§E14.21許容作用素場

最終更新

位相群の各元は、各ユニタリ表現を通じて Hilbert 空間上のユニタリ作用素として表される。表現ごとにユニタリ作用素を任意に割り当てた族では、ユニタリ同値な二つの表現の作用素が同値を与える作用素で移り合うとは限らず、直和・テンソル積・共役表現の作用素がもとの表現の作用素の直和・テンソル積・共役になるとも限らない。同値・直和・テンソル積・共役表現との関係を保つ作用素の族として、許容作用素場を導入する。群の元xxに対して各表現π\piの作用素π(x)\pi(x)を集めた族は、その具体例である。本記事では、許容作用素場の構成と基本的な性質を述べる。

1 表現の集合と移送

定義 1.1.GGを Hausdorff 位相群とし、κ\kappaを無限基数とする。各基数d≤κd\le\kappaに対して標準 Hilbert 空間Hd=ℓ2(d)H_d=\ell^2(d)を取り、H0={0}H_0=\{0\}とする。集合

Rep⁡κ(G)=∐d≤κ{π ⁣:G→U⁡(Hd):π は強連続な群準同型}\operatorname{Rep}_\kappa(G) =\coprod_{d\le\kappa} \{\pi\colon G\to \Uni(H_d):\pi\text{ は強連続な群準同型}\}

を、次元がκ\kappa以下のGGの表現の族とする。各π\piの表現空間をHπH_\piと書く。ここで、複素 Hilbert 空間HHの次元dim⁡H\dim HはHHの完全正規直交系の濃度である。

命題 1.2.GGを Hausdorff 位相群、κ\kappaを無限基数とする。このとき、次が成り立つ。

  1. Rep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)は集合である。
  2. 次元がκ\kappa以下の複素 Hilbert 空間HH上の強連続ユニタリ表現π\piとd=dim⁡Hd=\dim Hに対して、ユニタリ作用素u ⁣:H→Hdu\colon H\to H_dが存在し、そのような任意のuuについてuπu−1u\pi u^{-1}はRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)に属する。
  3. π,ρ∈Rep⁡κ(G)\pi,\rho\in\operatorname{Rep}_\kappa(G)とHπH_\piの閉不変部分空間MMに対して、閉部分表現π∣M\pi|_M、直和π⊕ρ\pi\oplus\rho、テンソル積π⊗ρ\pi\otimes\rho、共役表現π‾\overline\pi（§E14.9 共役表現参照）を標準空間への任意のユニタリ作用素で運んだ表現は、Rep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)に属する。ここでπ‾\overline\piの表現空間はHπH_\piの共役空間Hπ‾\overline{H_\pi}（§E12.9 定義 1.1参照）である。

証明.Rep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)は、集合である基数全体{d:d≤κ}\{d:d\le\kappa\}にわたる、写像集合U⁡(Hd)G\Uni(H_d)^Gの部分集合の非交和なので集合である。

π\piを次元がκ\kappa以下の複素 Hilbert 空間HH上の強連続ユニタリ表現とし、d=dim⁡Hd=\dim Hとする。HHの濃度ddの完全正規直交系をHdH_dの標準基底へ送る線形等長写像を稠密な線形包から延長すれば、ユニタリ作用素u ⁣:H→Hdu\colon H\to H_dを得る。強連続ユニタリ表現をユニタリ作用素で運んだ表現は強連続ユニタリ表現であり、d≤κd\le\kappaであるから、uπu−1u\pi u^{-1}はRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)に属する。

π,ρ\pi,\rhoの表現空間をHd,HeH_d,H_eとする。§E14.8 命題 4.2 (1)によりπ∣M\pi|_MはMM上の強連続ユニタリ表現であり、§E12.7 命題 2.3によりMMの完全正規直交系はHπH_\piの完全正規直交系へ延長されるので、dim⁡M≤d\dim M\le dである。§E14.8 命題 3.1、§E14.8 命題 3.3と§E14.9 系 6.3により、π⊕ρ\pi\oplus\rho、π⊗ρ\pi\otimes\rho、π‾\overline\piは強連続ユニタリ表現である。二つの標準基底の和集合、§E12.9 命題 4.1のテンソル積の正規直交基底、§E12.9 命題 1.2 (3)の標準基底の共役により、それらの表現空間の次元はd+ed+e、dede、ddであり、κ\kappaは無限なのでいずれもκ\kappa以下である。これらの表現を標準空間Hd′H_{d'}へ運ぶユニタリ作用素について、d′d'は表現空間の次元に等しくκ\kappa以下であるから、運んだ表現はRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)に属する。▨

2 作用素場

定義 2.1.GGを位相群とし、F\mathcal FをGGの強連続ユニタリ表現からなる集まりとする。π∈F\pi\in\mathcal Fの表現空間をHπH_\piと書く。各π∈F\pi\in\mathcal FにHπH_\pi上の有界作用素TπT_\piを対応させる族T=(Tπ)π∈FT=(T_\pi)_{\pi\in\mathcal F}が、任意のπ,ρ∈F\pi,\rho\in\mathcal Fと任意の有界同変作用素A ⁣:Hπ→HρA\colon H_\pi\to H_\rhoに対して

ATπ=TρAAT_\pi=T_\rho A

を満たすとき、TTをF\mathcal F上の 作用素場 (operator field) という。作用素場TTの各成分TπT_\piがユニタリ作用素であるときTTを ユニタリ作用素場 (unitary operator field)、各成分が線形等長作用素であるとき 等長作用素場 (isometric operator field)、各成分のノルムが11以下であるとき 縮小作用素場 (contraction operator field) という。

圏論の言葉では、作用素場は表現から表現空間への忘却関手の自己自然変換である。

例 2.2.GGを位相群、F\mathcal FをGGの強連続ユニタリ表現からなる集まり、a∈Ga\in Gとする。このとき、族(π(a))π∈F(\pi(a))_{\pi\in\mathcal F}はF\mathcal F上のユニタリ作用素場である。

証明. 各π(a)\pi(a)はユニタリ作用素である。同変作用素の定義により、F\mathcal Fの元の間の任意の有界同変作用素A ⁣:Hπ→HρA\colon H_\pi\to H_\rhoはAπ(a)=ρ(a)AA\pi(a)=\rho(a)Aを満たす。▨

命題 2.3.GGを位相群、F\mathcal FをGGの強連続ユニタリ表現からなる集まりとし、TTをF\mathcal F上の作用素場とする。このとき、次が成り立つ。

  1. σ∈F\sigma\in\mathcal F、集合Λ\Lambda、F\mathcal Fの元の族(πα)α∈Λ(\pi_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}と、σ\sigmaから⨁α∈Λπα\bigoplus_{\alpha\in\Lambda}\pi_\alphaへのユニタリ同変作用素wwに対して、すべてのα∈Λ\alpha\in\Lambdaについて∥Tπα∥≤∥Tσ∥\|T_{\pi_\alpha}\|\le\|T_\sigma\|であり、Tσ=w−1(⨁α∈ΛTπα)wT_\sigma=w^{-1}\bigl(\bigoplus_{\alpha\in\Lambda}T_{\pi_\alpha}\bigr)wである。
  2. π∈F\pi\in\mathcal F、HπH_\piの閉不変部分空間MM、τ∈F\tau\in\mathcal Fと、π∣M\pi|_Mからτ\tauへのユニタリ同変作用素u ⁣:M→Hτu\colon M\to H_\tauに対して、TπM⊆MT_\pi M\subseteq MかつTπ∣M=u−1TτuT_\pi|_M=u^{-1}T_\tau uである。TTがユニタリ作用素場ならば、TπM=MT_\pi M=Mである。

証明.主張 (1)を示す。Jα ⁣:Hπα→⨁β∈ΛHπβJ_\alpha\colon H_{\pi_\alpha}\to\bigoplus_{\beta\in\Lambda}H_{\pi_\beta}を包含とする。w−1Jαw^{-1}J_\alphaはπα\pi_\alphaからσ\sigmaへの線形等長な同変作用素であるから、作用素場の定義からTσw−1Jα=w−1JαTπαT_\sigma w^{-1}J_\alpha=w^{-1}J_\alpha T_{\pi_\alpha}である。w−1Jαw^{-1}J_\alphaはノルムを保つので、各v∈Hπαv\in H_{\pi_\alpha}について∥Tπαv∥=∥Tσw−1Jαv∥≤∥Tσ∥∥v∥\|T_{\pi_\alpha}v\|=\|T_\sigma w^{-1}J_\alpha v\|\le\|T_\sigma\|\|v\|であり、∥Tπα∥≤∥Tσ∥\|T_{\pi_\alpha}\|\le\|T_\sigma\|である。したがって⨁αTπα\bigoplus_\alpha T_{\pi_\alpha}は有界作用素であり、wTσw−1wT_\sigma w^{-1}と⨁αTπα\bigoplus_\alpha T_{\pi_\alpha}は各JαHπαJ_\alpha H_{\pi_\alpha}上で一致する。§E12.7 命題 1.6 (1)により、有限個の成分だけが零でない元の全体は⨁αHπα\bigoplus_\alpha H_{\pi_\alpha}で稠密であるから、二つの有界作用素は一致し、Tσ=w−1(⨁αTπα)wT_\sigma=w^{-1}(\bigoplus_\alpha T_{\pi_\alpha})wである。

主張 (2)を示す。包含J ⁣:M→HπJ\colon M\to H_\piに対してJu−1Ju^{-1}はτ\tauからπ\piへの有界同変作用素であるから、作用素場の定義からTπJu−1=Ju−1TτT_\pi Ju^{-1}=Ju^{-1}T_\tauである。したがってMMの各元mmについてTπm=u−1Tτum∈MT_\pi m=u^{-1}T_\tau um\in Mであり、Tπ∣M=u−1TτuT_\pi|_M=u^{-1}T_\tau uである。TTがユニタリ作用素場ならば、TτT_\tauはユニタリであるからTπ∣MT_\pi|_MはMM上のユニタリ作用素であり、TπM=MT_\pi M=Mである。▨

命題 2.4.GGを位相群とし、F\mathcal Fを標準空間Hd=ℓ2(d)H_d=\ell^2(d)（ddは基数）上の強連続ユニタリ表現からなる集合とする。F\mathcal Fの元の閉部分表現と二項直和を標準空間へユニタリ作用素で運んだ表現はF\mathcal Fに属すると仮定する。T=(Tπ)π∈FT=(T_\pi)_{\pi\in\mathcal F}を、各TπT_\piがHπH_\pi上の有界作用素である族とする。このとき、TTが次の二条件を満たすことは、TTがF\mathcal F上の作用素場であるための必要十分条件である。

  1. 任意のπ,ρ∈F\pi,\rho\in\mathcal Fと任意のユニタリ同変作用素V ⁣:Hπ→HρV\colon H_\pi\to H_\rhoに対して、VTπ=TρVVT_\pi=T_\rho Vである。
  2. 任意のπ,ρ∈F\pi,\rho\in\mathcal Fに対して、標準空間へのあるユニタリ作用素s ⁣:Hπ⊕Hρ→Hds\colon H_\pi\oplus H_\rho\to H_dが存在して、Ts(π⊕ρ)s−1=s(Tπ⊕Tρ)s−1T_{s(\pi\oplus\rho)s^{-1}}=s(T_\pi\oplus T_\rho)s^{-1}が成り立つ。

証明. 必要性を示す。TTを作用素場とする。ユニタリ同変作用素は有界同変作用素であるから、TTは条件 (a)を満たす。π,ρ∈F\pi,\rho\in\mathcal Fとする。§E12.7 命題 2.3によりHπ⊕HρH_\pi\oplus H_\rhoは完全正規直交系をもち、これをその濃度ddに対するHdH_dの標準基底へ送ると、標準空間へのユニタリ作用素s ⁣:Hπ⊕Hρ→Hds\colon H_\pi\oplus H_\rho\to H_dを得る。仮定した閉性によりσ=s(π⊕ρ)s−1\sigma=s(\pi\oplus\rho)s^{-1}はF\mathcal Fに属し、s−1s^{-1}はσ\sigmaからπ⊕ρ\pi\oplus\rhoへのユニタリ同変作用素であるから、命題 2.3 (1)によりTσ=s(Tπ⊕Tρ)s−1T_\sigma=s(T_\pi\oplus T_\rho)s^{-1}である。したがってTTは条件 (b)を満たす。

十分性を示す。TTが二条件を満たすとする。π,ρ∈F\pi,\rho\in\mathcal Fとし、条件 (b)のユニタリ作用素をs ⁣:Hπ⊕Hρ→Hds\colon H_\pi\oplus H_\rho\to H_dとし、s′ ⁣:Hπ⊕Hρ→Hd′s'\colon H_\pi\oplus H_\rho\to H_{d'}を標準空間への任意のユニタリ作用素とする。s′s−1s's^{-1}はs(π⊕ρ)s−1s(\pi\oplus\rho)s^{-1}からs′(π⊕ρ)s′−1s'(\pi\oplus\rho)s'^{-1}へのユニタリ同変作用素であり、両表現は仮定した閉性によりF\mathcal Fに属するから、条件 (a)により

Ts′(π⊕ρ)s′−1=s′s−1 Ts(π⊕ρ)s−1 ss′−1=s′(Tπ⊕Tρ)s′−1T_{s'(\pi\oplus\rho)s'^{-1}} =s's^{-1}\,T_{s(\pi\oplus\rho)s^{-1}}\,ss'^{-1} =s'(T_\pi\oplus T_\rho)s'^{-1}

である。よって条件 (b)の等式は、標準空間への任意のユニタリ作用素について成り立つ。

A ⁣:Hπ→HρA\colon H_\pi\to H_\rhoをπ,ρ∈F\pi,\rho\in\mathcal Fの間の有界同変作用素とする。グラフΓA={(v,Av):v∈Hπ}\Gamma_A=\{(v,Av):v\in H_\pi\}は、AAの連続性によりHπ⊕HρH_\pi\oplus H_\rhoの閉線形部分空間であり、同変性によりπ⊕ρ\pi\oplus\rhoの不変部分空間である。標準空間へのユニタリ作用素s ⁣:Hπ⊕Hρ→Hds\colon H_\pi\oplus H_\rho\to H_dを取り、σ=s(π⊕ρ)s−1\sigma=s(\pi\oplus\rho)s^{-1}、N=sΓAN=s\Gamma_Aとおくと、σ∈F\sigma\in\mathcal Fであり、NNはσ\sigmaの閉不変部分空間である。§E14.8 命題 4.2によりN⊥N^\perpも不変であり、直交分解Hd=N⊕N⊥H_d=N\oplus N^\perpのもとでσ(x)=σ∣N(x)⊕σ∣N⊥(x)\sigma(x)=\sigma|_N(x)\oplus\sigma|_{N^\perp}(x)である。標準空間へのユニタリ作用素u1 ⁣:N→He1u_1\colon N\to H_{e_1}、u2 ⁣:N⊥→He2u_2\colon N^\perp\to H_{e_2}を取り、σ1=u1σ∣Nu1−1\sigma_1=u_1\sigma|_Nu_1^{-1}、σ2=u2σ∣N⊥u2−1\sigma_2=u_2\sigma|_{N^\perp}u_2^{-1}とおくと、仮定した閉性によりσ1,σ2∈F\sigma_1,\sigma_2\in\mathcal Fである。t(a,b)=u1−1a+u2−1bt(a,b)=u_1^{-1}a+u_2^{-1}bで定まるt ⁣:He1⊕He2→Hdt\colon H_{e_1}\oplus H_{e_2}\to H_dは標準空間へのユニタリ作用素であり、t(σ1⊕σ2)t−1=σt(\sigma_1\oplus\sigma_2)t^{-1}=\sigmaを満たす。標準空間への任意のユニタリ作用素について条件 (b)の等式が成り立つので、Tσ=t(Tσ1⊕Tσ2)t−1T_\sigma=t(T_{\sigma_1}\oplus T_{\sigma_2})t^{-1}であり、TσN⊆NT_\sigma N\subseteq Nである。同じ等式をssに適用するとTσ=s(Tπ⊕Tρ)s−1T_\sigma=s(T_\pi\oplus T_\rho)s^{-1}であるから、(Tπ⊕Tρ)ΓA⊆ΓA(T_\pi\oplus T_\rho)\Gamma_A\subseteq\Gamma_Aである。したがって、各v∈Hπv\in H_\piについて(Tπv,TρAv)∈ΓA(T_\pi v,T_\rho Av)\in\Gamma_Aであるから、ATπv=TρAvAT_\pi v=T_\rho Avである。よってTTは作用素場である。▨

系 2.5.GGを Hausdorff 位相群、κ\kappaを無限基数とする。このとき、Rep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)の各π\piにHπH_\pi上の有界作用素を対応させる族について、その族が命題 2.4の二条件を満たすことは、その族がRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)上の作用素場であるための必要十分条件である。

証明.命題 1.2 (3)によりRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)は命題 2.4の閉性の仮定を満たすので、同命題をF=Rep⁡κ(G)\mathcal F=\operatorname{Rep}_\kappa(G)に適用すると主張を得る。▨

定義 2.6.GGを位相群、F\mathcal Fを標準空間上の強連続ユニタリ表現からなる集合とし、TTをF\mathcal F上の作用素場とする。TTが次の二条件を満たすとき、TTをF\mathcal F上の 許容作用素場 (admissible operator field) という。

  1. 任意のπ,ρ∈F\pi,\rho\in\mathcal Fと、q(π⊗ρ)q−1∈Fq(\pi\otimes\rho)q^{-1}\in\mathcal Fを満たす標準空間への任意のユニタリ作用素q ⁣:Hπ⊗Hρ→Hdq\colon H_\pi\otimes H_\rho\to H_dに対して、Tq(π⊗ρ)q−1=q(Tπ⊗Tρ)q−1T_{q(\pi\otimes\rho)q^{-1}}=q(T_\pi\otimes T_\rho)q^{-1}である。ここでTπ⊗TρT_\pi\otimes T_\rhoは有界作用素のテンソル積（§E12.9 テンソル積参照）である。
  2. 任意のπ∈F\pi\in\mathcal Fと、cπ‾c−1∈Fc\overline\pi c^{-1}\in\mathcal Fを満たす標準空間への任意のユニタリ作用素c ⁣:Hπ‾→Hdc\colon\overline{H_\pi}\to H_dに対して、Tcπ‾c−1=cTπ‾c−1T_{c\overline\pi c^{-1}}=c\overline{T_\pi}c^{-1}である。ここでTπ‾\overline{T_\pi}は、§E14.9 命題 4.1によりTπ‾ v‾=Tπv‾\overline{T_\pi}\,\overline v=\overline{T_\pi v}で定まるHπ‾\overline{H_\pi}上の有界作用素である。

3 直和によって生成される表現族への延長

定理 3.1.GGを位相群とし、F\mathcal Fを標準空間上の強連続ユニタリ表現からなる集合とする。D\mathcal Dを、任意の集合IIとF\mathcal Fの元の族(πi)i∈I(\pi_i)_{i\in I}に対する Hilbert 直和⨁i∈Iπi\bigoplus_{i\in I}\pi_iにユニタリ同値な表現の全体とし、空の直和も含めるものとする。TTをF\mathcal F上の作用素場とし、sup⁡π∈F∥Tπ∥<∞\sup_{\pi\in\mathcal F}\|T_\pi\|<\inftyと仮定する。このとき、次が成り立つ。

  1. TTはD\mathcal D上の作用素場T~\widetilde Tへ一意に延長され、π∈D\pi\in\mathcal D、集合II、F\mathcal Fの元の族(πi)i∈I(\pi_i)_{i\in I}と、π\piから⨁i∈Iπi\bigoplus_{i\in I}\pi_iへの任意のユニタリ同変作用素wwに対して、T~π=w−1(⨁i∈ITπi)w\widetilde T_\pi=w^{-1}\bigl(\bigoplus_{i\in I}T_{\pi_i}\bigr)wかつ∥T~π∥≤sup⁡ρ∈F∥Tρ∥\|\widetilde T_\pi\|\le\sup_{\rho\in\mathcal F}\|T_\rho\|である。TTがユニタリ作用素場ならば、T~\widetilde Tもユニタリ作用素場である。
  2. F⊆E⊆D\mathcal F\subseteq\mathcal E\subseteq\mathcal Dを満たす表現の集合E\mathcal Eを取る。各U⁡(Hπ)\Uni(H_\pi)に強作用素位相を入れ、F\mathcal F上のユニタリ作用素場の全体に∏π∈FU⁡(Hπ)\prod_{\pi\in\mathcal F}\Uni(H_\pi)の部分空間位相を入れる。このとき、F\mathcal F上のユニタリ作用素場SSに(S~π)π∈E(\widetilde S_\pi)_{\pi\in\mathcal E}を対応させる写像は、F\mathcal F上のユニタリ作用素場の全体から積∏π∈EU⁡(Hπ)\prod_{\pi\in\mathcal E}\Uni(H_\pi)の中の像への同相写像であり、その逆写像はF\mathcal Fへの制限である。さらに、この像はE\mathcal E上のユニタリ作用素場の全体である。
  3. F\mathcal Fの元のテンソル積を標準空間へユニタリ作用素で運んだ表現もF\mathcal Fに属し、TTが定義 2.6 条件 (a)を満たすならば、任意のπ,ρ∈D\pi,\rho\in\mathcal Dについてπ⊗ρ∈D\pi\otimes\rho\in\mathcal Dであり、T~π⊗ρ=T~π⊗T~ρ\widetilde T_{\pi\otimes\rho}=\widetilde T_\pi\otimes\widetilde T_\rhoである。さらに、F⊆E⊆D\mathcal F\subseteq\mathcal E\subseteq\mathcal Dを満たす標準空間上の表現の任意の集合E\mathcal Eについて、T~\widetilde TのE\mathcal Eへの制限は定義 2.6 条件 (a)を満たす。
  4. F\mathcal Fの元の共役表現を標準空間へユニタリ作用素で運んだ表現もF\mathcal Fに属し、TTが定義 2.6 条件 (b)を満たすならば、任意のπ∈D\pi\in\mathcal Dについてπ‾∈D\overline\pi\in\mathcal Dであり、T~π‾=T~π‾\widetilde T_{\overline\pi}=\overline{\widetilde T_\pi}である。さらに、F⊆E⊆D\mathcal F\subseteq\mathcal E\subseteq\mathcal Dを満たす標準空間上の表現の任意の集合E\mathcal Eについて、T~\widetilde TのE\mathcal Eへの制限は定義 2.6 条件 (b)を満たす。

証明.主張 (1)を示す。π∈D\pi\in\mathcal Dとし、集合II、F\mathcal Fの元の族(πi)i∈I(\pi_i)_{i\in I}とユニタリ同変作用素w ⁣:Hπ→⨁i∈IHπiw\colon H_\pi\to\bigoplus_{i\in I}H_{\pi_i}を取る。C=sup⁡ρ∈F∥Tρ∥C=\sup_{\rho\in\mathcal F}\|T_\rho\|とおくと、各TπiT_{\pi_i}のノルムはCC以下であるから、⨁iTπi\bigoplus_iT_{\pi_i}はノルムがCC以下の有界作用素であり、T~π=w−1(⨁iTπi)w\widetilde T_\pi=w^{-1}(\bigoplus_iT_{\pi_i})wとおくと∥T~π∥≤C\|\widetilde T_\pi\|\le Cである。TTがユニタリ作用素場ならば、⨁iTπi\bigoplus_iT_{\pi_i}は逆作用素⨁iTπi−1\bigoplus_iT_{\pi_i}^{-1}をもつユニタリ作用素であり、T~π\widetilde T_\piはユニタリである。ρ∈D\rho\in\mathcal Dについても、集合LL、F\mathcal Fの元の族(ρj)j∈L(\rho_j)_{j\in L}とユニタリ同変作用素w′ ⁣:Hρ→⨁j∈LHρjw'\colon H_\rho\to\bigoplus_{j\in L}H_{\rho_j}を取り、T~ρ=w′−1(⨁jTρj)w′\widetilde T_\rho=w'^{-1}(\bigoplus_jT_{\rho_j})w'とおく。有界同変作用素A ⁣:Hπ→HρA\colon H_\pi\to H_\rho、包含Ji ⁣:Hπi→⨁iHπiJ_i\colon H_{\pi_i}\to\bigoplus_iH_{\pi_i}、直交射影Pj ⁣:⨁jHρj→HρjP_j\colon\bigoplus_jH_{\rho_j}\to H_{\rho_j}に対し、Aji=Pjw′Aw−1JiA_{ji}=P_jw'Aw^{-1}J_iはπi\pi_iからρj\rho_jへの有界同変作用素である。TTはF\mathcal F上の作用素場であるから

AjiTπi=TρjAjiA_{ji}T_{\pi_i}=T_{\rho_j}A_{ji}

となる。左辺はPjw′AT~πw−1JiP_jw'A\widetilde T_\pi w^{-1}J_iに等しく、右辺はPjw′T~ρAw−1JiP_jw'\widetilde T_\rho Aw^{-1}J_iに等しい。⨁jHρj\bigoplus_jH_{\rho_j}の元はその成分で定まるので、すべてのiiについてAT~πw−1Ji=T~ρAw−1JiA\widetilde T_\pi w^{-1}J_i=\widetilde T_\rho Aw^{-1}J_iである。§E12.7 命題 1.6 (1)による有限成分の元の稠密性からAT~π=T~ρAA\widetilde T_\pi=\widetilde T_\rho Aである。同じ表現の二つの分解についてA=IA=Iとすれば、T~π\widetilde T_\piは分解に依存しない。π∈F\pi\in\mathcal Fでは一成分だけの分解を使うことによりT~π=Tπ\widetilde T_\pi=T_\piとなる。よってT~\widetilde TはTTを延長するD\mathcal D上の作用素場である。

SSをTTを延長するD\mathcal D上の作用素場とする。π∈D\pi\in\mathcal Dと上のwwについて、命題 2.3 (1)をD\mathcal D上の作用素場SSに適用すると、

Sπ=w−1(⨁iSπi)w=w−1(⨁iTπi)w=T~πS_\pi=w^{-1}\Bigl(\bigoplus_iS_{\pi_i}\Bigr)w=w^{-1}\Bigl(\bigoplus_iT_{\pi_i}\Bigr)w=\widetilde T_\pi

であり、一意性を得る。

主張 (2)を示す。π∈E\pi\in\mathcal Eに対して上のwwを一つ固定し、v∈Hπv\in H_\piとε>0\varepsilon>0を取る。wv=(vi)i∈Iwv=(v_i)_{i\in I}と書き、有限集合I0⊆II_0\subseteq Iへの切り詰めu=∑i∈I0Jiviu=\sum_{i\in I_0}J_iv_iで∥wv−u∥<ε/4\|wv-u\|<\varepsilon/4となるものを選ぶ。F\mathcal F上の二つのユニタリ作用素場S,S′S,S'に対して

∥(S~π−S′~π)v∥≤2∥wv−u∥+(∑i∈I0∥(Sπi−Sπi′)vi∥2)1/2\|(\widetilde S_\pi-\widetilde{S'}_\pi)v\| \leq2\|wv-u\| +\left(\sum_{i\in I_0}\|(S_{\pi_i}-S'_{\pi_i})v_i\|^2\right)^{1/2}

である。S′S'を固定すると、すべてのi∈I0i\in I_0について∥(Sπi−Sπi′)vi∥<ε/(2(∣I0∣+1)1/2)\|(S_{\pi_i}-S'_{\pi_i})v_i\|<\varepsilon/(2(|I_0|+1)^{1/2})を満たすF\mathcal F上のユニタリ作用素場SSの全体は、有限個の座標πi\pi_i（i∈I0i\in I_0）で定まるS′S'の近傍であり、その上で第2項はε/2\varepsilon/2未満、左辺はε\varepsilon未満である。したがって、各π∈E\pi\in\mathcal Eについて写像S↦S~πS\mapsto\widetilde S_\piはU⁡(Hπ)\Uni(H_\pi)の強作用素位相に関して連続であり、積への写像も連続である。逆写像は座標の制限なので連続である。RRをE\mathcal E上のユニタリ作用素場とする。RRのF\mathcal Fへの制限R∣FR|_{\mathcal F}はF\mathcal F上のユニタリ作用素場である。π∈E\pi\in\mathcal Eと上のwwについて、命題 2.3 (1)をE\mathcal E上の作用素場RRに適用するとRπ=w−1(⨁iRπi)wR_\pi=w^{-1}(\bigoplus_iR_{\pi_i})wであり、RπR_\piはR∣FR|_{\mathcal F}の延長値と一致する。逆に、主張 (1)の延長のE\mathcal Eへの制限はE\mathcal E上のユニタリ作用素場である。よって像はE\mathcal E上のユニタリ作用素場の全体となる。

主張 (3)を示す。π,ρ∈D\pi,\rho\in\mathcal Dに対してw,w′w,w'を上のとおりに取り、Jj′ ⁣:Hρj→⨁jHρjJ'_j\colon H_{\rho_j}\to\bigoplus_jH_{\rho_j}を包含とする。§E12.9 定理 3.1 (4)により各Ji⊗Jj′J_i\otimes J'_jは線形等長作用素であり、純テンソル上の等式からπi⊗ρj\pi_i\otimes\rho_jから(⨁iπi)⊗(⨁jρj)(\bigoplus_i\pi_i)\otimes(\bigoplus_j\rho_j)への同変作用素である。これらの作用素の像は互いに直交する。各純テンソルx⊗yx\otimes yはx,yx,yの有限成分近似のテンソル積によって近似されるので、これらの像の閉線形包はテンソル積全体となる。したがってΘ((zij)i,j)=∑i,j(Ji⊗Jj′)zij\Theta((z_{ij})_{i,j})=\sum_{i,j}(J_i\otimes J'_j)z_{ij}で定まる

Θ ⁣:⨁i,j(Hπi⊗Hρj)⟶(⨁iHπi)⊗(⨁jHρj)\Theta\colon\bigoplus_{i,j}(H_{\pi_i}\otimes H_{\rho_j})\longrightarrow\Bigl(\bigoplus_iH_{\pi_i}\Bigr)\otimes\Bigl(\bigoplus_jH_{\rho_j}\Bigr)

はユニタリ同変作用素である。各(i,j)(i,j)について標準空間へのユニタリ作用素qij ⁣:Hπi⊗Hρj→Hdijq_{ij}\colon H_{\pi_i}\otimes H_{\rho_j}\to H_{d_{ij}}を取ると、仮定した閉性によりσij=qij(πi⊗ρj)qij−1∈F\sigma_{ij}=q_{ij}(\pi_i\otimes\rho_j)q_{ij}^{-1}\in\mathcal Fであり、定義 2.6 条件 (a)によりTσij=qij(Tπi⊗Tρj)qij−1T_{\sigma_{ij}}=q_{ij}(T_{\pi_i}\otimes T_{\rho_j})q_{ij}^{-1}である。W=(⨁i,jqij)Θ−1(w⊗w′)W=(\bigoplus_{i,j}q_{ij})\Theta^{-1}(w\otimes w')はπ⊗ρ\pi\otimes\rhoから⨁i,jσij\bigoplus_{i,j}\sigma_{ij}へのユニタリ同変作用素であるから、π⊗ρ∈D\pi\otimes\rho\in\mathcal Dであり、主張 (1)の延長値の式から

T~π⊗ρ=W−1(⨁i,jTσij)W=(w⊗w′)−1 Θ(⨁i,j(Tπi⊗Tρj))Θ−1 (w⊗w′)\widetilde T_{\pi\otimes\rho} =W^{-1}\Bigl(\bigoplus_{i,j}T_{\sigma_{ij}}\Bigr)W =(w\otimes w')^{-1}\,\Theta\Bigl(\bigoplus_{i,j}(T_{\pi_i}\otimes T_{\rho_j})\Bigr)\Theta^{-1}\,(w\otimes w')

である。§E12.9 定理 3.1 (2)の合成公式により

((⨁iTπi)⊗(⨁jTρj))(Ji⊗Jj′)=(Ji⊗Jj′)(Tπi⊗Tρj)\Bigl(\bigl(\textstyle\bigoplus_iT_{\pi_i}\bigr)\otimes\bigl(\textstyle\bigoplus_jT_{\rho_j}\bigr)\Bigr)(J_i\otimes J'_j) =(J_i\otimes J'_j)(T_{\pi_i}\otimes T_{\rho_j})

であるから、Θ(⨁i,j(Tπi⊗Tρj))Θ−1=(⨁iTπi)⊗(⨁jTρj)\Theta(\bigoplus_{i,j}(T_{\pi_i}\otimes T_{\rho_j}))\Theta^{-1}=(\bigoplus_iT_{\pi_i})\otimes(\bigoplus_jT_{\rho_j})である。同じ合成公式によりT~π⊗ρ=T~π⊗T~ρ\widetilde T_{\pi\otimes\rho}=\widetilde T_\pi\otimes\widetilde T_\rhoを得る。E\mathcal Eを主張のとおりに取り、π,ρ∈E\pi,\rho\in\mathcal Eと、q(π⊗ρ)q−1∈Eq(\pi\otimes\rho)q^{-1}\in\mathcal Eを満たす標準空間へのユニタリ作用素qqを取る。qqはD\mathcal Dの元π⊗ρ\pi\otimes\rhoからq(π⊗ρ)q−1q(\pi\otimes\rho)q^{-1}へのユニタリ同変作用素であるから、D\mathcal D上の自然性とこの等式によりT~q(π⊗ρ)q−1=q(T~π⊗T~ρ)q−1\widetilde T_{q(\pi\otimes\rho)q^{-1}}=q(\widetilde T_\pi\otimes\widetilde T_\rho)q^{-1}であり、T~\widetilde TのE\mathcal Eへの制限は定義 2.6 条件 (a)を満たす。

主張 (4)を示す。π∈D\pi\in\mathcal Dに対してwwを上のとおりに取る。§E14.9 命題 4.1によりw‾\overline wはユニタリであり、π‾\overline\piから⨁iπi‾\overline{\bigoplus_i\pi_i}への同変作用素である。共役空間の定義から、(vi)i‾↦(vi‾)i\overline{(v_i)_i}\mapsto(\overline{v_i})_iは⨁iHπi‾\overline{\bigoplus_iH_{\pi_i}}から⨁iHπi‾\bigoplus_i\overline{H_{\pi_i}}へのユニタリ作用素であり、この同一視のもとで⨁iπi‾=⨁iπi‾\overline{\bigoplus_i\pi_i}=\bigoplus_i\overline{\pi_i}、⨁iTπi‾=⨁iTπi‾\overline{\bigoplus_iT_{\pi_i}}=\bigoplus_i\overline{T_{\pi_i}}である。各iiについて標準空間へのユニタリ作用素ci ⁣:Hπi‾→Hdic_i\colon\overline{H_{\pi_i}}\to H_{d_i}を取ると、仮定した閉性によりciπi‾ci−1∈Fc_i\overline{\pi_i}c_i^{-1}\in\mathcal Fであり、定義 2.6 条件 (b)によりTciπi‾ci−1=ciTπi‾ci−1T_{c_i\overline{\pi_i}c_i^{-1}}=c_i\overline{T_{\pi_i}}c_i^{-1}である。したがってπ‾∈D\overline\pi\in\mathcal Dであり、主張 (1)の延長値の式と§E14.9 命題 4.1の合成との整合から

T~π‾=w‾−1(⨁iTπi‾)w‾=w−1(⨁iTπi)w‾=T~π‾\widetilde T_{\overline\pi} =\overline w^{-1}\Bigl(\bigoplus_i\overline{T_{\pi_i}}\Bigr)\overline w =\overline{w^{-1}\Bigl(\bigoplus_iT_{\pi_i}\Bigr)w} =\overline{\widetilde T_\pi}

である。E\mathcal Eを主張のとおりに取り、π∈E\pi\in\mathcal Eと、cπ‾c−1∈Ec\overline\pi c^{-1}\in\mathcal Eを満たす標準空間へのユニタリ作用素ccを取る。ccはD\mathcal Dの元π‾\overline\piからcπ‾c−1c\overline\pi c^{-1}へのユニタリ同変作用素であるから、D\mathcal D上の自然性とこの等式によりT~cπ‾c−1=cT~π‾c−1\widetilde T_{c\overline\pi c^{-1}}=c\overline{\widetilde T_\pi}c^{-1}であり、T~\widetilde TのE\mathcal Eへの制限は定義 2.6 条件 (b)を満たす。▨

4 許容作用素場

定義 4.1.GGを Hausdorff 位相群とし、κ\kappaを無限基数とする。Rep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)上の許容作用素場で各成分がユニタリ作用素であるものを 許容ユニタリ作用素場 (admissible unitary operator field) といい、その全体をTκ(G)\mathcal T_\kappa(G)と書く。κ=max⁡{∣G∣,ℵ0}\kappa=\max\{|G|,\aleph_0\}の場合のTκ(G)\mathcal T_\kappa(G)をT(G)\mathcal T(G)と書く。

定義 4.2.GGを Hausdorff 位相群、κ\kappaを無限基数とする。各U⁡(Hπ)\Uni(H_\pi)に強作用素位相を入れ、Tκ(G)\mathcal T_\kappa(G)には積空間

∏π∈Rep⁡κ(G)U⁡(Hπ)\prod_{\pi\in\operatorname{Rep}_\kappa(G)}\Uni(H_\pi)

の部分空間位相を入れる。具体的には、TTの近傍基は、有限個の表現π1,…,πm\pi_1,\ldots,\pi_m、各jjに対する有限個のベクトルvj1,…,vjnj∈Hπjv_{j1},\ldots,v_{jn_j}\in H_{\pi_j}、およびε>0\varepsilon>0に対する集合

{S∈Tκ(G):∥(Sπj−Tπj)vjℓ∥<ε がすべての j,ℓ について成り立つ}\{S\in\mathcal T_\kappa(G): \|(S_{\pi_j}-T_{\pi_j})v_{j\ell}\|<\varepsilon \text{ がすべての }j,\ell\text{ について成り立つ}\}

からなる。

命題 4.3.GGを Hausdorff 位相群、κ\kappaを無限基数とし、TTをRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)上のユニタリ作用素場とする。D\mathcal DをRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)から定理 3.1で定まる表現の全体とし、T~\widetilde Tを定理 3.1 (1)によるTTのD\mathcal D上の延長とする。次元がκ\kappa以下の複素 Hilbert 空間HH上の強連続ユニタリ表現π\piと、d=dim⁡Hd=\dim Hに対するユニタリ作用素u ⁣:H→Hdu\colon H\to H_dについて

Tπ=u−1Tuπu−1uT_\pi=u^{-1}T_{u\pi u^{-1}}u

と定める。このとき、次が成り立つ。

  1. 次元がκ\kappa以下の強連続ユニタリ表現π\piはD\mathcal Dに属し、TπT_\piはuuに依存せず、T~π\widetilde T_\piに等しい。
  2. 次元がκ\kappa以下の強連続ユニタリ表現π,ρ\pi,\rhoと任意の有界同変作用素A ⁣:Hπ→HρA\colon H_\pi\to H_\rhoに対して、ATπ=TρAAT_\pi=T_\rho Aである。
  3. TTが定義 2.6 条件 (a)を満たすならば、次元がκ\kappa以下の任意の二つの強連続ユニタリ表現π,ρ\pi,\rhoについてTπ⊗ρ=Tπ⊗TρT_{\pi\otimes\rho}=T_\pi\otimes T_\rhoである。
  4. TTが定義 2.6 条件 (b)を満たすならば、次元がκ\kappa以下の任意の強連続ユニタリ表現π\piについてTπ‾=Tπ‾T_{\overline\pi}=\overline{T_\pi}である。

証明.F=Rep⁡κ(G)\mathcal F=\operatorname{Rep}_\kappa(G)とする。TTの成分はユニタリであるからノルムは11以下であり、定理 3.1 (1)によりT~\widetilde TはD\mathcal D上のユニタリ作用素場である。

主張 (1)を示す。π\piを次元がκ\kappa以下の複素 Hilbert 空間HH上の強連続ユニタリ表現とし、d=dim⁡Hd=\dim H、u ⁣:H→Hdu\colon H\to H_dをユニタリ作用素とする。命題 1.2 (2)によりuπu−1u\pi u^{-1}はF\mathcal Fに属し、uuはπ\piからuπu−1u\pi u^{-1}へのユニタリ同変作用素であるから、π\piはD\mathcal Dに属する。一つの成分uπu−1u\pi u^{-1}からなる族とuuに定理 3.1 (1)の延長値の式を適用すると、T~π=u−1Tuπu−1u\widetilde T_\pi=u^{-1}T_{u\pi u^{-1}}uである。左辺はuuによらないので、TπT_\piはuuに依存せずT~π\widetilde T_\piに等しい。

主張 (2)は、T~\widetilde TがD\mathcal D上の作用素場であることと主張 (1)から従う。

命題 1.2 (3)により、F\mathcal Fの元のテンソル積と共役表現を標準空間へ任意のユニタリ作用素で運んだ表現はF\mathcal Fに属する。次元がκ\kappa以下の二つの表現のテンソル積の次元は§E12.9 命題 4.1によりκ\kappa以下であり、共役表現の次元は§E12.9 命題 1.2 (3)によりもとの表現の次元に等しい。したがって、次元がκ\kappa以下の強連続ユニタリ表現π,ρ\pi,\rhoについて、TTが定義 2.6 条件 (a)を満たすならば、主張 (1)と定理 3.1 (3)によりTπ⊗ρ=T~π⊗ρ=T~π⊗T~ρ=Tπ⊗TρT_{\pi\otimes\rho}=\widetilde T_{\pi\otimes\rho}=\widetilde T_\pi\otimes\widetilde T_\rho=T_\pi\otimes T_\rhoであり、TTが定義 2.6 条件 (b)を満たすならば、定理 3.1 (4)によりTπ‾=Tπ‾T_{\overline\pi}=\overline{T_\pi}である。▨

系 4.4.GGを Hausdorff 位相群、κ\kappaを無限基数、TTをRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)上のユニタリ作用素場で定義 2.6 条件 (a)を満たすものとし、命題 4.3によりTTを次元がκ\kappa以下の強連続ユニタリ表現へ延長する。このとき、次元がκ\kappa以下の任意の複素 Hilbert 空間HH上の自明表現1H(x)=IH1_H(x)=I_Hに対して、T1H=IHT_{1_H}=I_Hである。

証明. 一次元の自明表現1C1_\Cに対してT1C=zICT_{1_\C}=zI_\Cと書くと、T1CT_{1_\C}はユニタリであるから∣z∣=1|z|=1である。命題 4.3 (3)によりT1C⊗1C=T1C⊗T1C=z2IT_{1_\C\otimes1_\C}=T_{1_\C}\otimes T_{1_\C}=z^2Iである。写像a⊗b↦aba\otimes b\mapsto abは1C⊗1C1_\C\otimes1_\Cから1C1_\Cへのユニタリ同変作用素であるから、命題 4.3 (2)によりz2=zz^2=zである。z≠0z\ne0であるからz=1z=1である。各v∈Hv\in Hについて写像a↦ava\mapsto avは1C1_\Cから1H1_Hへの有界同変作用素なので、命題 4.3 (2)によりT1Hv=vT_{1_H}v=vである。よってT1H=IHT_{1_H}=I_Hである。▨

5 次元上限の独立性

補題 5.1.GGを位相群、π ⁣:G→U⁡(H)\pi\colon G\to\Uni(H)を強連続ユニタリ表現とし、v∈Hv\in Hの巡回部分空間をHv=span⁡{π(x)v:x∈G}‾H_v=\tpcl{\operatorname{span}\{\pi(x)v:x\in G\}}とする。このとき、次が成り立つ。

  1. dim⁡Hv≤max⁡{∣G∣,ℵ0}\dim H_v\le\max\{|G|,\aleph_0\}である。
  2. GGが Hausdorff な局所コンパクト群ならば、dim⁡Hv≤max⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}\dim H_v\le\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}である。

証明.

主張 5.1.1. 複素 Hilbert 空間KKの任意の稠密部分集合YYについて、dim⁡K≤∣Y∣\dim K\le|Y|である。

証明. 正規直交系の相異なる二元の距離は2\sqrt2なので、各元を中心とする半径1/31/3の開球は互いに交わらない。YYは稠密であるから、各球からYYの元を一つずつ取ると、正規直交系からYYへの単射を得る。§E12.7 命題 2.3の完全正規直交系に適用すればdim⁡K≤∣Y∣\dim K\le|Y|である。▨

主張 (1)を示す。軌道{π(x)v:x∈G}\{\pi(x)v:x\in G\}の元の有限個のQ+iQ\Q+i\Q係数の線形結合全体をDDとする。係数を近似すればDDはHvH_vで稠密であり、∣D∣≤max⁡{∣G∣,ℵ0}|D|\le\max\{|G|,\aleph_0\}であるから、主張 5.1.1によりdim⁡Hv≤max⁡{∣G∣,ℵ0}\dim H_v\le\max\{|G|,\aleph_0\}である。

主張 (2)を示す。μ\muを左 Haar 測度とし、写像Q ⁣:L2(G)→L1(G)Q\colon L^2(G)\to L^1(G)をQ(ξ)=ξ∣ξ∣Q(\xi)=\xi|\xi|で定める。点ごとの不等式

∣ξ ∣ξ∣−η ∣η∣∣≤(∣ξ∣+∣η∣)∣ξ−η∣\bigl|\xi\,|\xi|-\eta\,|\eta|\bigr| \le (|\xi|+|\eta|)|\xi-\eta|

と Cauchy–Schwarz の不等式から

∥Q(ξ)−Q(η)∥1≤(∥ξ∥2+∥η∥2)∥ξ−η∥2\|Q(\xi)-Q(\eta)\|_1 \le(\|\xi\|_2+\|\eta\|_2)\|\xi-\eta\|_2

を得る。したがってQQは同値類上で定まる連続写像である。f∈L1(G)f\in L^1(G)に対し、f(x)≠0f(x)\ne0ではξ(x)=f(x)/∣f(x)∣1/2\xi(x)=f(x)/|f(x)|^{1/2}、f(x)=0f(x)=0ではξ(x)=0\xi(x)=0とおくと、∥ξ∥22=∥f∥1\|\xi\|_2^2=\|f\|_1かつQ(ξ)=fQ(\xi)=fである。よってQQは全射である。

§E12.7 命題 2.3によりL2(G)L^2(G)の完全正規直交系EEを取る。EEの元の有限個のQ+iQ\Q+i\Q係数の線形結合全体をD2D_2とする。完全性と係数の近似によりD2D_2は稠密であり、∣D2∣≤max⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}|D_2|\le\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}である。QQの連続性と全射性によりD1=Q(D2)D_1=Q(D_2)はL1(G)L^1(G)で稠密であり、∣D1∣≤max⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}|D_1|\le\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}である。

§E14.10 定理 1.2により、写像f↦π(f)vf\mapsto\pi(f)vはL1(G)L^1(G)からHHへの有界線形写像である。その像の閉包をMMとおく。各f∈L1(G)f\in L^1(G)について、π(f)v=∫Gf(x)π(x)v dx\pi(f)v=\int_Gf(x)\pi(x)v\,dxの被積分関数は閉線形部分空間HvH_vに値をとるので、π(f)v∈Hv\pi(f)v\in H_vである。したがってM⊆HvM\subseteq H_vである。また、同じ定理の等式π(a)π(f)=π(Laf)\pi(a)\pi(f)=\pi(L_af)によりMMはπ\piの不変部分空間である。§E14.7 定理 4.3の非負で積分が11の近似単位(uU)(u_U)に対し、

∥π(uU)v−v∥≤sup⁡x∈U∥π(x)v−v∥⟶0\|\pi(u_U)v-v\| \le\sup_{x\in U}\|\pi(x)v-v\|\longrightarrow0

であるからv∈Mv\in Mである。よってHv⊆MH_v\subseteq Mとなり、M=HvM=H_vを得る。

写像f↦π(f)vf\mapsto\pi(f)vの連続性により、{π(f)v:f∈D1}\{\pi(f)v:f\in D_1\}はHvH_vで稠密であり、その濃度はmax⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}以下である。主張 5.1.1によりdim⁡Hv≤max⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}\dim H_v\le\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}である。▨

定理 5.2.GGを Hausdorff 位相群とし、λ≥κ\lambda\ge\kappaを無限基数とする。κ≥max⁡{∣G∣,ℵ0}\kappa\ge\max\{|G|,\aleph_0\}であるか、またはGGが局所コンパクトでκ≥max⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}\kappa\ge\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}であると仮定する。Tλ(G)\mathcal T_\lambda(G)とTκ(G)\mathcal T_\kappa(G)には定義 4.2の位相を入れ、制限写像を

rλ,κ ⁣:Tλ(G)⟶Tκ(G),(Tπ)π⟼(Tπ)π∈Rep⁡κ(G)r_{\lambda,\kappa}\colon \mathcal T_\lambda(G) \longrightarrow\mathcal T_\kappa(G), \qquad (T_\pi)_\pi\longmapsto (T_\pi)_{\pi\in\operatorname{Rep}_\kappa(G)}

とする。T∈Tκ(G)T\in\mathcal T_\kappa(G)は命題 4.3により次元がκ\kappa以下の表現へ延長されたものとみなす。このとき、次が成り立つ。

  1. rλ,κr_{\lambda,\kappa}は全単射であり、同相写像である。
  2. T∈Tκ(G)T\in\mathcal T_\kappa(G)と、次元がλ\lambda以下の強連続ユニタリ表現π\piの巡回直和分解π=⨁i∈Iπi\pi=\bigoplus_{i\in I}\pi_iに対して、T~π=⨁i∈ITπi\widetilde T_\pi=\bigoplus_{i\in I}T_{\pi_i}は巡回分解に依存しない。これらの値は次元がλ\lambda以下の表現の間のすべての有界同変作用素A ⁣:Hπ→HρA\colon H_\pi\to H_\rhoについてAT~π=T~ρAA\widetilde T_\pi=\widetilde T_\rho Aを満たし、rλ,κ−1(T)=(T~π)π∈Rep⁡λ(G)r_{\lambda,\kappa}^{-1}(T)=(\widetilde T_\pi)_{\pi\in\operatorname{Rep}_\lambda(G)}である。

証明.F=Rep⁡κ(G)\mathcal F=\operatorname{Rep}_\kappa(G)、E=Rep⁡λ(G)\mathcal E=\operatorname{Rep}_\lambda(G)とする。命題 1.2 (3)をκ\kappaとλ\lambdaについて用いると、両集合はそれぞれ、その元のテンソル積と共役表現を標準空間へ任意のユニタリ作用素で運んだ表現を含む。κ≥max⁡{∣G∣,ℵ0}\kappa\ge\max\{|G|,\aleph_0\}の場合には補題 5.1 (1)により、GGが局所コンパクトでκ≥max⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}\kappa\ge\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}の場合には補題 5.1 (2)により、任意の強連続ユニタリ表現の巡回部分空間の次元はκ\kappa以下である。§E14.8 補題 4.3により任意の表現は巡回部分表現の直交直和に分解され、命題 1.2 (2)により各巡回部分表現はF\mathcal Fの元にユニタリ同値であるから、任意の強連続ユニタリ表現はF\mathcal Fから定理 3.1で定まるD\mathcal Dに属する。とくにD\mathcal DはE\mathcal Eを含む。

定理 3.1 (1)により、F\mathcal F上のユニタリ作用素場TTはD\mathcal D上のユニタリ作用素場T~\widetilde Tへ一意に延長され、T~\widetilde TはD\mathcal Dの元の間のすべての有界同変作用素と可換である。次元がλ\lambda以下の強連続ユニタリ表現π\piの巡回分解π=⨁iπi\pi=\bigoplus_i\pi_iの各成分は次元がκ\kappa以下なのでD\mathcal Dに属し、命題 2.3 (1)をD\mathcal D上の作用素場T~\widetilde Tに適用するとT~π=⨁iT~πi\widetilde T_\pi=\bigoplus_i\widetilde T_{\pi_i}であり、命題 4.3 (1)によりT~πi\widetilde T_{\pi_i}は移送の値TπiT_{\pi_i}に等しい。T~π\widetilde T_\piは分解に依存しないので、この値は巡回分解に依存しない。定理 3.1 (2)により、S↦(S~π)π∈ES\mapsto(\widetilde S_\pi)_{\pi\in\mathcal E}はF\mathcal F上のユニタリ作用素場の全体からE\mathcal E上のユニタリ作用素場の全体への同相写像であり、その逆写像はF\mathcal Fへの制限である。

T∈Tκ(G)T\in\mathcal T_\kappa(G)とする。定理 3.1 (3)と定理 3.1 (4)により、T~\widetilde TのE\mathcal Eへの制限は許容作用素場であるので、Tλ(G)\mathcal T_\lambda(G)に属する。逆に、Tλ(G)\mathcal T_\lambda(G)の元のF\mathcal Fへの制限は、F⊆E\mathcal F\subseteq\mathcal Eであるから許容作用素場であり、Tκ(G)\mathcal T_\kappa(G)に属する。よって、上の同相写像はTκ(G)\mathcal T_\kappa(G)をTλ(G)\mathcal T_\lambda(G)の上へ写し、その逆写像rλ,κr_{\lambda,\kappa}は全単射かつ同相写像である。▨

6 作用素場の位相と標準写像

定理 6.1.GGを Hausdorff 位相群、κ\kappaを無限基数とし、x∈Gx\in Gに対してΦG(x)=(π(x))π∈Rep⁡κ(G)\Phi_G(x)=(\pi(x))_{\pi\in\operatorname{Rep}_\kappa(G)}とおく。このとき、次が成り立つ。

  1. Tκ(G)\mathcal T_\kappa(G)は成分ごとの積(ST)π=SπTπ(ST)_\pi=S_\pi T_\piと逆元(T−1)π=Tπ−1(T^{-1})_\pi=T_\pi^{-1}について Hausdorff 位相群である。
  2. λ≥κ\lambda\ge\kappaを無限基数とし、κ≥max⁡{∣G∣,ℵ0}\kappa\ge\max\{|G|,\aleph_0\}であるか、またはGGが局所コンパクトでκ≥max⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}\kappa\ge\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}であるならば、定理 5.2の制限写像rλ,κr_{\lambda,\kappa}は位相群としての同型である。
  3. ΦG\Phi_GはGGからTκ(G)\mathcal T_\kappa(G)への連続な群準同型である。

証明.主張 (1)を示す。恒等作用素の族は許容ユニタリ作用素場である。S,T∈Tκ(G)S,T\in\mathcal T_\kappa(G)とする。Rep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)の元の間の有界同変作用素A ⁣:Hπ→HρA\colon H_\pi\to H_\rhoについてASπTπ=SρATπ=SρTρAAS_\pi T_\pi=S_\rho AT_\pi=S_\rho T_\rho Aであるから、成分ごとの積STSTはユニタリ作用素場である。§E14.8 命題 3.2の合成公式

(Sπ⊗Sρ)(Tπ⊗Tρ)=(SπTπ)⊗(SρTρ)(S_\pi\otimes S_\rho)(T_\pi\otimes T_\rho) =(S_\pi T_\pi)\otimes(S_\rho T_\rho)

によりSTSTは定義 2.6 条件 (a)を満たし、§E14.9 命題 4.1の合成との整合Sπ‾ Tπ‾=SπTπ‾\overline{S_\pi}\,\overline{T_\pi}=\overline{S_\pi T_\pi}によりSTSTは定義 2.6 条件 (b)を満たす。逆元について、ATπ=TρAAT_\pi=T_\rho Aの両辺に左からTρ−1T_\rho^{-1}、右からTπ−1T_\pi^{-1}を掛けるとTρ−1A=ATπ−1T_\rho^{-1}A=AT_\pi^{-1}を得る。同じ合成公式により(Tπ⊗Tρ)−1=Tπ−1⊗Tρ−1(T_\pi\otimes T_\rho)^{-1}=T_\pi^{-1}\otimes T_\rho^{-1}であり、§E14.9 命題 4.1によりTπ‾−1=Tπ−1‾\overline{T_\pi}^{-1}=\overline{T_\pi^{-1}}であるから、T−1T^{-1}は許容作用素場である。よってTκ(G)\mathcal T_\kappa(G)は積群の部分群である。§E14.8 定理 1.2により各因子は Hausdorff 位相群なので、その積の部分群も与えられた位相について Hausdorff 位相群である。

主張 (2)を示す。制限写像rλ,κr_{\lambda,\kappa}は成分ごとの積を保つので群準同型であり、定理 5.2 (1)により全単射かつ同相写像である。したがってrλ,κr_{\lambda,\kappa}は位相群としての同型である。

主張 (3)を示す。x∈Gx\in Gを固定する。例 2.2により、族ΦG(x)\Phi_G(x)はRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)上のユニタリ作用素場である。π,ρ∈Rep⁡κ(G)\pi,\rho\in\operatorname{Rep}_\kappa(G)と、運んだ表現がRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)に属する標準空間へのユニタリ作用素q ⁣:Hπ⊗Hρ→Hdq\colon H_\pi\otimes H_\rho\to H_d、c ⁣:Hπ‾→Hec\colon\overline{H_\pi}\to H_eを取る。テンソル積表現の定義と、共役表現の定義によるπ‾(x)=π(x)‾\overline\pi(x)=\overline{\pi(x)}から

(q(π⊗ρ)q−1)(x)=q(π(x)⊗ρ(x))q−1,(cπ‾c−1)(x)=cπ(x)‾c−1\bigl(q(\pi\otimes\rho)q^{-1}\bigr)(x)=q(\pi(x)\otimes\rho(x))q^{-1},\qquad \bigl(c\overline\pi c^{-1}\bigr)(x)=c\overline{\pi(x)}c^{-1}

であるから、ΦG(x)\Phi_G(x)は許容作用素場であり、Tκ(G)\mathcal T_\kappa(G)に属する。各表現が群準同型なのでΦG(xy)=ΦG(x)ΦG(y)\Phi_G(xy)=\Phi_G(x)\Phi_G(y)である。さらに、各π\piと各v∈Hπv\in H_\piに対する写像x↦ΦG(x)πv=π(x)vx\mapsto\Phi_G(x)_\pi v=\pi(x)vは連続であるから、積位相の定義によりΦG\Phi_Gは連続である。▨

7 二元巡回群の作用素場

例 7.1.C2={e,s}C_2=\{e,s\}、s2=es^2=eを離散位相をもつ二元巡回群とし、κ\kappaを無限基数とする。このとき、Tκ(C2)\mathcal T_\kappa(C_2)は二つの評価の族(π(e))π(\pi(e))_\piと(π(s))π(\pi(s))_\piからなる。

π∈Rep⁡κ(C2)\pi\in\operatorname{Rep}_\kappa(C_2)を取り、その表現空間をHHとし、U=π(s)U=\pi(s)とおく。U2=IU^2=Iとユニタリ性からU=U∗U=U^*である。P+=(I+U)/2P_+=(I+U)/2、P−=(I−U)/2P_-=(I-U)/2は互いに直交する射影であり、P++P−=IP_++P_-=Iである。したがって

H=H+⊕H−,π(s)∣H+=IH+,π(s)∣H−=−IH−,H±=P±H.H=H_+\oplus H_-,\qquad \pi(s)|_{H_+}=I_{H_+},\qquad \pi(s)|_{H_-}=-I_{H_-}, \quad H_\pm=P_\pm H.

一次元の自明表現を11、χ(s)=−1\chi(s)=-1となる一次元の符号表現をχ\chiと書く。任意のT∈Tκ(C2)T\in\mathcal T_\kappa(C_2)に対して、系 4.4によりT1=IT_1=Iであり、Tχ=εIT_\chi=\varepsilon I、∣ε∣=1|\varepsilon|=1と書くことができる。命題 4.3 (3)によりTχ⊗χ=ε2IT_{\chi\otimes\chi}=\varepsilon^2Iである。χ⊗χ\chi\otimes\chiは自明表現11とユニタリ同値なので、命題 4.3 (2)により

ε2=1.\varepsilon^2=1.

よってε=1\varepsilon=1またはε=−1\varepsilon=-1である。

v∈H+v\in H_+に対する写像z↦zvz\mapsto zvは11からπ\piへの同変作用素であり、v∈H−v\in H_-に対する同じ式の写像はχ\chiからπ\piへの同変作用素である。命題 4.3 (2)を適用すると

Tπ=IH+⊕εIH−.T_\pi=I_{H_+}\oplus\varepsilon I_{H_-}.

したがってε=1\varepsilon=1の場合はTπ=π(e)T_\pi=\pi(e)、ε=−1\varepsilon=-1の場合はTπ=π(s)T_\pi=\pi(s)がすべてのπ\piについて成り立つ。定理 6.1により、二つの評価の族ΦC2(e)\Phi_{C_2}(e)とΦC2(s)\Phi_{C_2}(s)はTκ(C2)\mathcal T_\kappa(C_2)に属する。二つの評価の族は符号表現上で異なるので、Tκ(C2)\mathcal T_\kappa(C_2)はちょうど二つの元からなる。

定義 2.6 条件 (a)を課さずに、SSをRep⁡κ(C2)\operatorname{Rep}_\kappa(C_2)上のユニタリ作用素場とし、命題 4.3により次元がκ\kappa以下の表現へ延長する。S1=aIS_1=aI、Sχ=bIS_\chi=bI（a,b∈Ta,b\in\mathbb T）と書くと、上と同じく写像z↦zvz\mapsto zvに命題 4.3 (2)を適用して、各π∈Rep⁡κ(C2)\pi\in\operatorname{Rep}_\kappa(C_2)についてSπ=aIH+⊕bIH−S_\pi=aI_{H_+}\oplus bI_{H_-}を得る。逆に、(a,b)∈T2(a,b)\in\mathbb T^2に対してaIH+⊕bIH−=a+b2π(e)+a−b2π(s)aI_{H_+}\oplus bI_{H_-}=\frac{a+b}2\pi(e)+\frac{a-b}2\pi(s)はユニタリ作用素であり、例 2.2の二つの族の線形結合は作用素場の定義の等式を満たす。したがって、Rep⁡κ(C2)\operatorname{Rep}_\kappa(C_2)上のユニタリ作用素場の全体は{(aIH+⊕bIH−)π:(a,b)∈T2}\{(aI_{H_+}\oplus bI_{H_-})_\pi:(a,b)\in\mathbb T^2\}であり、定義 2.6 条件 (a)によってa=1a=1、b=±1b=\pm1に絞られる。とくにa≠1a\ne1の作用素場は自明表現上で恒等でないので、系 4.4の仮定のうち定義 2.6 条件 (a)は外すことができない。評価の族がTκ(C2)\mathcal T_\kappa(C_2)を尽くすことは、局所コンパクト群について §E14.23 辰馬双対定理 で示す一般の事実の最初の非自明な場合である。

8 正則成分への制限

命題 8.1.GGを Hausdorff な局所コンパクト群、κ\kappaをmax⁡{dim⁡L2(G),ℵ0}\max\{\dim L^2(G),\aleph_0\}以上の無限基数、λ\lambdaをL2(G)L^2(G)上の左正則表現とし、ΦG\Phi_Gを定理 6.1の標準写像とする。Tκ(G)\mathcal T_\kappa(G)には定義 4.2の位相を入れ、U⁡(L2(G))\Uni(L^2(G))には強作用素位相を入れる。命題 4.3による延長の値TλT_\lambdaを用いて

Ψ ⁣:Tκ(G)⟶U⁡(L2(G)),Ψ(T)=Tλ\Psi\colon\mathcal T_\kappa(G)\longrightarrow \Uni(L^2(G)), \qquad \Psi(T)=T_\lambda

と定める。このとき、次が成り立つ。

  1. Ψ\Psiは連続な群準同型である。
  2. Ψ∘ΦG=λ\Psi\circ\Phi_G=\lambdaであり、Ψ∘ΦG\Psi\circ\Phi_Gは位相的埋込みである。
  3. ΦG ⁣:G→Tκ(G)\Phi_G\colon G\to\mathcal T_\kappa(G)は位相的埋込みである。

証明.主張 (1)を示す。d=dim⁡L2(G)d=\dim L^2(G)とし、標準空間HdH_dへのユニタリ作用素u ⁣:L2(G)→Hdu\colon L^2(G)\to H_dを取る。d≤κd\le\kappaなので、σ=uλu−1\sigma=u\lambda u^{-1}はRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)に属する。命題 4.3により

Tλ=u−1TσuT_\lambda=u^{-1}T_\sigma u

である。したがってΨ\Psiは、成分TσT_\sigmaへの座標射影と、V↦u−1VuV\mapsto u^{-1}Vuとの合成である。座標射影は積位相について連続であり、写像V↦u−1VuV\mapsto u^{-1}Vuの連続性は

∥(u−1Vu−u−1Wu)f∥=∥(V−W)uf∥(f∈L2(G))\|(u^{-1}Vu-u^{-1}Wu)f\|=\|(V-W)uf\| \qquad(f\in L^2(G))

から従う。成分ごとの積の定義によってΨ\Psiは群準同型である。

主張 (2)を示す。任意のx∈Gx\in Gについて

Ψ(ΦG(x))=u−1σ(x)u=λ(x)\Psi(\Phi_G(x))=u^{-1}\sigma(x)u=\lambda(x)

である。§E14.10 定理 3.3によりλ\lambdaは位相的埋込みである。

主張 (3)を示す。合成Ψ∘ΦG=λ\Psi\circ\Phi_G=\lambdaの単射性からΦG\Phi_Gは単射である。定理 6.1 (3)によってΦG\Phi_Gは連続であり、その像上の逆写像はλ(G)\lambda(G)上の連続写像λ−1\lambda^{-1}とΨ∣ΦG(G)\Psi|_{\Phi_G(G)}の合成である。したがってΦG\Phi_Gも位相的埋込みである。▨

例 8.2. 区間[0,1][0,1]の向きを保つ同相写像全体が合成について成す群をG=H+[0,1]G=H_+[0,1]とし、GGにコンパクト開位相を入れる。このとき、GGは Hausdorff 位相群であり、任意の無限基数κ\kappaについて標準写像ΦG ⁣:G→Tκ(G)\Phi_G\colon G\to\mathcal T_\kappa(G)は単射でない。

実際、§E2.30 定理 2.8により、この位相は一様距離d∞(f,g)=sup⁡t∈[0,1]∣f(t)−g(t)∣d_\infty(f,g)=\sup_{t\in[0,1]}|f(t)-g(t)|の定める位相であるから、Hausdorff である。f,f′,g,g′∈Gf,f',g,g'\in Gについて

d∞(f∘g,f′∘g′)≤sup⁡t∈[0,1]∣f(g(t))−f(g′(t))∣+d∞(f,f′),d∞(f−1,g−1)=sup⁡t∈[0,1]∣f−1(g(t))−f−1(f(t))∣d_\infty(f\circ g,f'\circ g')\le\sup_{t\in[0,1]}|f(g(t))-f(g'(t))|+d_\infty(f,f'),\qquad d_\infty(f^{-1},g^{-1})=\sup_{t\in[0,1]}|f^{-1}(g(t))-f^{-1}(f(t))|

であり、ffとf−1f^{-1}は一様連続であるから、合成と逆元は連続である。したがってGGは Hausdorff 位相群である。

Megrelishvili [1] は、GGが反射的 Banach 空間上の非自明な弱連続等長表現をもたないことを示した。Hilbert 空間は反射的であり、強連続ユニタリ表現は弱連続な等長表現であるから、GGの強連続ユニタリ表現はすべて自明表現である。したがって、無限基数κ\kappaについてRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)の元はすべて自明表現であり、系 4.4によりTκ(G)\mathcal T_\kappa(G)は恒等作用素の族だけからなる。t↦t2t\mapsto t^2はGGの単位元でない元であるから、標準写像ΦG ⁣:G→Tκ(G)\Phi_G\colon G\to\mathcal T_\kappa(G)は単射でない。よって、命題 8.1 (3)は局所コンパクト性の仮定を外すと成り立たない。

9 演習

問題 9.1.n≥1n\ge1とし、CnC_nを生成元ssをもつ位数nnの巡回群に離散位相を入れたものとする。無限基数κ\kappaについて、定理 6.1の標準写像ΦCn ⁣:Cn→Tκ(Cn)\Phi_{C_n}\colon C_n\to\mathcal T_\kappa(C_n)が位相群としての同型であることを示せ。

解答.

ζ=e2πi/n\zeta=e^{2\pi i/n}とし、k∈Z/nZk\in\Z/n\Zに対してχk(s)=ζk\chi_k(s)=\zeta^kで定まる一次元表現をχk\chi_kと書く。π∈Rep⁡κ(Cn)\pi\in\operatorname{Rep}_\kappa(C_n)とU=π(s)U=\pi(s)についてPk=1n∑j=0n−1ζ−jkUjP_k=\frac1n\sum_{j=0}^{n-1}\zeta^{-jk}U^jとおくと、Un=IU^n=Iとユニタリ性から、PkP_kは互いに直交する射影であり、∑kPk=I\sum_kP_k=I、UPk=ζkPkUP_k=\zeta^kP_kを満たす。Hk=PkHπH_k=P_kH_\piとおくと、Hπ=⨁kHkH_\pi=\bigoplus_kH_kであり、π(s)∣Hk=ζkIHk\pi(s)|_{H_k}=\zeta^kI_{H_k}である。

T∈Tκ(Cn)T\in\mathcal T_\kappa(C_n)を取り、命題 4.3により次元がκ\kappa以下の表現へ延長して、Tχk=εkIT_{\chi_k}=\varepsilon_kIと書く。v∈Hkv\in H_kに対する写像z↦zvz\mapsto zvはχk\chi_kからπ\piへの有界同変作用素であるから、命題 4.3 (2)によりTπ∣Hk=εkIHkT_\pi|_{H_k}=\varepsilon_kI_{H_k}である。系 4.4によりε0=1\varepsilon_0=1である。写像a⊗b↦aba\otimes b\mapsto abはχj⊗χk\chi_j\otimes\chi_kからχj+k\chi_{j+k}へのユニタリ同変作用素であるから、命題 4.3 (3)と命題 4.3 (2)によりεj+k=εjεk\varepsilon_{j+k}=\varepsilon_j\varepsilon_kである。したがってεk=ε1k\varepsilon_k=\varepsilon_1^kであり、ε1n=ε0=1\varepsilon_1^n=\varepsilon_0=1であるから、ε1=ζm\varepsilon_1=\zeta^mを満たすm∈{0,…,n−1}m\in\{0,\ldots,n-1\}が存在する。このとき各π\piについてTπ∣Hk=ζmkIHk=π(sm)∣HkT_\pi|_{H_k}=\zeta^{mk}I_{H_k}=\pi(s^m)|_{H_k}であり、T=ΦCn(sm)T=\Phi_{C_n}(s^m)である。よってΦCn\Phi_{C_n}は全射である。

ΦCn(sm)χ1=ζm\Phi_{C_n}(s^m)_{\chi_1}=\zeta^mはm∈{0,…,n−1}m\in\{0,\ldots,n-1\}ごとに異なるので、ΦCn\Phi_{C_n}は単射である。定理 6.1 (3)によりΦCn\Phi_{C_n}は群準同型であるから、群の同型である。CnC_nは離散であり、定理 6.1 (1)によりTκ(Cn)\mathcal T_\kappa(C_n)は有限な Hausdorff 空間であるから離散である。したがってΦCn\Phi_{C_n}は位相群としての同型である。▨

問題 9.2.GGを Hausdorff 位相群、κ\kappaを無限基数とし、TTをRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)上の作用素場とする。sup⁡π∈Rep⁡κ(G)∥Tπ∥<∞\sup_{\pi\in\operatorname{Rep}_\kappa(G)}\|T_\pi\|<\inftyであることを示せ。

解答.

sup⁡π∥Tπ∥=∞\sup_\pi\|T_\pi\|=\inftyと仮定し、各n∈N≥0n\in\Nについて∥Tπn∥≥n\|T_{\pi_n}\|\ge nを満たすπn∈Rep⁡κ(G)\pi_n\in\operatorname{Rep}_\kappa(G)を取る。§E12.7 命題 1.6 (1)により、各HπnH_{\pi_n}の標準基底の和集合は Hilbert 直和⨁n∈N≥0Hπn\bigoplus_{n\in\N}H_{\pi_n}の完全正規直交系であり、その濃度ddはℵ0⋅κ=κ\aleph_0\cdot\kappa=\kappa以下である。この完全正規直交系をHdH_dの標準基底へ送るユニタリ作用素をwwとすると、§E14.8 命題 3.1によりσ=w(⨁nπn)w−1\sigma=w(\bigoplus_n\pi_n)w^{-1}はRep⁡κ(G)\operatorname{Rep}_\kappa(G)に属する。w−1w^{-1}はσ\sigmaから⨁nπn\bigoplus_n\pi_nへのユニタリ同変作用素であるから、命題 2.3 (1)によりすべてのnnについてn≤∥Tπn∥≤∥Tσ∥n\le\|T_{\pi_n}\|\le\|T_\sigma\|である。これはTσT_\sigmaが有界作用素であることに反する。したがってsup⁡π∥Tπ∥<∞\sup_\pi\|T_\pi\|<\inftyである。▨

参考文献

  1. Michael G. Megrelishvili, Every semitopological semigroup compactification of the group H₊[0,1] is trivial, Semigroup Forum 63 (2001), no. 3, 357–370.区間の向きを保つ同相写像の群が反射的 Banach 空間上の非自明な弱連続等長表現をもたないという結果を、標準写像が単射でない例に用いた。

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