§E10.18Bochner 積分

証明.$F$に各点で収束する可測単関数列$(t_n)$をとる。すべての$t_n$の値を集めた集合$D$は高々可算である。$D$の線形包の閉包を$B_0$とおく。実数の場合は有理数係数、複素数の場合は$\Q+i\Q$の係数による$D$の有限線形結合が$B_0$の可算稠密集合となる。各$F(x)$は$B_0$内の列$(t_n(x))$の極限であるから$F(X)\subseteq B_0$である。任意の$b\in B_0$に対して$\|t_n-b\|_B$は実数値可測単関数であり、逆三角不等式から$\|t_n(x)-b\|_B\to\|F(x)-b\|_B$である。§E10.7 定理 5.1により主張 (2)が従う。

主張 (2)を満たす$B_0$の可算稠密集合を$\{b_0,b_1,\ldots\}$とし、$b_0=0$とする。有限な稠密集合の場合には値を繰り返して列とする。各$n\geq1$と$x\in X$に対して、$\|F(x)-b_j\|_B$が$0\leq j\leq n$の中で最小となる添字のうち、最小のものを$j_n(x)$とおき、$s_n(x)=b_{j_n(x)}$と定める。集合$\{j_n=j\}$は、$i<j$に対する$\|F-b_j\|_B<\|F-b_i\|_B$と、$j<i\leq n$に対する$\|F-b_j\|_B\leq\|F-b_i\|_B$の有限個の条件で定まるため可測である。したがって$s_n$は可測単関数である。稠密性により

である。候補に$b_0=0$が含まれるから、誤差は$\|F(x)\|_B$以下である。三角不等式から$\|s_n(x)\|_B\leq2\|F(x)\|_B$も従う。

$B_0$の可算稠密集合の点を中心とする正の有理数半径の球は、$B_0$の可算な開基となる。$B$の任意の開集合$U$に対して$U\cap B_0$はこの開基の元の可算和であり、各球の$F$による逆像は距離関数の可測性によって$\Sigma$に属する。したがって主張 (2)から主張 (3)が従う。

主張 (3)が成り立つ場合、任意の$b\in B_0$に対して$v\mapsto\|v-b\|_B$は連続である。§E10.7 命題 1.3と§E10.7 命題 1.2により距離関数は可測である。▨

証明.$\mu$-強可測性を与える可測単関数列$(s_n)$と可測零集合$N$をとる。$F^\sharp=F$を$X\setminus N$上で、$F^\sharp=0$を$N$上で定める。各$s_n$を$N$上で$0$とした関数$t_n$は可測単関数であり、全点で$t_n\to F^\sharp$となる。したがって$F^\sharp$は強$\Sigma$-可測である。逆に、$F^\sharp$に全点で収束する可測単関数列は$X\setminus N$上で$F$に収束する。

命題 1.2 (3)とノルムの連続性により、各代表元のノルムは可測である。二つの代表元は、その例外可測零集合の和の外で一致する。§E10.10 定理 3.2 (1)により積分値は等しい。▨

証明. 各$F_n$に対して、命題 1.2の可分な閉線形部分空間$B_n$をとる。$\bigcup_nB_n$の線形包の閉包$B_0$は、各$B_n$の可算稠密集合を合わせて得られる集合の有理数係数の有限線形結合を稠密集合としてもつ。複素数の場合には係数を$\Q+i\Q$にとる。全点での極限$F(x)$は$B_0$に属する。任意の$b\in B_0$に対して、$F_n$の Borel 可測性から$\|F_n-b\|_B$は可測であり、その点ごとの極限は$\|F-b\|_B$である。§E10.7 定理 5.1と命題 1.2 (2)により主張 (1)を得る。

各$F_n$の強可測代表元$G_n$とその例外可測零集合$N_n$をとり、収束の例外可測零集合を$N_0$とする。$N=\bigcup_{n\geq0}N_n$上で$G_n$と$F$を$0$に変更する。修正後の$G_n$は、その単関数近似も$N$上で$0$にすることにより強$\Sigma$-可測である。修正後の列は全点で修正後の$F$に収束する。主張 (1)と命題 1.3により主張 (2)が従う。

強$\Sigma$-可測な$F$に全点で収束する可測単関数列$(s_n)$をとる。各$\Phi\circ s_n$は有限個の値をとり、各値のレベル集合は$s_n$の有限個の可測レベル集合の合併であるから、可測単関数である。$\Phi$の連続性により、全点で$\Phi\circ s_n\to\Phi\circ F$となる。したがって$\Phi\circ F$は強$\Sigma$-可測である。$F$が$\mu$-強可測である場合には、可測単関数列$(s_n)$と可測零集合$N$を$X\setminus N$上で$s_n\to F$となるようにとる。同じ議論により、各$\Phi\circ s_n$は可測単関数であり、$X\setminus N$上で$\Phi\circ s_n\to\Phi\circ F$となる。したがって$\Phi\circ F$は$\mu$-強可測である。

$F,G$に各点で収束する可測単関数列$(s_n),(t_n)$をとる。$\alpha s_n+\beta t_n$は有限個の可測レベル集合の共通細分上で一定であるから可測単関数であり、各点で$\alpha F+\beta G$に収束する。$\mu$-強可測な場合には二つの例外可測零集合の和の外で同じ収束が成り立つ。▨

証明.$c_i\neq0$ならば$E_i\subseteq\{s=c_i\}$であるから、$\mu(E_i)<\infty$である。各非零レベル集合を同じ値をもつ$E_i$の和に分け、有限加法性を適用すると、表示による和はレベル集合による和に一致する。

$E=\{s\neq0\}\cup\{t\neq0\}$は有限測度の可測集合である。$E$上で$s,t$のレベル集合を共通細分すると、有限測度の互いに素な可測集合$D_1,\ldots,D_r$と値$a_i,b_i\in B$によって

と表示することができる。$\alpha s+\beta t$は$E$の外で$0$であり、$E$上で有限個の値をとるため可積分である。表示独立性と有限和の線形性から積分の線形性が従う。三角不等式から

を得る。最後の評価を$s-t$に適用すると積分の差の評価が従う。▨

証明.$F$が Bochner 可積分ならば、ある可積分単関数$s_n$に対して$\int_X\|F-s_n\|_B\,d\mu<\infty$である。強可測代表元$F^\sharp$に三角不等式を適用すると、積分の単調性と非負線形性により

を得る。

$\int_X\|F\|_B\,d\mu<\infty$とし、任意の強可測代表元$F^\sharp$をとる。命題 1.2により、全点で$s_n\to F^\sharp$、$\|F^\sharp-s_n\|_B\leq\|F^\sharp\|_B$、$\|s_n\|_B\leq2\|F^\sharp\|_B$となる可測単関数列を得る。最後の評価によって各$s_n$は可積分である。非負有限実数値可測関数$\|F^\sharp-s_n\|_B$は全点で$0$に収束し、可積分関数$\|F^\sharp\|_B$によって支配される。§E10.11 定理 3.1により、その積分は$0$に収束する。代表元によるノルム積分の定義から$\int_X\|F-s_n\|_B\,d\mu\to0$である。▨

証明.$F,G$の強可測代表元にノルムの三角不等式を適用し、スカラー積分の単調性と非負線形性を用いると、

となる。命題 1.4 (4)により$F+G$と$\alpha F$は$\mu$-強可測である。したがって加法とスカラー倍は同値類の集合上に定まる。

$F=F'$と$G=G'$が$\mu$-a.e. に成り立つならば、二つの例外可測零集合の和の外で$F+G=F'+G'$と$\alpha F=\alpha F'$が成り立つ。$F$と$F'$の強可測代表元のノルムは$\mu$-a.e. に一致するから、§E10.10 定理 3.2 (1)により$\|[F]\|_1=\|[F']\|_1$である。ベクトル空間の恒等式は写像の恒等式から同値類へ移る。

ノルム積分の等式$\int_X\|\alpha F\|_B\,d\mu=|\alpha|\int_X\|F\|_B\,d\mu$から$\|\alpha[F]\|_1=|\alpha|\|[F]\|_1$が従い、不等式$\int_X\|F+G\|_B\,d\mu\leq\int_X\|F\|_B\,d\mu+\int_X\|G\|_B\,d\mu$から$\|[F]+[G]\|_1\leq\|[F]\|_1+\|[G]\|_1$が従う。$\|[F]\|_1=0$ならば、§E10.10 命題 3.4によって強可測代表元$F^\sharp$は$\mu$-a.e. に$0$である。したがって$[F]=[0]$である。逆に$[F]=[0]$ならば同じ判定によって$\|[F]\|_1=0$である。▨

証明.定理 2.4の可積分単関数列$(s_n)$は、$\|[F]-[s_n]\|_1=\int_X\|F-s_n\|_B\,d\mu\to0$と$s_n\to F^\sharp$を満たす。▨

証明.$L^1(\mu;B)$の列$(u_n)$が$\sum_{n=1}^\infty\|u_n\|_1<\infty$を満たすとする。各$u_n$の強$\Sigma$-可測な代表元$F_n$を選び、

とおく。各$\|F_n\|_B$は非負有限実数値可測関数であり、§E10.11 系 1.5により$q$は可測で、

である。§E10.10 命題 3.5により$N=\{q=\infty\}$は可測零集合である。

$x\in X\setminus N$では、Banach 空間$B$に対する§E10.1 命題 1.5により$F(x)=\sum_{n=1}^\infty F_n(x)$が存在する。$N$上では$F=0$と定める。各$F_n$を$N$上で$0$に変更した関数は、その単関数近似も$N$上で$0$にすることによって強$\Sigma$-可測である。変更後の関数の有限和は強$\Sigma$-可測であり、全点で$F$に収束する。命題 1.4 (1)により$F$は強$\Sigma$-可測である。

$X\setminus N$上で$\|F\|_B\leq q$であるから、§E10.10 補題 3.3により$\int_X\|F\|_B\,d\mu<\infty$であり、$u=[F]\in L^1(\mu;B)$となる。また、任意の$m\geq1$に対して$\mu$-a.e. に

が成り立つ。§E10.10 補題 3.3と§E10.11 系 1.5により、

を得る。したがって$L^1(\mu;B)$に対する§E10.1 命題 1.5により、$L^1(\mu;B)$は完備である。▨

証明.命題 2.2により、$D$は線形部分空間である。同じ命題の差の評価から、$[s]=[t]$ならば$I_\mu^0(s)=I_\mu^0(t)$となる。したがって単関数積分は$D$上の線形写像を定め、$\|I_\mu^0(s)\|_B\leq\|[s]\|_1$を満たす。

命題 3.3により$D$は稠密であり、定理 3.4により$L^1(\mu;B)$は Banach 空間である。したがって§E10.4 系 2.2により、一意な有界線形延長$I_\mu$が存在し、$\|I_\mu\|\leq1$である。近似列の仮定は$[s_n]\to[F]$を意味するため、同じ延長定理の極限表示を適用すると$I_\mu^0(s_n)\to I_\mu([F])$を得る。極限は同値類$[F]$だけで定まり、ノルム評価は$\|I_\mu\|\leq1$から従う。▨

証明.命題 4.1の延長は有界線形であり、作用素ノルムは$1$以下である。線形性を$\alpha[F]+\beta[G]$に、ノルム評価を$[F]-[G]$に適用すると、それぞれの式を得る。▨

証明.$\mathbb K$は可分であるため、命題 1.2 (3)により強$\Sigma$-可測性と Borel 可測性は同値である。命題 1.3を併せると、$\mu$-強可測性と可測代表元の存在との同値を得る。ノルム積分の定義により$\int_X\|f\|_{\mathbb K}\,d\mu=\int_X|g|\,d\mu$であるから、定理 2.4により可積分性の同値が従う。

$L^1(\mu;\mathbb K)$上で、$J([f])$を可測代表元$g$の Lebesgue 積分と定める。§E10.10 定理 3.2により$J$は代表元に依存せず、§E10.10 定理 2.3と§E10.10 補題 2.5により有界線形で、$|J([f])|\leq\|[f]\|_1$を満たす。可積分単関数$s$の Lebesgue 積分は、その非零レベル集合に関する有限和$I_\mu^0(s)$に等しい。したがって、命題 4.1の一意性により$J=I_\mu$である。▨

証明.命題 1.4 (2)により$F$は$\mu$-強可測である。各$F_n$と$F$の強可測代表元をとり、代表元との一致、収束、および各項の支配が成り立たない点を含む可測零集合の可算和を$N$とする。代表元を$N$上で$0$とした関数を$G_n,G$とおく。全点で$G_n\to G$と$\|G_n\|_B\leq g$が成り立ち、極限をとると$\|G\|_B\leq g$である。定理 2.4によりすべての$F_n$と$F$は Bochner 可積分である。

非負有限実数値可測関数$e_n=\|G_n-G\|_B$は全点で$0$に収束し、$e_n\leq2g$である。§E10.11 定理 3.1により$\int_Xe_n\,d\mu\to0$となる。ノルム積分の定義から最初の収束を得る。命題 4.3により

である。▨

証明.§E10.2 定理 1.5により$T$は連続であるから、命題 1.4 (3)により$TF$は$\mu$-強可測である。§E10.2 命題 1.2の評価$\|Tv\|_C\leq\|T\|\|v\|_B$を強可測代表元$F^\sharp$に適用し、積分の単調性を用いると、ノルム積分の評価を得る。定理 2.4により$TF$は Bochner 可積分である。

$[F]\mapsto[TF]$は同値類上に定まる線形写像であり、上のノルム積分の評価によって有界である。命題 4.3により、

はともに$L^1(\mu;B)$から$C$への有界線形写像である。可積分単関数$s$に対して$Ts$も可積分単関数であり、有限和と$T$の交換から$I_\mu^0(Ts)=T(I_\mu^0(s))$となる。命題 3.3により可積分単関数の同値類全体は稠密であるから、§E10.4 系 2.2の一意性により二つの写像は全空間で一致する。▨

証明.$\Sigma$-可測単関数は$\overline\Sigma^{\,\mu}$-可測であり、$\mu$-可測零集合は$\overline\mu$-可測零集合でもある。したがって$\mu$-強可測性から$\overline\mu$-強可測性が従う。

$F$の$\overline\mu$-強可測性を与える単関数列を$(s_n)$、例外可測零集合を$N\in\overline\Sigma^{\,\mu}$とする。各$s_n$を有限個のレベル集合によって$s_n=\sum_j b_{n,j}\mathbf1_{E_{n,j}}$と表示する。§E10.8 命題 7.6により、$A_{n,j},Z_{n,j}\in\Sigma$を

となるように同時に選ぶ。また、同じ命題により$N$はある$\Sigma$-可測零集合$Z_0$に含まれる。実際、$N\mathbin\triangle A\subseteq Z'$かつ$\mu(Z')=0$となる$A,Z'\in\Sigma$をとると、$\mu(A)=\overline\mu(N)=0$であり、$N\subseteq A\cup Z'$となる。

$Z=Z_0\cup\bigcup_{n,j}Z_{n,j}$とおき、$t_n=\sum_j b_{n,j}\mathbf1_{A_{n,j}}$を$Z$上で$0$に変更する。各$t_n$は$\Sigma$-可測単関数であり、$X\setminus Z$上では$t_n=s_n\to F$である。$G=F$を$X\setminus Z$上で、$G=0$を$Z$上で定めると、$t_n\to G$は全点で成り立つ。したがって$G$は強$\Sigma$-可測であり、$F$は$\mu$-強可測である。

ノルム積分の代表元からの独立性と、スカラー積分の§E10.10 命題 4.3により

定理 2.4により可積分性の同値が従う。可積分な場合、$G$の$\mu$に関する可積分単関数近似$(r_n)$をとる。スカラー積分の完備化との整合性から、$(r_n)$は$G$の$\overline\mu$に関する近似でもある。$\mu$と$\overline\mu$は$\Sigma$上で一致するため、各$r_n$の単関数積分は両測度で一致する。積分の定義と$F=G$の$\overline\mu$-a.e. の一致から、Bochner 積分の等式を得る。

$\overline\mu$-可測零集合は$\Sigma$-可測零集合に含まれるため、$\mu$-a.e. の一致と$\overline\mu$-a.e. の一致は同値である。強可測性の同値とノルム積分の等式から、二つの$L^1$空間は同じ写像の同値類をもち、そのノルムが一致する。加法とスカラー倍も同じ写像の演算から定まる。▨

証明.$\varepsilon>0$とし、すべての$r\in[a,t]$について$\lVert w(r)-w(a)\rVert\le\varepsilon(r-a)$が成り立つような$t\in[a,b]$の全体を$S$とする。$a\in S$であり、$t\in S$かつ$a\le t'\le t$ならば$t'\in S$である。$s=\sup S$とおく。$r\in[a,s)$ならば$r<t$を満たす$t\in S$が存在するから、$\lVert w(r)-w(a)\rVert\le\varepsilon(r-a)$である。$r\mapsto\lVert w(r)-w(a)\rVert-\varepsilon(r-a)$は連続であるから、$r=s$でも同じ不等式が成り立ち、$s\in S$である。