Fubini–Tonelli の定理 | 測度と積分

1 切り口測度関数

補題 1.1. $(X,\Sigma)$ を可測空間、 $(Y,\mathcal T,\nu)$ を σ-有限な正測度空間とし、 $E\in\Sigma\otimes\mathcal T$ とする。このとき、関数

x\longmapsto\nu(E_x)

は $\Sigma$ に関して可測である。座標を交換すれば、 $(X,\Sigma,\mu)$ が σ-有限な正測度空間、 $(Y,\mathcal T)$ が可測空間である場合、 $y\mapsto\mu(E^y)$ は $\mathcal T$ に関して可測である。

証明. $\nu(B)<\infty$ を満たす $B\in\mathcal T$ を固定し、 $x\mapsto\nu(E_x\cap B)$ が可測となる積可測集合 $E$ 全体を $\mathcal D_B$ とする。切り口 $E_x$ は§E10.15 命題 7.2により $\mathcal T$ に属する。 $X\times Y\in\mathcal D_B$ であり、 $E\in\mathcal D_B$ ならば

\nu\bigl((E^{\mathrm c})_x\cap B\bigr)=\nu(B)-\nu(E_x\cap B)

は有限実数値可測関数である。また、互いに素な $E_n\in\mathcal D_B$ に対して

\nu\left(\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\right)_x\cap B\right) =\sum_{n=1}^{\infty}\nu((E_n)_x\cap B)

は可測である。したがって、 $\mathcal D_B$ は Dynkin 系である。可測長方形 $A\times C$ に対しては

\nu((A\times C)_x\cap B)=\nu(C\cap B)\mathbf1_A(x)

であるから、 $\mathcal D_B$ は可測長方形全体を含む。可測長方形全体は $\Sigma\otimes\mathcal T$ を生成する π 系なので、§E10.9 定理 1.8により $\mathcal D_B=\Sigma\otimes\mathcal T$ である。

$\nu$ の σ-有限性により、有限測度可測集合の増加列 $B_n\uparrow Y$ をとる。任意の $E\in\Sigma\otimes\mathcal T$ に対し、 $x\mapsto\nu(E_x\cap B_n)$ は可測であり、測度の下からの連続性により $\nu(E_x\cap B_n)\uparrow\nu(E_x)$ である。ゆえに $x\mapsto\nu(E_x)$ は可測である。座標を交換すると、 $y\mapsto\mu(E^y)$ に関する主張を得る。▨

命題 1.2. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。このとき、任意の $E\in\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に対して、関数

x\longmapsto \nu(E_x), \qquad y\longmapsto \mu(E^y)

は、それぞれ $(X,\Sigma)$ 上および $(Y,\mathcal{T})$ 上の $[0,\infty]$ 値可測関数である。さらに、

\rho(E) =\int_X\nu(E_x)\,d\mu(x) =\int_Y\mu(E^y)\,d\nu(y)

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明.補題 1.1により、すべての積可測集合 $E$ について

\alpha(E)=\int_X\nu(E_x)\,d\mu(x),\qquad \beta(E)=\int_Y\mu(E^y)\,d\nu(y)

が定義される。 $\alpha(\emptyset)=\beta(\emptyset)=0$ である。互いに素な積可測集合列 $(E_n)$ に対して、その切り口も互いに素なので、測度の可算加法性と§E10.11 系 1.5により

\alpha\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\right) =\int_X\sum_{n=1}^{\infty}\nu((E_n)_x)\,d\mu(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\alpha(E_n)

である。座標を交換すれば $\beta$ についても可算加法性が成り立つ。したがって、 $\alpha,\beta$ は $\Sigma\otimes\mathcal T$ 上の測度である。

任意の $A\in\Sigma$ と $B\in\mathcal T$ に対して、§E10.11 命題 1.4により

\alpha(A\times B)=\int_X\nu(B)\mathbf1_A\,d\mu=\nu(B)\mu(A), \qquad \beta(A\times B)=\int_Y\mu(A)\mathbf1_B\,d\nu=\mu(A)\nu(B)

である。積には $0\cdot\infty=\infty\cdot0=0$ の規約を用いる。§E10.15 定理 5.1の一意性により $\alpha=\rho=\beta$ である。▨

系 1.3. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。 $\mu(A)<\infty$ と $\nu(B)<\infty$ を満たす $A\in\Sigma$ と $B\in\mathcal{T}$ を固定する。

このとき、任意の $E\in\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に対して $F=E\cap(A\times B)$ とおくと、関数

x\longmapsto \nu(F_x), \qquad y\longmapsto \mu(F^y)

は、それぞれ $(X,\Sigma)$ 上および $(Y,\mathcal{T})$ 上の $[0,\infty]$ 値可測関数である。さらに、

\rho(F) =\int_X\nu(F_x)\,d\mu(x) =\int_Y\mu(F^y)\,d\nu(y)

が成り立つ。

証明. $F=E\cap(A\times B)$ は積可測集合なので、命題 1.2を $F$ に適用すると、切り口測度関数の可測性と積分公式を得る。▨

系 1.4. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal T,\nu)$ を σ-有限な正測度空間とし、 $Z\in\Sigma\otimes\mathcal T$ とする。このとき、次の三つの条件は同値である。

$(\mu\otimes\nu)(Z)=0$ である。
$\mu$ -ほとんどすべての $x$ について $\nu(Z_x)=0$ である。
$\nu$ -ほとんどすべての $y$ について $\mu(Z^y)=0$ である。

$(\mu\otimes\nu)(Z)=0$ の場合、

N_X=\{x\in X\mid\nu(Z_x)>0\},\qquad N_Y=\{y\in Y\mid\mu(Z^y)>0\}

は、それぞれ $\Sigma$ と $\mathcal T$ に属する零集合である。

証明.命題 1.2により、二つの切り口測度関数は非負可測であり、それぞれの積分は $(\mu\otimes\nu)(Z)$ に等しい。各積分に§E10.10 命題 3.4を適用すると、三条件の同値と $N_X,N_Y$ が可測零集合であることを得る。▨

2 非負可測関数の切り口

補題 2.1. $(X,\Sigma)$ と $(Y,\mathcal{T})$ を可測空間とし、 $(Z,\mathcal{G})$ を可測空間とする。

f:(X\times Y,\Sigma\otimes\mathcal{T})\longrightarrow(Z,\mathcal{G})

を可測写像とする。各 $x\in X$ と $y\in Y$ に対して

f_x(v)=f(x,v)\quad(v\in Y), \qquad f^y(u)=f(u,y)\quad(u\in X)

と定める。このとき、すべての $x\in X$ に対して $f_x:(Y,\mathcal{T})\to(Z,\mathcal{G})$ は可測であり、すべての $y\in Y$ に対して $f^y:(X,\Sigma)\to(Z,\mathcal{G})$ は可測である。

証明. $x\in X$ と $G\in\mathcal{G}$ を固定する。 $f$ の可測性から $f^{-1}(G)\in\Sigma\otimes\mathcal{T}$ である。また、

f_x^{-1}(G)=\bigl(f^{-1}(G)\bigr)_x

が成り立つ。§E10.15 命題 7.2により、右辺は $\mathcal{T}$ に属する。 $G\in\mathcal{G}$ は任意であるから、 $f_x$ は可測である。

$y\in Y$ を固定した場合には、

(f^y)^{-1}(G)=\bigl(f^{-1}(G)\bigr)^y\in\Sigma

がすべての $G\in\mathcal{G}$ について成り立つ。したがって、 $f^y$ も可測である。▨

命題 2.2. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。 $s:X\times Y\to[0,\infty)$ を $\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に関する非負単関数とする。このとき、すべての $x\in X$ と $y\in Y$ に対して $s_x$ と $s^y$ は非負単関数である。関数

S(x)=\int_Ys_x\,d\nu, \qquad T(y)=\int_Xs^y\,d\mu

は、それぞれ $(X,\Sigma)$ 上および $(Y,\mathcal{T})$ 上の $[0,\infty]$ 値可測関数であり、

\int_{X\times Y}s\,d\rho =\int_XS\,d\mu =\int_YT\,d\nu

が成り立つ。

証明. $s=\sum_{j=1}^ma_j\mathbf1_{E_j}$ を非負単関数の標準表示とする。各切り口も有限可測分割上で同じ有限個の値をとるので単関数であり、

S(x)=\sum_{j=1}^ma_j\nu((E_j)_x),\qquad T(y)=\sum_{j=1}^ma_j\mu(E_j^y)

である。命題 1.2により $S,T$ は可測である。同公式と§E10.10 定理 1.6から

\int_XS\,d\mu=\sum_{j=1}^ma_j\rho(E_j)=\int_{X\times Y}s\,d\rho=\int_YT\,d\nu

を得る。係数が 0 の項には $0\cdot\infty=0$ の規約を用いる。▨

定理 2.3 (Tonelli の定理). $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。 $f:X\times Y\to[0,\infty]$ を $\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に関する非負拡張実数値可測関数とする。このとき、すべての $x\in X$ と $y\in Y$ に対して $f_x$ と $f^y$ は非負拡張実数値可測関数である。関数

F(x)=\int_Yf_x\,d\nu, \qquad G(y)=\int_Xf^y\,d\mu

は、それぞれ $(X,\Sigma)$ 上および $(Y,\mathcal{T})$ 上の $[0,\infty]$ 値可測関数であり、

\int_{X\times Y}f\,d\rho =\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y)

が $[0,\infty]$ において成り立つ。

証明.§E10.7 定理 7.3によって非負単関数列 $s_n\uparrow f$ をとる。補題 2.1によりすべての切り口は可測である。命題 2.2により

F_n(x)=\int_Y(s_n)_x\,d\nu,\qquad G_n(y)=\int_X(s_n)^y\,d\mu

は可測であり、 $\int F_n\,d\mu=\int s_n\,d\rho=\int G_n\,d\nu$ である。各切り口上で§E10.11 定理 1.1を用いると $F_n\uparrow F$ , $G_n\uparrow G$ となる。したがって、 $F,G$ は可測である。さらに三つの測度空間上で単調収束定理を用いると、

\int_XF\,d\mu=\lim_n\int_XF_n\,d\mu =\lim_n\int_{X\times Y}s_n\,d\rho =\int_{X\times Y}f\,d\rho =\lim_n\int_YG_n\,d\nu=\int_YG\,d\nu

を得る。▨

3 絶対可積分関数

系 3.1. $(Z,\mathcal{A},\lambda)$ を測度空間とし、 $h:Z\to[0,\infty]$ を拡張実数値可測関数とする。このとき、

\int_Zh\,d\lambda<\infty

ならば、

N=\{z\in Z\mid h(z)=\infty\}

は可測な零集合である。

証明. $N=\{h=\infty\}$ に§E10.10 命題 3.5を適用すると、可測性と $\lambda(N)=0$ を得る。▨

定理 3.2 (Fubini の定理). $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。 $\mathbb{K}$ を $\R$ または $\C$ とし、 $f:X\times Y\to\mathbb{K}$ を有限値の $\Sigma\otimes\mathcal{T}$ 可測関数とする。

\int_{X\times Y}|f|\,d\rho<\infty

を仮定する。このとき、可測な零集合 $N_X\in\Sigma$ と $N_Y\in\mathcal{T}$ が存在し、次が成り立つ。

すべての $x\in X\setminus N_X$ に対して $f_x$ は $\nu$ に関して可積分であり、すべての $y\in Y\setminus N_Y$ に対して $f^y$ は $\mu$ に関して可積分である。
関数 $I(x)= \begin{cases} \displaystyle\int_Yf(x,y)\,d\nu(y),&x\in X\setminus N_X,\\ 0,&x\in N_X, \end{cases} \qquad J(y)= \begin{cases} \displaystyle\int_Xf(x,y)\,d\mu(x),&y\in Y\setminus N_Y,\\ 0,&y\in N_Y \end{cases}$ は、それぞれ $\mu$ および $\nu$ に関して可積分である。
等式 $\int_{X\times Y}f\,d\rho =\int_XI\,d\mu =\int_YJ\,d\nu$ が $\mathbb{K}$ において成り立つ。

証明. $|f|$ に定理 2.3を適用し、

H_X(x)=\int_Y|f_x|\,d\nu,\qquad H_Y(y)=\int_X|f^y|\,d\mu

とおく。 $H_X,H_Y$ は可測であり、その積分はともに $\int|f|\,d\rho$ に等しく、有限である。系 3.1により、 $N_X=\{H_X=\infty\}$ , $N_Y=\{H_Y=\infty\}$ は可測零集合である。補題 2.1と合わせて、これらの零集合の外で切り口は可積分である。

$f$ が実数値であるとする。 $f^+$ と $f^-$ に Tonelli の定理を適用して得られる内側積分を $A_X,B_X$ とする。 $X\setminus N_X$ 上では $A_X+B_X=H_X<\infty$ である。両関数を $N_X$ 上で 0 に変更したものを $\widetilde A_X,\widetilde B_X$ とすると、これらは可測かつ非負で、 $H_X$ 以下であるから可積分である。したがって $I=\widetilde A_X-\widetilde B_X$ は可積分である。§E10.10 定理 3.2 (1)と Tonelli の定理から

\int_XI\,d\mu =\int_XA_X\,d\mu-\int_XB_X\,d\mu =\int f^+\,d\rho-\int f^-\,d\rho =\int f\,d\rho

を得る。各差の二項は有限である。座標を交換して同じ構成を $N_Y$ の外で行うと、 $J$ の可積分性と積分公式を得る。

$f$ が複素数値の場合、 $u=\Re f$ , $v=\Im f$ は $|u|,|v|\leq|f|$ を満たす可積分関数である。実数値の場合を $u,v$ に適用する。得られた内側積分を、それぞれ共通の零集合 $N_X$ または $N_Y$ 上で 0 に変更しても、可積分性と積分値は変わらない。 $X\setminus N_X$ 上では $I=\int u_x\,d\nu+i\int v_x\,d\nu$ であり、 $N_X$ 上では両辺が 0 である。複素積分の線形性から $I$ は可積分で、 $\int I\,d\mu=\int f\,d\rho$ である。 $J$ についても座標を交換して同じ等式を得る。▨

系 3.3 (Fubini–Tonelli の定理). $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な正測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とおく。

このとき、次が成り立つ。

$f:X\times Y\to[0,\infty]$ が非負拡張実数値可測関数であるならば、二つの内側積分関数はすべての点で定義された非負拡張実数値可測関数であり、 $\int_{X\times Y}f\,d\rho =\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y)$ が $[0,\infty]$ において成り立つ。
$\mathbb{K}$ が $\R$ または $\C$ であり、 $f:X\times Y\to\mathbb{K}$ が有限値可測関数で $\int_{X\times Y}|f|\,d\rho<\infty$ を満たすならば、 $f_x$ と $f^y$ はそれぞれほとんど至る所で可積分である。可積分でない切り口上の内側積分を $0$ と定めると、二つの内側積分関数は可積分であり、 $\int_{X\times Y}f\,d\rho =\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y)$ が $\mathbb{K}$ において成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。定理 2.3により従う。主張 (2)を示す。定理 3.2で構成した零集合上の値を $0$ とした内側積分関数を用いれば従う。▨

命題 3.4. $(X,\Sigma,\mu)$ , $(Y,\mathcal T,\nu)$ を σ-有限な測度空間とする。 $\rho=\mu\otimes\nu$ とし、三つの測度の完備化をそれぞれ $\overline\mu$ , $\overline\nu$ , $\overline\rho$ とする。このとき、 $\overline\rho$ に関して可測な非負拡張実数値関数 $f$ に対して、 $\mu(N_X)=\nu(N_Y)=0$ を満たす $N_X\in\Sigma$ と $N_Y\in\mathcal T$ が存在し、すべての $x\in X\setminus N_X$ について切り口 $f_x$ は $\overline\nu$ に関して可測であり、すべての $y\in Y\setminus N_Y$ について切り口 $f^y$ は $\overline\mu$ に関して可測である。 $N_X$ 上で $Y$ に関する内側積分を $0$ と定めると、 $x$ の関数として $\overline\mu$ に関して可測である。 $N_Y$ 上で $X$ に関する内側積分を $0$ と定めると、 $y$ の関数として $\overline\nu$ に関して可測である。このとき、

\int f\,d\overline\rho =\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\overline\nu(y)\right)d\overline\mu(x) =\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\overline\mu(x)\right)d\overline\nu(y)

が $[0,\infty]$ で成り立つ。有限実数値または複素数値の $\overline\rho$ 可測関数 $f$ が $\int|f|\,d\overline\rho<\infty$ を満たす場合にも、 $\mu(N_X)=\nu(N_Y)=0$ を満たす $N_X\in\Sigma$ と $N_Y\in\mathcal T$ が存在し、すべての $x\in X\setminus N_X$ について $f_x$ は $\overline\nu$ に関して可積分であり、すべての $y\in Y\setminus N_Y$ について $f^y$ は $\overline\mu$ に関して可積分である。 $N_X$ 上で $0$ とした $Y$ に関する内側積分は $\overline\mu$ に関して可積分であり、 $N_Y$ 上で $0$ とした $X$ に関する内側積分は $\overline\nu$ に関して可積分で、同じ積分公式が成り立つ。

証明.§E10.10 命題 4.2により、積可測関数 $g$ と積可測零集合 $Z$ をとり、 $(X\times Y)\setminus Z$ 上で $f=g$ とする。系 1.4により、 $\nu(Z_x)=0$ と $\mu(Z^y)=0$ はそれぞれ可測零集合の外で成り立つ。そのような $x,y$ では、 $f_x,f^y$ は可測な $g_x,g^y$ と零集合の外で一致するため、因子の完備化に関して可測であり、§E10.10 命題 4.3により積分値も一致する。非負の場合は $g$ に定理 2.3を適用する。可積分の場合は、同じ整合性により $g$ も可積分であるから定理 3.2を適用し、そこで得られる例外零集合も加える。いずれの場合も、例外集合上で 0 とした内側積分は $g$ の内側積分とほとんど至る所で一致する。再び§E10.10 命題 4.3と積分の a.e. 不変性を用いると、表示した等式と可積分性を得る。▨

注意 3.5 (仮定の役割). σ-有限性は、補題 1.1の証明で、積分する側の空間を有限測度可測集合の増加列で覆うために用いる。切り口測度関数の可測性には、他方の空間の測度は必要ない。命題 1.2では、両方の切り口測度関数の可測性と、積測度が長方形上の値から一意に定まることに、両測度の σ-有限性を用いる。一方、単調収束定理自体は σ-有限性を必要としない。

Tonelli の定理では、非負性によってすべての積分を $[0,\infty]$ の中で扱うことができる。したがって、積分値が $\infty$ であっても差をとる必要がない。一方、Fubini の定理では、絶対可積分性によって正部分と負部分の積分を有限にし、ほとんどすべての切り口を可積分にする。絶対可積分性を仮定しなければ、正部分と負部分の双方の積分が $\infty$ となり、積分の順序によって異なる値が現れる場合がある。

4 有限原子空間での計算

例 4.1. $X=\{1,2\}$ と $Y=\{a,b\}$ に冪集合からなる σ-加法族を入れる。一点集合の測度を

\mu(\{1\})=2,\qquad \mu(\{2\})=1, \qquad \nu(\{a\})=1,\qquad \nu(\{b\})=3

と定める。関数 $f:X\times Y\to[0,\infty)$ を

f(1,a)=1,\qquad f(1,b)=2,\qquad f(2,a)=4,\qquad f(2,b)=0

によって定める。このとき、二つの測度は有限であり、 $f$ は非負可測関数である。

$Y$ について先に積分すると、

\int_Yf(1,y)\,d\nu(y)=1\cdot1+2\cdot3=7, \qquad \int_Yf(2,y)\,d\nu(y)=4\cdot1+0\cdot3=4

である。したがって、

\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =7\cdot2+4\cdot1=18.

$X$ について先に積分すると、

\int_Xf(x,a)\,d\mu(x)=1\cdot2+4\cdot1=6, \qquad \int_Xf(x,b)\,d\mu(x)=2\cdot2+0\cdot1=4

である。ゆえに、

\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y) =6\cdot1+4\cdot3=18.

積測度積分も一点長方形の有限非交和により

\int_{X\times Y}f\,d(\mu\otimes\nu) =1\cdot2\cdot1+2\cdot2\cdot3+4\cdot1\cdot1=18

となり、三つの値が一致する。

5 仮定を外した場合

例 5.1. $X=Y=[0,1]$ とする。 $X$ には Borel σ-加法族 $\Sigma$ と Lebesgue 測度 $\mu$ を入れ、 $Y$ には冪集合 $\mathcal{T}=\mathcal{P}(Y)$ と数え上げ測度 $\nu$ を入れる。すなわち、 $C\subseteq Y$ が有限集合ならば $\nu(C)$ はその要素数であり、 $C$ が無限集合ならば $\nu(C)=\infty$ である。

このとき、 $\nu$ は σ-有限でない。実際、 $\nu(C)<\infty$ を満たす集合 $C$ は有限集合であり、可算個の有限集合の和集合は可算集合である。非可算集合 $[0,1]$ を、そのような集合列で覆うことはできない。

対角集合を

D=\{(x,y)\in[0,1]^2\mid x=y\}

とおく。§E10.15 命題 7.3により、 $\R$ の恒等写像のグラフは $\mathcal B(\R)\otimes\mathcal B(\R)$ に属する。各座標を $[0,1]$ に制限すると $D\in\mathcal B([0,1])\otimes\mathcal B([0,1])$ であり、 $\mathcal B([0,1])\subseteq\mathcal T$ から $D\in\Sigma\otimes\mathcal T$ である。

$f=\mathbf{1}_D$ とおく。すべての $x\in X$ に対して $D_x=\{x\}$ であるから、

\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)=\nu(\{x\})=1.

したがって、

\int_X\left(\int_Yf(x,y)\,d\nu(y)\right)d\mu(x) =\mu([0,1])=1.

一方、すべての $y\in Y$ に対して $D^y=\{y\}$ であり、 $\mu(\{y\})=0$ である。ゆえに、

\int_Y\left(\int_Xf(x,y)\,d\mu(x)\right)d\nu(y) =\int_Y0\,d\nu=0.

したがって、二つの反復積分は一致しない。この計算は、σ-有限性を外した測度空間へ定理 2.3の結論をそのまま拡張することができないことを示す。

例 5.2. $X=Y=\Z_{\geq1}$ にそれぞれ冪集合を入れ、 $X$ 上の数え上げ測度を $\mu$ 、 $Y$ 上の数え上げ測度を $\nu$ と書く。このとき、二つの測度は、有限集合 $\{1,\dots,k\}$ （ $k\geq1$ ）の増加列が全空間を覆うため σ-有限である。関数 $a:X\times Y\to\R$ を

a(m,n)= \begin{cases} 1,&m=n,\\ -1,&m=n+1,\\ 0,&\text{それ以外} \end{cases}

と定める。 $X\times Y$ は可算集合であり、一点集合は可測長方形であるから、すべての部分集合は可測である。したがって、 $a$ は積可測関数である。

固定した $m=1$ に対する行の和は $1$ である。固定した $m\geq2$ に対する行には、 $n=m$ の項 $1$ と $n=m-1$ の項 $-1$ だけが存在するため、その行の和は $0$ である。したがって、

\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a(m,n)\right)=1.

固定した任意の $n\geq1$ に対する列には、 $m=n$ の項 $1$ と $m=n+1$ の項 $-1$ だけが存在するため、その列の和は $0$ である。したがって、

\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{m=1}^{\infty}a(m,n)\right)=0.

各内側の和は有限個の非零項しかもたず、外側の二つの関数も可積分である。それにもかかわらず、二つの反復積分は異なる。

絶対値をとると、対角線上とその直下に値 $1$ が可算無限個ずつ存在するので、

\int_{X\times Y}|a|\,d(\mu\otimes\nu) =\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}|a(m,n)| =\infty.

したがって、 $a$ は積測度に関して絶対可積分ではなく、Fubini の定理の仮定を満たさない。

6 反復積分の応用

命題 6.1. $(X,\Sigma,\mu)$ を σ-有限な正測度空間、 $\lambda$ を $\mathcal{B}(\R)$ 上の Lebesgue 測度とし、 $f:X\to[0,\infty]$ を可測関数とする。このとき、 $U_f=\{\,(x,t)\in X\times\R\mid 0\leq t<f(x)\,\}$ が $\Sigma\otimes\mathcal{B}(\R)$ に属し、

\int_Xf\,d\mu=(\mu\otimes\lambda)(U_f)=\int_{[0,\infty)}\mu(\{\,x\in X\mid f(x)>t\,\})\,d\lambda(t)

が成り立つ。

証明. 演習とする（問題 7.1 (1)）。▨

命題 6.2. $(X,\Sigma,\mu)$ と $(Y,\mathcal{T},\nu)$ を σ-有限な正測度空間とし、 $g:X\to[0,\infty]$ と $h:Y\to[0,\infty]$ を可測関数とする。このとき、 $u(x,y)=g(x)h(y)$ （ $0\cdot\infty=0$ ）が $\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に関して可測であり、

\int_{X\times Y}u\,d(\mu\otimes\nu)=\int_Xg\,d\mu\cdot\int_Yh\,d\nu

が成り立つ。さらに、 $g$ と $h$ が可積分な実数値関数であるとき、 $u$ が可積分であり同じ等式が成り立つ。

証明. 演習とする（問題 7.1 (2)）。▨

命題 6.3. $\lambda$ を $\mathcal B(\R)$ 上の Lebesgue 測度とし、 $f,g:\R\to\C$ を $\lambda$ に関して可積分な Borel 可測関数とする。このとき、 $u(x,y)=f(x-y)g(y)$ は $\mathcal B(\R)\otimes\mathcal B(\R)$ に関して可測であり、 $\lambda\otimes\lambda$ に関して可積分である。また、

N=\left\{x\in\R:\int_\R|f(x-y)g(y)|\,d\lambda(y)=\infty\right\}

は Borel 零集合であり、関数

(f*g)(x)= \begin{cases} \displaystyle\int_\R f(x-y)g(y)\,d\lambda(y),&x\notin N,\\ 0,&x\in N \end{cases}

は Borel 可測かつ可積分で、

\int_\R|f*g|\,d\lambda\leq\int_\R|f|\,d\lambda\int_\R|g|\,d\lambda, \qquad \int_\R f*g\,d\lambda=\int_\R f\,d\lambda\int_\R g\,d\lambda

を満たす。

証明. 差写像 $(x,y)\mapsto x-y$ と射影 $(x,y)\mapsto y$ は連続である。§E10.7 命題 1.3と§E10.16 命題 2.2により、 $u$ の実部と虚部は有限実数値の積可測関数の和と積で表されるため、 $u$ は積可測である。各 $y\in\R$ に対して $\tau_y(x)=x-y$ とおくと、§E10.16 定理 7.1により $(\tau_y)_\#\lambda=\lambda$ である。§E10.12 定理 1.2により

\int_\R|f(x-y)|\,d\lambda(x)=\int_\R|f|\,d\lambda, \qquad \int_\R f(x-y)\,d\lambda(x)=\int_\R f\,d\lambda

である。

定理 2.3を $|u|$ に適用すると、

\int_{\R^2}|u|\,d(\lambda\otimes\lambda) =\int_\R |g(y)|\left(\int_\R|f(x-y)|\,d\lambda(x)\right)d\lambda(y) =\int_\R|f|\,d\lambda\int_\R|g|\,d\lambda<\infty

である。同じ定理により $H(x)=\int_\R|u(x,y)|\,d\lambda(y)$ は可測であり、 $\int H\,d\lambda<\infty$ である。系 3.1により $N=\{H=\infty\}$ は Borel 零集合である。定理 3.2により、 $N$ 上で零とした $f*g$ は Borel 可測かつ可積分である。

§E10.10 補題 2.5により $|f*g|\leq H$ であるから、積分の単調性と上の等式によりノルム評価を得る。また、各 $y\in\R$ について $x\mapsto u(x,y)$ は可積分であり、§E10.10 定理 2.3により $\int_\R u(x,y)\,d\lambda(x)=g(y)\int_\R f\,d\lambda$ である。したがって、定理 3.2と積分の線形性により

\int_\R f*g\,d\lambda =\int_\R\left(g(y)\int_\R f\,d\lambda\right)d\lambda(y) =\int_\R f\,d\lambda\int_\R g\,d\lambda

である。▨

命題 6.4. $\lambda$ を $\mathcal{B}(\R)$ 上の Lebesgue 測度とし、 $f,g:\R\to\R$ を $\lambda$ に関して可積分な Borel 可測関数とする。このとき、 $u(x,y)=f(x-y)g(y)$ が $\mathcal{B}(\R)\otimes\mathcal{B}(\R)$ に関して可測であり $\lambda\otimes\lambda$ に関して可積分である。さらに、 $\lambda$ -零集合 $N$ が存在して、 $x\notin N$ に対して $(f*g)(x)=\int_{\R}f(x-y)g(y)\,d\lambda(y)$ が定義され、 $N$ 上で $0$ と定めた $f*g$ が可積分であり

\int_{\R}|f*g|\,d\lambda\leq\int_{\R}|f|\,d\lambda\int_{\R}|g|\,d\lambda, \qquad \int_{\R}f*g\,d\lambda=\int_{\R}f\,d\lambda\int_{\R}g\,d\lambda

を満たす。

証明. 演習とする（問題 7.1 (4)）。▨

命題 6.5. $\lambda$ を $\R$ 上の完備な Lebesgue 測度とし、 $f,g:\R\to\C$ を Lebesgue 可測かつ可積分な関数とする。このとき、すべての $x\in\R$ について $y\mapsto f(x-y)g(y)$ は Lebesgue 可測であり、ほとんどすべての $x\in\R$ について

(f*g)(x)=\int_\R f(x-y)g(y)\,d\lambda(y)

は絶対収束する。絶対収束しない点で $(f*g)(x)=0$ と定めると、 $f*g$ は可積分であり、そのほとんど至る所の一致による同値類は $f,g$ の代表によらない。さらに、

\int_\R|f*g|\,d\lambda\leq\int_\R|f|\,d\lambda\int_\R|g|\,d\lambda, \qquad \int_\R f*g\,d\lambda=\int_\R f\,d\lambda\int_\R g\,d\lambda

が成り立つ。

証明. $\lambda_B$ を $\mathcal B(\R)$ への $\lambda$ の制限とする。§E10.10 命題 4.2により、有限複素数値 Borel 関数 $F,G$ と Borel 零集合 $Z_f,Z_g$ をとり、 $\R\setminus Z_f$ 上で $f=F$ 、 $\R\setminus Z_g$ 上で $g=G$ とする。§E10.10 命題 4.3により $F,G$ は $\lambda_B$ に関して可積分であり、各関数とその絶対値の積分は、元の関数の $\lambda$ に関する積分に一致する。

$Z$ を任意の Borel 零集合とし、 $A_x=\{y\in\R:x-y\in Z\}$ とおく。差写像の連続性と§E10.16 命題 2.2により、 $(x,y)\mapsto\mathbf1_Z(x-y)$ は Borel 積可測であり、各 $A_x$ は Borel 集合である。§E10.16 定理 7.1により、すべての $y\in\R$ について $\int_\R\mathbf1_Z(x-y)\,d\lambda_B(x)=\lambda_B(Z+y)=0$ である。定理 2.3により

\int_\R\lambda_B(A_x)\,d\lambda_B(x)=0

となる。一方、 $A_x=A_0+x$ であるから、平行移動不変性により $\lambda_B(A_x)=\lambda_B(A_0)$ である。 $[0,1]$ の測度が 1 であることから $\lambda_B(A_0)=\int_{[0,1]}\lambda_B(A_x)\,d\lambda_B(x)=0$ であり、すべての $x$ で $\lambda_B(A_x)=0$ となる。

各 $x\in\R$ について、 $y\mapsto f(x-y)g(y)$ と $y\mapsto F(x-y)G(y)$ は Borel 零集合

\{y\in\R:x-y\in Z_f\}\cup Z_g

の外で一致する。後者は Borel 可測であり、 $\lambda$ は完備であるから、前者は Lebesgue 可測である。§E10.10 定理 3.2 (1)と§E10.10 定理 3.2 (3)、および§E10.10 命題 4.3により、両切り口の積分は同時に絶対収束し、絶対収束する場合は積分値が一致する。したがって、絶対収束しない点で零とした $f*g$ と $F*G$ はすべての点で一致する。命題 6.3を $F,G$ に適用し、再び完備化に関する積分の整合性を用いると、 $f*g$ の可積分性、ノルム評価、および積分の積公式を得る。

$f_1,g_1:\R\to\C$ を Lebesgue 可測な関数とし、 $f_1=f$ 、 $g_1=g$ がそれぞれほとんど至る所で成り立つとする。 $f_1-F$ はほとんど至る所で零である。§E10.10 命題 4.2により、 $f_1-F$ と Borel 零集合 $Z'$ の外で一致する Borel 関数 $q$ をとる。 $q$ もほとんど至る所で零であるから、 $\{q\ne0\}\cup Z'$ は Borel 零集合であり、その外で $f_1=F$ である。同じ議論により、 $g_1=G$ も Borel 零集合の外で成り立つ。前段の切り口の比較を $f_1,g_1$ と $F,G$ に適用すると、絶対収束しない点で零とした $f_1*g_1$ も全点で $F*G$ に一致する。▨

7 演習

問題 7.1.

命題 6.1の証明を完成させよ。
命題 6.2の証明を完成させよ。
$(X,\Sigma,\mu)$ を σ-有限な正測度空間とし、各 $n\in\NN$ に対して $f_n:X\to[0,\infty]$ を可測関数とする。 $\NN$ に冪集合と数え上げ測度 $\kappa$ を入れ、 $F(x,n)=f_n(x)$ とおく。 $F$ が $\Sigma\otimes\mathcal{P}(\NN)$ に関して可測であることを示し、定理 2.3を $\mu\otimes\kappa$ に適用して $\int_X\sum_{n=1}^{\infty}f_n\,d\mu=\sum_{n=1}^{\infty}\int_Xf_n\,d\mu$ を証明せよ。
命題 6.4の証明を完成させよ。
$\lambda$ を $\mathcal{B}(\R)$ 上の Lebesgue 測度とする。 $x,y\in(0,1]$ に対して $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ とし、それ以外の $(x,y)\in\R^2$ に対して $f(x,y)=0$ と定める。 $f$ が $\mathcal{B}(\R)\otimes\mathcal{B}(\R)$ に関して可測であることを示し、二つの反復積分 $\int_{\R}\left(\int_{\R}f(x,y)\,d\lambda(y)\right)d\lambda(x), \qquad \int_{\R}\left(\int_{\R}f(x,y)\,d\lambda(x)\right)d\lambda(y)$ を求めよ。このことから $\int_{\R^2}|f|\,d(\lambda\otimes\lambda)=\infty$ を導け。

解答.

$\Q_{>0}$ を正の有理数全体とすると
$U_f=\bigcup_{q\in\Q_{>0}}\bigl(\{\,x\mid f(x)>q\,\}\times[0,q)\bigr)$
である。実際、 $0\leq t<f(x)$ ならば $t<q<f(x)$ を満たす有理数 $q$ が存在し、逆に $f(x)>q$ かつ $0\leq t<q$ ならば $0\leq t<f(x)$ である。右辺は可測長方形の可算和であるから、 $U_f\in\Sigma\otimes\mathcal{B}(\R)$ である。

$\lambda$ は σ-有限であるから、命題 1.2を $U_f$ に適用することができる。 $x\in X$ について $(U_f)_x=[0,f(x))$ である。 $f(x)<\infty$ ならば、§E10.16 定理 5.3と一点集合が零集合であることから $\lambda([0,f(x)))=f(x)$ であり、 $f(x)=\infty$ ならば $[0,\infty)\supseteq(0,m]$ がすべての正の整数 $m$ について成り立つので $\lambda([0,\infty))=\infty=f(x)$ である。 $t\in\R$ については、 $t\geq0$ のとき $(U_f)^t=\{\,x\mid f(x)>t\,\}$ 、 $t<0$ のとき $(U_f)^t=\emptyset$ である。したがって
$(\mu\otimes\lambda)(U_f)=\int_X\lambda((U_f)_x)\,d\mu(x)=\int_Xf\,d\mu$
であり、
$(\mu\otimes\lambda)(U_f)=\int_{\R}\mu((U_f)^t)\,d\lambda(t) =\int_{[0,\infty)}\mu(\{\,x\mid f(x)>t\,\})\,d\lambda(t)$
である。
射影 $\pi_X(x,y)=x$ と $\pi_Y(x,y)=y$ は、 $\pi_X^{-1}(A)=A\times Y$ 、 $\pi_Y^{-1}(B)=X\times B$ が可測長方形であるから可測である。§E10.7 定理 7.3により、非負単関数の列 $\varphi_n\uparrow g$ と $\psi_n\uparrow h$ をとる。 $(\varphi_n\circ\pi_X)(\psi_n\circ\pi_Y)$ は $\Sigma\otimes\mathcal{T}$ に関する非負単関数であり、各点で広義単調増加して $u$ に収束する。実際、 $g(x)=0$ または $h(y)=0$ ならば、すべての $n$ について $\varphi_n(x)\psi_n(y)=0=u(x,y)$ である。 $g(x)>0$ かつ $h(y)>0$ ならば、増加列 $(\varphi_n(x))$ と $(\psi_n(y))$ の積 $\varphi_n(x)\psi_n(y)$ は $g(x)h(y)=u(x,y)$ に収束する。§E10.7 定理 5.1により $u$ は可測である。

§E10.11 命題 1.4により、各 $x\in X$ について $\int_Yu(x,y)\,d\nu(y)=g(x)\int_Yh\,d\nu$ である。定理 2.3と同じ同次性により
$\int_{X\times Y}u\,d(\mu\otimes\nu)=\int_X\Bigl(g(x)\int_Yh\,d\nu\Bigr)d\mu(x)=\int_Yh\,d\nu\cdot\int_Xg\,d\mu$
である。

$g,h$ が可積分な実数値関数であるとき、前段で示した射影の可測性と§E10.7 命題 1.2により $g\circ\pi_X$ と $h\circ\pi_Y$ は有限実数値可測関数であり、§E10.7 命題 4.1によりその積 $u$ も可測である。非負関数について証明した変数分離積分の等式を $|g|$ と $|h|$ に適用すると $\int|u|\,d(\mu\otimes\nu)=\int|g|\,d\mu\int|h|\,d\nu<\infty$ である。定理 3.2により、零集合 $N_X$ の外の $x$ について $I(x)=\int_Yg(x)h(y)\,d\nu(y)=g(x)\int_Yh\,d\nu$ であり（§E10.10 定理 2.3）、 $I$ と $x\mapsto g(x)\int_Yh\,d\nu$ は零集合 $N_X$ の外で一致する。§E10.10 定理 3.2と同じ線形性により
$\int_{X\times Y}u\,d(\mu\otimes\nu)=\int_XI\,d\mu=\int_Yh\,d\nu\cdot\int_Xg\,d\mu$
を得る。
Borel 集合 $B\subseteq[0,\infty]$ について $F^{-1}(B)=\bigcup_{n\in\NN}\bigl(f_n^{-1}(B)\times\{n\}\bigr)$ であり、右辺は可測長方形の可算和であるから、 $F$ は可測である。有限測度の一点集合の可算和が $\NN$ を覆うため、 $\kappa$ は σ-有限である。

$a_n\in[0,\infty]$ とする。一点集合 $\{n\}$ について $\int a_n\mathbf{1}_{\{n\}}\,d\kappa=a_n$ である（ $a_n<\infty$ では§E10.8 定義 5.1、 $a_n=\infty$ では $m\mathbf{1}_{\{n\}}\uparrow\infty\cdot\mathbf{1}_{\{n\}}$ と§E10.11 定理 1.1）。 $\sum_{n\leq N}a_n\mathbf{1}_{\{n\}}$ は $N$ について増加して $n\mapsto a_n$ に収束するので、§E10.10 定理 1.6と単調収束定理により $\int a_n\,d\kappa(n)=\lim_N\sum_{n\leq N}a_n=\sum_na_n$ である。

定理 2.3を $F$ と $\mu\otimes\kappa$ に適用すると、 $x\mapsto\sum_nf_n(x)$ と $n\mapsto\int_Xf_n\,d\mu$ は可測であり、
$\int_X\Bigl(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\Bigr)d\mu(x) =\int_{X\times\NN}F\,d(\mu\otimes\kappa) =\sum_{n=1}^{\infty}\int_Xf_n\,d\mu$
を得る。
実数値の $f,g$ を複素数値関数とみなして命題 6.3を適用すると、 $u$ の積可測性と可積分性、および零集合の外での畳み込みの絶対収束を得る。複素積分の定義により、実数値関数の複素積分は実積分に一致するため、同じ命題のノルム評価と積分の積公式が成り立つ。
$h(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$ （ $(x,y)\neq(0,0)$ ）、 $h(0,0)=0$ とおく。 $h$ は開集合 $\R^2\setminus\{(0,0)\}$ 上で連続であるから、開集合 $O\subseteq\R$ について $h^{-1}(O)$ は $\R^2\setminus\{(0,0)\}$ の開集合に、 $0\in O$ のときだけ一点 $(0,0)$ を加えた集合であり、Borel 集合である。 $f=h\mathbf{1}_{(0,1]\times(0,1]}$ であり、§E10.16 命題 2.2により $\mathcal{B}(\R^2)=\mathcal{B}(\R)\otimes\mathcal{B}(\R)$ であるから、§E10.7 命題 4.1により $f$ は積可測である。

$x\in(0,1]$ を固定する。 $\varphi_x(y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2$ は $[0,1]$ 上で連続であり、 $\Phi_x(y)=y/(x^2+y^2)$ とおくと $\Phi_x'=\varphi_x$ である。§E10.10 系 5.2により、 $\varphi_x$ を $[0,1]$ の外で $0$ とした関数は可積分であり、その積分は $\Phi_x(1)-\Phi_x(0)$ に等しい。 $f(x,\cdot)$ はこの延長と端点 $0$ 以外で一致し、 $\lambda(\{0\})=0$ であるから、§E10.10 定理 3.2により
$\int_{\R}f(x,y)\,d\lambda(y)=\int_0^1\varphi_x(y)\,dy=\Phi_x(1)-\Phi_x(0)=\frac{1}{1+x^2}$
である。 $x\notin(0,1]$ ならば内側積分は $0$ である。 $x\mapsto1/(1+x^2)$ は $[0,1]$ 上で連続であり、 $\arctan$ を原始関数にもつ。§E10.10 系 5.2を適用し、端点 $0$ での値の違いを§E10.10 定理 3.2によって除くと、
$\int_{\R}\left(\int_{\R}f(x,y)\,d\lambda(y)\right)d\lambda(x)=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\arctan1=\frac{\pi}{4}$
である。 $f(y,x)=-f(x,y)$ がすべての $(x,y)$ について成り立つので、もう一方の反復積分は $-\pi/4$ である。

$\int|f|\,d(\lambda\otimes\lambda)<\infty$ と仮定すると、定理 3.2により、零集合の外で上の内側積分に一致する可積分関数 $I$ と $J$ について $\int I\,d\lambda=\int f\,d(\lambda\otimes\lambda)=\int J\,d\lambda$ が成り立つ。§E10.10 定理 3.2により $\int I\,d\lambda=\pi/4$ 、 $\int J\,d\lambda=-\pi/4$ であるから矛盾する。したがって $\int_{\R^2}|f|\,d(\lambda\otimes\lambda)=\infty$ である。

▨

§E10.19Fubini–Tonelli の定理

1 切り口測度関数

2 非負可測関数の切り口

3 絶対可積分関数

4 有限原子空間での計算

5 仮定を外した場合

6 反復積分の応用

7 演習

参考文献

前提記事