§E14.36コンパクト可換群の構造

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コンパクト可換群は、Pontryagin 双対によって離散可換群と対応する基本的な位相群のクラスである。たとえばソレノイドは円周群と同じく連結であるが、円周群とは位相群として同型でなく、連結性だけでは両者の構造を区別することができない。コンパクト可換群の位相的な性質を詳しく調べるには、連続指標全体からなる離散双対群の代数的な構造が手がかりとなる。双対群の捩れや濃度に注目すると、連結性や位相の大きさを代数の問題として捉えることができる。本記事では、コンパクト可換群の基本的な構造と代表的な例について解説する。

1 円周群の入射性と指標の延長

命題 1.1. 円周群T\mathbb Tは、抽象可換群として入射Z\Z-加群である。したがって、抽象可換群AAの任意の部分群BBと任意の準同型f ⁣:B→Tf\colon B\to\mathbb Tに対し、f~∣B=f\widetilde f|_B=fを満たす準同型f~ ⁣:A→T\widetilde f\colon A\to\mathbb Tが存在する。

証明. 任意の正整数nnと任意のz=e2πit∈Tz=e^{2\pi it}\in\mathbb Tに対して、w=e2πit/nw=e^{2\pi it/n}はwn=zw^n=zを満たす。よってT\mathbb Tは可除可換群であり、§E6.16 命題 3.4により入射Z\Z-加群である。延長の存在は§E6.16 定義 1.1による。▨

系 1.2.KKをコンパクト Hausdorff 可換群、HHをその閉部分群とする。このとき、任意の連続指標η ⁣:H→T\eta\colon H\to\mathbb Tは、KKの連続指標へ延長する。

証明.KKは Hausdorff な局所コンパクト可換群なので、§E14.16 系 3.4を適用する。▨

注意 1.3.命題 1.1が与える代数的な延長について、連続性は保証されない。連続な延長の存在には§E14.16 系 3.4を用いる。

例 1.4.mmを正整数、t∈Rt\in\Rとし、離散群mZm\Zの指標χ\chiをχ(m)=e2πit\chi(m)=e^{2\pi it}によって定める。このとき、χ\chiのZ\Zへの延長は、ちょうど

χ~j(n)=e2πin(t+j)/m,j∈{0,…,m−1}\widetilde\chi_j(n)=e^{2\pi in(t+j)/m}, \qquad j\in\{0,\ldots,m-1\}

のmm個である。実際、Z\Z上の準同型は11の像zzによって定まり、延長の条件はzm=e2πitz^m=e^{2\pi it}である。この方程式の解は表示したmm個であり、離散群上なので各延長は連続である。

例 1.5.α∈R∖Q\alpha\in\R\setminus\Qとし、連続単射

u ⁣:Zd⟶T,u(n)=e2πinαu\colon\Z_{\mathrm d}\longrightarrow\mathbb T, \qquad u(n)=e^{2\pi in\alpha}

を考える。このとき、連続指標f ⁣:Zd→Tf\colon\Z_{\mathrm d}\to\mathbb T、f(n)=(−1)nf(n)=(-1)^nに対して、f~∘u=f\widetilde f\circ u=fを満たす連続指標f~ ⁣:T→T\widetilde f\colon\mathbb T\to\mathbb Tは存在しない。

実際、§E14.13 例 4.3 (2)により、f~\widetilde fが存在すれば、ある整数kkに対してf~(z)=zk\widetilde f(z)=z^kとなる。n=1n=1を代入するとkα∈1/2+Zk\alpha\in1/2+\Zである。k=0k=0ではこの条件は成り立たず、k≠0k\ne0ではα∈Q\alpha\in\Qを導く。

uuは位相的埋込みではない。実際、§E14.33 定理 2.1によりu(Z)u(\Z)はT\mathbb Tで稠密であり、11の任意の開近傍はu(Z)u(\Z)の11以外の点を含む。よって像の相対位相は離散でない。

2 連結成分と双対群の捩れ

定理 2.1.KKをコンパクト Hausdorff 可換群、K0K_0を単位元の連結成分とし、離散双対群をΓ=K^\Gamma=\widehat Kとする。捩れ部分群を

tor⁡Γ={χ∈Γ:χn=1 となる正整数 n が存在する}\operatorname{tor}\Gamma =\{\chi\in\Gamma:\chi^n=1\text{ となる正整数 }n\text{ が存在する}\}

と書く。このとき、次が成り立つ。

  1. K0=(tor⁡Γ)⊥K_0=(\operatorname{tor}\Gamma)^\perpであり、K0⊥=tor⁡ΓK_0^\perp=\operatorname{tor}\Gammaである。したがって、K/K0^≅tor⁡Γ\widehat{K/K_0}\cong\operatorname{tor}\Gamma、K0^≅Γ/tor⁡Γ\widehat{K_0}\cong\Gamma/\operatorname{tor}\Gammaである。
  2. KKが連結であるための必要十分条件は、Γ\Gammaが捩れなしであることである。
  3. KKが完全不連結であるための必要十分条件は、Γ\Gammaが捩れ群であることである。

証明.主張 (1)を示す。χ∈tor⁡Γ\chi\in\operatorname{tor}\Gammaを取り、χn=1\chi^n=1とする。χ(K0)\chi(K_0)は連結であり、有限群μn={z∈T:zn=1}\mu_n=\{z\in\mathbb T:z^n=1\}に含まれるので、χ(K0)={1}\chi(K_0)=\{1\}である。したがってK0⊆(tor⁡Γ)⊥K_0\subseteq(\operatorname{tor}\Gamma)^\perpである。

x∉K0x\notin K_0を取る。§E14.32 命題 1.1により、K/K0K/K_0はコンパクト Hausdorff な完全不連結可換群である。§E14.32 命題 2.2により、xK0xK_0の像が単位元と異なる有限商FFが存在する。q ⁣:K→Fq\colon K\to Fを商写像の合成とし、y=q(x)≠eFy=q(x)\ne e_Fとおく。有限離散可換群FFに§E14.13 系 2.3を適用し、η(y)≠1\eta(y)\ne1を満たす連続指標η\etaを取る。χ=η∘q\chi=\eta\circ qはKKの連続指標であり、χ(x)≠1\chi(x)\ne1を満たす。FFが有限なのでη∣F∣=1\eta^{|F|}=1であり、χ∈tor⁡Γ\chi\in\operatorname{tor}\Gammaとなる。よってx∉(tor⁡Γ)⊥x\notin(\operatorname{tor}\Gamma)^\perpであり、最初の等式を得る。

§E14.16 命題 4.1によりΓ\Gammaは離散群なので、tor⁡Γ\operatorname{tor}\Gammaは閉部分群である。二重零化域の等式§E14.16 定理 3.2 (1)をΓ\Gammaに適用すると、K0⊥=tor⁡ΓK_0^\perp=\operatorname{tor}\Gammaを得る。二つの双対同型は、それぞれ§E14.16 定理 3.2 (2)と§E14.16 定理 3.2 (3)による。

主張 (2)を示す。KKが連結ならばK0=KK_0=Kなので、tor⁡Γ=K⊥={1}\operatorname{tor}\Gamma=K^\perp=\{1\}である。逆にtor⁡Γ={1}\operatorname{tor}\Gamma=\{1\}ならば、主張 (1)によりK0={1}⊥=KK_0=\{1\}^\perp=Kである。

主張 (3)を示す。位相群の各点の連結成分はK0K_0の剰余類なので、KKが完全不連結であることとK0={e}K_0=\{e\}は同値である。K0={e}K_0=\{e\}ならば、主張 (1)の等式K0⊥=tor⁡ΓK_0^\perp=\operatorname{tor}\Gammaにより、tor⁡Γ={e}⊥=Γ\operatorname{tor}\Gamma=\{e\}^\perp=\Gammaとなる。逆にtor⁡Γ=Γ\operatorname{tor}\Gamma=\Gammaならば、同じ項の等式K0=(tor⁡Γ)⊥K_0=(\operatorname{tor}\Gamma)^\perpによりK0=Γ⊥K_0=\Gamma^\perpとなる。§E14.13 系 2.3によりΓ⊥={e}\Gamma^\perp=\{e\}なので、KKは完全不連結である。▨

例 2.2. 離散有理数群Qd\Q_{\mathrm d}は非連結であるが、Qd^\widehat{\Q_{\mathrm d}}は捩れなしである。実際、χn=1\chi^n=1を満たす指標χ\chiと任意のq∈Qq\in\Qに対して

χ(q)=χ(q/n)n=1\chi(q)=\chi(q/n)^n=1

なので、有限位数の指標は自明指標に限られる。Qd\Q_{\mathrm d}は無限離散群なのでコンパクトでない。したがって定理 2.1 (2)のコンパクト性を外すことはできない。

3 重みと円周群の直積への閉埋込み

命題 3.1.KKを無限コンパクト Hausdorff 可換群とする。このとき、開基の濃度の最小値である重みについて

w(K)=∣K^∣w(K)=|\widehat K|

が成り立つ。有限可換群KKについてはw(K)=∣K∣=∣K^∣w(K)=|K|=|\widehat K|である。

証明.§E14.16 定理 4.2によりw(K)=w(K^)w(K)=w(\widehat K)であり、§E14.16 命題 4.1によりK^\widehat Kは離散である。離散空間XXの任意の開基は、各x∈Xx\in Xに対して{x}\{x\}を含まなければならない。一点集合全体も開基なのでw(X)=∣X∣w(X)=|X|であり、無限の場合の等式を得る。有限 Hausdorff 群KKは離散であり、§E14.13 例 4.3 (4)により∣K^∣=∣K∣|\widehat K|=|K|なので、有限の場合の等式も成り立つ。▨

命題 3.2.KKをコンパクト Hausdorff 可換群とする。このとき、評価写像

ev⁡ ⁣:K⟶TK^,ev⁡(x)=(χ(x))χ∈K^\ev\colon K\longrightarrow\mathbb T^{\widehat K}, \qquad \ev(x)=(\chi(x))_{\chi\in\widehat K}

は閉像をもつ位相群の埋込みである。

証明. 各座標は連続指標なので、ev⁡\evは連続準同型である。§E14.13 系 2.3によりev⁡\evは単射である。KKはコンパクトであり、TK^\mathbb T^{\widehat K}は Hausdorff なので、§E2.19 定理 6.8によりev⁡\evは像への同相写像である。像はコンパクトなので、§E2.19 命題 6.4により閉じている。▨

4 直積の双対と具体例

補題 4.1.(Ki)i∈I(K_i)_{i\in I}をコンパクト Hausdorff 可換群の族とし、K=∏i∈IKiK=\prod_{i\in I}K_iとする。このとき、KKの任意の連続指標は有限個の座標にのみ依存し、写像

⨁i∈IKi^⟶K^,(χi)i∈I⟼(x⟼∏i∈Iχi(xi))\bigoplus_{i\in I}\widehat{K_i}\longrightarrow\widehat K, \qquad (\chi_i)_{i\in I}\longmapsto \left(x\longmapsto\prod_{i\in I}\chi_i(x_i)\right)

は離散群の同型である。積のうち自明指標でない因子は有限個に限られる。

証明.χ∈K^\chi\in\widehat Kを取る。χ\chiの連続性と積位相の定義により、ある有限集合F⊆IF\subseteq Iと各i∈Fi\in Fの単位元の開近傍UiU_iに対して

∏i∈FUi×∏i∉FKi⊆χ−1({z∈T:ℜz>0})\prod_{i\in F}U_i\times\prod_{i\notin F}K_i \subseteq\chi^{-1}(\{z\in\mathbb T:\Re z>0\})

となる。左辺は部分群N={x∈K:xi=ei (i∈F)}N=\{x\in K:x_i=e_i\ (i\in F)\}を含む。§E14.13 補題 4.1によりχ(N)={1}\chi(N)=\{1\}である。よってχ\chiは有限座標への射影pr⁡F ⁣:K→∏i∈FKi\pr_F\colon K\to\prod_{i\in F}K_iを通じて因子化する。誘導される指標は、残りの座標に単位元を入れる連続な切断とχ\chiの合成なので連続である。有限直積の双対§E14.13 補題 1.3によって表示した形を得る。

逆に、有限個の連続指標の積は連続指標である。各因子KiK_iへの制限によりχi\chi_iを復元することができるので、表示した写像は単射でもある。§E2.19 定理 8.2によりKKはコンパクトであり、§E14.16 命題 4.1により双対群はすべて離散なので、この群同型は位相群としての同型でもある。▨

例 4.2.IIを空でない集合とする。このとき

TI^≅⨁i∈IZ,w(TI)=max⁡(ℵ0,∣I∣),\widehat{\mathbb T^I}\cong\bigoplus_{i\in I}\Z, \qquad w(\mathbb T^I)=\max(\aleph_0,|I|),

であり、TI\mathbb T^Iは連結である。双対同型は補題 4.1と§E14.13 例 4.3 (2)による。整数群の直和は捩れなしなので、定理 2.1 (2)により連結性を得る。

直和の元は有限個の添字と整数係数で指定されるので、その濃度はmax⁡(ℵ0,∣I∣)\max(\aleph_0,|I|)以下である。一つの座標からZ\Zが入り、各座標の標準生成元は互いに異なるので、濃度はℵ0\aleph_0と∣I∣|I|の双方以上である。重みの等式は命題 3.1による。特に、IIが非可算ならば、円周群の直積は連結性を保ったまま、円周群より大きな重みをもつ。

例 4.3.a≥2a\geq2を整数とし、Q\QとZ[1/a]\Z[1/a]に離散位相を入れる。このとき

Q^^≅Q,Σa^≅Z[1/a]\widehat{\widehat\Q}\cong\Q, \qquad \widehat{\Sigma_a}\cong\Z[1/a]

である。いずれの双対群も捩れなしであり、可算無限である。したがって定理 2.1 (2)と命題 3.1により、Q^\widehat\QとΣa\Sigma_aは連結であり、重みはともにℵ0\aleph_0である。

ここでΣa\Sigma_aは§E14.33 命題 3.2の同型

Z[1/a]^≅{(zn)n≥0:zn+1a=zn}\widehat{\Z[1/a]}\cong \{(z_n)_{n\geq0}:z_{n+1}^a=z_n\}

によるソレノイドである。Q^^≅Q\widehat{\widehat\Q}\cong\Qは§E14.16 定理 2.1による。Σa^≅Z[1/a]\widehat{\Sigma_a}\cong\Z[1/a]は、表示した同型と同定理による。無理数ttに対して、Σa\Sigma_aの元(e2πit/an)n≥0(e^{2\pi it/a^n})_{n\geq0}は§E14.33 命題 3.2により位相的生成子である。Q^\widehat\Qでも、§E14.33 例 3.3によりq↦e2πitqq\mapsto e^{2\pi itq}が位相的生成子である。

Q\QとZ[1/a]\Z[1/a]は巡回群ではない。実際、q∈Q∖{0}q\in\Q\setminus\{0\}に対してq/2∉Zqq/2\notin\Z qである。また、m/an∈Z[1/a]m/a^n\in\Z[1/a]が生成する群には1/an+11/a^{n+1}は属さない。m=0m=0の場合も全体を生成しない。一方、円周群の双対は巡回群Z\Zなので、Q^\widehat\QとΣa\Sigma_aは円周群と位相群として同型ではない。

例 4.4.ppを全素数にわたらせ、P=∏pZpP=\prod_p\Z_pとする。このとき

P^≅⨁pZ[1/p]/Z,w(P)=ℵ0,\widehat P\cong\bigoplus_p\Z[1/p]/\Z, \qquad w(P)=\aleph_0,

であり、PPは完全不連結である。双対同型は補題 4.1と§E14.13 例 4.3 (5)による。各Z[1/p]/Z\Z[1/p]/\Zの元はppの冪で零になり、直和の元の台は有限なので、P^\widehat Pは捩れ群である。定理 2.1 (3)により完全不連結性を得る。

素数全体は可算であり、各Z[1/p]/Z\Z[1/p]/\Zも可算なので、有限台の元全体は可算である。一つの素数ppについて位数pnp^nの元がすべての正整数nnに対して存在するので、双対群は無限である。したがって命題 3.1によりw(P)=ℵ0w(P)=\aleph_0である。

例 4.5. 円周群の直積への閉埋込みは、円周群の直積からの連続全射による表示とは異なる。二元離散群Z/2Z\Z/2\Zは、どのTI\mathbb T^Iの連続準同型像にもならない。I≠∅I\ne\varnothingならば例 4.2によりTI\mathbb T^Iは連結であり、その連続像も連結だからである。I=∅I=\varnothingならば定義域は一元群である。

連結なコンパクト可換群Q^\widehat\Qも、円周群の直積からの連続全射準同型の像にはならない。連続全射v ⁣:TI→Q^v\colon\mathbb T^I\to\widehat\Qが存在すれば、指標の引戻しと§E14.16 定理 2.1により単射準同型

v∗ ⁣:Q⟶⨁i∈IZv^*\colon\Q\longrightarrow\bigoplus_{i\in I}\Z

を得る。しかし、任意の準同型h ⁣:Q→Zh\colon\Q\to\Zに対して、h(q)=nh(q/n)h(q)=n h(q/n)はすべての正整数nnについて成り立つので、h(q)=0h(q)=0である。v∗v^*の各整数座標への合成は零であり、したがってv∗=0v^*=0となって単射性に反する。

5 被覆次元と捩れなし階数

定義 5.1 (捩れなし階数). 可換群AAの部分集合SSが整数係数に関して一次独立であるとは、相異なる有限個の元s1,…,sm∈Ss_1,\ldots,s_m\in Sと整数n1,…,nmn_1,\ldots,n_mに対して、∑j=1mnjsj=0\sum_{j=1}^mn_js_j=0ならばn1=⋯=nm=0n_1=\cdots=n_m=0となることをいう。一次独立な有限部分集合の濃度の上限をAAの捩れなし階数 (torsion-free rank) といい、その上限が有限整数でない場合は、階数が無限であるという。ここでは無限階数の基数どうしを区別しない。

定理 5.2.KKをコンパクト Hausdorff 可換群とする。このとき、K^\widehat Kの捩れなし階数が有限整数rrならば、被覆次元はdim⁡K=r\dim K=rである。捩れなし階数が無限ならば、dim⁡K=∞\dim K=\inftyである。ここでdim⁡\dimは§E2.47 定義 1.4の被覆次元である。

注意 5.3.定理 5.2の証明は省く。証明については参考文献に挙げた Morris の著書を参照されたい。

例 5.4.a≥2a\geq2を整数とする。このとき、定理 5.2により

dim⁡Q^=1,dim⁡Σa=1,dim⁡∏pZp=0\dim\widehat\Q=1,\qquad \dim\Sigma_a=1, \qquad \dim\prod_p\Z_p=0

となる。実際、Q\QとZ[1/a]\Z[1/a]は非零の捩れなし群であり、任意の二元の間に整数係数の非自明な一次関係があるので、捩れなし階数は11である。一方、捩れ群⨁pZ[1/p]/Z\bigoplus_p\Z[1/p]/\Zの各元はある正整数で零になるので、空でない一次独立な部分集合をもたず、捩れなし階数は00である。これらの双対同型は例 4.3と例 4.4による。

参考文献

  1. Sidney A. Morris, Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups, London Mathematical Society Lecture Note Series 29, Cambridge University Press, Cambridge, 2008, originally published 1977.コンパクト可換群の連結性と双対群の捩れの対応、および被覆次元と双対群の捩れなし階数の関係を参考にした。

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