非 σ-有限の積測度 | 測度と積分

定義 1.1. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を正測度空間とする。集合 $A\subseteq X\times Y$ に対して長方形積外測度 (rectangle product outer measure) を

\theta(A)=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)\nu(F_n): E_n\in\Sigma,\ F_n\in\mathcal T,\ A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}(E_n\times F_n)\right\}

と定める。積には $0\cdot\infty=\infty\cdot0=0$ の規約を用いる。空の集合の被覆には空長方形だけの列を含める。

補題 1.2. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を任意の正測度空間とする。このとき、可測長方形が $E\times F\subseteq\bigcup_n(E_n\times F_n)$ を満たすならば、

\mu(E)\nu(F)\leq\sum_n\mu(E_n)\nu(F_n)

である。

証明.§E10.15 補題 3.2を $A=E$ 、 $B=F$ 、 $A_n=E_n$ 、 $B_n=F_n$ として適用する。▨

定理 1.3. 任意の正測度空間 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ に対し、 $\theta$ は $X\times Y$ 上の外測度である。そのCarathéodory可測集合族 $\mathcal C_\theta$ は $\Sigma\otimes\mathcal T$ を含み、完備測度 $\lambda_0=\theta|_{\mathcal C_\theta}$ は

\lambda_0(E\times F)=\mu(E)\nu(F)\qquad(E\in\Sigma,\ F\in\mathcal T)

を満たす。この測度を原始積測度 (primitive product measure) という。

証明. 空集合の値は零であり、包含関係について単調性が成り立つ。 $\sum_n\theta(A_n)<\infty$ の場合、各 $A_n$ の長方形被覆を費用が $\theta(A_n)+\ep2^{-n}$ 以下となるように取る。それらの被覆を一つの可算列に並べると、 $\theta(\bigcup_nA_n)\leq\sum_n\theta(A_n)+\ep$ である。 $\ep\downarrow0$ として可算劣加法性を得る。右辺が無限大の場合の不等式も成り立つ。

可測集合 $E\in\Sigma$ を固定する。任意の長方形被覆の各 $E_n\times F_n$ を、 $(E_n\cap E)\times F_n$ と $(E_n\setminus E)\times F_n$ に分けると、二つの費用の和は元の費用と等しい。したがって任意の $A\subseteq X\times Y$ について

\theta(A\cap(E\times Y))+\theta(A\setminus(E\times Y))\leq\theta(A)

である。外測度の劣加法性から逆向きも成り立つため、 $E\times Y$ はCarathéodory可測である。同じ議論で $X\times F$ も可測である。したがって、 $E\times Y$ と $X\times F$ の共通部分 $E\times F$ も可測である。§E10.9 定理 3.5により $\mathcal C_\theta$ は σ-加法族で、 $\lambda_0$ は完備測度である。長方形の値の上界は長方形自身による被覆、下界は補題 1.2による。▨

補題 2.1. 正測度空間 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ に対し、 $\mathcal R_f$ を $\mu(E)<\infty$ と $\nu(F)<\infty$ を満たす可測長方形 $R=E\times F$ の族とする。各 $R$ 上で、有限測度空間 $E,F$ の積測度の完備化を $\lambda_R$ 、その定義域を $\mathcal C_R$ とする。このとき $\mathcal R_f$ は包含について有向であり、任意の $R,S\in\mathcal R_f$ に対して $\lambda_R$ と $\lambda_S$ の $R\cap S$ への制限は、定義域も値も一致する。

証明. $R=E\times F$ と $S=G\times H$ は有限長方形 $(E\cup G)\times(F\cup H)$ に含まれる。§E10.15 定理 5.1により、 $R$ 上の積測度を $(E\cap G)\times(F\cap H)$ へ制限した測度は、その二因子の有限積測度である。実際、制限された測度は各可測長方形上で所定の積の値をもち、一意性定理の仮定を満たす。 $S$ からの制限も同じ積測度である。可測部分空間への制限と完備化は交換する。完備化可測集合は元の可測集合と可測な零集合の部分集合との差として表されるため、両制限の完備化の定義域も一致する。▨

定義 2.2. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を半有限な正測度空間とする。有限長方形上の完備積測度を用いて

\mathcal D=\{A\subseteq X\times Y:A\cap R\in\mathcal C_R\text{ がすべての }R\in\mathcal R_f\text{ で成り立つ}\},\qquad \lambda(A)=\sup_{R\in\mathcal R_f}\lambda_R(A\cap R)

と定める。 $\lambda$ を完備で局所的に決定する積測度 (complete locally determined product measure) という。

定理 2.3. 半有限な正測度空間 $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ の上で、 $\mathcal D$ と $\lambda$ は次の性質をもつ。

$\mathcal D$ は $\Sigma\otimes\mathcal T$ を含む σ-加法族であり、 $\lambda$ はその上の測度である。
各有限長方形 $R$ 上で、 $\lambda$ の制限は定義域も値も $\lambda_R$ と一致する。
$\lambda$ は完備、半有限、かつ局所的に決定される。
任意の $E\in\Sigma$ と $F\in\mathcal T$ に対し、 $\lambda(E\times F)=\mu(E)\nu(F)$ である。

証明.主張 (1)を示す。各有限長方形の完備可測集合族は σ-加法族であるから、有限長方形との交わりを取る条件で定めた $\mathcal D$ も σ-加法族である。積 σ-加法族の集合の各 $R$ への制限は局所積に関して可測なので、 $\Sigma\otimes\mathcal T\subseteq\mathcal D$ である。

互いに素な $(A_n)$ に対して、各 $R$ 上の可算加法性から $\lambda(\bigcup_nA_n)\leq\sum_n\lambda(A_n)$ である。逆に有限個の添字 $n\leq m$ と、各 $\lambda(A_n)$ を下から近似する有限長方形 $R_n$ を取る。補題 2.1の有向性により全 $R_n$ を含む有限長方形 $R$ が存在する。整合性から

\lambda\left(\bigcup_n A_n\right)\geq\sum_{n=1}^m\lambda_R(A_n\cap R)\geq\sum_{n=1}^m\lambda_{R_n}(A_n\cap R_n).

各近似の上限と $m$ の上限を取れば逆向きの不等式を得る。

主張 (2)を示す。 $B\in\mathcal C_R$ 、 $B\subseteq R$ とする。任意の有限長方形 $S$ について、整合性により $B\cap S\in\mathcal C_S$ であるため $B\in\mathcal D$ である。また $\lambda_S(B\cap S)=\lambda_R(B\cap S)\leq\lambda_R(B)$ であるから、上限を取り、 $S=R$ の場合と合わせれば $\lambda(B)=\lambda_R(B)$ である。逆に $B\in\mathcal D$ 、 $B\subseteq R$ ならば定義により $B\in\mathcal C_R$ である。

主張 (3)を示す。 $A\in\mathcal D$ とする。 $\lambda(A)=0$ ならば各 $A\cap R$ は $\lambda_R$ -零集合である。 $\lambda_R$ は完備なので、 $A\cap R$ の任意の部分集合は $\mathcal C_R$ に属する。したがって、 $A$ の任意の部分集合は $\mathcal D$ に属して測度零となるので、 $\lambda$ は完備である。任意の $A\in\mathcal D$ に対して $A\cap R$ は有限測度であり、主張 (2)と定義から $\lambda(A)=\sup_R\lambda(A\cap R)$ であるため半有限である。 $B\subseteq X\times Y$ とし、任意の $C\in\mathcal D$ について、 $\lambda(C)<\infty$ ならば $B\cap C\in\mathcal D$ であるとする。各 $R$ は有限測度であるから $B\cap R\in\mathcal D$ であり、主張 (2)により $B\cap R\in\mathcal C_R$ である。よって $B\in\mathcal D$ となる。

主張 (4)を示す。 $E\times F$ と有限長方形 $G\times H$ との交わりの局所測度は $\mu(E\cap G)\nu(F\cap H)$ である。両因子の半有限性により、それぞれの有限部分の測度の上限は $\mu(E)$ と $\nu(F)$ である。独立に上限を取れば積の値が得られる。いずれかの測度が零の場合には、すべての局所積が零である。▨

命題 2.4. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を σ-有限な正測度空間とする。このとき、原始積測度と完備で局所的に決定する積測度は一致し、いずれも $\Sigma\otimes\mathcal T$ 上の σ-有限積測度の完備化である。

証明. 有限長方形の増加列 $R_n$ で $X\times Y$ を覆う。定理 1.3と§E10.15 定理 5.1の一意性により、原始積測度の積 σ-加法族への制限は既存の積測度である。

有限長方形上で、Carathéodory可測集合 $A$ の外測度を $a$ とする。長方形の可算被覆を費用が $a+1/n$ 以下となるように取り、被覆の和集合とその有限長方形との交わりを $H_n$ とする。 $H=\bigcap_n H_n$ は積 σ-加法族に属し、 $A\subseteq H$ で、 $\theta(H)=\theta(A)$ である。有限測度長方形上ではCarathéodory等式から $\theta(H\setminus A)=0$ となる。零外測度集合を含む積 σ-加法族の零集合も、同じ被覆近似によって得られる。したがって原始積測度の各 $R_n$ 上の定義域は有限積測度の完備化と一致する。

$A\in\mathcal D$ ならば各 $A\cap R_n$ は原始積測度に関して可測である。したがって、その可算和 $A$ も可測である。逆に原始積測度に関して可測な $A$ は、すべての有限長方形上の完備積測度に関して局所可測であるため $\mathcal D$ に属する。両測度の値は $A\cap R_n$ の測度の増加極限で一致する。各局所完備化での可測集合の分解を可算和にすれば、全体の定義域は σ-有限積測度の完備化である。▨

定理 3.1. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を半有限な正測度空間とし、 $\lambda_0$ と $\lambda$ をそれぞれの原始積測度および完備で局所的に決定する積測度とする。 $f$ を $\Sigma\otimes\mathcal T$ に関して可測な関数とし、有限測度長方形列 $(E_n\times F_n)$ が存在して、点ごとに

\{(x,y):f(x,y)\ne0\}\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}(E_n\times F_n)

となると仮定する。このとき、次の性質が成り立つ。

$f$ が非負拡張実数値ならば、切り口積分関数 $x\mapsto\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)$ と $y\mapsto\int_X f(x,y)\,d\mu(x)$ は、それぞれ $X$ 上と $Y$ 上の $[0,\infty]$ 値可測関数を定め、 $\int f\,d\lambda_0=\int f\,d\lambda=\int_X\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)\,d\mu(x)=\int_Y\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\,d\nu(y)$ が成り立つ。
$f$ が有限実数値または有限複素数値であり、 $\int|f|\,d\lambda<\infty$ ならば、可測な零集合 $N_X\in\Sigma$ と $N_Y\in\mathcal T$ が存在し、 $x\notin N_X$ の切り口 $f(x,\cdot)$ は $\nu$ に関して、 $y\notin N_Y$ の切り口 $f(\cdot,y)$ は $\mu$ に関して可積分である。例外零集合上で内側の積分を零と定めると、内側の積分から得られる二つの関数はそれぞれ $\mu$ 、 $\nu$ に関して可積分であり、上の等式が成り立つ。例外零集合上で零と定めた切り口積分関数は、それぞれ $X$ と $Y$ 上の関数であり、 $f$ が実数値の場合には有限実数値、 $f$ が複素数値の場合には有限複素数値をとる。

証明. $X_0=\bigcup_n E_n$ と $Y_0=\bigcup_n F_n$ を取る。両部分空間は σ-有限であり、 $f$ は $X_0\times Y_0$ の外で点ごとに零である。補題 2.1と命題 2.4により、両積測度の $X_0\times Y_0$ への制限は σ-有限積測度の完備化と一致する。原始積測度の制限については、長方形被覆を $X_0\times Y_0$ と交わらせると費用が増えず、逆に部分空間の被覆を全体の被覆とみなすことができるため、制限外測度が部分空間の長方形外測度に等しい。

主張 (1)を示す。制限された関数へ§E10.19 定理 2.3を適用する。得られる内側の積分関数を $X\setminus X_0$ または $Y\setminus Y_0$ 上で零延長すれば、全体上の切り口積分そのものである。零延長は可測であり、部分空間上と全体上の積分は等しい。

主張 (2)を示す。 $|f|$ に主張 (1)を適用し、制限された関数へ§E10.19 定理 3.2を適用する。部分空間上の例外零集合は全体でも可測な零集合である。部分空間の外の切り口は零関数なので、全体上でも切り口の可積分性と反復積分の等式が成り立つ。▨

例 4.1. $X=Y=[0,1]$ とし、 $X$ に冪集合と数え上げ測度 $\mu$ 、 $Y$ にLebesgue可測集合族とLebesgue測度 $m$ を入れる。このとき、両因子は局所化可能である。実際、数え上げ測度を入れた $X$ は一点集合による厳密局所化可能空間であり、 $m$ は有限測度なので、有限測度空間の本質的上限の補題§E10.29 補題 1.4を適用することができる。

対角集合 $D=\{(x,y):x=y\}$ は積 σ-加法族に属する。実際、§E10.19 例 5.1では、 $[0,1]$ 上の Borel Lebesgue 測度と数え上げ測度の順に二因子を取った場合の対角集合の積可測性が示されている。因子の順序を交換すると、対角集合は冪集合と Borel σ-加法族の積に属する。Borel σ-加法族をその完備化である Lebesgue 可測集合族へ拡大しても、対角集合は積可測である。

有限測度長方形 $E\times F$ では $E$ が有限なので、 $D\cap(E\times F)$ は有限個の一点集合の和である。各一点集合の局所積測度は $1\cdot m(\{x\})=0$ であるため、局所的に決定する積では $\lambda(D)=0$ である。

原始積測度では $\lambda_0(D)=\infty$ である。有限費用の可算長方形被覆 $D\subseteq\bigcup_n(E_n\times F_n)$ が存在すると仮定する。したがって、 $m(F_n)>0$ の添字では $E_n$ は有限でなければならない。これらの $E_n$ の和を $H$ 、残りの $F_n$ の和を $K$ とする。 $H$ は可算であり、 $K$ はLebesgue零集合である。対角の被覆から $[0,1]\subseteq H\cup K$ が従うが、 $m(H\cup K)=0$ は $m([0,1])=1$ と両立しない。したがって有限費用の被覆は存在しない。

$f=\mathbf1_D$ に対して、§E10.19 例 5.1の反復積分値を同じ因子の交換の下で用いると

\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,dm(y)\right)d\mu(x)=0,\qquad \int_Y\left(\int_X f(x,y)\,d\mu(x)\right)dm(y)=1

である。切り口積分関数 $x\mapsto\int_Y f(x,y)\,dm(y)$ と $y\mapsto\int_X f(x,y)\,d\mu(x)$ は、それぞれ $X$ 上の零関数と $Y$ 上の定数関数 $1$ である。Borel Lebesgue 測度を完備化しても、各切り口である一点集合の測度とこれらの関数の積分値は変わらない。したがって、両因子が局所化可能であっても、一般の非負可測関数について二つの反復積分が一致するとは限らない。

注意 4.2.例 4.1では $\mathbf1_D=0$ が $\lambda$ に関してほとんど至る所で成り立つため、 $\mathbf1_D$ は $L^1(\lambda)$ の零類を表す。それでも一方の反復積分は $1$ である。したがって、積測度に関するほとんど至る所の同値類だけでは切り口積分を定めることができない。

問題 5.1. 非可算集合 $X$ の冪集合上で、可算集合に $0$ 、非可算集合に $\infty$ を与える測度 $\mu$ を考える。一点空間 $Y$ に質量 $1$ の測度を入れる。有限測度長方形上の局所積の上限を取ったとき、 $X\times Y$ の値を求め、長方形値との相違を説明せよ。

§E10.31非 σ-有限の積測度

1 長方形被覆による積

2 有限長方形上の局所積

3 可算個の有限長方形に支持される関数

4 対角集合

5 演習

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