測度の弱収束 | 測度と積分

1 弱収束と弱位相

定義 1.1. $X$ を Polish 空間とし、 $\mathcal M_f^+(X)$ を $X$ 上の有限正 Borel 測度全体とする。 $\mu_n,\mu\in\mathcal M_f^+(X)$ に対して、任意の有界連続関数 $f:X\to\R$ が

\int_Xf\,d\mu_n\longrightarrow\int_Xf\,d\mu

を満たすとき、 $\mu_n$ は $\mu$ に弱収束 (weak convergence of measures) するといい、 $\mu_n\Rightarrow\mu$ と書く。

$\mathcal M_f^+(X)$ の弱位相 (weak topology of measures) は、すべての有界連続実数値関数 $f$ に対して $\mu\mapsto\int_Xf\,d\mu$ を連続にする最も粗い位相とする。したがって、 $\mu$ における近傍基は、有限個の有界連続関数 $f_1,\ldots,f_m$ と $\ep>0$ による集合

\left\{\nu\in\mathcal M_f^+(X)\ \middle|\ \left|\int_Xf_j\,d\nu-\int_Xf_j\,d\mu\right|<\ep \quad(1\leq j\leq m)\right\}

である。

命題 1.2. $X$ を Polish 空間、 $\mu_n,\mu$ を有限正 Borel 測度とする。このとき、 $\mu_n\Rightarrow\mu$ ならば $\mu_n(X)\to\mu(X)$ である。また、弱収束の定義で実数値の有界連続関数を複素数値の有界連続関数に置き換えても、同じ収束条件が得られる。

証明. 定数関数 $1$ を試験関数に取れば全質量の収束が従う。複素数値関数を実部と虚部に分け、積分の線形性を適用すれば複素数値の試験関数に関する収束が従う。逆に実数値関数は複素数値関数でもある。▨

2 Portmanteau の定理

定義 2.1. 位相空間 $X$ 上の正 Borel 測度 $\mu$ と Borel 集合 $A\subseteq X$ に対して、 $\mu(\partial A)=0$ であるとき、 $A$ を $\mu$ の連続集合 (continuity set) という。ここで $\partial A=\tpcl{A}\setminus\tpint{A}$ は境界である。

補題 2.2. $(X,\Sigma,\mu)$ を有限正測度空間、 $M>0$ とし、 $f:X\to[0,M]$ を可測関数とする。このとき

\int_Xf\,d\mu=\int_0^M\mu(\{x\in X\mid f(x)>t\})\,dt

である。また、 $\mu(\{f=t\})>0$ となる $t\in\R$ は高々可算個である。

証明.§E10.19 命題 6.1の尾分布表示を $f$ に適用する。 $t\geq M$ ならば $\{f>t\}=\emptyset$ であるから、積分区間を $[0,M]$ に制限すると主張の積分表示を得る。

各 $k\in\NN$ に対し、 $\mu(\{f=t\})\geq1/k$ となる $t$ は有限個である。実際、 $\mu(\{f=t\})\geq1/k$ を満たす相異なる $r$ 個の値を取ると、対応する水準集合は互いに交わらないため、 $r/k\leq\mu(X)$ である。したがって、正の測度を持つ水準集合の値全体は、各 $k$ に対するこれらの有限集合の可算合併に含まれる。▨

定理 2.3. $X$ を Polish 空間、 $d$ をその位相を定める距離、 $\mu_n,\mu$ を有限正 Borel 測度とする。このとき、次の条件は同値である。

$\mu_n\Rightarrow\mu$ である。
$\mu_n(X)\to\mu(X)$ であり、任意の閉集合 $F\subseteq X$ に対して $\limsup_n\mu_n(F)\leq\mu(F)$ である。
$\mu_n(X)\to\mu(X)$ であり、任意の開集合 $U\subseteq X$ に対して $\liminf_n\mu_n(U)\geq\mu(U)$ である。
任意の $\mu$ の連続集合 $A$ に対して $\mu_n(A)\to\mu(A)$ である。
任意の有界 $d$ -Lipschitz 関数 $f:X\to\R$ に対して、 $\int_Xf\,d\mu_n\to\int_Xf\,d\mu$ である。

証明. 有界 $d$ -Lipschitz 関数は連続であるから、(1) $\Rightarrow$ (5)は弱収束の定義による。

(5) $\Rightarrow$ (2)を示す。定数関数 $1$ は有界 $d$ -Lipschitz 関数であるから、全質量は収束する。空でない閉集合 $F$ に対して

f_m(x)=\max\{1-m d(x,F),0\}\qquad(m\in\NN)

とおく。 $|d(x,F)-d(y,F)|\leq d(x,y)$ であるから $f_m$ は有界で Lipschitz 定数は $m$ 以下であり、 $\mathbf1_F\leq f_m\leq1$ と $f_m\downarrow\mathbf1_F$ を満たす。固定した $m$ について主張 (5)から

\limsup_n\mu_n(F)\leq\lim_n\int_Xf_m\,d\mu_n=\int_Xf_m\,d\mu

である。§E10.11 定理 3.1により右辺は $m\to\infty$ で $\mu(F)$ へ収束する。 $F=\emptyset$ の場合には不等式は $0\leq0$ である。

(2) $\Leftrightarrow$ (3)を示す。全質量の収束を用いて $\mu_n(U)=\mu_n(X)-\mu_n(X\setminus U)$ と書けば、閉集合に関する上極限の不等式と開集合に関する下極限の不等式は互いに移る。

(2) $\Rightarrow$ (4)を示す。前段から開集合に関する条件も成り立つ。 $\mu(\partial A)=0$ ならば $\mu(\tpint{A})=\mu(A)=\mu(\tpcl{A})$ である。したがって、開集合と閉集合に関する条件から、

\mu(A)\leq\liminf_n\mu_n(\tpint{A})\leq\liminf_n\mu_n(A) \leq\limsup_n\mu_n(A)\leq\limsup_n\mu_n(\tpcl{A})\leq\mu(A)

である。

(4) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $X$ は境界が空であるから、全質量は収束する。したがって、 $C=\sup_n\mu_n(X)<\infty$ である。 $f:X\to[0,M]$ を有界連続関数とする。集合 $A_t=\{f>t\}$ の境界は $\{f=t\}$ に含まれる。補題 2.2により、Lebesgue 測度に関してほとんどすべての $t\in[0,M]$ で $\mu(\{f=t\})=0$ であり、仮定から $\mu_n(A_t)\to\mu(A_t)$ である。 $0\leq\mu_n(A_t)\leq C$ と§E10.11 定理 3.1を $[0,M]$ に適用し、積分表示を用いると $\int_Xf\,d\mu_n\to\int_Xf\,d\mu$ を得る。任意の有界連続実数値関数は、非負の有界連続関数と定数関数の差に書くことができる。積分の線形性から弱収束が従う。▨

例 2.4. $X=[0,1]$ とし、 $\lambda$ を Lebesgue 測度の $[0,1]$ への制限とする。各 $n\in\NN$ に対して

\mu_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\delta_{k/n}

とおく。このとき、 $0\leq a\leq b\leq1$ ならば

\mu_n((a,b])=\frac{\lfloor nb\rfloor-\lfloor na\rfloor}{n} \longrightarrow b-a=\lambda((a,b])

である。区間の端点を加除しても測度の差は $2/n$ 以下であるから、開区間と閉区間の測度も区間の長さへ収束する。

有界連続関数 $f:[0,1]\to\R$ に対して、 $s_n(0)=f(0)$ とし、 $x\in((k-1)/n,k/n]$ で $s_n(x)=f(k/n)$ とおく。 $s_n$ は Borel 可測であり、 $|s_n|\leq\|f\|_\infty$ である。各 $x\in[0,1]$ に対して、 $s_n(x)$ の評価点と $x$ の距離は $1/n$ 以下である。 $f$ の連続性から $s_n(x)\to f(x)$ であり、§E10.11 定理 3.1により

\int_X f\,d\mu_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n) =\int_Xs_n\,d\lambda\longrightarrow\int_Xf\,d\lambda.

したがって、 $\mu_n\Rightarrow\lambda$ である。定理 2.3により、任意の閉集合 $F\subseteq[0,1]$ について $\limsup_n\mu_n(F)\leq\lambda(F)$ 、任意の開集合 $U\subseteq[0,1]$ について $\liminf_n\mu_n(U)\geq\lambda(U)$ である。また、任意の Borel 集合 $A\subseteq[0,1]$ が $\lambda(\partial A)=0$ を満たすならば $\mu_n(A)\to\lambda(A)$ である。有限個の原子に集中した測度列の極限が、各一点の測度が零である測度になっている。

3 有界 Lipschitz 距離

定義 3.1. $X$ を Polish 空間、 $d$ をその位相を定める距離とする。関数族

\mathcal L_1(X,d)=\{f:X\to\R\mid |f(x)|\leq1\ (x\in X),\ |f(x)-f(y)|\leq d(x,y)\ (x,y\in X)\}

と、有限正 Borel 測度 $\mu,\nu$ に対する有界 Lipschitz 距離 (bounded Lipschitz distance)

\beta_d(\mu,\nu)=\sup_{f\in\mathcal L_1(X,d)} \left|\int_Xf\,d\mu-\int_Xf\,d\nu\right|

を定める。

補題 3.2. $(X,d)$ を距離空間、 $K\subseteq X$ をコンパクト集合とする。このとき、任意の $\eta>0$ に対し、有限個の関数 $f_1,\ldots,f_m\in\mathcal L_1(X,d)$ が存在し、各 $f\in\mathcal L_1(X,d)$ に対して

\sup_{x\in K}|f(x)-f_j(x)|<\eta

を満たす $j$ が存在する。

証明. $K=\emptyset$ ならば $f_1=0$ を取る。以下では $K\ne\emptyset$ とする。制限族

\mathcal H=\{f|_K\mid f\in\mathcal L_1(X,d)\}\subseteq C(K,\R)

を考える。各 $f\in\mathcal L_1(X,d)$ は $1$ -Lipschitz であるから、任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta=\varepsilon$ とすれば、 $x,y\in K$ 、 $d(x,y)<\delta$ のとき $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ である。したがって、 $\mathcal H$ は同程度連続である。各 $x\in K$ における値の集合は $[-1,1]$ に含まれるため、§E2.31 補題 2.3により全有界である。§E2.31 定理 3.1により、 $\mathcal H$ は一様距離に関して全有界である。

$\mathcal H$ は零関数を含むので、 $\mathcal H$ の有限な $\eta/2$ -網 $\{g_1,\ldots,g_m\}\subseteq\mathcal H$ をとる。各 $j$ に対して、 $g_j=f_j|_K$ となる $f_j\in\mathcal L_1(X,d)$ を一つ選ぶ。任意の $f\in\mathcal L_1(X,d)$ に対して、 $f|_K$ は $\mathcal H$ に属するため、ある $j$ が存在して

\sup_{x\in K}|f(x)-f_j(x)|<\eta/2<\eta

である。▨

定理 3.3. $X$ を Polish 空間、 $d$ をその位相を定める距離とする。このとき、次が成り立つ。

$\beta_d$ は $\mathcal M_f^+(X)$ 上の距離である。
$\beta_d$ が定める位相は弱位相に一致する。
任意の $\mu_n,\mu\in\mathcal M_f^+(X)$ について、 $\beta_d(\mu_n,\mu)\to0$ と $\mu_n\Rightarrow\mu$ は同値である。

証明. 任意の $\mu,\nu\in\mathcal M_f^+(X)$ に対して $\beta_d(\mu,\nu)\leq\mu(X)+\nu(X)<\infty$ であり、対称性と三角不等式は各試験関数の積分に関する絶対値の不等式から従う。 $\beta_d(\mu,\nu)=0$ と仮定する。任意の有界 $d$ -Lipschitz 関数 $f:X\to\R$ に対して、 $f/C\in\mathcal L_1(X,d)$ となる $C\geq1$ を取ると、 $\int_Xf\,d\mu=\int_Xf\,d\nu$ である。したがって、定数列 $\mu_n=\nu$ は極限候補 $\mu$ に対して定理 2.3 (5)を満たす。定理 2.3により、任意の閉集合 $F\subseteq X$ に対して $\nu(F)\leq\mu(F)$ である。 $\mu$ と $\nu$ を交換すれば逆向きの不等式も得られるので、 $\mu(F)=\nu(F)$ である。§E10.39 定理 1.1の閉集合による内側からの近似を両測度へ適用すると、すべての Borel 集合で測度が等しい。ゆえに $\mu=\nu$ である。

$\beta_d(\mu_n,\mu)\to0$ と仮定する。任意の有界 $d$ -Lipschitz 関数 $f:X\to\R$ に対して、 $f/C\in\mathcal L_1(X,d)$ となる $C\geq1$ を取れば、

\left|\int_Xf\,d\mu_n-\int_Xf\,d\mu\right|\leq C\beta_d(\mu_n,\mu)\longrightarrow0

である。したがって、定理 2.3 (5)が成り立ち、定理 2.3により $\mu_n\Rightarrow\mu$ を得る。

主張 (2)を示す。 $\beta_d(\mu_n,\mu)\to0$ ならば $\mu_n\Rightarrow\mu$ であることから、各有界連続関数の積分は $\beta_d$ に関して連続である。実際、 $\mu$ において連続でなければ、ある $\ep>0$ と列 $(\nu_n)$ が存在し、すべての $n$ について $\beta_d(\nu_n,\mu)<1/n$ かつ積分の差の絶対値が $\ep$ 以上となる。これは、 $\beta_d(\nu_n,\mu)\to0$ から従う弱収束に反する。したがって弱位相は $\beta_d$ の位相より粗い。

$\mu\in\mathcal M_f^+(X)$ と $\ep>0$ を固定する。 $X=\emptyset$ の場合には測度は零測度だけである。 $X\ne\emptyset$ とし、 $0<b<\ep/16$ を満たす $b$ を取る。Polish 空間上の有限測度の緊密性§E10.39 定理 2.3により、 $\mu(X\setminus K)<b$ を満たす空でないコンパクト集合 $K$ を取る。正数 $\eta,\delta$ を

\eta+2\delta<\frac{\ep}{4(2\mu(X)+1)}

となるように選び、 $K$ 上の誤差 $\eta$ の有限近似 $f_1,\ldots,f_m$ を取る。 $h(x)=\max\{1-d(x,K)/\delta,0\}$ 、 $V=\{x\mid d(x,K)<\delta\}$ とおく。 $h$ は有界連続であり、 $\mathbf1_K\leq h\leq\mathbf1_V$ である。

$0<a<\min\{1,\ep/16\}$ とし、試験関数 $1,h,f_1,\ldots,f_m$ に関する積分の差をすべて $a$ 未満にする $\mu$ の弱近傍を取る。その近傍内の $\nu$ は

\nu(X)<\mu(X)+a,\qquad \nu(X\setminus V)\leq\nu(X)-\int_Xh\,d\nu<b+2a

を満たす。 $f\in\mathcal L_1(X,d)$ と対応する $f_j$ に対し、 $y\in V$ ならば $d(x,y)<\delta$ となる $x\in K$ が存在するので、 $|f(y)-f_j(y)|<\eta+2\delta$ である。したがって

\begin{aligned} \left|\int_Xf\,d\nu-\int_Xf\,d\mu\right| &<a+(2\mu(X)+a)(\eta+2\delta)+2\bigl(\mu(X\setminus V)+\nu(X\setminus V)\bigr)\\ &<a+\frac{\ep}{4}+4b+4a<\ep. \end{aligned}

よって、この弱近傍は $\beta_d$ の半径 $\ep$ の球に含まれる。各距離球が中心の弱近傍を含むため、 $\beta_d$ の位相も弱位相より粗い。したがって、二つの位相は一致する。

主張 (3)を示す。弱位相の定義により、 $\mu_n\Rightarrow\mu$ は弱位相に関する点列の収束と同値である。主張 (2)により、弱位相に関する点列の収束は距離 $\beta_d$ に関する点列の収束と同値である。▨

4 弱収束列の一様緊密性

定義 4.1. 位相空間 $X$ 上の有限正 Borel 測度の族 $\mathcal H$ が一様に緊密 (uniformly tight family) であるとは、任意の $\ep>0$ に対してコンパクトな Borel 集合 $K\subseteq X$ が存在し、すべての $\nu\in\mathcal H$ が $\nu(X\setminus K)<\ep$ を満たすことをいう。

補題 4.2. $X$ を Polish 空間、 $\mu_n,\mu$ を有限正 Borel 測度とし、 $\mu_n\Rightarrow\mu$ と仮定する。このとき族 $\{\mu\}\cup\{\mu_n\mid n\in\NN\}$ は一様に緊密である。

証明. $X=\emptyset$ ならば空集合を取る。 $X\ne\emptyset$ とし、位相を定める完備距離 $d$ と可算稠密集合 $\{a_j\mid j\in\NN\}$ を取る。 $\ep>0$ を固定する。各 $r\in\NN$ に対して、半径 $2^{-r}$ の球の有限合併 $V_r$ を $\mu(X\setminus V_r)<\ep2^{-r-1}$ となるように取る。定理 2.3 (3)と全質量の収束から

\limsup_n\mu_n(X\setminus V_r)\leq\mu(X\setminus V_r)<\ep2^{-r-1}

である。したがって $n\geq N_r$ ならば $\mu_n(X\setminus V_r)<\ep2^{-r}$ となる $N_r$ が存在する。

有限個の測度 $\mu_1,\ldots,\mu_{N_r-1}$ についても、可算球被覆と§E10.8 定理 4.1 (1)によって、半径 $2^{-r}$ の球の有限合併で補集合の測度を $\ep2^{-r}$ 未満にすることができる。それらの有限合併と $V_r$ の合併を $U_r$ とすれば、族 $\{\mu\}\cup\{\mu_n\mid n\in\NN\}$ に属する任意の測度 $\nu$ に対して、 $\nu(X\setminus U_r)<\ep2^{-r}$ である。§E10.39 補題 2.2により $K=\bigcap_r\tpcl{U_r}$ はコンパクトであり、可算劣加法性からすべての $\nu$ について $\nu(X\setminus K)<\ep$ である。▨

問題 4.3. $X$ を Polish 空間、 $d$ をその位相を定める距離、 $\mu_n,\mu$ を有限正 Borel 測度とし、 $\mu_n\Rightarrow\mu$ と仮定する。補題 4.2と補題 3.2を用いて、定理 3.3 (3)のうち $\beta_d(\mu_n,\mu)\to0$ となる方向を、位相の一致を使わずに証明せよ。

解答.

全質量の収束から $C=\mu(X)+\sup_n\mu_n(X)<\infty$ である。 $\ep>0$ を取り、補題 4.2によって、 $\mu(X\setminus K)<\ep$ およびすべての $n$ について $\mu_n(X\setminus K)<\ep$ を満たすコンパクト集合 $K$ を取る。補題 3.2により $K$ 上で誤差 $\eta$ の有限近似 $f_1,\ldots,f_m$ を取る。各 $f\in\mathcal L_1(X,d)$ に対応する $f_j$ を用いれば

\left|\int_Xf\,d\mu_n-\int_Xf\,d\mu\right| \leq\max_{1\leq j\leq m}\left|\int_Xf_j\,d\mu_n-\int_Xf_j\,d\mu\right|+C\eta+4\ep

である。有限個の試験関数の積分は収束するので、 $\limsup_n\beta_d(\mu_n,\mu)\leq C\eta+4\ep$ である。 $\eta$ と $\ep$ は任意であるから距離は $0$ へ収束する。▨

5 全変動収束との比較

定義 5.1. $X$ を Polish 空間とする。有限正 Borel 測度 $\mu,\nu$ に対して

D(\mu,\nu)=\sup_{\substack{g:X\to\R\text{ は Borel 可測}\\|g|\leq1}} \left|\int_Xg\,d\mu-\int_Xg\,d\nu\right|

を全変動距離 (total variation distance) と呼ぶ。 $D(\mu_n,\mu)\to0$ であるとき、 $\mu_n$ は $\mu$ に全変動収束 (total variation convergence) するという。

命題 5.2. $X$ を Polish 空間、 $\mu_n,\mu$ を有限正 Borel 測度とする。このとき、 $\mu_n$ が $\mu$ に全変動収束するならば、 $\mu_n\Rightarrow\mu$ である。

証明. 有界連続関数 $f$ に対して $M=\max\{1,\|f\|_\infty\}$ とすれば $f/M$ は $D$ の試験関数である。したがって、積分の差の絶対値は $M D(\mu_n,\mu)$ 以下である。全変動収束の仮定から $M D(\mu_n,\mu)\to0$ であるため、積分の差も $0$ へ収束する。▨

例 5.3. $\R$ 上で $\mu_n=\delta_{1/n}$ 、 $\mu=\delta_0$ とする。このとき、任意の有界連続関数 $f$ に対して $\int f\,d\mu_n=f(1/n)\to f(0)=\int f\,d\mu$ である。したがって、 $\mu_n\Rightarrow\mu$ である。一方、Borel 可測関数 $g_n=\mathbf1_{\{1/n\}}-\mathbf1_{\{0\}}$ は $|g_n|\leq1$ であり、積分の差は $2$ である。上限の定義から $D(\mu_n,\mu)=2$ である。したがって、 $\mu_n$ は $\mu$ に全変動収束しない。

§E10.40測度の弱収束

1 弱収束と弱位相

2 Portmanteau の定理

3 有界 Lipschitz 距離

4 弱収束列の一様緊密性

5 全変動収束との比較

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