§E10.4ノルム空間の完備化

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解析で用いる近似では、計算に用いるベクトルが属する空間と、近似列の極限が属する空間とが異なることがある。例えば、零へ収束する無限数列は、末尾の成分を零にした数列によって上限ノルムで近似することができるが、有限個の成分を除いて零である数列の空間には一般には属さない。ノルム空間の完備化は、元の空間の線形演算とノルムを保ち、すべての Cauchy 列が収束する空間を与える。この構成は、近似から得られる極限を Banach 空間や Hilbert 空間の理論で扱うための基本的な手段である。本記事では、ノルム空間の完備化と、完備化によって保たれる構造を扱う。

1 線形構造と完備化

定義 1.1.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、XXをKK上のノルム空間とする。KK上の Banach 空間X^\widehat Xと線形写像ι:X→X^\iota:X\to\widehat Xの組がXXの 完備化 (completion of a normed space) であるとは、任意のx∈Xx\in Xに対して

∥ι(x)∥X^=∥x∥X\|\iota(x)\|_{\widehat X}=\|x\|_X

が成り立ち、ι(X)\iota(X)がX^\widehat Xで稠密であることをいう。

定理 1.2.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、XXをKK上のノルム空間とする。このとき、距離d(x,y)=∥x−y∥Xd(x,y)=\|x-y\|_Xの完備化(X^,d^,ι)(\widehat X,\widehat d,\iota)に対して、ι\iotaを線形写像とし、d^\widehat dをノルムから定まる距離とするノルム空間の構造がただ一つ存在する。この構造によって(X^,ι)(\widehat X,\iota)はXXの完備化となる。したがって、任意のノルム空間は完備化をもつ。

証明.X×XX\times Xに距離

d2((x,y),(x′,y′))=∥x−x′∥X+∥y−y′∥Xd_2((x,y),(x',y'))=\|x-x'\|_X+\|y-y'\|_X

を入れ、X^×X^\widehat X\times\widehat Xにもd^\widehat dの和による距離を入れる。後者の Cauchy 列は各成分が Cauchy 列であるから、各成分の極限へ収束する。また、ι×ι\iota\times\iotaは等長写像であり、その像は稠密である。したがって、X^×X^\widehat X\times\widehat XはX×XX\times Xの距離完備化である。

写像(x,y)↦ι(x+y)(x,y)\mapsto\iota(x+y)は、三角不等式によりd2d_2について Lipschitz 定数11の写像である。§E2.6 定理 3.2により、この写像にはX^×X^\widehat X\times\widehat X上への一意な一様連続延長が存在する。その値をξ+η\xi+\etaと書く。各a∈Ka\in Kについて、写像x↦ι(ax)x\mapsto\iota(ax)は Lipschitz 定数∣a∣|a|の写像であるから、同じ定理による一意な一様連続延長の値をaξa\xiと書く。また、X^\widehat Xの零元をι(0)\iota(0)と定める。

ξ,η∈X^\xi,\eta\in\widehat Xに対してι(xn)→ξ\iota(x_n)\to\xi、ι(yn)→η\iota(y_n)\to\etaとなるXXの点列をとる。延長の連続性から

ξ+η=lim⁡n→∞ι(xn+yn),aξ=lim⁡n→∞ι(axn)\xi+\eta=\lim_{n\to\infty}\iota(x_n+y_n),\qquad a\xi=\lim_{n\to\infty}\iota(ax_n)

である。X^\widehat X上の加法と固定したスカラーによる乗法は連続であるため、ベクトル空間の各公理の両辺は、ベクトル変数について連続な写像である。両辺は稠密な部分集合ι(X)\iota(X)上で一致するので、近似列の極限をとるとX^\widehat X上でも一致する。具体的には、加法の結合律・交換律、零元と加法逆元の等式、および

a(ξ+η)=aξ+aη,(a+b)ξ=aξ+bξ,a(bξ)=(ab)ξ,1ξ=ξa(\xi+\eta)=a\xi+a\eta,\qquad (a+b)\xi=a\xi+b\xi,\qquad a(b\xi)=(ab)\xi,\qquad 1\xi=\xi

が成り立つ。ここでa,b∈Ka,b\in Kは任意であり、加法逆元は(−1)ξ(-1)\xiである。したがって、X^\widehat XはKK上のベクトル空間となり、ι\iotaは線形である。

∥ξ∥X^:=d^(ξ,ι(0))\|\xi\|_{\widehat X}:=\widehat d(\xi,\iota(0))とおく。距離の連続性とι\iotaの等長性により

∥ξ∥X^=lim⁡n∥xn∥X,d^(ξ,η)=lim⁡n∥xn−yn∥X=∥ξ−η∥X^\|\xi\|_{\widehat X}=\lim_n\|x_n\|_X, \qquad \widehat d(\xi,\eta)=\lim_n\|x_n-y_n\|_X =\|\xi-\eta\|_{\widehat X}

である。距離の同一律から∥ξ∥X^=0\|\xi\|_{\widehat X}=0とξ=0\xi=0は同値である。また、XXのノルムの斉次性と三角不等式の極限をとると

∥aξ∥X^=∣a∣ ∥ξ∥X^,∥ξ+η∥X^≤∥ξ∥X^+∥η∥X^\|a\xi\|_{\widehat X}=|a|\,\|\xi\|_{\widehat X},\qquad \|\xi+\eta\|_{\widehat X}\leq\|\xi\|_{\widehat X}+\|\eta\|_{\widehat X}

を得る。したがって、∥⋅∥X^\|\cdot\|_{\widehat X}は距離d^\widehat dを定めるノルムである。d^\widehat dは完備であり、ι\iotaは稠密な像をもつ線形等長写像であるから、(X^,ι)(\widehat X,\iota)はノルム空間の完備化である。

別のノルム空間の構造もι\iotaを線形とし、同じ距離d^\widehat dを定めるとする。その加法と固定したスカラーによる乗法も連続であるため、近似列による加法とスカラー倍の極限表示を満たす。したがって演算は一致し、ノルムもd^(ξ,ι(0))\widehat d(\xi,\iota(0))に一致する。最後に、§E2.6 定理 2.6により距離完備化が存在するので、ノルム空間の完備化も存在する。▨

2 有界線形写像の延長

定理 2.1.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、XXをKK上のノルム空間、(X^,ι)(\widehat X,\iota)をその完備化、YYをKK上の Banach 空間とする。このとき、任意の有界線形写像T:X→YT:X\to Yに対して

T^∘ι=T\widehat T\circ\iota=T

を満たす有界線形写像T^:X^→Y\widehat T:\widehat X\to Yがただ一つ存在し、∥T^∥=∥T∥\|\widehat T\|=\|T\|が成り立つ。さらに、ι(xn)→ξ\iota(x_n)\to\xiならば

T^ξ=lim⁡n→∞Txn\widehat T\xi=\lim_{n\to\infty}Tx_n

である。

証明.§E10.2 命題 1.2により

∥Tx−Ty∥Y≤∥T∥ ∥x−y∥X\|Tx-Ty\|_Y\leq\|T\|\,\|x-y\|_X

であるから、TTは一様連続である。§E2.6 定理 3.2を用いると、T^∘ι=T\widehat T\circ\iota=Tを満たす一様連続写像T^:X^→Y\widehat T:\widehat X\to Yがただ一つ存在する。連続性により、ι(xn)→ξ\iota(x_n)\to\xiならばTxn→T^ξTx_n\to\widehat T\xiである。

ξ,η∈X^\xi,\eta\in\widehat Xとa,b∈Ka,b\in Kをとり、ι(xn)→ξ\iota(x_n)\to\xi、ι(yn)→η\iota(y_n)\to\etaとする。ι(axn+byn)→aξ+bη\iota(ax_n+by_n)\to a\xi+b\etaであるから、

T^(aξ+bη)=lim⁡nT(axn+byn)=aT^ξ+bT^η\widehat T(a\xi+b\eta)=\lim_nT(ax_n+by_n) =a\widehat T\xi+b\widehat T\eta

となり、T^\widehat Tは線形である。また、ノルムの連続性から

∥T^ξ∥Y=lim⁡n∥Txn∥Y≤∥T∥lim⁡n∥xn∥X=∥T∥ ∥ξ∥X^\|\widehat T\xi\|_Y=\lim_n\|Tx_n\|_Y \leq\|T\|\lim_n\|x_n\|_X =\|T\|\,\|\xi\|_{\widehat X}

である。したがってT^\widehat Tは有界であり、∥T^∥≤∥T∥\|\widehat T\|\leq\|T\|である。逆に、T=T^∘ιT=\widehat T\circ\iotaとι\iotaの等長性から、任意のx∈Xx\in Xに対して∥Tx∥Y≤∥T^∥ ∥x∥X\|Tx\|_Y\leq\|\widehat T\|\,\|x\|_Xであるため、∥T∥≤∥T^∥\|T\|\leq\|\widehat T\|を得る。有界線形写像は一様連続であるから、延長の一意性も従う。▨

系 2.2.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、X,YX,YをKK上の Banach 空間、D⊆XD\subseteq Xを稠密線形部分空間とする。DDにはXXのノルムを制限する。このとき、任意の有界線形写像T:D→YT:D\to Yは有界線形写像T~:X→Y\widetilde T:X\to Yへただ一通りに延長され、∥T~∥=∥T∥\|\widetilde T\|=\|T\|が成り立つ。さらに、x∈Xx\in XとDDの点列(dn)(d_n)に対してdn→xd_n\to xならば

T~x=lim⁡n→∞Tdn\widetilde T x=\lim_{n\to\infty}Td_n

である。

証明. 包含写像j:D→Xj:D\to Xは稠密な像をもつ線形等長写像であり、XXは Banach 空間である。したがって(X,j)(X,j)はDDの完備化である。この完備化とTTに定理 2.1を適用すると、延長の存在、一意性、作用素ノルムの保存、および近似列による表示を得る。▨

系 2.3.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、X,YX,YをKK上のノルム空間、(X^,ιX)(\widehat X,\iota_X)、(Y^,ιY)(\widehat Y,\iota_Y)をそれぞれの完備化とする。このとき、任意の有界線形写像T:X→YT:X\to Yに対して、

T^∘ιX=ιY∘T\widehat T\circ\iota_X=\iota_Y\circ T

を満たす有界線形写像T^:X^→Y^\widehat T:\widehat X\to\widehat Yがただ一つ存在し、∥T^∥=∥T∥\|\widehat T\|=\|T\|が成り立つ。

証明.ιY\iota_Yは線形等長写像であるから、ιY∘T\iota_Y\circ Tは有界線形写像であり、∥ιY∘T∥=∥T∥\|\iota_Y\circ T\|=\|T\|である。この合成写像と Banach 空間Y^\widehat Yに定理 2.1を適用する。▨

定理 2.4.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、XXをKK上のノルム空間、(X1,ι1)(X_1,\iota_1)と(X2,ι2)(X_2,\iota_2)をその完備化とする。このとき、

U∘ι1=ι2U\circ\iota_1=\iota_2

を満たす線形等長全単射U:X1→X2U:X_1\to X_2がただ一つ存在する。

証明.定理 2.1をι2:X→X2\iota_2:X\to X_2と完備化(X1,ι1)(X_1,\iota_1)に適用し、有界線形写像U:X1→X2U:X_1\to X_2を得る。同じ定理をι1:X→X1\iota_1:X\to X_1と完備化(X2,ι2)(X_2,\iota_2)に適用し、有界線形写像V:X2→X1V:X_2\to X_1を得る。これらは

U∘ι1=ι2,V∘ι2=ι1U\circ\iota_1=\iota_2,\qquad V\circ\iota_2=\iota_1

を満たす。V∘UV\circ UとIX1I_{X_1}はともにι1:X→X1\iota_1:X\to X_1の有界線形延長であるから、同じ定理の一意性によりV∘U=IX1V\circ U=I_{X_1}である。同様に、U∘VU\circ VとIX2I_{X_2}はともにι2:X→X2\iota_2:X\to X_2の延長であるから、U∘V=IX2U\circ V=I_{X_2}である。したがってUUは全単射である。

ι1\iota_1とι2\iota_2は等長写像なので、それぞれの作用素ノルムは11以下である。延長によるノルムの保存から∥U∥≤1\|U\|\leq1、∥V∥≤1\|V\|\leq1であり、任意のξ∈X1\xi\in X_1に対して

∥ξ∥X1=∥VUξ∥X1≤∥Uξ∥X2≤∥ξ∥X1\|\xi\|_{X_1}=\|VU\xi\|_{X_1}\leq\|U\xi\|_{X_2}\leq\|\xi\|_{X_1}

となるので、UUは等長である。最後に、条件を満たす任意の線形等長全単射はι2\iota_2の有界線形延長であるため、延長の一意性からUUに一致する。▨

例 2.5.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、有限個の成分を除いて零であるKK値数列の空間c00c_{00}と、零へ収束するKK値数列の空間c0c_0に上限ノルムを入れる。このとき、§E10.1 例 3.4によりc0c_0は Banach 空間である。x=(xj)∈c0x=(x_j)\in c_0に対して

x(N)=(x1,…,xN,0,0,…)x^{(N)}=(x_1,\ldots,x_N,0,0,\ldots)

とおくと、∥x−x(N)∥∞=sup⁡j>N∣xj∣→0\|x-x^{(N)}\|_\infty=\sup_{j>N}|x_j|\to0である。包含写像j:c00→c0j:c_{00}\to c_0は線形等長写像なので、(c0,j)(c_0,j)はc00c_{00}の完備化である。

恒等写像T:c00→c00T:c_{00}\to c_{00}は有界であるが、c0c_0からc00c_{00}への連続写像には延長されない。実際、そのような延長SSがあれば、j∘S:c0→c0j\circ S:c_0\to c_0はc00c_{00}上で恒等写像と一致する。連続性とc00c_{00}の稠密性から、j∘Sj\circ Sはc0c_0全体で恒等写像でなければならない。しかし、x=(1,1/2,1/3,…)x=(1,1/2,1/3,\ldots)はc0∖c00c_0\setminus c_{00}に属するため、j(Sx)=xj(Sx)=xは成り立たない。したがって、定理 2.1の終域の完備性を外すと、延長の存在は一般には成り立たない。

3 内積の延長

定理 3.1.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、HHをKK上の内積空間、(H^,ι)(\widehat H,\iota)を誘導ノルムについての完備化とする。複素内積は第1変数について線形、第2変数について共役線形とする。このとき、H^\widehat Hのノルムを誘導し、

⟨ι(x),ι(y)⟩H^=⟨x,y⟩H(x,y∈H)\langle\iota(x),\iota(y)\rangle_{\widehat H}=\langle x,y\rangle_H \qquad(x,y\in H)

を満たす内積がただ一つ存在する。ι(xn)→ξ\iota(x_n)\to\xi、ι(yn)→η\iota(y_n)\to\etaならば、その内積は

⟨ξ,η⟩H^=lim⁡n→∞⟨xn,yn⟩H\langle\xi,\eta\rangle_{\widehat H} =\lim_{n\to\infty}\langle x_n,y_n\rangle_H

で与えられる。H^\widehat Hはこの内積の誘導ノルムについて完備であり、Hilbert 空間である。

証明.ξ,η∈H^\xi,\eta\in\widehat Hをとり、ι(xn)→ξ\iota(x_n)\to\xi、ι(yn)→η\iota(y_n)\to\etaとなるHHの点列を選ぶ。(xn)(x_n)と(yn)(y_n)は Cauchy 列であり、ノルムは有界である。§E10.3 補題 1.2により

∣⟨xn,yn⟩H−⟨xm,ym⟩H∣≤∥xn−xm∥ ∥yn∥+∥xm∥ ∥yn−ym∥|\langle x_n,y_n\rangle_H-\langle x_m,y_m\rangle_H| \leq\|x_n-x_m\|\,\|y_n\|+\|x_m\|\,\|y_n-y_m\|

であるから、(⟨xn,yn⟩H)(\langle x_n,y_n\rangle_H)はKKの Cauchy 列であり、極限をもつ。

別の近似列がι(xn′)→ξ\iota(x'_n)\to\xi、ι(yn′)→η\iota(y'_n)\to\etaを満たすならば、∥xn−xn′∥→0\|x_n-x'_n\|\to0、∥yn−yn′∥→0\|y_n-y'_n\|\to0である。内積の差の評価から

∣⟨xn,yn⟩H−⟨xn′,yn′⟩H∣≤∥xn−xn′∥ ∥yn∥+∥xn′∥ ∥yn−yn′∥⟶0|\langle x_n,y_n\rangle_H-\langle x'_n,y'_n\rangle_H| \leq\|x_n-x'_n\|\,\|y_n\|+\|x'_n\|\,\|y_n-y'_n\| \longrightarrow0

である。したがって、⟨ξ,η⟩H^:=lim⁡n⟨xn,yn⟩H\langle\xi,\eta\rangle_{\widehat H}:=\lim_n\langle x_n,y_n\rangle_Hは近似列の選び方によらない。

ζ∈H^\zeta\in\widehat Hに対してι(zn)→ζ\iota(z_n)\to\zetaとなる列をとる。任意のa,b∈Ka,b\in Kについてι(axn+bzn)→aξ+bζ\iota(ax_n+bz_n)\to a\xi+b\zetaであるから、HHの内積の線形性と共役対称性の極限をとると

⟨aξ+bζ,η⟩H^=a⟨ξ,η⟩H^+b⟨ζ,η⟩H^,⟨η,ξ⟩H^=⟨ξ,η⟩H^‾\begin{aligned} \langle a\xi+b\zeta,\eta\rangle_{\widehat H} &=a\langle\xi,\eta\rangle_{\widehat H} +b\langle\zeta,\eta\rangle_{\widehat H},\\ \langle\eta,\xi\rangle_{\widehat H} &=\overline{\langle\xi,\eta\rangle_{\widehat H}} \end{aligned}

を得る。実数体では複素共役は恒等写像である。また、ι\iotaの等長性とノルムの連続性から

⟨ξ,ξ⟩H^=lim⁡n∥xn∥H2=∥ξ∥H^2\langle\xi,\xi\rangle_{\widehat H} =\lim_n\|x_n\|_H^2=\|\xi\|_{\widehat H}^2

である。右辺は非負であり、零となることとξ=0\xi=0は同値である。したがって、構成した写像は内積であり、その誘導ノルムはH^\widehat Hのノルムに一致する。定値列を用いれば、ι\iotaが内積を保つことも従う。

同じノルムを誘導し、ι\iotaによってHHの内積と一致する別の内積があるとする。§E10.3 補題 1.2により、その内積も与えられたノルムについて連続である。近似列の内積の極限をとれば、両方の内積は任意のξ,η∈H^\xi,\eta\in\widehat Hで一致する。誘導ノルムの完備性は、H^\widehat Hが Banach 空間であることから従う。▨

参考文献

  1. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1990.
  2. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1978.

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