C₀ の双対 | 測度と積分

補題 1.1. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間、 $\mu$ を Radon 測度とする。 $A\in\mathcal B(X)$ 、 $\mu(A)<\infty$ 、 $1\leq p<\infty$ とする。このとき、任意の $\ep>0$ に対して $\phi\in C_c(X,\R)$ が存在して

0\leq\phi\leq1,\qquad\|\mathbf1_A-\phi\|_{L^p(\mu)}<\ep

を満たす。

証明. $\eta>0$ を $2\eta<\ep^p$ となるように取る。内正則性により、コンパクト集合 $K\subseteq A$ で $\mu(A\setminus K)<\eta$ を満たすものが存在する。§E10.32 補題 1.2により $K$ を含むコンパクトな閉包をもつ開集合 $V$ を取り、§E10.32 命題 3.3により $K\subseteq U\subseteq V$ 、 $\mu(U\setminus K)<\eta$ を満たす開集合 $U$ を取る。 $K$ 上で1、台が $U$ に含まれる切断関数 $\phi$ を取ると、

|\mathbf1_A-\phi|^p\leq\mathbf1_{A\setminus K}+\mathbf1_{U\setminus K}.

したがって $\|\mathbf1_A-\phi\|_p^p<2\eta<\ep^p$ である。▨

定理 1.2. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間、 $\mu$ を Radon 測度、 $\mathbb F\in\{\R,\C\}$ とし、 $1\leq p<\infty$ とする。このとき、 $C_c(X,\mathbb F)$ の関数の類は $L^p(\mu;\mathbb F)$ で稠密である。同じ結論は $\mu$ の完備化に関する $L^p$ 空間でも成り立つ。

証明. $f\in L^p(\mu;\mathbb F)$ と $\ep>0$ を取る。§E10.23 定理 2.2により、 $L^p$ に属する単関数 $s$ で $\|f-s\|_p<\ep/2$ を満たすものを取る。§E10.23 補題 2.3により

s=\sum_{j=1}^m c_j\mathbf1_{A_j},\qquad\mu(A_j)<\infty

と表示される。 $s=0$ ならば連続近似として0を取る。 $s\ne0$ ならば、補題 1.1を各 $A_j$ に適用し、 $\sum_j|c_j|\|\mathbf1_{A_j}-\phi_j\|_p<\ep/2$ となる切断関数を取る。 $g=\sum_jc_j\phi_j$ は $C_c(X,\mathbb F)$ に属する。Minkowski の不等式§E10.22 定理 6.1により

\|f-g\|_p\leq\|f-s\|_p+\sum_j|c_j|\|\mathbf1_{A_j}-\phi_j\|_p<\ep.

完備化に関する可測代表元には、§E10.10 命題 4.2により Borel 可測代表元を取ることができる。§E10.10 命題 4.3により、その代表元の $L^p$ ノルムと連続関数からの距離は元の測度で計算した値に一致する。したがって完備化の場合にも同じ近似が成立する。▨

例 1.3. 実数集合 $D=\R$ に離散位相と数え上げ測度を入れ、 $\mathbb F\in\{\R,\C\}$ とする。このとき、数え上げ測度は Radon 測度であり、σ-有限ではない。 $C_c(D,\mathbb F)$ は有限集合に台をもつ関数全体であるから、 $1\leq p<\infty$ では $\ell^p(D;\mathbb F)$ で稠密である。一方、 $C_c(D,\mathbb F)$ は $\ell^\infty(D;\mathbb F)$ で稠密ではない。

証明. 離散空間のコンパクト集合は有限集合である。§E10.33 例 3.1を $X=D=\R$ 、すべての重み $a_x=1$ として適用すると、数え上げ測度は Radon 測度であり、σ-有限ではない。有限な $p$ における稠密性は定理 1.2による。定数関数1は $\ell^\infty(D)$ に属するが、有限集合に台をもつ任意の $g$ に対して、台の外で $|1-g|=1$ である。したがって $\|1-g\|_\infty\geq1$ である。▨

命題 2.1. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とする。このとき、正で連続な実線形汎関数 $L:C_0(X,\R)\to\R$ に対して、有限 Radon 測度 $\mu$ が一意に存在して

L(f)=\int_Xf\,d\mu\qquad(f\in C_0(X,\R))

を満たす。また、 $\|L\|=\mu(X)$ である。

証明. $L$ の $C_c(X,\R)$ への制限に§E10.33 定理 2.1を適用し、表現する Radon 測度 $\mu$ を取る。§E10.32 命題 4.1の開集合の公式から

\mu(X)=\sup_{\substack{\phi\in C_c(X,\R)\\0\leq\phi\leq1}}L(\phi)\leq\|L\|.

したがって $\mu$ は有限である。 $f\in C_0(X,\R)$ と $\ep>0$ を取る。§E10.32 命題 1.3を許容誤差 $\ep/2$ に対して適用し、 $g\in C_c(X,\R)$ で $\|f-g\|_\infty\leq\ep/2<\ep$ を満たすものを取ると、

\left|L(f)-\int_Xf\,d\mu\right| \leq\left(\|L\|+\mu(X)\right)\ep.

補題 2.2. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間、 $L:C_0(X,\R)\to\R$ を連続実線形汎関数とする。 $f\in C_0(X,\R)$ 、 $f\geq0$ に対して

P(f)=\sup\{L(g):g\in C_0(X,\R),\ 0\leq g\leq f\}

と定める。このとき、 $P$ は正で連続な実線形汎関数 $L^+$ に一意に拡張される。 $L^-=L^+-L$ も正で連続であり、 $L=L^+-L^-$ である。

証明. $0\leq P(f)\leq\|L\|\|f\|_\infty$ である。正のスカラーによる同次性は、上限に現れる関数を同じスカラーで掛けることによる。 $P(0)=0$ であるから、零スカラーの場合も成り立つ。

$f_1,f_2\geq0$ とし、 $0\leq g\leq f_1+f_2$ を取る。

g_1=\min(g,f_1),\qquad g_2=g-g_1

は $C_0(X,\R)$ に属し、 $0\leq g_j\leq f_j$ と $g=g_1+g_2$ を満たす。したがって $L(g)\leq P(f_1)+P(f_2)$ である。逆に、 $0\leq g_j\leq f_j$ ならば $g_1+g_2$ は $P(f_1+f_2)$ の上限に現れる。二つの $g_j$ について独立に上限を取ると、 $P(f_1+f_2)=P(f_1)+P(f_2)$ である。

$f=u-v$ 、 $u,v\geq0$ に対して $L^+(f)=P(u)-P(v)$ と定める。別の表示 $f=r-s$ には $u+s=r+v$ が成り立ち、加法性から $P(u)+P(s)=P(r)+P(v)$ である。したがって、 $L^+(f)$ の値は表示によらない。また、 $P$ の加法性と非負スカラーに関する同次性から、 $L^+$ は実線形である。任意の $f\in C_0$ は正部分と負部分の差であるため、この拡張は一意である。 $L^+$ の正値性と、非負の $h$ に対する $P(h)\leq\|L\|\|h\|_\infty$ から

|L^+(f)|\leq L^+(|f|)=P(|f|)\leq\|L\|\|f\|_\infty.

ゆえに $L^+$ は連続である。 $f\geq0$ に対して $g=f$ を上限の候補に取れば $P(f)\geq L(f)$ であるから、 $L^-$ は正である。二つの連続汎関数の差として $L^-$ は連続である。▨

定義 3.1. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とする。 $\mathcal B(X)$ 上の複素測度 $\nu$ の全変動 $|\nu|$ が有限 Radon 測度であるとき、 $\nu$ を有限複素 Radon 測度 (finite complex Radon measure) という。

補題 3.2. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間、 $\theta$ を有限 Radon 測度とする。このとき、正 Borel 測度 $\alpha$ がすべての Borel 集合 $A$ で $\alpha(A)\leq\theta(A)$ を満たすならば、 $\alpha$ は有限 Radon 測度である。有限個の有限 Radon 測度の和も有限 Radon 測度である。

証明. $A\in\mathcal B(X)$ と $\ep>0$ を取る。コンパクト集合 $K\subseteq A$ で $\theta(A\setminus K)<\ep$ を満たすものを取ると、 $\alpha(A\setminus K)<\ep$ である。したがって $\alpha$ はコンパクト内正則であり、 $\alpha(X)\leq\theta(X)<\infty$ である。有限 Radon 測度 $\theta_1,\ldots,\theta_m$ の和については、各 $j$ に対してコンパクト集合 $K_j\subseteq A$ で $\theta_j(A\setminus K_j)<\ep/m$ を満たすものを取る。 $K=\bigcup_{j=1}^mK_j$ はコンパクトであり、 $\sum_{j=1}^m\theta_j(A\setminus K)<\ep$ である。和の測度も有限であるから、有限 Radon 測度である。▨

命題 3.3. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間、 $\nu$ を有限複素 Radon 測度とする。このとき、

T_\nu(f)=\int_Xf\,d\nu\qquad(f\in C_0(X,\C))

で定める $T_\nu$ は連続複素線形汎関数であり、 $\|T_\nu\|=|\nu|(X)$ である。

証明. 全変動による積分評価§E10.27 命題 3.2により

|T_\nu(f)|\leq\int_X|f|\,d|\nu|\leq|\nu|(X)\|f\|_\infty.

複素積分の線形性から $T_\nu$ は複素線形である。§E10.27 定理 2.4の密度 $k$ を取り、 $|k|\ne1$ である零集合上では $k=1$ に変更する。 $u=\overline k$ は Borel 可測で $|u|=1$ であり、 $\int_Xu\,d\nu=|\nu|(X)$ である。

定理 1.2を $|\nu|$ 、 $p=1$ に適用し、任意の $\ep>0$ に対して $\|g-u\|_{L^1(|\nu|)}<\ep$ を満たす $g\in C_c(X,\C)$ を取る。

q=\frac{g}{\max(1,|g|)}

は $C_c(X,\C)$ に属し、 $\|q\|_\infty\leq1$ である。 $|u|\leq1$ により $|q-g|=(|g|-1)^+\leq|g-u|$ であるから、 $\|q-u\|_1<2\ep$ である。積分評価から

\left|T_\nu(q)-|\nu|(X)\right|<2\ep.

ゆえに $\|T_\nu\|\geq|\nu|(X)-2\ep$ である。 $\ep\downarrow0$ とし、最初の上側評価と合わせてノルムの等式を得る。▨

定理 3.4. $X$ を局所コンパクト Hausdorff 空間とする。このとき、任意の連続複素線形汎関数 $T:C_0(X,\C)\to\C$ に対して、有限複素 Radon 測度 $\nu$ が一意に存在して

T(f)=\int_Xf\,d\nu\qquad(f\in C_0(X,\C))

を満たす。写像 $\nu\mapsto T_\nu$ は複素線形な等長全単射であり、 $\|T\|=|\nu|(X)$ である。

証明. 実関数に対する $T$ の実部と虚部を

A(h)=\Re T(h),\qquad B(h)=\Im T(h) \qquad(h\in C_0(X,\R))

と書く。 $A,B$ は連続実線形汎関数である。補題 2.2により、それぞれを二つの正汎関数の差 $A=A^+-A^-$ 、 $B=B^+-B^-$ に分解する。命題 2.1により、四つの正汎関数を有限 Radon 測度 $\mu_1,\mu_2,\mu_3,\mu_4$ で表現する。

\nu=\mu_1-\mu_2+i\mu_3-i\mu_4

と定める。全変動の定義から $|\nu|\leq\theta=\mu_1+\mu_2+\mu_3+\mu_4$ である。§E10.27 定理 2.3と補題 3.2により、 $|\nu|$ は有限 Radon 測度である。

実 Borel 単関数 $s$ に対して、極形式と積分の線形性から

\int_Xs\,d\nu=\int_Xs\,d\mu_1-\int_Xs\,d\mu_2 +i\int_Xs\,d\mu_3-i\int_Xs\,d\mu_4

である。任意の $h\in C_0(X,\R)$ は有界であり、値域の有限分割によって Borel 単関数で一様に近似することができる。 $|\nu|\leq\theta$ と四つの測度の有限性による積分評価により、一様近似の誤差を0へ近づければ $\int_Xh\,d\nu=A(h)+iB(h)=T(h)$ を得る。任意の $f\in C_0(X,\C)$ を実部と虚部に分け、複素線形性を用いると表現公式が従う。

別の表現測度 $\nu'$ との差の全変動は $|\nu|+|\nu'|$ 以下であるから、有限 Radon 測度による支配の補題により、差も有限複素 Radon 測度である。命題 3.3により

|\nu-\nu'|(X)=\|T_\nu-T_{\nu'}\|=0

であり、 $\nu=\nu'$ である。線形結合の表現測度の全変動も有限 Radon 測度に支配されるため、有限複素 Radon 測度全体は複素線形空間をなす。積分の線形性とノルムの等式により、対応は複素線形な等長全単射である。▨

例 3.5. $\NN$ に離散位相を入れ、 $f\in C_0(\NN,\C)$ に対して

T(f)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}i^nf(n)

と定める。このとき、 $T$ の表現測度と全変動測度は、任意の $A\subseteq\NN$ に対して

\nu(A)=\sum_{n\in A}2^{-n}i^n,\qquad |\nu|(A)=\sum_{n\in A}2^{-n}

で与えられ、 $|\nu|(\NN)=\|T\|=1$ である。 $N\in\NN$ に対して

f_N(n)= \begin{cases} i^{-n}&n\leq N,\\ 0&n>N \end{cases}

とおくと、 $f_N\in C_c(\NN,\C)$ 、 $\|f_N\|_\infty=1$ 、 $T(f_N)=1-2^{-N}$ である。一方、 $\|f\|_\infty\leq1$ を満たす $f\in C_0(\NN,\C)$ に対して $|T(f)|<1$ であり、 $T$ は単位球上でノルムを達成しない。

証明. $\sum_{n=1}^\infty2^{-n}=1$ であるから、 $\nu(A)$ を定める級数は絶対収束し、級数の順序交換により $\nu$ は複素測度である。任意の $A\subseteq\NN$ の有限分割 $A=\bigcup_{j=1}^mA_j$ に対して

\sum_{j=1}^m|\nu(A_j)|\leq\sum_{n\in A}2^{-n}

である。逆に、 $A\cap\{1,\ldots,N\}$ の各一元集合と残りの集合による分割から

|\nu|(A)\geq\sum_{\substack{n\in A\\n\leq N}}2^{-n}

を得る。 $N\to\infty$ とすれば、全変動測度の公式が従う。有限集合はコンパクトであり、各 $A$ の測度は $A\cap\{1,\ldots,N\}$ の測度の極限であるから、 $|\nu|$ は有限 Radon 測度である。

各原子で $\nu(\{n\})=2^{-n}i^n$ であるから、 $f\in C_0(\NN,\C)$ に対して $\int f\,d\nu=T(f)$ である。定理 3.4により、 $\nu$ は $T$ の一意な表現測度であり、 $\|T\|=|\nu|(\NN)=1$ である。 $f_N$ は有限集合に台をもち、

T(f_N)=\sum_{n=1}^N2^{-n}=1-2^{-N}

である。

$\|f\|_\infty\leq1$ と $|T(f)|=1$ を仮定する。 $z=T(f)$ とおけば $|z|=1$ であり、

1=\Re(\overline zT(f)) =\sum_{n=1}^\infty2^{-n}\Re(\overline zi^nf(n)) \leq\sum_{n=1}^\infty2^{-n}=1

である。各 $1-\Re(\overline zi^nf(n))$ は非負であり、その重み付き和は0であるから、すべての $n$ で $\Re(\overline zi^nf(n))=1$ である。 $|\overline zi^nf(n)|\leq1$ と合わせて $f(n)=zi^{-n}$ を得る。したがって、 $|f(n)|=1$ がすべての $n$ で成り立つ。集合 $\{n:|f(n)|\geq1/2\}=\NN$ はコンパクトではなく、 $f\in C_0(\NN,\C)$ に反する。▨

§E10.34C₀ の双対

1 指示関数の連続近似

2 正汎関数の表現

3 有限複素 Radon 測度

前提記事