§E14.4Haar 測度

証明.§E14.1 命題 1.4により反転$x\mapsto x^{-1}$は同相写像であり、自分自身を逆写像にもつ。したがって$E\mapsto E^{-1}$は、Borel 集合族の全単射であり、コンパクト集合の族の全単射でもある。ゆえに$\nu$は反転による$\mu$の像測度として Borel 測度である。また、任意の Borel 集合$E$に対して

である。これらの全単射とこの等式から、次の各性質について、$\nu$がその性質をもつことと$\mu$がその性質をもつことは同値である。

• 零でないこと
• コンパクト集合上で有限であること
• すべての Borel 集合でコンパクト内正則であること

よって、$\nu$が零でない Radon 測度であることと、$\mu$が零でない Radon 測度であることは同値である。

$a\in G$と Borel 集合$E\subseteq G$に対して$(Ea)^{-1}=a^{-1}E^{-1}$であるから

である。$a$が$G$を動くとき$a^{-1}$も$G$を動き、$E$が Borel 集合族を動くとき$E^{-1}$も Borel 集合族を動く。したがって、$\nu$が右不変であることと$\mu$が左不変であることは同値である。▨

証明.$\mu$が左 Haar 測度であるとする。$\mu$は零でないので$\mu(G)>0$である。コンパクト内正則性から、$\mu(K)>0$を満たすコンパクト集合$K\subseteq G$が存在する。$u\in U$を一つ取ると、任意の$x\in G$に対して$x\in xu^{-1}U$である。したがって$K$は有限個の左移動$a_1U,\ldots,a_mU$で覆われる。左不変性により

であり、$\mu(U)>0$を得る。

$\mu$が右 Haar 測度であるとする。$\lambda(E)=\mu(E^{-1})$とおくと$\mu(E)=\lambda(E^{-1})$であるから、命題 1.2により$\lambda$は左 Haar 測度である。$U^{-1}$は空でない開集合なので、左 Haar 測度の場合により$\mu(U)=\lambda(U^{-1})>0$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$\varphi(y)>0$を満たす$y\in G$を取り、$b=\varphi(y)/2$および$V=\{z\in G\mid\varphi(z)>b\}$とおく。任意の$x\in G$に対して$x\in xy^{-1}V$である。$f\ne0$ならば、$\supp f$のコンパクト性から

を満たす$a_1,\ldots,a_n\in G$が存在する。$c=\|f\|_\infty/b$とおくと

であるから、被覆数は有限である。また、任意の被覆$f\leq\sum_jc_jL_{a_j}\varphi$に対して

である。下限を取ると所要の下界を得る。零関数は任意の$c>0$に対して$0\leq c\varphi$を満たすので、$(0:\varphi)=0$である。$g=L_eg$が係数和$1$の被覆を与え、上の下界から$(g:g)\geq1$が従うので、$(g:g)=1$である。

主張 (2)を示す。$t>0$ならば、$f$の被覆の係数をすべて$t$倍する操作は、$f$の被覆と$tf$の被覆の間の全単射である。したがって下限も$t$倍となる。$t=0$の場合は$(0:\varphi)=0$による。$f\leq h$ならば、$h$の任意の被覆は$f$の被覆でもあるので、下限の大小関係が従う。

主張 (3)を示す。任意の$\delta>0$に対して、$f$と$h$の被覆で、係数和がそれぞれ$(f:\varphi)+\delta$および$(h:\varphi)+\delta$より小さいものを取る。二つの被覆を加えると、係数和が$(f:\varphi)+(h:\varphi)+2\delta$より小さい$f+h$の被覆を得る。$\delta\downarrow0$として結論を得る。

主張 (4)を示す。$L_aL_b=L_{ab}$であるから、$f$の被覆へ$L_a$を施すと、係数和を変えずに$L_af$の被覆を得る。したがって$(L_af:\varphi)\leq(f:\varphi)$である。$L_af$に$L_{a^{-1}}$を施すと逆の不等式を得る。

主張 (5)を示す。被覆

から

を得る。右辺の係数和は$(\sum_ic_i)(\sum_jd_j)$である。二つの被覆の係数和をそれぞれの下限へ近づけると、比較不等式が従う。

$f_0\ne0$なので$(f_0:\varphi)>0$である。比較不等式を

へ適用すると上界を得る。$f\ne0$の場合は

から下界を得る。$I_\varphi(0)=0$と$I_\varphi(f_0)=1$は定義から従う。▨

証明.$f=f_1+f_2$とおく。$f=0$ならば$f_1=f_2=0$であるから、任意の開近傍$U$が条件を満たす。$f\ne0$とする。§E2.24 命題 2.4により、$0\leq h\leq1$、$h\in C_c(G,\R)$および$h|_{\supp f}=1$を満たす関数$h$が存在する。$A=(h:f_0)>0$、$B=(f:f_0)>0$とおき、

を満たす$\delta,\eta>0$を取る。

$F=f+\delta h$とおき、$i=1,2$に対して

と定める。$\supp f$上では$F\geq\delta$であるから、$r_i$は$\supp f$の各点の近傍で連続である。$\supp f$の外では$f_i$が恒等的に零となる近傍があり、その近傍で$r_i=0$である。したがって$r_i$は連続であり、$\supp r_i\subseteq\supp f$なので$r_i\in C_c(G)^+$である。また、

が$F>0$上で成り立ち、$F=0$上でも$f_i=r_iF=0$および$r_1+r_2=0$が成り立つ。

§E14.3 命題 3.1により、単位元の開近傍$U$であって

を満たすものが存在する。$0\ne\varphi\in C_c(G)^+$、$\supp\varphi\subseteq U$とし、任意の被覆

を取る。$(L_{a_j}\varphi)(x)>0$ならば$a_j^{-1}x\in U$であるから、$r_i(x)\leq r_i(a_j)+\eta$である。よって

がすべての$x\in G$で成り立つ。各係数は正であり、$r_1(a_j)+r_2(a_j)\leq1$なので

を得る。$F$の被覆について下限を取り、$(f_0:\varphi)$で割ると

となる。補題 2.2の劣加法性、正斉次性および一様上界により

である。▨

証明.$f\in C_c(G)^+$ごとに閉区間$J_f=[0,(f:f_0)]$を取り、積位相を入れた空間

を考える。各$J_f$はコンパクトであるから、§E2.19 定理 8.2により$P$はコンパクトである。$0\ne\varphi\in C_c(G)^+$に対して、補題 2.2の評価により、座標が$I_\varphi(f)$である点$I_\varphi$は$P$に属する。

単位元の開近傍$U$ごとに

とおく。§E2.24 命題 2.4を$\{e\}\subseteq U$へ適用すると、$\varphi(e)=1$および$\supp\varphi\subseteq U$を満たす$\varphi\in C_c(G)^+$が存在する。したがって$A_U$は空でない。有限個の開近傍$U_1,\ldots,U_m$に対して

である。閉集合族$(F_U)_U$は有限交差性をもつので、$P$のコンパクト性により

を取ることができる。

$P$の各座標写像は連続である。$I_\varphi$が満たす等式と不等式

は、それぞれ有限個の座標に関する閉条件である。したがって$I$も、任意の$f,h\in C_c(G)^+$、$t\geq0$および$a\in G$に対して同じ等式と不等式を満たす。

$f,h\in C_c(G)^+$と$\varepsilon>0$を固定する。補題 2.3により、ある開近傍$U$に対して、$A_U$のすべての点が

を満たす。この不等式も閉条件であり、$I\in F_U$なので

である。$\varepsilon\downarrow0$とし、すでに得た逆向きの不等式と合わせると

を得る。

任意の$u\in C_c(G,\R)$は$u=u_+-u_-$と書くことができる。ただし$u_+(x)=\max\{u(x),0\}$、$u_-(x)=\max\{-u(x),0\}$は$C_c(G)^+$に属する。一般に$u=f-h=f'-h'$と非負関数の差に書くと、$f+h'=f'+h$であるから、加法性により

である。したがって

は分解によらず定まる。和の分解$(f-h)+(g-k)=(f+g)-(h+k)$と、正のスカラー倍および差の交換に対する加法性・正斉次性から、$\Lambda$は実線形である。$u\geq0$ならば$\Lambda(u)=I(u)\geq0$であるから正である。さらに$I(f_0)=1$により$\Lambda(f_0)=1$であり、

から左不変性が従う。▨

証明.§E2.24 命題 2.4を$\{e\}\subseteq G$へ適用して、$f_0(e)=1$を満たす$f_0\in C_c(G)^+$を取る。定理 2.4により、$\Lambda(f_0)=1$を満たす左不変な正実線形汎関数$\Lambda$が存在する。$G$は局所コンパクト Hausdorff 空間なので、§E10.33 定理 2.1により Radon 測度$\mu$が一意に存在し、

を満たす。$\int_G f_0\,d\mu=1$であるから、$\mu$は零でない。

$a\in G$を固定し、Borel 集合$E\subseteq G$に対して$\nu_a(E)=\mu(aE)$とおく。§E14.1 命題 1.4により$x\mapsto ax$は同相写像であるから、$\nu_a$は Borel 測度であり、コンパクト集合上で有限である。さらに

であるから、$\nu_a$も Radon 測度である。指示関数の積分の等式から単関数近似を経て、

がすべての$f\in C_c(G,\R)$に対して成り立つ。§E10.33 定理 2.1の一意性から$\nu_a=\mu$であり、$\mu$は左不変である。$\rho(E)=\mu(E^{-1})$とおくと、命題 1.2により$\rho$は右 Haar 測度である。非空開集合の正値性は命題 1.3による。コンパクト集合上の有限性は Radon 性に含まれる。▨

証明.$x\in G$に対して、$y\mapsto g(yx)$の台はコンパクト集合$(\supp g)x^{-1}$であるから、積分は有限である。$g(z)>0$を満たす点$z$を取る。このとき、$V=\{y\in G\mid g(yx)>g(z)/2\}$は$zx^{-1}$を含む開集合であり、$D_g(x)\geq(g(z)/2)\mu(V)$である。命題 1.3により$\mu(V)>0$であるから、$D_g(x)>0$である。

$x_0\in G$を固定し、$x_0$のコンパクト近傍$B$を取る。$x\in B$のとき、$y\mapsto g(yx)$と$y\mapsto g(yx_0)$の台は、ともにコンパクト集合$M=(\supp g)B^{-1}$に含まれる。$x=x_0u$と書くと

である。§E14.3 命題 3.1により、右辺は$u\to e$のとき$0$へ収束する。したがって$D_g$は$x_0$で連続である。▨

証明.§E2.24 命題 2.4により、零でない非負関数$g\in C_c(G,\R)$を取る。$D=D_g$とおくと、補題 3.2により$D$は連続かつ正である。任意の$f\in C_c(G,\R)$に対して

と定める。$H$は連続であり、$K=\supp f$、$M=\supp g$とおくと

である。右辺はコンパクトなので$H\in C_c(G\times G,\R)$である。$D$の定義により、各$x\in G$について$\int_G H(x,y)\,d\mu(y)=f(x)$である。したがって、§E10.36 補題 1.1を$\nu$と$\mu$に適用すると

を得る。

内側の積分で$z=yx$とおくと、$\nu$の左不変性により、$\int_G f\,d\nu$は

に等しい。この二変数核も連続であり、その台は$MK^{-1}\times M$に含まれる。したがって同じ積分交換の補題を適用することができる。交換後の$y$の積分で$y=zt$とおくと、$\mu$の左不変性により

を得る。最後の被積分関数は連続で、台が$K^{-1}$に含まれるので可積分である。

同じ計算を$\nu=\mu$として行うと

である。$g$はコンパクトな台をもつ有界な関数であるから、$\int g\,d\mu$と$\int g\,d\nu$は有限である。$g$の非零性と命題 1.3により、二つの積分は正である。よって

が任意の$f\in C_c(G,\R)$に対して成り立つ。§E10.33 定理 2.1の一意性により$\nu=c\mu$である。また、$\nu=c'\mu$を満たす任意の$c'>0$について、$g$の積分を比べると$c'=c$である。したがって$c$は一意である。

$\mu,\nu$が右 Haar 測度であるとし、$\mu'(E)=\mu(E^{-1})$、$\nu'(E)=\nu(E^{-1})$とおく。$\mu(E)=\mu'(E^{-1})$および$\nu(E)=\nu'(E^{-1})$であるから、命題 1.2により$\mu'$と$\nu'$は左 Haar 測度である。$E\mapsto E^{-1}$は Borel 集合族の全単射なので、$\nu=c\mu$と$\nu'=c\mu'$は同値である。したがって、左 Haar 測度の場合から結論を得る。▨

証明.$G$がコンパクトならば、Radon 性から$\mu(G)<\infty$である。

$\mu(G)<\infty$とする。命題 1.3により$\mu(G)>0$である。コンパクト内正則性から、$\mu(K)>\mu(G)/2$を満たすコンパクト集合$K\subseteq G$を取る。任意の$a\in G$に対して$\mu(aK)=\mu(K)$なので、$aK$と$K$が交わらなければ$\mu(G)\geq2\mu(K)>\mu(G)$となり矛盾する。ゆえに$ak_1=k_2$となる$k_1,k_2\in K$が存在し、$a=k_2k_1^{-1}$である。したがって$G=KK^{-1}$はコンパクトである。▨

証明.定理 3.1により左 Haar 測度$\nu$を取る。命題 1.3と命題 4.1により$0<\nu(G)<\infty$である。$\mu(E)=\nu(E)/\nu(G)$とおくと、$\mu$は左 Haar 測度であり、$\mu(G)=1$である。$\rho(E)=\mu(E^{-1})$とおくと、命題 1.2により$\rho$は右 Haar 測度であり、$\rho(G)=\mu(G^{-1})=\mu(G)=1$である。

全測度$1$の二つの左 Haar 測度について、または全測度$1$の二つの右 Haar 測度について、定理 3.3により一方は他方の正定数倍であり、$G$の測度を比べるとその定数は$1$である。▨

証明. 任意の$a\in G$に対して$\mu_a(E)=\mu(Ea)$とおく。右移動は同相写像なので、$\mu_a$は Radon 測度である。左移動と右移動は可換であり、$\mu$は左不変であるから、$\mu_a$も左不変である。また$\mu_a(G)=\mu(G)=1$である。系 4.3の一意性から$\mu_a=\mu$であり、$\mu$は右不変である。

命題 1.2により$E\mapsto\mu(E^{-1})$も全測度$1$の右 Haar 測度である。右 Haar 確率測度の一意性から、この測度は$\mu$に一致する。▨

証明. 離散空間ではすべての部分集合が Borel 集合である。互いに素な部分集合の列$(E_n)_{n\geq1}$に対して、$\bigcup_nE_n$が有限ならば、空でない$E_n$は有限個しかなく、濃度を加えると可算加法性を得る。$\bigcup_nE_n$が無限ならば、ある$E_n$が無限であるか、空でない有限集合$E_n$が無限個存在する。どちらの場合も$\sum_n\mu(E_n)=\infty=\mu(\bigcup_nE_n)$である。したがって$\mu$は測度である。

離散空間のコンパクト集合は、一点集合による開被覆から有限集合である。逆に有限集合はコンパクトであるから、$\mu$はコンパクト集合上で有限である。任意の$E\subseteq G$に対して

であるから、$\mu$はすべての Borel 集合でコンパクト内正則である。さらに$\mu(\{e\})=1$であり、左移動は全単射なので$\mu(aE)=\mu(E)$である。よって$\mu$は左 Haar 測度である。有限群での正規化は全測度$|G|$で割ることによる。▨

証明.$\R_d$と$\R$は Hausdorff な位相群であるから、§E14.1 命題 3.1により$G$は位相群であり、Hausdorff 空間の積として Hausdorff である。各点$(x,y)$はコンパクト近傍$\{x\}\times[y-1,y+1]$をもつので、$G$は局所コンパクト群である。

$x\in\R$に対して、写像$\iota_x(y)=(x,y)$は$\R$から$G$への連続写像であり、$E_x=\iota_x^{-1}(E)$であるから、Borel 集合$E$の切り口$E_x$は Borel 集合である。互いに交わらない Borel 集合の列$(E_n)_{n\geq1}$の和集合の切り口は、切り口$(E_n)_x$の互いに交わらない和集合である。非負の項からなる和は、$x$についての和と$n$についての和の順序を交換しても変わらないから、$\mu$は可算加法的である。すべての$E_n$の空でない切り口が高々可算個ならば、和集合の空でない切り口も高々可算個であり、$\mu'$の値は$\mu$の値に等しい。ある$E_n$の空でない切り口が非可算個ならば、和集合でも同じであり、両辺は$\infty$である。したがって$\mu'$も Borel 測度である。$(s,t)\in G$に対して$((s,t)+E)_x=E_{x-s}+t$であるから、§E10.16 定理 7.1により$\mu$と$\mu'$は平行移動で不変である。

コンパクト集合$K\subseteq G$の第一成分への射影は$\R_d$のコンパクト集合なので、有限集合である。$K$の各切り口は、$\iota_x$による閉集合$K$の逆像であり、$K$の第二成分への射影に含まれるので、有界閉集合である。したがって、$K$の空でない切り口は有限個であり、それぞれの$\lambda_1$の値は有限である。よって$\mu'(K)=\mu(K)<\infty$である。開集合$U\subseteq G$の空でない切り口が非可算個ならば、それらは$\R$の空でない開集合なので、$\lambda_1$の値は正である。ある$m\in\NN$について$1/m$を超える項が無限個あるから、$\mu(U)=\infty=\mu'(U)$である。空でない切り口が高々可算個ならば、定義により$\mu'(U)=\mu(U)$である。以上で主張 (1)を得る。

$\mu$のコンパクト内正則性を示す。Borel 集合$E$と$c<\mu(E)$に対して、有限個の$x_1,\ldots,x_m$を$\sum_i\lambda_1(E_{x_i})>c$となるように取ることができる。§E10.16 定理 9.1により、コンパクト集合$C_i\subseteq E_{x_i}$を$\sum_i\lambda_1(C_i)>c$となるように取る。$K=\bigcup_i\{x_i\}\times C_i$は$E$に含まれるコンパクト集合であり、$\mu(K)>c$である。$\mu(\{0\}\times[0,1])=1$であるから$\mu\ne0$である。したがって主張 (2)が成り立つ。

$\mu'$の外正則性を示す。$\mu'(E)=\infty$ならば、$G$自身が$E$を含む開集合である。$\mu'(E)<\infty$ならば、$E$の空でない切り口は高々可算個であり、それらを$E_{x_1},E_{x_2},\ldots$と並べる。$\varepsilon>0$に対して、§E10.16 定理 8.2により、開集合$V_k\supseteq E_{x_k}$を$\lambda_1(V_k)<\lambda_1(E_{x_k})+2^{-k}\varepsilon$となるように取る。$U=\bigcup_k\{x_k\}\times V_k$は$E$を含む開集合であり、空でない切り口は高々可算個なので、$\mu'(U)\leq\mu'(E)+\varepsilon$である。$\mu$と$\mu'$はコンパクト集合上と開集合上で一致し、$\mu$はコンパクト内正則であるから、$\mu'$は開集合でコンパクト内正則である。