $1/3$ の互いに素な球のそれぞれに可算稠密集合の異なる点を取ることができる。したがって各コピー集合は高々可算であり、その $\ell^2$ 空間は可分である。零次についても同じ議論が成り立つ。▨

注意 7.6. 無限 Lebesgue 測度保存変換群の表現の分類は、Neretin の論文で述べられている。Koopman テンソル冪の Schur 型の既約性と相互の非同値性は、Lieberman の論文で扱われている。

例 8.1. 有限確率測度空間 $(X,\nu)$ の測度保存変換群の Koopman 表現では、定数関数 $1$ はノルム $1$ の不変ベクトルである。したがって

L^2(X,\nu)=\C1\oplus\bigl(L^2(X,\nu)\ominus\C1\bigr)

は不変直交分解である。無限 Lebesgue 測度の場合には非零定数関数は $L^2$ に属さず、定理 4.5 (3)によって Koopman 表現全体が一次である。有限確率測度の場合に定数成分を除いた自然表現を考えるときの基本空間は $L^2(X,\nu)\ominus\C1$ であり、 $L^2(X,\nu)$ 全体とは異なる。

例 8.2. $X$ を可算無限集合とし、数え上げ測度に対する置換表現を $P_g e_x=e_{g(x)}$ とする。このとき、写像

J:\ell^2(X)\longrightarrow\ell^2(X)\widehat\otimes\ell^2(X), \qquad Je_x=e_x\otimes e_x

は正規直交基底を正規直交系へ写すので等長に延長される。また

JP_ge_x=e_{g(x)}\otimes e_{g(x)}=(P_g\otimes P_g)Je_x

なので同変である。したがって、この置換表現とその二乗の間には非零同変作用素が存在する。対角 $\{(x,x):x\in X\}$ が正の測度をもつこの例では、無限 Lebesgue 測度の場合の一次と二次の分離は成立しない。

命題 8.3. $G=\operatorname{Aut}(\R,\mu)$ の Koopman 表現を $U$ とし、 $\tau_t(x)=x+t$ とする。このとき、任意の整数 $n\geq1$ について

U_{\tau_t}^{\widehat\otimes n}\longrightarrow0\qquad(|t|\to\infty)

が弱作用素収束する。したがって、 $U^{\widehat\otimes n}$ およびその任意の部分表現には非零不変ベクトルが存在しない。

証明.§E14.29 例 5.1により $U_{\tau_t}\to0$ は弱収束する。作用素ノルムは $1$ なので、§E12.9 補題 6.2を適用すると有限冪も零へ弱収束する。不変ベクトル $v$ があれば、その対角係数はすべての $t$ について $\|v\|^2$ である。極限は零なので $v=0$ である。▨

命題 8.4. $X$ を可算無限集合、 $\Gamma=\operatorname{Sym}(X)$ をその全置換群とし、 $\Gamma$ には各点収束の位相を入れる。 $X^{\underline n}$ を相異なる $n$ 個の元の順序付き組全体とし、 $X^{\underline0}$ は一点集合とする。 $\ell^2(X^{\underline n})$ 上の置換表現を $V_n$ とする。このとき、次が成り立つ。

$V_n$ は強連続であり、その可換子は座標置換の群環 $\C[S_n]$ の像に一致する。この群環作用は忠実である。
$m\ne n$ ならば、 $V_n$ と $V_m$ の間の有界同変作用素は零である。

証明. 演習とする（問題 9.1）。▨

系 8.5.命題 8.4の置換表現 $V_n$ を考える。このとき、次が成り立つ。

座標置換の群環の原始直交射影 $p$ に対して、 $p\ell^2(X^{\underline n})$ 上の制限表現は非零既約である。
異なる単純型または異なる長さの組から得られる表現は互いに同値ではない。
同じ単純型の二つの原始直交射影の像の間にはユニタリ同変作用素が存在する。

証明.命題 8.4の可換子の等式と忠実性に補題 5.3を適用すると、各原始射影の像の非零既約性、同じ長さの異型間の同変作用素の消滅、同型の像のユニタリ同値を得る。異なる長さの間の同変作用素は命題 8.4 (2)により零である。▨

注意 8.6. 全テンソル空間 $\ell^2(X)^{\widehat\otimes n}\simeq\ell^2(X^n)$ には、反復する座標をもつ組の基底ベクトルも含まれる。命題 8.4の空間は、そのうち相異なる座標をもつ組の閉線形包である。例 8.2の二次への埋込みの像は反復する組からなるため、相異なる組についての次数分離とは両立する。

問題 9.1.命題 8.4の証明を完成させよ。

§E14.30測度保存変換群のユニタリ表現

1 Koopman 表現の Schur 型

2 有限分割への圧縮

3 有限群の平均と圧縮の積

4 正縮小半群と整数次数

5 Koopman テンソル冪の可換子

6 圧縮の多項式性

7 正定値係数と全分類

8 測度の仮定と比較例

9 演習

参考文献

前提記事