§E10.46二進立方体分解

証明.$x=(x_1,\ldots,x_d)\in\R^d$と$k\in\Z$に対して、各座標で$m_j\leq2^kx_j<m_j+1$を満たす整数$m_j$をとる。各$m_j$は一意であるから、$x$を含む$\mathcal D_k$の元も一意である。

$k\geq l$とし、$m_j=2^{k-l}n_j+r_j$、$0\leq r_j<2^{k-l}$と整数除算する。このとき$Q_{k,m}\subseteq Q_{l,n}$である。第$l$世代の分割の一意性から、$Q_{k,m}$と交わる第$l$世代の立方体は$Q_{l,n}$だけである。したがって、交わる二進立方体は入れ子になる。$l=k-1$とすると、親の存在と一意性が従う。

任意の$a\in\R$、$M>0$、$\varepsilon>0$および$j\in\{1,\ldots,d\}$に対し、座標面$\{x:x_j=a\}$と$[-M,M]^d$との共通部分は、第$j$座標の区間が$(a-\varepsilon,a]$、その他の座標の区間が$(-M-1,M]$である半開直方体に含まれる。§E10.16 定理 5.3と§E10.16 定理 6.2 (3)により、その直方体の測度は$\varepsilon(2M+1)^{d-1}$である。$\varepsilon\downarrow0$とすると、有界な座標面の測度は零である。左閉右開の立方体と同じ端点をもつ左開右閉の立方体との差は有限個の有界な座標面に含まれるから、同じ箱の測度公式により$\lambda_d(Q)=\ell(Q)^d$である。親の体積は辺長の関係から従う。各$\partial Q$は有限個の有界な座標面の和であり、$\mathcal D$は高々可算であるから、格子全体の境界の和も可測零集合である。▨

証明.$Q\in\mathcal F$をとり、$Q$を含む$\mathcal F$の元のうち辺長が最大のものを$R$とする。$R$を真に含む$\mathcal F$の元があれば、その元も$Q$を含み、辺長は$R$より大きくなる。これは$R$の選び方に反する。したがって$R\in\mathcal M$であり、二つの合併は一致する。命題 1.2により、交わる二つの極大元は一方が他方に含まれるため一致する。高々可算性は$\mathcal M\subseteq\mathcal D$から従う。▨

証明.§E10.45 定理 3.2を$U=\R^d$に適用し、零集合$N$の外のすべての点が$f$の Lebesgue 点となるように$N$をとる。$x\notin N$とし、$r_k=\sqrt d\,2^{-k}$とおく。$x,y\in Q_k(x)$ならば各座標の差は$2^{-k}$未満であるから、$Q_k(x)\subseteq B(x,r_k)$である。§E10.45 補題 1.2と命題 1.2により、$v_d=\lambda_d(B(0,1))$とおくと

右辺は$k\to\infty$のとき零へ収束する。§E10.10 補題 2.5により、$|f_{Q_k(x)}-f(x)|$は左辺以下であるから、平均も$f(x)$へ収束する。▨

証明.$Q\in\mathcal F$をとる。$Q$を含む$\mathcal D(Q_0)$の元は、$Q$の世代から$Q_0$の世代までの有限個の祖先だけである。補題 1.3により、$\mathcal M$は高々可算で互いに素であり、$\bigcup\mathcal M=\bigcup\mathcal F$である。仮定より$Q_0\notin\mathcal F$であるから、各$Q\in\mathcal M$の親は$\mathcal D(Q_0)$に属する。極大性より$\widehat Q\notin\mathcal F$であり、親における密度評価が従う。

定理 1.4を$\mathbf1_A$に適用する。ほとんどすべての$x\in A$について

である。$Q_0$の世代以上の$k$では$Q_k(x)\subseteq Q_0$であり、$\delta<1$であるから、十分大きい$k$で$Q_k(x)\in\mathcal F$となる。したがって、このような$x$は$\bigcup\mathcal F=\bigcup\mathcal M$に属する。▨

証明.定理 2.1により極大立方体の族$\mathcal M$をとり、その親からなる族$\mathcal P=\{\widehat Q:Q\in\mathcal M\}$を定める。各$P\in\mathcal P$は$Q_0$に含まれ、

を満たす。$\mathcal P\subseteq\mathcal D(Q_0)$であるから、補題 1.3を適用して、その極大元からなる互いに素な族$\mathcal P_*$を得る。$\bigcup\mathcal P_*=\bigcup\mathcal P$は$A$を零集合を除いて覆う。

可算加法性と各親の密度評価により

最後の不等式は、$\mathcal P_*$が高々可算であり、各$P\setminus B$が零集合であることによる。親が集合として$B$に含まれる場合も、この条件を満たす。▨

証明.$\mathcal F=\{Q\in\mathcal D:(|f|)_Q>\lambda\}$とおく。$Q\in\mathcal F$の$n$代上の祖先を$Q^{(n)}$とすると、

したがって、$Q$を含む$\mathcal F$の元は有限個である。補題 1.3により、極大元の族$\mathcal M$は高々可算で互いに素であり、$\bigcup\mathcal F=\Omega$である。各$Q\in\mathcal M$の親は$\mathcal F$に属さないから、

互いに素な立方体上の積分を§E10.11 系 1.5により足すと、

$x\notin\Omega$ならば、すべての$k\in\Z$で$Q_k(x)\notin\mathcal F$である。定理 1.4を$|f|$に適用すると、ほとんどすべての$x\notin\Omega$で$|f(x)|\leq\lambda$を得る。一方、§E10.10 補題 2.5により$|f_Q|\leq(|f|)_Q\leq2^d\lambda$である。$\Omega$は高々可算個の可測集合$Q\in\mathcal M$に分割されるため、$g$は可測であり、$\|g\|_\infty\leq2^d\lambda$である。また、

各$Q\in\mathcal M$について、平均の定義と積分の線形性から

であり、積分の絶対値評価から

である。したがって、$\sum_{Q\in\mathcal M}\|b_Q\|_1\leq2\|f\|_1$を得る。各点では高々一つの$b_Q$だけが零でないので、$\sum_{Q\in\mathcal M}b_Q=f-g$が点ごとに成り立つ。任意の有限部分族$\mathcal E\subseteq\mathcal M$について、§E10.11 系 1.5により

右辺は$\mathcal M$の任意の枚挙に沿って$\mathcal E$を増やすと零へ収束する。よって級数は$L^1$で$f-g$に収束し、その極限は枚挙の順序によらない。▨