§E14.28Bohr コンパクト化

証明.$K$のすべての有限次元連続ユニタリ表現を座標とする写像

は、Peter–Weyl の点分離性§E14.18 定理 3.1 (2)によって単射である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続単射なので、$\iota_K$は閉像をもつ位相的埋込みである。

各$\rho\in\mathcal U(K)$について、$\rho\circ f$は$\mathcal U(G)$の元である。対応する座標射影を集めた連続準同型を

と書くと、$P_f\circ j_G=\iota_K\circ f$である。$j_G(G)$は$bG$で稠密であり、$\iota_K(K)$は閉集合なので、$P_f(bG)\subseteq\iota_K(K)$である。したがって

が求める連続準同型である。二つの連続写像$bG\to K$が$j_G(G)$上で一致すれば、$K$の Hausdorff 性によって$bG$全体で一致するので、一意性も従う。▨

証明.$K$をコンパクト Hausdorff 群、$F\in C(K)$とする。写像$(k,x)\mapsto F(k^{-1}x)$の連続性と$K$のコンパクト性から、$k\mapsto L_kF$は$C(K)$の一様ノルムについて連続である。実際、$k_0$を固定し、各$x\in K$の近傍で差$|F(k^{-1}y)-F(k_0^{-1}y)|$を小さくする$k_0$の近傍を取り、$x$の近傍の有限被覆に対応する近傍を交わらせればよい。したがって$\{L_kF:k\in K\}$はコンパクトである。$K=bG$とすれば、$j_G^*F$の左移動軌道はこのコンパクト集合の引戻しに含まれるので、$j_G^*F$は概周期的である。$j_G(G)$の稠密性から

であり、$j_G^*$は等長な単位的$*$準同型である。

$f\in AP(G)$を取り、左移動軌道のノルム閉包を$X\subseteq C_b(G)$とおく。$X$はコンパクト距離空間である。各点での評価$h\mapsto h(x)$はノルム連続であり、これらの評価は$X$の点を分離する。したがって、$X$上のノルム位相から点ごとの収束の位相への恒等写像は、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射である。したがって、両位相は一致する。

$L_g$は軌道を軌道へ移す全射等距離写像であり、$X$上の全射等距離写像$T_g$に制限される。各$h\in X$と$x\in G$に対して$h(g^{-1}x)$は$g$の連続関数なので、位相の一致により$g\mapsto T_gh$はノルム連続である。また、各$T_g$が等距離写像であることと$X$のコンパクト性から、$g\mapsto T_g$は$C(X,X)$の一様収束位相について連続である。実際、有限な$\varepsilon$網の各点で収束を確かめれば、任意の点での差は網の点での差に$2\varepsilon$を加えた量以下となる。

族$\{T_g:g\in G\}$は同程度連続であり、各点の像はコンパクト空間$X$に含まれる。完備な値域に対する Arzelà–Ascoli の定理§E2.56 系 4.1によって、その一様閉包$H\subseteq C(X,X)$はコンパクトである。一様極限は等距離性を保つ。$T_{g_i}\to T\in H$となるネットに対して、コンパクト性により、逆写像のネット$T_{g_i^{-1}}$の収束部分ネットを取り、その極限を$S$とする。等距離写像の合成は一様収束について連続なので、

よって$H$の元はすべて全射等距離写像であり、$H$は合成と逆写像について閉じている。逆写像の連続性は、一様距離$d_\infty$に関する

から従う。したがって$H$はコンパクト Hausdorff 群であり、$\phi\colon G\to H$、$\phi(g)=T_g$は連続準同型である。

定理 1.2によって$\phi=\bar\phi\circ j_G$となる連続準同型$\bar\phi\colon bG\to H$が存在する。$G$の単位元を$e$とし、

と定める。逆写像、$X$上の作用、および点評価はいずれも連続なので、$F\in C(bG)$である。さらに、

である。よって$j_G^*$の像は$AP(G)$全体である。▨

証明.定理 2.2の同型によって、$AP(G)$の指標空間は$C(bG)$の指標空間に同相である。点評価による復元§E12.54 定理 2.4により、後者は主張の写像で$bG$に同相である。

§E14.4 定理 3.1と§E14.4 定理 3.3によって、$bG$に全質量$1$の左 Haar 測度$m$が存在する。各右移動による押出しも全質量$1$の左 Haar 測度なので、一意性から$m$は右不変でもある。積分は正の正規化線形汎関数であり、引戻しを通して左右不変な平均を与える。

$N$を別の正規化された正の平均とする。正性により$N$は有界であり、ノルムは$N(1)=1$である。$C(bG)$上の汎関数$N\circ j_G^*$は Riesz の表現定理§E10.33 定理 1.1によって確率 Radon 測度$\nu$を定める。$j_G(G)$による左移動の不変性と、$z\mapsto L_zF$のノルム連続性によって、この汎関数は$bG$のすべての左移動で不変である。したがって$\nu$は左不変である。Haar 測度の一意性により$\nu=m$であり、$N=M$となる。実際、一意性には左不変性だけで十分である。▨

証明.$D=(\widehat G)_d$、$B=\widehat D$とおく。§E14.16 命題 4.1によって$B$はコンパクトである。離散空間$D$のコンパクト部分集合は有限なので、$B$のコンパクト開位相は$\mathbb T^D$からの部分空間位相である。したがって評価準同型

は連続である。

$q(G)$を消す$B$の連続指標$\eta$を取る。§E14.16 定理 2.1を離散群$D$に適用すると、ある$\chi\in D$によって$\eta(z)=z(\chi)$と書くことができる。すべての$x\in G$について$\chi(x)=\eta(q(x))=1$なので、$\chi$は自明指標であり、$\eta$も自明である。したがって$q(G)$の零化域は自明であり、§E14.16 命題 3.3により$q(G)$は$B$で稠密である。

$\pi\colon G\to \Uni(n)$を連続表現とする。行列$\pi(x)$は互いに可換な正規行列なので、同時にユニタリ対角化することができる。実際、非スカラーな元の固有空間はすべての$\pi(x)$で不変であり、各固有空間に制限して次元について帰納すればよい。その結果、あるユニタリ行列$V_\pi$と指標$\chi_{\pi,1},\ldots,\chi_{\pi,n}\in\widehat G$によって

と書くことができる。各対角成分は$\pi$の連続な行列要素なので連続指標である。したがって

は$B$上の連続表現であり、$\widetilde\pi\circ q=\pi$を満たす。

すべての$\widetilde\pi$を集めた連続準同型$\Theta\colon B\to\prod_\pi \Uni(n_\pi)$は、$\Theta\circ q=j_G$を満たす。$q(G)$の稠密性と$B$のコンパクト性から、その像はちょうど$bG$である。すべての一次元表現も座標に含まれるので、$\Theta$は単射である。よって$\Theta\colon B\to bG$は位相群としての同型である。また、§E14.13 系 2.3によって$q$は単射なので、$j_G$も単射である。▨

証明.$\Z^b$のコンパクト部分群$C$は空でない可算なコンパクト Hausdorff 群である。§E2.28 系 4.5により$C$は孤立点をもち、平行移動によってすべての点が孤立点となる。コンパクト性により$C$は有限であり、整数群には非自明な有限部分群がないので、$C=\{0\}$である。

$\Z^b$が可算型群であると仮定する。可算型群の特徴づけ§E14.26 定理 2.3により、あるコンパクト部分群$C$について$\Z^b/C$が距離化可能である。整数群のコンパクト部分群は自明なので$C=\{0\}$であり、$\Z^b$自身が距離化可能である。

$K=b\Z$はコンパクト Hausdorff 群なので、§E14.25 命題 3.5により Raikov 完備である。$j_\Z\colon\Z^b\to K$は像が稠密な単射の準同型であり、位相的埋め込みである。§E14.3 命題 1.6 (1)により、部分群の両側一様構造は部分一様構造と一致するから、$j_\Z$は両側一様構造に関する一様埋め込みである。$K$の両側一様構造は完備な Hausdorff 一様構造であるから、§E2.53 定理 6.2 (1)により$K$は$\Z^b$の Raikov 完備化である。§E14.25 系 3.7により$K$は完備距離化可能となる。コンパクト距離空間は各正整数$m$について有限な$1/m$網をもち、これらの網の点を中心とする有理半径の開球から可算開基を得るので、$w(K)\leq\aleph_0$である。

一方、定理 3.1と双対群の重みの等式§E14.16 定理 4.2によって

これは$w(K)\leq\aleph_0$と両立しない。よって$\Z^b$は可算型群でない。

$j_\Z\colon\Z^b\to b\Z$は稠密な位相的埋込みなので、$b\Z$は位相空間$\Z^b$のコンパクト化である。可算型群の同値条件§E14.26 定理 2.3によって、$Y$は Lindelöf でない。Arhangel'skiĭ の二分法§E14.26 定理 2.5によって、$Y$は擬コンパクトである。

離散群$\Z$は距離化可能であり、したがって可算型群である。$\Z^b$は可算型群でないので、その位相は離散位相と一致しない。Bohr 位相はもとの位相以下なので、真に弱い。▨

証明.$\pi\colon \SL_2(\R)\to \Uni(n)$を連続表現とする。$t\in\R$、$a>0$に対して

とおくと、$d(a)u(t)d(a)^{-1}=u(a^2t)$である。共役は跡を保つので、$t>0$では$\operatorname{tr}\pi(u(t))$は一定である。$t\to0$の連続性によって、その値は$n$である。有限次元スペクトル定理§E3.38 定理 2.1によって、$\pi(u(t))$は絶対値$1$の固有値$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$をもつユニタリ行列である。

から、すべての$\lambda_j$は$1$に等しい。したがって$\pi(u(t))=I$である。$u(-t)=u(t)^{-1}$によって負の$t$でも同じ結論を得る。

$v(t)=\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}$および$w=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$とおくと、$wu(t)w^{-1}=v(-t)$なので$\pi(v(t))=I$である。§E7.2 補題 3.3により$\SL_2(\R)$の任意の元$A$は$u(t)$と$v(t)$の有限個の積であるから、$\pi(A)=I$である。▨