§E14.29測度保存変換群と Koopman 表現

証明.$g\colon X_g\to Y_g$と$h\colon X_h\to Y_h$の合成は$X_h\cap h^{-1}(X_g\cap Y_h)$上で定義される。除かれる集合は$h^{-1}(Y_h\setminus X_g)$に含まれ、$h$の測度保存性から零集合である。合成の像も充満測度であり、合成とその逆は可測かつ測度保存である。同値な代表へ変更したときに合成が変わる集合も、零集合と零集合の逆像の合併に含まれる。したがって積は同値類上で定まり、結合律、恒等変換、逆変換が群の公理を満たす。

測度保存性から、非負単関数$s$に対して$\int s\circ g^{-1}\,d\mu=\int s\,d\mu$である。非負可測関数の単関数近似と§E10.11 定理 1.1によって、この等式は任意の非負可測関数にも成り立つ。従って$\|U_gf\|_2=\|f\|_2$であり、$U_g$は関数の同値類上で定まる。合成の計算から$U_{gh}=U_gU_h$および$U_{g^{-1}}=U_g^{-1}$を得る。$U_g$は線形な全射等長作用素なのでユニタリ作用素である。▨

証明. 半開二進区間

に対して、$\alpha([I_{n,k}])$の可測代表$F_{n,k}$を選ぶ。各$n$における分割の等式と、親子の等式

は零集合を除いて成り立つ。等式が破れる例外集合をすべて除くと、可算個の零集合を除いた充満測度集合$Y_0$を得る。各$y\in Y_0$に対して$y\in F_{n,k_n}$を満たす$k_n$は一意であり、区間$I_{n,k_n}$は一つの単位区間内で入れ子になっている。

閉区間$\overline{I_{n,k_n}}$の共通部分は一点である。その点が半開区間の共通部分に属さない場合には、ある二進有理数$b$が存在し、十分大きい$n$について$I_{n,k_n}=[b-2^{-n},b)$となる。固定した$b$に対応する$y$の集合は、$Y_0$内で測度$2^{-n}$の集合の減少共通部分に含まれる。最初の集合の測度が有限なので、測度の上からの連続性により共通部分は零集合である。二進有理数は可算であるから、該当する$y$をすべて除いても充満測度集合$Y_1$が残る。

$y\in Y_1$に対し、$h(y)$を$\bigcap_n I_{n,k_n}$の唯一の点とする。例外零集合上では$h=0$と定める。すると

である。この等式が成り立つ Borel 集合の全体は、逆像と$\alpha$が補集合と可算和を保つことから$\sigma$代数である。二進区間が Borel 集合を生成するので、任意の Borel 集合$A$に対して$[h^{-1}(A)]=\alpha([A])$を得る。特に$h$は Borel 集合の逆像を Lebesgue 可測集合へ送り、$\mu(h^{-1}(A))=\mu(A)$である。

任意の Lebesgue 零集合は Borel 零集合に含まれる。その逆像は Borel 零集合の逆像の部分集合であるから、Lebesgue 可測かつ零集合である。Lebesgue 可測集合$A$は Borel 集合と零集合を除いて一致するので、$h$は Lebesgue 可測であり、$[h^{-1}(A)]=\alpha([A])$はすべての Lebesgue 可測集合について成り立つ。

$\alpha^{-1}$に同じ構成を適用して$k$を得る。$h,k$は零集合の逆像を零集合へ送るので、任意の二進区間$I$に対し

である。二進区間は可算であり点を分離するので、$hk=kh=I$がほとんど至る所で成り立つ。従って、$X=\{x:h(k(x))=x\}$と$Y=\{y:k(h(y))=y\}$は充満測度の可測集合である。$x\in X$ならば$k(x)\in Y$、$y\in Y$ならば$h(y)\in X$なので、$k\colon X\to Y$と$h\colon Y\to X$は互いに逆である。両写像は逆像の測度を保つ。従って$g=k|_X$は$G$の元を定め、$[gA]=[h^{-1}(A)]=\alpha([A])$となる。

同じ$\alpha$を実現する二つの変換の逆写像は、各二進区間の逆像が零集合を除いて一致する。可算個の例外を同時に除き、二進区間の点分離性を適用すると、両逆写像はほとんど至る所で一致する。従って両変換も同じ群の元を定める。▨

証明.$f\in H$と$\varepsilon>0$に対し、§E10.23 定理 2.2を$p=2$、$\mathbb K=\C$に適用して、$\|f-s\|_2<\varepsilon$を満たす$L^2$単関数$s$を取る。非零の値$c$のレベル集合$E_c=\{x:s(x)=c\}$は

を満たすので有限測度である。したがって$s$は有限測度集合の指示関数の有限線形結合であり、その線形包は稠密である。$f\geq0$の場合には$s$を$s_+=\max\{\Re s,0\}$に置き換える。点ごとに$|f-s_+|\leq|f-s|$であり、$s_+$は$s$の非零レベル集合の有限和を台とする非負単関数なので、必要な非負近似を得る。

$A$を有限測度の可測集合とし、$\varepsilon>0$とする。§E10.16 定理 8.2と§E10.16 定理 9.1により、コンパクト集合$K$と開集合$O$を

となるように取る。$O$内の有理端点の有界開区間は$K$を覆う。有限部分被覆の合併を$F$とすると、$K\subseteq F\subseteq O$であるから$\mu(A\mathbin\triangle F)<\varepsilon$である。$K=\emptyset$の場合には$F=\emptyset$としてよい。従って

有限合併の指示関数は、包除公式により有理端点区間の指示関数の整数係数有限和である。単関数の各指示関数にこの近似を適用し、さらに有限個の複素係数を$\Q+i\Q$で近似すれば、主張の可算集合の稠密性を得る。▨

証明.$U_g1_A=1_{gA}$はすべての有限測度集合$A$に対して成り立つ。$U_g=U_h$ならば、各有限測度集合で$[gA]=[hA]$である。単位区間による分割に沿って任意の可測集合を可算和に分ければ、この等式はすべての可測集合について成り立つ。補題 1.2の一意性から$g=h$である。従って$U$は忠実であり、位相の定義と§E14.8 定理 1.2により像への位相群としての同型である。

ネット$(U_{g_a})$が$V\in \Uni(H)$へ強収束するとする。§E14.8 定理 1.2の逆写像の連続性から$U_{g_a}^{-1}\to V^{-1}$も強収束する。有限測度集合$A$を取る。ネットの項から

となる列を選ぶ。二乗誤差の積分の和が有限であるから、§E10.11 定理 1.1を誤差の部分和へ適用すると、誤差の二乗和はほとんど至る所で有限である。従って$1_{g_{a_n}A}$はほとんど至る所で$V1_A$の代表関数へ収束する。$0,1$のいずれかを値とする列の極限も$0,1$のいずれかなので、$V1_A=1_{\alpha_0([A])}$と書くことができる。ここでは右辺の添字を測度環の元として用いる。等長性から$\mu(\alpha_0([A]))=\mu(A)$である。$V^{-1}$から同じ方法で写像$\beta_0$を得る。$V^{-1}V=VV^{-1}=I$なので$\beta_0\alpha_0=\alpha_0\beta_0=I$である。

補題 2.1の非負近似により、$V,V^{-1}$はともに$L^2$の正錐を保つ。正錐が閉じていることは、上と同じ二乗誤差の可算和によるほとんど至る所の収束から従う。従って有限測度集合の包含順序は$\alpha_0,\beta_0$で保存される。交わりは包含順序の最大下界なので保存される。有限和も最小上界として保存され、差は$1_{A\setminus B}=1_A-1_{A\cap B}$と線形性から保存される。$A_n\uparrow A$、$\mu(A)<\infty$ならば$1_{A_n}\to1_A$が$L^2$で成り立つので、$\alpha_0([A_n])\uparrow\alpha_0([A])$である。

$E_k=[k,k+1)$、$k\in\Z$とおき、$F_k$を$\alpha_0([E_k])$の互いに素な代表とする。$\R\setminus\bigcup_kF_k$が正測度ならば、その中に$0<\mu(B)<\infty$を満たす可測集合$B$が存在する。各$A\subseteq E_k$に対して$\alpha_0([A])\leq[F_k]$なので、$1_B$は$V1_A$に直交する。一方、任意の有限測度集合$A$は$A\cap[-n,n)$の増加和であり、その各項は有限個の$A\cap E_k$の非交和である。補題 2.1により、$A\subseteq E_k$なる指示関数の線形包は$H$で稠密である。$V$は全射なので$1_B$は$H$全体に直交し、$\mu(B)=\|1_B\|_2^2=0$となる。この矛盾により、$\bigcup_kF_k$は充満測度である。

任意の可測集合$A$に対して

と定める。$A$が有限測度ならば、有限個の単位区間への切り詰めと増加和の保存から$\alpha([A])=\alpha_0([A])$である。任意の可測集合列$(A_j)$に対して、固定した$k$の内部で有限和と有限測度の増加和の保存を用いると

となる。$k$について上限を取れば、$\alpha$は可算和を保つ。また$\alpha_0([E_k\setminus A])=[F_k]\setminus\alpha_0([A\cap E_k])$であり、$(F_k)$は全空間を零集合を除いて分割するから、$\alpha$は補集合を保つ。像の各部分は互いに素であるため、可算加法性から$\mu(\alpha([A]))=\sum_k\mu(A\cap E_k)=\mu(A)$である。

$V^{-1}$からも同じ構成で可算和を保つ写像$\beta$を得る。有限測度集合上で$\beta\alpha=\alpha\beta=I$であり、任意の可測集合を単位区間内の有限測度集合の可算和に分けると、両合成は測度環全体で恒等写像になる。従って$\alpha$は測度保存自己同型である。補題 1.2により$\alpha([A])=[gA]$となる$g\in G$が存在する。有限測度指示関数上で$V1_A=U_g1_A$であり、補題 2.1の稠密性から$V=U_g$である。従って像は閉じている。§E14.25 補題 5.1と§E14.25 系 1.4によって$G$は Raikov 完備である。

単位元近傍$W$を取る。強位相の定義から、単位ベクトル$f_1,\ldots,f_m\in H$と$\varepsilon>0$を

となるように取ることができる。零ベクトルの条件は除き、非零ベクトルを正規化して閾値の最小値を取ればよい。条件が空ならば任意の単位ベクトルの条件を追加する。§E14.8 命題 3.1により$U^{\oplus m}$は連続なユニタリ表現である。

とおき、$\pi$を$K$上への制限表現とする。$K$は各作用素とその逆で不変であり、$v$は巡回単位ベクトルである。さらに

従って$\eta=\varepsilon^2/(2m)$とすれば、$|1-\langle\pi(g)v,v\rangle|<\eta$から各$\|U_gf_j-f_j\|<\varepsilon$が従う。係数近傍は連続性により単位元近傍であり、任意の$W$を細分する。$G$は忠実な位相的埋込みにより Hausdorff であるから、これらの係数は相異なる元も分離する。▨

証明.補題 2.1により$H=L^2(\R,\mu)$は可分である。単位球の可算稠密列$(\xi_n)_{n\geq1}$を取り、$\Uni(H)$上で

と定める。各項は三角不等式を満たす。$d(S,T)=0$ならば稠密な列上で$S=T$なので、連続性から作用素として$S=T$である。従って$d$は距離である。

ノルムが$1$の作用素については、稠密列上の収束から、任意の単位ベクトル$\xi$と$\xi_n$に対する

により、すべてのベクトル上の強収束が従う。級数の尾部は一様に小さいので、$d$に関する収束は作用素と逆作用素の同時強収束に一致する。§E14.8 定理 1.2によって、$d$は強位相を定める。$d$に関する Cauchy 列は作用素と逆作用素を各ベクトル上で Cauchy にする。§E14.25 補題 5.1により、この列は両側 Cauchy 列であり、強位相でユニタリ作用素へ収束する。したがって、$d$に関しても収束する。従って$d$は完備である。

写像$T\mapsto(T\xi_n,T^{-1}\xi_n)_{n\geq1}$は$\Uni(H)$を可算積$(H\times H)^{\NN}$へ位相的に埋め込む。可分距離空間$H$の可算基は、可算稠密集合を中心とする有理半径の開球から得られる。可算積の基では有限個の座標だけを指定するので、積も第二可算である。従って部分空間$\Uni(H)$は第二可算である。命題 3.1の閉部分群$U(G)$も第二可算であり、$d$の制限は完備である。各非空基本開集合から一点ずつ取れば可算稠密集合を得るので、$G$は可分かつ完備距離化可能、すなわち Polish 群である。

有限測度集合$A,B$に対し

である。従って交差測度を連続にする位相は強位相より粗い。逆に$g_a,g\in G$についてすべての交差測度が収束すると、有限測度指示関数の線形包に属する$s,t$に対して$\langle U_{g_a}s,t\rangle\to\langle U_gs,t\rangle$である。任意の$f,h\in H$に対して

であり、同じ評価は$U_g$にも成り立つ。補題 2.1によって$s,t$を近似すれば、任意の$f,h$に対する係数の収束を得る。§E14.8 定理 1.2により弱収束は$\Uni(H)$内での強収束に一致する。ネットによる連続性の判定から、二つの位相は一致する。▨