§E10.21測度収束

各$n$について$n=2^k+j$の表示は、$2^k\leq n<2^{k+1}$を満たす$k$がただ一つであることから一意である。$\varepsilon>0$とすると、偏差集合$\{\,x\in\R\mid |f_n(x)|\geq\varepsilon\,\}$は$\varepsilon\leq1$のとき$I_n$、$\varepsilon>1$のとき空集合である。$\lambda(I_n)=2^{-k}$であり、$n\to\infty$のとき$k\to\infty$であるから、偏差集合の測度は$0$に収束する。したがって、$(f_n)$は$0$に測度収束する。

$x\in(0,1]$とする。各$k\geq1$について、区間$(j/2^k,(j+1)/2^k]$（$0\leq j<2^k$）は二つずつ交わらず、その和集合は$(0,1]$である。ゆえに、$2^k\leq n<2^{k+1}$を満たす$2^k$個の$n$のうち、ちょうど一つで$f_n(x)=1$であり、残りの$2^k-1\geq1$個で$f_n(x)=0$である。$k$は任意であるから、$f_n(x)=1$を満たす$n$と$f_n(x)=0$を満たす$n$はどちらも無限個ある。したがって、$(f_n(x))$は収束しない。

$(f_n)$がある有限値可測関数$g$にほとんど至る所で収束すると仮定すると、可測零集合$Z$が存在して、$\R\setminus Z$のすべての点で$f_n(x)\to g(x)$が成り立つ。$\lambda((0,1]\setminus Z)\geq\lambda((0,1])-\lambda(Z)=1$であるから$(0,1]\setminus Z$は空でなく、その点で$(f_n(x))$が収束することになり、前段に反する。

部分列$(f_{2^k})_{k\geq0}$をとる。$f_{2^k}=\mathbf{1}_{(0,2^{-k}]}$である。$x\leq0$ならばすべての$k$について$f_{2^k}(x)=0$であり、$x>0$ならば$2^{-k}<x$を満たすすべての$k$について$f_{2^k}(x)=0$である。したがって、この部分列は$\R$のすべての点で$0$に収束する。

$0\leq x<1$ならば$x^n\to0=f(x)$であり、$f_n(1)=1=f(1)$であるから、すべての点で$f_n\to f$である。

$\delta\in(0,1)$に対して$E=(1-\delta/2,1)$とおく。$\lambda(E)=\delta/2<\delta$である。$[0,1]\setminus E$は$[0,1-\delta/2]\cup\{1\}$であり、点$1$では$|f_n(1)-f(1)|=0$、$[0,1-\delta/2]$の点では$|f_n(x)-f(x)|=x^n\leq(1-\delta/2)^n$である。したがって

であり、$[0,1]\setminus E$上で$f_n$は$f$に一様収束する。

$Z$を可測零集合とし、$n\geq1$を固定する。任意の$t\in(0,1)$について、$\lambda((t,1))=1-t>0=\lambda(Z)$であるから、$(t,1)\setminus Z$は空でない。その点$x$では$|f_n(x)-f(x)|=x^n>t^n$である。ゆえに

がすべての$n$について成り立ち、$[0,1]\setminus Z$上の収束は一様でない。したがって、Egorov の定理の結論にある例外集合の測度を$0$にすることはできない。

$f_n(x)\to f(x)$が成り立たない点の集合を$N$とすると

であり、命題 1.2と σ-加法族の可算演算に対する閉性により$N$は可測である。正の整数$m$を固定し、ほとんど一様な収束の定義を$\delta=1/m$に適用すると、$\mu(E)<1/m$を満たし$X\setminus E$上で$f_n\to f$が一様に成り立つ可測集合$E$が存在する。$X\setminus E$の点では$f_n(x)\to f(x)$であるから$N\subseteq E$であり、$\mu(N)\leq\mu(E)<1/m$である。$m$は任意であるから$\mu(N)=0$であり、$(f_n)$は$f$にほとんど至る所で収束する。

(1)の列は$0$に測度収束するが、どの有限値可測関数にもほとんど至る所で収束しない。前段により、この列はどの有限値可測関数にもほとんど一様に収束しない。したがって、測度収束はほとんど一様な収束を導かない。この例の全空間$\R$を$(0,1]$に制限しても同じ議論が成り立つので、有限測度空間でも同じ結論を得る。

$n_0=0$とし、$n_k>n_{k-1}$かつ$\mu(\{|f_{n_k}-f|\geq a_k\})<b_k$を満たす最小の整数を$n_k$とする。$a_k,b_k>0$と測度収束の定義から、この整数は各$k$について存在する。偏差集合の測度の和は$\sum_kb_k<\infty$以下であるから、補題 4.1により$f_{n_k}\to f$a.e. である。$a_k=b_k=2^{-k}$とすれば定理 4.2の選択になる。

$x_1\neq x_2$とし、$X=\{x_1,x_2\}$、$\mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$とおき、$X$に§E10.8 例 1.3の数え上げ測度$\kappa$を入れる。各正の整数$n$に対して、関数$f_n:X\to\R$を

によって定める。$\mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$であるから、$X$上のすべての関数は可測である。偶数番目の部分列$(f_{2k})_{k\geq1}$は定数列$\mathbf{1}_{\{x_2\}}$であるから、$X$のすべての点で$\mathbf{1}_{\{x_2\}}$へ収束する。

$g:X\to\mathbb K$を任意の有限値関数とする。第一点だけからなる測度空間$\{x_1\}$の数え上げ測度は Dirac 測度$\delta_{x_1}$と等しく、制限列は例 6.1の列と一致する。したがって、この制限列は$g|_{\{x_1\}}$に測度収束しない。元の列が$g$に測度収束するならば、任意の$\varepsilon>0$について

が§E10.8 命題 2.1 (2)により成り立つため、制限列も$g|_{\{x_1\}}$に測度収束する。これは制限列の非収束に反する。$g$は任意であるから、元の列はどの有限値可測関数にも測度収束しない。