Banach 空間値関数の Fubini の定理 | 測度と積分

補題 1.1. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を σ-有限な正測度空間、 $B$ を実または複素 Banach 空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。有限和

R(x,y)=\sum_{j=1}^m b_j\mathbf1_{A_j}(x)\mathbf1_{D_j}(y), \qquad b_j\in B,\quad A_j\in\Sigma,\quad D_j\in\mathcal T, \quad \mu(A_j),\nu(D_j)<\infty

で表される関数を矩形単関数 (rectangle simple function) という。このとき、矩形単関数の同値類は $L^1(\rho;B)$ に稠密である。

証明. 有限測度の可測長方形 $Q=A_0\times D_0$ をとる。 $Q$ 内の可測長方形の有限和全体を $\mathcal R_Q$ とすると、§E10.15 補題 1.3と§E10.15 命題 1.4により、 $\mathcal R_Q$ は $Q$ 上の集合代数であり、 $(\Sigma\otimes\mathcal T)|_Q$ を生成する。

$\mathcal M_Q$ を、任意の $\varepsilon>0$ に対して $R\in\mathcal R_Q$ を $\rho(E\mathbin\triangle R)<\varepsilon$ となるようにとることができる可測集合 $E\subseteq Q$ 全体とする。 $\mathcal M_Q$ は $\mathcal R_Q$ を含む。 $E_n\in\mathcal M_Q$ が単調列で極限集合を $E$ とすると、 $\rho(Q)<\infty$ と測度の上下からの連続性により $\rho(E\mathbin\triangle E_n)\to0$ である。任意の $\varepsilon>0$ に対し、 $n$ と $R\in\mathcal R_Q$ を

\rho(E\mathbin\triangle E_n)<\varepsilon/2, \qquad \rho(E_n\mathbin\triangle R)<\varepsilon/2

となるように選ぶと、 $\rho(E\mathbin\triangle R)<\varepsilon$ である。したがって $\mathcal M_Q$ は単調族であり、§E10.9 定理 2.2により $Q$ 内のすべての積可測集合を含む。

有限測度可測集合の増加列 $A_n\uparrow X$ , $D_n\uparrow Y$ をとり、 $Q_n=A_n\times D_n$ とおく。 $\rho(E)<\infty$ を満たす積可測集合 $E$ に対して、 $\rho(E\setminus Q_n)\to0$ である。有限長方形 $Q_n$ 内の集合環近似を $E\cap Q_n$ に適用し、 $\rho(E\setminus Q_n)\to0$ と合わせると、任意の $\varepsilon>0$ に対して、有限測度長方形の有限和 $R$ を $\rho(E\mathbin\triangle R)<\varepsilon$ となるように選ぶことができる。

任意の $[F]\in L^1(\rho;B)$ と $\varepsilon>0$ に対して、§E10.18 命題 3.3により可積分単関数 $s$ を $\|[F]-[s]\|_1<\varepsilon/2$ となるようにとる。 $s$ の非零レベル集合による表示を $s=\sum_{j=1}^m b_j\mathbf1_{E_j}$ とすると、各 $E_j$ は有限測度である。有限測度の積可測集合の測度近似を各 $E_j$ に適用すると、有限測度長方形の有限和 $R_j$ を

\sum_{j=1}^m\|b_j\|_B\rho(E_j\mathbin\triangle R_j)<\varepsilon/2

となるように選ぶことができる。各 $R_j$ を有限非交和に分解すると、 $R=\sum_jb_j\mathbf1_{R_j}$ は矩形単関数であり、

\|[s]-[R]\|_1 \leq\sum_{j=1}^m\|b_j\|_B\rho(E_j\mathbin\triangle R_j)<\varepsilon/2.

したがって $\|[F]-[R]\|_1<\varepsilon$ である。 $s=0$ の場合には $R=0$ とする。▨

命題 1.2. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を σ-有限な正測度空間、 $B$ を実または複素 Banach 空間とする。 $\rho=\mu\otimes\nu$ とし、 $F:X\times Y\to B$ を $\rho$ -強可測な写像とする。切り口を $F_x(y)=F(x,y)$ と書く。このとき、次の条件は同値である。

$\displaystyle\int_{X\times Y}\|F\|_B\,d\rho<\infty$ である。
可測零集合 $N_X\in\Sigma$ が存在し、すべての $x\in X\setminus N_X$ について $F_x$ は $\nu$ -強可測かつノルム可積分であり、写像 $S_F:X\longrightarrow L^1(\nu;B),\qquad S_F(x)=\begin{cases}[F_x],&x\notin N_X,\\0,&x\in N_X\end{cases}$ は $\mu$ に関して Bochner 可積分である。

これらの条件が成り立つとき、 $S_F$ の $\mu$ -a.e. の同値類は $N_X$ の選び方に依存せず、

\int_{X\times Y}\|F\|_B\,d\rho =\int_X\|S_F(x)\|_{L^1(\nu;B)}\,d\mu(x)

が成り立つ。座標を交換した切り口 $F^y(x)=F(x,y)$ と写像 $T_F:Y\to L^1(\mu;B)$ についても同じ結論が成り立つ。

証明.§E10.18 命題 1.3により、強 $\Sigma\otimes\mathcal T$ -可測な代表元 $G$ と積可測零集合 $Z$ をとり、 $Z$ の外で $F=G$ とする。 $G$ に各点で収束する可測単関数列の切り口は、§E10.15 命題 7.2により可測単関数であり、各点で $G_x$ に収束する。したがって、すべての $x$ について $G_x$ は強 $\mathcal T$ -可測である。§E10.19 命題 1.2と非負積分の零判定により、ある $\mu$ -可測零集合 $N_0$ の外で $\nu(Z_x)=0$ となる。そのような $x$ について $F_x$ は $\nu$ -強可測であり、 $G_x$ を代表元としてもつ。

§E10.19 定理 2.3を非負積可測関数 $\|G\|_B$ に適用すると、

h(x)=\int_Y\|G_x\|_B\,d\nu

は $[0,\infty]$ 値可測関数であり、

\int_Xh\,d\mu=\int_{X\times Y}\|G\|_B\,d\rho =\int_{X\times Y}\|F\|_B\,d\rho

である。 $x\notin N_0$ では $h(x)=\int_Y\|F_x\|_B\,d\nu$ となる。

主張 (1)を仮定する。 $N_1=\{h=\infty\}$ は§E10.19 系 3.1により可測零集合である。補題 1.1によって矩形単関数 $R_n$ を

\int_{X\times Y}\|G-R_n\|_B\,d\rho\leq2^{-n}

となるように選び、 $e_n(x)=\int_Y\|G_x-(R_n)_x\|_B\,d\nu$ とおく。Tonelli の定理と§E10.11 系 1.5により、 $e_n$ は非負可測関数であり、

\int_X\sum_{n=1}^\infty e_n\,d\mu =\sum_{n=1}^\infty\int_{X\times Y}\|G-R_n\|_B\,d\rho\leq1.

したがって $N_2=\{\sum_ne_n=\infty\}$ も可測零集合である。

$N_X=N_0\cup N_1\cup N_2$ とおく。 $x\notin N_X$ について $[F_x]=[G_x]\in L^1(\nu;B)$ であり、

\|[(R_n)_x]-[F_x]\|_{L^1(\nu;B)}=e_n(x)\longrightarrow0.

各矩形表示 $R_n(x,y)=\sum_jb_{n,j}\mathbf1_{A_{n,j}}(x)\mathbf1_{D_{n,j}}(y)$ に対して、

x\longmapsto[(R_n)_x] =\sum_j\mathbf1_{A_{n,j}}(x)[b_{n,j}\mathbf1_{D_{n,j}}]

は $L^1(\nu;B)$ 値の可測単関数である。 $L^1(\nu;B)$ は§E10.18 定理 3.4により Banach 空間であるから、上の近似により $S_F$ は $\mu$ -強可測である。 $N_X$ の外で $\|S_F(x)\|_1=h(x)$ であるため、そのノルム積分は $\int_Xh\,d\mu<\infty$ に等しい。§E10.18 定理 2.4により $S_F$ は Bochner 可積分である。

主張 (2)を仮定すると、その例外集合と $N_0$ の和の外で $\|S_F(x)\|_1=h(x)$ である。 $S_F$ の強可測代表元のノルムも $h$ とほとんど至る所で一致する。したがって

\int_{X\times Y}\|F\|_B\,d\rho =\int_Xh\,d\mu =\int_X\|S_F\|_1\,d\mu<\infty

となる。二つの例外集合から定めた切り口写像は、その和の外で同じ $[F_x]$ に等しいため、 $\mu$ -a.e. の同値類は一致する。以上の議論で $X,\mu$ と $Y,\nu$ を交換すると、 $T_F$ に関する主張を得る。▨

定理 1.3. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を σ-有限な正測度空間、 $B$ を実または複素 Banach 空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。このとき、切り口の類の写像によって

S:L^1(\rho;B)\longrightarrow L^1\bigl(\mu;L^1(\nu;B)\bigr), \qquad S([F])=[S_F]

と定めると、 $S$ は全射線形等長写像である。座標を交換した写像

T:L^1(\rho;B)\longrightarrow L^1\bigl(\nu;L^1(\mu;B)\bigr), \qquad T([F])=[T_F]

も全射線形等長写像である。

証明. $F=F'$ が $\rho$ -a.e. に成り立つとし、両者が一致しない点を含む積可測零集合を $Z$ とする。§E10.19 命題 1.2により、ある $\mu$ -可測零集合の外で $\nu(Z_x)=0$ となる。切り口の可積分性に関する両者の例外零集合も加えれば、その和集合の外で $[F_x]=[F'_x]$ である。命題 1.2により $S$ は同値類上に定まる。切り口が加法とスカラー倍を保つことから $S$ は線形であり、同命題のノルム等式から

\|S([F])\|_{L^1(\mu;L^1(\nu;B))}=\|[F]\|_{L^1(\rho;B)}

である。

§E10.18 命題 3.3を終域に適用すると、有限測度集合 $A_j\in\Sigma$ と $u_j\in L^1(\nu;B)$ による可積分単関数 $U=\sum_{j=1}^m\mathbf1_{A_j}u_j$ の同値類は稠密である。同じ命題を各 $u_j$ に適用して、 $B$ 値可積分単関数 $s_{j,n}$ を $\|[s_{j,n}]-u_j\|_1\to0$ となるように選ぶ。各 $s_{j,n}$ の非零レベル集合は有限 $\nu$ -測度をもつため、

R_n(x,y)=\sum_{j=1}^m\mathbf1_{A_j}(x)s_{j,n}(y)

は矩形単関数であり、

\|[U]-S([R_n])\|_{L^1(\mu;L^1(\nu;B))} \leq\sum_{j=1}^m\mu(A_j)\|u_j-[s_{j,n}]\|_1\longrightarrow0.

したがって $S$ の像は稠密である。

像の中の収束列 $S(v_n)\to u$ に対して、等長性により $(v_n)$ は $L^1(\rho;B)$ の Cauchy 列である。§E10.18 定理 3.4により $v_n\to v$ となる $v$ が存在し、等長性から $S(v)=u$ となる。よって像は閉集合でもあり、稠密性と合わせて $S$ は全射である。座標を交換した議論により $T$ も全射線形等長写像となる。▨

定理 2.1. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を σ-有限な正測度空間、 $B$ を実または複素 Banach 空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。 $\rho$ -強可測な写像 $F:X\times Y\to B$ が

\int_{X\times Y}\|F\|_B\,d\rho<\infty

を満たすとする。命題 1.2の切り口写像 $S_F,T_F$ に対して

I(x)=I_\nu(S_F(x)),\qquad J(y)=I_\mu(T_F(y))

と定める。ただし $I_\nu:L^1(\nu;B)\to B$ と $I_\mu:L^1(\mu;B)\to B$ は積分作用素である。このとき $I,J$ はそれぞれ $\mu,\nu$ に関して Bochner 可積分であり、

\int_{X\times Y}F\,d\rho =\int_X I(x)\,d\mu(x) =\int_Y J(y)\,d\nu(y)

が成り立つ。 $I(x)$ は例外可測零集合の外で $\int_YF(x,y)\,d\nu(y)$ に等しく、その例外集合上では $0$ である。 $J(y)$ も座標を交換した同じ意味での内側積分である。

証明.§E10.18 命題 4.3により $I_\nu$ は有界線形作用素であり、 $\|I_\nu\|\leq1$ である。命題 1.2と§E10.18 命題 5.2により $I=I_\nu\circ S_F$ は Bochner 可積分であり、

\int_XI\,d\mu=I_\nu\left(\int_XS_F\,d\mu\right), \qquad \int_X\|I\|_B\,d\mu\leq\int_X\|S_F\|_1\,d\mu.

したがって $[F]\mapsto\int_XI\,d\mu$ は、定理 1.3の等長写像 $S$ と二つの積分作用素の合成として、ノルムが $1$ 以下の有界線形作用素である。

有限測度集合 $A\in\Sigma$ , $D\in\mathcal T$ と $b\in B$ に対し、 $R(x,y)=b\mathbf1_A(x)\mathbf1_D(y)$ とおく。単関数の積分と積測度の長方形値により、

\int_{X\times Y}R\,d\rho =b\mu(A)\nu(D) =\int_X I_\nu([R_x])\,d\mu(x).

線形性から二つの有界線形作用素はすべての矩形単関数で一致する。補題 1.1により、任意の $[F]\in L^1(\rho;B)$ を矩形単関数の同値類の列で近似すると、両作用素の連続性によって積分等式が $[F]$ にも成り立つ。座標を交換し、 $T$ と $I_\mu$ を用いると $J$ の Bochner 可積分性と第二の等式を得る。▨

命題 2.2. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を σ-有限な正測度空間、 $B$ を実または複素 Banach 空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。三つの測度の完備化を $\overline\mu,\overline\nu,\overline\rho$ とする。このとき、 $F:X\times Y\to B$ が $\overline\rho$ -強可測で

\int_{X\times Y}\|F\|_B\,d\overline\rho<\infty

を満たすならば、 $\mu$ -可測零集合 $N_X$ と $\nu$ -可測零集合 $N_Y$ が存在し、その外で $F_x,F^y$ はそれぞれ因子の完備化に関して強可測かつ Bochner 可積分である。各例外集合上で切り口の類と内側積分を $0$ と定めると、切り口写像はそれぞれ $L^1(\overline\nu;B)$ 値および $L^1(\overline\mu;B)$ 値の Bochner 可積分写像であり、

\int_{X\times Y}F\,d\overline\rho =\int_X\left(\int_YF(x,y)\,d\overline\nu(y)\right)d\overline\mu(x) =\int_Y\left(\int_XF(x,y)\,d\overline\mu(x)\right)d\overline\nu(y)

が成り立つ。完備化による $L^1$ 空間の同定の下で、これらの切り口写像は定理 1.3の全射等長同型と一致する。

証明.§E10.18 命題 6.1により、強 $\Sigma\otimes\mathcal T$ -可測な $G$ と積可測零集合 $Z$ をとり、 $Z$ の外で $F=G$ とする。同命題により $G$ は $\rho$ に関して Bochner 可積分であり、 $\int F\,d\overline\rho=\int G\,d\rho$ である。§E10.19 命題 1.2により、ある $\mu$ -可測零集合の外で $\nu(Z_x)=0$ となる。 $G$ に命題 1.2を適用したときの例外集合も加えたものを $N_X$ とする。 $x\notin N_X$ に対して、 $F_x$ は $G_x$ と $\nu$ -可測零集合 $Z_x$ の外で一致するので、 $\nu$ -強可測であり、§E10.18 命題 6.1によって $\overline\nu$ に関しても Bochner 可積分である。さらに、

\int_YF_x\,d\overline\nu=\int_YG_x\,d\nu.

同じ整合性命題による全射線形等長写像を $C_\nu:L^1(\nu;B)\to L^1(\overline\nu;B)$ とする。例外集合を共通にとると、 $F$ の完備測度に関する切り口写像は $C_\nu\circ S_G$ である。§E10.18 命題 5.2と外側の測度についての完備化の整合性から、この写像は $\overline\mu$ に関して Bochner 可積分である。内側積分の等式と定理 2.1により

\int_X\left(\int_YF_x\,d\overline\nu\right)d\overline\mu =\int_X\left(\int_YG_x\,d\nu\right)d\mu =\int_{X\times Y}G\,d\rho =\int_{X\times Y}F\,d\overline\rho.

座標を交換した議論により $N_Y$ と残りの積分等式を得る。

写像 $[U]\mapsto[C_\nu\circ U]$ はノルムを保ち、逆写像 $[V]\mapsto[C_\nu^{-1}\circ V]$ をもつ。両写像の Bochner 可積分性は有界線形作用素との交換から従う。したがって、積測度と外側測度の完備化による同定、およびこの写像を定理 1.3と合成すると、完備化後の全射等長同型を得る。前段の切り口の一致により、その合成は $F$ の切り口の類をとる写像に等しい。▨

注意 2.3. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を σ-有限な正測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。 $f:X\times Y\to\mathbb K$ を積可測かつ絶対可積分な関数とする。このとき、§E10.18 命題 4.4により $f$ は Bochner 可積分であり、通常の Lebesgue 積分と Bochner 積分は一致する。ほとんどすべての切り口と、例外可測零集合上で $0$ とした内側積分にも同命題を適用すると、定理 2.1における $B=\mathbb K$ の積分等式は§E10.19 定理 3.2の等式と一致する。

$f$ が $\rho$ -強可測かつ Bochner 可積分である場合には、§E10.18 命題 4.4により、 $f$ と $\rho$ -a.e. に一致する積可測かつ絶対可積分な代表元 $g$ が存在する。したがって、 $f$ の Bochner 積分は $g$ の Lebesgue 積分に等しく、§E10.19 定理 3.2を $g$ に適用することができる。非負拡張実数値関数に対する§E10.19 定理 2.3は、積分値が無限大の場合も含む。

$B=\R$ の場合、§E10.19 例 5.2は、ノルム可積分性を仮定しなければ、二つの反復積分が存在しても一致するとは限らないことを示す。

例 3.1. $X=\{1,2\}$ と $Y=\{a,b\}$ に冪集合を入れ、測度を

\mu(\{1\})=2,\quad\mu(\{2\})=1,\qquad \nu(\{a\})=1,\quad\nu(\{b\})=3

とする。 $B$ を任意の実または複素 Banach 空間、 $u,v\in B$ とし、

F(1,a)=u,\quad F(1,b)=v,\quad F(2,a)=v,\quad F(2,b)=0

と定める。このとき、 $F$ は可積分単関数であり、切り口の類は

S_F(1)=[(u,v)],\qquad S_F(2)=[(v,0)]

である。ただし、組の第一成分は $a$ での値、第二成分は $b$ での値を表す。そのノルムは

\|S_F(1)\|_{L^1(\nu;B)}=\|u\|_B+3\|v\|_B,\qquad \|S_F(2)\|_{L^1(\nu;B)}=\|v\|_B

であるから、定理 1.3のノルム等式は

\|[S_F]\|_{L^1(\mu;L^1(\nu;B))} =2(\|u\|_B+3\|v\|_B)+\|v\|_B =2\|u\|_B+7\|v\|_B =\|[F]\|_{L^1(\mu\otimes\nu;B)}

となる。 $Y$ について先に積分すると内側積分は $u+3v,v$ であり、 $X$ について先に積分すると内側積分は $2u+v,2v$ である。したがって、定理 2.1の三つの積分は

\int_X\left(\int_YF(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =2(u+3v)+v=2u+7v,

\int_Y\left(\int_XF(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y) =(2u+v)+3(2v)=2u+7v,

\int_{X\times Y}F\,d(\mu\otimes\nu)=2u+6v+v=2u+7v

と一致する。

§E10.20Banach 空間値関数の Fubini の定理

1 積空間と切り口の L1 空間

2 Banach 空間値の反復積分

3 有限原子空間での計算

参考文献

前提記事