Riesz の表現定理 | 測度と積分

1 Riesz の表現定理

ここで扱うのは、Hilbert 空間の有界線形汎関数がベクトルとの内積で表されることを主張する定理であり、連続関数空間の双対が測度で表されることを主張する Riesz–Markov–Kakutani の定理とは異なる。

定理 1.1 (Riesz の表現定理). $H$ を実 Hilbert 空間または複素 Hilbert 空間とする。このとき、任意の有界線形汎関数 $f\in H^*$ に対して、

f(x)=\langle x,y\rangle\qquad(x\in H)

を満たす $y\in H$ がただ一つ存在する。さらに $\|f\|=\|y\|$ である。

証明. $f=0$ なら $y=0$ とすればよい。以下では $f\ne0$ とする。 $M=\ker f$ は $f$ の連続性により閉部分空間であり、 $M\ne H$ である。§E10.3 定理 2.2により $H=M\oplus M^\perp$ であるから、単位ベクトル $z\in M^\perp$ をとることができる。

$x\in H$ に対して $w=f(x)z-f(z)x$ とおくと $f(w)=0$ であるから $w\in M$ である。よって $\langle w,z\rangle=0$ であり、

0=f(x)\langle z,z\rangle-f(z)\langle x,z\rangle =f(x)-f(z)\langle x,z\rangle.

実数体では $y=f(z)z$ 、複素数体では $y=\overline{f(z)}z$ とおけば、いずれの場合も $f(x)=\langle x,y\rangle$ を得る。

Cauchy–Schwarz の不等式により $|f(x)|\le\|x\|\|y\|$ であるから $\|f\|\le\|y\|$ である。 $y\ne0$ の場合には $x=y/\|y\|$ を代入して $|f(x)|=\|y\|$ を得る。 $y=0$ の場合には $f=0$ であるから $\|f\|=0=\|y\|$ である。したがって $\|f\|=\|y\|$ である。

$y,y'$ がともに表現ベクトルなら、 $x=y-y'$ を代入して $\|y-y'\|^2=\langle y-y',y-y'\rangle=0$ を得るので $y=y'$ である。▨

系 1.2. $H$ を実または複素 Hilbert 空間とし、 $R:H\to H^*$ を $(Ry)(x)=\langle x,y\rangle$ と定める。このとき、 $R$ は全単射かつ等長である。実数体上では $R$ は線形である。一方、複素数体上では $R(\alpha y+\beta z)=\overline\alpha Ry+ \overline\beta Rz$ を満たす共役線形写像である。

証明. 全射性、一意性、および等長性は定理 1.1から従う。複素数体では

(R(\alpha y+\beta z))(x)=\langle x,\alpha y+\beta z\rangle =\overline\alpha\langle x,y\rangle+\overline\beta\langle x,z\rangle

である。一方、実数体では複素共役が恒等写像なので、 $R$ は線形である。▨

例 1.3. $H=\C^2$ とし、 $f:H\to\C$ を

f(z_1,z_2)=(1+i)z_1+2iz_2

と定める。このとき、 $y=(1-i,-2i)$ に対して

\langle (z_1,z_2),y\rangle=(1+i)z_1+2iz_2=f(z_1,z_2)

である。Cauchy–Schwarz の不等式から $f$ は有界線形汎関数であり、定理 1.1により $y$ は $f$ の一意な表現ベクトルである。また、

\|f\|=\|y\|=\sqrt{|1-i|^2+|-2i|^2}=\sqrt6

であり、単位ベクトル $y/\sqrt6$ で $|f(y/\sqrt6)|=\sqrt6$ となる。

例 1.4. $H$ と $F$ を§E10.3 例 2.5の有限台数列の内積空間と有界線形汎関数とする。すなわち、

H=c_{00},\qquad \langle x,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_n\overline{y_n},\qquad F(x)=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}x_n

である。このとき、 $F(x)=\langle x,y\rangle$ がすべての $x\in H$ について成り立つような $y\in H$ は存在しない。

実際、そのような $y$ が存在すると仮定し、第 $n$ 成分だけが $1$ である $e_n$ を代入すると、すべての $n\geq1$ について

2^{-n}=F(e_n)=\langle e_n,y\rangle=\overline{y_n}

である。よって $y_n=2^{-n}$ となるが、この数列は有限台でないので $y\in H$ に反する。

2 Lax–Milgram の定理

定義 2.1. $H$ を Hilbert 空間とする。実数体では双線形形式 $a:H\times H\to\R$ 、複素数体では第1変数について線形で第2変数について共役線形な半双線形形式 $a:H\times H\to\C$ を考える。

定数 $M>0$ が存在して $|a(x,y)|\le M\|x\|\|y\|$ がすべての $x,y\in H$ で成り立つとき、 $a$ は有界 (bounded) であるという。
定数 $\alpha>0$ が存在して、すべての $x\in H$ に対して実数体では $a(x,x)\ge\alpha\|x\|^2$ 、複素数体では $\Re a(x,x)\ge\alpha\|x\|^2$ が成り立つとき、 $a$ は強圧的 (coercive) であるという。

定理 2.2 (Lax–Milgram の定理). $H$ を Hilbert 空間とし、 $a$ を有界かつ強圧的な形式とする。強圧性定数を $\alpha>0$ とする。このとき、次が成り立つ。

$H$ が実 Hilbert 空間なら、任意の $f\in H^*$ に対して $a(u,v)=f(v)\qquad(v\in H)$ を満たす $u\in H$ がただ一つ存在する。
$H$ が複素 Hilbert 空間で、 $a$ が第1変数について線形、第2変数について共役線形なら、任意の $f\in H^*$ に対して $a(v,u)=f(v)\qquad(v\in H)$ を満たす $u\in H$ がただ一つ存在する。

いずれの場合も $\|u\|\le\|f\|/\alpha$ である。

証明. 実数体では $b(v,u)=a(u,v)$ 、複素数体では $b(v,u)=a(v,u)$ とおく。このとき、 $b$ は第1変数について線形、第2変数について共役線形である。ただし、実数体では共役は恒等写像である。 $a$ の有界性定数を $M>0$ とすると、任意の $v,u\in H$ に対して $|b(v,u)|\le M\|v\|\|u\|$ であり、 $\Re b(u,u)\ge\alpha\|u\|^2$ である。

$u\in H$ を固定すると $v\mapsto b(v,u)$ は有界線形汎関数であるから、定理 1.1により、

b(v,u)=\langle v,Au\rangle\qquad(v\in H)

を満たす $Au\in H$ が一意に存在する。 $b$ と内積の第2変数についての共役線形性、および表現ベクトルの一意性から、 $A:H\to H$ は線形である。Riesz 表現のノルム等号から $\|Au\|\le M\|u\|$ である。また、強圧性と§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式から

\alpha\|u\|^2\le\Re b(u,u) =\Re\langle u,Au\rangle\le\|u\|\|Au\|

を得る。したがって $\|Au\|\ge\alpha\|u\|$ であり、 $A$ は単射である。

$Au_n\to y$ となる列 $(u_n)$ をとる。評価 $\|u_n-u_m\|\le\alpha^{-1}\|Au_n-Au_m\|$ により $(u_n)$ は Cauchy 列であるから、 $H$ の完備性によりある $u\in H$ に収束する。 $A$ の連続性から $Au=y$ である。したがって、 $\im A$ は閉部分空間である。

$w\in(\im A)^\perp$ なら、 $\langle w,Aw\rangle=0$ であるから $\Re b(w,w)=0$ であり、強圧性から $w=0$ を得る。したがって $(\im A)^\perp=\{0\}$ である。§E10.3 命題 2.3と像の閉性から

\im A=((\im A)^\perp)^\perp=\{0\}^\perp=H

である。

定理 1.1によって $f(v)=\langle v,y_f\rangle$ と表し、 $u=A^{-1}y_f$ とおく。このとき $b(v,u)=f(v)$ であり、実数体では $a(u,v)=f(v)$ 、複素数体では $a(v,u)=f(v)$ を得る。表現ベクトルの一意性により $b(v,u)=f(v)$ がすべての $v\in H$ に対して成り立つことと $Au=y_f$ は同値であるから、解の一意性は $A$ の単射性から従う。また、

\alpha\|u\|\le\|Au\|=\|y_f\|=\|f\|

であるから、 $\|u\|\le\|f\|/\alpha$ である。▨

3 弱形式の Hilbert 空間モデル

例 3.1. $H$ を§E10.3 命題 1.4の複素数列の空間 $\ell^2$ とする。実数列 $(c_n)$ が $0<\alpha\le c_n\le M$ を満たすとし、

a(v,u)=\sum_{n=1}^\infty c_nv_n\overline{u_n}

と定める。このとき、Cauchy–Schwarz の不等式により $|a(v,u)|\le M\|v\|_2\|u\|_2$ であり、 $a(u,u)\ge\alpha\|u\|_2^2$ である。 $g\in\ell^2$ に対して $f(v)=\langle v,g\rangle$ とおくと、定理 2.2の解は

u_n=\frac{g_n}{c_n}

である。実際、 $u\in\ell^2$ かつ $a(v,u)=f(v)$ がすべての $v\in\ell^2$ に対して成り立ち、 $\|u\|_2\le\|g\|_2/\alpha=\|f\|/\alpha$ である。

等式 $a(v,u)=f(v)$ をすべての試験ベクトル $v\in\ell^2$ に対して課すことにより、未知の $u$ を定めている。

4 演習

問題 4.1 (Riesz 対応の共役線形性). 複素 Hilbert 空間 $H$ で $R(y)(x)=\langle x,y\rangle$ と定める。 $R(iy)=-iR(y)$ を直接確かめ、 $H\neq\{0\}$ のとき $R:H\to H^*$ が複素線形でないことを証明せよ。

解答.

$x,y\in H$ とする。内積は第2変数について共役線形であるから

R(iy)(x)=\langle x,iy\rangle=\overline i\,\langle x,y\rangle=-i\,\langle x,y\rangle=-i\,R(y)(x)

である。 $x\in H$ は任意であるから、 $R(iy)=-iR(y)$ である。

$H\neq\{0\}$ ならば、 $R$ は複素線形でない。実際、 $R$ が複素線形であると仮定し、 $y\in H\setminus\{0\}$ をとる。 $R(iy)=iR(y)$ と $R(iy)=-iR(y)$ から $2iR(y)=0$ 、すなわち $R(y)=0$ である。一方、 $R(y)(y)=\langle y,y\rangle=\|y\|^2>0$ であるから $R(y)\neq0$ である。この二つは両立しないので、 $H\neq\{0\}$ ならば $R$ は複素線形でない。一方、系 1.2により、共役線形性 $R(\alpha y+\beta z)=\overline\alpha Ry+\overline\beta Rz$ は成り立つ。一方、 $H=\{0\}$ の場合には $R=0$ であり、線形性と共役線形性はどちらも成り立つ。▨

問題 4.2 (複素の場合の線形性の型).定理 2.2の複素数体の場合に、 $a(u,v)=f(v)$ と書くと両辺の $v$ に関する線形性の型が一致しないことを示せ。

解答.

$H$ を複素 Hilbert 空間、 $a$ を第1変数について線形、第2変数について共役線形な形式とし、 $u\in H$ と $f\in H^*$ を固定する。 $c\in\C$ と $v\in H$ に対して

a(u,cv)=\overline c\,a(u,v),\qquad f(cv)=c\,f(v)

である。したがって、左辺の $v\mapsto a(u,v)$ は $v$ について共役線形であり、右辺の $v\mapsto f(v)$ は $v$ について線形である。

$a(u,v)=f(v)$ がすべての $v\in H$ について成り立つと仮定する。 $v\in H$ に対して $iv$ を代入すると

f(iv)=a(u,iv)=-i\,a(u,v)=-i\,f(v)

であり、 $f$ の線形性により $f(iv)=i\,f(v)$ である。二つの等式から $2i\,f(v)=0$ であるから $f(v)=0$ である。 $v\in H$ は任意であるから $f=0$ である。したがって $f\neq0$ ならば、 $a(u,v)=f(v)$ をすべての $v\in H$ について満たす $u\in H$ は存在しない。一方、定理 2.2 (2)の等式 $a(v,u)=f(v)$ では、左辺の $v\mapsto a(v,u)$ が第1変数についての線形性により $v$ について線形であるから、両辺の線形性の型が一致する。▨

問題 4.3 (強圧的でない正定値形式). 実 Hilbert 空間 $\ell^2$ 上で $a(u,v)=\sum_{n=1}^{\infty}u_nv_n/n$ 、 $f(v)=\sum_{n=1}^{\infty}v_n/n$ とおく。 $a$ が有界な対称双線形形式であり $u\neq0$ ならば $a(u,u)>0$ であるが強圧的でないこと、および $f\in(\ell^2)^*$ であることを示せ。さらに、すべての $v\in\ell^2$ について $a(u,v)=f(v)$ を満たす $u\in\ell^2$ は存在しないことを証明し、定理 2.2で強圧性の仮定を外すと結論が成り立たないことを確かめよ。

解答.

Cauchy–Schwarz の不等式から $|a(u,v)|\leq\sum_n|u_n||v_n|\leq\|u\|_2\|v\|_2$ であるから、級数は絶対収束し、 $a$ は有界である。双線形性と対称性は定義から従う。 $a(u,u)=\sum_nu_n^2/n$ は $u\neq0$ のとき正である。任意の $n\geq1$ に対して、第 $n$ 成分だけが $1$ の $e_n$ は $a(e_n,e_n)=1/n$ 、 $\|e_n\|_2=1$ を満たす。したがって、すべての $x\in\ell^2$ に対して $a(x,x)\geq\alpha\|x\|_2^2$ を満たす定数 $\alpha>0$ は存在せず、 $a$ は強圧的でない。 $y=(1/n)_{n\geq1}$ は $\sum_n1/n^2<\infty$ から $\ell^2$ に属し、 $f(v)=\langle v,y\rangle$ であるから $f\in(\ell^2)^*$ である。

$u\in\ell^2$ がすべての $v$ について $a(u,v)=f(v)$ を満たすと仮定する。 $v=e_n$ とすると $u_n/n=1/n$ 、すなわち $u_n=1$ がすべての $n$ で成り立つ。しかし $\sum_nu_n^2=\infty$ であるから $u\notin\ell^2$ であり、矛盾する。したがってそのような $u$ は存在しない。したがって、有界性と正定値性だけでは、すべての有界線形汎関数に対する解の存在は従わない。▨

§E10.5Riesz の表現定理

1 Riesz の表現定理

2 Lax–Milgram の定理

3 弱形式の Hilbert 空間モデル

4 演習

参考文献

前提記事