一様可積分性 | 測度と積分

1 一様可積分性

定義 1.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を $\mu(X)<\infty$ である測度空間とし、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とする。可積分関数の族 $\mathcal H\subseteq L^1(\mu;\mathbb K)$ が

\lim_{K\to\infty}\sup_{h\in\mathcal H}\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu=0

を満たすとき、 $\mathcal H$ は一様可積分 (uniform integrability) であるという。積分は各同値類の有限値可測な代表元で計算する。代表元を変更しても値は変わらない。空の族に対する上限は $0$ とする。

定義 1.2. 測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ 上の可積分関数の族 $\mathcal H$ について、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ が存在し、 $\mu(A)<\delta$ を満たすすべての $A\in\mathcal F$ とすべての $h\in\mathcal H$ について $\int_A|h|\,d\mu<\varepsilon$ が成り立つとき、 $\mathcal H$ の積分は一様絶対連続 (uniform absolute continuity of integrals) であるという。

定理 1.3. $(X,\mathcal F,\mu)$ を有限測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $\mathcal H\subseteq L^1(\mu;\mathbb K)$ とする。このとき、次の二条件は同値である。

$\mathcal H$ は一様可積分である。
$\sup_{h\in\mathcal H}\|h\|_1<\infty$ であり、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ が存在して、 $A\in\mathcal F$ と $\mu(A)<\delta$ を満たすすべての集合 $A$ およびすべての $h\in\mathcal H$ に対して $\int_A|h|\,d\mu<\varepsilon$ が成り立つ。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $K>0$ を、すべての $h\in\mathcal H$ について $\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu<1$ となるようにとる。

\|h\|_1\leq K\mu(X)+1

であるから、ノルムは一様有界である。 $\varepsilon>0$ に対し、今度は裾の積分が $\varepsilon/2$ 未満となる $K>0$ をとり、 $\delta=\varepsilon/(2(K+1))$ とおく。 $\mu(A)<\delta$ ならば、すべての $h\in\mathcal H$ について

\int_A|h|\,d\mu\leq K\mu(A)+\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu<\varepsilon.

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $M=\sup_{h\in\mathcal H}\|h\|_1<\infty$ とする。 $\varepsilon>0$ に対して一様絶対連続性の $\delta>0$ をとり、 $K>M/\delta$ とする。積分の単調性から

\mu(\{|h|>K\})\leq\frac{\|h\|_1}{K}\leq\frac M K<\delta

である。したがって、すべての $h\in\mathcal H$ について $\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu<\varepsilon$ であり、一様可積分性が従う。▨

補題 1.4. $(X,\mathcal F,\mu)$ を有限測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とする。このとき、 $g\in L^1(\mu;\R)$ が非負であり、関数族 $\mathcal H\subseteq L^1(\mu;\mathbb K)$ のすべての元が $|h|\leq g$ をほとんど至る所で満たすならば、 $\mathcal H$ は一様可積分である。特に、有限個の可積分関数からなる族は一様可積分である。

証明. 任意の $h\in\mathcal H$ と $K>0$ について

\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu\leq\int_{\{g>K\}}g\,d\mu

である。§E10.11 定理 3.1を $g\mathbf1_{\{g>n\}}$ へ適用すると右辺は $K\to\infty$ のとき $0$ に収束する。有限族 $h_1,\dots,h_N$ には $g=\sum_{j=1}^N|h_j|$ を用いることができる。▨

命題 1.5. $(X,\mathcal F,\mu)$ を有限測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $1<q<\infty$ とする。関数族 $\mathcal H\subseteq L^q(\mu;\mathbb K)$ が、ある $0\leq C<\infty$ に対して $\sup_{h\in\mathcal H}\|h\|_q\leq C$ を満たすとする。このとき、 $\mathcal H\subseteq L^1(\mu;\mathbb K)$ であり、任意の $K>0$ に対して

\sup_{h\in\mathcal H}\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu\leq C^qK^{1-q}

が成り立つ。したがって、 $\mathcal H$ は一様可積分である。

証明. 演習とする（問題 4.1）。▨

例 1.6.§E10.11 例 3.3の $[0,1]$ 上の測度 $\lambda$ と非負関数列 $f_n=n\mathbf1_{(0,1/n)}$ を考える。同例の積分値により、 $\|f_n\|_1=1$ である。任意の $K>0$ に対して整数 $n>K$ をとれば、

\int_{\{|f_n|>K\}}|f_n|\,d\lambda=1

であるから、 $(f_n)$ は一様可積分でない。偏差集合は $(0,1/n)$ に含まれるので $f_n\to0$ は測度収束であるが、 $L^1$ 収束ではない。

例 1.7. $(0,1]$ に Lebesgue 測度を入れる。各正の整数 $n$ に対して

I_n=(2^{-n},2^{-(n-1)}],\qquad h_n=\frac{2^n}{n}\mathbf1_{I_n}

とおく。このとき、 $\lambda_1(I_n)=2^{-n}$ であるから、 $\|h_n\|_1=1/n$ である。任意の正の整数 $N$ に対して $K>\max_{1\leq n\leq N}2^n/n$ とすれば、 $n\leq N$ の各関数の裾の積分は $0$ であり、 $n>N$ では

\int_{\{|h_n|>K\}}|h_n|\,d\lambda_1\leq\|h_n\|_1=\frac1n\leq\frac1{N+1}

である。したがって、 $\{h_n\mid n\geq1\}$ は一様可積分である。

非負可測関数 $g$ がすべての $n$ について $h_n\leq g$ をほとんど至る所で満たすとする。区間 $I_n$ は互いに素であり、各不等式の例外である可測零集合の可算和も零集合であるから、 $\sum_nh_n\leq g$ がほとんど至る所で成り立つ。§E10.11 系 1.5により

\int_{(0,1]}g\,d\lambda_1\geq\sum_{n=1}^\infty\int_{(0,1]}h_n\,d\lambda_1 =\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\infty.

よって、この族は共通の可積分な優関数をもたない。

2 Vitali の収束定理

定理 2.1. $(X,\mathcal F,\mu)$ を有限測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とする。 $f_n:X\to\mathbb K$ （ $n\geq1$ ）を可積分関数とし、 $f:X\to\mathbb K$ を有限値可測関数とする。このとき、次の二条件は同値である。

$f_n$ は $f$ に測度収束し、族 $\{f_n\mid n\geq1\}$ は一様可積分である。
$f$ は可積分であり、 $\|f_n-f\|_1\to0$ である。

これらの条件が成り立つとき、 $\int_X f_n\,d\mu\to\int_X f\,d\mu$ である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。§E10.21 定理 4.2により、ある部分列 $f_{n_k}$ が $f$ にほとんど至る所で収束する。定理 1.3によって $M=\sup_n\|f_n\|_1<\infty$ であるから、§E10.11 補題 2.1と零集合上の積分の不変性により

\int_X|f|\,d\mu\leq\liminf_k\int_X|f_{n_k}|\,d\mu\leq M.

よって $f$ は可積分である。同じ部分列へ Fatou の補題を可測集合 $A$ 上で適用すると

\int_A|f|\,d\mu\leq\liminf_k\int_A|f_{n_k}|\,d\mu

を得る。

$\varepsilon>0$ をとる。一様絶対連続性により、 $\mu(A)<\delta$ ならばすべての $n$ について $\int_A|f_n|\,d\mu<\varepsilon/4$ となる $\delta>0$ をとる。前段の不等式により同じ集合上で $\int_A|f|\,d\mu\leq\varepsilon/4$ である。 $a=\varepsilon/(2(1+\mu(X)))$ とし、 $E_n=\{|f_n-f|>a\}$ とおく。測度収束により十分大きい $n$ では $\mu(E_n)<\delta$ であり、

\begin{aligned} \|f_n-f\|_1 &\leq a\mu(X)+\int_{E_n}|f_n|\,d\mu+\int_{E_n}|f|\,d\mu\\ &<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon4+\frac\varepsilon4=\varepsilon. \end{aligned}

したがって $L^1$ 収束が成り立つ。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。§E10.21 命題 5.1を $p=1$ に適用すると、 $f_n$ は $f$ に測度収束する。三角不等式により $(\|f_n\|_1)$ も有界である。 $\varepsilon>0$ に対して $n\geq N$ ならば $\|f_n-f\|_1<\varepsilon/2$ となる $N$ をとる。補題 1.4と定理 1.3を有限族 $\{f,f_1,\dots,f_{N-1}\}$ に適用して、 $\mu(A)<\delta$ のとき各関数の絶対値の $A$ 上の積分が $\varepsilon/2$ 未満となる $\delta>0$ をとる。 $n\geq N$ に対しては

\int_A|f_n|\,d\mu\leq\|f_n-f\|_1+\int_A|f|\,d\mu<\varepsilon

であり、 $n<N$ に対しても同じ上界が成り立つ。したがって、族 $\{f_n\mid n\geq1\}$ の積分は一様絶対連続である。定理 1.3により、この族は一様可積分である。

最後に§E10.10 補題 2.5から $|\int_X f_n\,d\mu-\int_X f\,d\mu|\leq\|f_n-f\|_1\to0$ である。▨

3 無限測度空間における支持の制御

例 3.1. $\R$ に Lebesgue 測度を入れる。 $f_n=n^{-1}\mathbf1_{[0,n]}$ とする。このとき、 $0\leq f_n\leq1$ なので、 $K\geq1$ ならば $\int_{\{|f_n|>K\}}|f_n|\,d\lambda_1=0$ である。また $\|f_n\|_1=1$ であり、任意の可測集合 $A$ 上で $\int_A|f_n|\,d\lambda_1\leq\lambda_1(A)$ である。したがって、裾の条件、ノルムの一様有界性、および積分の一様絶対連続性がすべて成り立つ。任意の $a>0$ に対して $n>1/a$ ならば $\{|f_n|\geq a\}=\varnothing$ であるから、 $f_n\to0$ は測度収束である。しかし、 $\|f_n\|_1=1$ は $0$ に収束しない。

有限測度の可測集合 $E$ を一つ固定すると、

\int_{\R\setminus E}|f_n|\,d\lambda_1 =1-\frac{\lambda_1(E\cap[0,n])}{n} \geq1-\frac{\lambda_1(E)}n\longrightarrow1.

したがって、この族の積分を一様に小さい誤差で有限測度集合へ制限することはできない。無限測度空間で測度収束から $L^1$ 収束を導くには、値の大きさに対する裾の条件に加えて、関数がどの集合上に分布するかを制御する条件が必要になる。

4 演習

問題 4.1.命題 1.5の証明を完成させよ。さらに、有限測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ 上で $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $1<q<\infty$ とし、 $f_n,f:X\to\mathbb K$ を有限値可測関数とする。 $\sup_n\|f_n\|_q<\infty$ かつ $f_n\to f$ が測度収束ならば、 $f\in L^q$ であり $f_n\to f$ が $L^1$ 収束であることを証明せよ。

解答.

$\mathcal H$ と $C$ を命題 1.5の仮定のとおりとする。各 $h\in\mathcal H$ について $|h|\leq1+|h|^q$ であるから、 $\int_X|h|\,d\mu\leq\mu(X)+C^q<\infty$ である。したがって、 $h\in L^1$ である。任意の $K>0$ に対して、 $|h|>K$ 上で $|h|\leq K^{1-q}|h|^q$ であるから、

\int_{\{|h|>K\}}|h|\,d\mu\leq K^{1-q}\int_X|h|^q\,d\mu\leq C^qK^{1-q}.

$h\in\mathcal H$ について上限をとると裾の評価を得る。 $q>1$ により $K^{1-q}\to0$ であるので、 $\mathcal H$ は一様可積分である。

$B=\sup_n\|f_n\|_q<\infty$ とおく。§E10.21 定理 4.2により $f_{n_k}\to f$ がほとんど至る所で成り立つ部分列をとる。§E10.11 補題 2.1を $|f_{n_k}|^q$ に適用し、可測零集合上の積分の不変性を用いると、

\int_X|f|^q\,d\mu\leq\liminf_k\int_X|f_{n_k}|^q\,d\mu\leq B^q<\infty

である。したがって、 $f\in L^q$ である。命題 1.5を族 $\{f_n\mid n\geq1\}$ と上界 $B$ に適用すると、この族は一様可積分である。測度収束の仮定と定理 2.1により、全列について $\|f_n-f\|_1\to0$ を得る。▨

解答.

$u_n=f(g_n-g)$ とおく。 $|u_n|\leq2C|f|$ であるから、補題 1.4により $(u_n)$ は一様可積分である。任意の $a>0$ と $R>0$ に対して

\{|u_n|>a\}\subseteq\{|f|>R\}\cup\{|g_n-g|>a/R\}

である。右辺第一項の測度は $R^{-1}\|f\|_1$ 以下であり、第二項の測度は $n\to\infty$ で $0$ に収束する。 $R\to\infty$ とすると、 $u_n\to0$ は測度収束である。定理 2.1により $\|u_n\|_1\to0$ である。したがって、

\|f_ng_n-fg\|_1\leq C\|f_n-f\|_1+\|f(g_n-g)\|_1\longrightarrow0.

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§E10.24一様可積分性

1 一様可積分性

2 Vitali の収束定理

3 無限測度空間における支持の制御

4 演習

参考文献

前提記事