§E10.49Henstock–Kurzweil 積分

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点に応じて小区間の幅を指定することにより、導関数が有界でない場合にも積分と微分の関係を調べることができる。例えば、f(x)=sin⁡(1/x)f(x)=\sin(1/x)の振動は、xxが00に近づくほど細かくなる。Henstock–Kurzweil 積分は、ゲージによって各点に応じた細かさを指定し、Riemann 和による積分の考え方を広げるものである。本記事では、有限閉区間上の Henstock–Kurzweil 積分の基本的な性質と、既知の積分との関係について解説する。

1 ゲージとタグ付き分割

定義 1.1. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。[a,b][a,b]上のゲージ (gauge) とは、任意のx∈[a,b]x\in[a,b]に正の実数δ(x)>0\delta(x)>0を対応させる関数である。

[a,b][a,b]のタグ付き分割 (tagged partition) とは、

a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_0<x_1<\cdots <x_n=b

と、各i∈{1,…,n}i\in\{1,\dots,n\}に対するタグ

τi∈[xi−1,xi]\tau_i\in[x_{i-1},x_i]

の組

P={([xi−1,xi],τi)∣1≤i≤n}\mathcal{P}=\{([x_{i-1},x_i],\tau_i)\mid 1\leq i\leq n\}

である。タグが小区間の端点または分割点に一致することを許す。同じ分割点が左右二つの小区間のタグになることも許す。

タグ付き分割P\mathcal{P}がゲージδ\deltaに対して δ\delta-fine (δ\delta-fine) であるとは、すべてのiiについて

[xi−1,xi]⊂(τi−δ(τi),τi+δ(τi))[x_{i-1},x_i]\subset (\tau_i-\delta(\tau_i),\tau_i+\delta(\tau_i))

が成り立つことをいう。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}に対する Riemann 和 (Riemann sum) を

S(f,P)=∑i=1nf(τi)(xi−xi−1)S(f,\mathcal{P}) =\sum_{i=1}^{n}f(\tau_i)(x_i-x_{i-1})

によって定める。

a=ba=bの場合には、タグ付き分割を空の族だけとし、その Riemann 和を00と定める。

定義 1.2. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値関数とする。あるA∈KA\in\mathbb{K}が存在し、任意のε>0\varepsilon>0に対して、あるゲージδ\deltaが存在して、任意のδ\delta-fine なタグ付き分割P\mathcal{P}が

∣S(f,P)−A∣<ε\lvert S(f,\mathcal{P})-A\rvert<\varepsilon

を満たすとき、ffは Henstock–Kurzweil 可積分 (Henstock–Kurzweil integrable)、または HK 可積分 (HK integrable) であるという。このAAを

HK⁡ ⁣∫abf\operatorname{HK}\!\int_a^b f

と書く。a=ba=bの場合には、任意の有限値関数を HK 可積分とし、積分値を00とする。

定義が空虚でないためには、任意のゲージに対する fine 分割が存在しなければならない。

補題 1.3 (Cousin の補題). 実数a≤ba\leq bとし、δ\deltaを[a,b][a,b]上のゲージとする。このとき、[a,b][a,b]にはδ\delta-fine なタグ付き分割が存在する。この主張は実数の上限性だけから従う。

証明.a=ba=bの場合には空の分割が条件を満たす。以下ではa<ba<bとする。

E={x∈[a,b]∣[a,x] に δ-fine なタグ付き分割が存在する}E=\{x\in[a,b]\mid [a,x]\text{ に }\delta\text{-fine なタグ付き分割が存在する}\}

とおく。空の分割によりa∈Ea\in Eであるから、EEは空でない。また、E⊆[a,b]E\subseteq[a,b]であるためc=sup⁡Ec=\sup Eが存在する。

c<bc<bと仮定する。

0<η<min⁡{δ(c),b−c}0<\eta<\min\{\delta(c),b-c\}

を満たすη\etaをとる。ccはEEの上限であるから、あるy∈Ey\in Eが存在して

c−η2<y≤cc-\frac{\eta}{2}<y\leq c

を満たす。z=c+η/2z=c+\eta/2とおくとz≤bz\leq bであり、

[y,z]⊂(c−δ(c),c+δ(c))[y,z]\subset(c-\delta(c),c+\delta(c))

が成り立つ。[a,y][a,y]のδ\delta-fine 分割の末尾へ([y,z],c)([y,z],c)を加えると、[a,z][a,z]のδ\delta-fine 分割を得る。したがってz∈Ez\in Eであるが、z>cz>cはc=sup⁡Ec=\sup Eに反する。ゆえにc=bc=bである。

η=δ(b)\eta=\delta(b)とし、上限の定義からb−η/2<y≤bb-\eta/2<y\leq bを満たすy∈Ey\in Eをとる。y=by=bならばb∈Eb\in Eである。y<by<bならば、[a,y][a,y]の fine 分割へ([y,b],b)([y,b],b)を加えることができる。したがって、いずれの場合にもb∈Eb\in Eであり、[a,b][a,b]にδ\delta-fine 分割が存在する。▨

2 一意性、Cauchy 判定、線形性

Cousin の補題により、二つのゲージの小さいほうに fine な分割を選ぶことができる。

命題 2.1. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}がA,B∈KA,B\in\mathbb{K}の両方を定義 1.2の積分値としてもつと仮定する。このときA=BA=Bである。

証明.a=ba=bならばA=B=0A=B=0である。a<ba<bとする。任意のε>0\varepsilon>0に対して、AAとBBに対応するゲージをそれぞれδA,δB\delta_A,\delta_Bとする。

δ(x)=min⁡{δA(x),δB(x)}\delta(x)=\min\{\delta_A(x),\delta_B(x)\}

はゲージである。補題 1.3によりδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}が存在する。この分割は二つの元のゲージに対しても fine であるから、

∣A−B∣≤∣A−S(f,P)∣+∣S(f,P)−B∣<2ε.|A-B| \leq|A-S(f,\mathcal{P})|+|S(f,\mathcal{P})-B| <2\varepsilon.

ε>0\varepsilon>0は任意であるためA=BA=Bである。▨

命題 2.2. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値関数とする。次の二条件は同値である。

  1. ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分である。
  2. 任意のε>0\varepsilon>0に対して、あるゲージδ\deltaが存在し、任意の二つのδ\delta-fine 分割P,Q\mathcal{P},\mathcal{Q}が ∣S(f,P)−S(f,Q)∣<ε|S(f,\mathcal{P})-S(f,\mathcal{Q})|<\varepsilon を満たす。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。第一の条件を仮定し、積分値をAAとする。誤差をε/2\varepsilon/2未満にするゲージを選ぶと、三角不等式によって第二の条件を得る。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。各正の整数nnに対して、二つの fine 分割の和の差を2−n2^{-n}未満にするゲージδn\delta_nを選び、補題 1.3によってδn\delta_n-fine 分割Pn\mathcal{P}_nを選ぶ。An=S(f,Pn)A_n=S(f,\mathcal{P}_n)とおく。

正の整数m,nm,nに対して、ゲージmin⁡{δm,δn}\min\{\delta_m,\delta_n\}に fine な分割R\mathcal{R}を選ぶ。R\mathcal{R}はδm\delta_mとδn\delta_nの両方に fine であるから、

∣Am−An∣≤∣Am−S(f,R)∣+∣S(f,R)−An∣<2−m+2−n.|A_m-A_n| \leq|A_m-S(f,\mathcal{R})|+|S(f,\mathcal{R})-A_n| <2^{-m}+2^{-n}.

したがって(An)(A_n)はK\mathbb{K}の Cauchy 列である。R\RとC\Cの完備性により、あるA∈KA\in\mathbb{K}が存在してAn→AA_n\to Aとなる。

ε>0\varepsilon>0をとる。2−n<ε/32^{-n}<\varepsilon/3かつ∣An−A∣<ε/3|A_n-A|<\varepsilon/3を満たすnnを選ぶ。任意のδn\delta_n-fine 分割P\mathcal{P}に対して、第二の条件から

∣S(f,P)−An∣<2−n<ε3.|S(f,\mathcal{P})-A_n|<2^{-n}<\frac{\varepsilon}{3}.

ゆえに

∣S(f,P)−A∣<2ε3<ε.|S(f,\mathcal{P})-A|<\frac{2\varepsilon}{3}<\varepsilon.

したがってffは HK 可積分であり、その積分値はAAである。▨

命題 2.3. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。有限値関数f,g:[a,b]→Kf,g:[a,b]\to\mathbb{K}が HK 可積分であると仮定する。このとき、任意のα,β∈K\alpha,\beta\in\mathbb{K}に対して、αf+βg\alpha f+\beta gは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫ab(αf+βg)=αHK⁡ ⁣∫abf+βHK⁡ ⁣∫abg\operatorname{HK}\!\int_a^b(\alpha f+\beta g) =\alpha\operatorname{HK}\!\int_a^b f +\beta\operatorname{HK}\!\int_a^b g

が成り立つ。

証明.a=ba=bの場合には、f,g,αf+βgf,g,\alpha f+\beta gの HK 積分値が定義によりすべて00であるため、主張する等式が成り立つ。以下ではa<ba<bとする。ε>0\varepsilon>0をとり、

η=ε2(1+∣α∣+∣β∣)\eta=\frac{\varepsilon}{2(1+|\alpha|+|\beta|)}

とおく。f,gf,gの積分値をそれぞれA,BA,Bとし、誤差をη\eta未満にするゲージをδf,δg\delta_f,\delta_gとする。δ=min⁡{δf,δg}\delta=\min\{\delta_f,\delta_g\}とおくと、任意のδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}に対して

∣S(αf+βg,P)−(αA+βB)∣≤∣α∣ ∣S(f,P)−A∣+∣β∣ ∣S(g,P)−B∣≤(∣α∣+∣β∣)η<ε\begin{aligned} &\left|S(\alpha f+\beta g,\mathcal{P})-(\alpha A+\beta B)\right|\\ &\qquad\leq|\alpha|\,|S(f,\mathcal{P})-A| +|\beta|\,|S(g,\mathcal{P})-B|\\ &\qquad\leq(|\alpha|+|\beta|)\eta<\varepsilon \end{aligned}

が成り立つ。▨

3 微積分学の基本定理

Riemann 積分の微積分学の基本定理では、導関数の連続性などを仮定する。一方、HK 積分では、微分可能性の定義そのものから fine 和の誤差評価が得られるため、内部で微分可能な連続関数の導関数を追加の可測性や有界性なしに積分することができる。

定理 3.1. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。F:[a,b]→KF:[a,b]\to\mathbb{K}を連続関数とする。a<ba<bの場合には、FFが(a,b)(a,b)の各点で実変数について微分可能であると仮定する。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を

f(x)=F′(x)(a<x<b)f(x)=F'(x)\qquad(a<x<b)

によって定める。a<ba<bの場合にはf(a)f(a)とf(b)f(b)に任意の有限値を指定し、a=ba=bの場合には唯一の点におけるf(a)f(a)に任意の有限値を指定する。このときffは[a,b][a,b]上で HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=F(b)−F(a)\operatorname{HK}\!\int_a^b f=F(b)-F(a)

が成り立つ。K=C\mathbb{K}=\Cの場合の微分は、実変数に関する複素数値差商の極限である。

証明.a=ba=bの場合には、定義 1.2によりffの HK 積分値は00であり、F(b)−F(a)=F(a)−F(a)=0F(b)-F(a)=F(a)-F(a)=0である。したがって主張が成り立つ。以下ではa<ba<bとする。任意のε>0\varepsilon>0をとり、

η=ε2(1+b−a)\eta=\frac{\varepsilon}{2(1+b-a)}

とおく。

各τ∈(a,b)\tau\in(a,b)に対して、半径の集合

Rτ={r∈(0,1]∣任意の y∈[a,b] について、0<∣y−τ∣<r ならば ∣F(y)−F(τ)−f(τ)(y−τ)∣<η∣y−τ∣}\begin{aligned} \mathcal{R}_\tau =\{r\in(0,1]\mid{}& \text{任意の }y\in[a,b]\text{ について、}\\ &0<|y-\tau|<r\text{ ならば } |F(y)-F(\tau)-f(\tau)(y-\tau)| <\eta|y-\tau|\} \end{aligned}

を定める。F′(τ)=f(τ)F'(\tau)=f(\tau)であるからRτ\mathcal{R}_\tauは空でない。rτ=sup⁡Rτr_\tau=\sup\mathcal{R}_\tauとおき、

δ(τ)=rτ2\delta(\tau)=\frac{r_\tau}{2}

と定める。0<δ(τ)<rτ0<\delta(\tau)<r_\tauであるから、上限の定義によりδ(τ)<r\delta(\tau)<rを満たすr∈Rτr\in\mathcal{R}_\tauが存在する。y=τy=\tauでは誤差が00である。したがって、任意のy∈[a,b]y\in[a,b]について

0≤∣y−τ∣<δ(τ)0\leq|y-\tau|<\delta(\tau)

ならば

∣F(y)−F(τ)−f(τ)(y−τ)∣≤η∣y−τ∣|F(y)-F(\tau)-f(\tau)(y-\tau)| \leq\eta|y-\tau|

が成り立つ。

端点では半径の集合

Ra={r∈(0,1]∣任意の y∈[a,b] について、 0≤y−a<r ならば∣F(y)−F(a)∣<ε/8 かつ ∣f(a)∣(y−a)<ε/8},Rb={r∈(0,1]∣任意の y∈[a,b] について、 0≤b−y<r ならば∣F(b)−F(y)∣<ε/8 かつ ∣f(b)∣(b−y)<ε/8}\begin{aligned} \mathcal{R}_a =\{r\in(0,1]\mid{}& \text{任意の }y\in[a,b]\text{ について、 }0\leq y-a<r\text{ ならば}\\ &|F(y)-F(a)|<\varepsilon/8 \text{ かつ }|f(a)|(y-a)<\varepsilon/8\},\\ \mathcal{R}_b =\{r\in(0,1]\mid{}& \text{任意の }y\in[a,b]\text{ について、 }0\leq b-y<r\text{ ならば}\\ &|F(b)-F(y)|<\varepsilon/8 \text{ かつ }|f(b)|(b-y)<\varepsilon/8\} \end{aligned}

を定める。FFの端点での連続性とf(a),f(b)f(a),f(b)の有限性により、Ra\mathcal{R}_aとRb\mathcal{R}_bは空でない。

δ(a)=12sup⁡Ra,δ(b)=12sup⁡Rb\delta(a)=\frac12\sup\mathcal{R}_a, \qquad \delta(b)=\frac12\sup\mathcal{R}_b

と定めると、内部点の場合と同じ上限の議論により、0≤y−a<δ(a)0\leq y-a<\delta(a)ならば

∣F(y)−F(a)∣<ε8,∣f(a)∣(y−a)<ε8,|F(y)-F(a)|<\frac{\varepsilon}{8}, \qquad |f(a)|(y-a)<\frac{\varepsilon}{8},

0≤b−y<δ(b)0\leq b-y<\delta(b)ならば

∣F(b)−F(y)∣<ε8,∣f(b)∣(b−y)<ε8|F(b)-F(y)|<\frac{\varepsilon}{8}, \qquad |f(b)|(b-y)<\frac{\varepsilon}{8}

が成り立つ。したがって、δ\deltaは[a,b][a,b]上のゲージである。

補題 1.3の上限を用いた構成により、このδ\deltaに対する fine 分割が存在する。

任意のδ\delta-fine 分割

P={([ui,vi],τi)∣1≤i≤n}\mathcal{P}=\{([u_i,v_i],\tau_i)\mid1\leq i\leq n\}

をとる。内部タグτi∈(a,b)\tau_i\in(a,b)に対して、uiu_iとviv_iを微分の評価へ別々に代入すると、

∣F(vi)−F(ui)−f(τi)(vi−ui)∣≤∣F(vi)−F(τi)−f(τi)(vi−τi)∣+∣F(ui)−F(τi)−f(τi)(ui−τi)∣≤η(vi−ui).\begin{aligned} &|F(v_i)-F(u_i)-f(\tau_i)(v_i-u_i)|\\ &\quad\leq |F(v_i)-F(\tau_i)-f(\tau_i)(v_i-\tau_i)|\\ &\qquad+ |F(u_i)-F(\tau_i)-f(\tau_i)(u_i-\tau_i)|\\ &\quad\leq\eta(v_i-u_i). \end{aligned}

タグaaをもつことができるのは最初の小区間だけである。その小区間では、端点の二つの評価から

∣F(vi)−F(a)−f(a)(vi−a)∣<ε4|F(v_i)-F(a)-f(a)(v_i-a)|<\frac{\varepsilon}{4}

を得る。タグbbをもつことができるのは最後の小区間だけであり、同じくその誤差はε/4\varepsilon/4未満である。最初と最後の小区間が同じ場合にも、この小区間は一つのタグしかもたないため、端点誤差を二重に数えない。

区間の増分は望遠和をなし、

∑i=1n(F(vi)−F(ui))=F(b)−F(a)\sum_{i=1}^{n}\bigl(F(v_i)-F(u_i)\bigr)=F(b)-F(a)

が成り立つ。したがって、

∣S(f,P)−(F(b)−F(a))∣≤η∑τi∈(a,b)(vi−ui)+ε2≤η(b−a)+ε2<ε.\begin{aligned} \left|S(f,\mathcal{P})-(F(b)-F(a))\right| &\leq \eta\sum_{\tau_i\in(a,b)}(v_i-u_i) +\frac{\varepsilon}{2}\\ &\leq\eta(b-a)+\frac{\varepsilon}{2} <\varepsilon. \end{aligned}

任意のδ\delta-fine 分割について同じ評価が成り立つため、ffは HK 可積分であり、積分値はF(b)−F(a)F(b)-F(a)である。▨

注意 3.2. 基本定理の証明では、各点の許容半径の集合の上限の半分が、ゲージの値を一意に指定する。したがって、許容半径を各点で一つずつ選択する必要はない。Cousin の補題の分割も、補題 1.3の上限を用いた構成から得ることができる。

4 区間加法性と Saks–Henstock の補題

定義 4.1. 実数a≤ba\leq bとする。[a,b][a,b]の部分分割 (tagged partial partition) とは、正の長さの閉小区間Ji⊆[a,b]J_i\subseteq[a,b]とタグτi∈Ji\tau_i\in J_iの組からなる有限族であって、小区間の内部が互いに交わらないものをいう。空の族も部分分割とし、小区間が[a,b][a,b]全体を覆うことは要求しない。[a,b][a,b]上のゲージδ\deltaに対して、部分分割

D={(Ji,τi)∣1≤i≤r}\mathcal D=\{(J_i,\tau_i)\mid 1\leq i\leq r\}

がδ\delta-fine であるとは、すべてのiiについて

Ji⊂(τi−δ(τi),τi+δ(τi))J_i\subset(\tau_i-\delta(\tau_i),\tau_i+\delta(\tau_i))

が成り立つことをいう。

補題 4.2. 実数a≤c≤ba\leq c\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}に対して、次の二条件は同値である。

  1. ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分である。
  2. f∣[a,c]f|_{[a,c]}は[a,c][a,c]上で HK 可積分であり、f∣[c,b]f|_{[c,b]}は[c,b][c,b]上で HK 可積分である。

二条件が成り立つとき、

HK⁡ ⁣∫abf=HK⁡ ⁣∫acf+HK⁡ ⁣∫cbf\operatorname{HK}\!\int_a^b f =\operatorname{HK}\!\int_a^c f +\operatorname{HK}\!\int_c^b f

が成り立つ。

証明.c=ac=aまたはc=bc=bならば、一方の制限はff自身であり、他方は積分値が00の退化区間上の関数であるから、同値と積分値の等式が成り立つ。以下ではa<c<ba<c<bとする。

(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。ffの[a,b][a,b]上の積分値をAAとする。ε>0\varepsilon>0をとり、任意の二つの fine 分割の Riemann 和の差をε\varepsilon未満にするゲージδ0\delta_0を命題 2.2から選ぶ。ゲージδ\deltaを

δ(x)={12min⁡{δ0(x),c−x},x<c,12δ0(c),x=c,12min⁡{δ0(x),x−c},x>c\delta(x)= \begin{cases} \dfrac12\min\{\delta_0(x),c-x\},&x<c,\\[4pt] \dfrac12\delta_0(c),&x=c,\\[4pt] \dfrac12\min\{\delta_0(x),x-c\},&x>c \end{cases}

によって明示的に定める。

[a,c][a,c]の任意の二つのδ\delta-fine 分割P,Q\mathcal{P},\mathcal{Q}をとる。補題 1.3により、[c,b][c,b]のδ\delta-fine 分割R\mathcal{R}が存在する。P∪R\mathcal{P}\cup\mathcal{R}とQ∪R\mathcal{Q}\cup\mathcal{R}は[a,b][a,b]のδ0\delta_0-fine 分割である。したがって、

∣S(f,P)−S(f,Q)∣=∣S(f,P∪R)−S(f,Q∪R)∣<ε.|S(f,\mathcal{P})-S(f,\mathcal{Q})| =|S(f,\mathcal{P}\cup\mathcal{R})-S(f,\mathcal{Q}\cup\mathcal{R})| <\varepsilon.

命題 2.2によりffは[a,c][a,c]上で HK 可積分である。[c,b][c,b]の二つのδ\delta-fine 分割をとり、補題 1.3による[a,c][a,c]の一つのδ\delta-fine 分割をそれぞれへ結合する。二つの全区間上の Riemann 和の差は、[c,b][c,b]上の二つの和の差に等しく、ε\varepsilon未満である。したがって、命題 2.2によりffは[c,b][c,b]上でも HK 可積分である。

二つの制限積分をA1,A2A_1,A_2とする。任意のε>0\varepsilon>0に対して、全区間と二つの部分区間の積分誤差をそれぞれε/3\varepsilon/3未満にするゲージを選び、その最小値をとる。二つの部分区間上で fine 分割を選んで結合すると、全区間上の fine 分割を得る。その結合分割をT\mathcal{T}とすると、

∣A−(A1+A2)∣≤∣A−S(f,T)∣+∣S(f,T∩[a,c])−A1∣+∣S(f,T∩[c,b])−A2∣<ε.|A-(A_1+A_2)| \leq|A-S(f,\mathcal{T})| +|S(f,\mathcal{T}\cap[a,c])-A_1| +|S(f,\mathcal{T}\cap[c,b])-A_2| <\varepsilon.

したがってA=A1+A2A=A_1+A_2である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。二つの部分区間上の HK 積分値をそれぞれA1,A2A_1,A_2とする。ε>0\varepsilon>0をとる。[a,c][a,c]上では積分誤差をε/2\varepsilon/2未満にするゲージδ1\delta_1をとり、[c,b][c,b]上では積分誤差をε/2\varepsilon/2未満にするゲージδ2\delta_2をとる。[a,b][a,b]上のゲージδ\deltaを

δ(x)={12min⁡{δ1(x),c−x},a≤x<c,12min⁡{δ1(c),δ2(c)},x=c,12min⁡{δ2(x),x−c},c<x≤b\delta(x)= \begin{cases} \dfrac12\min\{\delta_1(x),c-x\},&a\leq x<c,\\[4pt] \dfrac12\min\{\delta_1(c),\delta_2(c)\},&x=c,\\[4pt] \dfrac12\min\{\delta_2(x),x-c\},&c<x\leq b \end{cases}

によって定める。

任意のδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}をとる。タグτ<c\tau<cをもつ小区間はδ(τ)<c−τ\delta(\tau)<c-\tauによりccを含まず、[a,c][a,c]に含まれる。同様に、タグτ>c\tau>cをもつ小区間は[c,b][c,b]に含まれる。タグccをもつ各小区間については、ccが内部にあればccで二分し、左の部分と右の部分の両方にタグccを付ける。ccが端点ならば正の長さをもつ側だけを残し、退化した側は除く。この操作で得た左側の小区間の族をP1\mathcal{P}_1、右側の小区間の族をP2\mathcal{P}_2とする。

P\mathcal{P}が[a,b][a,b]を覆い、タグがccでない小区間はccをまたがないため、P1\mathcal{P}_1は[a,c][a,c]を覆い、P2\mathcal{P}_2は[c,b][c,b]を覆う。両者の小区間は正の長さをもち、内部が互いに交わらないから、それぞれタグ付き分割である。さらに、P1\mathcal{P}_1はδ1\delta_1-fine であり、P2\mathcal{P}_2はδ2\delta_2-fine である。実際、タグがccでない小区間ではδ≤δ1\delta\leq\delta_1またはδ≤δ2\delta\leq\delta_2である。タグがccである小区間では、

δ(c)≤δ1(c)2,δ(c)≤δ2(c)2\delta(c)\leq\frac{\delta_1(c)}2, \qquad \delta(c)\leq\frac{\delta_2(c)}2

であるから、二分後の両側も対応するゲージに対して fine である。二分した小区間では長さが加法的であり、両側のタグ値が同じf(c)f(c)であるため、Riemann 和は変わらず、

S(f,P)=S(f,P1)+S(f,P2)S(f,\mathcal{P}) =S(f,\mathcal{P}_1)+S(f,\mathcal{P}_2)

が成り立つ。したがって、

∣S(f,P)−(A1+A2)∣≤∣S(f,P1)−A1∣+∣S(f,P2)−A2∣<ε2+ε2=ε.\begin{aligned} \left|S(f,\mathcal{P})-(A_1+A_2)\right| &\leq \left|S(f,\mathcal{P}_1)-A_1\right| +\left|S(f,\mathcal{P}_2)-A_2\right|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{aligned}

任意のδ\delta-fine 分割についてこの評価が成り立つため、ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分であり、その積分値はA1+A2A_1+A_2である。▨

補題 4.3 (Saks–Henstock の補題). 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が HK 可積分であると仮定する。閉小区間J=[u,v]⊆[a,b]J=[u,v]\subseteq[a,b]に対して

F(J)=HK⁡ ⁣∫uvfF(J)=\operatorname{HK}\!\int_u^v f

と定める。このとき、任意のε>0\varepsilon>0に対して、あるゲージδ\deltaが存在し、任意のδ\delta-fine 部分分割

D={(Ji,τi)∣1≤i≤r}\mathcal{D}=\{(J_i,\tau_i)\mid1\leq i\leq r\}

が

∑i=1r∣f(τi)∣Ji∣−F(Ji)∣<ε\sum_{i=1}^{r} \left|f(\tau_i)|J_i|-F(J_i)\right|<\varepsilon

を満たす。ただし∣Ji∣|J_i|はJiJ_iの長さである。

証明.ffを実数値とする。積分誤差をε/8\varepsilon/8未満にするゲージδ\deltaを選ぶ。δ\delta-fine 部分分割E\mathcal{E}をとる。部分分割の小区間を除いた[a,b][a,b]の残余部分を、正の長さをもつ閉区間

K1,…,KsK_1,\dots,K_s

に分ける。これらの内部は互いに交わらず、E\mathcal{E}の小区間と合わせて[a,b][a,b]を覆う。s=0s=0の場合には、以下の残余部分に関する和を00とする。s≥1s\geq1の場合には、各KℓK_\ell上で HK 可積分性の誤差をε/(8s)\varepsilon/(8s)未満にするゲージとδ∣Kℓ\delta|_{K_\ell}との最小値をとり、補題 1.3によって、その最小値に fine な分割Rℓ\mathcal{R}_\ellをとる。したがって、R=⋃ℓ=1sRℓ\mathcal{R}=\bigcup_{\ell=1}^{s}\mathcal{R}_\ellはδ\delta-fine であり、

∑ℓ=1s∣S(f,Rℓ)−F(Kℓ)∣<ε8.\sum_{\ell=1}^{s} \left|S(f,\mathcal{R}_\ell)-F(K_\ell)\right| <\frac{\varepsilon}{8}.

区間加法性により、

∣∑(J,τ)∈E(f(τ)∣J∣−F(J))∣≤∣S(f,E∪R)−F([a,b])∣+∣S(f,R)−∑ℓ=1sF(Kℓ)∣<ε4.\left| \sum_{(J,\tau)\in\mathcal{E}}\bigl(f(\tau)|J|-F(J)\bigr) \right| \leq |S(f,\mathcal{E}\cup\mathcal{R})-F([a,b])| +\left|S(f,\mathcal{R})-\sum_{\ell=1}^{s}F(K_\ell)\right| <\frac{\varepsilon}{4}.

与えられた部分分割D\mathcal{D}の各誤差を

ei=f(τi)∣Ji∣−F(Ji)e_i=f(\tau_i)|J_i|-F(J_i)

とおく。ei≥0e_i\geq0の項だけからなる部分分割と、ei<0e_i<0の項だけからなる部分分割へ前段落をそれぞれ適用すると、

∣∑ei≥0ei∣<ε4,∣∑ei<0ei∣<ε4.\left|\sum_{e_i\geq0}e_i\right|<\frac{\varepsilon}{4}, \qquad \left|\sum_{e_i<0}e_i\right|<\frac{\varepsilon}{4}.

したがって

∑i∣ei∣=∑ei≥0ei−∑ei<0ei<ε2<ε.\sum_i|e_i| =\sum_{e_i\geq0}e_i-\sum_{e_i<0}e_i <\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.

ffが複素数値である場合には、f=f1+if2f=f_1+if_2と書く。命題 2.3と積分値の実部・虚部を比較することにより、f1,f2f_1,f_2は実数値 HK 可積分関数である。実際、ffの積分値をAAとすれば

∣S(f1,P)−ℜA∣≤∣S(f,P)−A∣,∣S(f2,P)−ℑA∣≤∣S(f,P)−A∣|S(f_1,\mathcal{P})-\Re A| \leq|S(f,\mathcal{P})-A|, \qquad |S(f_2,\mathcal{P})-\Im A| \leq|S(f,\mathcal{P})-A|

である。実数値の場合のゲージをf1,f2f_1,f_2について誤差ε/2\varepsilon/2で選び、その最小値をとる。各複素誤差eie_iに対して∣ei∣≤∣ℜei∣+∣ℑei∣|e_i|\leq|\Re e_i|+|\Im e_i|であるから、主張した評価を得る。▨

系 4.4. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が HK 可積分であると仮定する。

F(x)=HK⁡ ⁣∫axfF(x)=\operatorname{HK}\!\int_a^x f

とおく。このとき、FFは[a,b][a,b]上で連続である。

証明.x∈[a,b]x\in[a,b]とε>0\varepsilon>0をとる。補題 4.3の誤差をε/2\varepsilon/2未満にするゲージをδ\deltaとする。y∈[a,b]y\in[a,b]が

∣y−x∣<min⁡{δ(x),ε2(1+∣f(x)∣)}|y-x|<\min\left\{\delta(x),\frac{\varepsilon}{2(1+|f(x)|)}\right\}

を満たすとする。y=xy=xならば∣F(y)−F(x)∣=0<ε|F(y)-F(x)|=0<\varepsilonである。以下ではy≠xy\neq xとする。端点を小さい順に並べた正の長さをもつ区間JJにタグxxを付けると、この一要素の部分分割はδ\delta-fine である。したがって、

∣F(y)−F(x)∣≤∣f(x)∣ ∣y−x∣+∣f(x)∣y−x∣−HK⁡ ⁣∫Jf∣<ε.|F(y)-F(x)| \leq|f(x)|\,|y-x| +\left|f(x)|y-x|-\operatorname{HK}\!\int_J f\right| <\varepsilon.

向きが逆の場合には積分の符号だけが変わり、同じ評価が成り立つ。ゆえにFFはxxで連続である。▨

命題 4.5. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とする。F:[a,b]→KF:[a,b]\to\mathbb Kを連続関数とし、C⊆(a,b)C\subseteq(a,b)を有限集合とする。FFが(a,b)∖C(a,b)\setminus Cの各点で実変数について微分可能であり、有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb Kが

f(x)=F′(x)(x∈(a,b)∖C)f(x)=F'(x)\qquad(x\in(a,b)\setminus C)

を満たすと仮定する。C∪{a,b}C\cup\{a,b\}上のffの値は任意の有限値とする。このとき、ffは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=F(b)−F(a)\operatorname{HK}\!\int_a^b f=F(b)-F(a)

が成り立つ。

証明. 演習とする（問題 11.1 (6)）。▨

5 Riemann 可積分関数の HK 可積分性

補題 5.1. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。有限値の有界関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が Riemann 可積分であり、その積分値をI∈KI\in\mathbb{K}とする。このとき、任意のε>0\varepsilon>0に対して、あるρ>0\rho>0が存在し、幅がρ\rho未満である任意のタグ付き分割P\mathcal{P}が

∣S(f,P)−I∣<ε|S(f,\mathcal{P})-I|<\varepsilon

を満たす。

証明.ffを実数値とする。∣f∣≤M|f|\leq Mを満たすM≥0M\geq0をとる。§D1.17 定理 2.4により、ある分割

Q:a=q0<q1<⋯<qm=bQ:\quad a=q_0<q_1<\cdots<q_m=b

が存在して

U(f,Q)−L(f,Q)<ε2U(f,Q)-L(f,Q)<\frac{\varepsilon}{2}

を満たす。M=0M=0ならば∣f∣≤0|f|\leq0からf=0f=0であり、すべてのタグ付き Riemann 和と Riemann 積分値が00になるため、例えばρ=1\rho=1が条件を満たす。以下ではM>0M>0とし、

ρ<ε16Mm\rho<\frac{\varepsilon}{16Mm}

を選ぶ。

幅がρ\rho未満のタグ付き分割P\mathcal{P}をとる。P\mathcal{P}の小区間のうち、QQの内部分割点q1,…,qm−1q_1,\dots,q_{m-1}のいずれかを含むものの全長は2mρ2m\rho未満である。残りの小区間は一つの[qj−1,qj][q_{j-1},q_j]に含まれるため、そのタグ値は同じ区間上の下限と上限の間にある。したがって、分割点を含む小区間では、タグ値と Darboux 和に用いる上限または下限との差を2M2Mで評価すると、

L(f,Q)−4Mmρ≤S(f,P)≤U(f,Q)+4Mmρ.L(f,Q)-4Mm\rho \leq S(f,\mathcal{P}) \leq U(f,Q)+4Mm\rho.

またL(f,Q)≤I≤U(f,Q)L(f,Q)\leq I\leq U(f,Q)である。ゆえに

∣S(f,P)−I∣≤U(f,Q)−L(f,Q)+4Mmρ<3ε4<ε.|S(f,\mathcal{P})-I| \leq U(f,Q)-L(f,Q)+4Mm\rho <\frac{3\varepsilon}{4}<\varepsilon.

複素数値関数では実部と虚部へ実数値の場合を適用し、二つの誤差をそれぞれε/2\varepsilon/2未満にする共通のρ\rhoを選ぶ。▨

定理 5.2. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が Riemann 可積分であると仮定する。このときffは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=∫abf(x) dx\operatorname{HK}\!\int_a^b f =\int_a^b f(x)\,dx

が成り立つ。

証明.a=ba=bの場合には、Riemann 積分は退化区間上で00であり、HK 積分も定義 1.2により00である。以下ではa<ba<bとする。ε>0\varepsilon>0に対して補題 5.1のρ\rhoを選び、定数ゲージδ(x)=ρ/2\delta(x)=\rho/2をとる。δ\delta-fine な各小区間の長さはρ\rho未満であるから、任意のδ\delta-fine 分割の Riemann 和は Riemann 積分値との差がε\varepsilon未満である。定義 1.2により主張が従う。▨

6 有限個の特異点をもつ広義 Riemann 積分

補題 6.1. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。有限値関数f,g:[a,b]→Kf,g:[a,b]\to\mathbb{K}が有限集合N⊆[a,b]N\subseteq[a,b]の外で一致すると仮定する。このとき、ffが HK 可積分ならば、ggも HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abg=HK⁡ ⁣∫abf\operatorname{HK}\!\int_a^b g =\operatorname{HK}\!\int_a^b f

が成り立つ。

証明.a=ba=bの場合には、定義 1.2によりffとggはともに HK 可積分であり、二つの積分値は00である。以下ではa<ba<bとし、N={c1,…,cm}N=\{c_1,\dots,c_m\}と書く。NNが空ならばf=gf=gであるから、ggは HK 可積分であり、二つの積分値は一致する。以下ではm≥1m\geq1とする。ε>0\varepsilon>0に対して、ffの HK 積分誤差をε/2\varepsilon/2未満にするゲージをδ0\delta_0とする。各jjについて

dj=∣f(cj)−g(cj)∣d_j=|f(c_j)-g(c_j)|

とおき、

δ(cj)=12min⁡{δ0(cj),ε8m(1+dj)}\delta(c_j) =\frac12\min\left\{\delta_0(c_j), \frac{\varepsilon}{8m(1+d_j)}\right\}

とする。x∉Nx\notin Nではδ(x)=δ0(x)\delta(x)=\delta_0(x)と定める。

一つの点cjc_jはタグ付き分割の高々二つの小区間のタグになる。各小区間の長さは2δ(cj)2\delta(c_j)未満であるため、任意のδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}に対して

∣S(g,P)−S(f,P)∣≤∑j=1m4djδ(cj)<ε2.|S(g,\mathcal{P})-S(f,\mathcal{P})| \leq\sum_{j=1}^{m}4d_j\delta(c_j) <\frac{\varepsilon}{2}.

したがって、

∣S(g,P)−HK⁡ ⁣∫abf∣<ε.\left|S(g,\mathcal{P})-\operatorname{HK}\!\int_a^b f\right|<\varepsilon.

したがって、ggは HK 可積分であり、積分値はffの積分値に一致する。▨

定理 6.2. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が任意のc∈(a,b)c\in(a,b)に対して[a,c][a,c]上で HK 可積分であると仮定する。このとき、有限な極限

A=lim⁡c↑bHK⁡ ⁣∫acfA=\lim_{c\uparrow b}\operatorname{HK}\!\int_a^c f

が存在するならば、ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=A\operatorname{HK}\!\int_a^b f=A

が成り立つ。

同様に、ffが任意のc∈(a,b)c\in(a,b)に対して[c,b][c,b]上で HK 可積分であり、有限な極限

B=lim⁡c↓aHK⁡ ⁣∫cbfB=\lim_{c\downarrow a}\operatorname{HK}\!\int_c^b f

が存在するならば、ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分であり、その積分値はBBである。端点におけるffの任意の有限値は結論を変えない。

証明.ε>0\varepsilon>0を固定する。狭義単調増加列

a=x0<x1<x2<⋯<b,xn↑ba=x_0<x_1<x_2<\cdots<b, \qquad x_n\uparrow b

を選ぶ。極限の仮定により、ある正の整数n0n_0が存在して

∣HK⁡ ⁣∫auf−A∣<ε4(xn0<u<b)\left|\operatorname{HK}\!\int_a^u f-A\right|<\frac{\varepsilon}{4} \qquad(x_{n_0}<u<b)

が成り立つ。最初の有限個の帯をまとめて番号を付け直すことにより、n0=1n_0=1としてよい。

各正の整数nnに対して、ffは[a,xn+1][a,x_{n+1}]上で HK 可積分である。補題 4.3により、[a,xn+1][a,x_{n+1}]上のゲージγn\gamma_nを、任意のγn\gamma_n-fine 部分分割の誤差がε/2n+3\varepsilon/2^{n+3}未満になるように選ぶ。

x∈[xn−1,xn)x\in[x_{n-1},x_n)に対して

δ(x)=12min⁡{γn(x),xn+1−x,b−x}\delta(x) =\frac12\min\{\gamma_n(x),x_{n+1}-x,b-x\}

と定める。端点bbでは

δ(b)=12min⁡{b−x1,ε4(1+∣f(b)∣)}\delta(b) =\frac12\min\left\{b-x_1,\frac{\varepsilon}{4(1+|f(b)|)}\right\}

と定める。δ\deltaは[a,b][a,b]上のゲージである。

δ\delta-fine 分割P\mathcal{P}をとる。bbを含む最後の小区間のタグがx<bx<bであると、δ(x)<b−x\delta(x)<b-xに反して、その小区間を(x−δ(x),x+δ(x))(x-\delta(x),x+\delta(x))に含めることができない。したがって、最後の小区間は([u,b],b)([u,b],b)の形である。また、δ(b)<b−x1\delta(b)<b-x_1からu>x1u>x_1である。

最後の小区間を除く小区間を、タグが[xn−1,xn)[x_{n-1},x_n)に属するものごとに分ける。第nn群の各小区間は[a,xn+1][a,x_{n+1}]に含まれ、γn\gamma_n-fine である。したがって、補題 4.3から

∑第 n 群∣f(τ)∣J∣−HK⁡ ⁣∫Jf∣<ε2n+3.\sum_{\text{第 }n\text{ 群}} \left|f(\tau)|J|-\operatorname{HK}\!\int_Jf\right| <\frac{\varepsilon}{2^{n+3}}.

分割は有限であるが、右辺をすべての正の整数について加えると、

∣∑J≠[u,b]f(τJ)∣J∣−∑J≠[u,b]HK⁡ ⁣∫Jf∣<ε4.\left| \sum_{J\neq[u,b]}f(\tau_J)|J| -\sum_{J\neq[u,b]}\operatorname{HK}\!\int_Jf \right| <\frac{\varepsilon}{4}.

最後の小区間以外の小区間は[a,u][a,u]を分割するため、区間加法性から

∑J≠[u,b]HK⁡ ⁣∫Jf=HK⁡ ⁣∫auf.\sum_{J\neq[u,b]}\operatorname{HK}\!\int_Jf =\operatorname{HK}\!\int_a^u f.

ゆえに、

∣S(f,P)−A∣≤∣∑J≠[u,b]f(τJ)∣J∣−HK⁡ ⁣∫auf∣+∣HK⁡ ⁣∫auf−A∣+∣f(b)∣(b−u)<ε4+ε4+∣f(b)∣δ(b)<ε.\begin{aligned} |S(f,\mathcal{P})-A| &\leq \left| \sum_{J\neq[u,b]}f(\tau_J)|J| -\operatorname{HK}\!\int_a^u f \right|\\ &\quad+ \left|\operatorname{HK}\!\int_a^u f-A\right| +|f(b)|(b-u)\\ &<\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4} +|f(b)|\delta(b) <\varepsilon. \end{aligned}

したがって右端点版が成り立つ。

反射写像R(x)=a+b−xR(x)=a+b-xとg(x)=f(R(x))g(x)=f(R(x))をとる。タグ付き分割の各小区間とタグをRRで反射し、順序を逆にすると、小区間の長さと Riemann 和を保つタグ付き分割を得る。ゲージもδ~(x)=δ(R(x))\widetilde{\delta}(x)=\delta(R(x))によって対応する。したがって、ffの[c,b][c,b]上の HK 積分値はggの[a,R(c)][a,R(c)]上の HK 積分値に一致する。右端点版をggへ適用して反射を戻すと、左端点版を得る。端点値の不変性は補題 6.1から従う。▨

命題 6.3. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb Kが、任意のc∈(a,b)c\in(a,b)に対して[c,b][c,b]上で HK 可積分であると仮定する。このとき、ffが[a,b][a,b]上で HK 可積分であることは、有限な極限

B=lim⁡c↓aHK⁡ ⁣∫cbfB=\lim_{c\downarrow a}\operatorname{HK}\!\int_c^b f

が存在するための必要十分条件である。この二条件が成り立つとき、

HK⁡ ⁣∫abf=B\operatorname{HK}\!\int_a^b f=B

が成り立つ。

証明. 演習とする（問題 11.1 (5)）。▨

定義 6.4. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。S⊆[a,b]S\subseteq[a,b]を有限集合とし、有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}が SSを特異点集合として広義 Riemann 可積分 (improper Riemann integrable with singular setSS) であるとは、次を満たすことをいう。

  1. J⊆[a,b]J\subseteq[a,b]が閉小区間でありJ∩S=∅J\cap S=\emptysetならば、ffはJJ上で Riemann 可積分である。
  2. 各s∈S∩(a,b)s\in S\cap(a,b)について、S∩[us,vs]={s}S\cap[u_s,v_s]=\{s\}を満たすus<s<vsu_s<s<v_sを[a,b][a,b]から選ぶ。このとき、lim⁡t↑s∫ustf\lim_{t\uparrow s}\int_{u_s}^{t}fとlim⁡t↓s∫tvsf\lim_{t\downarrow s}\int_t^{v_s}fがともに有限値として存在する。
  3. a∈Sa\in Sの場合は、S∩[a,v]={a}S\cap[a,v]=\{a\}を満たすv∈(a,b]v\in(a,b]に対してlim⁡t↓a∫tvf\lim_{t\downarrow a}\int_t^v fが有限値として存在する。b∈Sb\in Sの場合は、S∩[u,b]={b}S\cap[u,b]=\{b\}を満たすu∈[a,b)u\in[a,b)に対してlim⁡t↑b∫utf\lim_{t\uparrow b}\int_u^t fが有限値として存在する。

広義積分値は、特異点の間に補助点を一つずつ選び、各特異点へ向かう片側極限と特異点を含まない閉区間上の Riemann 積分を有限個だけ加えた値とする。区間の加法性により、この値は補助点の選び方に依存しない。内部特異点の両側を同じ速さで近づけて相殺させる Cauchy 主値は、この定義に含めない。

定理 6.5. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。有限値関数f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}がa<ba<bの場合に有限集合S⊆[a,b]S\subseteq[a,b]を特異点集合として定義 6.4の意味で広義 Riemann 可積分であると仮定する。このときffは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=∫abf(x) dx\operatorname{HK}\!\int_a^b f =\int_a^b f(x)\,dx

が成り立つ。右辺は各特異点で独立に片側極限をとる広義 Riemann 積分であり、条件収束を許す。a=ba=bの場合には、右辺を空の和00と定める。

証明.a=ba=bの場合には、退化区間上の広義積分値を空の和00とし、定義 1.2による HK 積分値も00であるため、主張が成り立つ。以下ではa<ba<bとする。有限集合SSの相異なる点を小さい順に並べ、隣り合う特異点の間に特異点でない補助点を一つずつ選ぶ。これにより、[a,b][a,b]は有限個の閉小区間へ分かれ、各小区間は次のいずれかの形になる。

  1. 特異点を含まず、ffが Riemann 可積分である閉小区間。
  2. 右端点だけが特異点であり、その端点へ向かう広義 Riemann 積分が収束する閉小区間。
  3. 左端点だけが特異点であり、その端点から離れる広義 Riemann 積分が収束する閉小区間。

(1)には定理 5.2を適用する。(2)では、特異端点より左の各閉小区間上で Riemann 可積分であるから HK 可積分であり、Riemann 積分値と HK 積分値が一致する。広義 Riemann 積分の片側極限は HK 積分値の片側極限でもあるため、定理 6.2の右端点版を適用することができる。(3)には同定理の左端点版を適用する。

各小区間上で HK 積分値は対応する通常または広義 Riemann 積分値に一致する。これらの小区間を左からJ1,…,JNJ_1,\dots,J_Nと並べる。N=1N=1ならば、すでに全区間上の HK 可積分性を得ている。N≥2N\geq2ならば、J1J_1とJ2J_2の共有端点で補題 4.2の第二の条件から第一の条件を導く貼り合わせ方向を適用し、次に得られた区間とJ3J_3を貼り合わせる。この操作を有限回反復すると、[a,b][a,b]上でffは HK 可積分になる。同補題の積分値の等式を各段階で用いるため、全区間の HK 積分値は各部分の通常または広義 Riemann 積分値の和に一致する。補題 6.1により、有限集合SS上で指定した任意の有限値は積分値を変えない。▨

例 6.6. 有限値の実数値関数f:[0,1]→Rf:[0,1]\to\Rを

f(x)={sin⁡(1/x)x,0<x≤1,0,x=0f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin(1/x)}{x},&0<x\leq1,\\ 0,&x=0 \end{cases}

によって定める。このとき、ffは[0,1][0,1]上で HK 可積分であるが、Lebesgue 可積分ではない。

証明.0<ε<10<\varepsilon<1に対して、置換t=1/xt=1/xにより

∫ε1sin⁡(1/x)x dx=∫11/εsin⁡tt dt.\int_\varepsilon^1\frac{\sin(1/x)}x\,dx =\int_1^{1/\varepsilon}\frac{\sin t}{t}\,dt.

§E10.17 命題 6.1により、右辺はε↓0\varepsilon\downarrow0で収束するが、絶対値の積分は発散する。したがって、定理 6.5によりffは HK 可積分である。一方、同じ置換を各有限区間で行い、単調収束定理§E10.11 定理 1.1によって端点極限を取ると、

∫(0,1]∣f∣ dλ=∫1∞∣sin⁡t∣t dt=∞.\int_{(0,1]}|f|\,d\lambda =\int_1^\infty\frac{|\sin t|}{t}\,dt =\infty.

ゆえにffは Lebesgue 可積分でない。▨

7 Lebesgue 可積分関数の HK 可積分性

Lebesgue 可積分関数は有界とは限らない。

補題 7.1. 実数a<ba<bとし、E⊆[a,b]E\subseteq[a,b]を完備 Lebesgue 測度に関して可測な集合とする。このとき1E:[a,b]→R\mathbf{1}_E:[a,b]\to\Rは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫ab1E=λ(E)\operatorname{HK}\!\int_a^b\mathbf{1}_E=\lambda(E)

が成り立つ。

証明.ε>0\varepsilon>0をとる。外側正則性と内側正則性により、コンパクト集合KKと開集合GGを

K⊆E⊆G,λ(G∖K)<εK\subseteq E\subseteq G, \qquad \lambda(G\setminus K)<\varepsilon

となるように選ぶ。空集合まで含めて

dist⁡(x,∅)=+∞\operatorname{dist}(x,\emptyset)=+\infty

と約束し、

δ(x)={12min⁡{1,dist⁡(x,R∖G)},x∈E,12min⁡{1,dist⁡(x,K)},x∉E\delta(x)= \begin{cases} \dfrac12\min\{1,\operatorname{dist}(x,\R\setminus G)\},&x\in E,\\[6pt] \dfrac12\min\{1,\operatorname{dist}(x,K)\},&x\notin E \end{cases}

と定める。GGは開集合であり、KKはコンパクト集合である。また、E⊆GE\subseteq GかつK⊆EK\subseteq Eであるから、右辺はすべてのx∈[a,b]x\in[a,b]で有限な正の実数である。このδ\deltaはゲージであり、x∈Ex\in Eならば(x−δ(x),x+δ(x))⊆G(x-\delta(x),x+\delta(x))\subseteq G、x∉Ex\notin Eならば(x−δ(x),x+δ(x))∩K=∅(x-\delta(x),x+\delta(x))\cap K=\emptysetが成り立つ。

δ\delta-fine 分割P\mathcal{P}をとり、タグがEEに属する小区間の和集合をAAとする。小区間の内部は互いに交わらないため、

S(1E,P)=λ(A).S(\mathbf{1}_E,\mathcal{P})=\lambda(A).

タグがEEに属する小区間はGGに含まれるからA⊆GA\subseteq Gである。一方、y∈Ky\in Kを含む分割小区間のタグがEEに属さないなら、その小区間はKKと交わらないはずであり矛盾する。したがってK⊆AK\subseteq Aである。ゆえに

λ(K)≤S(1E,P)≤λ(G).\lambda(K)\leq S(\mathbf{1}_E,\mathcal{P})\leq\lambda(G).

K⊆E⊆GK\subseteq E\subseteq Gとλ(G∖K)<ε\lambda(G\setminus K)<\varepsilonから

∣S(1E,P)−λ(E)∣<ε\left|S(\mathbf{1}_E,\mathcal{P})-\lambda(E)\right|<\varepsilon

を得る。▨

補題 7.2. 実数a<ba<bとし、g:[a,b]→[0,∞)g:[a,b]\to[0,\infty)を有限値 Lebesgue 可測関数とする。

∫[a,b]g dλ<∞\int_{[a,b]}g\,d\lambda<\infty

と仮定する。このとき、任意のε>0\varepsilon>0に対して、あるゲージδ\deltaが存在し、任意のδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}が

0≤S(g,P)<∫[a,b]g dλ+ε0\leq S(g,\mathcal{P}) <\int_{[a,b]}g\,d\lambda+\varepsilon

を満たす。

証明.mmを十分大きい正の整数として

b−am<ε2\frac{b-a}{m}<\frac{\varepsilon}{2}

を満たすように選ぶ。互いに交わらない可測集合

E0={g=0},Ek={x∈[a,b]|k−1m<g(x)≤km}(k≥1)E_0=\{g=0\}, \qquad E_k=\left\{x\in[a,b]\mathrel{}\middle|\mathrel{} \frac{k-1}{m}<g(x)\leq\frac{k}{m}\right\} \quad(k\geq1)

を定める。可算値可測関数

q=∑k=1∞km1Ekq=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{m}\mathbf{1}_{E_k}

は

g≤q≤g+1mg\leq q\leq g+\frac1m

を満たす。§E10.11 系 1.5により

∫q dλ=∑k=1∞kmλ(Ek).\int q\,d\lambda=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{m}\lambda(E_k).

さらに、積分の単調性と線形性から

∫q dλ≤∫g dλ+b−am<∫g dλ+ε2.\int q\,d\lambda \leq\int g\,d\lambda+\frac{b-a}{m} <\int g\,d\lambda+\frac{\varepsilon}{2}.

各正の整数kkに対して、外側正則性によりEk⊆GkE_k\subseteq G_kを満たす開集合GkG_kを

kmλ(Gk∖Ek)<ε2k+2\frac{k}{m}\lambda(G_k\setminus E_k) <\frac{\varepsilon}{2^{k+2}}

となるように選ぶ。ここでもdist⁡(x,∅)=+∞\operatorname{dist}(x,\emptyset)=+\inftyと約束する。x∈Ekx\in E_kかつk≥1k\geq1の場合には

δ(x)=12min⁡{1,dist⁡(x,R∖Gk)},\delta(x)=\frac12\min\{1,\operatorname{dist}(x,\R\setminus G_k)\},

x∈E0x\in E_0の場合にはδ(x)=1\delta(x)=1と定める。集合E0,E1,…E_0,E_1,\dotsは[a,b][a,b]を分割し、GkG_kはEkE_kを含む開集合であるから、δ\deltaは明示的に定まるゲージである。また、x∈Ekx\in E_kかつk≥1k\geq1ならば(x−δ(x),x+δ(x))⊆Gk(x-\delta(x),x+\delta(x))\subseteq G_kが成り立つ。

δ\delta-fine 分割P\mathcal{P}をとる。タグがEkE_kに属する小区間の全長をLkL_kとする。その小区間の和集合はGkG_kに含まれるため、

Lk≤λ(Gk).L_k\leq\lambda(G_k).

分割の小区間は有限個であるから、Lk≠0L_k\neq0となるkkは有限個だけである。ゆえに、

S(g,P)≤S(q,P)=∑k=1∞kmLk≤∑k=1∞kmλ(Gk)=∫q dλ+∑k=1∞kmλ(Gk∖Ek)<∫g dλ+ε2+∑k=1∞ε2k+2<∫g dλ+ε.\begin{aligned} S(g,\mathcal{P}) &\leq S(q,\mathcal{P}) =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{m}L_k\\ &\leq\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{m}\lambda(G_k)\\ &=\int q\,d\lambda +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{m}\lambda(G_k\setminus E_k)\\ &<\int g\,d\lambda+\frac{\varepsilon}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{k+2}} <\int g\,d\lambda+\varepsilon. \end{aligned}

g≥0g\geq0であるから Riemann 和も非負である。▨

定理 7.3. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値 Lebesgue 可測関数として

∫[a,b]∣f∣ dλ<∞\int_{[a,b]}|f|\,d\lambda<\infty

を仮定する。このときffは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=∫[a,b]f dλ\operatorname{HK}\!\int_a^b f =\int_{[a,b]}f\,d\lambda

が成り立つ。

証明.a=ba=bの場合には、単点集合[a,a][a,a]の Lebesgue 測度が00であるため、有限値関数ffの Lebesgue 積分値は00である。また、定義 1.2により HK 積分値も00である。したがって主張が成り立つ。以下ではa<ba<bとする。

主張 7.3.1. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値 Lebesgue 可測関数として

∫[a,b]∣f∣ dλ<∞\int_{[a,b]}|f|\,d\lambda<\infty

を仮定する。このとき、任意のε>0\varepsilon>0に対して、有限個の値だけをとる Lebesgue 可測単関数φ:[a,b]→K\varphi:[a,b]\to\mathbb{K}が存在して

∫[a,b]∣f−φ∣ dλ<ε\int_{[a,b]}|f-\varphi|\,d\lambda<\varepsilon

を満たす。

証明. 測度空間([a,b],L1∣[a,b],λ1∣[a,b])([a,b],\mathcal L_1|_{[a,b]},\lambda_1|_{[a,b]})に§E10.23 定理 2.2をp=1p=1で適用する。実数値・複素数値のいずれでも、L1L^1ノルムの定義から所要の単関数を得る。▨

ε>0\varepsilon>0をとる。主張 7.3.1により、有限値単関数φ\varphiを

∫∣f−φ∣ dλ<ε4\int|f-\varphi|\,d\lambda<\frac{\varepsilon}{4}

となるように選ぶ。φ\varphiは可測集合の指示関数の有限線形結合である。補題 7.1と命題 2.3によりφ\varphiは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abφ=∫[a,b]φ dλ\operatorname{HK}\!\int_a^b\varphi =\int_{[a,b]}\varphi\,d\lambda

が成り立つ。

φ\varphiの HK 積分誤差をε/4\varepsilon/4未満にするゲージをδ1\delta_1とする。非負可積分関数g=∣f−φ∣g=|f-\varphi|に補題 7.2を誤差ε/4\varepsilon/4で適用して得るゲージをδ2\delta_2とする。δ=min⁡{δ1,δ2}\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}とおく。任意のδ\delta-fine 分割P\mathcal{P}に対して

∣S(f,P)−∫f dλ∣≤∣S(φ,P)−∫φ dλ∣+S(∣f−φ∣,P)+∣∫(f−φ) dλ∣<ε4+(ε4+ε4)+ε4=ε.\begin{aligned} \left|S(f,\mathcal{P})-\int f\,d\lambda\right| &\leq \left|S(\varphi,\mathcal{P})-\int\varphi\,d\lambda\right|\\ &\quad +S(|f-\varphi|,\mathcal{P}) +\left|\int(f-\varphi)\,d\lambda\right|\\ &<\frac{\varepsilon}{4} +\left(\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}\right) +\frac{\varepsilon}{4} =\varepsilon. \end{aligned}

最後の積分の絶対値評価には§E10.10 補題 2.5を用いた。したがって、ffは HK 可積分であり、二つの積分値は一致する。▨

命題 7.4. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb Kを有限値 HK 可積分関数とし、g:[a,b]→Kg:[a,b]\to\mathbb Kを有限値関数とする。 Lebesgue 零集合Z⊆[a,b]Z\subseteq[a,b]の外ですべての点においてg=fg=fが成り立つと仮定する。このとき、ggは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abg=HK⁡ ⁣∫abf\operatorname{HK}\!\int_a^b g=\operatorname{HK}\!\int_a^b f

が成り立つ。

証明. 演習とする（問題 11.1 (2)）。▨

8 HK 関数の可測性

補題 8.1 (Vitali 型の五倍被覆補題). 実数a<ba<bとし、E⊆[a,b]E\subseteq[a,b]とする。V\mathcal{V}を[a,b][a,b]の正の長さをもつ閉小区間の族とする。任意のx∈Ex\in Eと任意のη>0\eta>0に対して、あるJ∈VJ\in\mathcal{V}が存在して

x∈J,∣J∣<ηx\in J,\qquad |J|<\eta

を満たすと仮定する。このとき、内部が互いに交わらない高々可算個の区間J1,J2,⋯∈VJ_1,J_2,\dots\in\mathcal{V}を選んで

λ∗(E)≤5∑j∣Jj∣\lambda^*(E)\leq5\sum_j|J_j|

とすることができる。とくに、任意のη>0\eta>0に対して、有限個の区間を選んで

∑j=1N∣Jj∣>λ∗(E)5−η\sum_{j=1}^{N}|J_j|>\frac{\lambda^*(E)}5-\eta

とすることができる。

証明.E=∅E=\emptysetの場合には、空の区間族を選べば二つの結論が成り立つ。以下ではE≠∅E\neq\emptysetとする。細分被覆の仮定によりV≠∅\mathcal{V}\neq\emptysetである。残っている区間の長さの上限をsns_nとし、その半分より長い区間JnJ_nを一つ選び、JnJ_nと内部で交わる区間をすべて取り除く操作を繰り返す。操作が有限回で止まる場合には、得られた有限族を用いる。操作が止まらない場合には、従属選択公理によって列(Jn)(J_n)を選ぶ。選ばれた区間の内部は互いに交わらず、

∑n∣Jn∣≤b−a\sum_n|J_n|\leq b-a

であるから∣Jn∣→0|J_n|\to0である。

x∈Ex\in Eをとる。V\mathcal{V}の細分性により、xxを含む任意に短い区間J∈VJ\in\mathcal{V}が存在する。JJが選択過程で一度も取り除かれないならば、すべての十分大きいnnについて∣J∣≤sn<2∣Jn∣|J|\leq s_n<2|J_n|となるはずであり、∣Jn∣→0|J_n|\to0に反する。したがって、JJはあるJnJ_nと内部で交わり、そのnnを最初の段階に選べば∣J∣<2∣Jn∣|J|<2|J_n|である。JnJ_nと同じ中心をもち長さが5∣Jn∣5|J_n|である区間を5Jn5J_nと書く。二つの区間が交わり∣J∣<2∣Jn∣|J|<2|J_n|を満たすことからJ⊆5JnJ\subseteq5J_nである。ゆえに

E⊆⋃n5Jn.E\subseteq\bigcup_n5J_n.

外測度の可算劣加法性から

λ∗(E)≤∑n∣5Jn∣=5∑n∣Jn∣\lambda^*(E)\leq\sum_n|5J_n|=5\sum_n|J_n|

を得る。級数の有限部分和が全和へ増加するため、最後の有限族に関する結論も従う。▨

定理 8.2. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値 HK 可積分関数とする。

F(x)=HK⁡ ⁣∫axfF(x)=\operatorname{HK}\!\int_a^x f

とおく。このとき、ある Lebesgue 零集合N⊆(a,b)N\subseteq(a,b)が存在し、任意のx∈(a,b)∖Nx\in(a,b)\setminus Nに対して

F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)

が成り立つ。複素数値の場合の微分は、実変数に関するC\C値の差商の極限である。

証明. 各正の整数nnに対して、補題 4.3の誤差を2−n2^{-n}未満にするゲージδn\delta_nを選ぶ。正の整数rrに対して

Er={x∈(a,b)|lim sup⁡y→xy≠x∣F(y)−F(x)y−x−f(x)∣>1r}E_r= \left\{x\in(a,b)\mathrel{}\middle|\mathrel{} \limsup_{\substack{y\to x\\y\neq x}} \left| \frac{F(y)-F(x)}{y-x}-f(x) \right|>\frac1r \right\}

とおく。

nnを固定する。x∈Erx\in E_rと任意のη>0\eta>0に対して、あるy∈(a,b)y\in(a,b)が存在して

0<∣y−x∣<min⁡{η,δn(x)}0<|y-x|<\min\{\eta,\delta_n(x)\}

かつ

∣f(x)∣y−x∣−HK⁡ ⁣∫min⁡{x,y}max⁡{x,y}f∣>∣y−x∣r\left|f(x)|y-x|-\operatorname{HK}\!\int_{\min\{x,y\}}^{\max\{x,y\}}f\right| >\frac{|y-x|}{r}

を満たす。J=[min⁡{x,y},max⁡{x,y}]J=[\min\{x,y\},\max\{x,y\}]とおくと、タグをxxとした(J,x)(J,x)はδn\delta_n-fine である。このような区間全体はErE_rの細分被覆である。

補題 8.1により、任意のη>0\eta>0に対して、内部が互いに交わらない有限個の上記の区間J1,…,JNJ_1,\dots,J_Nを

∑j=1N∣Jj∣>λ∗(Er)5−η\sum_{j=1}^{N}|J_j|>\frac{\lambda^*(E_r)}5-\eta

となるように選ぶことができる。これらはδn\delta_n-fine 部分分割であるから、補題 4.3により

1r∑j=1N∣Jj∣≤∑j=1N∣f(τj)∣Jj∣−HK⁡ ⁣∫Jjf∣<2−n.\frac1r\sum_{j=1}^{N}|J_j| \leq \sum_{j=1}^{N} \left|f(\tau_j)|J_j|-\operatorname{HK}\!\int_{J_j}f\right| <2^{-n}.

η↓0\eta\downarrow0とすると

λ∗(Er)≤5r 2−n.\lambda^*(E_r)\leq5r\,2^{-n}.

nnは任意であるためλ∗(Er)=0\lambda^*(E_r)=0である。

N=⋃r=1∞ErN=\bigcup_{r=1}^{\infty}E_r

も外測度00をもつ。x∉Nx\notin Nならば差商とf(x)f(x)の差の上極限は00であるため、F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)である。▨

系 8.3. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値 HK 可積分関数とする。このときffは完備 Lebesgue 測度に関して可測である。

証明.ffを実数値とする。HK 原始関数FFは系 4.4により連続である。各正の整数nnに対して

dn(x)={n(F(x+1/n)−F(x)),x+1/n≤b,0,x+1/n>bd_n(x)= \begin{cases} n\bigl(F(x+1/n)-F(x)\bigr),&x+1/n\leq b,\\ 0,&x+1/n>b \end{cases}

とおく。各dnd_nは区分的に Borel 可測であり、

d(x)=lim sup⁡n→∞dn(x)d(x)=\limsup_{n\to\infty}d_n(x)

は§E10.7 定理 5.1により Borel 可測である。定理 8.2により、ある Lebesgue 零集合NNの外でd=fd=fが成り立つ。任意の Borel 集合B⊆RB\subseteq\Rに対して

f−1(B)△d−1(B)⊆N.f^{-1}(B)\mathbin{\triangle}d^{-1}(B)\subseteq N.

完備 Lebesgue 測度では零集合の任意の部分集合が可測であるから、§E10.16 定理 6.2によりf−1(B)f^{-1}(B)は Lebesgue 可測である。したがってffは可測である。

複素数値の場合には、定理 8.2を実部と虚部へ適用すると、ℜf\Re fとℑf\Im fがそれぞれ零集合の外で連続関数の差商の上極限に一致する。前段落により二つの成分は可測であり、§E10.7 定理 8.1によってffは複素数値可測関数である。▨

命題 8.4. 実数a<ba<bとし、K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb Kを有限値 HK 可積分関数とする。このとき、すべてのx∈[a,b]x\in[a,b]に対して

HK⁡ ⁣∫axf=0\operatorname{HK}\!\int_a^x f=0

が成り立つことは、f=0f=0が Lebesgue 測度に関してほとんど至る所で成り立つための必要十分条件である。

証明. 演習とする（問題 11.1 (4)）。▨

9 絶対 HK 可積分性

定義 9.1. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値関数とする。ffと実数値関数∣f∣|f|がともに HK 可積分であるとき、ffは 絶対 HK 可積分 (absolutely HK integrable) であるという。

補題 9.2. 実数a<ba<bとし、h:[a,b]→[0,∞)h:[a,b]\to[0,\infty)を有限値 HK 可積分関数とする。その HK 積分値をHHとする。このときhhは Lebesgue 可測かつ Lebesgue 可積分であり、

∫[a,b]h dλ=H\int_{[a,b]}h\,d\lambda=H

が成り立つ。

証明.系 8.3によりhhは Lebesgue 可測である。非負単関数s≤hs\leq hを任意にとる。ssは有限測度区間上で有界なので、定理 7.3により HK 可積分であり、その積分値は∫s dλ\int s\,d\lambdaに等しい。命題 2.3によりh−sh-sは HK 可積分で、その積分値はH−∫s dλH-\int s\,d\lambdaである。任意のε>0\varepsilon>0に対して、誤差がε\varepsilon未満となるゲージをとり、補題 1.3によって fine 分割P\mathcal Pをとる。h−s≥0h-s\geq0なので、

H−∫s dλ>S(h−s,P)−ε≥−ε.H-\int s\,d\lambda>S(h-s,\mathcal P)-\varepsilon\geq-\varepsilon.

ε↓0\varepsilon\downarrow0により∫s dλ≤H\int s\,d\lambda\leq Hを得る。非負積分の定義においてssに関する上限をとると、

∫h dλ≤H<∞\int h\,d\lambda\leq H<\infty

である。したがってhhは Lebesgue 可積分であり、定理 7.3により二つの積分値は一致する。▨

定理 9.3. 実数a≤ba\leq bとし、K∈{R,C}\mathbb{K}\in\{\R,\C\}とする。f:[a,b]→Kf:[a,b]\to\mathbb{K}を有限値関数とする。次の二条件は同値である。

  1. ffは絶対 HK 可積分である。
  2. ffは完備 Lebesgue 測度に関して可測であり、 ∫[a,b]∣f∣ dλ<∞\int_{[a,b]}|f|\,d\lambda<\infty が成り立つ。

二条件が成り立つとき、

HK⁡ ⁣∫abf=∫[a,b]f dλ,HK⁡ ⁣∫ab∣f∣=∫[a,b]∣f∣ dλ\operatorname{HK}\!\int_a^b f =\int_{[a,b]}f\,d\lambda, \qquad \operatorname{HK}\!\int_a^b|f| =\int_{[a,b]}|f|\,d\lambda

が成り立つ。

証明.a=ba=bとする。単点集合[a,a][a,a]は Lebesgue 零集合であり、完備 Lebesgue 測度に関してffの任意の逆像は空集合または単点集合であるから、有限値関数f:[a,a]→Kf:[a,a]\to\mathbb{K}は可測である。また、

∫[a,a]∣f∣ dλ=0\int_{[a,a]}|f|\,d\lambda=0

である。一方、定義 1.2によりffと∣f∣|f|はともに HK 可積分であり、二つの HK 積分値も00である。したがって、二条件と二つの積分値の等式がすべて成り立つ。以下ではa<ba<bとする。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。第二の条件を仮定する。ffと∣f∣|f|はともに Lebesgue 可積分であるから、定理 7.3により両方とも HK 可積分であり、各積分値が一致する。したがってffは絶対 HK 可積分である。

(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。第一の条件を仮定する。系 8.3によりffは Lebesgue 可測であり、連続な絶対値写像との合成である∣f∣|f|も可測である。補題 9.2を∣f∣|f|へ適用すると

∫∣f∣ dλ=HK⁡ ⁣∫ab∣f∣<∞\int|f|\,d\lambda =\operatorname{HK}\!\int_a^b|f|<\infty

を得る。したがってffは Lebesgue 可積分である。最後に定理 7.3をffへ適用すると、ffの二つの積分値も一致する。▨

命題 9.4. 実数a<ba<bとし、各正の整数nnに対してfn:[a,b]→[0,∞)f_n:[a,b]\to[0,\infty)を HK 可積分関数とする。すべてのx∈[a,b]x\in[a,b]とn≥1n\geq1についてfn(x)≤fn+1(x)f_n(x)\leq f_{n+1}(x)が成り立ち、有限値関数f:[a,b]→[0,∞)f:[a,b]\to[0,\infty)に各点で収束すると仮定する。さらに、

sup⁡n≥1HK⁡ ⁣∫abfn<∞\sup_{n\geq1}\operatorname{HK}\!\int_a^b f_n<\infty

を仮定する。このとき、ffは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫abf=lim⁡n→∞HK⁡ ⁣∫abfn\operatorname{HK}\!\int_a^b f=\lim_{n\to\infty}\operatorname{HK}\!\int_a^b f_n

が成り立つ。

証明. 演習とする（問題 11.1 (3)）。▨

命題 9.5. 実数a<ba<bとし、f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\Rを有限値 HK 可積分関数とする。 Lebesgue 可積分関数g:[a,b]→Rg:[a,b]\to\Rが、すべてのx∈[a,b]x\in[a,b]に対してf(x)≥g(x)f(x)\geq g(x)を満たすと仮定する。このとき、ffは Lebesgue 可積分である。

証明. 演習とする（問題 11.1 (7)）。▨

10 Lebesgue 可積分でない導関数

例 10.1. 実数値関数F:[0,1]→RF:[0,1]\to\Rを

F(x)={x2sin⁡(1/x2),0<x≤1,0,x=0F(x)= \begin{cases} x^2\sin(1/x^2),&0<x\leq1,\\ 0,&x=0 \end{cases}

によって定める。f(0)=0f(0)=0とし、0<x<10<x<1でf(x)=F′(x)f(x)=F'(x)とし、f(1)f(1)には任意の有限値を指定する。このときffは HK 可積分であり、

HK⁡ ⁣∫01f=F(1)−F(0)=sin⁡1\operatorname{HK}\!\int_0^1 f=F(1)-F(0)=\sin1

が成り立つ。一方、ffは Lebesgue 可積分でない。

証明.∣F(x)∣≤x2|F(x)|\leq x^2であるから、FFは00で連続である。また、(0,1)(0,1)ではF(x)=x2sin⁡(1/x2)F(x)=x^2\sin(1/x^2)であるから、FFは微分可能である。FFは端点11でも連続である。積の微分と連鎖律から

f(x)=2xsin⁡(1/x2)−2xcos⁡(1/x2)(0<x<1)f(x)=2x\sin(1/x^2)-\frac{2}{x}\cos(1/x^2) \qquad(0<x<1)

を得る。端点でのffの値は任意の有限値でよいから、定理 3.1をFFとffに適用すると、ffは HK 可積分であり、その積分値はsin⁡1\sin1である。系 8.3によりffは Lebesgue 可測である。

0<ε<10<\varepsilon<1に対して、ffの表示は[ε,1][\varepsilon,1]上で端点11を除いて成り立つ。端点は Lebesgue 零集合であり、表示の右辺の各項は[ε,1][\varepsilon,1]上で連続である。したがって、三角不等式を積分し、§E10.10 定理 3.2 (1)と§E10.17 系 5.2を用いると

∫[ε,1]∣f∣ dλ≥2∫ε1∣cos⁡(1/x2)∣x dx−2∫ε1x dx.\int_{[\varepsilon,1]}|f|\,d\lambda \geq 2\int_\varepsilon^1\frac{|\cos(1/x^2)|}{x}\,dx -2\int_\varepsilon^1x\,dx.

置換t=1/x2t=1/x^2により

2∫ε1∣cos⁡(1/x2)∣x dx=∫11/ε2∣cos⁡t∣t dt.2\int_\varepsilon^1\frac{|\cos(1/x^2)|}{x}\,dx =\int_1^{1/\varepsilon^2}\frac{|\cos t|}{t}\,dt.

各正の整数kkに対して

Ik=[kπ−π/3,kπ+π/3]I_k=[k\pi-\pi/3,k\pi+\pi/3]

とおく。t∈Ikt\in I_kならば∣cos⁡t∣≥1/2|\cos t|\geq1/2であるから、

∫Ik∣cos⁡t∣t dt≥π/3kπ+π/3=13k+1.\int_{I_k}\frac{|\cos t|}{t}\,dt \geq \frac{\pi/3}{k\pi+\pi/3} =\frac{1}{3k+1}.

が成り立つ。区間IkI_kは内部が互いに交わらず、∑k≥1(3k+1)−1\sum_{k\geq1}(3k+1)^{-1}は発散する。したがって、

∫1∞∣cos⁡t∣t dt=∞.\int_1^\infty\frac{|\cos t|}{t}\,dt=\infty.

一方、2∫01x dx=12\int_0^1x\,dx=1は有限であるため、

lim⁡ε↓0∫[ε,1]∣f∣ dλ=∞.\lim_{\varepsilon\downarrow0}\int_{[\varepsilon,1]}|f|\,d\lambda=\infty.

非負可測関数

hn=∣f∣1[1/n,1]h_n=|f|\mathbf{1}_{[1/n,1]}

はhn↑∣f∣1(0,1]h_n\uparrow |f|\mathbf{1}_{(0,1]}を満たす。§E10.11 定理 1.1を適用すると

∫(0,1]∣f∣ dλ=∞\int_{(0,1]}|f|\,d\lambda=\infty

を得る。したがってffは Lebesgue 可積分でない。▨

11 演習

問題 11.1.

  1. 実数a<ba<bとし、U\mathcal{U}を[a,b][a,b]を覆うR\Rの開集合の族とする。補題 1.3を用いて、U\mathcal{U}の有限個の元が[a,b][a,b]を覆うことを証明せよ。
  2. 命題 7.4の証明を完成させよ。さらに、1Q∩[0,1]\mathbf{1}_{\Q\cap[0,1]}が[0,1][0,1]上で HK 可積分であり、その積分値が00であることを示せ。
  3. 命題 9.4の証明を完成させよ。また、[0,1][0,1]上でfn(x)=min⁡{n,1/x}f_n(x)=\min\{n,1/x\}（x>0x>0）、fn(0)=0f_n(0)=0とおくと、極限ffが HK 可積分でないことを示せ。
  4. 命題 8.4の証明を完成させよ。
  5. 命題 6.3の証明を完成させよ。さらに、この命題を用いて、[0,1][0,1]上でf(x)=x−1/2f(x)=x^{-1/2}、g(x)=x−2cos⁡(1/x)g(x)=x^{-2}\cos(1/x)（x>0x>0）、f(0)=g(0)=0f(0)=g(0)=0とおくと、ffは HK 可積分で積分値が22であり、ggは HK 可積分でないことを示せ。
  6. 命題 4.5の証明を完成させよ。さらに、この命題を用いて、[−1,1][-1,1]上でf(x)=∣x∣−1/2f(x)=|x|^{-1/2}（x≠0x\neq0）、f(0)=0f(0)=0とおいた関数の HK 積分値を求めよ。
  7. 命題 9.5の証明を完成させよ。さらに、この命題を用いて、例 10.1のffについて、f≥gf\geq gを満たす Lebesgue 可積分関数ggも、f≤gf\leq gを満たす Lebesgue 可積分関数ggも存在しないことを示せ。
解答.

  1. x∈[a,b]x\in[a,b]に対してR(x)={ r∈(0,1]∣ある U∈U について (x−r,x+r)⊆U }R(x)=\{\,r\in(0,1]\mid\text{ある }U\in\mathcal{U}\text{ について }(x-r,x+r)\subseteq U\,\}とおく。xxを含むU∈UU\in\mathcal{U}は開集合であるからR(x)R(x)は空でなく、δ(x)=12sup⁡R(x)\delta(x)=\frac12\sup R(x)は正の実数である。δ\deltaは[a,b][a,b]上のゲージである。補題 1.3によりδ\delta-fine 分割{([xi−1,xi],τi)∣1≤i≤n}\{([x_{i-1},x_i],\tau_i)\mid1\leq i\leq n\}が存在する。各iiについてδ(τi)<sup⁡R(τi)\delta(\tau_i)<\sup R(\tau_i)であるから、ri>δ(τi)r_i>\delta(\tau_i)を満たすri∈R(τi)r_i\in R(\tau_i)と、(τi−ri,τi+ri)⊆Ui(\tau_i-r_i,\tau_i+r_i)\subseteq U_iを満たすUi∈UU_i\in\mathcal{U}が存在する。このとき

    [xi−1,xi]⊂(τi−δ(τi),τi+δ(τi))⊆Ui[x_{i-1},x_i]\subset(\tau_i-\delta(\tau_i),\tau_i+\delta(\tau_i))\subseteq U_i

    である。小区間は[a,b][a,b]を覆うので、有限個のU1,…,UnU_1,\dots,U_nが[a,b][a,b]を覆う。UiU_iを選ぶ操作は有限回である。

  2. h=g−fh=g-fとおくと、hhはZZの外で00である。§E10.16 定理 6.2 (5)により、ZZの任意の部分集合は Lebesgue 可測である。任意の Borel 集合B⊆KB\subseteq\mathbb Kに対して、h−1(B)h^{-1}(B)は、0∉B0\notin BならばZZの部分集合であり、0∈B0\in Bならば[a,b]∖Z[a,b]\setminus ZとZZの部分集合との和集合である。したがって、hhは Lebesgue 可測である。§E10.10 補題 3.1により∫∣h∣ dλ=0\int|h|\,d\lambda=0であり、§E10.10 補題 2.5により∫h dλ=0\int h\,d\lambda=0である。定理 7.3によりhhは HK 可積分で積分値が00である。命題 2.3をg=f+hg=f+hに適用すると、ggは HK 可積分であり、積分値はffの積分値に等しい。

    Q∩[0,1]\Q\cap[0,1]は可算集合であり、一点集合は Lebesgue 零集合であるから、可算劣加法性により零集合である。f=0f=0、g=1Q∩[0,1]g=\mathbf{1}_{\Q\cap[0,1]}に命題 7.4を適用すると、後半の主張を得る。

    ゲージによる別証明n≥1n\geq1に対してZn={ x∈Z∣n−1≤∣h(x)∣<n }Z_n=\{\,x\in Z\mid n-1\leq|h(x)|<n\,\}とおく。hhは有限値であるからZ=⋃nZnZ=\bigcup_nZ_nであり、 Lebesgue 測度の完備性により各ZnZ_nは零集合である。ε>0\varepsilon>0を固定する。§E10.16 定理 8.2により、各nnについてZn⊆GnZ_n\subseteq G_nかつλ(Gn)<ε/(n2n)\lambda(G_n)<\varepsilon/(n2^n)を満たす開集合GnG_nが存在する。従属選択公理から従う可算選択によって、このような列(Gn)(G_n)を選ぶ。λ(Gn)<∞\lambda(G_n)<\inftyからGn≠RG_n\neq\Rである。ゲージを、x∈Znx\in Z_nではδ(x)=dist⁡(x,R∖Gn)\delta(x)=\operatorname{dist}(x,\R\setminus G_n)、x∉Zx\notin Zではδ(x)=1\delta(x)=1と定める。GnG_nは開集合であるからδ(x)>0\delta(x)>0であり、x∈Znx\in Z_nならば(x−δ(x),x+δ(x))⊆Gn(x-\delta(x),x+\delta(x))\subseteq G_nである。

    P={(Ji,τi)}\mathcal{P}=\{(J_i,\tau_i)\}をδ\delta-fine 分割とする。τi∉Z\tau_i\notin Zの項はh(τi)=0h(\tau_i)=0であるから

    ∣S(h,P)∣≤∑n=1∞n∑τi∈Zn∣Ji∣|S(h,\mathcal{P})|\leq\sum_{n=1}^{\infty}n\sum_{\tau_i\in Z_n}|J_i|

    である。τi∈Zn\tau_i\in Z_nを満たす小区間はGnG_nに含まれ、内部が互いに交わらないので、その和集合の測度は長さの和に等しい。したがって、∑τi∈Zn∣Ji∣≤λ(Gn)\sum_{\tau_i\in Z_n}|J_i|\leq\lambda(G_n)である。ゆえに∣S(h,P)∣≤∑nnλ(Gn)<∑nε2−n=ε|S(h,\mathcal{P})|\leq\sum_nn\lambda(G_n)<\sum_n\varepsilon2^{-n}=\varepsilonである。したがって、hhは HK 可積分で積分値は00である。

    命題 2.3をg=f+hg=f+hに適用すると、ggは HK 可積分であり、積分値はffの積分値に等しい。

  3. 補題 9.2により、各fnf_nは Lebesgue 可積分であり∫[a,b]fn dλ=HK⁡ ⁣∫abfn\int_{[a,b]}f_n\,d\lambda=\operatorname{HK}\!\int_a^bf_nである。f=sup⁡nfnf=\sup_nf_nは§E10.7 定理 5.1により可測であり、§E10.11 定理 1.1により

    ∫[a,b]f dλ=lim⁡n→∞∫[a,b]fn dλ=sup⁡nHK⁡ ⁣∫abfn<∞\int_{[a,b]}f\,d\lambda=\lim_{n\to\infty}\int_{[a,b]}f_n\,d\lambda=\sup_n\operatorname{HK}\!\int_a^bf_n<\infty

    である。ffは有限値の Lebesgue 可積分関数であるから、定理 7.3により HK 可積分であり、HK⁡ ⁣∫abf=∫[a,b]f dλ=lim⁡nHK⁡ ⁣∫abfn\operatorname{HK}\!\int_a^bf=\int_{[a,b]}f\,d\lambda=\lim_n\operatorname{HK}\!\int_a^bf_nである。

    例のfnf_nは、[0,1][0,1]上の連続関数min⁡{n,1/x}\min\{n,1/x\}（x=0x=0ではnn）と点00だけで異なる。連続関数は§D1.17 定理 2.5と定理 5.2により HK 可積分であり、補題 6.1によりfnf_nも HK 可積分である。fn≤fn+1f_n\leq f_{n+1}であり、極限はx>0x>0で1/x1/x、x=0x=0で00である。このffが HK 可積分であると仮定すると、補題 9.2により Lebesgue 可積分である。しかしf1[1/m,1]↑f1(0,1]f\mathbf{1}_{[1/m,1]}\uparrow f\mathbf{1}_{(0,1]}であり、§E10.17 系 5.2と§D1.19 定理 2.1により∫[1/m,1]f dλ=log⁡m→∞\int_{[1/m,1]}f\,d\lambda=\log m\to\inftyであるから、単調収束定理により∫[0,1]f dλ=∞\int_{[0,1]}f\,d\lambda=\inftyとなって矛盾する。したがってffは HK 可積分でない。前段と合わせると、sup⁡nHK⁡ ⁣∫01fn=∞\sup_n\operatorname{HK}\!\int_0^1f_n=\inftyである。

  4. F(x)=HK⁡ ⁣∫axfF(x)=\operatorname{HK}\!\int_a^xfとおく。f=0f=0がほとんど至る所で成り立つとする。x∈(a,b]x\in(a,b]について、補題 4.2によりffは[a,x][a,x]上で HK 可積分であり、零関数とffは[a,x][a,x]の零集合の外で一致するから、命題 7.4によりF(x)=HK⁡ ⁣∫ax0=0F(x)=\operatorname{HK}\!\int_a^x0=0である。F(a)=0F(a)=0は定義である。

    逆にF≡0F\equiv0とする。定理 8.2により、零集合N⊆(a,b)N\subseteq(a,b)が存在してx∈(a,b)∖Nx\in(a,b)\setminus Nではf(x)=F′(x)=0f(x)=F'(x)=0である。{a,b}∪N\{a,b\}\cup Nは零集合であるから、f=0f=0はほとんど至る所で成り立つ。

  5. 極限が存在するならば、定理 6.2の後半によりffは[a,b][a,b]上で HK 可積分であり、積分値はその極限に等しい。逆にffが[a,b][a,b]上で HK 可積分であるとし、F(x)=HK⁡ ⁣∫axfF(x)=\operatorname{HK}\!\int_a^xfとおく。補題 4.2によりHK⁡ ⁣∫cbf=HK⁡ ⁣∫abf−F(c)\operatorname{HK}\!\int_c^bf=\operatorname{HK}\!\int_a^bf-F(c)である。系 4.4によりFFは連続でF(a)=0F(a)=0であるから、c↓ac\downarrow aのときHK⁡ ⁣∫cbf→HK⁡ ⁣∫abf\operatorname{HK}\!\int_c^bf\to\operatorname{HK}\!\int_a^bfである。

    0<c<10<c<1とする。[c,1][c,1]上でΦ(x)=2x\Phi(x)=2\sqrt xは連続で(c,1)(c,1)の各点で微分可能であり、Φ′=f\Phi'=fである。定理 3.1によりHK⁡ ⁣∫c1f=2−2c\operatorname{HK}\!\int_c^1f=2-2\sqrt cであり、c↓0c\downarrow0のとき22に収束する。前段によりffは HK 可積分で積分値は22である。Ψ(x)=−sin⁡(1/x)\Psi(x)=-\sin(1/x)は[c,1][c,1]上で連続であり、(c,1)(c,1)の各点でΨ′(x)=x−2cos⁡(1/x)=g(x)\Psi'(x)=x^{-2}\cos(1/x)=g(x)である。同じ定理によりHK⁡ ⁣∫c1g=sin⁡(1/c)−sin⁡1\operatorname{HK}\!\int_c^1g=\sin(1/c)-\sin1である。ck=1/(2πk)c_k=1/(2\pi k)ではsin⁡(1/ck)=0\sin(1/c_k)=0、ck′=1/(2πk+π/2)c_k'=1/(2\pi k+\pi/2)ではsin⁡(1/ck′)=1\sin(1/c_k')=1であり、どちらの列も00に収束するから、c↓0c\downarrow0のときの極限は存在しない。前段によりggは HK 可積分でない。

  6. CCの元を小さい順に並べ、a=c0<c1<⋯<cm=ba=c_0<c_1<\dots<c_m=bとする（CCが空ならばm=1m=1）。各[cj−1,cj][c_{j-1},c_j]上でFFは連続であり、(cj−1,cj)(c_{j-1},c_j)の各点で微分可能でf=F′f=F'である。定理 3.1は端点でのffの値を任意の有限値とすることを許すので、ffは[cj−1,cj][c_{j-1},c_j]上で HK 可積分でありHK⁡ ⁣∫cj−1cjf=F(cj)−F(cj−1)\operatorname{HK}\!\int_{c_{j-1}}^{c_j}f=F(c_j)-F(c_{j-1})である。補題 4.2をj=1,…,mj=1,\dots,mについて繰り返し適用すると、ffは[a,b][a,b]上で HK 可積分であり

    HK⁡ ⁣∫abf=∑j=1m(F(cj)−F(cj−1))=F(b)−F(a)\operatorname{HK}\!\int_a^bf=\sum_{j=1}^{m}\bigl(F(c_j)-F(c_{j-1})\bigr)=F(b)-F(a)

    である。

    例ではF(x)=2sgn⁡(x)∣x∣F(x)=2\operatorname{sgn}(x)\sqrt{|x|}とおく。FFは[−1,1][-1,1]上で連続であり、x>0x>0ではF′(x)=x−1/2F'(x)=x^{-1/2}、x<0x<0ではF(x)=−2−xF(x)=-2\sqrt{-x}からF′(x)=(−x)−1/2F'(x)=(-x)^{-1/2}である。C={0}C=\{0\}として前段を適用すると、HK⁡ ⁣∫−11f=F(1)−F(−1)=4\operatorname{HK}\!\int_{-1}^1f=F(1)-F(-1)=4である。

  7. ggは有限値の Lebesgue 可積分関数であるから、定理 7.3により HK 可積分である。命題 2.3によりf−gf-gは HK 可積分であり、f−g≥0f-g\geq0である。補題 9.2によりf−gf-gは Lebesgue 可積分であり、§E10.10 定理 2.3によりf=(f−g)+gf=(f-g)+gも Lebesgue 可積分である。

    例 10.1のffは HK 可積分であるが Lebesgue 可積分でない。f≥gf\geq gを満たす Lebesgue 可積分なggが存在すれば、前段によりffは Lebesgue 可積分となり矛盾する。−f-fも HK 可積分であり（命題 2.3）、Lebesgue 可積分でないから、−f≥−g-f\geq-g、すなわちf≤gf\leq gを満たす Lebesgue 可積分なggも存在しない。

▨

参考文献

  1. Ralph Henstock, Lectures on the Theory of Integration, World Scientific Publishing, 1988.
  2. Peng Yee Lee and Rudolf Výborný, The Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock, Australian Mathematical Society Lecture Series 14, Cambridge University Press, 2000.
  3. Russell A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics 4, American Mathematical Society, Providence, 1994.

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