二乗可積分関数の Hilbert 空間 | 測度と積分

定義 1.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $\mathbb K$ を $\R$ または $\C$ とする。可測関数 $f:X\to\mathbb K$ が二乗可積分 (square integrable) であるとは、 $\int_X|f|^2\,d\mu<\infty$ であることをいう。二乗可積分関数全体を、 $\mu$ に関してほとんど至る所で等しいという同値関係で割った集合を $L^2(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K)$ と書く。同値類 $[f],[g]$ の和とスカラー倍を $[f]+[g]=[f+g]$ 、 $a[f]=[af]$ と定め、

\langle[f],[g]\rangle=\int_Xf\overline g\,d\mu,\qquad \|[f]\|_2=\left(\int_X|f|^2\,d\mu\right)^{1/2}

と定める。実数体では $\overline g=g$ とする。

命題 1.2. 任意の測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ と $\mathbb K=\R,\C$ に対して、 $L^2(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K)$ の演算は代表関数の選び方に依存せず、 $\mathbb K$ 上のベクトル空間を定める。積分で定めた内積は代表関数に依存せず、第一変数に関して線形な正定値内積である。その内積が定めるノルムは $\|\cdot\|_2$ である。

証明. 二乗可積分関数 $f,g$ と $a,b\in\mathbb K$ に対して

|af+bg|^2\leq2|a|^2|f|^2+2|b|^2|g|^2

であるから、 $af+bg$ は二乗可積分である。代表関数をほとんど至る所で一致する関数に変更しても、例外となる零集合の有限和の外では和とスカラー倍が一致する。したがって、商の演算は代表関数の選び方に依存しない。ベクトル空間の各公理は関数の点ごとの演算から従う。

不等式 $2|f\overline g|\leq|f|^2+|g|^2$ により $f\overline g$ は可積分である。可測性は実部・虚部と有限次元の連続な乗法から従う。§E10.10 定理 3.2により内積は代表関数に依存しない。§E10.10 定理 2.3により内積は第一変数に関して線形である。複素積分の定義から $\int\overline u\,d\mu=\overline{\int u\,d\mu}$ である。したがって、内積は共役対称である。 $\langle[f],[f]\rangle=\int|f|^2\,d\mu\geq0$ であり、§E10.10 命題 3.4により等号は $f=0$ a.e. と同値である。▨

定理 1.3. 任意の測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ と $\mathbb K=\R,\C$ に対して、 $L^2(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K)$ の任意の元 $u,v$ は

|\langle u,v\rangle|\leq\|u\|_2\|v\|_2

を満たす。

証明.命題 1.2の内積に§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式を適用すればよい。▨

系 1.4. 任意の測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ と $\mathbb K=\R,\C$ に対して、 $L^2(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K)$ の任意の元 $u,v$ は $\|u+v\|_2\leq\|u\|_2+\|v\|_2$ を満たす。

証明.命題 1.2と§E10.3 補題 1.2により $\|\cdot\|_2$ は内積から定まるノルムであるから、その三角不等式を適用すればよい。▨

補題 2.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を任意の測度空間とし、 $d_n:X\to\mathbb K$ （ $\mathbb K=\R,\C$ ）を二乗可積分関数の列とする。このとき、 $\sum_n\|[d_n]\|_2<\infty$ ならば、 $G=\sum_n|d_n|$ は非負拡張実数値可測関数であり、

\left(\int_XG^2\,d\mu\right)^{1/2}\leq\sum_n\|[d_n]\|_2

である。特に、級数 $\sum_nd_n(x)$ はほとんど至る所で絶対収束する。

証明. $G_N=\sum_{n=1}^N|d_n|$ とおく。有限回の系 1.4により $\|[G_N]\|_2\leq\sum_{n=1}^N\|[d_n]\|_2$ である。 $G_N\uparrow G$ であるから、 $G$ は可測である。§E10.11 補題 2.1を $G_N^2$ へ適用すると

\int_XG^2\,d\mu\leq\liminf_N\int_XG_N^2\,d\mu \leq\left(\sum_n\|[d_n]\|_2\right)^2<\infty

を得る。§E10.10 命題 3.5により $Z=\{G=\infty\}$ は可測零集合である。 $X\setminus Z$ 上では $\sum_n|d_n(x)|<\infty$ なので、 $\R$ または $\C$ の完備性によって級数は収束する。▨

定理 2.2. 任意の測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ と $\mathbb K=\R,\C$ に対して、 $L^2(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K)$ は上の内積に関して Hilbert 空間である。すなわち、任意の $L^2$ Cauchy 列は、 $\mathbb K$ 値可測関数の同値類へ $L^2$ ノルムで収束する。

証明. $\sum_{n=1}^\infty\|u_n\|_2<\infty$ を満たす $L^2$ の列 $(u_n)$ をとる。可算選択公理により、各 $u_n$ の二乗可積分な代表関数 $d_n:X\to\mathbb K$ を同時に選ぶ。補題 2.1により、 $G=\sum_n|d_n|$ は可測で $\int_XG^2\,d\mu<\infty$ を満たし、 $Z=\{G=\infty\}$ は可測零集合である。 $X\setminus Z$ 上で

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}d_n(x)

と定め、 $Z$ 上で $f=0$ とする。各部分和を $Z$ 上で0に変更した関数列は全点で $f$ へ収束する。実数値の場合は可測極限の閉性、複素数値の場合は実部・虚部の可測極限の閉性から、 $f:X\to\mathbb K$ は可測である。 $|f|\leq G$ であるから $f$ は二乗可積分である。

各 $N\geq1$ に対して、 $X\setminus Z$ 上で

\left|f-\sum_{n=1}^Nd_n\right|\leq\sum_{n=N+1}^{\infty}|d_n|

である。補題 2.1を尾部に適用し、積分の単調性と零集合上での変更に関する不変性を用いると

\left\|[f]-\sum_{n=1}^Nu_n\right\|_2 \leq\sum_{n=N+1}^{\infty}\|u_n\|_2\longrightarrow0

を得る。したがって、§E10.1 命題 1.5により $L^2$ は Banach 空間であり、上の内積に関して Hilbert 空間である。▨

例 3.1. $X=\{0,1,2\}$ 、 $\mathcal F=\mathcal P(X)$ とし、 $\mu(A)=\mathbf1_A(1)+2\mathbf1_A(2)$ と定める。係数体を $\mathbb K=\R,\C$ とする。このとき、任意の関数 $f:X\to\mathbb K$ は二乗可積分であり、

\|[f]\|_2^2=|f(1)|^2+2|f(2)|^2,\qquad \langle[f],[g]\rangle=f(1)\overline{g(1)}+2f(2)\overline{g(2)}

である。 $\mu(\{0\})=0$ であるから、 $[f]=[g]$ であることは $f(1)=g(1)$ かつ $f(2)=g(2)$ と同値である。したがって、 $[f]\mapsto(f(1),\sqrt2f(2))$ は $L^2(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K)$ から $\mathbb K^2$ への内積を保つ線形全単射である。

たとえば、実数値関数を $f(0)=7,f(1)=1,f(2)=2$ 、 $g(0)=-3,g(1)=2,g(2)=-1$ と定めると、

\langle[f],[g]\rangle=2-4=-2,\qquad \|[f]\|_2=3,\qquad \|[g]\|_2=\sqrt6

を得る。 $f(0)$ と $g(0)$ を任意の値に変更しても、同値類と内積とノルムは変わらない。

例 4.1. $\lambda_1^B$ の $[-1,1]$ への制限を $\lambda$ とする。 $\mathbb K=\R,\C$ に対して $H=L^2([-1,1],\mathcal B([-1,1]),\lambda;\mathbb K)$ 、 $M=\operatorname{span}\{1,x\}$ とし、 $f(x)=x^3$ と定める。ここでは関数をその同値類と同じ記号で表す。このとき、 $1,x,x^3$ は有界かつ可測である。したがって、 $\lambda([-1,1])=2$ より、いずれも二乗可積分である。

多項式 $x^{2j}$ （ $j=0,1,2,3$ ）、 $x$ 、 $x^3$ に§E10.10 系 5.2を適用すると、

\int_{-1}^1x^{2j}\,d\lambda=\frac{2}{2j+1}\quad(j=0,1,2,3),\qquad \int_{-1}^1x\,d\lambda=\int_{-1}^1x^3\,d\lambda=0

を得る。

したがって、 $e_0=1/\sqrt2$ と $e_1=\sqrt{3/2}\,x$ は $M$ の正規直交基底である。 $\langle f,e_0\rangle=0$ 、 $\langle f,e_1\rangle=\sqrt{3/2}\,(2/5)=\sqrt6/5$ であるから、§E10.3 補題 3.2により

P_Mf=\langle f,e_0\rangle e_0+\langle f,e_1\rangle e_1=\frac35x

である。また、同補題の誤差公式により

\|f-P_Mf\|_2^2 =\|f\|_2^2-|\langle f,e_0\rangle|^2-|\langle f,e_1\rangle|^2 =\frac27-\frac6{25}=\frac8{175}.

同補題の最良近似点の一意性により、任意の $m\in M$ に対して $\|f-m\|_2^2\geq8/175$ であり、等号は $m=3x/5$ のときに限る。

例 4.2. $\lambda_1^B$ の $[0,1]$ への制限を $\lambda$ とする。 $\mathbb K=\R,\C$ に対して $H=L^2([0,1],\mathcal B([0,1]),\lambda;\mathbb K)$ とし、内積を $\langle h,g\rangle=\int_0^1h\overline g\,d\lambda$ とする。区間 $[0,1/2]$ 上の平均をとる汎関数を

F(h)=2\int_{[0,1/2]}h\,d\lambda

と定める。 $g=2\mathbf1_{[0,1/2]}$ とおく。このとき、 $\|g\|_2^2=4\lambda([0,1/2])=2$ である。任意の $h\in H$ の代表関数に対して $h\overline g$ は可積分である。§E10.10 命題 4.1により $h$ の $[0,1/2]$ への制限も可積分であり、 $F(h)=\langle h,g\rangle$ である。したがって、 $F$ は代表関数に依存しない線形汎関数であり、定理 1.3により $|F(h)|\leq\sqrt2\|h\|_2$ を満たす。定理 2.2により $H$ は Hilbert 空間であるから、§E10.5 定理 1.1により $g$ は $F$ の一意な表現ベクトルであり、 $\|F\|=\|g\|_2=\sqrt2$ である。

例 4.3. $\lambda_1^B$ の $[-\pi,\pi]$ への制限を $\lambda$ とする。 $\mathbb K=\R,\C$ に対して $H=L^2([-\pi,\pi],\mathcal B([-\pi,\pi]),\lambda;\mathbb K)$ とする。正規化した三角関数系

e_0=\frac1{\sqrt{2\pi}},\qquad c_n(x)=\frac{\cos(nx)}{\sqrt\pi},\qquad s_n(x)=\frac{\sin(nx)}{\sqrt\pi}\quad(n\geq1)

が $H$ で完全であると仮定する。

このとき、任意の正整数 $n,m$ について、 $x^2$ 、 $x\sin(nx)$ 、 $x\cos(nx)$ および三角関数の積は $[-\pi,\pi]$ 上で連続である。§E10.10 系 5.2により、それらの積分値は原始関数の端点差に等しい。積和公式と $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\,d\lambda=\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\,d\lambda=0$ （整数 $k\ne0$ ）から、 $(e_0,c_1,s_1,c_2,s_2,\ldots)$ は正規直交系である。

$f(x)=x$ は有界可測関数である。したがって、 $\lambda([-\pi,\pi])=2\pi$ より、 $f\in H$ である。奇偶性と原始関数の端点差から $\langle f,e_0\rangle=\langle f,c_n\rangle=0$ であり、

\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\,d\lambda =\left[-\frac{x\cos(nx)}n+\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_{-\pi}^{\pi} =\frac{2\pi(-1)^{n+1}}n.

したがって、正弦係数 $b_n=\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\,d\lambda$ は $2(-1)^{n+1}/n$ であり、 $\langle f,s_n\rangle=\sqrt\pi b_n$ である。定理 2.2と、完全性の仮定のもとでの§E10.3 定理 3.5により Parseval の等式を適用すると、

\frac{2\pi^3}{3}=\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,d\lambda =\pi\sum_{n=1}^{\infty}b_n^2 =4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}

である。したがって、 $\sum_{n\geq1}n^{-2}=\pi^2/6$ を得る。

§E10.13二乗可積分関数の Hilbert 空間

1 二乗可積分関数と内積

2 可測な極限関数と完備性

3 有限原子測度

4 区間上の関数への応用

参考文献

前提記事