§E14.12Gelfand–Raikov の定理

証明.$\psi\preceq\varphi$を満たす$\psi\in P(G)$を取る。§E14.11 定理 2.2の$\psi$を表す巡回対を$(\pi_\psi,H_\psi,v_\psi)$とする。$H_\varphi$の稠密部分空間

の元$\xi=\sum_i c_i\pi_\varphi(x_i)v_\varphi$に対して、$\varphi-\psi$の正定値性から

である。したがって、左辺のベクトルは$\xi$の表示に依存しない。写像

は線形であり、$\|C_0\xi\|\leq\|\xi\|$を満たす。

§E10.4 系 2.2により$C_0$を連続に延長し、縮小作用素$C\colon H_\varphi\to H_\psi$を得る。$T=C^*C$と置くと、

である。生成元上で$C_0\pi_\varphi(a)=\pi_\psi(a)C_0$となるので、稠密性により$C\pi_\varphi(a)=\pi_\psi(a)C$である。この等式を$a^{-1}$に適用して随伴を取ると

となる。よって$T\pi_\varphi(a)=\pi_\varphi(a)T$であり、$T$は可換子環に属する。また、$Cv_\varphi=v_\psi$と同変性により

逆に、$T\in\pi_\varphi(G)'$が$0\leq T\leq I$を満たすとする。任意の有限個の$x_i\in G$と$c_i\in\C$に対して、$\xi=\sum_i c_i\pi_\varphi(x_i)v_\varphi$と置けば

である。$T$を$I-T$に替えれば$\varphi-\psi_T$の正定値性も従う。両関数は強連続表現の係数なので連続である。よって$\psi_T\preceq\varphi$である。

さらに、任意の$x,y\in G$に対して

である。巡回性と有界性から、右辺は$T$を一意に定める。したがって対応は単射でもある。▨

証明.$\pi_\varphi$が既約であるとする。$\psi,\theta\in P_1(G)$と$0<t<1$が$\varphi=t\psi+(1-t)\theta$を満たすならば、$t\psi\preceq\varphi$である。定理 1.2により、ある正縮小作用素$T\in\pi_\varphi(G)'$が存在して

となる。§E14.8 定理 4.6により$T=cI$である。$x=e$における等式と$\|v_\varphi\|=1$から$c=t$であるため、$\psi=\varphi$である。元の分解に代入すると$\theta=\varphi$でもある。したがって$\varphi$は端点である。

$\varphi$が$P_1(G)$の端点であるとし、$\pi_\varphi$が非零の真の閉不変部分空間$M$をもつと仮定する。§E14.8 命題 4.2により、$M$への直交射影$P$は可換子環に属する。巡回性から$Pv_\varphi\ne0$かつ$(I-P)v_\varphi\ne0$である。実際、$Pv_\varphi=0$ならば$P\pi_\varphi(x)v_\varphi=0$がすべての$x$に成り立ち、稠密性から$P=0$となる。$I-P$についても同じ推論を適用する。

よって$t=\|Pv_\varphi\|^2$と置くと$0<t<1$である。定理 1.2の対応を使い、

と置けば、$\psi,\theta\in P_1(G)$であり$\varphi=t\psi+(1-t)\theta$である。端点性から$\psi=\varphi$となるため、$\psi_P=t\varphi=\psi_{tI}$である。同じ対応の一意性から$P=tI$を得る。しかし$P^2=P$なので$t^2=t$となり、$0<t<1$に反する。したがって$\pi_\varphi$は既約である。

$0=t\psi+(1-t)\theta$、$\psi,\theta\in P_{\leq1}(G)$、$0<t<1$ならば、単位元での非負性から$\psi(e)=\theta(e)=0$である。§E14.11 命題 1.2により$\psi=\theta=0$なので、$0$は端点である。$0<\varphi(e)=s<1$ならば

は異なる二元による真の凸結合なので、$\varphi$は$P_{\leq1}(G)$の端点でない。

$\varphi(e)=1$かつ$\varphi=t\psi+(1-t)\theta$が$P_{\leq1}(G)$内の真の凸結合ならば、単位元における値から$\psi(e)=\theta(e)=1$である。したがって$P_1(G)$は$P_{\leq1}(G)$の面であり、$P_1(G)$の端点と$P_{\leq1}(G)$の非零の端点は一致する。▨

証明.§E14.11 定理 3.2により、$\varphi\mapsto\ell_\varphi$は$P_{\leq1}(G)$を

へアフィン同型に写す。固定した$f\in L^1(G)$に対して$\ell\mapsto\ell(f^* * f)$は＊弱連続である。したがって$K$は双対の閉単位球の＊弱閉部分集合である。§E12.29 系 4.3により双対の閉単位球は＊弱コンパクトなので、$K$もコンパクトである。定義した位相によって$P_{\leq1}(G)$と$K$は同相であり、凸性は正性とノルムの条件から従う。▨

証明.$\varphi_i\to\varphi$がコンパクト集合上で一様であるとする。$f\in L^1(G)$に対して、§E10.35 補題 4.1によって$g\in C_c(G)$を$L^1$ノルムで$f$に近づけることができる。$|\varphi_i|,|\varphi|\leq1$なので

である。$g=0$の場合には最後の項を零とする。$\|f-g\|_1$を任意に小さくすることができるため、$\ell_{\varphi_i}(f)\to\ell_\varphi(f)$が従う。

逆に、$\ell_{\varphi_i}\to\ell_\varphi$が＊弱収束するとする。$\delta>0$を固定する。$\varphi(e)=1$と連続性により、§E14.7 定理 4.3の近似単位の元$u$を

となるように取る。＊弱収束によって、十分先の$i$について$1-\Re\ell_{\varphi_i}(u)<2\delta$である。

$\eta\in P_1(G)$を取り、その巡回対を$(\pi_\eta,H_\eta,v_\eta)$とする。§E14.10 定理 1.2により$\|\pi_\eta(u)\|\leq1$なので、

である。また、同じ積分形の平行移動の等式から、すべての$x\in G$に対して

である。したがって

空でないコンパクト集合$C\subseteq G$を固定する。§E14.7 定理 1.2により$\{L_xu:x\in C\}$は$L^1(G)$のノルムコンパクト集合である。任意の$\varepsilon>0$に対し、この集合を中心$f_1,\ldots,f_m$、半径$\varepsilon$の有限個のノルム球で覆う。$\|\ell_{\varphi_i}\|=\|\ell_\varphi\|=1$なので、

右辺の最大値は零に収束する。$\varepsilon$は任意なので、左辺も零に収束する。

平均による評価を$\eta=\varphi_i,\varphi$に適用すると、十分先の$i$について

である。$\delta$を任意に小さくすることができるため、$\varphi_i\to\varphi$は$C$上一様である。両位相で収束するネットとその極限が一致するので、両位相は一致する。▨

証明.$\|\xi_n\|_2=1$であり、区間$[x,x+1/n]$と$[0,1/n]$の共通部分の長さを計算すると

である。§E14.10 定理 3.1と§E14.11 定理 2.2により$\varphi_n\in P_1(\R)$である。$g\in C_c(\R)$について

となる。$|\varphi_n|\leq1$と$C_c(\R)$の$L^1$稠密性から、この収束はすべての$g\in L^1(\R)$に対して成り立つ。零関数は$P_1(\R)$に属さないため、$P_1(\R)$は＊弱閉でない。＊弱位相は Hausdorff なので、そのコンパクト部分集合は閉である。よって$P_1(\R)$はコンパクトでない。▨

証明.$a=y^{-1}x$と置くと$a\ne e$である。§E14.10 定理 3.3により$\lambda(a)\ne I$なので、$\lambda(a)\xi\ne\xi$を満たす単位ベクトル$\xi\in L^2(G)$を取ることができる。§E14.11 定理 2.2により

は$P_1(G)$に属する。また、

なので$\psi(a)\ne\psi(e)$である。

§E14.7 定理 4.3の近似単位$(u_U)$を取る。左 Haar 測度の不変性と$\psi$の連続性から

したがって、ある$U$が存在して、$f=L_au_U-u_U$と置けば$\ell_\psi(f)\ne0$となる。

定理 3.2により、$P_{\leq1}(G)$は双対の＊弱位相における空でないコンパクト凸集合である。＊弱位相は半ノルム$\ell\mapsto|\ell(h)|$（$h\in L^1(G)$）で定まり、これらの半ノルムは点を分離するため、Hausdorff かつ局所凸である。§E12.31 定理 2.3によって、$P_{\leq1}(G)$はその端点の閉凸包に一致する。

$\ell\mapsto\ell(f)$は＊弱連続線形汎関数である。すべての端点でこの汎関数が零ならば、閉凸包全体でも零となり、$\ell_\psi(f)\ne0$に反する。よって

を満たす$\varphi$が存在する。$\varphi\ne0$なので、定理 2.1により$\varphi\in P_1(G)$であり、その巡回表現$\pi_\varphi$は既約である。

もし$\pi_\varphi(a)=I$ならば、§E14.10 定理 1.2により

である。したがって$\ell_\varphi(f)=\langle\pi_\varphi(f)v_\varphi,v_\varphi\rangle=0$となり、$\varphi$の選び方に反する。よって$\pi_\varphi(a)\ne I$であり、準同型性から$\pi_\varphi(x)\ne\pi_\varphi(y)$である。▨

証明. 可測関数の演算は可測性を保つので、加法と反転はほとんど至る所での同値類上の演算を定める。同値類$f,g$に対して

と置く。被積分関数の可測性は§E10.7 命題 4.1と連続関数との合成から従う。$d(f,g)=0$であることは$f=g$がほとんど至る所で成り立つことと同値である。また、非負実数$a,b$に対する$\min\{1,a+b\}\leq\min\{1,a\}+\min\{1,b\}$から三角不等式を得る。したがって$d$は平行移動不変な距離である。$0<\varepsilon<1$に対して

であるから、この距離は§E10.21 定義 1.3の測度収束を定める。さらに

であるから群演算は連続である。定数関数$1$の同値類は零でなく、$L^0$は非自明である。

連続準同型$\chi\colon L^0\to\mathbb T$を取る。$1$の開近傍$A=\{z\in\mathbb T:\Re z>1/2\}$に対して、ある$r>0$が存在し、$d(f,0)<r$ならば$\chi(f)\in A$となる。$m(E)<r$を満たす可測集合$E$の外で零となる関数$f$に対しては、すべての$n\in\Z$について

である。したがって$\chi(f)^n\in A$がすべての$n$について成り立つ。

すべての整数冪が$A$に属する$z\in\mathbb T$は$1$に限る。実際、$z=e^{i\theta}$、$-\pi<\theta\leq\pi$と書くと、$z\in A$から$|\theta|<\pi/3$である。$\theta\ne0$ならば、$n|\theta|\geq\pi/3$を満たす最小の正整数$n$に対して$\pi/3\leq n|\theta|<2\pi/3$となり、$z^n\notin A$という矛盾を得る。よって、$E$に台をもつ$f$に対して$\chi(f)=1$である。

$[0,1]$を測度が$r$より小さい有限個の互いに交わらない可測集合$E_1,\ldots,E_N$に分ける。任意の$f\in L^0$について$f=\sum_{j=1}^N f\mathbf1_{E_j}$であり、各項の指標の値は$1$であるから、$\chi(f)=1$となる。したがって連続指標はすべて自明である。§E14.8 系 4.9により、$L^0$の非零既約ユニタリ表現は一次元の連続指標である。よって既約表現は点を分離しない。もし$L^0$が局所コンパクトならば、定理 4.1は定数関数$0$と$1$の同値類を分離する既約表現を与える。これは連続指標の自明性に反する。▨

証明.$E=\operatorname{ext}P_1(G)$と置く。$E$は関数集合$\C^G$の部分集合なので集合である。各$\varphi\in E$に対し、§E14.11 定理 2.2の有限形式和の商とその完備化による構成を用いて$(\pi_\varphi,H_\varphi,v_\varphi)$を定める。構成は各関数から一つの巡回対を定めるので、これらの巡回対は$E$で添字付けられた集合族をなす。定理 2.1により各$\pi_\varphi$は既約である。

$I=E\sqcup\{*\}$を非交和とし、$\pi_*=\lambda$、$H_*=L^2(G)$と定める。すべての成分が連続な群準同型なので、$J$は連続な群準同型である。§E14.10 定理 3.3により$\lambda$は単射なので、$J$も単射である。積から第$*$成分への射影を$p_*$とすると、$J(G)$上の逆写像は

の合成である。第1の写像は積の射影の制限として連続であり、第2の写像は同じ定理により連続である。したがって$J$は位相的埋込みである。▨