Riesz–Markov–Kakutani の表現定理 | 測度と積分

定理 1.1. $K$ をコンパクト Hausdorff 空間とする。実線形汎関数 $\Lambda:C(K,\R)\to\R$ が正、すなわち $f\geq0$ ならば $\Lambda(f)\geq0$ を満たすとする。このとき、有限正則 Borel 測度 $\mu$ が一意に存在して、すべての $f\in C(K,\R)$ に対して

\Lambda(f)=\int_Kf\,d\mu

を満たす。また、 $\mu(K)=\Lambda(1)$ である。

v(U)=\sup\{\Lambda(f)\mid f\in C(K,\R),\ 0\leq f\leq1,\ \supp f\subseteq U\}

と定める。零関数が上限に現れるから $0\leq v(U)\leq m$ であり、 $v(\emptyset)=0$ 、 $v(K)=m$ である。 $U\subseteq V$ ならば $v(U)\leq v(V)$ である。

主張 1.1.1. 任意の開集合列 $(U_n)_{n\in\NN}$ に対して

v\left(\bigcup_nU_n\right)\leq\sum_nv(U_n)

が成り立つ。互いに交わらない二つの開集合 $U,V$ に対して $v(U\cup V)=v(U)+v(V)$ である。

証明. $0\leq f\leq1$ 、 $\supp f\subseteq\bigcup_nU_n$ を満たす $f\in C(K,\R)$ を取る。コンパクト集合 $\supp f$ は有限個の $U_n$ で覆われる。§E10.32 補題 1.4により、その有限被覆に従属する関数 $\phi_j$ であって、 $\supp f$ 上で和が1となるものが存在する。したがって、各 $f\phi_j$ は対応する $U_n$ の上限に現れる関数であり、 $f=\sum_jf\phi_j$ である。したがって $\Lambda(f)\leq\sum_nv(U_n)$ である。 $f$ について上限を取ると劣加法性が従う。

$U\cap V=\emptyset$ とする。 $U$ と $V$ は互いに交わらないから、それぞれの上限に現れる関数 $f,g$ に対して、 $f+g$ は $U\cup V$ の上限に現れる。ゆえに $v(U\cup V)\geq\Lambda(f)+\Lambda(g)$ であり、両方の関数について上限を取ると $v(U\cup V)\geq v(U)+v(V)$ である。逆向きは劣加法性による。▨

$A\subseteq K$ に対して

\mu^*(A)=\inf\{v(U)\mid A\subseteq U,\ U\text{ は開集合}\}

と定める。

主張 1.1.2. $\mu^*$ は外測度である。すべての開集合は $\mu^*$ に関して Carathéodory 可測であり、開集合 $G$ に対して $\mu^*(G)=v(G)$ である。

証明. $\mu^*(\emptyset)=0$ と単調性は $v$ の性質から従う。集合列 $A_n\subseteq K$ と $\ep>0$ に対して、 $A_n\subseteq U_n$ と $v(U_n)<\mu^*(A_n)+\ep2^{-n}$ を満たす開集合 $U_n$ を取る。主張 1.1.1により

\mu^*\left(\bigcup_nA_n\right) \leq v\left(\bigcup_nU_n\right) \leq\sum_n\mu^*(A_n)+\ep

である。 $\ep\downarrow0$ として可算劣加法性を得る。 $G$ が開集合ならば、 $G$ を含む開集合の費用は $v(G)$ 以上であり、 $G$ 自身も候補であるから $\mu^*(G)=v(G)$ である。

開集合 $G$ と $\ep>0$ を取る。 $v(G)$ の定義により、 $0\leq f\leq1$ 、 $C=\supp f\subseteq G$ 、 $\Lambda(f)>v(G)-\ep$ を満たす $f\in C(K,\R)$ が存在する。 $G\setminus C$ の上限に現れる関数 $h$ に対して、 $f+h$ は $G$ の上限に現れる。したがって

v(G\setminus C)\leq v(G)-\Lambda(f)<\ep.

§E10.32 補題 1.2により $C\subseteq O\subseteq\tpcl{O}\subseteq G$ を満たす開集合 $O$ が存在する。任意の $A\subseteq K$ と、 $A\subseteq W$ を満たす開集合 $W$ に対して、 $W\cap O$ と $W\cap(K\setminus\tpcl{O})$ は互いに交わらない。主張 1.1.1と単調性から

v(W)\geq v(W\cap O)+v(W\cap(K\setminus\tpcl{O})) \geq\mu^*(A\cap C)+\mu^*(A\setminus G)

である。 $W$ について下限を取ると

\mu^*(A)\geq\mu^*(A\cap C)+\mu^*(A\setminus G)

を得る。一方、外測度の劣加法性から

\mu^*(A\cap G)\leq\mu^*(A\cap C)+\mu^*(G\setminus C) <\mu^*(A\cap C)+\ep.

ゆえに $\mu^*(A)\geq\mu^*(A\cap G)+\mu^*(A\setminus G)-\ep$ である。 $\ep\downarrow0$ とし、外測度の劣加法性による逆の不等式と合わせると、 $G$ の Carathéodory 可測性が従う。▨

§E10.9 定理 3.5により、 $\mu=\mu^*|_{\mathcal B(K)}$ は有限正 Borel 測度である。 $\mu(K)=m$ であり、定義によりすべての Borel 集合で外正則である。

主張 1.1.3. $\mu$ はすべての Borel 集合でコンパクト内正則である。また、任意のコンパクト集合 $C\subseteq K$ に対して

\mu(C)=\inf\{\Lambda(g)\mid g\in C(K,\R),\ g\geq0,\ g|_C\geq1\}

である。

証明. Borel 集合 $A\subseteq K$ と $\ep>0$ に対して、 $K\setminus A\subseteq U$ と $\mu(U)<\mu(K\setminus A)+\ep$ を満たす開集合 $U$ を取る。 $F=K\setminus U$ は $A$ に含まれるコンパクト集合であり、有限性から

\mu(A)-\mu(F)=\mu(U)-\mu(K\setminus A)<\ep

である。したがってコンパクト内正則性が成り立つ。

$g\geq0$ 、 $g|_C\geq1$ と $0<\ep<1$ を取る。 $G=\{g>1-\ep\}$ は $C$ を含む開集合である。 $G$ の上限に現れる関数 $h$ に対して $(1-\ep)h\leq g$ であるから、正値性により $(1-\ep)v(G)\leq\Lambda(g)$ である。ゆえに

\mu(C)\leq\frac{\Lambda(g)}{1-\ep}.

$\ep\downarrow0$ とすると $\mu(C)\leq\Lambda(g)$ である。逆に、 $C\subseteq U$ を満たす開集合 $U$ に対して、§E10.32 補題 1.2により $0\leq g\leq1$ 、 $g|_C=1$ 、 $\supp g\subseteq U$ を満たす $g$ が存在する。この関数は $\Lambda(g)\leq v(U)=\mu(U)$ を満たす。 $U$ について下限を取れば、主張の下限は $\mu(C)$ 以下である。▨

$f\in C(K,\R)$ 、 $f\geq0$ とする。 $\delta>0$ と $N\in\NN$ を $N\delta\geq\|f\|_\infty$ となるように取り、 $0\leq k<N$ に対して

h_k=\min\left(1,\max\left(0,\frac{f-k\delta}{\delta}\right)\right)

とおく。 $h_k$ の定義と $N\delta\geq\|f\|_\infty$ により、点ごとに $f=\delta\sum_{k=0}^{N-1}h_k$ である。 $h_k$ は閉集合 $\{f\geq(k+1)\delta\}$ 上で1となるから、主張 1.1.3により

\mu\{f\geq(k+1)\delta\}\leq\Lambda(h_k).

$1-h_k$ は閉集合 $\{f\leq k\delta\}$ 上で1となる。同じ公式と $\mu(K)=\Lambda(1)=m$ により

\Lambda(h_k)\leq m-\mu\{f\leq k\delta\}=\mu\{f>k\delta\}.

したがって $\Lambda(f)$ は

L_\delta=\delta\sum_{k=0}^{N-1}\mu\{f\geq(k+1)\delta\},\qquad U_\delta=\delta\sum_{k=0}^{N-1}\mu\{f>k\delta\}

の間にある。 $\ell_\delta=\delta\sum_{k=0}^{N-1}\mathbf1_{\{f\geq(k+1)\delta\}}$ 、 $u_\delta=\delta\sum_{k=0}^{N-1}\mathbf1_{\{f>k\delta\}}$ とおく。定義により、 $\ell_\delta\leq f\leq u_\delta$ かつ $0\leq u_\delta-\ell_\delta\leq\delta$ である。積分の単調性§E10.10 命題 1.2により $\int_Kf\,d\mu$ も同じ区間にあり、 $U_\delta-L_\delta\leq\delta m$ である。 $\delta\downarrow0$ として $\Lambda(f)=\int_Kf\,d\mu$ を得る。任意の連続実関数を正部分と負部分の差に分け、§E10.10 定理 2.3 (1)を適用すると、すべての $f\in C(K,\R)$ に対する表現が従う。

有限正則 Borel 測度は Radon 測度である。 $C_c(K,\R)=C(K,\R)$ であるから、§E10.32 系 4.2により表現測度は一意である。▨

定理 2.1. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とする。このとき、実線形汎関数 $\Lambda:C_c(X,\R)\to\R$ が正であるならば、Radon 測度 $\mu$ が一意に存在して、すべての $f\in C_c(X,\R)$ に対して

\Lambda(f)=\int_Xf\,d\mu

を満たす。

このとき、写像 $\mu\longmapsto\left(f\longmapsto\int_Xf\,d\mu\right)$ は、 $X$ 上の Radon 測度全体から $C_c(X,\R)$ 上の正実線形汎関数全体への全単射である。

証明. $0\leq\chi\in C_c(X,\R)$ とし、 $K_\chi=\supp\chi$ とおく。 $g\in C(K_\chi,\R)$ に対して、§E10.32 補題 1.5の拡張 $\widetilde g$ を用いて

\Lambda_\chi(g)=\Lambda(\chi\widetilde g)

と定める。二つの拡張の差は $K_\chi$ 上で零であり、 $\chi$ は $K_\chi$ の外で零であるから、積 $\chi\widetilde g$ は拡張の選び方によらない。拡張の和とスカラー倍も対応する関数の拡張であるため、 $\Lambda_\chi$ は実線形である。 $g\geq0$ には非負の拡張を取ることができるから、 $\Lambda_\chi$ は正である。

定理 1.1により、 $\Lambda_\chi$ を表現する有限正則 Borel 測度が $K_\chi$ 上に存在する。この測度を $X\setminus K_\chi$ で零として延長し、 $\mu_\chi$ と書く。 $K_\chi$ のコンパクト集合は $X$ でもコンパクトであるから、 $\mu_\chi$ は有限 Radon 測度である。任意の $f\in C_c(X,\R)$ に対して

\int_Xf\,d\mu_\chi=\Lambda(\chi f)

である。

主張 2.1.1. 非負の $\chi,\psi\in C_c(X,\R)$ に対して、Borel 測度として

\psi\,\mu_\chi=\chi\,\mu_\psi

が成り立つ。ここで $\psi\,\mu_\chi$ は $A\mapsto\int_A\psi\,d\mu_\chi$ という測度である。

証明. Borel 集合 $A$ と $\ep>0$ に対して、 $\mu_\chi$ の有限性と内正則性により、コンパクト集合 $C\subseteq A$ で $\mu_\chi(A\setminus C)<\ep$ を満たすものが存在する。したがって

\int_{A\setminus C}\psi\,d\mu_\chi\leq\|\psi\|_\infty\ep.

ゆえに $\psi\,\mu_\chi$ は有限 Radon 測度である。 $\chi\,\mu_\psi$ も同じ理由で有限 Radon 測度である。 $f\in C_c(X,\R)$ は有界であり、 $\psi\mu_\chi$ と $\chi\mu_\psi$ は有限測度であるから、 $f$ は両測度について可積分である。§E10.12 命題 3.2を、基準測度 $\mu_\chi$ 、密度 $\psi$ 、関数 $f$ の正部分と負部分に適用すると、

\int_Xf\,d(\psi\mu_\chi)=\int_Xf\psi\,d\mu_\chi =\Lambda(\chi\psi f)

を得る。 $\chi$ と $\psi$ を交換して同じ公式を適用すると、 $\int_Xf\,d(\chi\mu_\psi)=\Lambda(\chi\psi f)$ である。§E10.32 系 4.2により二つの測度は一致する。▨

コンパクトな閉包をもつ開集合全体を $\mathcal V$ とする。各 $V\in\mathcal V$ に対して、§E10.32 補題 1.2により $0\leq\chi_V\leq1$ 、 $\chi_V|_{\tpcl{V}}=1$ を満たす $\chi_V\in C_c(X,\R)$ を取り、

\nu_V(A)=\mu_{\chi_V}(A\cap V)\qquad(A\in\mathcal B(X))

と定める。 $\nu_V$ は有限 Radon 測度である。実際、 $\mu_{\chi_V}$ の内正則性を Borel 集合 $A\cap V$ に適用すれば、 $\nu_V$ の内正則性が従う。主張 2.1.1を $V\cap W$ に制限すると、 $\chi_V=\chi_W=1$ であるから

\nu_V(A\cap W)=\nu_W(A\cap V)

を得る。同じ公式を二つの $\chi_V$ に適用すると、 $\nu_V$ は切断関数の選び方によらない。 $V\subseteq W$ ならば $\nu_V(A)=\nu_W(A\cap V)\leq\nu_W(A)$ である。 $\mathcal V$ は有限和について閉じており、 $X$ を覆う。

Borel 集合 $A$ に対して

\mu(A)=\sup_{V\in\mathcal V}\nu_V(A)

と定める。

主張 2.1.2. $\mu$ は正 Borel 測度であり、 $\mu(A\cap V)=\nu_V(A)$ がすべての $A\in\mathcal B(X)$ と $V\in\mathcal V$ に対して成り立つ。 $\mu$ は Radon 測度である。

証明. 互いに交わらない Borel 集合列 $A_n$ に対して

\mu\left(\bigcup_nA_n\right) =\sup_V\sum_n\nu_V(A_n)\leq\sum_n\mu(A_n)

である。 $N\in\NN$ と $V_1,\ldots,V_N\in\mathcal V$ に対して $W=\bigcup_{n=1}^NV_n$ とおくと、 $W\in\mathcal V$ であり、

\mu\left(\bigcup_nA_n\right)\geq\sum_{n=1}^N\nu_W(A_n) \geq\sum_{n=1}^N\nu_{V_n}(A_n).

各 $V_n$ について上限を取ると右辺は $\sum_{n=1}^N\mu(A_n)$ となる。 $N$ について上限を取れば逆の不等式が従う。 $\mu(\emptyset)=0$ と合わせて可算加法性を得る。

整合性の公式から、任意の $W\in\mathcal V$ に対して

\nu_W(A\cap V)=\nu_V(A\cap W)\leq\nu_V(A)

である。 $W=V$ とすれば等号であるから、 $\mu(A\cap V)=\nu_V(A)$ である。任意のコンパクト集合 $C$ は、§E10.32 補題 1.2によりある $V\in\mathcal V$ に含まれる。ゆえに $\mu(C)=\nu_V(C)<\infty$ である。

$\nu_V$ の内正則性により、 $\nu_V(A)$ は $A\cap V$ に含まれるコンパクト集合 $C$ の $\nu_V(C)=\mu(C)$ の上限である。したがって

\mu(A)=\sup_V\nu_V(A) \leq\sup_{\substack{C\subseteq A\\C\text{ はコンパクト}}}\mu(C) \leq\mu(A).

ゆえに $\mu$ はすべての Borel 集合でコンパクト内正則である。▨

$f\in C_c(X,\R)$ に対して、 $\supp f\subseteq V$ を満たす $V\in\mathcal V$ を取る。 $\mu$ と $\nu_V$ は $V$ 内で一致し、 $\chi_V=1$ は $V$ 上で成り立つため、

\int_Xf\,d\mu=\int_Xf\,d\mu_{\chi_V} =\Lambda(\chi_Vf)=\Lambda(f).

§E10.32 系 4.2により、この表現をもつ Radon 測度は一意である。

$f\in C_c(X,\R)$ はコンパクト集合 $\supp f$ 上で有界であり、その集合の測度は有限である。したがって $f$ は任意の Radon 測度について可積分である。積分の線形性§E10.10 定理 2.3 (1)と単調性§E10.10 命題 1.2により、積分汎関数は正実線形である。上で構成した表現測度の存在により全射性が成り立ち、§E10.32 系 4.2により単射性が成り立つ。▨

例 3.1. $X$ を非可算集合とし、離散位相を入れる。各 $x\in X$ に対して有限な実数 $a_x\geq0$ を取る。このとき、 $f\in C_c(X,\R)$ に対して

\Lambda(f)=\sum_{x\in\supp f}a_xf(x)

と定めると、 $\Lambda$ は正実線形汎関数である。その表現測度は、任意の $A\subseteq X$ に対して

\mu(A)=\sup_{\substack{F\subseteq A\\F\text{ は有限}}}\sum_{x\in F}a_x

で与えられる Radon 測度である。すべての $a_x$ が1である場合、 $\mu(X)=\infty$ であり、 $\mu$ は σ-有限でない。

証明. 離散空間 $X$ のすべての部分集合は開集合であり、Borel 集合である。異なる二点はそれぞれの一点集合によって分離されるから、 $X$ は Hausdorff 空間である。各一点集合はコンパクトな開近傍であるから、 $X$ は局所コンパクトである。コンパクト集合 $C\subseteq X$ に一点集合による開被覆を適用すると、 $C$ は有限集合である。逆に、有限集合は任意の開被覆から各点を含む有限個の項を選ぶことによって覆われるため、コンパクトである。したがって $C_c(X,\R)$ は有限な台をもつ実関数全体である。有限和の線形性と $a_x\geq0$ により、 $\Lambda$ は正実線形汎関数である。

定理 2.1により、 $\Lambda$ を表現する Radon 測度 $\nu$ が一意に存在する。各 $x\in X$ に対して $\mathbf1_{\{x\}}\in C_c(X,\R)$ であるから、

\nu(\{x\})=\int_X\mathbf1_{\{x\}}\,d\nu=\Lambda(\mathbf1_{\{x\}})=a_x

である。有限加法性により、有限集合 $F\subseteq X$ に対して $\nu(F)=\sum_{x\in F}a_x$ である。コンパクト集合は有限集合であるため、 $\nu$ の全 Borel 集合での内正則性により、任意の $A\subseteq X$ に対して

\nu(A)=\sup_{\substack{F\subseteq A\\F\text{ は有限}}}\sum_{x\in F}a_x=\mu(A)

を得る。したがって、 $\mu=\nu$ であり、 $\mu$ は $\Lambda$ を表現する唯一の Radon 測度である。各点 $x$ の開近傍 $\{x\}$ は $\mu(\{x\})=a_x<\infty$ を満たすため、 $\mu$ は局所有限である。

すべての $a_x$ が1ならば、上の公式により $\mu$ は冪集合上の数え上げ測度である。 $X$ は無限集合であるから、 $\mu(X)=\infty$ である。非可算集合の冪集合上の数え上げ測度の例§E10.29 例 4.1により、 $\mu$ は σ-有限でない。▨

例 4.1. $\NN$ の冪集合上の数え上げ測度を $\kappa$ とし、実数値関数の空間 $H=L^2(\NN,\mathcal P(\NN),\kappa;\R)$ にノルム位相を入れる。各 $n\in\NN$ に対して $e_n=[\mathbf1_{\{n\}}]\in H$ とおく。このとき、 $H$ は局所コンパクトでなく、コンパクトな台をもつ連続実関数全体 $C_c(H,\R)$ は $\{0\}$ に等しい。

$a\in\{0,e_1\}$ に対して、 $H$ 上の点質量測度を

\delta_a(B)=\mathbf1_B(a)\qquad(B\in\mathcal B(H))

と定める。このとき、 $\delta_0$ と $\delta_{e_1}$ は異なる正 Borel 測度であり、いずれもコンパクト集合上で有限かつすべての Borel 集合でコンパクト内正則である。しかし、両測度は $C_c(H,\R)$ 上の同じ零汎関数を与える。

証明. 数え上げ測度では $\kappa(\{n\})=1$ であるから、各 $\mathbf1_{\{n\}}$ は二乗可積分であり、

\|e_n\|_2^2=\int_{\NN}\mathbf1_{\{n\}}\,d\kappa=1,\qquad \|e_n-e_m\|_2^2=\int_{\NN}\bigl(\mathbf1_{\{n\}}+\mathbf1_{\{m\}}\bigr)\,d\kappa=2\quad(n\ne m)

である。任意の $p\in H$ と $r>0$ に対して、閉球 $\{u\in H:\|u-p\|_2\leq r\}$ は点列 $u_n=p+(r/2)e_n$ を含む。異なる二項の距離は

\|u_n-u_m\|_2=\frac r2\|e_n-e_m\|_2=\frac r{\sqrt2}

であるから、この点列のどの部分列も Cauchy 列ではなく、収束しない。§E2.9 定理 3.1 (1) $\Leftrightarrow$ (2)により、この閉球はコンパクトでない。

$p\in H$ がコンパクトな近傍 $K$ をもつと仮定する。ある $\varepsilon>0$ に対して $\{u:\|u-p\|_2<\varepsilon\}\subseteq K$ である。半径 $\varepsilon/2$ の閉球は $K$ の閉部分集合であるから、§E2.9 命題 1.5によりコンパクトである。これは正の半径の閉球がコンパクトでないことに反する。したがって、 $H$ は局所コンパクトでない。

$f\in C_c(H,\R)$ が $f(p)\ne0$ を満たす点 $p\in H$ をもつと仮定する。連続性により、ある $\varepsilon>0$ に対して $\|u-p\|_2<\varepsilon$ ならば $|f(u)|>|f(p)|/2$ である。半径 $\varepsilon/2$ の閉球は $\{u:f(u)\ne0\}\subseteq\supp f$ に含まれる。 $\supp f$ はコンパクトであり、この閉球はその閉部分集合であるから、§E2.9 命題 1.5によりコンパクトである。これも正の半径の閉球がコンパクトでないことに反する。よって $f=0$ であり、 $C_c(H,\R)=\{0\}$ である。

$a\in\{0,e_1\}$ とする。互いに交わらない Borel 集合列 $(B_n)_{n\in\NN}$ に対して、 $a$ を含む項は高々一つであるから、 $\delta_a(\bigcup_nB_n)=\sum_n\delta_a(B_n)$ である。 $\delta_a(\emptyset)=0$ でもあるので、 $\delta_a$ は正 Borel 測度である。 $\delta_a(H)=1$ であるからコンパクト集合上で有限である。Borel 集合 $B$ が $a$ を含む場合はコンパクト部分集合 $\{a\}\subseteq B$ が $\delta_a(\{a\})=\delta_a(B)=1$ を満たす。 $B$ が $a$ を含まない場合は $\delta_a(B)=0$ であり、空集合が同じ値を与える。したがって、いずれの場合も

\delta_a(B)=\sup_{\substack{K\subseteq B\\K\text{ はコンパクト}}}\delta_a(K)

である。閉集合 $\{0\}$ は Borel 集合であり、 $\|e_1\|_2=1$ より $e_1\ne0$ なので、 $\delta_0(\{0\})=1$ と $\delta_{e_1}(\{0\})=0$ である。一方、すべての $f\in C_c(H,\R)$ は零関数であるから、

\int_H f\,d\delta_0=0=\int_H f\,d\delta_{e_1}.

したがって、二つの異なる測度が同じ正実線形汎関数を表現する。▨

§E10.33Riesz–Markov–Kakutani の表現定理

1 コンパクト空間上の表現

2 局所コンパクト空間上の表現

3 離散空間上の表現測度

4 局所コンパクト性と表現の一意性

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