§E14.20誘導表現

証明.$u$の台を$A$とする。$x$がコンパクト集合$B\subseteq G$を動くとき、積分に寄与する$h$は$B^{-1}A\cap H$に属する。強連続性とユニタリ性から$(x,h)\mapsto\pi(h)u(xh)$は連続である。コンパクト集合の連続像はノルムに関してコンパクトであり、有限の$1/n$網の合併によって可分である。したがって各切り口は強可測であり、§E10.18 定理 2.4により Bochner 可積分である。コンパクト集合上の一様な連続性と§E10.18 命題 4.3により$Pu$は連続である。

左不変性と§E10.18 命題 5.2により

また$q(\supp Pu)\subseteq q(A)$である。§E14.6 補題 2.1の非負関数$\theta$を取ると、任意の$F\in\mathcal C_c(G,H,\pi)$に対して$u=\theta F$はコンパクトな台をもち、$Pu=F$となる。

$x\in G$、$v\in E$、$\ep>0$を固定する。強連続性により、$h\in H$が単位元に十分近ければ$\|\pi(h)v-v\|<\ep$である。§E10.32 補題 1.2により、そのような$h$だけが$xh\in\supp\phi$を満たす非負関数$\phi\in C_c(G)$を、$\phi(x)>0$となるように取る。$\int_H\phi(xh)\,dh=1$と正規化すれば、$u(y)=\phi(y)v$に対して$\|(Pu)(x)-v\|<\ep$となる。▨

証明. ρ関数の存在と商測度の存在は§E14.6 定理 2.3と§E14.6 定理 3.2による。共変性と$\pi(h)$のユニタリ性から、被積分関数は代表元に依存しない連続関数であり、コンパクトな台をもつ。

商測度は任意の非空開集合に正の値を与える。実際、その開集合の逆像に台をもつ非負非零の$u\in C_c(G)$を取れば、商積分公式の左辺$\int_Gu\rho\,dx$は正であり、右辺の被積分関数の台は当該開集合に含まれる。したがって$F\ne0$ならば$\|F\|_\rho>0$であり、内積は正定値である。

$r_a(xH)=\rho(ax)/\rho(x)$とおく。ρ関数の変換則により$r_a$は剰余類上の正の連続関数であり、$U_\rho(a)F$も共変切断となる。§E14.6 定理 3.2の測度変換公式から

また$r_{a^{-1}}(xH)r_{b^{-1}}(a^{-1}xH)=r_{(ab)^{-1}}(xH)$なので、$U_\rho(a)U_\rho(b)=U_\rho(ab)$である。逆作用素は$U_\rho(a^{-1})$であり、完成への等長延長はユニタリである。

$F\in\mathcal C_c(G,H,\pi)$とし、$C=q(\supp F)$とする。コンパクト単位元近傍$B$を取ると、$a\in B$に対する$U_\rho(a)F-F$の商上の台はコンパクト集合$D=BC$に含まれる。関数

は連続である。実際、ノルムの中の差は$x$の右移動に対して$\pi(h)^{-1}$だけ変化するので、ノルムは剰余類上に降りる。商写像$q$が開写像であることから$\operatorname{id}_G\times q$も商写像である。$a=e$における値は0であるから、$D$の有限被覆を用いて、この関数は$a\to e$のとき$D$上で一様に0へ収束すると分かる。よって

任意の$\xi\in\mathcal H_\rho$に対して、共変切断$F$による近似と

を用いれば、完成上でも強連続性が従う。▨

証明.§E14.6 定理 6.2により$d\nu_{\rho_2}=s\,d\nu_{\rho_1}$である。したがって$V$は共変切断の空間の間の全射等長写像であり、完成の間のユニタリ写像へ延長される。また

なので、$VU_{\rho_1}(a)=U_{\rho_2}(a)V$である。▨

証明.$f=\rho^{1/2}F$の共変性はρ関数の変換則による。商積分公式をコンパクトな台をもつ関数$\theta\|f\|^2/\rho$に適用すると

右辺は$\theta$に依存しない。群作用の式は$\rho(x)^{1/2}(U_\rho(a)F)(x)=f(a^{-1}x)$から従う。$Q_{G,H}$の連続性と共変性は補題 1.2の積分の計算に正の連続指標$d_{G,H}^{-1/2}$を入れて得られる。$f\in\mathcal D_c(G,H,\pi)$に対して$u=\theta f$と取れば$Q_{G,H}u=f$である。▨

証明.$u\in C_c(G,E)$の像はコンパクトである。§E10.32 補題 1.4を、$u$の値の変動が$\ep$未満となる有限個の開集合へ適用する。すると、共通のコンパクト集合$A$に台をもち、$u$に一様収束する有限和$u_n=\sum_j\phi_{n,j}v_{n,j}$を得る。

$Q_{G,H}u_n$は$Q_{G,H}u$に誘導ノルムで収束する。これを確かめるため、$\theta$を固定し、$B=\supp\theta\cap q^{-1}(q(A))$とおく。$B$はコンパクトであり、$x\in B$における平均化の積分にはコンパクト集合$M=B^{-1}A\cap H$だけが寄与する。したがって

$Q_{G,H}$の全射性と完成の定義から結論を得る。$v_j$を$E$の任意の稠密部分空間に制限しても、同じ評価により稠密性は保たれる。▨

証明.$\sigma=\operatorname{Ind}_H^K\pi$とし、その Hilbert 空間を$E_K$とする。$f\in\mathcal D_c(G,H,\pi)$に対して

である。各$x$について右辺の関数は$K/H$上でコンパクトな台をもつ。実際、$C=q_H(\supp f)$のコンパクトな持上げ$A\subseteq G$を取ると、$f(xk)\ne0$ならば$kH\in q_H(x^{-1}A\cap K)$である。ここでコンパクトな持上げの存在は§E14.6 補題 2.1による。

さらに$x$をコンパクト近傍$B$内で動かせば、$K/H$上の台は$q_H(B^{-1}A\cap K)$に含まれる。この集合もコンパクトである。$K/H$上のこの集合をコンパクト集合へ持ち上げてノルムを計算すると、$f$の連続性と有限被覆による一様な評価から$x\mapsto(Jf)(x)$は$E_K$のノルムに関して連続である。また

$G/K$上の台は$C$の像に含まれるから、$Jf\in\mathcal D_c(G,K,\sigma)$である。

$\theta_{G,K}$と$\theta_{K,H}$を、それぞれの商に対する正規化された補助関数とする。二段階のノルムは

となる。この被積分関数の台はコンパクトである。実際、$xk\in AH$ならば、$x$は$\supp\theta_{G,K}$と$q_K^{-1}(q_K(A))$の交わりに属する。この交わりを$B$とすると、$kH$はコンパクト集合$q_H(B^{-1}A\cap K)$に属する。$\theta_{K,H}$の台の性質によって$k$も共通のコンパクト集合に属する。

したがって§E10.36 補題 1.1により積分順序を交換することができる。$y=xk$と置き、§E14.5 定理 1.2と§E14.5 定理 2.1を用いると

関数$\theta'$は連続かつ非負である。$y$がコンパクト集合を動くとき、$\theta_{G,K}(yl)\ne0$となる$l$は共通のコンパクト集合に属するため、積分から連続性が従う。任意のコンパクト集合$C_0\subseteq G/H$に対し、その$G/K$への像を$C_K$とする。$yH\in C_0$かつ被積分関数が非零ならば、$z=yl$は$\supp\theta_{G,K}\cap q_K^{-1}(C_K)$に属する。$C_0$のコンパクトな持上げを取ると$l^{-1}H=z^{-1}yH$もコンパクト集合に属するので、$\theta_{K,H}$の性質から$l^{-1}$、従って$y$はコンパクト集合に属する。よって$\supp\theta'\cap q_H^{-1}(C_0)$はコンパクトである。

左不変性による置換$u=hl$と$\theta_{K,H}$の正規化から

この積分交換にも共通のコンパクトな台がある。具体的には、$u$は$\theta_{G,K}(yu)\ne0$となるコンパクト集合に属し、$u^{-1}h$は$\theta_{K,H}$の台と、その集合の$K/H$への逆像との交わりに属する。したがって$\theta'$は正規化された補助関数であり、命題 3.1により$\|Jf\|=\|f\|$である。

補題 3.2により、二段階の空間では$Q_{G,K}(\phi\eta)$の有限和が稠密である。ただし$\phi\in C_c(G)$、$\eta\in\mathcal D_c(K,H,\pi)$とする。このような一組について

とおく。$y$をコンパクト近傍に制限すると$yl\in\supp\phi$によって$l$は共通のコンパクト集合に属するので、$f$は連続である。$l$の置換と$\eta$の共変性から

を得る。また$f(y)\ne0$ならば、$yH$はコンパクト集合$(\supp\phi)\,q_H(\supp\eta)$に属する。よって$f\in\mathcal D_c(G,H,\pi)$である。$k=tl$と置換すると

上の積分は$E_K$における Bochner 積分とも一致する。実際、積分変数$k$を共通のコンパクト集合に制限し、連続な被積分関数を有限和で一様近似すると、点ごとの積分と$E_K$のノルムにおける積分の双方が同じ有限和の極限となる。したがって$J$の像は稠密であり、等長性により完成の間のユニタリ写像へ延長される。最後に

であるから、$J$は群作用を交換する。▨

証明. コンパクト群とその閉部分群はユニモジュラーなので、$\rho=1$とすることができる。$A$が$H$の作用を交換すれば

であり、$T_Av$は連続な共変切断である。$\|T_Av\|\leq\|A\|\|v\|$から$T_A$は有界であり、式の代入によって$T_A\sigma(a)=L(a)T_A$を得る。

逆向きには、同変作用素$T:V\to\operatorname{Ind}_H^G\pi$を取る。$\chi_\sigma(a)=\operatorname{tr}\sigma(a)$とし、$\psi(a)=d\overline{\chi_\sigma(a)}$とおく。連続切断に対して

と定める。Weil の積分公式により$\|F\|_{L^2(G,E)}=\|F\|_{L^2(G/H,E)}$であり、Cauchy–Schwarz の不等式から

となる。$\psi$の連続性により$S_\psi F$は連続である。この評価から$S_\psi$は完成の各ベクトルに対して連続な共変切断を与える。実際、連続切断による近似列の像は一様 Cauchy 列になり、その一様極限が所要の連続切断である。

§E14.18 定理 4.1により$\int_G\psi(a)\sigma(a)\,da=I_V$である。したがって、同変作用素$T$と Bochner 積分の交換により

ゆえに$Tv$の連続代表元$F_v$が得られる。連続代表元は一意である。二つの代表元の差がある点で非零ならば、そのノルムはある非空開集合上で正となり、Haar 測度の正値性に反するからである。

$Av=F_v(e)$と定める。$V$は有限次元なので$A$は有界である。連続代表元の一意性により

がすべての$a,x$で成り立つ。$a=h\in H$、$x=e$と置くと$A\sigma(h)=\pi(h)A$を得る。また$a=x^{-1}$として単位元で評価すれば$F_v(x)=A\sigma(x^{-1})v$である。したがって$T=T_A$であり、二つの対応は相互に逆である。

§E14.8 定理 4.6により$T_B^*T_A$はスカラー作用素である。そのトレースを計算すると

よって内積も保存される。最後に§E14.18 定理 5.2による直交直和分解にこの同変作用素空間の同一視を適用すると、主張 (3)を得る。▨

証明. 自明表現の共変切断は$C_c(G/H)$と同一視される。§E10.34 定理 1.2により、その完成は$L^2(G/H,\nu_\rho)$である。作用式は§E14.6 命題 7.1の式と一致する。コンパクト群の場合は定理 5.1を適用する。$H$不変な線形汎関数$V_\sigma\to\C$は$V_\sigma^H$の双対と同型である。実際、$P_Hv=\int_H\sigma(h)v\,dh$は$V_\sigma^H$への直交射影であり、すべての$H$不変な線形汎関数$A$は$A=AP_H$を満たす。▨

証明. 開部分群は閉でもあり、$G/H$は離散である。$G$の Haar 測度を$H$へ制限すれば$H$の Haar 測度を得るので、右移動の公式から$\Delta_G|_H=\Delta_H$となる。よって$\rho=1$とし、商測度を数え上げ測度とすることができる。

各剰余類は開集合であり、$s(z)h\mapsto\pi(h)^{-1}\xi_z$は連続である。したがって有限個の剰余類だけで非零の切断は、直和の有限台ベクトルと一対一に対応する。ノルムは$\sum_z\|\xi_z\|^2$に一致するので、完成によって Hilbert 直和を得る。作用式は$F(a^{-1}s(z))$に共変性を適用した式である。▨

証明. 群法の結合性は、第三座標の交差項について

が成り立つことによる。単位元は$(0,0,0)$、逆元は

である。左右の移動の Euclid 座標に関する Jacobian は1なので、$dq\,dp\,dt$は左右 Haar 測度である。$H$の Haar 測度は$dp\,dt$であり、$G/H$は$q$座標によって$\R^n$と同相である。商測度は$dq$であり、$\rho=1$と取る。

連続切断$s(x)=(x,0,0)$を取ると

である。したがって共変切断は$f(x)=F(s(x))$によって

と表される。これは誘導空間を$L^2(\R^n,dx)$と等長に同一視する。$a=(q,p,t)$に対して

なので

したがって、上の等長同一視は誘導表現と表示された作用$S_\lambda$を交換する。定理 2.1により誘導表現は強連続ユニタリ表現なので、この同一視は所要のユニタリ同値である。▨

証明.§E14.5 例 5.1により、$G$は局所コンパクト群であり、$\Delta_G=1$である。$P$は$G$の閉部分群である。$P$の元を

と書くと、積は$(v,t)(v',t')=(v+t^2v',tt')$である。変数変換から$|t|^{-3}\,dv\,dt$は左 Haar 測度となり、右移動の係数は$\Delta_P(n(v)a(t))=|t|^{-2}$である。

命題 3.1の共変関数は

を満たす。$k_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$とおく。任意の$x\in G$の第一列を$r e_\theta$、$r>0$と書けば、$k_\theta^{-1}x$は第一対角成分$r$の上三角行列である。したがって$f$は$\varphi(\theta)=f(k_\theta)$によって定まり、$k_{\theta+\pi}=-k_\theta$から$\varphi(\theta+\pi)=(-1)^\varepsilon\varphi(\theta)$を得る。

商$G/P$は第一列が張る直線によって実射影直線と同一視される。関数

は組$(G,P)$のρ関数であり、$\rho(k_\theta)=1$である。$g^{-1}e_\theta=r_g(\theta)e_{\theta_g}$を微分し、$\det g=1$を用いると

したがって射影直線上の角測度$d\theta$は、$\rho$に対応する変換密度をもつ。

この角測度を$\nu_\rho$とするように Haar 測度を正規化することができる。実際、角測度を$\nu$とし、§E14.6 補題 4.1による持上げを$\nu^\#$とすると、その左移動の密度は$\rho(ax)/\rho(x)$である。これは角測度の変換式を部分群積分へ代入して得られる。よって$\rho^{-1}\nu^\#$は非零の左不変 Radon 測度であり、$G$の左 Haar 測度となる。この正規化で商積分公式が成り立つ。

以上から円周上のノルムと作用式を得る。Jacobian の式と$|r^{-i\tau}|=1$により

であり、ユニタリ性も直接確かめられる。強連続性は定理 2.1による。

実直線の座標には

を用いる。$e_\theta=(u,1)^{\mathsf T}/\sqrt{1+u^2}$、$0<\theta<\pi$とすれば

したがって$\varphi\mapsto[u\mapsto f(s(u))]$は$L^2(\R,du)$へのユニタリ写像である。連続な円周関数の制限を完成してこの写像を得る。全射性は、任意の$C_c(\R)$の関数が上の式によって射影直線の欠けた一点の近傍で0となる連続切断へ延長されることと、§E10.34 定理 1.2による。

最後に$g^{-1}s(u)$の第一列は$(du-b,a-cu)^{\mathsf T}$である。$a-cu\ne0$のとき