§E10.15積測度

非負項の級数の和は項の順序によらないので、$\mu$と$\nu$は$\mathcal{P}(\NN)$上の測度である。$\NN=\bigcup_m\{m\}$かつ$\mu(\{m\})=p_m<\infty$であるから$\mu$は σ-有限であり、$\nu$も同様である。したがって、定理 5.1により$\mu\otimes\nu$が定まる。

一点集合$\{(m,n)\}=\{m\}\times\{n\}$は可測長方形であるから$\Sigma\otimes\mathcal{T}$に属する。$\NN\times\NN$は可算であるから、任意の$E\subseteq\NN\times\NN$は一点集合の高々可算な非交和であり、$\Sigma\otimes\mathcal{T}$に属する。ゆえに$\Sigma\otimes\mathcal{T}=\mathcal{P}(\NN\times\NN)$である。$\mu\otimes\nu$の可算加法性と$(\mu\otimes\nu)(\{m\}\times\{n\})=\mu(\{m\})\nu(\{n\})=p_mq_n$から

を得る。右辺は非負項の級数であり、$E$の元の並べ方によらない。

$p_m=q_m=2^{-m}$とすると、$\sum_{n>m}2^{-n}=2^{-m}$であるから

である。

$N\geq1$に対して$s_N(z)=\#\{\,n\leq N\mid z\in H_n\,\}$（$z\in E$）とおく。$s_N$は、有限個の集合$E\cap H_1,\dots,E\cap H_N$が定める$E$の有限可測分割の各集合上で一定であるから、$\{\,z\in E\mid s_N(z)\geq k\,\}$は可測である。$z\in E_k$であることは、ある$N$について$s_N(z)\geq k$であることと同値であるから、$E_k=\bigcup_N\{\,z\in E\mid s_N(z)\geq k\,\}$は可測である。

補題 3.1を、測度空間$(Z,\mathcal{A},\lambda)$、有限測度集合$E_k\subseteq E$、集合列$(H_n)_{n\geq1}$、重み$b_n=1$、および$c=k$に適用する。$z\in E_k$ならば$\sum_{n\geq1,\,z\in H_n}1\geq k$であるから仮定が満たされ、

を得る。第二の不等式は測度の単調性による。

$S=\sum_n\lambda(E\cap H_n)<\infty$とする。無限個の$H_n$に属する$E$の点全体は$E_\infty=\bigcap_{k\geq1}E_k$であり、可測である。すべての$k$について$\lambda(E_\infty)\leq\lambda(E_k)\leq S/k$であるから、$\lambda(E_\infty)=0$である。

補題 3.1の仮定を満たす$(Z,\mathcal A,\lambda)$、$E$、$(H_n)$、$(b_n)$、$c$をとり、$\lambda(E)<\infty$かつ$c<\infty$とする。

右辺が$\infty$ならば主張は成り立つので、右辺が有限である場合を考える。$c=0$の場合も非負性から主張が成り立つ。そこで、$c>0$とし、$0<\varepsilon<c$を固定する。

各$N\geq 1$に対して

とおき、

と定める。有限個の可測集合$E\cap H_1,\dots,E\cap H_N$が$E$を有限個の可測集合へ分割し、$s_N$は各分割集合上で一定である。したがって、$D_N\in\mathcal{A}$である。また、$s_N(z)$は$N$について非減少であるから、$D_N\subseteq D_{N+1}$である。仮定から各$z\in E$に対して$\lim_Ns_N(z)\geq c$であるため、ある$N$が存在して$s_N(z)>c-\varepsilon$となる。ゆえに、

である。

有限個の集合$H_1,\dots,H_N$により定められる$E$の分割を$\mathcal{G}_N$とする。各$G\in\mathcal{G}_N$上で$s_N$がとる一定値を$v_G$と書く。測度の有限加法性と有限和の分配法則から

を得る。被覆費用の総和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n\lambda(E\cap H_n)$が有限であるという仮定から、$b_n=\infty$である項に対応する$E\cap H_n$は零集合である。したがって、無限大の値をとる分割集合は零集合であり、採用した積の規約のもとで上の等式と不等式を保つ。

§E10.8 定理 4.1の下からの連続性から

である。したがって、

を得る。$\lambda(E)<\infty$であり、$\varepsilon>0$は任意であるから、$\varepsilon$を$0$へ近づけることによって

を得る。$\blacksquare$

$n\geq1$と整数$k$に対して$I_{n,k}=(k2^{-n},(k+1)2^{-n}]$とおき、

とおく。$f$は可測であり$I_{n,k}$は Borel 集合であるから、各$f^{-1}(I_{n,k})\times I_{n,k}$は可測長方形であり、$G\in\Sigma\otimes\mathcal{B}(\R)$である。$(x,y)\in\Gamma_f$ならば$y=f(x)$であり、各$n$について$f(x)$を含む$I_{n,k}$がただ一つあるので、$(x,y)\in f^{-1}(I_{n,k})\times I_{n,k}$である。逆に$(x,y)\in G$ならば、各$n$についてある$k$が存在して$f(x),y\in I_{n,k}$であり、$|f(x)-y|<2^{-n}$である。$n$は任意であるから$y=f(x)$である。したがって$\Gamma_f=G\in\Sigma\otimes\mathcal{B}(\R)$である。

切り口は、$x\in X$について$(\Gamma_f)_x=\{f(x)\}$、$y\in\R$について$(\Gamma_f)^y=f^{-1}(\{y\})$である。前者は閉集合であるから Borel 集合であり、後者は$f$の可測性から$\Sigma$に属する。$X=\R$、$\Sigma=\mathcal{B}(\R)$、$f$を恒等写像とすると、$f$は連続であるから可測であり、$\Gamma_f=\Delta$である。

命題 7.3により$\Gamma_f\in\Sigma\otimes\mathcal{B}(\R)$である。$X=\bigcup_pX_p$、$\mu(X_p)<\infty$を満たす可測集合列をとる。正の整数$p,M$を固定し、$G_{p,M}=\Gamma_f\cap(X_p\times(-M,M])$とおく。$n\geq1$について、$(x,f(x))\in G_{p,M}$ならば$f(x)\in(-M,M]$であり、$f(x)$を含む$I_{n,k}$は$-M2^n\leq k<M2^n$を満たす。したがって

である。集合$X_p\cap f^{-1}(I_{n,k})$（$k\in\Z$）は二つずつ交わらないので、測度の単調性と有限劣加法性から

を得る。$\mu(X_p)<\infty$であり$n$は任意であるから、$(\mu\otimes\lambda)(G_{p,M})=0$である。$\Gamma_f=\bigcup_{p,M}G_{p,M}$であるから、可算劣加法性により$(\mu\otimes\lambda)(\Gamma_f)=0$である。$X=\R$、$\mu=\lambda$、$f$を恒等写像とすると$(\lambda\otimes\lambda)(\Delta)=0$を得る。

$\nu(\emptyset)=0$である。$B_1,B_2,\dots$が二つずつ交わらない Borel 集合ならば、$\lambda(\bigcup_nB_n)=\sum_n\lambda(B_n)$であるから、$\lambda(\bigcup_nB_n)>0$とある$n$について$\lambda(B_n)>0$であることは同値である。ゆえに$\nu(\bigcup_nB_n)$と$\sum_n\nu(B_n)$はともに$\infty$であるかともに$0$であり、$\nu$は測度である。$\nu(B)<\infty$ならば$\lambda(B)=0$であるから、$\nu$に関して有限測度の集合の可算和は$\lambda$-零集合であり、$\R$を覆わない。したがって$\nu$は σ-有限でない。

$\lambda$は σ-有限であるから$\lambda\otimes\lambda$が定まる。$\mathcal{B}(\R)\otimes\mathcal{B}(\R)$上で$\rho_1(E)=\infty\cdot(\lambda\otimes\lambda)(E)$と定める（$\infty\cdot0=0$）。二つずつ交わらない列$(E_n)$に対して、$\infty\cdot\sum_na_n$と$\sum_n\infty\cdot a_n$はともに、すべての$a_n$が$0$のとき$0$、そうでないとき$\infty$であるから、$\rho_1$は測度である。写像$\delta(x)=(x,x)$は、可測長方形の逆像が$\delta^{-1}(A\times B)=A\cap B$であるから、§E10.6 命題 4.2により$\mathcal{B}(\R)$から$\mathcal{B}(\R)\otimes\mathcal{B}(\R)$への可測写像である。同じ理由で$\tau(E)=\infty\cdot\lambda(\delta^{-1}(E))$は測度であり、$\rho_2=\rho_1+\tau$も測度である。

$\rho_1(A\times B)=\infty\cdot\lambda(A)\lambda(B)$は、$\lambda(A)>0$かつ$\lambda(B)>0$のとき$\infty$、それ以外のとき$0$であり、これは$\mu(A)\nu(B)$に等しい。$\tau(A\times B)=\infty\cdot\lambda(A\cap B)$が正であるのは$\lambda(A\cap B)>0$のときであり、そのとき単調性から$\lambda(A)>0$かつ$\lambda(B)>0$であるので$\rho_1(A\times B)=\infty$である。ゆえに$\rho_2(A\times B)=\rho_1(A\times B)=\mu(A)\nu(B)$がすべての長方形で成り立つ。