§E10.3Hilbert 空間

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有限次元の内積空間では、直交性によって距離の最小化を扱うことができ、たとえば Euclid 平面の原点を通る直線への垂線の足は、その直線上で元の点に最も近い点である。しかし、無限次元の内積空間では、近似の誤差を小さくする点の列が空間内に極限をもつとは限らない。Hilbert 空間は、内積による幾何と完備性を備えた、無限次元の線形解析で最も基本的な空間の一つである。閉部分空間への直交射影は、最良近似を有界線形作用素として扱うための基礎であり、二乗可積分関数の近似を考える際にも中心的な役割を果たす。本記事では、Hilbert 空間の幾何に関する基本的な性質と代表的な例を解説する。

1 Hilbert 空間と平行四辺形公式

定義 1.1.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、HHをKK上のベクトル空間とする。HHの次元は有限とは限らない。写像⟨ , ⟩:H×H→K\langle\ ,\ \rangle:H\times H\to Kが、任意のx,x′,y∈Hx,x',y\in Hとa,b∈Ka,b\in Kに対して

⟨ax+bx′,y⟩=a⟨x,y⟩+b⟨x′,y⟩,⟨y,x⟩=⟨x,y⟩‾,\langle ax+bx',y\rangle=a\langle x,y\rangle+b\langle x',y\rangle,\qquad \langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle},⟨x,x⟩∈R≥0,⟨x,x⟩=0⟺x=0\langle x,x\rangle\in\R_{\geq0},\qquad \langle x,x\rangle=0\Longleftrightarrow x=0

を満たすとき、この内積を備えたHHを 内積空間 (inner product space) という。実数体では複素共役を恒等写像とする。内積は第1変数について線形であり、共役対称性により第2変数について共役線形である。

補題 1.2.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、HHをKK上の内積空間とする。このとき、∥x∥=⟨x,x⟩\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}はHH上のノルムであり、任意のx,y∈Hx,y\in Hに対して Cauchy–Schwarz の不等式

∣⟨x,y⟩∣≤∥x∥ ∥y∥|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\,\|y\|

が成り立つ。また、任意のx,x′,y,y′∈Hx,x',y,y'\in Hに対して

∣⟨x,y⟩−⟨x′,y′⟩∣≤∥x−x′∥ ∥y∥+∥x′∥ ∥y−y′∥|\langle x,y\rangle-\langle x',y'\rangle| \leq\|x-x'\|\,\|y\|+\|x'\|\,\|y-y'\|

が成り立つ。特に、内積は二つの変数について同時に連続である。

証明. 任意のu,v∈Hu,v\in Hに対し、u,vu,vが張る有限次元部分空間に内積を制限する。§E3.33 定理 1.3と§E3.33 系 1.4をこの部分空間に適用すると

∣⟨u,v⟩∣≤∥u∥ ∥v∥,∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥|\langle u,v\rangle|\leq\|u\|\,\|v\|,\qquad \|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|

を得る。正定値性と斉次性は内積の公理から従うので、∥⋅∥\|\cdot\|はノルムである。また、

⟨x,y⟩−⟨x′,y′⟩=⟨x−x′,y⟩+⟨x′,y−y′⟩\langle x,y\rangle-\langle x',y'\rangle =\langle x-x',y\rangle+\langle x',y-y'\rangle

の各項に上の不等式を適用すれば、主張する評価を得る。xn→xx_n\to x、yn→yy_n\to yのとき、∥yn∥\|y_n\|は有界であるから、この評価により⟨xn,yn⟩→⟨x,y⟩\langle x_n,y_n\rangle\to\langle x,y\rangleである。▨

定義 1.3. 内積空間HHが、内積から定まるノルム

∥x∥=⟨x,x⟩\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}

について完備であるとき、HHをHilbert 空間 (Hilbert space) という。

命題 1.4.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とする。このとき、KK値数列の空間ℓ2\ell^2において、任意のx=(xn),y=(yn)∈ℓ2x=(x_n),y=(y_n)\in\ell^2に対する級数

⟨x,y⟩=∑n=1∞xnyn‾\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^{\infty}x_n\overline{y_n}

は絶対収束する。この式はℓ2\ell^2上の内積を定め、その誘導ノルムは∥⋅∥2\|\cdot\|_2に一致する。この内積によってℓ2\ell^2は Hilbert 空間となる。

証明.x,y∈ℓ2x,y\in\ell^2と正の整数NNをとる。RN\R^Nのベクトル(∣xn∣)n=1N(|x_n|)_{n=1}^Nと(∣yn∣)n=1N(|y_n|)_{n=1}^Nに§E3.33 定理 1.3を適用すると

∑n=1N∣xnyn‾∣≤(∑n=1N∣xn∣2)1/2(∑n=1N∣yn∣2)1/2≤∥x∥2∥y∥2\sum_{n=1}^N|x_n\overline{y_n}| \leq\left(\sum_{n=1}^N|x_n|^2\right)^{1/2} \left(\sum_{n=1}^N|y_n|^2\right)^{1/2} \leq\|x\|_2\|y\|_2

である。非負項の部分和が有界であるから、内積を定める級数は絶対収束する。

§E10.1 命題 3.2により、ℓ2\ell^2はKK上のベクトル空間である。級数の線形性と複素共役の連続性から、写像(x,y)↦∑n=1∞xnyn‾(x,y)\mapsto\sum_{n=1}^{\infty}x_n\overline{y_n}は第1変数について線形であり、共役対称性を満たす。また、

⟨x,x⟩=∑n=1∞∣xn∣2=∥x∥22\langle x,x\rangle=\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2=\|x\|_2^2

は非負であり、零となることとx=0x=0は同値である。したがって、この式は内積を定め、その誘導ノルムは∥⋅∥2\|\cdot\|_2である。同じ§E10.1 命題 3.2によりこのノルムは完備であるから、ℓ2\ell^2は Hilbert 空間である。▨

命題 1.5 (平行四辺形公式). 内積空間HHの任意のx,y∈Hx,y\in Hに対して

∥x+y∥2+∥x−y∥2=2∥x∥2+2∥y∥2\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2

が成り立つ。

証明. 内積の加法性と共役対称性を用いて両辺を展開すると、左辺では交差項2ℜ⟨x,y⟩2\Re\langle x,y\rangleと−2ℜ⟨x,y⟩-2\Re\langle x,y\rangleが相殺する。残る項は2⟨x,x⟩+2⟨y,y⟩2\langle x,x\rangle+2\langle y,y\rangleである。▨

2 閉凸集合への最良近似

定理 2.1.HHを Hilbert 空間とし、C⊆HC\subseteq Hを空でない閉凸集合とする。このとき、任意のx∈Hx\in Hに対して、

∥x−c∥=inf⁡z∈C∥x−z∥\|x-c\|=\inf_{z\in C}\|x-z\|

を満たすc∈Cc\in Cがただ一つ存在する。

証明.d=inf⁡z∈C∥x−z∥d=\inf_{z\in C}\|x-z\|とおく。各n≥1n\ge 1に対して、cn∈Cc_n\in Cを∥x−cn∥2<d2+1/n\|x-c_n\|^2<d^2+1/nとなるように選ぶ。凸性により(cn+cm)/2∈C(c_n+c_m)/2\in Cである。命題 1.5をx−cnx-c_nとx−cmx-c_mに適用すると

∥cn−cm∥2=2∥x−cn∥2+2∥x−cm∥2−4∥x−cn+cm2∥2.\|c_n-c_m\|^2 =2\|x-c_n\|^2+2\|x-c_m\|^2 -4\left\|x-\frac{c_n+c_m}{2}\right\|^2.

最後のノルムはdd以上であるから

∥cn−cm∥2<2n+2m.\|c_n-c_m\|^2<\frac2n+\frac2m.

したがって(cn)(c_n)は Cauchy 列である。HHの完備性によりcn→cc_n\to cとなるc∈Hc\in Hが存在し、CCの閉性によりc∈Cc\in Cである。ノルムの連続性から∥x−c∥=d\|x-c\|=dを得る。

c,c′∈Cc,c'\in Cがともに最良近似点であると仮定する。中点がCCに属するので、同じ等式から

∥c−c′∥2=2d2+2d2−4∥x−c+c′2∥2≤0.\|c-c'\|^2 =2d^2+2d^2-4\left\|x-\frac{c+c'}2\right\|^2\le 0.

よってc=c′c=c'である。▨

定理 2.2 (直交射影定理).HHを実または複素内積空間とし、M⊆HM\subseteq Hを線形部分空間とする。MMの直交補空間を

M⊥={y∈H:⟨y,z⟩=0 がすべての z∈M について成り立つ}M^\perp=\{y\in H:\langle y,z\rangle=0\text{ がすべての }z\in M\text{ について成り立つ}\}

とおく。このとき、任意のx∈Hx\in Hとm∈Mm\in Mに対して、x−m∈M⊥x-m\in M^\perpはmmがxxのMMにおける最良近似点であるための必要十分条件である。

さらに、HHが Hilbert 空間でMMが閉じているなら、任意のx∈Hx\in Hは

x=m+n,m∈M,n∈M⊥x=m+n,\qquad m\in M,\quad n\in M^\perp

とただ一通りに表される。mmはxxのMMにおける一意な最良近似点であり、H=M⊕M⊥H=M\oplus M^\perpである。

証明.m∈Mm\in Mがxxの最良近似点であるとし、n=x−mn=x-mとおく。係数体をK\mathbb Kとすると、任意のy∈My\in Mとt∈Kt\in\mathbb Kに対してm+ty∈Mm+ty\in Mであるから

∥n−ty∥2−∥n∥2=−2ℜ(t‾⟨n,y⟩)+∣t∣2∥y∥2≥0\|n-ty\|^2-\|n\|^2 =-2\Re(\overline t\langle n,y\rangle)+|t|^2\|y\|^2\geq0

である。y≠0y\neq0のときt=⟨n,y⟩/∥y∥2t=\langle n,y\rangle/\|y\|^2を代入すると−∣⟨n,y⟩∣2/∥y∥2≥0-|\langle n,y\rangle|^2/\|y\|^2\geq0となるので、⟨n,y⟩=0\langle n,y\rangle=0である。y=0y=0のときも同じ等式が成り立つので、n∈M⊥n\in M^\perpである。

逆に、x−m∈M⊥x-m\in M^\perpとする。任意のz∈Mz\in Mに対してm−z∈Mm-z\in Mであるから

∥x−z∥2=∥x−m∥2+∥m−z∥2\|x-z\|^2=\|x-m\|^2+\|m-z\|^2

が成り立つ。したがって、mmは最良近似点であり、z≠mz\neq mならば∥x−z∥>∥x−m∥\|x-z\|>\|x-m\|である。

HHが Hilbert 空間でMMが閉じているなら、MMは空でない閉凸集合であるから、定理 2.1により最良近似点m∈Mm\in Mが存在する。最良近似と直交性の同値によりx=m+(x−m)x=m+(x-m)は所要の分解である。任意の分解x=m′+n′x=m'+n'、m′∈Mm'\in M、n′∈M⊥n'\in M^\perpに対してもm′m'は最良近似点となるので、最良近似点の一意性からm′=mm'=m、n′=x−mn'=x-mである。▨

命題 2.3.HHを Hilbert 空間とし、M⊆HM\subseteq Hを線形部分空間とする。このとき

(M⊥)⊥=M‾(M^\perp)^\perp=\overline M

が成り立つ。

証明.補題 1.2による内積の連続性からM⊥=(M‾)⊥M^\perp=(\overline M)^\perpである。したがって、M‾⊆(M⊥)⊥\overline M\subseteq(M^\perp)^\perpである。

x∈(M⊥)⊥x\in(M^\perp)^\perpをとる。閉部分空間M‾\overline Mに定理 2.2を適用して、x=m+nx=m+n、m∈M‾m\in\overline M、n∈(M‾)⊥=M⊥n\in(\overline M)^\perp=M^\perpと分解する。xxとmmはともにnnと直交するので、

∥n∥2=⟨x−m,n⟩=0\|n\|^2=\langle x-m,n\rangle=0

である。よってx=m∈M‾x=m\in\overline Mであり、(M⊥)⊥⊆M‾(M^\perp)^\perp\subseteq\overline Mを得る。▨

命題 2.4.HHを Hilbert 空間とし、M⊆HM\subseteq Hを閉部分空間とする。定理 2.2の分解x=m+nx=m+nに対してPMx=mP_Mx=mと定める。このとき、PMP_Mは有界線形作用素であり、

PM2=PM,im⁡PM=M,ker⁡PM=M⊥,P_M^2=P_M,\qquad \im P_M=M,\qquad \ker P_M=M^\perp,

を満たす。また、∥PMx∥≤∥x∥\|P_Mx\|\le\|x\|であり、M≠{0}M\ne\{0\}なら∥PM∥=1\|P_M\|=1である。さらに

⟨PMx,y⟩=⟨x,PMy⟩\langle P_Mx,y\rangle=\langle x,P_My\rangle

が任意のx,y∈Hx,y\in Hに対して成り立ち、I−PMI-P_MはM⊥M^\perpへの直交射影である。

証明.x=m+nx=m+nとx′=m′+n′x'=m'+n'をそれぞれM⊕M⊥M\oplus M^\perpによって分解する。一意性をax+bx′=(am+bm′)+(an+bn′)ax+bx'=(am+bm')+(an+bn')に適用すると、PMP_Mの線形性を得る。m∈Mm\in MではPMm=mP_Mm=mであるから、PM2=PMP_M^2=P_Mと像・核の表示が従う。

m⊥nm\perp nであるから、Pythagoras の等式∥x∥2=∥m∥2+∥n∥2\|x\|^2=\|m\|^2+\|n\|^2により∥PMx∥≤∥x∥\|P_Mx\|\le\|x\|である。0≠m∈M0\ne m\in MではPMm=mP_Mm=mであるため、M≠{0}M\ne\{0\}なら∥PM∥=1\|P_M\|=1である。y=m′+n′y=m'+n'と分解すると

⟨PMx,y⟩=⟨m,m′⟩=⟨x,PMy⟩.\langle P_Mx,y\rangle=\langle m,m'\rangle=\langle x,P_My\rangle.

補題 1.2により、各z∈Mz\in Mに対する写像x↦⟨x,z⟩x\mapsto\langle x,z\rangleは連続である。M⊥M^\perpはこれらの写像の核の共通部分なので閉じている。(I−PM)x=n(I-P_M)x=nでありm∈(M⊥)⊥m\in(M^\perp)^\perpであるから、I−PMI-P_MはM⊥M^\perpへの直交射影である。▨

例 2.5.K=R\mathbb K=\RまたはC\Cとし、H=c00H=c_{00}を有限個の成分だけが零でないK\mathbb K値数列の空間とする。HHに内積

⟨x,y⟩=∑n=1∞xnyn‾\langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_n\overline{y_n}

を入れる。この和は有限和である。第nn成分だけが11である数列をene_nとし、

F(x)=∑n=1∞2−nxn,M=ker⁡FF(x)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}x_n,\qquad M=\ker F

とおく。このとき、MMはHHの閉部分空間であるが、e1e_1のMMにおける最良近似点は存在しない。

実際、x∈Hx\in Hに対してxn=0x_n=0（n>Nn>N）となるNNをとると、有限和に対する Cauchy–Schwarz の不等式から

∣F(x)∣≤(∑n=1N4−n)1/2∥x∥≤13∥x∥|F(x)|\leq\left(\sum_{n=1}^N4^{-n}\right)^{1/2}\|x\| \leq\frac1{\sqrt3}\|x\|

を得る。したがってFFは有界線形汎関数であり、その核MMは閉じている。y∈M⊥y\in M^\perpとし、yj=0y_j=0となる添字jjを一つとる。任意のk≥1k\geq1に対してek−2j−kej∈Me_k-2^{j-k}e_j\in Mであるから

0=⟨ek−2j−kej,y⟩=yk‾0=\langle e_k-2^{j-k}e_j,y\rangle=\overline{y_k}

である。よってM⊥={0}M^\perp=\{0\}である。もしm∈Mm\in Mがe1e_1の最良近似点なら、定理 2.2の最良近似と直交性の同値によりe1−m∈M⊥={0}e_1-m\in M^\perp=\{0\}となる。しかしF(e1)=1/2≠0F(e_1)=1/2\neq0なのでe1∉Me_1\notin Mであり、m=e1m=e_1と両立しない。

もしHHが完備なら、定理 2.2により閉部分空間MMへの最良近似点がすべてのx∈Hx\in Hに対して存在する。e1e_1の最良近似点が存在しないことから、HHは完備でない。

3 正規直交系と Parseval の等式

定義 3.1.HHを Hilbert 空間とする。HHの有限列または列(en)(e_n)が正規直交系 (orthonormal system) であるとは、⟨en,em⟩=δnm\langle e_n,e_m\rangle=\delta_{nm}がすべての添字n,mn,mについて成り立つことをいう。その線形包がHHで稠密であるとき、(en)(e_n)を完全正規直交系 (complete orthonormal system) という。

補題 3.2.K∈{R,C}K\in\{\R,\C\}とし、HHをKK上の内積空間、e1,…,eN∈He_1,\ldots,e_N\in Hを⟨ej,ek⟩=δjk\langle e_j,e_k\rangle=\delta_{jk}を満たす有限系とする。N=0N=0の場合も許し、空和を00とする。このとき、任意のa1,…,aN∈Ka_1,\ldots,a_N\in Kに対して

∥∑n=1Nanen∥2=∑n=1N∣an∣2\left\|\sum_{n=1}^Na_ne_n\right\|^2=\sum_{n=1}^N|a_n|^2

が成り立つ。M=span⁡{e1,…,eN}M=\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_N\}とし、x∈Hx\in Hに対して

s=∑n=1N⟨x,en⟩ens=\sum_{n=1}^N\langle x,e_n\rangle e_n

とおくと、x−s∈M⊥x-s\in M^\perpであり、任意のz∈Mz\in Mに対して

∥x−z∥2=∥x−s∥2+∥s−z∥2,∥x−s∥2=∥x∥2−∑n=1N∣⟨x,en⟩∣2\|x-z\|^2=\|x-s\|^2+\|s-z\|^2,\qquad \|x-s\|^2=\|x\|^2-\sum_{n=1}^N|\langle x,e_n\rangle|^2

が成り立つ。したがって、ssはxxのMMにおける一意な最良近似点であり、MMへの直交射影はPMx=sP_Mx=sと表される。

証明. 正規直交性により

⟨∑j=1Najej,∑k=1Nakek⟩=∑j,k=1Najak‾δjk=∑n=1N∣an∣2\left\langle\sum_{j=1}^Na_je_j,\sum_{k=1}^Na_ke_k\right\rangle =\sum_{j,k=1}^Na_j\overline{a_k}\delta_{jk} =\sum_{n=1}^N|a_n|^2

である。各k≤Nk\leq Nについて

⟨x−s,ek⟩=⟨x,ek⟩−∑n=1N⟨x,en⟩δnk=0\langle x-s,e_k\rangle =\langle x,e_k\rangle-\sum_{n=1}^N\langle x,e_n\rangle\delta_{nk}=0

であるから、x−s∈M⊥x-s\in M^\perpである。z∈Mz\in Mに対してs−z∈Ms-z\in Mであるので、x−z=(x−s)+(s−z)x-z=(x-s)+(s-z)の内積を展開すると交差項が零となり、∥x−z∥2=∥x−s∥2+∥s−z∥2\|x-z\|^2=\|x-s\|^2+\|s-z\|^2を得る。z=0z=0とおき、最初の等式をan=⟨x,en⟩a_n=\langle x,e_n\rangleに適用すれば、誤差の式を得る。任意のz∈Mz\in Mについて∥s−z∥2≥0\|s-z\|^2\geq0であり、等号が成り立つのはz=sz=sのときだけであるから、ssは一意な最良近似点である。▨

例 3.3.H=C2H=\C^2、M=span⁡{(1,i)}M=\operatorname{span}\{(1,i)\}、x=(1,0)x=(1,0)とする。このとき、e=(1,i)/2e=(1,i)/\sqrt2はMMの単位ベクトルである。補題 3.2により、m=PMx=⟨x,e⟩em=P_Mx=\langle x,e\rangle eとおくと、

m=12(1,i),x−m=12(1,−i)m=\frac12(1,i),\qquad x-m=\frac12(1,-i)

である。同じ補題の誤差の式から、任意のz∈Mz\in Mに対して

∥x−z∥2=12+∥m−z∥2\|x-z\|^2=\frac12+\|m-z\|^2

であり、最小誤差は1/21/\sqrt2である。

定理 3.4 (Bessel の不等式).HHを Hilbert 空間とし、(en)(e_n)をHHの有限または可算な正規直交系とする。このとき、任意のx∈Hx\in Hに対して

∑n∣⟨x,en⟩∣2≤∥x∥2\sum_n|\langle x,e_n\rangle|^2\le\|x\|^2

が成り立つ。有限系では有限和をとり、可算系では部分和の極限をとる。

証明.x∈Hx\in Hを固定し、sN=∑n=1N⟨x,en⟩ens_N=\sum_{n=1}^N\langle x,e_n\rangle e_nとおく。有限系ではNNを系の長さ以下とし、N=0N=0のときはs0=0s_0=0とする。補題 3.2により

∥x∥2=∥x−sN∥2+∥sN∥2=∥x−sN∥2+∑n=1N∣⟨x,en⟩∣2.\|x\|^2=\|x-s_N\|^2+\|s_N\|^2 =\|x-s_N\|^2+\sum_{n=1}^N|\langle x,e_n\rangle|^2.

したがって、有限系ではNNを系の長さとすれば不等式を得る。可算系では非負項級数の部分和の極限をとれば不等式を得る。▨

定理 3.5.HHを Hilbert 空間とし、(en)(e_n)をHHの有限または可算な正規直交系とする。このとき、次の条件は同値である。

  1. (en)(e_n)は完全である。
  2. 任意のx∈Hx\in Hに対して、すべてのnnについて⟨x,en⟩=0\langle x,e_n\rangle=0ならばx=0x=0である。
  3. 任意のx∈Hx\in Hに対して、∑n⟨x,en⟩en\sum_n\langle x,e_n\rangle e_nがノルム収束してxxに等しい。
  4. 任意のx∈Hx\in Hに対して Parseval の等式 ∥x∥2=∑n∣⟨x,en⟩∣2\|x\|^2=\sum_n|\langle x,e_n\rangle|^2 が成り立つ。

証明.x∈Hx\in Hを固定する。有限系が空ならば、四条件はいずれもH={0}H=\{0\}と同値である。系が空でないとき、定理 3.4により係数の二乗和は有限である。部分和sN=∑n=1N⟨x,en⟩ens_N=\sum_{n=1}^N\langle x,e_n\rangle e_nは、補題 3.2をeN+1,…,eMe_{N+1},\ldots,e_Mに適用すると

∥sM−sN∥2=∑n=N+1M∣⟨x,en⟩∣2\|s_M-s_N\|^2=\sum_{n=N+1}^M|\langle x,e_n\rangle|^2

を満たすので、可算系では Cauchy 列である。完備性によりsN→ss_N\to sとなるs∈Hs\in Hが存在する。有限系ではssを系の長さまでの和とする。補題 3.2による残差の直交性と補題 1.2による内積の連続性から、いずれの場合も各kkについて⟨x−s,ek⟩=0\langle x-s,e_k\rangle=0である。

(1)⇒\Rightarrow(3)を示す。x−sx-sは稠密な線形包と直交するので、内積の連続性によりx−sx-s自身とも直交し、x−s=0x-s=0である。(3)⇒\Rightarrow(4)を示す。補題 3.2による誤差の式∥x∥2=∥x−sN∥2+∑n=1N∣⟨x,en⟩∣2\|x\|^2=\|x-s_N\|^2+\sum_{n=1}^N|\langle x,e_n\rangle|^2において、可算系ではN→∞N\to\inftyとし、有限系ではNNを系の長さとする。(4)⇒\Rightarrow(2)を示す。全係数が00なら∥x∥=0\|x\|=0である。(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。M=span⁡{en}M=\operatorname{span}\{e_n\}とおくと、仮定はM⊥={0}M^\perp=\{0\}を意味する。命題 2.3によりM‾=(M⊥)⊥={0}⊥=H\overline M=(M^\perp)^\perp=\{0\}^\perp=Hであるから、(en)(e_n)は完全である。▨

定理 3.6. 可分 Hilbert 空間HHは、有限または可算な完全正規直交系をもつ。H={0}H=\{0\}の場合には空系をとる。

証明.H≠{0}H\ne\{0\}とし、可算な稠密集合(xn)(x_n)をとる。x1,x2,…x_1,x_2,\ldotsを順に調べ、それまでに選んだベクトルの線形包に属さない最初のベクトルだけを選ぶ。選ばれた線形独立列へ、§E3.33 定理 2.2を有限段ごとに適用する。各段の最初の零でない残差を正規化することにより、有限または可算な正規直交系(ej)(e_j)を得る。従属するベクトルと零ベクトルは選ばれないので、正規化の分母は常に正である。

選択が有限回で止まった場合、その有限次元線形包はすべてのxnx_nを含む。§E10.1 系 2.4により有限次元部分空間は閉じており、(xn)(x_n)は稠密であるから、その線形包はHHに等しい。選択が無限に続く場合、各xnx_nは、それを調べた時点までに選んだベクトルの線形包に属する。したがって全てのxnx_nはspan⁡‾{ej}\overline{\operatorname{span}}\{e_j\}に属し、稠密性からこの閉包はHHに等しい。いずれの場合も(ej)(e_j)は完全である。▨

例 3.7.命題 1.4の Hilbert 空間ℓ2\ell^2において、第nn成分だけが11である数列をene_nとすると、(en)(e_n)は正規直交系である。任意のx=(xn)∈ℓ2x=(x_n)\in\ell^2に対して

x(N)=∑n=1Nxnenx^{(N)}=\sum_{n=1}^N x_ne_n

とおくと、

∥x−x(N)∥22=∑n>N∣xn∣2⟶0.\|x-x^{(N)}\|_2^2=\sum_{n>N}|x_n|^2\longrightarrow0.

したがって、(en)(e_n)の線形包はℓ2\ell^2で稠密であり、(en)(e_n)は完全である。

特にx=(1,1/2,1/3,…)x=(1,1/2,1/3,\ldots)とおく。級数∑n≥11/n2\sum_{n\ge1}1/n^2は収束するのでx∈ℓ2x\in\ell^2であり、⟨x,en⟩=1/n\langle x,e_n\rangle=1/nである。したがって定理 3.5により

∥x∥22=∑n=1∞1n2\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}

が与えられる。この等式の右辺は、ℓ2\ell^2ノルムの定義による∥x∥22\|x\|_2^2の値に等しい。

4 演習

問題 4.1 (凸性または閉性を欠く集合での最良近似).定理 2.1で凸性を外すと最良近似点が一意でない例と、閉性を外すと最良近似点が存在しない例を、それぞれR\R上で構成せよ。

解答.

凸性を外した例として、C={−1,1}C=\{-1,1\}とx=0x=0をとる。CCは有限集合であるから閉集合であり、空でないが、−1-1と11の中点00を含まないので凸でない。∣0−(−1)∣=∣0−1∣=1|0-(-1)|=|0-1|=1であるからinf⁡z∈C∣x−z∣=1\inf_{z\in C}|x-z|=1であり、この下限は−1-1と11の両方で達成される。したがって最良近似点は存在するが一意でない。

閉性を外した例として、C=(0,1)C=(0,1)をとる。CCは空でない凸集合であるが、閉じていない。x=2x=2とすると、任意のz∈Cz\in Cに対して∣x−z∣=2−z>1|x-z|=2-z>1である。一方、k≥2k\geq2に対してzk=1−1/k∈Cz_k=1-1/k\in Cであり∣x−zk∣=1+1/k→1|x-z_k|=1+1/k\to1であるから、inf⁡z∈C∣x−z∣=1\inf_{z\in C}|x-z|=1である。どのz∈Cz\in Cについても∣x−z∣>1|x-z|>1であるから、この下限を達成するz∈Cz\in Cは存在せず、xxのCCにおける最良近似点は存在しない。▨

問題 4.2 (Parseval の等式から完全性へ).HHを Hilbert 空間とし、(en)(e_n)をHHの有限または可算な正規直交系とする。すべてのx∈Hx\in Hについて Parseval の等式が成り立つなら、(en)(e_n)が完全であることを定理 2.2を用いずに証明せよ。

解答.

(en)(e_n)を正規直交系とし、すべてのx∈Hx\in Hについて Parseval の等式が成り立つとする。系が空ならば、 Parseval の等式はすべてのx∈Hx\in Hについて∥x∥2=0\|x\|^2=0を意味するのでH={0}H=\{0\}であり、空系の線形包{0}\{0\}はHHに等しい。以下では系が空でないとする。x∈Hx\in Hを固定し、N≥1N\geq1（有限系ではNNを系の長さ以下とする）に対してsN=∑n=1N⟨x,en⟩ens_N=\sum_{n=1}^N\langle x,e_n\rangle e_nとおく。補題 3.2の誤差の式により

∥x−sN∥2=∥x∥2−∑n=1N∣⟨x,en⟩∣2\|x-s_N\|^2=\|x\|^2-\sum_{n=1}^N|\langle x,e_n\rangle|^2

を得る。

可算系の場合、Parseval の等式により∥x∥2−∑n=1N∣⟨x,en⟩∣2\|x\|^2-\sum_{n=1}^N|\langle x,e_n\rangle|^2はN→∞N\to\inftyで00に収束するので、sN→xs_N\to xである。有限系の場合、NNを系の長さとすると、Parseval の等式により右辺は00であり、x=sNx=s_Nである。いずれの場合も、xxは(en)(e_n)の線形包の元の極限である。x∈Hx\in Hは任意であるから、(en)(e_n)の線形包はHHで稠密であり、(en)(e_n)は完全である。▨

問題 4.3 (極大正規直交系の存在に用いる選択原理).HHを Hilbert 空間とし、HHの可分性を仮定しない。HHの部分集合EEであって、各e∈Ee\in Eが単位ベクトルであり、相異なるe,f∈Ee,f\in Eが直交するもの全体を包含関係で順序づける。EEの濃度を有限または可算とは仮定しない。 Zorn の補題を適用し、包含について極大な集合EEが存在することを示せ。本記事の定理 3.6と比べ、追加で用いる選択原理を特定せよ。

解答.

HHの部分集合EEであって、各e∈Ee\in Eが∥e∥=1\|e\|=1を満たし、相異なるe,f∈Ee,f\in Eが⟨e,f⟩=0\langle e,f\rangle=0を満たすもの全体をO\mathcal Oとする。O\mathcal OはHHの冪集合の部分集合であり、包含関係⊆\subseteqについて poset である。空集合は条件を満たすので∅∈O\varnothing\in\mathcal Oであり、O\mathcal Oは空でない。

C⊆O\mathcal C\subseteq\mathcal Oを鎖とする。C=∅\mathcal C=\varnothingならば、∅∈O\varnothing\in\mathcal OがC\mathcal Cの上界である。C≠∅\mathcal C\neq\varnothingならば、E∗=⋃E∈CEE^*=\bigcup_{E\in\mathcal C}Eとおく。e∈E∗e\in E^*ならば、e∈Ee\in Eを満たすE∈CE\in\mathcal Cが存在するので∥e∥=1\|e\|=1である。e,f∈E∗e,f\in E^*が相異なるとする。e∈E1e\in E_1とf∈E2f\in E_2を満たすE1,E2∈CE_1,E_2\in\mathcal Cが存在する。C\mathcal Cは鎖であるからE1⊆E2E_1\subseteq E_2またはE2⊆E1E_2\subseteq E_1が成り立ち、E1E_1とE2E_2のうち他方を含む方をE3E_3とするとe,f∈E3e,f\in E_3である。E3∈OE_3\in\mathcal Oでありe≠fe\neq fであるから、⟨e,f⟩=0\langle e,f\rangle=0である。したがってE∗∈OE^*\in\mathcal Oである。各E∈CE\in\mathcal CについてE⊆E∗E\subseteq E^*であるから、E∗E^*はC\mathcal Cの上界である。

空でない posetO\mathcal Oの任意の鎖がO\mathcal Oに上界をもつので、Zorn の補題§E1.20 定理 2.1 (3)により、O\mathcal Oは極大元EEをもつ。すなわち、E∈OE\in\mathcal Oであり、E⊊E′E\subsetneq E'を満たすE′∈OE'\in\mathcal Oは存在しない。

定理 3.6の証明では、可算な稠密集合の列(xn)(x_n)を一つ固定した後、各段で選ぶベクトルを「それまでに選んだベクトルの線形包に属さない最初のxnx_n」として番号の順序によって一つに定め、 Gram–Schmidt の直交化によって正規直交系の各元を一つに定めた。この構成は列(xn)(x_n)に沿った帰納的な定義であり、 Zorn の補題を用いない。一方、本問の証明では Zorn の補題を用いた。§E1.20 定理 2.1により、Zorn の補題は ZF の公理系のもとで選択公理§E1.20 定理 2.1 (1)と同値である。▨

参考文献

  1. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1990.Hilbert 空間の射影定理と正規直交系を参考にした。
  2. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1978.最良近似、Bessel の不等式、および完全正規直交系の構成を参考にした。

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