§E14.11正定値関数

最終更新

ユニタリ表現では、一つのベクトルと群の各元によるその像との内積が、群上の複素数値関数を定める。逆に、群上の関数から表現を構成するためには、関数の値が満たすべき条件を明らかにする必要がある。関数の値に課すこの条件を、正定値性という。たとえば、実数の加法群上の関数x↦eixx\mapsto e^{ix}は正定値関数である。本記事では、正定値関数の基本的な性質と、表現および正線形汎関数との関係を扱う。

1 定義と基本不等式

定義 1.1 (正定値関数).GGを単位元eeをもつ群とする。関数φ ⁣:G→C\varphi\colon G\to\Cが 正定値 (positive definite function) であるとは、任意の正整数nn、任意のx1,…,xn∈Gx_1,\ldots,x_n\in Gおよびc1,…,cn∈Cc_1,\ldots,c_n\in\Cに対して

∑i,j=1ncicj‾φ(xj−1xi)∈R≥0\sum_{i,j=1}^n c_i\overline{c_j}\varphi(x_j^{-1}x_i)\in\R_{\geq0}

となることをいう。

命題 1.2.GGを群、φ ⁣:G→C\varphi\colon G\to\Cを正定値関数とする。このとき、任意のx,y∈Gx,y\in Gに対して、次が成り立つ。

  1. φ(e)≥0\varphi(e)\geq0である。
  2. φ(x−1)=φ(x)‾\varphi(x^{-1})=\overline{\varphi(x)}である。
  3. ∣φ(x)∣≤φ(e)|\varphi(x)|\leq\varphi(e)である。特に、φ(e)=0\varphi(e)=0ならばφ=0\varphi=0である。
  4. 次の不等式が成り立つ。 ∣φ(x)−φ(y)∣2≤2φ(e)(φ(e)−ℜφ(y−1x))|\varphi(x)-\varphi(y)|^2 \leq2\varphi(e)\bigl(\varphi(e)-\Re\varphi(y^{-1}x)\bigr)

証明.GGの元を基底記号δx\delta_xとする複素ベクトル空間VVを取り、有限形式和に対して

Bφ(∑iciδxi,∑jdjδyj)=∑i,jcidj‾φ(yj−1xi)B_\varphi\left(\sum_i c_i\delta_{x_i},\sum_j d_j\delta_{y_j}\right) =\sum_{i,j}c_i\overline{d_j}\varphi(y_j^{-1}x_i)

と定める。基底による表示の一意性から、BφB_\varphiは第1変数について線形、第2変数について共役線形である。正定値性はBφ(ξ,ξ)≥0B_\varphi(\xi,\xi)\geq0を意味する。

ξ,η∈V\xi,\eta\in Vに対してBφ(ξ+tη,ξ+tη)B_\varphi(\xi+t\eta,\xi+t\eta)が実数であることをt=1,it=1,iについて用いると、

Bφ(η,ξ)=Bφ(ξ,η)‾B_\varphi(\eta,\xi)=\overline{B_\varphi(\xi,\eta)}

を得る。Bφ(η,η)>0B_\varphi(\eta,\eta)>0の場合にはt=−Bφ(ξ,η)/Bφ(η,η)t=-B_\varphi(\xi,\eta)/B_\varphi(\eta,\eta)と置き、Bφ(ξ+tη,ξ+tη)≥0B_\varphi(\xi+t\eta,\xi+t\eta)\geq0を展開すると

∣Bφ(ξ,η)∣2≤Bφ(ξ,ξ)Bφ(η,η)|B_\varphi(\xi,\eta)|^2 \leq B_\varphi(\xi,\xi)B_\varphi(\eta,\eta)

となる。Bφ(η,η)=0B_\varphi(\eta,\eta)=0の場合には、任意のt∈Ct\in\Cに対する同じ非負性からBφ(ξ,η)=0B_\varphi(\xi,\eta)=0が従うので、この不等式はやはり成り立つ。

ξ=η=δe\xi=\eta=\delta_eとすればφ(e)≥0\varphi(e)\geq0である。共役対称性をδx,δe\delta_x,\delta_eに適用すれば主張 (2)を得る。同じ二つの元に上の不等式を適用すれば∣φ(x)∣≤φ(e)|\varphi(x)|\leq\varphi(e)である。さらに、ξ=δx−δy\xi=\delta_x-\delta_y、η=δe\eta=\delta_eとすると、

Bφ(ξ,ξ)=2(φ(e)−ℜφ(y−1x)),Bφ(ξ,η)=φ(x)−φ(y)B_\varphi(\xi,\xi)=2\bigl(\varphi(e)-\Re\varphi(y^{-1}x)\bigr),\qquad B_\varphi(\xi,\eta)=\varphi(x)-\varphi(y)

であるから、主張 (4)を得る。φ(e)=0\varphi(e)=0の場合には∣φ(x)∣≤0|\varphi(x)|\leq0がすべてのxxに成り立つ。▨

系 1.3.GGを位相群、φ ⁣:G→C\varphi\colon G\to\Cを正定値関数とする。このとき、φ\varphiが連続であるための必要十分条件は、φ\varphiが単位元で連続であることである。

証明. 必要性は連続写像の定義から従う。十分性を示す。y∈Gy\in Gを固定すると、x→yx\to yのときy−1x→ey^{-1}x\to eである。したがって命題 1.2 (4)の右辺は零に収束し、φ(x)→φ(y)\varphi(x)\to\varphi(y)となる。▨

例 1.4. 通常の位相をもつ実数加法群の関数

φ(x)=1{0}(x)\varphi(x)=\mathbf1_{\{0\}}(x)

は正定値であるが、連続ではない。

任意のx1,…,xn∈Rx_1,\ldots,x_n\in\Rとc1,…,cn∈Cc_1,\ldots,c_n\in\Cを取り、有限集合E={x1,…,xn}E=\{x_1,\ldots,x_n\}と各t∈Et\in Eに対する添字集合It={i:xi=t}I_t=\{i:x_i=t\}を定める。このとき

∑i,j=1ncicj‾φ(xi−xj)=∑t∈E∑i,j∈Itcicj‾=∑t∈E∣∑i∈Itci∣2≥0.\sum_{i,j=1}^n c_i\overline{c_j}\varphi(x_i-x_j) =\sum_{t\in E}\sum_{i,j\in I_t}c_i\overline{c_j} =\sum_{t\in E}\left|\sum_{i\in I_t}c_i\right|^2\geq0.

よってφ\varphiは正定値である。一方、1/n→01/n\to0であるがφ(1/n)=0\varphi(1/n)=0、φ(0)=1\varphi(0)=1なので、φ\varphiは零で連続でない。

§E14.8 定理 2.2により、強連続ユニタリ表現の行列係数は連続である。したがって、このφ\varphiを強連続ユニタリ表現の行列係数として表すことはできない。

2 巡回ユニタリ表現

定義 2.1 (巡回対).GGを位相群、π ⁣:G→U⁡(H)\pi\colon G\to \Uni(H)を複素 Hilbert 空間HH上の強連続ユニタリ表現とする。内積は第1変数について線形とする。v∈Hv\in Hが

H=span⁡{π(x)v:x∈G}‾H=\tpcl{\operatorname{span}\{\pi(x)v:x\in G\}}

を満たすとき、vvを 巡回ベクトル (cyclic vector) といい、(π,H,v)(\pi,H,v)を 巡回対 (cyclic pair) という。H={0}H=\{0\}、v=0v=0の場合も含める。

定理 2.2 (GNS 構成).GGを位相群とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 任意の連続な正定値関数φ ⁣:G→C\varphi\colon G\to\Cに対して、 φ(x)=⟨πφ(x)vφ,vφ⟩(x∈G)\varphi(x)=\langle\pi_\varphi(x)v_\varphi,v_\varphi\rangle \qquad(x\in G) を満たす巡回対(πφ,Hφ,vφ)(\pi_\varphi,H_\varphi,v_\varphi)が存在する。このとき∥vφ∥2=φ(e)\|v_\varphi\|^2=\varphi(e)である。
  2. 連続な正定値関数φ\varphiに対する巡回対(πφ,Hφ,vφ)(\pi_\varphi,H_\varphi,v_\varphi)は、GGの元を基底δx\delta_xとする有限形式和の空間VVに Bφ(∑iciδxi,∑jdjδyj)=∑i,jcidj‾φ(yj−1xi)B_\varphi\left(\sum_i c_i\delta_{x_i},\sum_j d_j\delta_{y_j}\right) =\sum_{i,j}c_i\overline{d_j}\varphi(y_j^{-1}x_i) を入れ、Nφ={ξ:Bφ(ξ,ξ)=0}N_\varphi=\{\xi:B_\varphi(\xi,\xi)=0\}による商内積空間V/NφV/N_\varphiの Cauchy 列の同値類による完備化としてHφH_\varphiを構成することができる。vφv_\varphiはδe\delta_eの像であり、πφ(a)\pi_\varphi(a)は[δx]↦[δax][\delta_x]\mapsto[\delta_{ax}]の一意な連続延長である。
  3. 同じ関数を表す二つの巡回対(π,H,v)(\pi,H,v)と(ρ,K,w)(\rho,K,w)の間には、 Uv=w,Uπ(x)=ρ(x)U(x∈G)Uv=w,\qquad U\pi(x)=\rho(x)U\quad(x\in G) を満たすユニタリ作用素U ⁣:H→KU\colon H\to Kがただ一つ存在する。
  4. 任意の強連続ユニタリ表現π ⁣:G→U⁡(H)\pi\colon G\to \Uni(H)と任意のv∈Hv\in Hに対して、x↦⟨π(x)v,v⟩x\mapsto\langle\pi(x)v,v\rangleは連続な正定値関数である。
  5. 連続な正定値関数は、巡回対の、指定ベクトルを保つユニタリ同値類と一対一に対応する。

証明.命題 1.2の証明で構成したVVとBφB_\varphiを取り、

N={ξ∈V:Bφ(ξ,ξ)=0}N=\{\xi\in V:B_\varphi(\xi,\xi)=0\}

と置く。同じ証明の Cauchy–Schwarz の不等式から、NNはすべての元と直交する元の全体であり、線形部分空間である。したがってD=V/ND=V/Nは⟨[ξ],[η]⟩=Bφ(ξ,η)\langle[\xi],[\eta]\rangle=B_\varphi(\xi,\eta)によって内積空間となる。

DDに誘導ノルムを入れ、Cauchy 列の同値類による距離完備化をHφH_\varphiとする。§E10.4 定理 1.2によりHφH_\varphiはノルム空間の完備化となる。§E10.4 定理 3.1により、DDの内積はHφH_\varphiへ一意に延長され、HφH_\varphiは Hilbert 空間となる。完備化の等長埋込みによってDDを稠密部分空間と同一視する。

a∈Ga\in Gに対してTaδx=δaxT_a\delta_x=\delta_{ax}と定める。(ay)−1(ax)=y−1x(ay)^{-1}(ax)=y^{-1}xなので、TaT_aはBφB_\varphiを保つ。したがってTaN=NT_aN=Nであり、TaT_aはDD上の全射の線形等長写像を誘導する。その連続延長をπφ(a)\pi_\varphi(a)とすると、逆写像はTa−1T_{a^{-1}}の延長であるから、πφ(a)\pi_\varphi(a)はユニタリである。TaTb=TabT_aT_b=T_{ab}からπφ\pi_\varphiは群準同型である。

vφ=[δe]v_\varphi=[\delta_e]と置くと、πφ(x)vφ=[δx]\pi_\varphi(x)v_\varphi=[\delta_x]である。したがってvφv_\varphiは巡回ベクトルであり、係数の式と∥vφ∥2=φ(e)\|v_\varphi\|^2=\varphi(e)が成り立つ。任意のx∈Gx\in Gに対して

∥πφ(a)[δx]−[δx]∥2=2(φ(e)−ℜφ(x−1ax))⟶0(a→e)\|\pi_\varphi(a)[\delta_x]-[\delta_x]\|^2 =2\bigl(\varphi(e)-\Re\varphi(x^{-1}ax)\bigr)\longrightarrow0 \qquad(a\to e)

である。ここでは共役写像の連続性とφ\varphiの単位元での連続性を用いた。三角不等式からDDの各元の軌道も単位元で連続である。ζ∈Hφ\zeta\in H_\varphiとη∈D\eta\in Dに対して

∥πφ(a)ζ−ζ∥≤2∥ζ−η∥+∥πφ(a)η−η∥\|\pi_\varphi(a)\zeta-\zeta\| \leq2\|\zeta-\eta\|+\|\pi_\varphi(a)\eta-\eta\|

であるから、DDの稠密性によりすべての軌道が単位元で連続である。ユニタリ性と群準同型性から∥πφ(a)ζ−πφ(b)ζ∥=∥πφ(b−1a)ζ−ζ∥\|\pi_\varphi(a)\zeta-\pi_\varphi(b)\zeta\|=\|\pi_\varphi(b^{-1}a)\zeta-\zeta\|となるので、πφ\pi_\varphiは強連続である。

同じφ\varphiを表す二つの巡回対について、

⟨∑iciπ(xi)v,∑jdjπ(yj)v⟩=∑i,jcidj‾φ(yj−1xi)=⟨∑iciρ(xi)w,∑jdjρ(yj)w⟩\left\langle\sum_i c_i\pi(x_i)v,\sum_j d_j\pi(y_j)v\right\rangle =\sum_{i,j}c_i\overline{d_j}\varphi(y_j^{-1}x_i) =\left\langle\sum_i c_i\rho(x_i)w,\sum_j d_j\rho(y_j)w\right\rangle

である。したがって∑iciπ(xi)v↦∑iciρ(xi)w\sum_i c_i\pi(x_i)v\mapsto\sum_i c_i\rho(x_i)wは表示に依存しない線形等長写像である。両辺の線形包は稠密なので、この写像は全射の等長写像U ⁣:H→KU\colon H\to Kに延長される。生成元への作用からUv=wUv=wと同変作用素の等式が従う。指定された条件を満たす作用素は各π(x)v\pi(x)v上で値が決まるので、稠密性によって一意である。

任意の強連続ユニタリ表現とv∈Hv\in Hに対して、

∑i,jcicj‾⟨π(xj−1xi)v,v⟩=∥∑iciπ(xi)v∥2≥0\sum_{i,j}c_i\overline{c_j}\langle\pi(x_j^{-1}x_i)v,v\rangle =\left\|\sum_i c_i\pi(x_i)v\right\|^2\geq0

である。係数の連続性は§E14.8 定理 2.2から従う。零関数の場合には基本不等式の証明のBφB_\varphiが零であり、構成された空間も{0}\{0\}となる。▨

命題 2.3.GGを群とする。このとき、次が成り立つ。

  1. 正定値関数は、非負実数係数の有限線形結合、複素共役、積、および各点で有限な値へ収束するネットの極限について閉じている。
  2. 群準同型h ⁣:K→Gh\colon K\to Gと正定値関数φ\varphiに対してφ∘h\varphi\circ hは正定値である。
  3. 位相群上の連続な正定値関数の有限和、共役、積、および連続な準同型との合成は連続な正定値関数である。
  4. 正定値関数の各点極限が単位元で連続ならば、その極限は群全体で連続である。

証明. 非負係数の有限和については、定義の二次形式が非負の二次形式の和となる。複素共役については、係数ci‾\overline{c_i}に対する非負の二次形式の共役を取ればよい。群準同型による合成についてはh(xj−1xi)=h(xj)−1h(xi)h(x_j^{-1}x_i)=h(x_j)^{-1}h(x_i)を定義に代入する。各点収束については、有限和の極限が非負実数であることから従う。

正定値関数φ,ψ\varphi,\psiとx1,…,xn∈Gx_1,\ldots,x_n\in Gを固定する。BφB_\varphiの零空間で割った内積空間内で、[δx1],…,[δxn][\delta_{x_1}],\ldots,[\delta_{x_n}]が張る有限次元部分空間の正規直交基底を取り、[δxi][\delta_{x_i}]の座標をaika_{ik}と書く。すると

φ(xj−1xi)=∑kaikajk‾\varphi(x_j^{-1}x_i)=\sum_k a_{ik}\overline{a_{jk}}

である。零次元の場合は空和とする。したがって

∑i,jcicj‾φ(xj−1xi)ψ(xj−1xi)=∑k∑i,j(ciaik)(cjajk)‾ψ(xj−1xi)≥0\sum_{i,j}c_i\overline{c_j}\varphi(x_j^{-1}x_i)\psi(x_j^{-1}x_i) =\sum_k\sum_{i,j}(c_i a_{ik})\overline{(c_j a_{jk})}\psi(x_j^{-1}x_i)\geq0

であり、積も正定値である。

有限和、共役、積、および連続な準同型との合成は連続性を保つ。各点極限が単位元で連続である場合には、すでに示した正定値性に系 1.3を適用すれば、群全体での連続性が従う。▨

例 2.4.s,t∈Rs,t\in\Rを異なる実数、a,b>0a,b>0とする。このとき、加法群R\R上の関数

φ(x)=aeisx+beitx\varphi(x)=ae^{isx}+be^{itx}

に対して、C2\C^2上の表現

π(x)(z1,z2)=(eisxz1,eitxz2),v=(a,b)\pi(x)(z_1,z_2)=(e^{isx}z_1,e^{itx}z_2),\qquad v=(\sqrt a,\sqrt b)

はφ\varphiを表す巡回対である。

証明. 各座標の指数関数は連続で絶対値が11であるから、π\piは強連続ユニタリ表現である。内積を計算すれば⟨π(x)v,v⟩=φ(x)\langle\pi(x)v,v\rangle=\varphi(x)となる。x=1/(s−t)x=1/(s-t)と取るとeisx≠eitxe^{isx}\ne e^{itx}であり、vvとπ(x)v\pi(x)vを列とする行列の行列式はab(eitx−eisx)≠0\sqrt{ab}(e^{itx}-e^{isx})\ne0である。したがって軌道の線形包はC2\C^2全体である。定理 2.2によりφ\varphiは正定値であり、同じ関数を表す任意の巡回対はこの二次元の巡回対とユニタリ同値である。▨

例 2.5. 加法群R\R上の非負関数f(x)=x2f(x)=x^2は正定値ではない。実際、f(0)=0f(0)=0であるがf(1)=1f(1)=1であるから、命題 1.2に反する。一方、x↦eixx\mapsto e^{ix}は正定値であるが、すべての点で非負実数値を取るわけではない。後者の正定値性は一次元ユニタリ表現π(x)z=eixz\pi(x)z=e^{ix}zのベクトル11に定理 2.2を適用すれば従う。

3 群環上の正線形汎関数

定義 3.1 (正線形汎関数).GGを Hausdorff な局所コンパクト群、μ\muを左 Haar 測度とする。群環L1(G)L^1(G)上の複素線形汎関数ℓ\ellが 正 (positive functional) であるとは、任意のf∈L1(G)f\in L^1(G)に対して

ℓ(f∗∗f)≥0\ell(f^* * f)\geq0

となることをいう。ここでf∗(x)=Δ(x)−1f(x−1)‾f^*(x)=\Delta(x)^{-1}\overline{f(x^{-1})}であり、μ(Ea)=Δ(a)μ(E)\mu(Ea)=\Delta(a)\mu(E)とする。

定理 3.2.GGを Hausdorff な局所コンパクト群、μ\muを左 Haar 測度とする。このとき

ℓφ(f)=∫Gf(x)φ(x) dx(f∈L1(G))\ell_\varphi(f)=\int_G f(x)\varphi(x)\,dx\qquad(f\in L^1(G))

は、GG上の連続な正定値関数φ\varphi全体とL1(G)L^1(G)上の有界正線形汎関数全体の間の全単射を定め、

∥ℓφ∥=φ(e)\|\ell_\varphi\|=\varphi(e)

を満たす。

証明. 連続な正定値関数φ\varphiに対し、命題 1.2により∣φ(x)∣≤φ(e)|\varphi(x)|\leq\varphi(e)である。したがって表示された積分は有界線形汎関数を定め、∥ℓφ∥≤φ(e)\|\ell_\varphi\|\leq\varphi(e)である。定理 2.2の巡回対を(π,H,v)(\pi,H,v)とすると、§E14.10 定理 1.2により

ℓφ(f)=⟨π(f)v,v⟩,ℓφ(f∗∗f)=∥π(f)v∥2≥0\ell_\varphi(f)=\langle\pi(f)v,v\rangle,\qquad \ell_\varphi(f^* * f)=\|\pi(f)v\|^2\geq0

である。§E14.7 定理 4.3の非負で積分が11の近似単位(uU)(u_U)について、

∣ℓφ(uU)−φ(e)∣≤sup⁡x∈U∣φ(x)−φ(e)∣⟶0|\ell_\varphi(u_U)-\varphi(e)| \leq\sup_{x\in U}|\varphi(x)-\varphi(e)|\longrightarrow0

である。∥uU∥1=1\|u_U\|_1=1なので∥ℓφ∥≥φ(e)\|\ell_\varphi\|\geq\varphi(e)となり、ノルム等式を得る。

ℓ\ellを有界正線形汎関数とし、M=∥ℓ∥M=\|\ell\|と置く。L1(G)L^1(G)上で

B(f,g)=ℓ(g∗∗f)B(f,g)=\ell(g^* * f)

と定める。正性によりB(f,f)≥0B(f,f)\geq0である。B(f+tg,f+tg)B(f+tg,f+tg)がt=1,it=1,iに対して実数となることからB(g,f)=B(f,g)‾B(g,f)=\overline{B(f,g)}を得る。さらにB(g,g)>0B(g,g)>0の場合にはt=−B(f,g)/B(g,g)t=-B(f,g)/B(g,g)を代入し、B(g,g)=0B(g,g)=0の場合には任意のttを代入することによって

∣B(f,g)∣2≤B(f,f)B(g,g)|B(f,g)|^2\leq B(f,f)B(g,g)

を得る。したがってN={f:B(f,f)=0}N=\{f:B(f,f)=0\}はすべての元とBBについて直交する線形部分空間である。商L1(G)/NL^1(G)/NにBBが誘導する内積を入れて完備化し、Hilbert 空間HHと商写像q ⁣:L1(G)→Hq\colon L^1(G)\to Hを得る。完備化の存在と Hilbert 性は§E10.4 定理 1.2と§E10.4 定理 3.1による。§E14.7 定理 2.3のノルム評価から

∥qf∥2=ℓ(f∗∗f)≤M∥f∥12\|qf\|^2=\ell(f^* * f)\leq M\|f\|_1^2

であるから、qqは有界線形写像であり、その像は稠密である。

§E14.10 補題 2.1によりB(Laf,Lag)=B(f,g)B(L_af,L_ag)=B(f,g)である。したがって

π(a)qf=q(Laf)\pi(a)qf=q(L_af)

はq(L1(G))q(L^1(G))上で表示に依存しない全射の線形等長写像を定め、HH上のユニタリ作用素へ延長される。左移動の合成則からπ(ab)=π(a)π(b)\pi(ab)=\pi(a)\pi(b)である。さらに§E14.7 定理 1.2とqqの有界性から

∥π(a)qf−qf∥≤M∥Laf−f∥1⟶0(a→e)\|\pi(a)qf-qf\|\leq\sqrt M\|L_af-f\|_1\longrightarrow0\qquad(a\to e)

となる。稠密性と∥π(a)ζ−ζ∥≤2∥ζ−qf∥+∥π(a)qf−qf∥\|\pi(a)\zeta-\zeta\|\leq2\|\zeta-qf\|+\|\pi(a)qf-qf\|により、すべての軌道は単位元で連続である。群準同型性からπ\piは強連続となる。

§E14.10 定理 1.2による積分形を同じπ\piで表す。§E14.7 定理 2.2のL1L^1値積分表示と§E10.18 命題 5.2によって、任意のf,g∈L1(G)f,g\in L^1(G)に対して

π(f)qg=∫Gf(a)q(Lag) da=q(∫Gf(a)Lag da)=q(f∗g)\pi(f)qg=\int_G f(a)q(L_ag)\,da =q\left(\int_G f(a)L_ag\,da\right)=q(f*g)

となる。

§E14.7 定理 4.3の(uU)(u_U)を取る。対合の等長性と左右近似単位の性質から、

uU∗∗f⟶f,f∗∗uU⟶f∗in L1(G)u_U^* * f\longrightarrow f,\qquad f^* * u_U\longrightarrow f^* \quad\text{in }L^1(G)

である。第1の収束は∥(uU∗∗f−f)∗∥1=∥f∗∗uU−f∗∥1\|(u_U^* * f-f)^*\|_1=\|f^* * u_U-f^*\|_1からも従う。BBの共役対称性を用いて極限を取ると、

ℓ(f)=lim⁡Uℓ(uU∗∗f)=lim⁡Uℓ(f∗∗uU)‾=ℓ(f∗)‾\ell(f)=\lim_U\ell(u_U^* * f) =\lim_U\overline{\ell(f^* * u_U)}=\overline{\ell(f^*)}

を得る。また、∥quU∥2≤M\|qu_U\|^2\leq Mと Cauchy–Schwarz の不等式により

∣ℓ(f)∣=lim⁡U∣⟨qf,quU⟩∣≤M∥qf∥|\ell(f)|=\lim_U|\langle qf,qu_U\rangle| \leq\sqrt M\|qf\|

である。したがってqf↦ℓ(f)qf\mapsto\ell(f)は表示に依存しない有界線形汎関数を稠密部分空間q(L1(G))q(L^1(G))上に定める。この汎関数をHHへ連続延長し、§E10.5 定理 1.1を適用すると、

ℓ(f)=⟨qf,v⟩(f∈L1(G)),∥v∥≤M\ell(f)=\langle qf,v\rangle\quad(f\in L^1(G)),\qquad \|v\|\leq\sqrt M

を満たすv∈Hv\in Hが存在する。

任意のf,g∈L1(G)f,g\in L^1(G)に対して、積分形の対合保存とℓ\ellの対合に関する等式から

⟨π(f)v,qg⟩=⟨v,π(f∗)qg⟩=⟨v,q(f∗∗g)⟩=ℓ(f∗∗g)‾=ℓ(g∗∗f)=⟨qf,qg⟩\begin{aligned} \langle\pi(f)v,qg\rangle &=\langle v,\pi(f^*)qg\rangle =\langle v,q(f^* * g)\rangle\\ &=\overline{\ell(f^* * g)} =\ell(g^* * f) =\langle qf,qg\rangle \end{aligned}

となる。q(L1(G))q(L^1(G))は稠密なので、π(f)v=qf\pi(f)v=qfである。w∈Hw\in Hがすべてのπ(a)v\pi(a)vと直交するとすれば、積分形の係数公式から⟨qf,w⟩=⟨π(f)v,w⟩=0\langle qf,w\rangle=\langle\pi(f)v,w\rangle=0がすべてのffに成り立つ。稠密性からw=0w=0である。§E10.3 定理 2.2により、軌道の閉線形包の直交補空間が零であることから、その閉線形包はHH全体となる。したがってvvは巡回ベクトルである。

φ(a)=⟨π(a)v,v⟩\varphi(a)=\langle\pi(a)v,v\rangleと置くと、定理 2.2によりφ\varphiは連続な正定値関数であり、

ℓ(f)=⟨π(f)v,v⟩=∫Gf(a)φ(a) da\ell(f)=\langle\pi(f)v,v\rangle =\int_G f(a)\varphi(a)\,da

となる。さらにφ(e)=∥v∥2≤M\varphi(e)=\|v\|^2\leq Mであり、積分の評価からM≤∥v∥2M\leq\|v\|^2であるのでM=φ(e)M=\varphi(e)である。

二つの連続な正定値関数φ,ψ\varphi,\psiが同じ汎関数を与えるとする。任意のa∈Ga\in Gに対して左不変性により

ℓφ(LauU)=∫GuU(y)φ(ay) dy⟶φ(a)\ell_\varphi(L_au_U)=\int_Gu_U(y)\varphi(ay)\,dy\longrightarrow\varphi(a)

であり、ψ\psiについても同じ極限公式が成り立つ。各UUにおける積分が一致するのでφ(a)=ψ(a)\varphi(a)=\psi(a)である。したがって対応は単射であり、すでに得た構成から全射でもある。M=0M=0の場合もq=0q=0、H={0}H=\{0\}、v=0v=0、φ=0\varphi=0として同じ構成が成立する。▨

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