平滑化 | 測度と積分

1 平滑化核と平均

補題 1.1. $d\geq1$ を整数とする。このとき、任意の $r>0$ に対して、次の条件を満たす $\eta_r\in C_c^\infty(\R^d;\R)$ が存在する。

\eta_r\geq0,\qquad \operatorname{supp}\eta_r=\overline{B(0,r)},\qquad \eta_r(-x)=\eta_r(x),\qquad \int_{\R^d}\eta_r\,d\lambda_d=1.

証明.§D1.16 補題 4.1の $C^\infty$ 級関数 $\theta$ を用い、固定した $r>0$ に対して

q_r(x)=\theta(r^2-|x|^2)

とおく。 $\theta$ の滑らかさと多項式写像 $x\mapsto r^2-|x|^2$ の滑らかさから $q_r\in C^\infty(\R^d)$ である。 $q_r$ は $B(0,r)$ 上で正であり、その外で $0$ であるから、

\operatorname{supp}q_r=\overline{B(0,r)}.

さらに、 $0\leq q_r\leq1$ であり、台は $[-r,r]^d$ に含まれるため、

\int_{\R^d}q_r\,d\lambda_d<\infty.

半開立方体

Q=\left(-\frac{r}{2\sqrt d},\frac{r}{2\sqrt d}\right]^d

では $|x|\leq r/2$ であるから、

q_r(x)\geq\theta(3r^2/4)>0.

§E10.16 定義 1.1による $Q$ の測度は $(r/\sqrt d)^d>0$ である。したがって、

0< \theta(3r^2/4)\lambda_d(Q) \leq\int_{\R^d}q_r\,d\lambda_d<\infty.

正の定数

c_r=\left(\int_{\R^d}q_r\,d\lambda_d\right)^{-1}

を定め、 $\eta_r=c_rq_r$ とおく。 $\eta_r$ は非負で滑らかであり、台は $\overline{B(0,r)}$ である。 $q_r$ が $|x|$ だけに依存することから $\eta_r$ は偶関数であり、定数 $c_r$ の定義から積分は $1$ である。▨

補題 1.2. $d\geq1$ を整数、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $\varphi\in C_c(\R^d;\mathbb K)$ とする。このとき、任意の $\varepsilon>0$ に対して、ある $\delta>0$ が存在し、すべての $x,y\in\R^d$ について

|x-y|<\delta\quad\Longrightarrow\quad|\varphi(x)-\varphi(y)|<\varepsilon

が成り立つ。

証明. $\supp\varphi\subseteq\overline{B(0,R)}$ となる $R>0$ をとり、 $L=\overline{B(0,R+1)}$ とおく。 $\varepsilon>0$ をとる。 $L$ はコンパクトであるから、§E2.9 定理 5.1により、 $x,y\in L$ かつ $|x-y|<\delta$ ならば $|\varphi(x)-\varphi(y)|<\varepsilon$ となる $0<\delta\leq1$ が存在する。 $x,y\in\R^d$ が $|x-y|<\delta$ を満たし、一方が $L$ の外にあるとする。このとき、三角不等式により両点とも $\overline{B(0,R)}$ の外にあり、両方の関数値は $0$ である。したがって、この $\delta$ はすべての $x,y\in\R^d$ に対して所要の条件を満たす。▨

補題 1.3. $d\geq1$ を整数、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とする。 $\varphi\in C_c(\R^d;\mathbb K)$ とし、 $r>0$ とする。補題 1.1の $\eta_r$ を用いて

(M_r\varphi)(x) =\int_{\R^d}\varphi(z)\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z)

\text{(1.3.1)}

と定める。このとき $M_r\varphi\in C_c^\infty(\R^d;\mathbb K)$ である。さらに、

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_\infty\longrightarrow0 \qquad(r\downarrow0)

\text{(1.3.2)}

であり、任意の $1\leq p<\infty$ に対して

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_p\longrightarrow0 \qquad(r\downarrow0)

\text{(1.3.3)}

が成り立つ。

証明. $\varphi=0$ ならば、すべての $r>0$ に対して $M_r\varphi=0$ であり、滑らかさ、台、および二つの収束はいずれも直ちに成り立つ。以下では $\varphi\neq0$ とする。

$K=\operatorname{supp}\varphi$ とおく。このとき $K$ は空でないコンパクト集合であるから、 $\varphi$ は有界であり、 $K$ は有限 Lebesgue 測度をもつ。式 (1.3.1)の被積分関数は $z\notin K$ で $0$ となり、 $K$ 上で有界である。したがって、各 $x$ に対して式 (1.3.1)の積分は絶対収束する。

$e_j$ を第 $j$ 座標方向の単位ベクトルとする。固定した $x$ と $j$ に対して、

\frac{(M_r\varphi)(x+he_j)-(M_r\varphi)(x)}{h} = \int_K\varphi(z) \frac{\eta_r(x+he_j-z)-\eta_r(x-z)}{h}\,d\lambda_d(z).

\text{(1.3.4)}

$|h|\leq1$ のとき、差商に現れる点はコンパクト集合

\{x+te_j-z\mid |t|\leq1,\ z\in K\}

に属する。 $\partial_j\eta_r$ はこの集合上で一様連続である。したがって、一変数の平均値の定理を $t\mapsto\eta_r(x+te_j-z)$ へ適用すると、式 (1.3.4)の差商は $\partial_j\eta_r(x-z)$ へ $z\in K$ について一様に収束する。ゆえに

\left| \int_K\varphi(z) \left( \frac{\eta_r(x+he_j-z)-\eta_r(x-z)}{h} -\partial_j\eta_r(x-z) \right)d\lambda_d(z) \right| \leq \lVert\varphi\rVert_\infty\lambda_d(K) \sup_{z\in K}\left| \frac{\eta_r(x+he_j-z)-\eta_r(x-z)}{h} -\partial_j\eta_r(x-z) \right| \longrightarrow0.

したがって、

\partial_j(M_r\varphi)(x) =\int_K\varphi(z)\partial_j\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z).

\text{(1.3.5)}

任意の正整数 $s$ と任意の順序付き列 $(i_1,\ldots,i_s)\in\{1,\ldots,d\}^s$ をとる。 $\eta_r$ は $C^\infty$ 級であるから、各反復偏導関数は連続である。上の差商の評価を $\eta_r$ の各反復偏導関数へ順に適用すると、帰納的に

\partial_{i_s}\cdots\partial_{i_1}(M_r\varphi)(x) =\int_K\varphi(z)\partial_{i_s}\cdots\partial_{i_1}\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z)

\text{(1.3.6)}

を得る。 $x_0\in\R^d$ を固定すると、 $|x-x_0|\leq1$ と $z\in K$ を満たす点 $x-z$ の全体はコンパクトである。 $\psi=\partial_{i_s}\cdots\partial_{i_1}\eta_r$ はこの集合上で一様連続なので、

\left|\int_K\varphi(z)\bigl(\psi(x-z)-\psi(x_0-z)\bigr)\,d\lambda_d(z)\right| \leq\|\varphi\|_\infty\lambda_d(K)\sup_{z\in K}|\psi(x-z)-\psi(x_0-z)|\longrightarrow0

が $x\to x_0$ のとき成り立つ。したがって、すべての順序の反復偏導関数は連続である。§E4.4 定理 1.7により $M_r\varphi$ は $C^\infty$ 級である。複素数値の場合は、 $M_r\varphi$ を実部と虚部からなる $\R^2$ 値写像として同じ定理を適用する。

$x\notin K+\overline{B(0,r)}$ ならば、すべての $z\in K$ に対して $x-z\notin\overline{B(0,r)}$ であり、 $\eta_r(x-z)=0$ である。したがって、

\operatorname{supp}(M_r\varphi) \subseteq K+\overline{B(0,r)}.

\text{(1.3.7)}

右辺はコンパクト集合 $K\times\overline{B(0,r)}$ の連続像であるからコンパクトである。式 (1.3.6)と式 (1.3.7)により $M_r\varphi\in C_c^\infty(\R^d;\mathbb K)$ である。

Lebesgue 測度の平行移動不変性§E10.16 定理 7.1により、非負可測関数 $h$ に対して

\int_{\R^d}h(z-x)\,d\lambda_d(z) =\int_{\R^d}h(z)\,d\lambda_d(z)

\text{(1.3.8)}

が成り立つ。実際、平行移動による像測度は Lebesgue 測度と一致するので、§E10.12 定理 1.2 (1)を適用することができる。 $\eta_r$ は偶関数であるから、式 (1.3.8)により

\int_{\R^d}\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z) =\int_{\R^d}\eta_r(z-x)\,d\lambda_d(z) =1.

\text{(1.3.9)}

式 (1.3.1)と式 (1.3.9)から

|(M_r\varphi)(x)-\varphi(x)| \leq \int_{\R^d} |\varphi(z)-\varphi(x)|\eta_r(x-z)\,d\lambda_d(z).

\text{(1.3.10)}

補題 1.2により $\varphi$ は $\R^d$ 上で一様連続であるから、

\omega_\varphi(r) =\sup\{|\varphi(z)-\varphi(x)|\mid x,z\in\R^d,\ |x-z|\leq r\} \longrightarrow0 \qquad(r\downarrow0).

$\eta_r(x-z)\neq0$ ならば $|x-z|<r$ であるため、式 (1.3.10)と式 (1.3.9)から

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_\infty \leq\omega_\varphi(r)\longrightarrow0

を得る。

$0<r\leq1$ とする。式 (1.3.7)により、 $\varphi$ と $M_r\varphi$ の台はともに固定したコンパクト集合

K_1=K+\overline{B(0,1)}

に含まれる。 $\lambda_d(K_1)<\infty$ であるから、

\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_p^p \leq \lambda_d(K_1)\lVert M_r\varphi-\varphi\rVert_\infty^p \longrightarrow0.

したがって、式 (1.3.3)が成り立つ。▨

定理 1.4. $d\geq1$ 、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、および $1\leq p<\infty$ とする。このとき、 $C_c^\infty(\R^d;\mathbb K)$ は $L^p(\R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb K)$ で稠密である。

証明. $[f]\in L^p(\R^d;\mathbb K)$ と $\varepsilon>0$ を任意にとる。§E10.23 定理 3.3により、 $\varphi\in C_c(\R^d;\mathbb K)$ で

\lVert f-\varphi\rVert_p<\frac{\varepsilon}{2}

を満たすものが存在する。補題 1.3により、十分小さい $r>0$ に対して

\lVert\varphi-M_r\varphi\rVert_p<\frac{\varepsilon}{2}

であり、 $M_r\varphi\in C_c^\infty(\R^d;\mathbb K)$ である。三角不等式から

\lVert f-M_r\varphi\rVert_p \leq\lVert f-\varphi\rVert_p +\lVert\varphi-M_r\varphi\rVert_p <\varepsilon

を得る。▨

2 滑らかな有限分割

定理 2.1. $d\geq1$ と $N\geq1$ を整数とし、 $K\subseteq\R^d$ をコンパクト集合とする。 $U_1,\ldots,U_N$ を $K\subseteq\bigcup_{j=1}^NU_j$ を満たす $\R^d$ の開集合とする。このとき、実数値関数 $\theta_1,\ldots,\theta_N\in C_c^\infty(\R^d;\R)$ と、 $K$ を含む開集合 $V\subseteq\R^d$ が存在し、

\supp\theta_j\subseteq U_j,\qquad \theta_j\geq0 \quad(1\leq j\leq N),\qquad \sum_{j=1}^N\theta_j=1\ \text{on }V,\qquad \sum_{j=1}^N\theta_j\leq1\ \text{on }\R^d

が成り立つ。 $K=\varnothing$ の場合には、すべての $\theta_j$ を零関数とすることができる。特に、コンパクト集合 $K$ と $K$ を含む開集合 $U$ に対して、 $0\leq\theta\leq1$ 、 $\supp\theta\subseteq U$ を満たし、 $K$ のある開近傍で $1$ となる $\theta\in C_c^\infty(\R^d;\R)$ が存在する。

証明. $K=\varnothing$ の場合には、 $\theta_j=0$ および $V=\varnothing$ とおく。以下では $K\neq\varnothing$ とする。

$a\in K$ 、 $\rho>0$ 、 $1\leq j\leq N$ および $\overline{B(a,4\rho)}\subseteq U_j$ を満たす三つ組 $(a,\rho,j)$ を添字とする球 $B(a,\rho)$ の族をとる。各 $a\in K$ はある開集合 $U_j$ に属し、そのような $\rho>0$ が存在するので、この族は $K$ を覆う。コンパクト性により有限個の球 $B(a_\ell,\rho_\ell)$ （ $1\leq\ell\leq m$ ）を選び、

K\subseteq V:=\bigcup_{\ell=1}^m B(a_\ell,\rho_\ell),\qquad \overline{B(a_\ell,4\rho_\ell)}\subseteq U_{j_\ell}

とする。

各 $\ell$ に対して、連続関数 $\varphi_\ell:\R^d\to[0,1]$ を

\varphi_\ell(z)= \begin{cases} 1,&|z-a_\ell|\leq2\rho_\ell,\\ 3-|z-a_\ell|/\rho_\ell,&2\rho_\ell<|z-a_\ell|<3\rho_\ell,\\ 0,&|z-a_\ell|\geq3\rho_\ell \end{cases}

と定め、 $f_\ell=M_{\rho_\ell/2}\varphi_\ell$ とおく。 $\supp\varphi_\ell\subseteq\overline{B(a_\ell,3\rho_\ell)}$ であるから、補題 1.3と式 (1.3.7)により

f_\ell\in C_c^\infty(\R^d;\R),\qquad \supp f_\ell\subseteq\overline{B(a_\ell,7\rho_\ell/2)}\subseteq U_{j_\ell}.

核の非負性と式 (1.3.9)により、 $0\leq f_\ell\leq1$ である。 $x\in B(a_\ell,\rho_\ell)$ とし、 $\eta_{\rho_\ell/2}(x-z)\neq0$ とする。このとき、 $|z-a_\ell|\leq|z-x|+|x-a_\ell|<3\rho_\ell/2<2\rho_\ell$ であるから、 $\varphi_\ell(z)=1$ である。したがって、同じ正規化の等式により $f_\ell(x)=1$ である。

各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対して $I_j=\{\ell\in\{1,\ldots,m\}\mid j_\ell=j\}$ とし、

b_j=1-\prod_{\ell\in I_j}(1-f_\ell)

とおく。空積は $1$ とする。有限個の滑らかな関数の積から $b_j$ は滑らかであり、 $0\leq b_j\leq1$ である。 $\bigcup_{\ell\in I_j}\supp f_\ell$ の外では $b_j=0$ なので、

\supp b_j\subseteq\bigcup_{\ell\in I_j}\supp f_\ell\subseteq U_j.

有限合併 $\bigcup_{\ell\in I_j}\supp f_\ell$ はコンパクトであるから、 $b_j\in C_c^\infty(\R^d;\R)$ である。 $I_j=\varnothing$ ならば $b_j=0$ である。 $x\in V$ に対しては、 $x\in B(a_\ell,\rho_\ell)$ となる $\ell$ が存在し、 $f_\ell(x)=1$ であるから $b_{j_\ell}(x)=1$ である。

各 $j\in\{1,\ldots,N\}$ に対して

\theta_j=b_j\prod_{k<j}(1-b_k)

と定める。 $\theta_j$ は非負で滑らかであり、 $\supp\theta_j\subseteq\supp b_j\subseteq U_j$ なのでコンパクトな台をもつ。有限積の差を足し合わせると、

\sum_{j=1}^N\theta_j =\sum_{j=1}^N\left(\prod_{k<j}(1-b_k)-\prod_{k\leq j}(1-b_k)\right) =1-\prod_{j=1}^N(1-b_j)

を得る。 $0\leq b_j\leq1$ により、この和は全空間で $1$ 以下である。 $x\in V$ ではある $b_j(x)$ が $1$ なので、和は $1$ である。単一の開集合 $U$ に対する結論は $N=1$ の場合である。▨

3 平行移動と Fourier 変換

命題 3.1. $d\geq1$ を整数、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $1\leq p<\infty$ とする。このとき、 $f\in L^p(\R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb K)$ と $h\in\R^d$ に対して $(\tau_hf)(x)=f(x+h)$ と定めると、 $\tau_h$ は $L^p$ 上の線形等長写像であり、

\lim_{h\to0}\|\tau_hf-f\|_p=0

が成り立つ。

証明. 演習とする（問題 6.2）。▨

定理 3.2. $f\in L^1(\R,\mathcal L_1,\lambda_1;\C)$ とする。このとき、任意の $t\in\R$ に対して

\widehat f(t)=\int_{\R}f(x)e^{-itx}\,d\lambda_1(x)

は定義され、 $|t|\to\infty$ のとき $\widehat f(t)\to0$ である。

証明. 演習とする（問題 6.3）。▨

4 円周上の連続関数の稠密性

定理 4.1. $\mathbb T=\R/(2\pi\Z)$ を円周とし、商写像を $q:\R\to\mathbb T$ とする。円周上の正規化 Lebesgue 確率測度 $m$ は、 $I=[-\pi,\pi)$ 上の測度 $(2\pi)^{-1}\lambda_1|_I$ の $q|_I$ による像測度とする。可測集合族は $\{A\subseteq\mathbb T\mid q^{-1}(A)\cap I\in\mathcal L_1\}$ とする。このとき、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ および $1\leq p<\infty$ に対して、 $C(\mathbb T;\mathbb K)$ は $L^p(\mathbb T,m;\mathbb K)$ で稠密である。

証明. $[f]\in L^p(\mathbb T,m;\mathbb K)$ の可測代表元 $f$ と $\varepsilon>0$ をとる。 $F:\R\to\mathbb K$ を、 $x\in I$ では $F(x)=f(q(x))$ 、 $x\notin I$ では $F(x)=0$ と定める。可測集合族の定義により $F$ は Lebesgue 可測であり、§E10.12 定理 1.2 (1)により

\int_\R|F|^p\,d\lambda_1=2\pi\int_{\mathbb T}|f|^p\,dm<\infty

である。連続関数 $\chi$ を

\chi(x)= \begin{cases} 1,&|x|\leq\pi,\\ 2-|x|/\pi,&\pi<|x|<2\pi,\\ 0,&|x|\geq2\pi \end{cases}

と定める。 $0\leq\chi\leq1$ かつ $\chi F=F$ である。§E10.23 定理 3.3により、 $g\in C_c(\R;\mathbb K)$ で

\|g-F\|_{L^p(\R)}<\left(\frac{2\pi}{3^{p-1}}\right)^{1/p}\varepsilon

を満たすものが存在する。 $u=\chi g$ とおくと、 $u$ は $[-2\pi,2\pi]$ に台をもつ連続関数であり、 $|u-F|=|\chi(g-F)|\leq|g-F|$ である。

実直線上の関数 $G$ を

G(x)=\sum_{k\in\Z}u(x+2\pi k)

と定める。任意の有界な区間上では、 $x+2\pi k\in[-2\pi,2\pi]$ となる添字 $k$ は有限個に限られるため、この和は局所有限であり、 $G$ は連続である。添字の置換から $G(x+2\pi)=G(x)$ である。したがって、商位相の定義により $G=v\circ q$ を満たす連続関数 $v:\mathbb T\to\mathbb K$ が存在する。 $v\circ q|_I$ は連続関数の制限なので Lebesgue 可測であり、円周の可測集合族の定義から $v$ も可測である。

半開区間 $I+2\pi k$ （ $k\in\Z$ ）は実直線を分割するから、すべての $x\in\R$ について $\sum_{k\in\Z}F(x+2\pi k)=f(q(x))$ である。 $u-F$ は $[-2\pi,2\pi]$ の外で $0$ なので、各 $x\in I$ について差の和には高々三つの非零項がある。三項の Hölder の不等式（ $p=1$ では三角不等式）と像測度の積分公式により、

\begin{aligned} \|v-f\|_{L^p(m)}^p &=\frac1{2\pi}\int_I\left|\sum_{k\in\Z}(u-F)(x+2\pi k)\right|^p\,d\lambda_1(x)\\ &\leq\frac{3^{p-1}}{2\pi}\sum_{k\in\Z}\int_{I+2\pi k}|u-F|^p\,d\lambda_1\\ &=\frac{3^{p-1}}{2\pi}\|u-F\|_{L^p(\R)}^p \leq\frac{3^{p-1}}{2\pi}\|g-F\|_{L^p(\R)}^p<\varepsilon^p. \end{aligned}

和と積分の交換には§E10.11 系 1.5を、積分区間の平行移動には式 (1.3.8)を用いた。最後の等式は半開区間の分割による。 $f\in L^p(m;\mathbb K)$ と $v-f\in L^p(m;\mathbb K)$ から $v\in L^p(m;\mathbb K)$ であり、所要の近似を得る。▨

5 無限大の指数における反例

注意 5.1. $d\geq1$ を整数とする。このとき、§E10.23 例 3.5により、任意の $g\in C_c^\infty(\R^d;\R)\subseteq C_c(\R^d;\R)$ に対して $\|1-g\|_\infty\geq1$ である。したがって、 $C_c^\infty(\R^d;\R)$ は $L^\infty(\R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\R)$ で稠密でない。

6 演習

問題 6.1. $\varphi(x)=\max\{1-|x|,0\}$ とし、 $0<r<1$ とする。補題 1.1の一次元の核 $\eta_r$ を用いた平均 $M_r\varphi$ について、

(M_r\varphi)(0)=1-\int_{-r}^r|z|\eta_r(z)\,d\lambda_1(z),\qquad \|M_r\varphi-\varphi\|_\infty\leq r,\qquad \operatorname{supp}(M_r\varphi)\subseteq[-1-r,1+r]

を示せ。

解答.

$\eta_r$ は偶関数であり、台は $[-r,r]$ に含まれる。 $r<1$ であるから、台の上で $\varphi(z)=1-|z|$ であり、正規化を用いると

(M_r\varphi)(0)=\int_{-r}^r(1-|z|)\eta_r(z)\,d\lambda_1(z) =1-\int_{-r}^r|z|\eta_r(z)\,d\lambda_1(z).

絶対値の三角不等式と $a\mapsto\max\{a,0\}$ の Lipschitz 評価から、任意の $x,z\in\R$ に対して $|\varphi(z)-\varphi(x)|\leq|z-x|$ である。式 (1.3.10)と式 (1.3.9)により、

|(M_r\varphi)(x)-\varphi(x)| \leq\int_{\R}|z-x|\eta_r(x-z)\,d\lambda_1(z)\leq r.

したがって一様誤差は $r$ 以下である。 $\operatorname{supp}\varphi=[-1,1]$ であるから、式 (1.3.7)により台は $[-1-r,1+r]$ に含まれる。▨

問題 6.2. $d\geq1$ を整数、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $1\leq p<\infty$ とする。 $[f]\in L^p(\R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb K)$ と $h\in\R^d$ に対して $(\tau_hf)(x)=f(x+h)$ とおく。 $[\tau_hf]\in L^p$ かつ $\lVert\tau_hf\rVert_p=\lVert f\rVert_p$ であること、および $h\to0$ のとき $\lVert\tau_hf-f\rVert_p\to0$ であることを示し、命題 3.1の証明を完成させよ。また、 $d=1$ 、 $p=\infty$ 、 $f=\mathbf 1_{(0,\infty)}$ について、すべての $h\neq0$ で $\lVert\tau_hf-f\rVert_\infty=1$ であることを示せ。

解答.

$T(x)=x+h$ とおく。§E10.16 定理 7.1により、任意の $E\in\mathcal L_d$ について $T^{-1}(E)=E-h\in\mathcal L_d$ であるから、 $T$ は $(\mathcal L_d,\mathcal L_d)$ 可測であり、§E10.7 命題 1.2により $\tau_hf=f\circ T$ は可測である。 $f\sim g$ の例外集合を $Z$ とすると、 $\tau_hf$ と $\tau_hg$ は零集合 $Z-h$ の外で一致するので、 $[\tau_hf]$ は代表元に依存しない。式 (1.3.8)を非負可測関数 $|f|^p$ と $x=-h$ に適用すると

\int_{\R^d}|f(z+h)|^p\,d\lambda_d(z)=\int_{\R^d}|f(z)|^p\,d\lambda_d(z)

であるから、 $[\tau_hf]\in L^p$ かつ $\lVert\tau_hf\rVert_p=\lVert f\rVert_p$ である。

$\varepsilon>0$ をとる。§E10.23 定理 3.3により、 $\varphi\in C_c(\R^d;\mathbb K)$ で $\lVert f-\varphi\rVert_p<\varepsilon$ を満たすものが存在する。 $\operatorname{supp}\varphi\subseteq\overline{B(0,R)}$ を満たす $R$ をとり、 $L=\overline{B(0,R+1)}$ とおく。補題 1.2により、 $\omega(r)=\sup\{\,|\varphi(x)-\varphi(y)|\mid x,y\in\R^d,\ |x-y|\leq r\,\}$ は $r\downarrow0$ のとき $0$ に収束する。 $|h|<1$ ならば $\tau_h\varphi-\varphi$ は $L$ の外で $0$ であり、絶対値は $\omega(|h|)$ 以下であるから

\lVert\tau_h\varphi-\varphi\rVert_p\leq\omega(|h|)\lambda_d(L)^{1/p}

である。 $\tau_h$ は線形であり、前段により $\lVert\tau_h(f-\varphi)\rVert_p=\lVert f-\varphi\rVert_p$ であるから、§E10.22 定理 6.1により

\lVert\tau_hf-f\rVert_p \leq\lVert\tau_h(f-\varphi)\rVert_p+\lVert\tau_h\varphi-\varphi\rVert_p+\lVert\varphi-f\rVert_p <2\varepsilon+\omega(|h|)\lambda_d(L)^{1/p}

である。 $\lambda_d(L)<\infty$ であるから、 $|h|$ が十分小さいとき右辺は $3\varepsilon$ 未満である。 $\varepsilon$ は任意であるから、 $\lVert\tau_hf-f\rVert_p\to0$ である。

$d=1$ 、 $f=\mathbf 1_{(0,\infty)}$ とする。 $h>0$ ならば $\tau_hf-f=\mathbf 1_{(-h,0]}$ であり、 $h<0$ ならば $\tau_hf-f=-\mathbf 1_{(0,-h]}$ である。いずれも絶対値は正の測度 $|h|$ の集合上で $1$ 、その外で $0$ であるから、 $\lVert\tau_hf-f\rVert_\infty=1$ である。▨

問題 6.3. $[f]\in L^1(\R,\mathcal L_1,\lambda_1;\C)$ と $t\in\R$ に対して

\widehat f(t)=\int_{\R}f(x)e^{-itx}\,d\lambda_1(x)

とおく。この積分が定義されることを示し、定理 3.2の証明を完成させよ。

解答.

$x\mapsto e^{-itx}$ は連続であるから可測であり、 $f(x)e^{-itx}$ は可測で $|f(x)e^{-itx}|=|f(x)|$ である。したがってこの関数は可積分であり、 $\widehat f(t)$ は定義される。 $f$ の代表元を零集合上で変更しても積分値は変わらないので、 $\widehat f(t)$ は同値類に対して定まる。

$t\neq0$ とし、 $h=\pi/t$ とおく。命題 3.1により $\tau_h f\in L^1(\R;\C)$ である。式 (1.3.8)を実部と虚部の正部分・負部分に適用すると、可積分な複素数値関数の積分も平行移動で不変である。したがって、

\begin{aligned} \int_\R f(x+h)e^{-itx}\,d\lambda_1(x) &=e^{ith}\int_\R f(x+h)e^{-it(x+h)}\,d\lambda_1(x)\\ &=e^{ith}\widehat f(t)=-\widehat f(t). \end{aligned}

ゆえに、§E10.10 補題 2.5により

2|\widehat f(t)| =\left|\int_\R\bigl(f(x)-f(x+h)\bigr)e^{-itx}\,d\lambda_1(x)\right| \leq\|\tau_hf-f\|_1.

$|t|\to\infty$ のとき $h=\pi/t\to0$ なので、命題 3.1により右辺は $0$ に収束する。したがって $\widehat f(t)\to0$ である。▨

§E10.47平滑化

1 平滑化核と平均

2 滑らかな有限分割

3 平行移動と Fourier 変換

4 円周上の連続関数の稠密性

5 無限大の指数における反例

6 演習

参考文献

前提記事