条件付き測度 | 測度と積分

定義 1.1. $S$ を標準 Borel 空間、 $\mu$ を $(S,\mathcal B(S))$ 上の確率測度とし、 $\mathcal G\subseteq\mathcal B(S)$ を部分 σ-加法族とする。 $(S,\mathcal G)$ から $(S,\mathcal B(S))$ への確率核 $K$ が、任意の $A\in\mathcal B(S)$ と $G\in\mathcal G$ に対して

\mu(A\cap G)=\int_G K(s,A)\,d\mu(s)

を満たすとき、 $K$ を $\mathcal G$ に関する $\mu$ の正則条件付き分布 (regular conditional distribution) という。各 $s\in S$ に対応する確率測度 $K(s,\cdot)$ を条件付き測度 (conditional measure) という。

定義 1.2. $S,T$ を標準 Borel 空間、 $\mu$ を $(S,\mathcal B(S))$ 上の確率測度とし、 $\phi:S\to T$ を可測写像とする。像測度 $\nu=\phi_*\mu$ に対して、 $(T,\mathcal B(T))$ から $(S,\mathcal B(S))$ への確率核 $k$ が、任意の $A\in\mathcal B(S)$ と $B\in\mathcal B(T)$ について

\mu(A\cap\phi^{-1}(B))=\int_B k(t,A)\,d\nu(t)

を満たすとき、 $k$ を $\phi$ に関する $\mu$ の正則条件付き分布 (regular conditional distribution given a measurable map) という。

補題 2.1. $(\Omega,\mathcal F,P)$ を全質量が $1$ の測度空間、 $(U,\mathcal H)$ を可測空間とし、 $X:\Omega\to\R$ と $Y:\Omega\to U$ を可測写像とする。 $\nu=Y_*P$ と置く。このとき、 $(U,\mathcal H)$ から $(\R,\mathcal B(\R))$ への確率核 $Q$ で、任意の $A\in\mathcal B(\R)$ と $B\in\mathcal H$ に対して

P(X^{-1}(A)\cap Y^{-1}(B))=\int_B Q(u,A)\,d\nu(u)

を満たすものが存在する。

証明. 各 $q\in\Q$ に対して、 $(U,\mathcal H)$ 上の有限正測度を

\rho_q(B)=P(\{X\leq q\}\cap Y^{-1}(B)) \qquad(B\in\mathcal H)

と定める。 $\rho_q\leq\nu$ であるから、§E10.14 定理 1.3により非負可測関数 $g_q$ が存在して、

\rho_q(B)=\int_B g_q\,d\nu \qquad(B\in\mathcal H)

である。 $D_m=\{g_q\geq1+1/m\}$ に対して

(1+1/m)\nu(D_m)\leq\rho_q(D_m)\leq\nu(D_m)<\infty

であるから、 $\nu(D_m)=0$ である。したがって $g_q$ を $\min(g_q,1)$ に置き換え、全点で $0\leq g_q\leq1$ とすることができる。

$q<r$ ならば $\rho_q\leq\rho_r$ である。 $D=\{g_q\geq g_r+1/m\}$ 上で積分すると

\int_D g_r\,d\nu+\nu(D)/m \leq\rho_q(D)\leq\rho_r(D)=\int_D g_r\,d\nu

となり、 $\nu(D)=0$ を得る。 $m$ 、 $q$ 、 $r$ は可算個であるから、ある $N_0\in\mathcal H$ が存在して、 $\nu(N_0)=0$ であり、 $U\setminus N_0$ 上で全ての $q<r$ に対して $g_q\leq g_r$ が成り立つ。 $N_0$ 上では全ての $g_q$ を $\mathbf1_{[0,\infty)}(q)$ に置き換える。変更後も積分表示と可測性は保たれ、単調性は全点で成り立つ。

関数列 $g_n$ 、 $g_{-n}$ 、 $g_{q+1/n}$ は単調かつ有界である。§E10.11 定理 3.1を各 $B\in\mathcal H$ 上で適用し、§E10.8 定理 4.1を対応する集合列に適用すると、

\begin{aligned} \int_B\lim_{n\to\infty}g_n\,d\nu&=\nu(B),\\ \int_B\lim_{n\to\infty}g_{-n}\,d\nu&=0,\\ \int_B\lim_{n\to\infty}g_{q+1/n}\,d\nu&=\rho_q(B) \qquad(q\in\Q) \end{aligned}

を得る。§E10.14 定理 3.1により、これらの極限はそれぞれ $1$ 、 $0$ 、 $g_q$ に $\nu$ に関してほとんど至る所で等しい。 $q\in\Q$ は可算個であるから、いずれかの等式が成り立たない点を一つの可測零集合 $N_1$ に含めることができる。 $N_1$ 上で再び $g_q=\mathbf1_{[0,\infty)}(q)$ と定める。各 $u\in U$ に対して、全ての $q<r$ について $g_q(u)\leq g_r(u)$ であり、

\lim_{n\to\infty}g_n(u)=1,\qquad \lim_{n\to\infty}g_{-n}(u)=0,\qquad \lim_{n\to\infty}g_{q+1/n}(u)=g_q(u) \quad(q\in\Q)

が成り立つ。

各 $u\in U$ に対して、

F_u(x)=\inf_{\substack{q\in\Q\\q>x}}g_q(u) \qquad(x\in\R)

と定める。 $F_u$ は $[0,1]$ に値を取る単調非減少関数であり、 $q\in\Q$ に対して $F_u(q)=g_q(u)$ である。実際、単調性から $g_q(u)\leq F_u(q)$ であり、全ての $n\in\NN$ に対して $F_u(q)\leq g_{q+1/n}(u)$ であるから、極限を取ると逆向きの不等式を得る。整数での値の極限から

\lim_{x\to-\infty}F_u(x)=0,\qquad \lim_{x\to\infty}F_u(x)=1

である。また、 $x_j\downarrow x$ とする。任意の有理数 $q>x$ について、十分大きい $j$ では $x_j<q$ なので $F_u(x_j)\leq g_q(u)$ である。 $q$ について下限を取ると $\lim_jF_u(x_j)\leq F_u(x)$ となる。逆向きの不等式は単調性から従うので、 $F_u$ は右連続である。

§E10.9 定理 9.1により、 $\R$ 上の Borel 測度 $Q_u$ が存在して

Q_u((a,b])=F_u(b)-F_u(a) \qquad(a<b)

を満たす。 $(-n,n]\uparrow\R$ であるから $Q_u(\R)=1$ である。また、固定した $x\in\R$ に対して $(-n,x]\uparrow(-\infty,x]$ であるので、

Q_u((-\infty,x])=F_u(x)

を得る。 $Q(u,A)=Q_u(A)$ と置くと、各 $q\in\Q$ について $Q(u,(-\infty,q])=g_q(u)$ である。

$\mathcal D$ を、 $u\mapsto Q(u,A)$ が $\mathcal H$ 可測であり、全ての $B\in\mathcal H$ に対して補題の積分表示が成り立つ $A\in\mathcal B(\R)$ の全体とする。 $Q_u(\R)=1$ であるから $\R\in\mathcal D$ である。 $A\in\mathcal D$ ならば $Q(u,\R\setminus A)=1-Q(u,A)$ であり、積分表示を全空間の等式から引くことで $\R\setminus A\in\mathcal D$ を得る。二つずつ交わらない集合列 $A_j\in\mathcal D$ に対しては

Q\left(u,\bigcup_jA_j\right)=\sum_jQ(u,A_j)

である。右辺は可測であり、§E10.11 定理 1.1と $P$ の可算加法性から、和集合についても積分表示が成り立つ。したがって $\mathcal D$ は Dynkin 系である。有理数 $q$ を端点とする半直線 $(-\infty,q]$ は $\mathcal D$ に属し、π 系をなす。任意の実数 $x$ について $(-\infty,x]=\bigcap_{q\in\Q,\ q>x}(-\infty,q]$ であるから、§E10.6 命題 5.4により、この π 系は $\mathcal B(\R)$ を生成する。§E10.9 定理 1.8により $\mathcal D=\mathcal B(\R)$ であり、 $Q$ は求める確率核である。▨

定理 3.1. $S$ を標準 Borel 空間、 $\mu$ を $(S,\mathcal B(S))$ 上の確率測度とする。

このとき、次が成り立つ。

任意の部分 σ-加法族 $\mathcal G\subseteq\mathcal B(S)$ に関して、 $\mu$ の正則条件付き分布が存在する。
任意の標準 Borel 空間 $T$ と可測写像 $\phi:S\to T$ に関して、 $\mu$ の正則条件付き分布が存在する。

証明. $\mu(S)=1$ であるから $S\neq\emptyset$ である。§E10.38 定理 4.1により、ある非空の Borel 集合 $E\subseteq\R$ への可測同型 $h:S\to E$ が存在する。実際、 $S$ が非可算ならば $E=\R$ とすることができ、 $S$ が高々可算ならば $\mathcal B(S)=\mathcal P(S)$ であるので、 $\NN$ の部分集合への任意の全単射を取ればよい。 $E$ は $\R$ の Borel 集合であるから、§E10.38 補題 1.2により、任意の $A\in\mathcal B(S)$ に対して $h(A)\in\mathcal B(\R)$ である。

$(U,\mathcal H)$ を可測空間、 $Y:S\to U$ を可測写像とし、 $\nu=Y_*\mu$ と置く。補題 2.1を $X=h$ と $Y$ に適用し、 $U$ から $\R$ への確率核 $Q$ を取る。 $h(S)=E$ であるから、

\int_U Q(u,E)\,d\nu(u)=1

である。 $0\leq Q(u,E)\leq1$ より、 $N=\{u:Q(u,E)<1\}$ は可測な $\nu$ -零集合である。一点 $s_0\in S$ を固定して、

L(u,A)= \begin{cases} Q(u,h(A)),&u\notin N,\\ \mathbf1_A(s_0),&u\in N \end{cases} \qquad(A\in\mathcal B(S))

と定める。 $u\notin N$ では $Q(u,\cdot)$ の $E$ への制限は確率測度であり、 $L(u,\cdot)$ はその $h^{-1}$ による像測度である。 $u\in N$ では $L(u,\cdot)$ は $s_0$ に集中する確率測度である。各 $A$ について $L(\cdot,A)$ は可測であるから、 $L$ は確率核である。さらに、全ての $A\in\mathcal B(S)$ と $B\in\mathcal H$ に対して、

\int_B L(u,A)\,d\nu(u) =\int_B Q(u,h(A))\,d\nu(u) =\mu(A\cap Y^{-1}(B))

が成り立つ。

$(U,\mathcal H)=(S,\mathcal G)$ とし、 $Y$ を恒等写像とすると、 $Y:(S,\mathcal B(S))\to(S,\mathcal G)$ は可測であり、 $\nu=\mu|_{\mathcal G}$ である。したがって、得られた核 $L$ は $\mathcal G$ に関する正則条件付き分布である。また、 $(U,\mathcal H)=(T,\mathcal B(T))$ とし、 $Y=\phi$ とすると、 $L$ は $\phi$ に関する正則条件付き分布である。▨

定理 3.2. $S$ を標準 Borel 空間、 $\mu$ を $(S,\mathcal B(S))$ 上の確率測度とする。

このとき、次が成り立つ。

部分 σ-加法族 $\mathcal G\subseteq\mathcal B(S)$ に関する二つの正則条件付き分布 $K_1,K_2$ に対して、 $N\in\mathcal G$ が存在し、 $\mu(N)=0$ であり、全ての $s\in S\setminus N$ と全ての $A\in\mathcal B(S)$ について $K_1(s,A)=K_2(s,A)$ が成り立つ。
標準 Borel 空間 $T$ への可測写像 $\phi:S\to T$ に関する二つの正則条件付き分布 $k_1,k_2$ に対して、 $M\in\mathcal B(T)$ が存在し、 $(\phi_*\mu)(M)=0$ であり、全ての $t\in T\setminus M$ と全ての $A\in\mathcal B(S)$ について $k_1(t,A)=k_2(t,A)$ が成り立つ。

証明.§E10.38 定理 4.1により、 $\R$ の Borel 集合 $E$ への可測同型 $h:S\to E$ を取る。

\mathcal C=\{S\}\cup\{h^{-1}(E\cap(-\infty,q]):q\in\Q\}

は $\mathcal B(S)$ を生成する可算な π 系である。任意の $C\in\mathcal C$ に対して、 $K_1(\cdot,C)$ と $K_2(\cdot,C)$ は、 $(S,\mathcal G)$ 上の有限測度 $G\mapsto\mu(C\cap G)$ の $\mu|_{\mathcal G}$ に関する密度である。§E10.14 定理 3.1により、二つの密度が異なる集合 $N_C\in\mathcal G$ は $\mu$ -零集合である。 $N=\bigcup_{C\in\mathcal C}N_C$ と置くと、 $N\in\mathcal G$ かつ $\mu(N)=0$ である。

$s\notin N$ を固定すると、二つの確率測度 $K_1(s,\cdot)$ と $K_2(s,\cdot)$ は $\mathcal C$ 上で一致する。二つの測度が一致する集合全体は、全空間を含み、補集合と二つずつ交わらない集合列の和に関して閉じている。§E10.9 定理 1.8により、二つの測度は $\mathcal B(S)$ 上で一致する。

写像 $\phi$ に関する核については、 $\nu=\phi_*\mu$ と置く。各 $C\in\mathcal C$ に対して、 $k_1(\cdot,C)$ と $k_2(\cdot,C)$ は、 $B\mapsto\mu(C\cap\phi^{-1}(B))$ の $\nu$ に関する密度である。二つの密度が異なる可測零集合を $\mathcal C$ 全体について合わせて $M$ とする。各 $t\notin M$ で二つの確率測度は $\mathcal C$ 上で一致するので、π–λ 定理により $\mathcal B(S)$ 上で一致する。▨

命題 4.1. $S$ を標準 Borel 空間、 $\mu$ を $(S,\mathcal B(S))$ 上の確率測度とし、 $f:S\to[0,\infty]$ を Borel 可測関数とする。

このとき、次が成り立つ。

部分 σ-加法族 $\mathcal G\subseteq\mathcal B(S)$ に関する正則条件付き分布 $K$ に対して、 $s\mapsto\int_S f(x)K(s,dx)$ は $\mathcal G$ 可測であり、全ての $G\in\mathcal G$ について $\int_G f\,d\mu =\int_G\left(\int_S f(x)K(s,dx)\right)d\mu(s)$ が成り立つ。特に、測度と核の合成について $(\mu|_{\mathcal G})K=\mu$ である。
標準 Borel 空間 $T$ への可測写像 $\phi:S\to T$ に関する正則条件付き分布 $k$ に対して、 $\nu=\phi_*\mu$ と置くと、 $t\mapsto\int_S f(x)k(t,dx)$ は Borel 可測であり、全ての $B\in\mathcal B(T)$ について $\int_{\phi^{-1}(B)} f\,d\mu =\int_B\left(\int_S f(x)k(t,dx)\right)d\nu(t)$ が成り立つ。特に $\nu k=\mu$ である。

証明. 二つの内側の積分の可測性は§E10.42 命題 1.3による。 $G\in\mathcal G$ を固定し、 $(S,\mathcal G)$ 上の測度 $\alpha_G$ を $\alpha_G(H)=\mu(G\cap H)$ と定める。正則条件付き分布の定義により、合成測度は

(\alpha_GK)(A)=\int_G K(s,A)\,d\mu(s)=\mu(G\cap A) \qquad(A\in\mathcal B(S))

である。§E10.42 定理 2.2の積分公式を $\alpha_G$ と $K$ に適用すると、最初の等式を得る。

$B\in\mathcal B(T)$ を固定し、 $\beta_B(D)=\nu(B\cap D)$ と定める。定義から

(\beta_Bk)(A)=\int_B k(t,A)\,d\nu(t)=\mu(A\cap\phi^{-1}(B))

である。同じ積分公式を $\beta_B$ と $k$ に適用すると、二番目の等式を得る。 $G=S$ と $B=T$ をそれぞれ代入すれば、測度の復元公式を得る。▨

命題 4.2. $S,T$ を標準 Borel 空間、 $\mu$ を $(S,\mathcal B(S))$ 上の確率測度、 $\phi:S\to T$ を可測写像とする。 $k$ を $\phi$ に関する正則条件付き分布とし、 $\nu=\phi_*\mu$ と置く。このとき、ある $N\in\mathcal B(T)$ が存在して、 $\nu(N)=0$ であり、全ての $t\in T\setminus N$ について

\phi_*(k(t,\cdot))=\delta_t,\qquad k(t,\phi^{-1}(\{t\}))=1

が成り立つ。ここで $\delta_t$ は点 $t$ に集中する確率測度である。

証明.§E10.38 定理 4.1により、 $\mathcal B(T)$ を生成する可算な π 系 $\mathcal C$ を取ることができる。各 $C\in\mathcal C$ と各 $B\in\mathcal B(T)$ に対して、

\int_B k(t,\phi^{-1}(C))\,d\nu(t) =\mu(\phi^{-1}(C\cap B)) =\nu(C\cap B) =\int_B\mathbf1_C(t)\,d\nu(t)

である。§E10.14 定理 3.1により、 $k(t,\phi^{-1}(C))=\mathbf1_C(t)$ が $\nu$ に関してほとんど至る所で成り立つ。 $\mathcal C$ は可算であるから、いずれかの $C\in\mathcal C$ について等式が成り立たない点を一つの Borel 零集合 $N$ に含めることができる。

$t\notin N$ を固定すると、 $T$ 上の二つの確率測度 $\phi_*(k(t,\cdot))$ と $\delta_t$ は $\mathcal C$ 上で一致する。§E10.9 定理 1.8により、両測度は全ての Borel 集合上で一致する。標準 Borel 空間では一点集合 $\{t\}$ が Borel 集合であるから、 $k(t,\phi^{-1}(\{t\}))=\delta_t(\{t\})=1$ である。▨

例 4.3. $S=\{a,b,c,d\}$ と $T=\{0,1\}$ にそれぞれ全べき集合を σ-加法族として入れ、 $S$ 上の確率測度 $\mu$ を

\mu(\{a\})=\frac18,\qquad \mu(\{b\})=\frac38,\qquad \mu(\{c\})=\mu(\{d\})=\frac14

によって定める。 $\phi:S\to T$ を $\phi(a)=\phi(b)=0$ 、 $\phi(c)=\phi(d)=1$ と定める。このとき、像測度 $\nu=\phi_*\mu$ は $\nu(\{0\})=\nu(\{1\})=1/2$ を満たす。各 $A\subseteq S$ に対して

k(0,A)=\frac14\mathbf1_A(a)+\frac34\mathbf1_A(b),\qquad k(1,A)=\frac12\mathbf1_A(c)+\frac12\mathbf1_A(d)

と定める。各 $k(t,\cdot)$ は非負の点質量の和が $1$ である確率測度であり、各 $k(\cdot,A)$ は $T$ 上の可測関数であるから、 $k$ は確率核である。任意の $A\subseteq S$ と $B\subseteq T$ に対して

\begin{aligned} \int_B k(t,A)\,d\nu(t) &=\frac12\mathbf1_B(0)k(0,A)+\frac12\mathbf1_B(1)k(1,A)\\ &=\mathbf1_B(0)\left(\frac18\mathbf1_A(a)+\frac38\mathbf1_A(b)\right) +\mathbf1_B(1)\left(\frac14\mathbf1_A(c)+\frac14\mathbf1_A(d)\right)\\ &=\mu(A\cap\phi^{-1}(B)) \end{aligned}

となるので、 $k$ は $\phi$ に関する正則条件付き分布である。 $B=T$ を代入すると、全ての $A\subseteq S$ について $(\nu k)(A)=\mu(A)$ を得る。また、

k(0,\phi^{-1}(\{0\}))=k(0,\{a,b\})=1,\qquad k(1,\phi^{-1}(\{1\}))=k(1,\{c,d\})=1

であり、各 $k(t,\cdot)$ は対応するファイバーに集中する。任意の $f:S\to[0,\infty]$ に対しても、

\int_T\left(\int_S f(x)k(t,dx)\right)d\nu(t) =\frac12\left(\frac14f(a)+\frac34f(b)\right) +\frac12\left(\frac12f(c)+\frac12f(d)\right) =\int_S f\,d\mu

である。

例 4.4. $\R$ 上の可算・余可算 σ-加法族を

\Sigma=\{A\subseteq\R:A\text{ または }\R\setminus A\text{ が高々可算}\}

とする。このとき、§E10.38 例 4.2により、 $(\R,\Sigma)$ は標準 Borel 空間ではない。各 $A\in\Sigma$ に対して

\mu(A)= \begin{cases} 0,&A\text{ が高々可算},\\ 1,&\R\setminus A\text{ が高々可算} \end{cases}

と定める。 $\Sigma$ の元からなる二つずつ交わらない集合列 $(A_n)_{n\in\NN}$ を取る。全ての $A_n$ が高々可算ならば、その和集合も高々可算であり、 $\mu(\bigcup_nA_n)=0=\sum_n\mu(A_n)$ である。ある $A_j$ が余可算ならば、 $n\neq j$ に対して $A_n\subseteq\R\setminus A_j$ は高々可算であり、和集合は余可算であるから、 $\mu(\bigcup_nA_n)=1=\sum_n\mu(A_n)$ である。したがって $\mu$ は確率測度である。

全ての $s\in\R$ と $A\in\Sigma$ に対して

K_1(s,A)=\mu(A),\qquad K_2(s,A)=\mathbf1_A(s)

と定める。各 $K_1(s,\cdot)$ は $\mu$ 、各 $K_2(s,\cdot)$ は一点 $s$ に集中する確率測度であり、各 $K_1(\cdot,A)$ は定数関数、各 $K_2(\cdot,A)$ は $\Sigma$ 可測な指示関数である。したがって $K_1,K_2$ は $(\R,\Sigma)$ から $(\R,\Sigma)$ への確率核である。

任意の $A,G\in\Sigma$ に対して、少なくとも一方が高々可算ならば $A\cap G$ は高々可算であり、 $\mu(A\cap G)=0=\mu(A)\mu(G)$ である。両方が余可算ならば $\R\setminus(A\cap G)=(\R\setminus A)\cup(\R\setminus G)$ は高々可算であり、 $\mu(A\cap G)=1=\mu(A)\mu(G)$ である。よって

\int_G K_1(s,A)\,d\mu(s)=\mu(A)\mu(G) =\mu(A\cap G) =\int_G K_2(s,A)\,d\mu(s)

となる。二核は、部分 σ-加法族に関する正則条件付き分布の定義の $\mathcal B(S)$ と $\mathcal G$ をともに $\Sigma$ に置き換えた積分等式を満たす。

一方、任意の $s\in\R$ に対して $A=\{s\}\in\Sigma$ と取ると、

K_1(s,\{s\})=0\neq1=K_2(s,\{s\})

である。任意の $N\in\Sigma$ で $\mu(N)=0$ を満たすものは高々可算であるから、 $\R\setminus N$ は空ではない。したがって、任意の可測零集合 $N$ に対して、ある $s\in\R\setminus N$ とある $A\in\Sigma$ が存在し、 $K_1(s,A)\neq K_2(s,A)$ となる。標準 Borel 空間という仮定を外すと、全ての可測集合について共通する零集合外での一意性は成立しない。

例 4.5. $S=[0,1]$ とし、 $\mu$ を Lebesgue Borel 測度の $S$ への制限とする。 $\mathcal G$ を、 $S$ の可算集合と補集合が可算である集合の全体とする。このとき、 $\mathcal G$ は補集合について閉じている。また、 $\mathcal G$ に属する可算個の集合の和は、全てが可算ならば可算であり、一つでも補集合が可算ならば補集合が可算である。したがって $\mathcal G$ は $\mathcal B(S)$ の部分 σ-加法族である。

全ての $s\in S$ と $A\in\mathcal B(S)$ に対して $K(s,A)=\mu(A)$ と定めると、 $K$ は $(S,\mathcal G)$ から $(S,\mathcal B(S))$ への確率核である。 $G\in\mathcal G$ が可算ならば $\mu(G)=0$ であり、 $S\setminus G$ が可算ならば $\mu(S\setminus G)=0$ である。いずれの場合も

\mu(A\cap G)=\mu(A)\mu(G)=\int_G K(s,A)\,d\mu(s)

となるので、 $K$ は $\mathcal G$ に関する正則条件付き分布である。

固定した各 $G\in\mathcal G$ について $K(s,G)=\mathbf1_G(s)$ がほとんど至る所で成り立つ。しかし、任意の $s\in S$ に対して $\{s\}\in\mathcal G$ であり、

K(s,\{s\})=0\neq1=\mathbf1_{\{s\}}(s)

である。したがって、全ての $G\in\mathcal G$ について同時に $K(s,G)=\mathbf1_G(s)$ が成り立つ点は存在しない。定理 3.2により、別の正則条件付き分布も $K$ と共通零集合外で全ての Borel 集合上で一致するので、この同時成立をほとんど至る所で満たす正則条件付き分布は存在しない。

§E10.43条件付き測度

1 正則条件付き分布

2 実数値写像に対する核の構成

3 標準 Borel 空間上の存在と一意性

4 積分による復元とファイバーへの集中

前提記事