§E10.48Banach 空間値の Sobolev 空間

証明.$\|f(t-h)\|_X^p$の積分に平行移動不変性を適用すると、$\|\tau_hf\|_p=\|f\|_p$となる。可積分単関数$s=\sum_{j=1}^m x_j\mathbf1_{E_j}$の各非零レベル集合$E_j$は有限測度をもつから、§E10.47 命題 3.1により

§E10.25 定理 3.1と

から、一般の$f$についても平行移動の連続性を得る。

§E10.18 命題 6.1により、$f$の強 Borel 可測代表元を選ぶ。Hölder の不等式§E10.22 定理 4.2により$f$は局所的にノルム可積分である。各核の台がコンパクトであるから、畳み込みの積分は存在する。$t$を有界区間に制限すると、十分小さい$h\neq0$に対して

となる共通のコンパクト区間$K$がある。右辺と$\|f(s)\|_X$の積は可積分である。§E10.18 定理 5.1により差商と積分を交換すると、導関数の公式を得る。各導関数の連続性も、同じコンパクト区間上での優収束により従う。

$1\leq p<\infty$とする。積分ノルム評価§E10.18 命題 4.3と確率測度$\rho_\varepsilon(y)\,dy$に関する Hölder の不等式により、

強 Borel 可測代表元を選んだので、右辺の被積分関数は二変数について可測である。§E10.19 定理 2.3と平行移動不変性により、$\|f_\varepsilon\|_p^p\leq\|f\|_p^p$となる。差についても同じ評価を適用すると、

$p=\infty$の場合は、各$t$に対して$\|f(t-y)\|_X\leq\|f\|_\infty$がほとんどすべての$y$で成り立つので、積分ノルム評価から$\|f_\varepsilon(t)\|_X\leq\|f\|_\infty$を得る。▨

証明.§E10.25 定理 3.1により、可積分単関数列$(s_n)$を、$s_n(t)\to g(t)$がほとんど至る所で成り立つように選ぶ。$e_n(t)=\|g(t)-s_n(t)\|_X$は可積分である。可算個の関数$e_n$と、各$s_n$の有限個のレベル集合の指示関数へ§E10.45 定理 3.2を適用する。これらの例外零集合と、$s_n(t)\to g(t)$が成り立たない零集合を合わせて$N$とする。

$t\in I\setminus N$を固定する。単関数の有限和表示と各指示関数の Lebesgue 点の性質により、各$n$について

三角不等式と$e_n$の Lebesgue 点の性質から

$n\to\infty$とすると右辺は$0$に収束する。積分ノルム評価により、$t+h\in I$かつ$h\neq0$に対して

となり、微分の等式を得る。

$\eta>0$をとる。$\|g\|_X$の可積分性により、$M>0$を$\int_{\{\|g\|_X>M\}}\|g\|_X<\eta/2$となるように選ぶ。測度が$\eta/(2M)$未満の可測集合$E\subseteq I$について

互いに素な区間$(s_j,t_j)$の和を$E$とすれば、$\sum_j\|G(t_j)-G(s_j)\|_X\leq\int_E\|g\|_X$であるから、$G$は絶対連続である。▨

証明.$a<c<d<b$をとり、$[c,d]$を内部に含み閉包が$I$に含まれる開区間$J$を選ぶ。$f|_J$を$\R$へ零延長した関数を$F$とする。$F\in L^1(\R;X)$である。$\rho_\varepsilon$を命題 1.1の核とし、$\varepsilon$を$[c,d]$と$\R\setminus J$の距離より小さくとる。$t\in[c,d]$では$s\mapsto\rho_\varepsilon(t-s)$が$I$上の試験関数であるから、

命題 1.1の$L^1$収束により、$f=0$が$(c,d)$上でほとんど至る所成り立つ。$I$を可算個のこのような内部区間で覆えば、$I$全体で結論を得る。二つの弱微分の差にこの結論を適用すると、一意性が従う。▨

証明.$D=\{(u,g)\in L^p(I;X)^2:g\text{ は }u\text{ の弱微分}\}$とおく。積分の線形性により$D$は線形部分空間である。$(u_n,g_n)\in D$が積空間で$(u,g)$に収束するとき、共役指数を$q$とすれば、各$\varphi\in C_c^\infty(I)$について§E10.22 定理 4.2により

したがって$(u,g)\in D$であり、$D$は閉じている。§E10.25 定理 2.1により積空間は完備であるから、$D$も完備である。補題 3.2により$u\mapsto(u,u')$は$W^{1,p}(I;X)$から$D$への線形全単射であり、和ノルムについて等長である。

$X=H$と$p=2$の場合、§E10.25 定理 5.1により$L^2(I;H)$は積分内積に関して Hilbert 空間である。上の閉部分空間$D$に積内積を制限し、$u\mapsto(u,u')$で引き戻すと、表示された$H^1$内積を得る。非負数$A,B$に関する$\sqrt{A^2+B^2}\leq A+B\leq\sqrt2\sqrt{A^2+B^2}$を適用すると、二つのノルムの評価が従う。▨

証明.$a<c<d<b$をとり、$[c,d]\subset J\subset\overline J\subset I$となる開区間$J$を選ぶ。$w|_J$の零延長を$W$とし、$w_\varepsilon=\rho_\varepsilon*W$とおく。十分小さい$\varepsilon>0$と$t\in[c,d]$に対し、$s\mapsto\rho_\varepsilon(t-s)$は$I$内に台をもつから、命題 1.1と仮定により

§E10.18 補題 7.1を滑らかな曲線$w_\varepsilon|_{[c,d]}$に適用すると、$x_\varepsilon\in X$が存在して$w_\varepsilon(t)=x_\varepsilon$となる。

$\varepsilon_n\downarrow0$をとる。命題 1.1により$w_{\varepsilon_n}\to w$が$L^1((c,d);X)$で成り立つから、

$X$の完備性から$x_{\varepsilon_n}\to x_{c,d}\in X$であり、$w=x_{c,d}$が$(c,d)$上でほとんど至る所成り立つ。$I$を増加する内部区間$(c_n,d_n)$の可算和として表すと、隣り合う区間の共通部分は正の長さをもつため、対応する定数は一致する。したがって$w$は$I$上でほとんど至る所一つの定数に等しい。▨

証明.$g\in L^p(I;X)$と$x_0\in X$をとり、$v(t)=x_0+\int_a^t g(s)\,ds$とおく。有限区間上の Hölder の不等式により$g\in L^1(I;X)$であり、$v$は有界なので$v\in L^p(I;X)$である。$\varphi\in C_c^\infty(I)$に対して、$(s,t)\mapsto\mathbf1_{\{a<s<t<b\}}g(s)\varphi'(t)$は積可測単関数の点ごとの極限として強可測であり、そのノルム積分は$(b-a)\|\varphi'\|_\infty\|g\|_1$以下である。§E10.20 定理 2.1により

定数項の積分は$x_0(\varphi(b)-\varphi(a))=0$である。したがって$v$の弱微分は$g$であり、(2)$\Rightarrow$(1)を得る。

$u\in W^{1,p}(I;X)$とし、$g=u'$とおく。直前の積分計算により$G(t)=\int_a^t g(s)\,ds$の弱微分も$g$であるから、$u-G$の弱微分は零である。補題 4.1により、$x_0\in X$が存在して$u-G=x_0$がほとんど至る所で成り立つ。これで(1)$\Rightarrow$(2)は示された。

定理 2.2により$\widetilde u$は絶対連続であり、ほとんど至る所で$\widetilde u'=g$となる。連続な二つの代表の差が一点で零でなければ、その点の相対近傍でノルムが正となり、ほとんど至る所で一致することに反する。したがって閉区間上の連続代表は一意である。積分表示に$t=a$を代入すると$x_0=\widetilde u(a)$を得る。▨

証明.定理 4.2の$t$と$s$における表示を引くと、増分の積分表示を得る。任意の$t,s\in[a,b]$に対して$\|u(t)\|_X\leq\|u(s)\|_X+\|u'\|_1$であるから、$s$について平均して§E10.22 定理 4.2を適用すると

となる。

$g=u'$、$h=\varphi'$、$u_0=u(a)$、$\varphi_0=\varphi(a)$とおき、

とする。積分表示により$u=u_0+U$、$\varphi=\varphi_0+A$である。固定した$t\in[a,b]$について、正方形$(a,t)^2$上の関数$(r,s)\mapsto h(r)g(s)$は強可測であり、ノルム積分は$\|h\|_1\|g\|_1$以下である。§E10.20 定理 2.1により、零測度の対角線を除いて正方形を二つの三角形に分けると、

したがって積を展開すると、

$u$と$\varphi$は閉区間上で連続であり有界であるから、被積分関数は$L^p(I;X)$に属する。定理 4.2により積の弱微分の公式を得る。$t$と$s$における最後の等式を引いて整理すると、部分積分の公式が従う。▨

証明.$u\in W^{1,p}(I;X)$をとり、$g=u'$の$\R$への零延長を$G$とする。命題 1.1により$g_n=\rho_{1/n}*G\in C^\infty(\R;X)$は$g$に$L^p(I;X)$で収束する。$u$の連続代表の左端の値を用いて

とおく。ただし$t<a$のとき$\int_a^t=-\int_t^a$とする。§E10.18 補題 7.3 (2)により$u_n'=g_n$であり、$u_n\in C^\infty(\R;X)$である。定理 4.2により、この導関数は$I$上の弱微分でもある。$L=b-a$とすると、同じ積分表示と Hölder の不等式により

したがって$\|u_n-u\|_{W^{1,p}}\to0$である。▨

証明.$u(t)=x+\int_a^t0\,ds$に定理 4.2を適用すると、$u\in W^{1,p}((a,b);X)$である。零延長が$W^{1,p}((c,d);X)$に属すると仮定すると、同定理によって連続代表$V$をもつ。連続性とほとんど至る所での一致から、$V=0$は$(c,a)$の全点で、$V=x$は$(a,d)$の全点で成り立つ。$a$での連続性から$V(a)=0=x$となり、$x\neq0$に反する。▨

証明.$g(t)=-1$を$t<c$で、$g(t)=1$を$t>c$で定める。$u(t)=u(a)+\int_a^t g(s)\,ds$であるから、定理 4.2により$u\in W^{1,\infty}$かつ$u'=g$である。$v$が$[a,b]$の近傍で滑らかであり、$\|v'-g\|_\infty<1$であると仮定する。$q<1$が存在して$|v'(t)+1|\leq q$が$(a,c)$上で、$|v'(t)-1|\leq q$が$(c,b)$上でほとんど至る所成り立つ。$v'$の連続性により、それぞれの不等式は各開区間の全点で成り立ち、$t\to c$とすると

を得る。この二つは両立しないので、すべての滑らかな$v$に対して$\|v'-u'\|_\infty\geq1$である。▨

証明.$u(t)=\int_0^t x\,ds$に定理 4.2を適用すると、弱微分と端点値を得る。$\|u(t)\|_X=t\|x\|_X$を積分すると、各ノルムの公式が従う。$\varphi(t)=t$として定理 5.1の部分積分公式を端点項について整理すると、

となる。▨

証明.$0\leq s<t\leq1$に対して$u(t)-u(s)=\mathbf1_{(s,t)}$が$L^1$の元として成り立つので、そのノルムは$t-s$である。互いに素な区間の増分ノルムの和は長さの和に等しいため、絶対連続性も従う。

$t\in(0,1)$を固定し、$0<h<1-t$とすると、差商は

である。$h\downarrow0$のとき$q_h$が$q\in L^1((0,1);\R)$へ収束すると仮定する。任意の$\delta>0$に対し、$h<\delta$ならば$q_h$は$(0,1)\setminus(t,t+\delta)$上で零である。したがって$L^1$収束から

$\delta\downarrow0$を可算列に沿ってとると、$q=0$がほとんど至る所で成り立つ。一方、ノルムの連続性から$\|q\|_1=\lim_{h\downarrow0}\|q_h\|_1=1$であり、矛盾する。

$u$は連続なので強可測であり、$\|u(t)\|_X=t\leq1$であるから$u\in L^1((0,1);X)$である。$u\in W^{1,1}((0,1);X)$と仮定すると、定理 4.2の一意の連続代表は$u$に一致し、ほとんど至る所でノルム微分をもつ。どの内点にも微分が存在しないことと矛盾する。▨