§E14.25完備性

最終更新

位相群を一様空間として完備化するときには、群演算も完備化へ延長されるかが問題となる。左一様構造だけを用いた完備化は群になるとは限らず、たとえば自然数の置換群では、完備化に全射でない単射写像が加わる。一方、左右の一様構造を合わせた両側一様構造による Raikov 完備化では、群演算を保った完備化が得られる。Raikov 完備化は、両側一様構造について完備な位相群への連続準同型を延長する普遍性をもち、位相群の完備性を扱う基本的な構成である。本記事では、Raikov 完備化の構成と普遍性を解説し、Roelcke の一様構造を加えた四つの一様構造による完備化の関係を Roelcke–Dierolf の埋め込み定理として示す。

1 定義

定義 1.1.GGを Hausdorff 位相群とし、UL\mathcal U_L、UB\mathcal U_B、UQ\mathcal U_QをそれぞれGGの左一様構造、両側一様構造、Roelcke の一様構造とする。

  1. 一様空間(G,UB)(G,\mathcal U_B)が完備であるとき、GGは Raikov 完備 (Raikov complete) であるという。
  2. 一様空間(G,UL)(G,\mathcal U_L)が完備であるとき、GGは Weil 完備 (Weil complete) であるという。
  3. 一様空間(G,UQ)(G,\mathcal U_Q)が完備であるとき、GGは Roelcke 完備 (Roelcke complete) であるという。

命題 1.2.GGを Hausdorff 位相群とする。このとき、次が成り立つ。

  1. GGの左一様構造が完備であることは、右一様構造が完備であるための必要十分条件である。
  2. GGが Roelcke 完備ならば、GGは Weil 完備である。
  3. GGが Weil 完備ならば、GGは Raikov 完備である。
  4. GGの左右の一様構造が一致するならば、GGが Raikov 完備であること、Weil 完備であること、Roelcke 完備であることは互いに同値である。とくに、GGが可換群ならばこの同値が成り立つ。

証明.ν(x)=x−1\nu(x)=x^{-1}とおく。§E14.3 命題 1.1 (5)により、ν\nuは(G,UL)(G,\mathcal U_L)から(G,UR)(G,\mathcal U_R)への一様同相写像であり、ν∘ν=id⁡G\nu\circ\nu=\id_Gである。§E2.53 補題 2.2をψ=φ=ν\psi=\varphi=\nuとして両方向に適用すると、左右の一様構造の完備性は同値である。§E14.3 命題 1.1 (4)によりUQ⊆UL⊆UB\mathcal U_Q\subseteq\mathcal U_L\subseteq\mathcal U_Bであるから、恒等写像(G,UL)→(G,UQ)(G,\mathcal U_L)\to(G,\mathcal U_Q)と(G,UB)→(G,UL)(G,\mathcal U_B)\to(G,\mathcal U_L)は一様連続である。§E14.3 命題 1.1 (2)により四つの一様構造の一様位相はいずれもGGの位相に等しいから、これらの恒等写像の逆写像は連続である。§E2.53 補題 2.2により、Roelcke 完備性から Weil 完備性が従い、Weil 完備性から Raikov 完備性が従う。

主張 (4)を示す。UL=UR\mathcal U_L=\mathcal U_Rとする。§E14.3 命題 1.1 (1)によりUB\mathcal U_Bの各元はあるBUB_Uを含み、BU=LU∩RU∈ULB_U=L_U\cap R_U\in\mathcal U_LであるからUB⊆UL\mathcal U_B\subseteq\mathcal U_Lであり、§E14.3 命題 1.1 (4)と合わせてUB=UL\mathcal U_B=\mathcal U_Lである。UUをeeの近傍とし、§E14.1 系 2.2によりPP⊆UPP\subseteq Uを満たすeeの近傍PPをとる。RP∈UR=ULR_P\in\mathcal U_R=\mathcal U_Lであるから、§E14.3 命題 1.1 (1)によりLV⊆RPL_V\subseteq R_Pを満たすeeの近傍VVが存在する。x∈Gx\in G、v∈Vv\in Vについて(x,xv)∈LV⊆RP(x,xv)\in L_V\subseteq R_Pであるから、xvx−1∈Pxvx^{-1}\in Pである。W=⋃x∈GxVx−1W=\bigcup_{x\in G}xVx^{-1}とおくと、V⊆W⊆PV\subseteq W\subseteq PであるからWWはeeの近傍であり、すべてのx∈Gx\in GについてxWx−1=WxWx^{-1}=Wである。(x,y)∈QW(x,y)\in Q_Wならばy=wxw′y=wxw'を満たすw,w′∈Ww,w'\in Wが存在し、xw′x−1∈Wxw'x^{-1}\in Wであるから、yx−1=w(xw′x−1)∈WW⊆PP⊆Uyx^{-1}=w(xw'x^{-1})\in WW\subseteq PP\subseteq Uである。ゆえにQW⊆RUQ_W\subseteq R_Uであり、§E14.3 命題 1.1 (1)と§E2.51 定義 1.3 条件 (b)によりRU∈UQR_U\in\mathcal U_Qである。{RU}\{R_U\}はUR\mathcal U_Rの近縁基であるからUR⊆UQ\mathcal U_R\subseteq\mathcal U_Qであり、§E14.3 命題 1.1 (4)と合わせてUQ=UR=UL=UB\mathcal U_Q=\mathcal U_R=\mathcal U_L=\mathcal U_Bである。したがって三つの完備性は同じ一様構造の完備性であり、互いに同値である。可換群ではx−1y=yx−1x^{-1}y=yx^{-1}であるからLU=RUL_U=R_Uであり、§E14.3 命題 1.1 (1)によりUL=UR\mathcal U_L=\mathcal U_Rである。▨

命題 1.3.GGを第一可算な Hausdorff 位相群とする。このとき、GGが Roelcke 完備であることは、GGが Weil 完備であるための必要十分条件である。

証明. 十分性は命題 1.2 (2)による。

必要性を示す。GGは Weil 完備であるとする。命題 1.2 (1)により(G,UR)(G,\mathcal U_R)も完備である。GGは第一可算であるから、eeの近傍の列(Wk)k∈N≥1(W_k)_{k\in\NN}であって、eeの任意の近傍があるWkW_kを含むものが存在する。§E14.1 系 2.2により、U1=U1−1U_1=U_1^{-1}かつU1U1⊆W1U_1U_1\subseteq W_1を満たすeeの近傍U1U_1をとり、k∈N≥1k\in\NNについて、Uk+1=Uk+1−1U_{k+1}=U_{k+1}^{-1}かつUk+1Uk+1⊆Uk∩Wk+1U_{k+1}U_{k+1}\subseteq U_k\cap W_{k+1}を満たすeeの近傍Uk+1U_{k+1}を帰納的にとる。e∈Uke\in U_kであるからUk⊆UkUkU_k\subseteq U_kU_kであり、Uk⊆WkU_k\subseteq W_kかつUk+1⊆UkU_{k+1}\subseteq U_kである。したがってeeの任意の近傍はあるUkU_kを含む。また、1≤k<m1\leq k<mならばUk+1Uk+2⋯Um⊆UkU_{k+1}U_{k+2}\cdots U_m\subseteq U_kである。実際、m−km-kについての帰納法による。m=k+1m=k+1のときはUk+1⊆UkU_{k+1}\subseteq U_kであり、Uk+2⋯Um⊆Uk+1U_{k+2}\cdots U_m\subseteq U_{k+1}ならばUk+1Uk+2⋯Um⊆Uk+1Uk+1⊆UkU_{k+1}U_{k+2}\cdots U_m\subseteq U_{k+1}U_{k+1}\subseteq U_kである。各UjU_jは対称であるから、逆元をとってUm⋯Uk+2Uk+1⊆UkU_m\cdots U_{k+2}U_{k+1}\subseteq U_kでもある。

§E14.3 命題 1.1 (1)によりUQ\mathcal U_Qの各元はあるQUQ_Uを含み、UUはあるUkU_kを含むからQUk⊆QUQ_{U_k}\subseteq Q_Uである。ゆえに{QUk∣k∈N≥1}\{Q_{U_k}\mid k\in\NN\}はUQ\mathcal U_Qの高々可算な近縁基であり、§E2.53 命題 3.1 (1)により、(G,UQ)(G,\mathcal U_Q)が完備であることは点列完備であることと同値である。

(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}を(G,UQ)(G,\mathcal U_Q)の Cauchy 列とする。各kkについてQUk∈UQQ_{U_k}\in\mathcal U_Qであるから、正の整数の狭義増加列(nk)k∈N≥1(n_k)_{k\in\NN}であって、m,n≥nkm,n\geq n_kならば(xm,xn)∈QUk(x_m,x_n)\in Q_{U_k}となるものが存在する。yk=xnky_k=x_{n_k}とおく。(yk,yk+1)∈QUk(y_k,y_{k+1})\in Q_{U_k}であるから、yk+1=akykbky_{k+1}=a_ky_kb_kを満たすak,bk∈Uka_k,b_k\in U_kが存在する。A1=B1=eA_1=B_1=eとし、k≥2k\geq2についてAk=ak−1ak−2⋯a1A_k=a_{k-1}a_{k-2}\cdots a_1、Bk=b1b2⋯bk−1B_k=b_1b_2\cdots b_{k-1}とおくと、kkについての帰納法によりyk=Aky1Bky_k=A_ky_1B_kである。

2≤k<m2\leq k<mならば、上で示した包含をk−1<m−1k-1<m-1に適用すると

Bk−1Bm=bkbk+1⋯bm−1∈UkUk+1⋯Um−1⊆Uk−1,AmAk−1=am−1⋯ak+1ak∈Um−1⋯Uk+1Uk⊆Uk−1B_k^{-1}B_m=b_kb_{k+1}\cdots b_{m-1}\in U_kU_{k+1}\cdots U_{m-1}\subseteq U_{k-1},\qquad A_mA_k^{-1}=a_{m-1}\cdots a_{k+1}a_k\in U_{m-1}\cdots U_{k+1}U_k\subseteq U_{k-1}

であり、Uk−1U_{k-1}は対称であるからBm−1Bk∈Uk−1B_m^{-1}B_k\in U_{k-1}、AkAm−1∈Uk−1A_kA_m^{-1}\in U_{k-1}でもある。UUをeeの近傍とし、Uj⊆UU_j\subseteq Uを満たすj∈N≥1j\in\NNをとる。k,m≥j+1k,m\geq j+1ならば、Uk−1⊆UjU_{k-1}\subseteq U_jかつUm−1⊆UjU_{m-1}\subseteq U_jであるから、(Bk,Bm)∈LU(B_k,B_m)\in L_Uかつ(Ak,Am)∈RU(A_k,A_m)\in R_Uである。§E14.3 命題 1.1 (1)により、(Bk)k∈N≥1(B_k)_{k\in\NN}は(G,UL)(G,\mathcal U_L)の Cauchy 列であり、(Ak)k∈N≥1(A_k)_{k\in\NN}は(G,UR)(G,\mathcal U_R)の Cauchy 列である。(G,UL)(G,\mathcal U_L)と(G,UR)(G,\mathcal U_R)は完備であるから、§E2.53 命題 1.3 (3)と§E14.3 命題 1.1 (2)により、GGの位相に関してBk→BB_k\to B、Ak→AA_k\to Aを満たすA,B∈GA,B\in Gが存在する。

x=Ay1Bx=Ay_1Bとおく。UUをeeの近傍とする。§E14.1 命題 1.4によりUAUAはAAの近傍、BUBUはBBの近傍であるから、k≥k0k\geq k_0ならばAk∈UAA_k\in UAかつBk∈BUB_k\in BUとなるk0∈N≥1k_0\in\NNが存在する。このときyk=(AkA−1) x (B−1Bk)∈UxU=QU[x]y_k=(A_kA^{-1})\,x\,(B^{-1}B_k)\in UxU=Q_U[x]である。§E14.3 命題 1.1 (2)、§E14.3 命題 1.1 (1)および§E2.51 命題 2.1により、xxの任意の近傍はあるQU[x]Q_U[x]を含むから、(yk)k∈N≥1(y_k)_{k\in\NN}はxxに収束する。(nk)k∈N≥1(n_k)_{k\in\NN}は狭義増加であるからnk≥kn_k\geq kであり、xxの任意の近傍NNと任意のn0∈N≥1n_0\in\NNに対して、k≥n0k\geq n_0かつyk∈Ny_k\in Nを満たすkkをとると、nk≥n0n_k\geq n_0かつxnk∈Nx_{n_k}\in Nである。§E2.50 定義 5.2によりxxは(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}の集積点であり、§E2.53 命題 1.3 (4)により(xn)n∈N≥1(x_n)_{n\in\NN}はxxに収束する。ゆえに(G,UQ)(G,\mathcal U_Q)は点列完備であり、完備である。▨

系 1.4. Hausdorff 位相群の Raikov 完備な部分群は閉集合である。また、Raikov 完備な Hausdorff 位相群の閉部分群は Raikov 完備である。

証明.§E14.3 命題 1.6 (1)により、部分群の両側一様構造は、群全体の両側一様構造の部分一様構造に等しい。群全体の位相は Hausdorff であり、§E14.3 命題 1.1 (2)により群全体の両側一様構造の一様位相に等しいから、§E2.51 命題 2.8 (2)⇒\Rightarrow(1)により群全体の両側一様構造は Hausdorff である。前半は§E2.53 命題 2.1 (2)、後半は§E2.53 命題 2.1 (1)から従う。▨

系 1.5. Raikov 完備な Hausdorff 位相群の族の直積群は、積位相に関して Raikov 完備である。

証明.GGを Raikov 完備な Hausdorff 位相群の族(Gλ)λ∈Λ(G_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}の直積群とし、積位相を入れる。§E2.15 定理 2.8 (3)によりGGは Hausdorff である。§E14.3 命題 1.6 (2)により、GGの両側一様構造は、GλG_\lambdaの両側一様構造の族の積一様構造に等しい。各GλG_\lambdaの両側一様構造は完備であるから、§E2.53 命題 2.5 (1)によりGGの両側一様構造は完備である。▨

命題 1.6.GGを Hausdorff 位相群、KKをGGのコンパクト部分群とし、§E14.1 系 4.3 (4)によりX=G/KX=G/KをGGの左等質空間とみなす。p=eKp=eKについて§E14.3 命題 2.2の商一様構造FL\mathcal F_L、FR\mathcal F_R、FB\mathcal F_Bをとり、恒等写像X→(X,FL)X\to(X,\mathcal F_L)とX→(X,FR)X\to(X,\mathcal F_R)の族による始一様構造をF∨\mathcal F_\veeとする。このとき、次の三条件は同値である。

  1. GGは Raikov 完備である。
  2. (X,F∨)(X,\mathcal F_\vee)は完備である。
  3. (X,FB)(X,\mathcal F_B)は完備である。

証明.q ⁣:G→Xq\colon G\to Xを標準全射とすると、ωp=q\omega_p=qであり、ppの安定化群はKKである。KKはコンパクトであるから、§E14.3 系 2.8により中立部分群であり、§E14.1 系 4.3 (3)によりqqは完全写像である。§E14.1 系 4.3 (1)によりqqは開写像であるから、§E14.3 命題 2.2 (5-4)⇔\Leftrightarrow(5-2)によりFB\mathcal F_BはXXの位相と両立し、§E14.3 命題 2.2 (6-4)⇔\Leftrightarrow(6-1)によりFL\mathcal F_LもXXの位相と両立する。§E14.3 命題 2.2 (5-4)⇔\Leftrightarrow(5-1)によりFR\mathcal F_RもXXの位相と両立するから、§E2.51 命題 4.2 (3)によりF∨\mathcal F_\veeの一様位相もXXの位相に等しい。§E14.3 命題 2.2 (2)により恒等写像(X,FB)→(X,FL)(X,\mathcal F_B)\to(X,\mathcal F_L)と(X,FB)→(X,FR)(X,\mathcal F_B)\to(X,\mathcal F_R)は一様連続であるから、§E2.51 命題 4.2 (1)によりF∨⊆FB\mathcal F_\vee\subseteq\mathcal F_Bである。

(2)⇒\Rightarrow(3)は、F∨⊆FB\mathcal F_\vee\subseteq\mathcal F_Bと§E2.57 補題 1.1による。

(3)⇒\Rightarrow(1)を示す。§E14.3 注意 2.5によりq ⁣:(G,UB)→(X,FB)q\colon(G,\mathcal U_B)\to(X,\mathcal F_B)は一様連続である。§E2.20 定義 2.1によりqqは閉写像である。gK∈XgK\in Xについてq−1({gK})=gKq^{-1}(\{gK\})=gKは、§E14.1 命題 1.4と§E2.19 定理 4.2によりコンパクトであり、§E2.51 系 4.4 (2)と§E2.53 系 1.4により部分一様構造に関して完備である。§E14.3 命題 1.1 (2)によりUB\mathcal U_Bの一様位相はGGの位相に等しいから、§E2.53 補題 2.3により(G,UB)(G,\mathcal U_B)は完備である。

(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。F\mathfrak Fを(X,F∨)(X,\mathcal F_\vee)の Cauchy フィルターとする。qqは全射であるから、{q−1(A)∣A∈F}\{q^{-1}(A)\mid A\in\mathfrak F\}は空でなく、その元はすべて空でなく、q−1(A)∩q−1(A′)=q−1(A∩A′)q^{-1}(A)\cap q^{-1}(A')=q^{-1}(A\cap A')であるから、§E2.50 定義 1.2によりGG上のフィルター基である。§E2.50 定理 2.4により、このフィルター基が生成するフィルターを含むGG上の超フィルターD\mathfrak Dをとる。A∈FA\in\mathfrak Fならばq−1(A)∈Dq^{-1}(A)\in\mathfrak Dであるから、§E2.50 命題 3.2 (1)のフィルターq(D)q(\mathfrak D)についてF⊆q(D)\mathfrak F\subseteq q(\mathfrak D)である。

D\mathfrak Dは両側 Cauchy フィルターである。実際、UUをeeの近傍とする。§E14.1 系 2.2を二度用いてPPPP⊆UPPPP\subseteq Uを満たすeeの近傍PPをとり、§E14.3 補題 2.7により、すべてのk∈Kk\in KについてkV′k−1=V′kV'k^{-1}=V'を満たすeeの近傍V′⊆PV'\subseteq Pをとる。§E14.1 命題 1.4により共役写像と逆元をとる写像は同相写像であるから、V=int⁡(V′)∩(int⁡(V′))−1V=\tpint{V'}\cap(\tpint{V'})^{-1}は、すべてのk∈Kk\in KについてkVk−1=VkVk^{-1}=Vを満たす対称なeeの開近傍であり、VVVV⊆UVVVV\subseteq Uである。とくにKV=VKKV=VKである。

§E14.3 命題 2.2 (3)の集合について、§E14.3 命題 2.2 (3-3)によりEV∈FLE_V\in\mathcal F_L、§E14.3 命題 2.2 (3-1)によりFV∈FRF_V\in\mathcal F_Rであるから、§E2.51 定義 4.1によりEV∩FV∈F∨E_V\cap F_V\in\mathcal F_\veeである。F\mathfrak Fは Cauchy フィルターであるから、A×A⊆EV∩FVA\times A\subseteq E_V\cap F_Vを満たすA∈FA\in\mathfrak Fが存在する。AAは空でないから、xK∈AxK\in Aを満たすx∈Gx\in Gをとる。y∈Ay\in Aとすると、(xK,y)∈EV(xK,y)\in E_Vであるから、gK=xKgK=xKとy=gvKy=gvKを満たすg∈Gg\in G、v∈Vv\in Vが存在し、g∈xKg\in xKであるからy∈q(xKV)y\in q(xKV)である。また(xK,y)∈FV(xK,y)\in F_Vであるから、y=uxKy=uxKを満たすu∈Vu\in Vが存在し、y∈q(Vx)y\in q(Vx)である。KV=VKKV=VKであるからq−1(q(xKV))=xKVK=xKVq^{-1}(q(xKV))=xKVK=xKVであり、q−1(q(Vx))=VxKq^{-1}(q(Vx))=VxKである。したがってq−1(A)⊆xKV∩VxKq^{-1}(A)\subseteq xKV\cap VxKであり、q−1(A)∈Dq^{-1}(A)\in\mathfrak Dであるから、§E2.50 定義 1.1 条件 (d)によりxKV∩VxK∈DxKV\cap VxK\in\mathfrak Dである。

xKxKはコンパクトであり、§E14.1 命題 1.4により、a∈xKa\in xKについてaVaVとVaVaはaaを含む開集合である。したがって、xK⊆a1V∪⋯∪amVxK\subseteq a_1V\cup\cdots\cup a_mVを満たすa1,…,am∈xKa_1,\ldots,a_m\in xKと、xK⊆Vb1∪⋯∪VbnxK\subseteq Vb_1\cup\cdots\cup Vb_nを満たすb1,…,bn∈xKb_1,\ldots,b_n\in xKが存在し、

xKV∩VxK⊆⋃i=1m⋃j=1n(aiVV∩VVbj)xKV\cap VxK\subseteq\bigcup_{i=1}^m\bigcup_{j=1}^n(a_iVV\cap VVb_j)

である。あるi,ji,jについてaiVV∩VVbj∈Da_iVV\cap VVb_j\in\mathfrak Dである。実際、そうでなければ、§E2.50 補題 2.2 (2)によりすべてのi,ji,jについてG∖(aiVV∩VVbj)∈DG\setminus(a_iVV\cap VVb_j)\in\mathfrak Dであり、§E2.50 定義 1.1 条件 (c)によりそれらの共通部分とxKV∩VxKxKV\cap VxKとの共通部分もD\mathfrak Dに属するが、それは空集合であるから§E2.50 定義 1.1 条件 (b)に反する。C=aiVV∩VVbj∈DC=a_iVV\cap VVb_j\in\mathfrak Dとし、s,t∈Cs,t\in Cとする。s=aiv1v2s=a_iv_1v_2、t=aiv3v4t=a_iv_3v_4、s=v5v6bjs=v_5v_6b_j、t=v7v8bjt=v_7v_8b_j（v1,…,v8∈Vv_1,\ldots,v_8\in V）と書けて、VVは対称であるから

s−1t=v2−1v1−1v3v4∈VVVV⊆U,ts−1=v7v8v6−1v5−1∈VVVV⊆Us^{-1}t=v_2^{-1}v_1^{-1}v_3v_4\in VVVV\subseteq U,\qquad ts^{-1}=v_7v_8v_6^{-1}v_5^{-1}\in VVVV\subseteq U

であり、(s,t)∈LU∩RU=BU(s,t)\in L_U\cap R_U=B_Uである。§E14.3 命題 1.1 (1)によりD\mathfrak Dは(G,UB)(G,\mathcal U_B)の Cauchy フィルターである。

GGは Raikov 完備であるから、D\mathfrak DはUB\mathcal U_Bの一様位相、すなわち§E14.3 命題 1.1 (2)によりGGの位相に関して、あるg∈Gg\in Gに収束する。qqは連続であるから、§E2.50 定理 6.2 (1)⇒\Rightarrow(2)によりq(D)q(\mathfrak D)はq(g)q(g)に収束する。q(g)q(g)の任意の近傍NNとF∈FF\in\mathfrak Fについて、N,F∈q(D)N,F\in q(\mathfrak D)であるから§E2.50 定義 1.1 条件 (c)と§E2.50 定義 1.1 条件 (b)によりN∩F≠∅N\cap F\neq\emptysetであり、§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりq(g)q(g)はF\mathfrak Fの集積点である。F∨\mathcal F_\veeの一様位相はXXの位相に等しいから、§E2.53 補題 1.2 (4)によりF\mathfrak Fはq(g)q(g)に収束する。▨

命題 1.7. Raikov 完備な Hausdorff 位相群は Dieudonné 完備である。

証明.GGを Raikov 完備な Hausdorff 位相群とする。§E14.3 系 1.3 (1)によりGGは完全正則である。§E14.3 命題 1.1 (2)により、GGの両側一様構造はGGの位相と両立する。GGは Raikov 完備であるから、この一様構造は完備である。§E2.57 定理 1.3により、GGは Dieudonné 完備である。▨

命題 1.8.GGを距離化可能な Hausdorff 位相群とし、dLd_Lを左一様構造を定める左不変距離とする。x,y∈Gx,y\in Gに対して

dB(x,y)=dL(x,y)+dL(x−1,y−1)d_B(x,y)=d_L(x,y)+d_L(x^{-1},y^{-1})

とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. dBd_BはGGの両側一様構造を定める距離である。
  2. GGが Raikov 完備であることは、dBd_Bが完備であるための必要十分条件である。
  3. GGが Raikov 完備ならば、GGは完備距離化可能であり、Čech 完備である。

証明.§E14.3 命題 1.1 (5)により、dL(x−1,y−1)d_L(x^{-1},y^{-1})は右一様構造を定める距離である。二つの距離の和dBd_Bは距離であり、

{dL<ε/2}∩{(x,y)∣dL(x−1,y−1)<ε/2}⊆{dB<ε}\{d_L<\varepsilon/2\}\cap \{(x,y)\mid d_L(x^{-1},y^{-1})<\varepsilon/2\} \subseteq\{d_B<\varepsilon\}

と、dL(x,y),dL(x−1,y−1)≤dB(x,y)d_L(x,y),d_L(x^{-1},y^{-1})\le d_B(x,y)により、dBd_Bの距離一様構造は、L∈ULL\in\mathcal U_LとR∈URR\in\mathcal U_RによるL∩RL\cap Rの全体を近縁基とする。§E14.3 命題 1.1 (1)により、LU⊆LL_U\subseteq LとRU′⊆RR_{U'}\subseteq Rを満たすeeの近傍UU、U′U'が存在し、BU∩U′=LU∩U′∩RU∩U′⊆L∩RB_{U\cap U'}=L_{U\cap U'}\cap R_{U\cap U'}\subseteq L\cap Rである。BU=LU∩RUB_U=L_U\cap R_Uもこの形の集合であるから、dBd_Bの距離一様構造は両側一様構造である。距離完備性と距離一様構造の完備性の一致（§E2.53 命題 3.1 (2)）により、dBd_Bが完備であることは Raikov 完備性と同値である。

GGが Raikov 完備であるとする。主張 (2)によりdBd_Bは完備である。§E2.51 命題 5.2 (2)によりdBd_Bから生じる位相は両側一様構造の一様位相であり、§E14.3 命題 1.1 (2)によりこの位相はGGの位相に等しい。したがってGGは完備距離化可能であり、§E2.57 定理 5.2 (3)⇒\Rightarrow(1)により Čech 完備である。▨

2 両側 Cauchy フィルター

定義 2.1.GGを位相群とし、UL\mathcal U_L、UR\mathcal U_R、UB\mathcal U_BをそれぞれGGの左一様構造、右一様構造、両側一様構造とする。

  1. 一様空間(G,UL)(G,\mathcal U_L)の Cauchy フィルターと Cauchy 列を、それぞれ 左 Cauchy フィルター (left Cauchy filter)、左 Cauchy 列 (left Cauchy sequence) という。
  2. 一様空間(G,UR)(G,\mathcal U_R)の Cauchy フィルターと Cauchy 列を、それぞれ 右 Cauchy フィルター (right Cauchy filter)、右 Cauchy 列 (right Cauchy sequence) という。
  3. 一様空間(G,UB)(G,\mathcal U_B)の Cauchy フィルター、Cauchy ネット、Cauchy 列を、それぞれ 両側 Cauchy フィルター (two-sided Cauchy filter)、両側 Cauchy ネット (two-sided Cauchy net)、両側 Cauchy 列 (two-sided Cauchy sequence) という。

補題 2.2.GGを位相群とし、F\mathfrak FをGG上のフィルターとする。このとき、次が成り立つ。

  1. F\mathfrak Fが左 Cauchy フィルターであることは、単位元の任意の近傍UUに対してA−1A⊆UA^{-1}A\subseteq Uを満たすA∈FA\in\mathfrak Fが存在するための必要十分条件である。
  2. F\mathfrak Fが右 Cauchy フィルターであることは、単位元の任意の近傍UUに対してAA−1⊆UAA^{-1}\subseteq Uを満たすA∈FA\in\mathfrak Fが存在するための必要十分条件である。
  3. F\mathfrak Fが両側 Cauchy フィルターであることは、単位元の任意の近傍UUに対してA−1A⊆UA^{-1}A\subseteq UとAA−1⊆UAA^{-1}\subseteq Uをともに満たすA∈FA\in\mathfrak Fが存在するための必要十分条件である。

証明. 単位元の近傍UUとA⊆GA\subseteq Gを取る。§E14.3 命題 1.1のLUL_UとRUR_Uの定義により、A×A⊆LUA\times A\subseteq L_UであることはA−1A⊆UA^{-1}A\subseteq Uであることと同値であり、A×A⊆RUA\times A\subseteq R_UであることはAA−1⊆UAA^{-1}\subseteq Uであることと同値である。BU=LU∩RUB_U=L_U\cap R_Uであるから、A×A⊆BUA\times A\subseteq B_Uであることは、A−1A⊆UA^{-1}A\subseteq UとAA−1⊆UAA^{-1}\subseteq Uがともに成り立つことと同値である。§E14.3 命題 1.1 (1)により、UUが単位元の近傍の全体を動くとき、LUL_U、RUR_U、BUB_Uの全体はそれぞれUL\mathcal U_L、UR\mathcal U_R、UB\mathcal U_Bの近縁基である。近縁基の元は近縁系に属し、近縁系の各元は近縁基のある元を含むから、Cauchy フィルターの定義の条件は近縁基の元について確かめれば足りる。以上より、三つの主張が成り立つ。▨

補題 2.3.GGを Hausdorff 位相群とし、F,H\mathfrak F,\mathfrak HをGG上の両側 Cauchy フィルターとする。集合族

{AB∣A∈F, B∈H},{A−1∣A∈F}\{AB\mid A\in\mathfrak F,\ B\in\mathfrak H\}, \qquad \{A^{-1}\mid A\in\mathfrak F\}

が生成するフィルターをそれぞれFH\mathfrak F\mathfrak H、F−1\mathfrak F^{-1}と書く。このとき、FH\mathfrak F\mathfrak HとF−1\mathfrak F^{-1}は両側 Cauchy フィルターである。

証明. 各集合は空でなく、A1B1∩A2B2A_1B_1\cap A_2B_2は(A1∩A2)(B1∩B2)(A_1\cap A_2)(B_1\cap B_2)を含むので、積の集合族はフィルター基である。逆の集合族については(A1∩A2)−1=A1−1∩A2−1(A_1\cap A_2)^{-1}=A_1^{-1}\cap A_2^{-1}である。

単位元の近傍UUを取る。§E14.1 系 2.2を反復して、V=V−1V=V^{-1}かつV4⊆UV^4\subseteq Uを満たす単位元の近傍VVを取る。補題 2.2 (3)により、A0∈FA_0\in\mathfrak FとB0∈HB_0\in\mathfrak Hを

A0A0−1⊆V,B0−1B0⊆VA_0A_0^{-1}\subseteq V,\qquad B_0^{-1}B_0\subseteq V

となるように取り、a0∈A0a_0\in A_0、b0∈B0b_0\in B_0を固定する。共役写像の連続性により、

b0−1Db0⊆V,a0Da0−1⊆Vb_0^{-1}Db_0\subseteq V,\qquad a_0Da_0^{-1}\subseteq V

を満たす単位元の近傍DDが存在する。補題 2.2 (3)により、

A⊆A0,A−1A⊆D,B⊆B0,BB−1⊆DA\subseteq A_0,\quad A^{-1}A\subseteq D,\qquad B\subseteq B_0,\quad BB^{-1}\subseteq D

を満たすA∈FA\in\mathfrak FとB∈HB\in\mathfrak Hを取る。

a,a′∈Aa,a'\in A、b,b′∈Bb,b'\in Bとする。b=b0vb=b_0v、a′=wa0a'=wa_0を満たすv,w∈Vv,w\in Vが存在するから、

(ab)−1(a′b′)=b−1(a−1a′)b (b−1b′)∈V3V⊆U,(a′b′)(ab)−1=a′(b′b−1)a′−1(a′a−1)∈V3V⊆U.\begin{aligned} (ab)^{-1}(a'b') &=b^{-1}(a^{-1}a')b\,(b^{-1}b') \in V^3V\subseteq U,\\ (a'b')(ab)^{-1} &=a'(b'b^{-1})a'^{-1}(a'a^{-1}) \in V^3V\subseteq U. \end{aligned}

したがって(AB)−1(AB)⊆U(AB)^{-1}(AB)\subseteq Uかつ(AB)(AB)−1⊆U(AB)(AB)^{-1}\subseteq Uである。AB∈FHAB\in\mathfrak F\mathfrak Hであるから、補題 2.2 (3)によりFH\mathfrak F\mathfrak Hは両側 Cauchy フィルターである。

逆写像は、左の差と右の差を入れ替える。実際、(a−1)−1b−1=ab−1(a^{-1})^{-1}b^{-1}=ab^{-1}およびb−1(a−1)−1=b−1ab^{-1}(a^{-1})^{-1}=b^{-1}aである。A−1A,AA−1⊆UA^{-1}A,AA^{-1}\subseteq Uを満たすA∈FA\in\mathfrak Fを取れば、A−1A^{-1}は同じ二条件を満たす。よって、補題 2.2 (3)によりF−1\mathfrak F^{-1}も両側 Cauchy フィルターである。▨

3 Raikov 完備化

非可換な位相群においては一般に、左右の一様構造や Roelcke 一様構造による一様空間としての完備化は群構造と両立しない。しかしながら、両側一様構造に関する完備化はまた位相群となる。

定理 3.1 (Raikov 完備化の存在). 任意の Hausdorff 位相群GGに対して、Raikov 完備な Hausdorff 位相群ϱG\varrho Gと、像が稠密な準同型であり位相的埋め込みでもある写像

ιG ⁣:G⟶ϱG\iota_G\colon G\longrightarrow\varrho G

が存在する。さらに、ϱG\varrho Gの両側一様構造について、(ϱG,ιG)(\varrho G,\iota_G)は(G,UB)(G,\mathcal U_B)の一様完備化である。この性質を満たす組(ϱG,ιG)(\varrho G,\iota_G)をGGのRaikov 完備化 (Raikov completion) という。

証明.§E14.3 命題 1.1 (2)により、UB\mathcal U_BはGGの Hausdorff 位相と両立する。§E2.53 定理 6.2 (3)と§E2.53 定理 6.2 (4)により、その一様完備化(X,ι)(X,\iota)を取り、GGを稠密な一様部分空間ι(G)⊆X\iota(G)\subseteq Xと同一視する。XXの一様構造をW\mathcal Wと書く。各両側 Cauchy フィルターF\mathfrak FのXXにおける極限をℓ(F)\ell(\mathfrak F)と書く。任意のx∈Xx\in Xについて、§E2.53 補題 1.2 (2)によりxxの近傍フィルターはXX上の Cauchy フィルターであり、GGはXXで稠密であるからxxの各近傍はGGと交わる。したがって、§E2.53 補題 1.2 (7)により、xxの近傍とGGとの共通部分からなるフィルターNx\mathfrak N_xは両側 Cauchy であり、ℓ(Nx)=x\ell(\mathfrak N_x)=xである。

主張 3.1.1. 両側 Cauchy フィルターF,F′\mathfrak F,\mathfrak F'について、ℓ(F)=ℓ(F′)\ell(\mathfrak F)=\ell(\mathfrak F')ならば、F∩F′\mathfrak F\cap\mathfrak F'は両側 Cauchy フィルターである。

証明.x=ℓ(F)=ℓ(F′)x=\ell(\mathfrak F)=\ell(\mathfrak F')とする。任意のE∈WE\in\mathcal Wに対して、O×O⊆EO\times O\subseteq Eを満たすxxの近傍OOが存在する。両フィルターがxxに収束するので、O∩GO\cap GはF∩F′\mathfrak F\cap\mathfrak F'に属する。W\mathcal WがGG上に誘導する一様構造はUB\mathcal U_Bであるから、主張を得る。▨

x=ℓ(F)x=\ell(\mathfrak F)、y=ℓ(H)y=\ell(\mathfrak H)に対して

xy=ℓ(FH),x−1=ℓ(F−1)xy=\ell(\mathfrak F\mathfrak H),\qquad x^{-1}=\ell(\mathfrak F^{-1})

と定める。積と逆のフィルターの極限は補題 2.3により存在する。F′\mathfrak F'がF\mathfrak Fと同じ極限をもつならば、主張 3.1.1のフィルターK=F∩F′\mathfrak K=\mathfrak F\cap\mathfrak F'の積KH\mathfrak K\mathfrak Hは、FH\mathfrak F\mathfrak HとF′H\mathfrak F'\mathfrak Hの双方より粗い Cauchy フィルターである。したがって三者の極限は一致する。第二の因子と逆についても、共通の粗いフィルターをそれぞれ積と逆へ写せば極限の一致を得る。ゆえに演算は代表フィルターによらない。

集合の積の結合律から(FH)K=F(HK)(\mathfrak F\mathfrak H)\mathfrak K=\mathfrak F(\mathfrak H\mathfrak K)であり、XXの積は結合的である。eeに集中するフィルターは単位元を与える。補題 2.2 (3)により、単位元の任意の近傍UUに対して、AA−1⊆UAA^{-1}\subseteq UとA−1A⊆UA^{-1}A\subseteq Uをともに満たすA∈FA\in\mathfrak Fが存在する。AA−1∈FF−1AA^{-1}\in\mathfrak F\mathfrak F^{-1}であるからFF−1\mathfrak F\mathfrak F^{-1}はGGでeeに収束し、A−1A∈F−1FA^{-1}A\in\mathfrak F^{-1}\mathfrak FであるからF−1F\mathfrak F^{-1}\mathfrak Fもeeに収束する。よってxx−1=x−1x=exx^{-1}=x^{-1}x=eであり、XXは群である。各点に集中するフィルターを使うと、ι\iotaが準同型であることも従う。

x,y∈Xx,y\in Xと、xyxyの近傍PPを取る。§E2.51 補題 2.4 (3)により、E[xy]⊆PE[xy]\subseteq Pを満たす閉な対称近縁E∈WE\in\mathcal Wが存在する。NxNy\mathfrak N_x\mathfrak N_yが Cauchy であるから、

(AB)×(AB)⊆E(AB)\times(AB)\subseteq E

を満たすA∈NxA\in\mathfrak N_x、B∈NyB\in\mathfrak N_yが存在する。x,yx,yの開近傍O,QO,QをO∩G⊆AO\cap G\subseteq A、Q∩G⊆BQ\cap G\subseteq Bとなるように取る。x′∈Ox'\in O、y′∈Qy'\in Qならば、A∈Nx′A\in\mathfrak N_{x'}、B∈Ny′B\in\mathfrak N_{y'}であるから、積の定義により

x′y′∈cl⁡X(AB).x'y'\in\tpcl[X]{AB}.

xyxyも同じ閉包に属する。EEは閉であるからcl⁡X(AB)×cl⁡X(AB)⊆E\tpcl[X]{AB}\times\tpcl[X]{AB}\subseteq Eとなり、x′y′∈E[xy]⊆Px'y'\in E[xy]\subseteq Pを得る。したがって積は連続である。

逆写像G→GG\to Gは、対称なUUについてBUB_Uをそれ自身へ写すので、両側一様構造に関して一様連続である。§E2.53 定理 4.1によりX→XX\to Xへの一様連続な延長が存在する。その延長の値はNx−1\mathfrak N_x^{-1}の極限であり、構成したx−1x^{-1}に等しい。したがって逆も連続である。

XXの群構造から定まる両側一様構造をV\mathcal Vと書く。§E14.3 命題 1.1 (2)により、V\mathcal VはXXの位相、すなわちW\mathcal Wの一様位相と両立する。GGはXXの部分群であり、XXから誘導される位相はGGの位相に等しいから、§E14.3 命題 1.6 (1)により、V\mathcal VがGG上に誘導する部分一様構造はUB\mathcal U_Bである。W\mathcal WがGG上に誘導する部分一様構造もUB\mathcal U_Bである。W\mathcal Wの閉近縁EEを取る。部分一様構造の一致と§E2.51 補題 2.4 (2)により、

D∩(G×G)⊆E∩(G×G)D\cap(G\times G)\subseteq E\cap(G\times G)

を満たすV\mathcal Vの開近縁DDが存在する。G×GG\times GはX×XX\times Xで稠密であり、DDは開集合なのでD⊆cl⁡X×X(D∩(G×G))⊆ED\subseteq\tpcl[X\times X]{D\cap(G\times G)}\subseteq Eである。よってE∈VE\in\mathcal Vとなり、閉近縁の全体が近縁基であることからW⊆V\mathcal W\subseteq\mathcal Vを得る。V,W\mathcal V,\mathcal Wを入れ替えた同じ包含の議論により、V=W\mathcal V=\mathcal Wである。したがってXXは Raikov 完備である。ϱG=X\varrho G=X、ιG=ι\iota_G=\iotaとおけばよい。▨

定理 3.2.GGを Hausdorff 位相群とする。このとき、次が成り立つ。

  1. HHを Raikov 完備な Hausdorff 位相群とする。任意の連続準同型f ⁣:G→Hf\colon G\to Hは、 f^∘ιG=f\widehat f\circ\iota_G=f を満たす連続準同型f^ ⁣:ϱG→H\widehat f\colon\varrho G\to Hへただ一つ延長される。
  2. GGの二つの Raikov 完備化の間には、GGからの写像と可換になる位相群としての同型がただ一つ存在する。
  3. GGが Raikov 完備であることは、ιG\iota_Gが全射であるための必要十分条件である。

証明.HHの単位元の近傍UUに対して、GGの単位元の近傍VVをf(V)⊆Uf(V)\subseteq Uとなるように取る。x−1y,yx−1∈Vx^{-1}y,yx^{-1}\in Vならば

f(x)−1f(y)=f(x−1y)∈U,f(y)f(x)−1=f(yx−1)∈Uf(x)^{-1}f(y)=f(x^{-1}y)\in U,\qquad f(y)f(x)^{-1}=f(yx^{-1})\in U

である。したがってffは両側一様構造に関して一様連続であり、§E2.53 定理 4.1により一様連続な延長f^\widehat fが存在する。

f^(xy)\widehat f(xy)とf^(x)f^(y)\widehat f(x)\widehat f(y)は(ϱG)2(\varrho G)^2上の連続写像であり、稠密な部分集合G2G^2上で一致する。HHの Hausdorff 性により両写像は至る所一致する。実際、不一致の点があれば、二つの値の交わらない近傍の逆像の共通部分が、G2G^2と交わらない非空開集合になる。したがってf^\widehat fは準同型である。同じ稠密性の議論により、連続な延長はただ一つである。

二つの完備化の間でGGからの埋め込みをそれぞれ延長すると、二方向の連続準同型を得る。その合成はGG上で恒等写像に一致するので、一意性により恒等写像である。よって二方向の写像は互いに逆の位相群としての同型である。

GGが Raikov 完備ならば、§E2.53 補題 2.4 (2)によりιG(G)\iota_G(G)はϱG\varrho Gの閉集合である。像は稠密でもあるので全体に等しい。逆にιG\iota_Gが全射ならば両側一様構造について一様同相写像であるから、ϱG\varrho Gの完備性がGGに移る。▨

定義 3.3. Hausdorff 位相群GGが、両側一様構造に関して全有界な単位元近傍をもつとき、GGを 局所プレコンパクト群 (locally precompact group) という。

命題 3.4.GGを Hausdorff 位相群とする。このとき、次の条件は同値である。

  1. GGは局所プレコンパクトである。
  2. GGは左一様構造に関して全有界な単位元近傍をもつ。
  3. GGは右一様構造に関して全有界な単位元近傍をもつ。

証明.§E14.3 命題 1.1 (4)により両側一様構造は左右の一様構造より細かいので、両側に関して全有界な集合は左右のそれぞれについて全有界である。

左一様構造について全有界な単位元近傍NNが存在するとする。U=U−1⊆NU=U^{-1}\subseteq Nを満たす単位元近傍UUを取る。全有界性は部分集合へ遺伝するのでUUは左全有界である。§E14.3 命題 1.1 (5)により、逆写像は左一様構造から右一様構造への一様同相写像であり、U−1=UU^{-1}=UであるからUUは右全有界でもある。

単位元の近傍WWを取り、V=V−1V=V^{-1}、V2⊆WV^2\subseteq Wとする。UUは有限個の集合xiVx_iVで覆われ、同時に有限個の集合VyjVy_jで覆われる。空でない各交わりU∩xiV∩VyjU\cap x_iV\cap Vy_jから一点zijz_{ij}を取る。この交わりの二点a,ba,bはa−1b,ba−1∈V2⊆Wa^{-1}b,ba^{-1}\in V^2\subseteq Wを満たす。よって交わりはBW[zij]B_W[z_{ij}]に含まれ、これらの有限個の近縁球がUUを覆う。したがってUUは両側一様構造について全有界である。右全有界な近傍が存在する場合は、その逆集合が左全有界な近傍であるから、証明済みの結論を適用する。▨

命題 3.5. 局所コンパクト Hausdorff 位相群は Roelcke 完備であり、Weil 完備であり、Raikov 完備である。

証明.GGを局所コンパクト Hausdorff 位相群とする。§E14.2 命題 1.2により、単位元のコンパクト近傍KKが存在する。F\mathfrak Fを(G,UQ)(G,\mathcal U_Q)の Cauchy フィルターとする。§E14.3 命題 1.1 (1)によりQK∈UQQ_K\in\mathcal U_Qであるから、A×A⊆QKA\times A\subseteq Q_Kを満たすA∈FA\in\mathfrak Fをとり、a∈Aa\in Aを固定する。y∈Ay\in Aならば(a,y)∈QK(a,y)\in Q_Kであるからy∈KaKy\in KaKであり、A⊆KaKA\subseteq KaKであるからKaK∈FKaK\in\mathfrak Fである。§E2.19 定理 5.3によりK×KK\times Kはコンパクトであり、写像(k,k′)↦kak′(k,k')\mapsto kak'は連続であるから、§E2.19 定理 4.2によりKaKKaKはコンパクトである。KaK∈FKaK\in\mathfrak Fであるから、各F∈FF\in\mathfrak FについてF∩KaK∈FF\cap KaK\in\mathfrak Fは空でなく、§E2.50 補題 3.3 (1)によりFKaK={F∩KaK∣F∈F}\mathfrak F_{KaK}=\{F\cap KaK\mid F\in\mathfrak F\}はKaKKaK上のフィルターである。KaKKaKに部分空間位相を入れると、§E2.50 定理 7.1 (1)⇒\Rightarrow(2)によりFKaK\mathfrak F_{KaK}は集積点z∈KaKz\in KaKをもつ。NNをGGにおけるzzの近傍、F∈FF\in\mathfrak Fとすると、N∩KaKN\cap KaKは部分空間KaKKaKにおけるzzの近傍であるから、§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりN∩F∩KaK≠∅N\cap F\cap KaK\neq\emptysetである。ゆえに§E2.50 補題 4.2 (1)⇔\Leftrightarrow(2)によりzzはF\mathfrak Fの集積点であり、§E2.53 補題 1.2 (4)によりF\mathfrak Fはzzに収束するので、GGは Roelcke 完備である。命題 1.2 (2)と命題 1.2 (3)により、GGは Weil 完備であり、Raikov 完備である。▨

定理 3.6. Hausdorff 位相群GGが局所プレコンパクトであるための必要十分条件は、ϱG\varrho Gが局所コンパクトであることである。

証明. 必要性を示す。GGをϱG\varrho Gの稠密な部分群と同一視し、U⊆GU\subseteq Gを両側一様構造について全有界な単位元近傍とする。定理 3.1と§E2.54 補題 2.2 (2)により、K=cl⁡ϱG(U)K=\tpcl[\varrho G]{U}はコンパクトである。ϱG\varrho Gにおける単位元の開近傍OOをO∩G⊆UO\cap G\subseteq Uとなるように取る。GGの稠密性とOOの開性からO⊆cl⁡ϱG(O∩G)⊆KO\subseteq\tpcl[\varrho G]{O\cap G}\subseteq Kである。したがってKKはϱG\varrho Gの単位元のコンパクト近傍であり、§E14.2 命題 1.2によりϱG\varrho Gは局所コンパクトである。

十分性を示す。ϱG\varrho Gの単位元のコンパクト近傍KKを取る。§E2.54 補題 2.2 (1)によりK∩GK\cap GはϱG\varrho Gの両側一様構造について全有界である。§E14.3 命題 1.6 (1)によりGG上の部分一様構造はGGの両側一様構造に一致するから、K∩GK\cap GはGGの全有界な単位元近傍である。▨

系 3.7. 距離化可能な Hausdorff 位相群GGの Raikov 完備化ϱG\varrho Gは完備距離化可能である。

証明.§E2.13 命題 4.2によりGGは第一可算であるから、§E14.3 定理 4.2 (2)により、距離一様構造がGGの左一様構造に等しい左不変距離dLd_Lが存在する。命題 1.8 (1)により、dLd_Lから定まる距離dBd_BはGGの両側一様構造を定める。§E2.6 定理 2.6により距離完備化(X,d^B)(X,\widehat d_B)を取り、GGからの等長埋込みをjjとする。§E2.53 定理 9.1 (1)により(X,j)(X,j)はGGの両側一様構造の Hausdorff 一様完備化である。ϱG\varrho Gも同じ一様構造の完備化なので、§E2.53 定理 6.2 (2)により、GGからの埋込みと可換する一様同相写像F ⁣:ϱG→XF\colon\varrho G\to Xが存在する。距離

d(x,y)=d^B(F(x),F(y))d(x,y)=\widehat d_B(F(x),F(y))

はϱG\varrho Gの位相と両立し、FFは(ϱG,d)(\varrho G,d)から(X,d^B)(X,\widehat d_B)への等長全単射である。したがってddは完備であり、ϱG\varrho Gは完備距離化可能である。▨

4 Roelcke–Dierolf の埋め込み定理

定理 4.1.SSを集合とし、U0\mathcal U_0、U1\mathcal U_1、U∧\mathcal U_\wedgeをSSの近縁系とする。U∧⊆U0∩U1\mathcal U_\wedge\subseteq\mathcal U_0\cap\mathcal U_1であり、U∧\mathcal U_\wedgeは Hausdorff であるとする。恒等写像S→(S,U0)S\to(S,\mathcal U_0)とS→(S,U1)S\to(S,\mathcal U_1)の族による始一様構造をU∨\mathcal U_\veeとする。さらに、j∈{0,1}j\in\{0,1\}について次を仮定する。

  1. (S,Uj)(S,\mathcal U_j)の任意の Cauchy フィルターF\mathfrak Fと任意のV∈UjV\in\mathcal U_jに対して、F∈FF\in\mathfrak FとW∈U∧W\in\mathcal U_\wedgeであって、x∈Fx\in F、y∈Sy\in S、(x,y)∈W(x,y)\in Wならば(x,y)∈V(x,y)\in Vとなるものが存在する。

α∈{0,1,∨,∧}\alpha\in\{0,1,\vee,\wedge\}について、Hausdorff 一様空間(S,Uα)(S,\mathcal U_\alpha)の完備化(S^α,ια)(\widehat S_\alpha,\iota_\alpha)をとる。(α,β)(\alpha,\beta)が(∨,0)(\vee,0)、(∨,1)(\vee,1)、(0,∧)(0,\wedge)、(1,∧)(1,\wedge)、(∨,∧)(\vee,\wedge)のいずれかであるとき、φαβ∘ια=ιβ\varphi_{\alpha\beta}\circ\iota_\alpha=\iota_\betaを満たす一様連続写像φαβ ⁣:S^α→S^β\varphi_{\alpha\beta}\colon\widehat S_\alpha\to\widehat S_\betaをとる。このとき、次が成り立つ。

  1. φ∨∧=φ0∧∘φ∨0=φ1∧∘φ∨1\varphi_{\vee\wedge}=\varphi_{0\wedge}\circ\varphi_{\vee0}=\varphi_{1\wedge}\circ\varphi_{\vee1}である。
  2. 五つの写像φ∨0\varphi_{\vee0}、φ∨1\varphi_{\vee1}、φ0∧\varphi_{0\wedge}、φ1∧\varphi_{1\wedge}、φ∨∧\varphi_{\vee\wedge}はいずれも位相的埋め込みである。
  3. φ∨∧(S^∨)=φ0∧(S^0)∩φ1∧(S^1)\varphi_{\vee\wedge}(\widehat S_\vee)=\varphi_{0\wedge}(\widehat S_0)\cap\varphi_{1\wedge}(\widehat S_1)である。

証明.j∈{0,1}j\in\{0,1\}とする。§E2.51 命題 4.2 (1)により恒等写像(S,U∨)→(S,Uj)(S,\mathcal U_\vee)\to(S,\mathcal U_j)は一様連続であるから、Uj⊆U∨\mathcal U_j\subseteq\mathcal U_\veeである。§E2.51 定義 4.1と§E2.51 定義 1.3 条件 (c)により、U∨\mathcal U_\veeの各元はあるV0∩V1V_0\cap V_1（V0∈U0V_0\in\mathcal U_0、V1∈U1V_1\in\mathcal U_1）を含む。U∧⊆U0∩U1⊆U∨\mathcal U_\wedge\subseteq\mathcal U_0\cap\mathcal U_1\subseteq\mathcal U_\veeであるから、α∈{0,1,∨}\alpha\in\{0,1,\vee\}について⋂Uα⊆⋂U∧\bigcap\mathcal U_\alpha\subseteq\bigcap\mathcal U_\wedgeであり、§E2.51 定義 2.7と§E2.51 定義 1.3 条件 (d)によりUα\mathcal U_\alphaは Hausdorff である。(α,β)(\alpha,\beta)が定理の五つの組のいずれかであるときUβ⊆Uα\mathcal U_\beta\subseteq\mathcal U_\alphaであるから、恒等写像(S,Uα)→(S,Uβ)(S,\mathcal U_\alpha)\to(S,\mathcal U_\beta)は一様連続であり、§E2.53 系 6.4 (1)によりφαβ\varphi_{\alpha\beta}はただ一つ存在する。

主張 (1)を示す。§E2.53 系 6.4 (2)を、恒等写像(S,U∨)→(S,U0)(S,\mathcal U_\vee)\to(S,\mathcal U_0)と(S,U0)→(S,U∧)(S,\mathcal U_0)\to(S,\mathcal U_\wedge)の合成に適用すると、φ∨∧=φ0∧∘φ∨0\varphi_{\vee\wedge}=\varphi_{0\wedge}\circ\varphi_{\vee0}である。恒等写像(S,U∨)→(S,U1)(S,\mathcal U_\vee)\to(S,\mathcal U_1)と(S,U1)→(S,U∧)(S,\mathcal U_1)\to(S,\mathcal U_\wedge)の合成に適用すると、φ∨∧=φ1∧∘φ∨1\varphi_{\vee\wedge}=\varphi_{1\wedge}\circ\varphi_{\vee1}である。

α∈{0,1,∨,∧}\alpha\in\{0,1,\vee,\wedge\}について、§E2.53 定理 8.3を(S,Uα)(S,\mathcal U_\alpha)に適用し、(S,Uα)(S,\mathcal U_\alpha)の極小 Cauchy フィルターの全体をS~α\widetilde S_\alpha、その近縁系をU~α\widetilde{\mathcal U}_\alpha、写像をι~α ⁣:S→S~α\widetilde\iota_\alpha\colon S\to\widetilde S_\alphaとし、V∈UαV\in\mathcal U_\alphaに対して§E2.53 定理 8.3の集合V~⊆S~α×S~α\widetilde V\subseteq\widetilde S_\alpha\times\widetilde S_\alphaをとる。§E2.53 定理 8.3 (1)により{V~∣V∈Uα}\{\widetilde V\mid V\in\mathcal U_\alpha\}はU~α\widetilde{\mathcal U}_\alphaの近縁基である。§E2.53 定理 8.3 (4)と§E2.53 定理 6.2 (2)により、Φα∘ι~α=ια\Phi_\alpha\circ\widetilde\iota_\alpha=\iota_\alphaを満たす一様同相写像Φα ⁣:S~α→S^α\Phi_\alpha\colon\widetilde S_\alpha\to\widehat S_\alphaが存在する。

(α,β)(\alpha,\beta)を定理の五つの組の一つとする。F∈S~α\mathfrak F\in\widetilde S_\alphaは(S,Uα)(S,\mathcal U_\alpha)の Cauchy フィルターであり、Uβ⊆Uα\mathcal U_\beta\subseteq\mathcal U_\alphaであるから(S,Uβ)(S,\mathcal U_\beta)の Cauchy フィルターでもある。§E2.53 補題 8.2 (2)により、F\mathfrak Fに含まれる(S,Uβ)(S,\mathcal U_\beta)の極小 Cauchy フィルターがただ一つ存在する。これをψαβ(F)\psi_{\alpha\beta}(\mathfrak F)とおき、写像ψαβ ⁣:S~α→S~β\psi_{\alpha\beta}\colon\widetilde S_\alpha\to\widetilde S_\betaを定める。ψαβ(F)⊆F\psi_{\alpha\beta}(\mathfrak F)\subseteq\mathfrak Fである。

φαβ∘Φα=Φβ∘ψαβ\varphi_{\alpha\beta}\circ\Phi_\alpha=\Phi_\beta\circ\psi_{\alpha\beta}である。実際、F∈S~α\mathfrak F\in\widetilde S_\alphaとする。§E2.53 補題 8.2 (2)により、F\mathfrak Fに含まれる(S,Uα)(S,\mathcal U_\alpha)の極小 Cauchy フィルターはF\mathfrak F自身であるから、§E2.53 定理 8.3 (3)によりι~α(F)\widetilde\iota_\alpha(\mathfrak F)はF\mathfrak Fに収束し、ι~β(F)\widetilde\iota_\beta(\mathfrak F)はψαβ(F)\psi_{\alpha\beta}(\mathfrak F)に収束する。§E2.51 命題 3.4 (1)と§E2.51 命題 3.4 (3)によりφαβ∘Φα\varphi_{\alpha\beta}\circ\Phi_\alphaとΦβ\Phi_\betaは連続であり、φαβ∘Φα∘ι~α=φαβ∘ια=ιβ=Φβ∘ι~β\varphi_{\alpha\beta}\circ\Phi_\alpha\circ\widetilde\iota_\alpha=\varphi_{\alpha\beta}\circ\iota_\alpha=\iota_\beta=\Phi_\beta\circ\widetilde\iota_\betaであるから、§E2.50 命題 3.2 (4)と§E2.50 定理 6.2 (1)⇒\Rightarrow(2)により、像フィルターιβ(F)\iota_\beta(\mathfrak F)はφαβ(Φα(F))\varphi_{\alpha\beta}(\Phi_\alpha(\mathfrak F))とΦβ(ψαβ(F))\Phi_\beta(\psi_{\alpha\beta}(\mathfrak F))の両方に収束する。S^β\widehat S_\betaの一様構造は Hausdorff であるから、§E2.51 命題 2.8 (1)⇒\Rightarrow(2)と§E2.50 定理 6.4 (1)⇒\Rightarrow(2)により、二つの極限は等しい。

したがってψαβ=Φβ−1∘φαβ∘Φα\psi_{\alpha\beta}=\Phi_\beta^{-1}\circ\varphi_{\alpha\beta}\circ\Phi_\alphaは連続である。§E2.51 命題 3.4 (3)によりΦα\Phi_\alphaとΦβ\Phi_\betaは同相写像であるから、φαβ\varphi_{\alpha\beta}が位相的埋め込みであることはψαβ\psi_{\alpha\beta}が位相的埋め込みであることと同値であり、Φβ(ψαβ(S~α))=φαβ(S^α)\Phi_\beta(\psi_{\alpha\beta}(\widetilde S_\alpha))=\varphi_{\alpha\beta}(\widehat S_\alpha)である。

主張 4.1.1.α∈{0,1,∨}\alpha\in\{0,1,\vee\}、F∈S~α\mathfrak F\in\widetilde S_\alpha、V∈UαV\in\mathcal U_\alphaとする。このとき、W∈U∧W\in\mathcal U_\wedgeであって、G∈S~α\mathfrak G\in\widetilde S_\alphaが(ψα∧(F),ψα∧(G))∈W~(\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak F),\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak G))\in\widetilde Wを満たすならば(F,G)∈V~(\mathfrak F,\mathfrak G)\in\widetilde Vとなるものが存在する。

証明.F∈FF\in\mathfrak F、W∈U∧W\in\mathcal U_\wedgeと、V′∘V′⊆VV'\circ V'\subseteq Vを満たすS×SS\times Sの対称な部分集合V′V'であって、x∈Fx\in F、y∈Sy\in S、(x,y)∈W(x,y)\in Wならば(x,y)∈V′(x,y)\in V'となるものが存在する。実際、α=j∈{0,1}\alpha=j\in\{0,1\}のときは、§E2.51 補題 1.7 (2)によりV′∘V′⊆VV'\circ V'\subseteq Vを満たす対称なV′∈UjV'\in\mathcal U_jをとり、条件 (a)をF\mathfrak FとV′V'に適用してFFとWWをとればよい。α=∨\alpha=\veeのときは、V0∩V1⊆VV_0\cap V_1\subseteq Vを満たすV0∈U0V_0\in\mathcal U_0、V1∈U1V_1\in\mathcal U_1をとり、j∈{0,1}j\in\{0,1\}について、§E2.51 補題 1.7 (2)によりVj′∘Vj′⊆VjV_j'\circ V_j'\subseteq V_jを満たす対称なVj′∈UjV_j'\in\mathcal U_jをとる。Uj⊆U∨\mathcal U_j\subseteq\mathcal U_\veeであるからF\mathfrak Fは(S,Uj)(S,\mathcal U_j)の Cauchy フィルターであり、条件 (a)をF\mathfrak FとVj′V_j'に適用してFj∈FF_j\in\mathfrak FとWj∈U∧W_j\in\mathcal U_\wedgeをとる。F=F0∩F1F=F_0\cap F_1、W=W0∩W1W=W_0\cap W_1、V′=V0′∩V1′V'=V_0'\cap V_1'とおくと、§E2.50 定義 1.1 条件 (c)と§E2.51 定義 1.3 条件 (c)によりF∈FF\in\mathfrak F、W∈U∧W\in\mathcal U_\wedgeであり、x∈Fx\in F、(x,y)∈W(x,y)\in Wならば(x,y)∈V0′∩V1′=V′(x,y)\in V_0'\cap V_1'=V'である。V′V'は対称であり、V′∘V′⊆(V0′∘V0′)∩(V1′∘V1′)⊆V0∩V1⊆VV'\circ V'\subseteq(V_0'\circ V_0')\cap(V_1'\circ V_1')\subseteq V_0\cap V_1\subseteq Vである。

G∈S~α\mathfrak G\in\widetilde S_\alphaが(ψα∧(F),ψα∧(G))∈W~(\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak F),\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak G))\in\widetilde Wを満たすとする。A×A⊆WA\times A\subseteq Wを満たすA∈ψα∧(F)∩ψα∧(G)A\in\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak F)\cap\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak G)が存在し、ψα∧(F)⊆F\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak F)\subseteq\mathfrak F、ψα∧(G)⊆G\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak G)\subseteq\mathfrak Gであるから、A∈F∩GA\in\mathfrak F\cap\mathfrak Gである。§E2.50 定義 1.1 条件 (c)と§E2.50 定義 1.1 条件 (b)によりA∩FA\cap Fは空でないから、z∈A∩Fz\in A\cap Fをとる。x,y∈Ax,y\in Aとすると、(z,x),(z,y)∈A×A⊆W(z,x),(z,y)\in A\times A\subseteq Wとz∈Fz\in Fにより(z,x),(z,y)∈V′(z,x),(z,y)\in V'であり、V′V'の対称性により(x,z)∈V′(x,z)\in V'であるから、(x,y)∈V′∘V′⊆V(x,y)\in V'\circ V'\subseteq Vである。ゆえにA×A⊆VA\times A\subseteq Vであり、(F,G)∈V~(\mathfrak F,\mathfrak G)\in\widetilde Vである。▨

主張 (2)を示す。α∈{0,1,∨}\alpha\in\{0,1,\vee\}とする。

F,G∈S~α\mathfrak F,\mathfrak G\in\widetilde S_\alphaがψα∧(F)=ψα∧(G)\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak F)=\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak G)を満たすとする。任意のV∈UαV\in\mathcal U_\alphaについて、主張 4.1.1のWWをとると、§E2.53 定理 8.3 (1)と§E2.51 定義 1.3 条件 (d)により(ψα∧(F),ψα∧(G))∈W~(\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak F),\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak G))\in\widetilde Wであるから、(F,G)∈V~(\mathfrak F,\mathfrak G)\in\widetilde Vである。U~α\widetilde{\mathcal U}_\alphaの各元はあるV~\widetilde Vを含むから、(F,G)(\mathfrak F,\mathfrak G)はU~α\widetilde{\mathcal U}_\alphaのすべての元に属する。§E2.53 定理 8.3 (1)によりU~α\widetilde{\mathcal U}_\alphaは Hausdorff であるから、F=G\mathfrak F=\mathfrak Gである。ゆえにψα∧\psi_{\alpha\wedge}は単射である。

ψα∧(S~α)\psi_{\alpha\wedge}(\widetilde S_\alpha)にS~∧\widetilde S_\wedgeからの部分空間位相を入れ、ψα∧\psi_{\alpha\wedge}を像へ制限した全単射の逆写像をχ ⁣:ψα∧(S~α)→S~α\chi\colon\psi_{\alpha\wedge}(\widetilde S_\alpha)\to\widetilde S_\alphaとする。F∈S~α\mathfrak F\in\widetilde S_\alphaとし、NNをS~α\widetilde S_\alphaにおけるF\mathfrak Fの近傍とする。§E2.51 命題 2.1によりR[F]⊆NR[\mathfrak F]\subseteq Nを満たすR∈U~αR\in\widetilde{\mathcal U}_\alphaが存在し、RRはあるV~\widetilde V（V∈UαV\in\mathcal U_\alpha）を含むから、V~[F]⊆N\widetilde V[\mathfrak F]\subseteq Nである。このVVについて主張 4.1.1のWWをとる。§E2.53 定理 8.3 (1)と§E2.51 命題 2.1により、M=W~[ψα∧(F)]M=\widetilde W[\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak F)]はψα∧(F)\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak F)の近傍であり、M∩ψα∧(S~α)M\cap\psi_{\alpha\wedge}(\widetilde S_\alpha)は部分空間ψα∧(S~α)\psi_{\alpha\wedge}(\widetilde S_\alpha)におけるψα∧(F)\psi_{\alpha\wedge}(\mathfrak F)の近傍である。主張 4.1.1によりχ(M∩ψα∧(S~α))⊆V~[F]⊆N\chi(M\cap\psi_{\alpha\wedge}(\widetilde S_\alpha))\subseteq\widetilde V[\mathfrak F]\subseteq Nである。§E2.12 定義 1.3によりχ\chiは各点で連続であり、§E2.12 命題 1.4により連続である。ψα∧\psi_{\alpha\wedge}は連続な単射であるから、§E2.12 定義 6.10により位相的埋め込みであり、φα∧\varphi_{\alpha\wedge}も位相的埋め込みである。

φ∨0\varphi_{\vee0}について、主張 (1)によりφ0∧∘φ∨0=φ∨∧\varphi_{0\wedge}\circ\varphi_{\vee0}=\varphi_{\vee\wedge}は単射であるから、φ∨0\varphi_{\vee0}は単射である。φ∨0(S^∨)\varphi_{\vee0}(\widehat S_\vee)とφ∨∧(S^∨)\varphi_{\vee\wedge}(\widehat S_\vee)に部分空間位相を入れる。η=φ∨0(ξ)\eta=\varphi_{\vee0}(\xi)（ξ∈S^∨\xi\in\widehat S_\vee）ならばφ0∧(η)=φ∨∧(ξ)\varphi_{0\wedge}(\eta)=\varphi_{\vee\wedge}(\xi)であるから、φ0∧\varphi_{0\wedge}はφ∨0(S^∨)\varphi_{\vee0}(\widehat S_\vee)をφ∨∧(S^∨)\varphi_{\vee\wedge}(\widehat S_\vee)へ写し、φ∨0\varphi_{\vee0}を像へ制限した全単射の逆写像は、φ0∧\varphi_{0\wedge}の制限φ∨0(S^∨)→φ∨∧(S^∨)\varphi_{\vee0}(\widehat S_\vee)\to\varphi_{\vee\wedge}(\widehat S_\vee)と、φ∨∧\varphi_{\vee\wedge}を像へ制限した全単射の逆写像との合成に等しい。前段により後者は連続であり、§E2.51 命題 3.4 (3)によりφ0∧\varphi_{0\wedge}とφ∨0\varphi_{\vee0}は連続であるから、φ∨0\varphi_{\vee0}は位相的埋め込みである。φ∨1\varphi_{\vee1}についても、φ1∧∘φ∨1=φ∨∧\varphi_{1\wedge}\circ\varphi_{\vee1}=\varphi_{\vee\wedge}から同じく従う。

主張 (3)を示す。主張 (1)によりφ∨∧(S^∨)=φ0∧(φ∨0(S^∨))⊆φ0∧(S^0)\varphi_{\vee\wedge}(\widehat S_\vee)=\varphi_{0\wedge}(\varphi_{\vee0}(\widehat S_\vee))\subseteq\varphi_{0\wedge}(\widehat S_0)であり、同じくφ∨∧(S^∨)⊆φ1∧(S^1)\varphi_{\vee\wedge}(\widehat S_\vee)\subseteq\varphi_{1\wedge}(\widehat S_1)である。η∈φ0∧(S^0)∩φ1∧(S^1)\eta\in\varphi_{0\wedge}(\widehat S_0)\cap\varphi_{1\wedge}(\widehat S_1)とし、H=Φ∧−1(η)\mathfrak H=\Phi_\wedge^{-1}(\eta)とおく。Φ∧(ψj∧(S~j))=φj∧(S^j)\Phi_\wedge(\psi_{j\wedge}(\widetilde S_j))=\varphi_{j\wedge}(\widehat S_j)であるから、ψ0∧(F)=H=ψ1∧(G)\psi_{0\wedge}(\mathfrak F)=\mathfrak H=\psi_{1\wedge}(\mathfrak G)を満たすF∈S~0\mathfrak F\in\widetilde S_0とG∈S~1\mathfrak G\in\widetilde S_1が存在する。

F\mathfrak Fは(S,U1)(S,\mathcal U_1)の Cauchy フィルターである。実際、V∈U1V\in\mathcal U_1とし、§E2.51 補題 1.7 (2)によりV′∘V′⊆VV'\circ V'\subseteq Vを満たす対称なV′∈U1V'\in\mathcal U_1をとる。条件 (a)をG\mathfrak GとV′V'に適用して、G1∈GG_1\in\mathfrak GとW∈U∧W\in\mathcal U_\wedgeをとる。H\mathfrak Hは(S,U∧)(S,\mathcal U_\wedge)の Cauchy フィルターであるから、A×A⊆WA\times A\subseteq Wを満たすA∈HA\in\mathfrak Hが存在する。H⊆F∩G\mathfrak H\subseteq\mathfrak F\cap\mathfrak GであるからA∈F∩GA\in\mathfrak F\cap\mathfrak Gであり、§E2.50 定義 1.1 条件 (c)と§E2.50 定義 1.1 条件 (b)によりA∩G1A\cap G_1は空でない。y∈A∩G1y\in A\cap G_1をとる。x,x′∈Ax,x'\in Aとすると、(y,x),(y,x′)∈A×A⊆W(y,x),(y,x')\in A\times A\subseteq Wとy∈G1y\in G_1により(y,x),(y,x′)∈V′(y,x),(y,x')\in V'であり、V′V'の対称性により(x,y)∈V′(x,y)\in V'であるから、(x,x′)∈V′∘V′⊆V(x,x')\in V'\circ V'\subseteq Vである。ゆえにA×A⊆VA\times A\subseteq Vである。

F∈S~0\mathfrak F\in\widetilde S_0であるからF\mathfrak Fは(S,U0)(S,\mathcal U_0)の Cauchy フィルターでもあり、U∨\mathcal U_\veeの各元はあるV0∩V1V_0\cap V_1（V0∈U0V_0\in\mathcal U_0、V1∈U1V_1\in\mathcal U_1）を含むから、§E2.50 定義 1.1 条件 (c)によりF\mathfrak Fは(S,U∨)(S,\mathcal U_\vee)の Cauchy フィルターである。§E2.53 補題 8.2 (2)により、F\mathfrak Fに含まれる(S,U∨)(S,\mathcal U_\vee)の極小 Cauchy フィルターK∈S~∨\mathfrak K\in\widetilde S_\veeが存在する。ψ∨∧(K)\psi_{\vee\wedge}(\mathfrak K)はK⊆F\mathfrak K\subseteq\mathfrak Fに含まれる(S,U∧)(S,\mathcal U_\wedge)の極小 Cauchy フィルターであり、§E2.53 補題 8.2 (2)によりF\mathfrak Fに含まれる(S,U∧)(S,\mathcal U_\wedge)の極小 Cauchy フィルターはψ0∧(F)=H\psi_{0\wedge}(\mathfrak F)=\mathfrak Hだけであるから、ψ∨∧(K)=H\psi_{\vee\wedge}(\mathfrak K)=\mathfrak Hである。ゆえにη=Φ∧(ψ∨∧(K))=φ∨∧(Φ∨(K))∈φ∨∧(S^∨)\eta=\Phi_\wedge(\psi_{\vee\wedge}(\mathfrak K))=\varphi_{\vee\wedge}(\Phi_\vee(\mathfrak K))\in\varphi_{\vee\wedge}(\widehat S_\vee)である。▨

補題 4.2.GGを位相群、XXをGGの左等質空間、p∈Xp\in Xとし、H=Stab⁡G(p)H=\Stab[G]{p}はGGの中立部分群であるとする。ωp\omega_pによる商一様構造FL\mathcal F_L、FR\mathcal F_Rと、eeの近傍UUに対する§E14.3 命題 2.2 (3)の集合FUF_U、EUE_U、DUD_Uを用いる。UUをeeの近傍とする。

  1. F\mathfrak Fを(X,FL)(X,\mathcal F_L)の Cauchy フィルターとする。このとき、F∈FF\in\mathfrak Fとeeの近傍VVであって、x∈Fx\in F、y∈Xy\in X、(x,y)∈DV(x,y)\in D_Vならば(x,y)∈EU(x,y)\in E_Uとなるものが存在する。
  2. F\mathfrak Fを(X,FR)(X,\mathcal F_R)の Cauchy フィルターとする。このとき、F∈FF\in\mathfrak Fとeeの近傍VVであって、x∈Fx\in F、y∈Xy\in X、(x,y)∈DV(x,y)\in D_Vならば(x,y)∈FU(x,y)\in F_Uとなるものが存在する。

証明.§E14.1 系 2.2を二度用いて、PP⊆UPP\subseteq Uを満たす対称なeeの近傍PPと、TT⊆PTT\subseteq Pを満たす対称なeeの近傍TTをとる。TTTT⊆PP⊆UTTTT\subseteq PP\subseteq Uである。

主張 (1)を示す。§E14.3 定義 2.1によりHV1⊆THHV_1\subseteq THを満たすeeの近傍V1V_1が存在し、両辺の元の逆元をとるとV1−1H⊆HTV_1^{-1}H\subseteq HTである。§E14.1 命題 1.4によりV1−1V_1^{-1}はeeの近傍であり、W=V1∩V1−1∩TW=V_1\cap V_1^{-1}\cap TはHW⊆THHW\subseteq THとWH⊆HTWH\subseteq HTを満たす対称なeeの近傍である。§E14.3 命題 2.2 (3-3)によりEW∈FLE_W\in\mathcal F_Lであるから、F×F⊆EWF\times F\subseteq E_Wを満たすF∈FF\in\mathfrak Fが存在する。FFは空でないからx0∈Fx_0\in Fをとり、ap=x0ap=x_0を満たすa∈Ga\in Gをとる。§E14.1 命題 1.4により共役写像v↦a−1vav\mapsto a^{-1}vaは連続であり、eeをeeに写すから、V⊆WV\subseteq Wかつa−1Va⊆Wa^{-1}Va\subseteq Wを満たすeeの近傍VVが存在する。

x∈Fx\in F、y∈Xy\in X、(x,y)∈DV(x,y)\in D_Vとする。(x0,x)∈EW(x_0,x)\in E_Wであるから、x0=gpx_0=gp、x=gwpx=gwpを満たすg∈Gg\in G、w∈Ww\in Wが存在し、gp=apgp=apよりh=a−1g∈Hh=a^{-1}g\in Hである。k=ahwk=ahwとおくとx=kpx=kpである。(x,y)∈DV(x,y)\in D_Vであるから、x=g′px=g'p、y=vg′v′py=vg'v'pを満たすg′∈Gg'\in G、v,v′∈Vv,v'\in Vが存在し、g′p=kpg'p=kpよりh′=k−1g′∈Hh'=k^{-1}g'\in Hである。h′v′∈HW⊆THh'v'\in HW\subseteq THであるからh′v′p=tph'v'p=tpを満たすt∈Tt\in Tが存在し、

y=vkh′v′p=vktp=a(a−1va)hwtpy=vkh'v'p=vktp=a(a^{-1}va)hwtp

である。(a−1va)h∈WH⊆HT(a^{-1}va)h\in WH\subseteq HTであるから、(a−1va)h=h1t1(a^{-1}va)h=h_1t_1を満たすh1∈Hh_1\in H、t1∈Tt_1\in Tが存在し、y=ah1t1wtpy=ah_1t_1wtpである。WWは対称であるからw−1h−1h1∈WH⊆HTw^{-1}h^{-1}h_1\in WH\subseteq HTであり、w−1h−1h1=h2t2w^{-1}h^{-1}h_1=h_2t_2を満たすh2∈Hh_2\in H、t2∈Tt_2\in Tが存在する。したがって

y=k(w−1h−1h1)t1wtp=kh2 (t2t1wt) py=k(w^{-1}h^{-1}h_1)t_1wtp=kh_2\,(t_2t_1wt)\,p

である。u=t2t1wtu=t_2t_1wtとおくと、W⊆TW\subseteq Tであるからu∈TTTT⊆Uu\in TTTT\subseteq Uである。h2∈Hh_2\in Hであるから(kh2)p=kp=x(kh_2)p=kp=xであり、(x,y)=((kh2)p,(kh2)up)∈EU(x,y)=((kh_2)p,(kh_2)up)\in E_Uである。

主張 (2)を示す。§E14.3 命題 2.2 (3-1)によりFT∈FRF_T\in\mathcal F_Rであるから、F×F⊆FTF\times F\subseteq F_Tを満たすF∈FF\in\mathfrak Fが存在する。x0∈Fx_0\in Fをとり、ap=x0ap=x_0を満たすa∈Ga\in Gをとる。§E14.1 命題 1.4により共役写像v↦ava−1v\mapsto ava^{-1}は連続であり、eeをeeに写すから、aT′a−1⊆TaT'a^{-1}\subseteq Tを満たすeeの近傍T′T'が存在する。§E14.3 定義 2.1によりHV′⊆T′HHV'\subseteq T'Hを満たすeeの近傍V′V'が存在し、V=V′∩TV=V'\cap Tとおく。

x∈Fx\in F、y∈Xy\in X、(x,y)∈DV(x,y)\in D_Vとする。(x0,x)∈FT(x_0,x)\in F_Tであるから、x=wx0=wapx=wx_0=wapを満たすw∈Tw\in Tが存在する。(x,y)∈DV(x,y)\in D_Vであるから、x=g′px=g'p、y=vg′v′py=vg'v'pを満たすg′∈Gg'\in G、v,v′∈Vv,v'\in Vが存在し、g′p=wapg'p=wapよりh′=(wa)−1g′∈Hh'=(wa)^{-1}g'\in Hである。h′v′∈HV′⊆T′Hh'v'\in HV'\subseteq T'Hであるからh′v′p=t′ph'v'p=t'pを満たすt′∈T′t'\in T'が存在し、ap=w−1xap=w^{-1}xであるから

y=vwah′v′p=vwat′p=vw(at′a−1)w−1xy=vwah'v'p=vwat'p=vw(at'a^{-1})w^{-1}x

である。u=vw(at′a−1)w−1u=vw(at'a^{-1})w^{-1}とおくと、v∈Tv\in T、w,w−1∈Tw,w^{-1}\in T、at′a−1∈Tat'a^{-1}\in Tであるからu∈TTTT⊆Uu\in TTTT\subseteq Uであり、(x,y)=(x,ux)∈FU(x,y)=(x,ux)\in F_Uである。▨

定理 4.3 (Roelcke–Dierolf の埋め込み定理).GGを Hausdorff 位相群とし、UL\mathcal U_L、UR\mathcal U_R、UB\mathcal U_B、UQ\mathcal U_QをそれぞれGGの左一様構造、右一様構造、両側一様構造、Roelcke の一様構造とする。α∈{L,R,B,Q}\alpha\in\{L,R,B,Q\}について、Hausdorff 一様空間(G,Uα)(G,\mathcal U_\alpha)の完備化(G^α,ια)(\widehat G_\alpha,\iota_\alpha)をとる。(α,β)(\alpha,\beta)が(B,L)(B,L)、(B,R)(B,R)、(L,Q)(L,Q)、(R,Q)(R,Q)、(B,Q)(B,Q)のいずれかであるとき、φαβ∘ια=ιβ\varphi_{\alpha\beta}\circ\iota_\alpha=\iota_\betaを満たす一様連続写像φαβ ⁣:G^α→G^β\varphi_{\alpha\beta}\colon\widehat G_\alpha\to\widehat G_\betaをとる。このとき、次が成り立つ。

  1. φBQ=φLQ∘φBL=φRQ∘φBR\varphi_{BQ}=\varphi_{LQ}\circ\varphi_{BL}=\varphi_{RQ}\circ\varphi_{BR}である。
  2. 五つの写像φBL\varphi_{BL}、φBR\varphi_{BR}、φLQ\varphi_{LQ}、φRQ\varphi_{RQ}、φBQ\varphi_{BQ}はいずれも位相的埋め込みである。
  3. φBQ(G^B)=φLQ(G^L)∩φRQ(G^R)\varphi_{BQ}(\widehat G_B)=\varphi_{LQ}(\widehat G_L)\cap\varphi_{RQ}(\widehat G_R)である。

証明.§E14.3 命題 1.1 (4)によりUQ⊆UL∩UR\mathcal U_Q\subseteq\mathcal U_L\cap\mathcal U_Rである。§E14.3 命題 1.1 (2)によりUQ\mathcal U_Qの一様位相はGGの位相に等しく、GGは Hausdorff であるから、§E2.51 命題 2.8 (2)⇒\Rightarrow(1)によりUQ\mathcal U_Qは Hausdorff である。

恒等写像G→(G,UL)G\to(G,\mathcal U_L)とG→(G,UR)G\to(G,\mathcal U_R)の族による始一様構造はUB\mathcal U_Bに等しい。実際、§E2.51 定義 4.1と§E2.51 定義 1.3 条件 (c)により、この始一様構造の元はV0∩V1V_0\cap V_1（V0∈ULV_0\in\mathcal U_L、V1∈URV_1\in\mathcal U_R）の形の集合を含む集合である。§E14.3 命題 1.1 (1)により、V0⊇LUV_0\supseteq L_U、V1⊇RU′V_1\supseteq R_{U'}を満たすeeの近傍UU、U′U'が存在し、V0∩V1⊇LU∩U′∩RU∩U′=BU∩U′V_0\cap V_1\supseteq L_{U\cap U'}\cap R_{U\cap U'}=B_{U\cap U'}である。逆にBU=LU∩RUB_U=L_U\cap R_Uはこの形の集合である。したがって、§E14.3 命題 1.1 (1)と§E2.51 定義 1.3 条件 (b)により二つの近縁系は等しい。

GGに左平行移動で作用させると、GGはGGの左等質空間であり、p=ep=eについてωe\omega_eは恒等写像、Stab⁡G(e)={e}\Stab[G]{e}=\{e\}は§E14.3 定義 2.1により中立部分群である。§E14.3 注意 2.5によりωe\omega_eによる商一様構造はUL\mathcal U_L、UR\mathcal U_R、UB\mathcal U_B、UQ\mathcal U_Q自身であり、§E14.3 命題 2.2 (3)の集合はEU=LUE_U=L_U、FU=RUF_U=R_U、DU=QUD_U=Q_Uである。F\mathfrak Fを(G,UL)(G,\mathcal U_L)の Cauchy フィルター、V∈ULV\in\mathcal U_Lとし、§E14.3 命題 1.1 (1)によりLU⊆VL_U\subseteq Vを満たすeeの近傍UUをとる。補題 4.2 (1)により、F∈FF\in\mathfrak Fとeeの近傍V′V'であって、x∈Fx\in F、(x,y)∈QV′(x,y)\in Q_{V'}ならば(x,y)∈LU⊆V(x,y)\in L_U\subseteq Vとなるものが存在し、§E14.3 命題 1.1 (1)によりQV′∈UQQ_{V'}\in\mathcal U_Qである。右一様構造についても、補題 4.2 (2)によりRUR_Uを用いて同じことが成り立つ。

以上により、(S,U0,U1,U∧)=(G,UL,UR,UQ)(S,\mathcal U_0,\mathcal U_1,\mathcal U_\wedge)=(G,\mathcal U_L,\mathcal U_R,\mathcal U_Q)は定理 4.1の仮定を満たし、U∨=UB\mathcal U_\vee=\mathcal U_Bである。φBL\varphi_{BL}、φBR\varphi_{BR}、φLQ\varphi_{LQ}、φRQ\varphi_{RQ}、φBQ\varphi_{BQ}は定理 4.1のφ∨0\varphi_{\vee0}、φ∨1\varphi_{\vee1}、φ0∧\varphi_{0\wedge}、φ1∧\varphi_{1\wedge}、φ∨∧\varphi_{\vee\wedge}であるから、定理 4.1 (1)、定理 4.1 (2)、定理 4.1 (3)により主張が従う。▨

系 4.4.GGを Hausdorff 位相群とし、定理 4.3と同じく完備化(G^α,ια)(\widehat G_\alpha,\iota_\alpha)と写像φαβ\varphi_{\alpha\beta}をとる。このとき、φLQ(G^L)∩φRQ(G^R)=ιQ(G)\varphi_{LQ}(\widehat G_L)\cap\varphi_{RQ}(\widehat G_R)=\iota_Q(G)であることは、GGが Raikov 完備であるための必要十分条件である。

証明.φBQ∘ιB=ιQ\varphi_{BQ}\circ\iota_B=\iota_QであるからφBQ(ιB(G))=ιQ(G)\varphi_{BQ}(\iota_B(G))=\iota_Q(G)である。定理 4.3 (3)によりφLQ(G^L)∩φRQ(G^R)=φBQ(G^B)\varphi_{LQ}(\widehat G_L)\cap\varphi_{RQ}(\widehat G_R)=\varphi_{BQ}(\widehat G_B)であり、定理 4.3 (2)によりφBQ\varphi_{BQ}は単射であるから、φLQ(G^L)∩φRQ(G^R)=ιQ(G)\varphi_{LQ}(\widehat G_L)\cap\varphi_{RQ}(\widehat G_R)=\iota_Q(G)であることはιB(G)=G^B\iota_B(G)=\widehat G_Bであることと同値である。

必要性を示す。GGは Raikov 完備であるとする。§E2.53 定理 6.2 (4)によりιB\iota_Bは像が稠密な一様埋め込みであり、G^B\widehat G_Bの一様構造は Hausdorff であるから、§E2.53 補題 2.4 (2)によりιB(G)\iota_B(G)は閉集合である。§E2.11 命題 2.5 (2)によりιB(G)=ιB(G)‾=G^B\iota_B(G)=\tpcl{\iota_B(G)}=\widehat G_Bである。

十分性を示す。ιB(G)=G^B\iota_B(G)=\widehat G_Bとする。G^B\widehat G_Bは完備であり、ιB(G)\iota_B(G)は閉集合であるから、§E2.53 定理 6.2 (4)と§E2.53 補題 2.4 (1)により(G,UB)(G,\mathcal U_B)は完備である。▨

系 4.5.GGを位相群、XXを Hausdorff 空間であるGGの左等質空間、p∈Xp\in Xとし、ωp\omega_pは開写像であり、Stab⁡G(p)\Stab[G]{p}はGGの中立部分群であるとする。§E14.3 命題 2.2の商一様構造FL\mathcal F_L、FR\mathcal F_R、FQ\mathcal F_Qをとり、恒等写像X→(X,FL)X\to(X,\mathcal F_L)とX→(X,FR)X\to(X,\mathcal F_R)の族による始一様構造をF∨\mathcal F_\veeとする。このとき、(S,U0,U1,U∧)=(X,FL,FR,FQ)(S,\mathcal U_0,\mathcal U_1,\mathcal U_\wedge)=(X,\mathcal F_L,\mathcal F_R,\mathcal F_Q)とU∨=F∨\mathcal U_\vee=\mathcal F_\veeについて、定理 4.1 (1)、定理 4.1 (2)、定理 4.1 (3)が成り立つ。

証明.§E14.3 命題 2.2 (2)によりFQ⊆FL∩FR\mathcal F_Q\subseteq\mathcal F_L\cap\mathcal F_Rである。ωp\omega_pは開写像であり、ppについて§E14.3 命題 2.2 条件 (b)が成り立つから、§E14.3 命題 2.2 (6)によりFQ\mathcal F_QはXXの位相と両立する。XXは Hausdorff であるから、§E2.51 命題 2.8 (2)⇒\Rightarrow(1)によりFQ\mathcal F_Qは Hausdorff である。

§E14.3 命題 2.2 (3-3)、§E14.3 命題 2.2 (3-1)および§E14.3 命題 2.2 (3-4)により、{EU}\{E_U\}、{FU}\{F_U\}、{DU}\{D_U\}はそれぞれFL\mathcal F_L、FR\mathcal F_R、FQ\mathcal F_Qの近縁基である。F\mathfrak Fを(X,FL)(X,\mathcal F_L)の Cauchy フィルター、V∈FLV\in\mathcal F_Lとし、EU⊆VE_U\subseteq Vを満たすeeの近傍UUをとる。補題 4.2 (1)により、F∈FF\in\mathfrak Fとeeの近傍V′V'であって、x∈Fx\in F、(x,y)∈DV′(x,y)\in D_{V'}ならば(x,y)∈EU⊆V(x,y)\in E_U\subseteq Vとなるものが存在し、DV′∈FQD_{V'}\in\mathcal F_Qである。FR\mathcal F_Rについても、補題 4.2 (2)によりFUF_Uを用いて同じことが成り立つ。ゆえに定理 4.1 条件 (a)が成り立ち、定理 4.1により主張が従う。▨

注意 4.6.系 4.5のF∨\mathcal F_\veeは、§E14.3 命題 2.2 (2)と§E2.51 命題 4.2 (1)によりXXの両側一様構造FB\mathcal F_Bに含まれるが、FB\mathcal F_Bに等しいとは限らない。群自身では、定理 4.3の証明のとおり両者は一致する。§E14.3 例 5.3の剰余類空間G/ZG/Zでは、ZZは閉な正規部分群であるから、§E14.1 系 4.3 (2)によりG/ZG/Zは Hausdorff であり、§E14.1 系 4.3 (1)により標準全射ωp\omega_pは開写像であり、§E14.3 系 2.8によりZZは中立部分群である。§E2.51 定義 4.1、§E14.3 命題 2.2 (3-3)および§E14.3 命題 2.2 (3-1)によりF∨\mathcal F_\veeの各元はあるFU∩EUF_U\cap E_Uを含むが、この例ではどのFU∩EUF_U\cap E_UもTU1∈FBT_{U_1}\in\mathcal F_Bに含まれないから、TU1∉F∨T_{U_1}\notin\mathcal F_\veeである。

5 例

補題 5.1. 任意の複素 Hilbert 空間HHに対して、強位相のユニタリ群U⁡(H)\Uni(H)は Raikov 完備である。その両側一様構造は、HHのノルムが定める距離一様構造に関する、写像U↦UξU\mapsto U\xiとU↦U−1ξU\mapsto U^{-1}\xi（ξ∈H\xi\in H）の全体からなる族による始一様構造である。

証明.§E14.8 定理 1.2により、強位相のU⁡(H)\Uni(H)は Hausdorff 位相群である。U,V∈U⁡(H)U,V\in \Uni(H)とξ∈H\xi\in Hに対して

∥(U−1V−I)ξ∥=∥(V−U)ξ∥,∥(VU−1−I)ξ∥=∥(U−1−V−1)ξ∥\|(U^{-1}V-I)\xi\|=\|(V-U)\xi\|,\qquad \|(VU^{-1}-I)\xi\|=\|(U^{-1}-V^{-1})\xi\|

である。有限集合F⊆HF\subseteq Hと実数ε>0\varepsilon>0に対して

NF,ε={W∈U⁡(H)∣∥(W−I)ξ∥<ε (ξ∈F)}N_{F,\varepsilon}=\{W\in\Uni(H)\mid\|(W-I)\xi\|<\varepsilon\ (\xi\in F)\}

とおく。強位相の定義により、NF,εN_{F,\varepsilon}の全体は単位元の近傍基である。上の二つの等式により、BNF,εB_{N_{F,\varepsilon}}は、すべてのξ∈F\xi\in Fについて∥Uξ−Vξ∥<ε\|U\xi-V\xi\|<\varepsilonと∥U−1ξ−V−1ξ∥<ε\|U^{-1}\xi-V^{-1}\xi\|<\varepsilonをともに満たす組(U,V)(U,V)の全体である。これらの集合の全体は主張の始一様構造の近縁基でもあるから、両側一様構造は主張の始一様構造に等しい。

両側 Cauchy ネット(Ua)(U_a)に対して、各(Uaξ)(U_a\xi)と(Ua−1ξ)(U_a^{-1}\xi)はHHの Cauchy ネットである。HHの完備性により

Tξ=lim⁡aUaξ,Sξ=lim⁡aUa−1ξT\xi=\lim_aU_a\xi,\qquad S\xi=\lim_aU_a^{-1}\xi

と定める。極限の線形性とノルムの連続性からT,ST,Sは線形等長作用素である。さらに

∥ξ−TSξ∥≤∥Ua−1ξ−Sξ∥+∥(Ua−T)Sξ∥⟶0\|\xi-TS\xi\| \leq\|U_a^{-1}\xi-S\xi\|+\|(U_a-T)S\xi\|\longrightarrow0

なのでTS=ITS=Iである。UaU_aとUa−1U_a^{-1}を入れ替えるとST=IST=Iも得る。したがってT∈U⁡(H)T\in \Uni(H)であり、Ua→TU_a\to TおよびUa−1→T−1U_a^{-1}\to T^{-1}が強位相で成り立つ。したがって(Ua)(U_a)は両側一様構造でTTへ収束する。

§E2.53 命題 1.3 (3)により、両側一様構造は完備である。▨

補題 5.2.I∞I_\inftyをN≥1\NNからN≥1\NNへの単射写像全体とする。N≥1\NNに離散位相を入れ、I∞I_\inftyにN≥1N≥1\NN^{\NN}の部分空間位相を入れる。このときI∞I_\inftyは写像の合成に関して位相モノイドである。

証明. 単射の合成は単射であり、恒等写像が単位元である。f,g∈I∞f,g\in I_\inftyと有限集合F⊆N≥1F\subseteq\NNを取る。g′g'をFF上でggと一致させ、f′f'を有限集合g(F)g(F)上でffと一致させると、f′g′f'g'とfgfgはFF上で一致する。この二つの条件はggとffの開近傍をそれぞれ定めるので、合成は連続である。▨

定義 5.3.S∞S_\inftyをN≥1\NNからN≥1\NNへの全単射全体の群とし、積を写像の合成στ=σ∘τ\sigma\tau=\sigma\circ\tauとする。N≥1\NNを離散空間とし、S∞S_\inftyにN≥1N≥1\NN^{\NN}の部分空間位相、すなわち点ごとの収束位相を入れる。有限集合F⊆N≥1F\subseteq\NNに対して

UF={σ∈S∞∣σ(n)=n(n∈F)}U_F=\{\sigma\in S_\infty\mid \sigma(n)=n\quad(n\in F)\}

とおく。

補題 5.4.S∞S_\inftyと、有限集合F⊆N≥1F\subseteq\NNに対するUFU_Fを定義 5.3のとおりとする。このとき、次が成り立つ。

  1. S∞S_\inftyは Hausdorff 位相群である。
  2. UFU_Fの全体は単位元の開近傍基をなす。
  3. 任意の有限集合F⊆N≥1F\subseteq\NNとσ,τ∈S∞\sigma,\tau\in S_\inftyに対して、UFU_Fが定める左右の近縁について (σ,τ)∈LUF⟺σ∣F=τ∣F,(σ,τ)∈RUF⟺σ−1∣F=τ−1∣F\begin{aligned} (\sigma,\tau)\in L_{U_F} &\quad\Longleftrightarrow\quad \sigma|_F=\tau|_F,\\ (\sigma,\tau)\in R_{U_F} &\quad\Longleftrightarrow\quad \sigma^{-1}|_F=\tau^{-1}|_F \end{aligned} が成り立つ。

証明. 有限個の座標の値を指定する集合が積位相の基をなすので、UFU_Fは恒等写像の開近傍基である。相異なる写像はある座標の値が異なるので、S∞S_\inftyは Hausdorff である。

補題 5.2の合成をS∞S_\inftyに制限すると、積の連続性を得る。σ′−1\sigma'^{-1}とσ−1\sigma^{-1}をFF上で一致させるには、σ′\sigma'をσ−1(F)\sigma^{-1}(F)上でσ\sigmaと一致させればよい。したがって逆も連続である。

σ−1τ(n)=n\sigma^{-1}\tau(n)=nはτ(n)=σ(n)\tau(n)=\sigma(n)と同値であり、τσ−1(n)=n\tau\sigma^{-1}(n)=nはσ−1(n)=τ−1(n)\sigma^{-1}(n)=\tau^{-1}(n)と同値である。これらをn∈Fn\in Fのすべてについて適用すると、二つの近縁の表示を得る。▨

定理 5.5.S∞S_\inftyに点ごとの収束位相を入れ、I∞I_\inftyをN≥1\NNからN≥1\NNへの単射写像全体とし、有限個の座標での一致を近縁基とする一様構造を入れる。このとき、次が成り立つ。

  1. S∞S_\inftyは Raikov 完備である。
  2. S∞S_\inftyは Weil 完備ではない。
  3. 包含写像S∞↪I∞S_\infty\hookrightarrow I_\inftyは、S∞S_\inftyの左一様完備化である。
  4. I∞I_\inftyは合成と点ごとの収束位相に関して位相モノイドである。

証明.F\mathfrak FをS∞S_\inftyの両側 Cauchy フィルターとする。補題 5.4により、各n∈N≥1n\in\NNに対して、σ(n)\sigma(n)の値が一定となる集合がF\mathfrak Fに属する。その一定値をf(n)f(n)と書く。同じくσ−1(n)\sigma^{-1}(n)の一定値をg(n)g(n)と書く。フィルターの二つの元は必ず交わるので、これらの一定値は一意である。

n∈N≥1n\in\NNを固定し、m=f(n)m=f(n)とおく。σ(n)=m\sigma(n)=mとなる集合とσ−1(m)=g(m)\sigma^{-1}(m)=g(m)となる集合の共通部分からσ\sigmaを取れば、g(f(n))=ng(f(n))=nである。逆にm=g(n)m=g(n)とおき、σ−1(n)=m\sigma^{-1}(n)=mとなる集合とσ(m)=f(m)\sigma(m)=f(m)となる集合を交わらせると、f(g(n))=nf(g(n))=nである。したがってf,gf,gは互いに逆の全単射である。有限個の座標に対応するフィルターの元を交わらせると、F\mathfrak Fは点ごとの収束位相についてf∈S∞f\in S_\inftyに収束する。よってS∞S_\inftyは Raikov 完備である。

H\mathfrak HをI∞I_\inftyの Cauchy フィルターとする。各座標の値はH\mathfrak Hのある元上で一定となるので、その一定値により写像h ⁣:N≥1→N≥1h\colon\NN\to\NNを定める。i≠ji\ne jに対して、二つの座標値が同時に一定となるフィルターの元から単射uuを取ると、

h(i)=u(i)≠u(j)=h(j)h(i)=u(i)\ne u(j)=h(j)

である。したがってhhは単射であり、有限個の座標を同時に固定することによりH→h\mathfrak H\to hを得る。ゆえにI∞I_\inftyは完備であり、座標による分離から Hausdorff でもある。

単射h∈I∞h\in I_\inftyと有限集合F⊆N≥1F\subseteq\NNを取る。N≥1∖F\NN\setminus FとN≥1∖h(F)\NN\setminus h(F)はともに可算無限集合であり、それぞれを小さい順に並べて同じ順位の元を対応させると全単射を得る。この全単射とh∣Fh|_Fを合わせると、FF上でhhと一致する置換が存在する。したがってS∞S_\inftyはI∞I_\inftyで稠密である。補題 5.4により包含写像は左一様構造に関する一様埋め込みであるから、§E2.53 定理 6.2 (1)によりI∞I_\inftyは左一様完備化である。

各k∈N≥1k\in\NNについて

σk(n)={n+1,1≤n≤k,1,n=k+1,n,n≥k+2\sigma_k(n)= \begin{cases} n+1,&1\le n\le k,\\ 1,&n=k+1,\\ n,&n\ge k+2 \end{cases}

と定める。σk\sigma_kは{1,…,k+1}\{1,\ldots,k+1\}の巡回置換であり、各固定したnnについてσk(n)=n+1\sigma_k(n)=n+1が最終的に成り立つ。したがって(σk)(\sigma_k)は左 Cauchy 列であり、I∞I_\inftyでは単射s(n)=n+1s(n)=n+1に収束する。しかしssは11を値に取らないので全射ではなく、S∞S_\inftyにおける極限は存在しない。ゆえにS∞S_\inftyは Weil 完備ではない。また、σk−1(1)=k+1\sigma_k^{-1}(1)=k+1は一定にならないので、この列は右 Cauchy 列でも両側 Cauchy 列でもない。

補題 5.2により、主張 (4)が成り立つ。▨

命題 5.6.ω1\omega_1の全単射g ⁣:ω1→ω1g\colon\omega_1\to\omega_1であって、{ξ∈ω1∣g(ξ)≠ξ}\{\xi\in\omega_1\mid g(\xi)\neq\xi\}が有限集合であるもの全体のなす群をGGとする。高々可算集合A⊆ω1A\subseteq\omega_1に対して

UA={g∈G∣すべての ξ∈A について g(ξ)=ξ}U_A=\{g\in G\mid\text{すべての }\xi\in A\text{ について }g(\xi)=\xi\}

とおき、B={UA∣A⊆ω1 は高々可算集合}\mathcal B=\{U_A\mid A\subseteq\omega_1\text{ は高々可算集合}\}とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. B\mathcal Bを単位元の開近傍基とするGGの位相群の位相がただ一つ存在し、この位相は Hausdorff である。
  2. この位相に関して、GGは Weil 完備である。
  3. この位相に関して、GGは Roelcke 完備でない。
  4. この位相に関して、GGは第一可算でない。

証明.g,h∈Gg,h\in Gについて、ghghが動かす点はggまたはhhが動かす点であり、g−1g^{-1}が動かす点はggが動かす点に一致するから、GGは写像の合成について群をなす。

主張 (1)を示す。各UAU_Aは単位元を含む部分群であり、U∅=GU_\emptyset=GであるからB\mathcal Bは空でない。高々可算集合A,A′⊆ω1A,A'\subseteq\omega_1についてUA∩UA′=UA∪A′U_A\cap U_{A'}=U_{A\cup A'}であり、A∪A′A\cup A'は高々可算である。UAUA=UAU_AU_A=U_A、UA−1=UAU_A^{-1}=U_Aであり、x∈UAx\in U_AならばxUA=UAxU_A=U_Aである。a∈Ga\in Gについてa−1(A)a^{-1}(A)は高々可算であり、g∈Ua−1(A)g\in U_{a^{-1}(A)}とξ∈A\xi\in Aについて、a−1(ξ)∈a−1(A)a^{-1}(\xi)\in a^{-1}(A)はggで固定されるからaga−1(ξ)=a(a−1(ξ))=ξaga^{-1}(\xi)=a(a^{-1}(\xi))=\xiであり、aUa−1(A)a−1⊆UAaU_{a^{-1}(A)}a^{-1}\subseteq U_Aである。ゆえにB\mathcal Bは§E14.1 定理 2.1 条件 (a)、§E14.1 定理 2.1 条件 (b)、§E14.1 定理 2.1 条件 (c)、§E14.1 定理 2.1 条件 (d)、§E14.1 定理 2.1 条件 (e)を満たし、§E14.1 定理 2.1により、B\mathcal Bを単位元の開近傍基とする位相群の位相がただ一つ存在し、{xUA}\{xU_A\}はその開基である。g,h∈Gg,h\in G、g≠hg\neq hとすると、g(ξ)≠h(ξ)g(\xi)\neq h(\xi)を満たすξ∈ω1\xi\in\omega_1が存在する。k∈gU{ξ}∩hU{ξ}k\in gU_{\{\xi\}}\cap hU_{\{\xi\}}ならばk(ξ)=g(ξ)k(\xi)=g(\xi)かつk(ξ)=h(ξ)k(\xi)=h(\xi)となって矛盾するから、ggとhhの開近傍gU{ξ}gU_{\{\xi\}}とhU{ξ}hU_{\{\xi\}}は交わらない。ゆえにこの位相は Hausdorff である。

g∈Gg\in Gについて、ggを含むxUAxU_AはgUAgU_Aに等しいから、{gUA∣UA∈B}\{gU_A\mid U_A\in\mathcal B\}はggの近傍基である。また、g,h∈Gg,h\in Gについて、g−1h∈UAg^{-1}h\in U_Aであることは、すべてのξ∈A\xi\in Aについてg(ξ)=h(ξ)g(\xi)=h(\xi)であることと同値である。

主張 (2)を示す。(gi)i∈I(g_i)_{i\in I}を(G,UL)(G,\mathcal U_L)の Cauchy ネットとする。高々可算集合A⊆ω1A\subseteq\omega_1について、UAU_Aは単位元の近傍であり、§E14.3 命題 1.1 (1)によりLUA∈ULL_{U_A}\in\mathcal U_Lであるから、i,i′≥iAi,i'\geq i_Aならばgi−1gi′∈UAg_i^{-1}g_{i'}\in U_A、すなわちgig_iとgi′g_{i'}がAA上で一致するようなiA∈Ii_A\in Iが存在する。ξ∈ω1\xi\in\omega_1についてf(ξ)=gi{ξ}(ξ)f(\xi)=g_{i_{\{\xi\}}}(\xi)とおくと、i≥i{ξ}i\geq i_{\{\xi\}}ならばgi(ξ)=f(ξ)g_i(\xi)=f(\xi)である。AAが高々可算でi≥iAi\geq i_Aならば、ξ∈A\xi\in Aについてi′≥iAi'\geq i_Aかつi′≥i{ξ}i'\geq i_{\{\xi\}}を満たすi′i'をとるとgi(ξ)=gi′(ξ)=f(ξ)g_i(\xi)=g_{i'}(\xi)=f(\xi)であるから、gig_iとffはAA上で一致する。

ffは単射である。実際、ξ≠η\xi\neq\etaについてi≥i{ξ,η}i\geq i_{\{\xi,\eta\}}をとると、f(ξ)=gi(ξ)≠gi(η)=f(η)f(\xi)=g_i(\xi)\neq g_i(\eta)=f(\eta)である。D={ξ∈ω1∣f(ξ)≠ξ}D=\{\xi\in\omega_1\mid f(\xi)\neq\xi\}は有限集合である。実際、DDが無限集合ならば、DDの可算無限部分集合AAをとると、i≥iAi\geq i_Aについてgig_iはAA上でffと一致し、AAのすべての点を動かすから、gi∈Gg_i\in Gに反する。ξ∈D\xi\in Dについてf(ξ)∉Df(\xi)\notin Dならばf(f(ξ))=f(ξ)f(f(\xi))=f(\xi)であり、ffの単射性によりf(ξ)=ξf(\xi)=\xiとなってξ∈D\xi\in Dに反する。ゆえにf(D)⊆Df(D)\subseteq Dであり、DDは有限集合でffは単射であるからf(D)=Df(D)=Dである。ffはDDの外で恒等写像であるから、ffはω1\omega_1の全単射であり、f∈Gf\in Gである。高々可算集合AAとi≥iAi\geq i_Aについてgig_iとffはAA上で一致するから、gi∈fUAg_i\in fU_Aである。ゆえに(gi)(g_i)はGGの位相に関してffに収束し、§E14.3 命題 1.1 (2)によりUL\mathcal U_Lの一様位相に関してもffに収束する。§E2.53 命題 1.3 (3)により(G,UL)(G,\mathcal U_L)は完備であり、GGは Weil 完備である。

主張 (3)を示す。1≤α<ω11\leq\alpha<\omega_1について、00とα\alphaを入れ替える互換をtα∈Gt_\alpha\in Gとし、(tα)1≤α<ω1(t_\alpha)_{1\leq\alpha<\omega_1}を順序数の順序で添字づけたネットとみなす。高々可算集合A⊆ω1A\subseteq\omega_1をとると、§E2.17 補題 4.2によりA⊆[0,β]A\subseteq[0,\beta]を満たすβ<ω1\beta<\omega_1が存在する。β+1<ω1\beta+1<\omega_1である。α,α′≥β+1\alpha,\alpha'\geq\beta+1、α≠α′\alpha\neq\alpha'とし、α\alphaとα′\alpha'を入れ替える互換をssとすると、α,α′∉A\alpha,\alpha'\notin Aであるからs∈UAs\in U_Aであり、s=s−1s=s^{-1}、s(0)=0s(0)=0であるからstαs−1=tα′st_\alpha s^{-1}=t_{\alpha'}である。ゆえにtα′∈UAtαUAt_{\alpha'}\in U_At_\alpha U_A、すなわち(tα,tα′)∈QUA(t_\alpha,t_{\alpha'})\in Q_{U_A}である。α=α′\alpha=\alpha'のときも(tα,tα)∈QUA(t_\alpha,t_\alpha)\in Q_{U_A}である。B\mathcal Bは単位元の近傍基であるから、§E14.3 命題 1.1 (1)によりUQ\mathcal U_Qの各元はあるQUAQ_{U_A}を含み、(tα)(t_\alpha)は(G,UQ)(G,\mathcal U_Q)の Cauchy ネットである。

(tα)(t_\alpha)があるg∈Gg\in Gに収束したとすると、§E14.3 命題 1.1 (2)によりgU{0}gU_{\{0\}}はggの近傍であるから、α≥α0\alpha\geq\alpha_0ならばtα∈gU{0}t_\alpha\in gU_{\{0\}}、すなわちtα(0)=g(0)t_\alpha(0)=g(0)となるα0\alpha_0が存在する。しかしtα0(0)=α0≠α0+1=tα0+1(0)t_{\alpha_0}(0)=\alpha_0\neq\alpha_0+1=t_{\alpha_0+1}(0)であるから矛盾する。ゆえに(tα)(t_\alpha)は収束せず、§E2.53 命題 1.3 (3)により(G,UQ)(G,\mathcal U_Q)は完備でなく、GGは Roelcke 完備でない。

主張 (4)は、主張 (2)、主張 (3)と命題 1.3から従う。▨

参考文献

  1. Walter Roelcke and Susanne Dierolf, Uniform Structures on Topological Groups and Their Quotients, McGraw Hill, New York, 1981.四つの一様構造の完備化の埋め込み定理と、Roelcke 完備性・Weil 完備性・Raikov 完備性の比較を参考にした。
  2. Jan Pachl, An embedding theorem for uniform measures on topological groups, arXiv:2207.01956v4, 2023.同じ集合上の一様構造の組についての埋め込み定理の一般形を参考にした。

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