§E10.35Radon 測度の局所化

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全体の測度が無限大であっても、有限測度の可測部分集合に制限すれば、有限測度を得ることができる。しかし、各有限測度部分との交わりが可測であるという条件から、集合全体の可測性が従うかどうかは、測度の定義域に関わる問題である。本記事では、Radon 測度の完備化と局所化の性質、および有限測度部分への分解について解説する。

1 完備化の内正則性

命題 1.1.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間、μ\muを Radon 測度とする。B(X)\mathcal B(X)のμ\muによる完備化をB‾μ\overline{\mathcal B}_\mu、完備化された測度をμ‾\overline\muと書く。このとき、任意のA∈B‾μA\in\overline{\mathcal B}_\muに対して

μ‾(A)=sup⁡K⊆AK はコンパクトμ(K)\overline\mu(A)=\sup_{\substack{K\subseteq A\\K\text{ はコンパクト}}}\mu(K)

である。

証明.§E10.8 命題 7.6により、Borel 集合B,NB,Nでμ(N)=0\mu(N)=0、A△B⊆NA\mathbin\triangle B\subseteq N、μ‾(A)=μ(B)\overline\mu(A)=\mu(B)を満たすものを取る。コンパクト集合L⊆BL\subseteq Bとε>0\ep>0を取る。§E10.32 補題 1.2により、LLを含むコンパクトな閉包をもつ開集合VVが存在する。したがって、N∩LN\cap LはVVに含まれる Borel 零集合である。§E10.32 命題 3.3により、N∩L⊆U⊆VN\cap L\subseteq U\subseteq V、μ(U)<ε\mu(U)<\epを満たす開集合UUが存在する。

K=L∖UK=L\setminus Uはコンパクトであり、B∖N⊆AB\setminus N\subseteq AであるからK⊆AK\subseteq Aである。μ(L)<∞\mu(L)<\inftyより

μ(K)≥μ(L)−ε.\mu(K)\geq\mu(L)-\ep.

ε\epを0へ近づけ、BBに含まれるコンパクト集合LLに対するμ(L)\mu(L)の上限を取ると、主張の右辺はμ(B)=μ‾(A)\mu(B)=\overline\mu(A)以上である。逆向きは完備化された測度の単調性による。▨

2 有限測度部分による局所化

定義 2.1.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間、μ\muを Radon 測度とし、μ‾\overline\muをその完備化とする。有限測度の完備可測集合全体を

Ef={E∈B‾μ:μ‾(E)<∞}\mathcal E_f=\{E\in\overline{\mathcal B}_\mu:\overline\mu(E)<\infty\}

と書き、

Σloc={A⊆X: A∩E∈B‾μ for every E∈Ef},μloc(A)=sup⁡E∈Efμ‾(A∩E)\Sigma_{\mathrm{loc}}=\{A\subseteq X:\ A\cap E\in\overline{\mathcal B}_\mu\text{ for every }E\in\mathcal E_f\}, \qquad \mu_{\mathrm{loc}}(A)=\sup_{E\in\mathcal E_f}\overline\mu(A\cap E)

と定める。μloc\mu_{\mathrm{loc}}をμ\muの完備化の 局所化 (localization of the completed Radon measure) という。

定理 2.2.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間、μ\muを Radon 測度とする。このとき、上で定めたΣloc\Sigma_{\mathrm{loc}}とμloc\mu_{\mathrm{loc}}は次の性質をもつ。

  1. Σloc\Sigma_{\mathrm{loc}}は σ-加法族であり、μloc\mu_{\mathrm{loc}}はその上の正測度である。B‾μ⊆Σloc\overline{\mathcal B}_\mu\subseteq\Sigma_{\mathrm{loc}}であり、B‾μ\overline{\mathcal B}_\mu上でμloc=μ‾\mu_{\mathrm{loc}}=\overline\muである。
  2. E∈EfE\in\mathcal E_fとA⊆EA\subseteq Eに対して、A∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}であることとA∈B‾μA\in\overline{\mathcal B}_\muであることは同値である。
  3. μloc\mu_{\mathrm{loc}}は完備であり、半有限かつ局所的に決定される。
  4. 任意のA∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}に対して μloc(A)=sup⁡K⊆AK はコンパクトμ(K)\mu_{\mathrm{loc}}(A)=\sup_{\substack{K\subseteq A\\K\text{ はコンパクト}}}\mu(K) である。特に、μloc\mu_{\mathrm{loc}}はコンパクト集合上で有限である。
  5. μ(X)<∞\mu(X)<\inftyならば、Σloc=B‾μ\Sigma_{\mathrm{loc}}=\overline{\mathcal B}_\muかつμloc=μ‾\mu_{\mathrm{loc}}=\overline\muである。

証明. 各E∈EfE\in\mathcal E_fとの交わりが完備可測であるという条件は、補集合と可算和で保存される。したがってΣloc\Sigma_{\mathrm{loc}}は σ-加法族であり、B‾μ\overline{\mathcal B}_\muを含む。互いに交わらないAn∈ΣlocA_n\in\Sigma_{\mathrm{loc}}に対して

μloc(⋃nAn)=sup⁡E∈Ef∑nμ‾(An∩E)≤∑nμloc(An).\mu_{\mathrm{loc}}\left(\bigcup_nA_n\right) =\sup_{E\in\mathcal E_f}\sum_n\overline\mu(A_n\cap E) \leq\sum_n\mu_{\mathrm{loc}}(A_n).

m∈N≥1m\in\NNとE1,…,Em∈EfE_1,\ldots,E_m\in\mathcal E_fを取ると、E=⋃n=1mEnE=\bigcup_{n=1}^mE_nもEf\mathcal E_fに属し、左辺は∑n=1mμ‾(An∩En)\sum_{n=1}^m\overline\mu(A_n\cap E_n)以上である。各EnE_nとmmについて上限を取れば逆の不等式を得る。空集合の測度は0であるから、μloc\mu_{\mathrm{loc}}は測度である。命題 1.1により、μ‾\overline\muは半有限である。ゆえにA∈B‾μA\in\overline{\mathcal B}_\muに対して、有限部分との交わりの測度の上限はμ‾(A)\overline\mu(A)である。

A∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}、A⊆E∈EfA\subseteq E\in\mathcal E_fならば、定義によりA=A∩E∈B‾μA=A\cap E\in\overline{\mathcal B}_\muである。逆向きは、完備可測集合族がΣloc\Sigma_{\mathrm{loc}}に含まれることによる。

N∈ΣlocN\in\Sigma_{\mathrm{loc}}、μloc(N)=0\mu_{\mathrm{loc}}(N)=0とA⊆NA\subseteq Nを取る。各E∈EfE\in\mathcal E_fに対してA∩EA\cap Eは完備可測な零集合N∩EN\cap Eの部分集合であるから、完備可測で測度が0である。したがってA∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}、μloc(A)=0\mu_{\mathrm{loc}}(A)=0である。任意のA∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}について、A∩EA\cap Eは有限測度の完備可測集合であり、それらの測度の上限がμloc(A)\mu_{\mathrm{loc}}(A)である。ゆえに半有限性が成り立つ。

A⊆XA\subseteq Xがすべての有限測度のΣloc\Sigma_{\mathrm{loc}}可測集合との交わりをΣloc\Sigma_{\mathrm{loc}}可測にすると仮定する。各E∈EfE\in\mathcal E_fはそのような集合であるから、A∩E∈ΣlocA\cap E\in\Sigma_{\mathrm{loc}}である。主張 (2)によりA∩E∈B‾μA\cap E\in\overline{\mathcal B}_\muである。定義からA∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}となるため、局所的決定性が成り立つ。

命題 1.1により、各μ‾(A∩E)\overline\mu(A\cap E)はA∩EA\cap Eに含まれるコンパクト集合の測度の上限である。したがってμloc(A)\mu_{\mathrm{loc}}(A)はAAに含まれるすべてのコンパクト集合の測度の上限以下である。逆向きは測度の単調性による。コンパクト集合は Borel 集合であり、局所化はその測度を変えないから、コンパクト集合上で有限である。

μ(X)<∞\mu(X)<\inftyならばX∈EfX\in\mathcal E_fであるから、主張 (2)でE=XE=Xとすると、Σloc=B‾μ\Sigma_{\mathrm{loc}}=\overline{\mathcal B}_\muを得る。主張 (1)により、両測度も一致する。▨

例 2.3.X=[0,1]X=[0,1]とし、μ\muを Lebesgue Borel 測度λ1B\lambda_1^BのB(X)\mathcal B(X)への制限とする。このとき、§E10.9 系 9.2により、任意のa∈Ra\in\Rに対してλ1B({a})=0\lambda_1^B(\{a\})=0であり、0≤a≤b≤10\leq a\leq b\leq1に対してμ([a,b])=b−a\mu([a,b])=b-aである。特にμ(X)=1\mu(X)=1である。§E10.8 定理 7.4 (2)と§E10.16 定理 9.1により、μ\muはコンパクト内正則である。XXはコンパクト Hausdorff 空間であり、μ\muは有限 Radon 測度である。

元の Borel 集合族に対して

Σ′={A⊆X: A∩E∈B(X) for every E∈B(X) with μ(E)<∞},μ′(A)=sup⁡E∈B(X)μ(E)<∞μ(A∩E)(A∈Σ′)\begin{aligned} \Sigma'&=\{A\subseteq X:\ A\cap E\in\mathcal B(X) \text{ for every }E\in\mathcal B(X)\text{ with }\mu(E)<\infty\},\\ \mu'(A)&=\sup_{\substack{E\in\mathcal B(X)\\\mu(E)<\infty}}\mu(A\cap E) \qquad(A\in\Sigma') \end{aligned}

と定める。E=XE=Xを取るとΣ′⊆B(X)\Sigma'\subseteq\mathcal B(X)であり、Borel 集合族は交わりで閉じているから逆包含も成り立つ。任意のA∈B(X)A\in\mathcal B(X)に対して、単調性からμ′(A)≤μ(A)\mu'(A)\leq\mu(A)であり、E=XE=Xを取ると逆の不等式を得る。したがってΣ′=B(X)\Sigma'=\mathcal B(X)、μ′=μ\mu'=\muである。

三進 Cantor 集合をC⊆XC\subseteq Xとする。§E2.17 命題 5.5により、CCは閉集合であり、写像

{0,1}N≥0⟶C,a⟼∑j∈N≥02aj3j+1\{0,1\}^{\N}\longrightarrow C,\qquad a\longmapsto\sum_{j\in\N}\frac{2a_j}{3^{j+1}}

は全単射である。n∈N≥1n\in\NNとs∈{0,1}ns\in\{0,1\}^nに対して

rs=∑j<n2sj3j+1,Is=[rs,rs+3−n]r_s=\sum_{j<n}\frac{2s_j}{3^{j+1}},\qquad I_s=[r_s,r_s+3^{-n}]

とおく。三進級数の最初のnn桁より後の和は0以上∑j≥n2/3j+1=3−n\sum_{j\geq n}2/3^{j+1}=3^{-n}以下であるから、C⊆⋃s∈{0,1}nIsC\subseteq\bigcup_{s\in\{0,1\}^n}I_sである。各IsI_sはXXに含まれ、長さが3−n3^{-n}である。§E10.8 命題 2.1 (3)により

0≤μ(C)≤∑s∈{0,1}nμ(Is)=2n3−n=(2/3)n0\leq\mu(C)\leq\sum_{s\in\{0,1\}^n}\mu(I_s) =2^n3^{-n}=(2/3)^n

であるから、μ(C)=0\mu(C)=0である。また、§E1.19 補題 2.2により、∣C∣=2ℵ0=c|C|=2^{\aleph_0}=\mathfrak cである。

H0\mathcal H_0を有理端点開区間全体に空集合を加えた族とする。§E1.17 定理 2.1により、α<ω1\alpha<\omega_1を添字とする集合族を

Hα+1=Hα∪{R∖A:A∈Hα}∪{⋃n∈N≥0An:(An)n∈N≥0∈HαN≥0},Hη=⋃β<ηHβ(0<η<ω1 は極限順序数)\begin{aligned} \mathcal H_{\alpha+1} &=\mathcal H_\alpha\cup\{\R\setminus A:A\in\mathcal H_\alpha\} \cup\left\{\bigcup_{n\in\N}A_n:(A_n)_{n\in\N}\in\mathcal H_\alpha^{\N}\right\},\\ \mathcal H_\eta&=\bigcup_{\beta<\eta}\mathcal H_\beta \qquad(0<\eta<\omega_1\text{ は極限順序数}) \end{aligned}

と定める。各段の値はP(R)\mathcal P(\R)の部分集合であり、§E1.17 定理 2.1 (2)により(Hα)α<ω1(\mathcal H_\alpha)_{\alpha<\omega_1}は集合として存在する。補集合と可算和が Borel 集合を保つことから、§E1.17 定理 1.1により、各Hα\mathcal H_\alphaは Borel 集合だけからなる。同じ帰納法により、α≤β<ω1\alpha\leq\beta<\omega_1ならばHα⊆Hβ\mathcal H_\alpha\subseteq\mathcal H_\betaである。

H=⋃α<ω1Hα\mathcal H=\bigcup_{\alpha<\omega_1}\mathcal H_\alphaとおく。§E1.22 定理 5.1 (5)により、α<ω1\alpha<\omega_1ならばα+1<ω1\alpha+1<\omega_1である。したがってA∈HαA\in\mathcal H_\alphaならばR∖A∈Hα+1⊆H\R\setminus A\in\mathcal H_{\alpha+1}\subseteq\mathcal Hである。列(An)n∈N≥0(A_n)_{n\in\N}の各項がH\mathcal Hに属するとき、An∈HαnA_n\in\mathcal H_{\alpha_n}となる最小の順序数をαn\alpha_nとする。§E1.22 定理 5.1 (2)と§E1.24 定理 2.9 (1)により、β=sup⁡n∈N≥0αn\beta=\sup_{n\in\N}\alpha_nは高々可算である。§E1.22 定理 5.1 (3)によりβ<ω1\beta<\omega_1であり、β+1<ω1\beta+1<\omega_1である。増加性からすべてのAnA_nがHβ\mathcal H_\betaに属するため、⋃nAn∈Hβ+1⊆H\bigcup_n A_n\in\mathcal H_{\beta+1}\subseteq\mathcal Hである。したがってH\mathcal Hは σ-加法族である。§E10.6 補題 5.3により、H\mathcal Hはすべての開集合を含む。各段が Borel 集合だけからなることと合わせると、H=B(R)\mathcal H=\mathcal B(\R)である。

§E1.23 命題 5.2により、c\mathfrak cは非可算基数である。H0\mathcal H_0は可算なので∣H0∣≤c|\mathcal H_0|\leq\mathfrak cである。∣Hα∣≤c|\mathcal H_\alpha|\leq\mathfrak cならば、補集合全体の濃度はc\mathfrak c以下であり、§E1.23 例 5.4により、Hα\mathcal H_\alphaの元の可算列全体の濃度もcℵ0=c\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c以下である。したがって§E1.23 補題 3.7により∣Hα+1∣≤c|\mathcal H_{\alpha+1}|\leq\mathfrak cである。極限段η<ω1\eta<\omega_1では、η\etaは高々可算なので、同じ合併の濃度評価により∣Hη∣≤c|\mathcal H_\eta|\leq\mathfrak cである。超限帰納法から、すべてのα<ω1\alpha<\omega_1で∣Hα∣≤c|\mathcal H_\alpha|\leq\mathfrak cを得る。さらに§E1.22 定理 5.1 (7)によりω1≤c\omega_1\leq\mathfrak cであるから、§E1.23 補題 3.7を全段の合併に適用して

∣B(R)∣=∣H∣≤c|\mathcal B(\R)|=|\mathcal H|\leq\mathfrak c

を得る。

族{X∩B:B∈B(R)}\{X\cap B:B\in\mathcal B(\R)\}はXXの相対開集合をすべて含む σ-加法族であるから、B(X)\mathcal B(X)を含む。一方、{B∈B(R):X∩B∈B(X)}\{B\in\mathcal B(\R):X\cap B\in\mathcal B(X)\}はR\Rの開集合をすべて含む σ-加法族であるから、B(R)\mathcal B(\R)に一致する。したがって

B(X)={X∩B:B∈B(R)},∣B(X)∣≤∣B(R)∣≤c\mathcal B(X)=\{X\cap B:B\in\mathcal B(\R)\},\qquad |\mathcal B(X)|\leq|\mathcal B(\R)|\leq\mathfrak c

である。§E1.19 定理 1.1 (2)により∣P(C)∣>∣C∣=c|\mathcal P(C)|>|C|=\mathfrak cであるから、CCの部分集合NNでN∉B(X)N\notin\mathcal B(X)となるものが存在する。CCは可測な零集合であるがNNは可測でないため、μ\muは完備でない。Σ′=B(X)\Sigma'=\mathcal B(X)、μ′=μ\mu'=\muであるから、完備化をせずに有限測度部分との交わりを用いても、完備な測度にはならない。

3 コンパクト部分による判定と変数変換

補題 3.1.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間、μ\muを Radon 測度とする。B‾μ\overline{\mathcal B}_\muを Borel 集合族の完備化、μ‾\overline\muを完備化された測度、Σloc\Sigma_{\mathrm{loc}}とμloc\mu_{\mathrm{loc}}をその局所化の可測集合族と測度とする。このとき、任意のA⊆XA\subseteq Xについて、A∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}であるための必要十分条件は、すべてのコンパクト集合K⊆XK\subseteq Xに対してA∩K∈B‾μA\cap K\in\overline{\mathcal B}_\muが成り立つことである。また、A∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}に対して

μloc(A)=sup⁡K はコンパクトμ‾(A∩K)\mu_{\mathrm{loc}}(A)=\sup_{K\text{ はコンパクト}}\overline\mu(A\cap K)

が成り立つ。特に、AAが局所化の零集合であるための必要十分条件は、すべてのコンパクト集合KKに対してA∩KA\cap Kが完備化の零集合であることである。

証明.A∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}ならば、コンパクト集合KKは有限測度の Borel 集合であるから、局所化の定義によりA∩K∈B‾μA\cap K\in\overline{\mathcal B}_\muである。

すべてのコンパクト集合KKに対してA∩K∈B‾μA\cap K\in\overline{\mathcal B}_\muと仮定する。有限測度のE∈B‾μE\in\overline{\mathcal B}_\muを取る。命題 1.1により、コンパクト集合Kn⊆EK_n\subseteq Eでμ‾(E∖Kn)<2−n\overline\mu(E\setminus K_n)<2^{-n}を満たすものを取ることができる。

N=E∖⋃n≥1KnN=E\setminus\bigcup_{n\geq1}K_n

は完備可測であり、μ‾(N)=0\overline\mu(N)=0である。完備性によりA∩NA\cap Nも完備可測であるから、

A∩E=(A∩N)∪⋃n≥1(A∩Kn)A\cap E=(A\cap N)\cup\bigcup_{n\geq1}(A\cap K_n)

は完備可測である。したがって定義 2.1によりA∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}である。

各A∩KA\cap Kの測度はμloc(A)\mu_{\mathrm{loc}}(A)以下である。一方、定理 2.2 (4)により、AAに含まれるコンパクト集合の測度の上限はμloc(A)\mu_{\mathrm{loc}}(A)である。K⊆AK\subseteq AならばA∩K=KA\cap K=Kなので、逆の不等式も成り立つ。零性の判定は、この上限表示と可測性の判定から従う。▨

命題 3.2.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間、μ\muを Radon 測度とする。同相写像T:X→XT:X\to Xと連続関数w:X→R>0w:X\to\R_{>0}が、すべての Borel 集合BBに対して

μ(TB)=∫Bw dμ\mu(TB)=\int_Bw\,d\mu

を満たすとする。このときTTは、μ\muの完備化とその局所化のそれぞれについて、可測集合と零集合を双方向に保つ。m=μ‾m=\overline\muまたはm=μlocm=\mu_{\mathrm{loc}}とすると、任意のmm可測集合AAと非負mm可測関数ffに対して

m(TA)=∫Aw dm,∫Xf dm=∫X(f∘T)w dmm(TA)=\int_Aw\,dm,\qquad \int_Xf\,dm=\int_X(f\circ T)w\,dm

が成り立つ。複素数値のmm可測関数ffについて、ffがmm可積分であることと(f∘T)w(f\circ T)wがmm可積分であることは同値であり、その条件の下でも同じ積分公式が成り立つ。

証明. Borel 集合BBについて、w>0w>0と仮定の公式から、μ(TB)=0\mu(TB)=0とμ(B)=0\mu(B)=0は同値である。実際、∫Bw dμ=0\int_Bw\,d\mu=0ならば、各n∈N≥1n\in\NNについて

μ(B∩{w≥1/n})≤n∫Bw dμ=0\mu(B\cap\{w\geq1/n\})\leq n\int_Bw\,d\mu=0

であり、これらの集合の可算和はBBである。逆向きは零集合上の積分が零であることによる。

完備可測集合EEをE△B⊆NE\mathbin\triangle B\subseteq N、B,NB,Nは Borel 集合、μ(N)=0\mu(N)=0と表す。TE△TB⊆TNTE\mathbin\triangle TB\subseteq TNであり、TNTNは Borel 零集合なのでTETEは完備可測である。逆写像についても Borel 集合と Borel 零集合の保存を用いると同じ結論を得る。零集合を除く Borel 集合との一致から

μ‾(TE)=∫Ew dμ‾\overline\mu(TE)=\int_Ew\,d\overline\mu

であり、完備化の零集合の双方向の保存も従う。

AAが局所可測ならば、任意のコンパクト集合KKに対してA∩T−1KA\cap T^{-1}Kは補題 3.1により完備可測である。したがってTA∩K=T(A∩T−1K)TA\cap K=T(A\cap T^{-1}K)も完備可測である。同じ判定からTATAは局所可測であり、T−1T^{-1}についても同じ議論が成り立つ。コンパクト集合がTTで全単射に対応することから

μloc(TA)=sup⁡C はコンパクトμ‾(T(A∩C))=sup⁡C はコンパクト∫A∩Cw dμloc.\mu_{\mathrm{loc}}(TA) =\sup_{C\text{ はコンパクト}}\overline\mu(T(A\cap C)) =\sup_{C\text{ はコンパクト}}\int_{A\cap C}w\,d\mu_{\mathrm{loc}}.

定理 2.2 (4)と§E10.32 補題 3.2により、密度wwを掛けた測度もコンパクト内正則である。ゆえに最後の上限は∫Aw dμloc\int_Aw\,d\mu_{\mathrm{loc}}である。正の密度による積分が零であることと元の測度が零であることは、最初と同じ可算和の議論で同値となる。

いずれのmmについても、集合の公式をA=T−1EA=T^{-1}Eに適用すると

∫X1E dm=∫X(1E∘T)w dm\int_X\mathbf1_E\,dm=\int_X(\mathbf1_E\circ T)w\,dm

を得る。非負単関数から単調収束によって非負可測関数へ延ばす。∣f∣|f|に公式を適用すると可積分性の同値が従い、実部と虚部の正負部分へ適用すれば複素関数の公式を得る。▨

4 有限指数の関数空間と有界近似

補題 4.1.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間、μ\muを Radon 測度とする。μ‾\overline\muをμ\muの完備化、μloc\mu_{\mathrm{loc}}をその局所化とし、1≤p<∞1\leq p<\inftyとする。このとき、完備可測関数を局所可測関数とみなす写像は、等長同型

Lp(μ‾)⟶Lp(μloc)L^p(\overline\mu)\longrightarrow L^p(\mu_{\mathrm{loc}})

を誘導する。特に、Cc(X)C_c(X)の関数の類はLp(μloc)L^p(\mu_{\mathrm{loc}})で稠密である。

証明.定理 2.2 (1)により、局所化は完備可測集合上の測度を変えない。したがって、完備可測関数の積分と零同値関係も変わらず、表示された写像は等長である。

f∈Lp(μloc)f\in L^p(\mu_{\mathrm{loc}})の有限値可測代表元を取り、An={x:∣f(x)∣>1/n}A_n=\{x:|f(x)|>1/n\}とおく。各n≥1n\geq1に対して

μloc(An)≤np∥f∥pp<∞\mu_{\mathrm{loc}}(A_n)\leq n^p\|f\|_p^p<\infty

である。定理 2.2 (4)により、各n,m≥1n,m\geq1に対してコンパクト集合Kn,m⊆AnK_{n,m}\subseteq A_nを

μloc(An∖Kn,m)<1/m\mu_{\mathrm{loc}}(A_n\setminus K_{n,m})<1/m

となるように取る。S=⋃n,m≥1Kn,mS=\bigcup_{n,m\geq1}K_{n,m}とおくと、各n≥1n\geq1についてμloc(An∖S)=0\mu_{\mathrm{loc}}(A_n\setminus S)=0である。したがって、f=0f=0がX∖SX\setminus S上でほとんど至る所成り立つ。

各Kn,mK_{n,m}は有限測度の Borel 集合なので、定理 2.2 (2)によりf∣Kn,mf|_{K_{n,m}}は完備可測である。集合Kn,mK_{n,m}を一列に並べ、先行する集合を差し引けば、SSの可算な完備可測分割を得る。各部分でffに一致し、X∖SX\setminus Sで零となる関数ggは完備可測であり、f=gf=gがμloc\mu_{\mathrm{loc}}に関してほとんど至る所成り立つ。積分の一致からg∈Lp(μ‾)g\in L^p(\overline\mu)であるため、等長写像は全射である。完備化に関する§E10.34 定理 1.2をこの同型で移すと、稠密性を得る。▨

命題 4.2.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間、μ\muを Radon 測度とし、m=μlocm=\mu_{\mathrm{loc}}をその完備化の局所化とする。このとき、f∈L∞(m;C)f\in L^\infty(m;\C)、n∈N≥1n\in\NN、g1,…,gn∈L1(m;C)g_1,\ldots,g_n\in L^1(m;\C)とε>0\varepsilon>0に対して、v∈Cc(X,C)v\in C_c(X,\C)が存在して

∥v∥∞≤∥f∥∞,∣∫X(v−f)gj dm∣<ε(1≤j≤n)\|v\|_\infty\leq\|f\|_\infty,\qquad \left|\int_X(v-f)g_j\,dm\right|<\varepsilon \quad(1\leq j\leq n)

を満たす。左辺の∥v∥∞\|v\|_\inftyは一様ノルムである。

証明.M=∥f∥∞M=\|f\|_\inftyとおく。M=0M=0ならばv=0v=0とすればよい。M>0M>0とし、零集合上の値を変えて∣f∣≤M|f|\leq Mが至る所で成り立つ代表元を取る。補題 4.1により、各jjについて

hj∈Cc(X,C),∥gj−hj∥1<ε4Mh_j\in C_c(X,\C),\qquad \|g_j-h_j\|_1<\frac{\varepsilon}{4M}

となるhjh_jを取る。K=⋃j=1nsupp⁡hjK=\bigcup_{j=1}^n\supp h_j、A=max⁡j∥hj∥∞A=\max_j\|h_j\|_\inftyとおく。m(K)<∞m(K)<\inftyなのでf1K∈L1(m)f\mathbf1_K\in L^1(m)である。同じ稠密性から

u∈Cc(X,C),∥u−f1K∥1<ε4(A+1)u\in C_c(X,\C),\qquad \|u-f\mathbf1_K\|_1<\frac{\varepsilon}{4(A+1)}

を満たすuuを取る。

複素平面の半径MMの閉円板への動径縮約を

PM(z)={z,∣z∣≤M,Mz/∣z∣,∣z∣>MP_M(z)=\begin{cases}z,&|z|\leq M,\\Mz/|z|,&|z|>M\end{cases}

と定め、v=PM∘uv=P_M\circ uとおく。PMP_Mは連続でPM(0)=0P_M(0)=0なのでv∈Cc(X,C)v\in C_c(X,\C)であり、∥v∥∞≤M\|v\|_\infty\leq Mである。∣z0∣≤M|z_0|\leq Mならば

∣PM(z)−z0∣≤∣PM(z)−z∣+∣z−z0∣≤2∣z−z0∣|P_M(z)-z_0|\leq|P_M(z)-z|+|z-z_0|\leq2|z-z_0|

である。最後の評価では、∣z∣>M|z|>Mのとき∣PM(z)−z∣=∣z∣−M≤∣z−z0∣|P_M(z)-z|=|z|-M\leq|z-z_0|を用いた。したがって

∫K∣v−f∣ dm≤2∥u−f1K∥1<ε2(A+1).\int_K|v-f|\,dm\leq2\|u-f\mathbf1_K\|_1<\frac{\varepsilon}{2(A+1)}.

各jjに対して

∣∫X(v−f)gj dm∣≤2M∥gj−hj∥1+∥hj∥∞∫K∣v−f∣ dm<ε\left|\int_X(v-f)g_j\,dm\right| \leq2M\|g_j-h_j\|_1+\|h_j\|_\infty\int_K|v-f|\,dm <\varepsilon

となり、すべての近似を同じvvで得る。▨

5 自己支持集合

補題 5.1.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間とする。Σ\SigmaがB(X)\mathcal B(X)を含み、mmがΣ\Sigma上の正測度であって、すべてのΣ\Sigma可測集合でコンパクト内正則であるとする。このとき、空でない上向き有向な開集合族G\mathcal GとE∈ΣE\in\Sigmaに対して

m(E∩⋃G∈GG)=sup⁡G∈Gm(E∩G)m\left(E\cap\bigcup_{G\in\mathcal G}G\right)=\sup_{G\in\mathcal G}m(E\cap G)

が成り立つ。上向き有向とは、任意のG1,G2∈GG_1,G_2\in\mathcal GがあるG3∈GG_3\in\mathcal Gに含まれることである。

証明. コンパクト集合K⊆E∩⋃GK\subseteq E\cap\bigcup\mathcal Gは有限個のG\mathcal Gの元で覆われる。有向性により、その有限個の開集合をすべて含むG∈GG\in\mathcal Gが存在する。したがってm(K)≤m(E∩G)m(K)\leq m(E\cap G)である。E∩⋃GE\cap\bigcup\mathcal Gに含まれるコンパクト集合KKに対するm(K)m(K)の上限を取ると、コンパクト内正則性から一方の不等式が従う。逆向きは測度の単調性による。▨

定義 5.2.XXを位相空間、Σ\SigmaをB(X)\mathcal B(X)を含む σ-加法族、mmをΣ\Sigma上の正測度とする。集合F∈ΣF\in\Sigmaが 自己支持 (self-supporting set) であるとは、任意の開集合G⊆XG\subseteq Xについて

G∩F≠∅⟹m(G∩F)>0G\cap F\ne\emptyset\quad\Longrightarrow\quad m(G\cap F)>0

となることをいう。

補題 5.3.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間、μ\muを Radon 測度とし、m=μlocm=\mu_{\mathrm{loc}}とする。このとき、E∈ΣlocE\in\Sigma_{\mathrm{loc}}が0<m(E)<∞0<m(E)<\inftyを満たすならば、自己支持集合F⊆EF\subseteq Eが存在してm(E∖F)=0m(E\setminus F)=0を満たす。

証明.G={G⊆X:G は開集合, m(E∩G)=0}\mathcal G=\{G\subseteq X:G\text{ は開集合},\ m(E\cap G)=0\}とおく。したがって、空集合がG\mathcal Gに属し、G\mathcal Gは有限和で閉じている。定理 2.2 (4)と補題 5.1により、O=⋃GO=\bigcup\mathcal Gに対してm(E∩O)=0m(E\cap O)=0である。F=E∖OF=E\setminus Oとおく。

開集合HHがFFと交わるならば、H∈GH\in\mathcal Gではない。したがってm(E∩H)>0m(E\cap H)>0である。E∖FE\setminus Fは零集合であるからm(F∩H)=m(E∩H)>0m(F\cap H)=m(E\cap H)>0である。ゆえにFFは自己支持であり、m(E∖F)=0m(E\setminus F)=0である。▨

補題 5.4.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間、μ\muを Radon 測度とし、m=μlocm=\mu_{\mathrm{loc}}とする。このとき、有限測度のE∈ΣlocE\in\Sigma_{\mathrm{loc}}に対して、有限測度の開集合列(Gn)n∈N≥1(G_n)_{n\in\NN}が存在して

m(E∖⋃nGn)=0m\left(E\setminus\bigcup_nG_n\right)=0

を満たす。さらにm(E)>0m(E)>0ならば、有限測度の開集合GGでm(E∩G)>0m(E\cap G)>0を満たすものが存在する。

証明.定理 2.2 (4)により、コンパクト集合Kn⊆EK_n\subseteq Eでm(E∖Kn)<2−nm(E\setminus K_n)<2^{-n}を満たすものを取る。§E10.32 補題 1.2により、各KnK_nを含むコンパクトな閉包をもつ開集合GnG_nが存在する。したがって、各GnG_nの測度は有限である。また、任意のnnについてm(E∖⋃jGj)≤m(E∖Kn)<2−nm(E\setminus\bigcup_jG_j)\leq m(E\setminus K_n)<2^{-n}であるから、m(E∖⋃jGj)=0m(E\setminus\bigcup_jG_j)=0である。m(E)>0m(E)>0の場合には、m(E∩Gn)=0m(E\cap G_n)=0がすべてのnnで成り立つと、可算劣加法性によりm(E)=0m(E)=0となる。したがってあるGnG_nが正の交わりをもつ。▨

例 5.5.λ\lambdaを実直線上の完備 Lebesgue 測度とする。E=[0,1]∪{2}E=[0,1]\cup\{2\}とおく。このとき、§E10.9 系 9.2と§E10.8 定理 7.4 (2)により、任意のa∈Ra\in\Rに対してλ({a})=0\lambda(\{a\})=0であり、任意の有界区間の測度は端点を含むか否かによらずその長さに等しい。

開集合GGが[0,1][0,1]と交わるならば、あるx∈G∩[0,1]x\in G\cap[0,1]とδ>0\delta>0が(x−δ,x+δ)⊆G(x-\delta,x+\delta)\subseteq Gを満たす。このとき

λ(G∩[0,1])≥min⁡(1,x+δ)−max⁡(0,x−δ)>0\lambda(G\cap[0,1])\geq \min(1,x+\delta)-\max(0,x-\delta)>0

である。よってF=[0,1]F=[0,1]は自己支持であり、λ(E∖F)=λ({2})=0\lambda(E\setminus F)=\lambda(\{2\})=0である。一方、G=(3/2,5/2)G=(3/2,5/2)はEEと交わるがλ(G∩E)=0\lambda(G\cap E)=0であるから、EEは自己支持でない。

n∈Zn\in\Zに対してFn=[n,n+1)F_n=[n,n+1)とおく。各成分は Borel 集合であり、λ(Fn)=1\lambda(F_n)=1である。開集合GGとx∈G∩Fnx\in G\cap F_nに対して、0<δ<n+1−x0<\delta<n+1-xかつ[x,x+δ)⊆G[x,x+\delta)\subseteq Gとなるδ\deltaを取ると、λ(G∩Fn)≥δ>0\lambda(G\cap F_n)\geq\delta>0である。したがって各FnF_nは自己支持である。成分は互いに交わらず、R=⨆n∈ZFn\R=\bigsqcup_{n\in\Z}F_nである。任意のJ⊆ZJ\subseteq\Zに対して、⋃n∈JFn\bigcup_{n\in J}F_nは Borel 集合であり、

λ(⋃n∈JFn)=∑n∈J1={∣J∣J が有限のとき,∞J が無限のとき\lambda\left(\bigcup_{n\in J}F_n\right)=\sum_{n\in J}1 =\begin{cases}|J|&J\text{ が有限のとき},\\ \infty&J\text{ が無限のとき}\end{cases}

である。また、任意のA⊆RA\subseteq\Rについて、すべてのA∩FnA\cap F_nが Lebesgue 可測ならば、A=⋃n∈Z(A∩Fn)A=\bigcup_{n\in\Z}(A\cap F_n)も Lebesgue 可測である。逆向きは可測集合族が交わりで閉じていることによる。可測なAAに対して、可算加法性から

λ(A)=∑n∈Zλ(A∩Fn)\lambda(A)=\sum_{n\in\Z}\lambda(A\cap F_n)

である。したがって、零測度の残部を空集合とするこの分解は、厳密局所化可能性の条件を満たす。

6 厳密局所化可能性

定理 6.1.XXを局所コンパクト Hausdorff 空間、μ\muを Radon 測度とする。このとき、完備化の局所化μloc\mu_{\mathrm{loc}}は厳密局所化可能である。すなわち、Σloc\Sigma_{\mathrm{loc}}可測な分解

X=N⊔⨆i∈IFi,μloc(N)=0,0<μloc(Fi)<∞X=N\sqcup\bigsqcup_{i\in I}F_i,\qquad \mu_{\mathrm{loc}}(N)=0,\qquad0<\mu_{\mathrm{loc}}(F_i)<\infty

が存在し、各FiF_iは自己支持である。任意のA⊆XA\subseteq Xについて、A∈ΣlocA\in\Sigma_{\mathrm{loc}}であるための必要十分条件は、すべてのi∈Ii\in IでA∩Fi∈ΣlocA\cap F_i\in\Sigma_{\mathrm{loc}}となることである。可測なAAに対して

μloc(A)=∑i∈Iμloc(A∩Fi)\mu_{\mathrm{loc}}(A)=\sum_{i\in I}\mu_{\mathrm{loc}}(A\cap F_i)

である。右辺は有限部分和の上限を意味する。

証明.m=μlocm=\mu_{\mathrm{loc}}とおく。正の有限測度をもつ自己支持集合の、互いに交わらない族全体を包含関係で順序付ける。したがって、空の族がこの順序集合に属する。任意の鎖の和は再び互いに交わらない族であり、鎖の上界である。Zorn の補題§E1.20 定理 2.1 (3)により極大な族(Fi)i∈I(F_i)_{i\in I}が存在する。

主張 6.1.1. 任意のE∈ΣlocE\in\Sigma_{\mathrm{loc}}、m(E)>0m(E)>0に対して、あるi∈Ii\in Iがm(E∩Fi)>0m(E\cap F_i)>0を満たす。

証明. すべてのiiでm(E∩Fi)=0m(E\cap F_i)=0と仮定する。半有限性により、EEをその正の有限測度部分に替える。補題 5.4により、有限測度の開集合GGでm(E∩G)>0m(E\cap G)>0となるものを取る。

JG={i:G∩Fi≠∅}J_G=\{i:G\cap F_i\ne\emptyset\}とおく。自己支持性により各i∈JGi\in J_Gでm(G∩Fi)>0m(G\cap F_i)>0である。交わりは互いに交わらず、m(G)<∞m(G)<\inftyである。任意のk∈N≥1k\in\NNについてm(G∩Fi)≥1/km(G\cap F_i)\geq1/kを満たす添字は有限個であるから、JGJ_Gは高々可算である。したがって

E′=E∩G∖⋃i∈JGFiE'=E\cap G\setminus\bigcup_{i\in J_G}F_i

は可測であり、仮定と可算加法性からm(E′)=m(E∩G)>0m(E')=m(E\cap G)>0である。補題 5.3により、E′E'は正の有限測度をもつ自己支持部分集合F′F'を含む。したがって、F′F'はJGJ_Gの各FiF_iと交わらず、GGと交わらない残りのFiF_iとも交わらない。ゆえにF′F'を極大族に加えることができ、極大性に反する。▨

N=X∖⋃iFiN=X\setminus\bigcup_iF_iとおく。有限測度の開集合GGに対して、自己支持性と、有限測度空間の互いに交わらない正測度集合族の可算性により、JGJ_Gは高々可算である。したがって

N∩G=G∖⋃i∈JGFiN\cap G=G\setminus\bigcup_{i\in J_G}F_i

は可測である。正測度をもつならば主張 6.1.1に反するため、m(N∩G)=0m(N\cap G)=0である。

任意の有限測度のE∈ΣlocE\in\Sigma_{\mathrm{loc}}を取る。補題 5.4の開集合列GnG_nにより、N∩EN\cap Eは、可測な零集合の可算和⋃n(N∩E∩Gn)\bigcup_n(N\cap E\cap G_n)と、可測な零集合E∖⋃nGnE\setminus\bigcup_nG_nの部分集合の和である。完備性からN∩EN\cap Eは可測な零集合である。局所的決定性によりNNは可測であり、半有限性によりm(N)=0m(N)=0である。

A⊆XA\subseteq Xがすべてのiiに対してA∩Fi∈ΣlocA\cap F_i\in\Sigma_{\mathrm{loc}}を満たすとする。有限測度の開集合GG上では

A∩G=(A∩N∩G)∪⋃i∈JG(A∩Fi∩G)A\cap G=(A\cap N\cap G)\cup\bigcup_{i\in J_G}(A\cap F_i\cap G)

である。第一項は可測な零集合の部分集合、第二項は可測集合の可算和であるから、A∩GA\cap Gは可測である。任意の有限測度のE∈ΣlocE\in\Sigma_{\mathrm{loc}}に、有限測度の開集合列の補題を適用する。得られる開集合列の和の外でEEは零集合となるので、完備性と可算和に対する閉性からA∩EA\cap Eも可測である。局所的決定性からAAは可測である。逆向きは σ-加法族が交わりで閉じていることによる。

可測なAAと有限測度の可測集合EEに対して、有限測度の開集合列の補題で得た(Gn)(G_n)を取る。各GnG_nと交わるFiF_iは高々可算個であるから、⋃nGn\bigcup_nG_nと交わるFiF_iも高々可算個である。残るEEの部分は零集合に含まれるから、可算加法性により

m(A∩E)≤∑i∈Im(A∩Fi).m(A\cap E)\leq\sum_{i\in I}m(A\cap F_i).

有限測度の可測集合EEに対するm(A∩E)m(A\cap E)の上限を取ると、半有限性からm(A)m(A)は右辺以下である。逆に、任意の有限集合J⊆IJ\subseteq Iに対してm(A)≥∑i∈Jm(A∩Fi)m(A)\geq\sum_{i\in J}m(A\cap F_i)である。有限集合J⊆IJ\subseteq Iに対する∑i∈Jm(A∩Fi)\sum_{i\in J}m(A\cap F_i)の上限を取れば、測度の公式が従う。完備性によりA∩NA\cap Nは任意のAAについて可測であるから、この分解は§E10.29 定義 2.1 (5)の条件を満たす。▨

前提記事