測度核 | 測度と積分

定義 1.1. $(S,\Sigma)$ と $(T,\mathcal T)$ を可測空間とする。写像

K:S\times\mathcal T\longrightarrow[0,\infty]

が $(S,\Sigma)$ から $(T,\mathcal T)$ への測度核 (measure kernel) であるとは、次の二条件を満たすことをいう。

任意の $x\in S$ に対して、 $A\mapsto K(x,A)$ は $(T,\mathcal T)$ 上の測度である。
任意の $A\in\mathcal T$ に対して、 $x\mapsto K(x,A)$ は $\Sigma$ 可測である。

任意の $x\in S$ に対して $K(x,T)<\infty$ である測度核を有限核 (finite kernel) という。任意の $x\in S$ に対して $K(x,T)=1$ である測度核を確率核 (probability kernel) という。

定義 1.2. $(S,\Sigma)$ から $(T,\mathcal T)$ への測度核 $K$ と、非負可測関数 $f:T\to[0,\infty]$ に対して、 $f$ の $K$ による核積分 (kernel integral) を、関数 $Kf:S\to[0,\infty]$ として

Kf(x)=\int_T f(y)K(x,dy)

によって定める。右辺は測度 $K(x,\cdot)$ に関する Lebesgue 積分を表す。非負積分における積では $0\cdot\infty=0$ とする。

命題 1.3. $(S,\Sigma)$ から $(T,\mathcal T)$ への測度核 $K$ と、非負可測関数 $f:T\to[0,\infty]$ に対して、 $Kf$ は $\Sigma$ 可測である。

証明. 非負単関数 $s:T\to[0,\infty)$ の値による可測分割を $A_1,\ldots,A_m$ 、対応する値を $a_1,\ldots,a_m$ とする。§E10.8 命題 5.2により、任意の $x\in S$ に対して

Ks(x)=\sum_{i=1}^m a_iK(x,A_i)

である。各 $K(\cdot,A_i)$ は可測であるから、§E10.7 命題 6.1により $Ks$ は可測である。

§E10.7 定理 7.3により、非負単関数列 $s_n\uparrow f$ をとる。任意の $x\in S$ に対して、測度 $K(x,\cdot)$ に§E10.11 定理 1.1を適用すると、

Ks_n(x)\uparrow Kf(x)

を得る。各 $Ks_n$ は可測であるから、§E10.7 定理 5.1により $Kf$ は可測である。▨

例 1.4. 可測写像 $\phi:(S,\Sigma)\to(T,\mathcal T)$ に対して、

D_\phi(x,A)=\mathbf1_A(\phi(x)) \qquad(x\in S,\ A\in\mathcal T)

と定めると、 $D_\phi$ は確率核である。実際、任意の $x\in S$ に対して、 $D_\phi(x,\cdot)$ は点 $\phi(x)$ における Dirac 測度であり、§E10.8 例 1.3により全質量が $1$ の測度である。各 $A\in\mathcal T$ に対して $D_\phi(\cdot,A)=\mathbf1_{\phi^{-1}(A)}$ は可測である。

非負可測関数 $f:T\to[0,\infty]$ に対して、

D_\phi f(x)=f(\phi(x))

が任意の $x\in S$ について成り立つ。実際、 $x\in S$ を固定すると、評価汎関数 $J_x(f)=f(\phi(x))$ は零関数で $0$ となり、加法、有限非負係数による乗法、増加極限を保つ。また、 $J_x(\mathbf1_A)=D_\phi(x,A)$ であるから、§E10.11 定理 1.3により $f(\phi(x))=\int_T f(y)D_\phi(x,dy)$ である。

定義 2.1. $(S,\Sigma,\mu)$ を測度空間とし、 $K$ を $(S,\Sigma)$ から $(T,\mathcal T)$ への測度核とする。測度 $\mu$ と核 $K$ の合成 (composition of a measure and a kernel) を、写像 $\mu K:\mathcal T\to[0,\infty]$ として

(\mu K)(A)=\int_S K(x,A)\,d\mu(x) \qquad(A\in\mathcal T)

によって定める。

定理 2.2. $(S,\Sigma,\mu)$ を測度空間とし、 $K$ を $(S,\Sigma)$ から $(T,\mathcal T)$ への測度核とする。このとき、合成 $\mu K$ は $(T,\mathcal T)$ 上の測度である。任意の非負可測関数 $f:T\to[0,\infty]$ に対して、

\int_T f\,d(\mu K) =\int_S Kf\,d\mu =\int_S\left(\int_T f(y)K(x,dy)\right)d\mu(x)

が成り立つ。

証明. $T$ 上の非負可測関数 $f$ に対して

J(f)=\int_S Kf\,d\mu

とおく。命題 1.3により $Kf$ は可測であるから、 $J(f)$ は定義される。各測度 $K(x,\cdot)$ と外側の測度 $\mu$ に§E10.10 定理 1.6を適用すると、 $J(0)=0$ であり、 $J$ は加法的かつ有限非負係数について同次である。

非負可測関数列 $f_n\uparrow f$ に対して、各測度 $K(x,\cdot)$ に§E10.11 定理 1.1を適用すると、 $Kf_n\uparrow Kf$ が点ごとに成り立つ。測度 $\mu$ に同じ定理を適用すると、 $J(f_n)\uparrow J(f)$ である。任意の $A\in\mathcal T$ に対して

J(\mathbf1_A)=\int_S K(x,A)\,d\mu(x)=(\mu K)(A)

であるから、§E10.11 定理 1.3により $\mu K$ は測度であり、 $\int_T f\,d(\mu K)=J(f)=\int_S Kf\,d\mu$ である。▨

定義 3.1. $(S,\Sigma)$ 、 $(T,\mathcal T)$ 、 $(U,\mathcal U)$ を可測空間とし、 $K$ を $S$ から $T$ への測度核、 $L$ を $T$ から $U$ への測度核とする。 $K$ と $L$ の合成 (composition of kernels) を、写像 $KL:S\times\mathcal U\to[0,\infty]$ として

(KL)(x,C)=\int_T L(y,C)K(x,dy) \qquad(x\in S,\ C\in\mathcal U)

によって定める。

定理 3.2. $(S,\Sigma)$ 、 $(T,\mathcal T)$ 、 $(U,\mathcal U)$ を可測空間とし、 $K$ を $S$ から $T$ への測度核、 $L$ を $T$ から $U$ への測度核とする。このとき、合成 $KL$ は $S$ から $U$ への測度核である。任意の非負可測関数 $f:U\to[0,\infty]$ に対して、

(KL)f=K(Lf)

が $S$ 上で成り立つ。

証明. $x\in S$ を固定すると、 $K(x,\cdot)$ は $T$ 上の測度である。定理 2.2を測度 $K(x,\cdot)$ と核 $L$ に適用すると、 $C\mapsto(KL)(x,C)$ は $U$ 上の測度である。

$C\in\mathcal U$ を固定すると、 $y\mapsto L(y,C)$ は非負可測関数である。命題 1.3により、 $x\mapsto(KL)(x,C)$ は可測である。したがって、 $KL$ は測度核である。

非負可測関数 $f:U\to[0,\infty]$ に対して、 $Lf$ は命題 1.3により $T$ 上の非負可測関数である。各 $x\in S$ について、定理 2.2の積分公式により、

\begin{aligned} (KL)f(x) &=\int_U f(z)\,d\bigl(K(x,\cdot)L\bigr)(z)\\ &=\int_T\left(\int_U f(z)L(y,dz)\right)K(x,dy)\\ &=K(Lf)(x) \end{aligned}

を得る。▨

系 3.3. $(S,\Sigma)$ 、 $(T,\mathcal T)$ 、 $(U,\mathcal U)$ 、 $(V,\mathcal V)$ を可測空間とし、 $K$ を $S$ から $T$ への測度核、 $L$ を $T$ から $U$ への測度核、 $M$ を $U$ から $V$ への測度核とする。このとき、

(KL)M=K(LM)

が成り立つ。また、 $S$ 上の任意の測度 $\mu$ に対して、

(\mu K)L=\mu(KL)

が成り立つ。

証明. $B\in\mathcal V$ に対して、 $g_B(z)=M(z,B)$ は $U$ 上の非負可測関数である。定理 3.2の積分公式により、任意の $x\in S$ に対して、

\begin{aligned} ((KL)M)(x,B) &=(KL)g_B(x)\\ &=K(Lg_B)(x)\\ &=\int_T (LM)(y,B)K(x,dy)\\ &=(K(LM))(x,B) \end{aligned}

である。

$C\in\mathcal U$ に対して、 $h_C(y)=L(y,C)$ は $T$ 上の非負可測関数である。定理 2.2の積分公式により、

((\mu K)L)(C) =\int_T h_C\,d(\mu K) =\int_S Kh_C\,d\mu =\int_S(KL)(x,C)\,d\mu(x) =(\mu(KL))(C)

を得る。▨

系 3.4. $(S,\Sigma)$ 、 $(T,\mathcal T)$ 、 $(U,\mathcal U)$ を可測空間とし、 $K$ を $S$ から $T$ への確率核、 $L$ を $T$ から $U$ への確率核とする。このとき、合成 $KL$ は確率核である。また、 $S$ 上の確率測度 $\mu$ と確率核 $K$ の合成 $\mu K$ は $T$ 上の確率測度である。

証明. 任意の $x\in S$ に対して、

(KL)(x,U)=\int_T L(y,U)K(x,dy) =\int_T 1\,K(x,dy)=K(x,T)=1

である。また、 $(\mu K)(T)=\int_S K(x,T)\,d\mu(x)=\mu(S)=1$ である。核性と測度性は、それぞれ定理 3.2と定理 2.2による。▨

例 3.5. $S=\{s\}$ 、 $T=\NN$ 、 $U=\{u\}$ にそれぞれべき集合を可測集合族として入れる。 $S$ から $T$ への核 $K$ と $T$ から $U$ への核 $L$ を

K(s,A)=\sum_{n\in A}2^{-n}, \qquad L(n,C)=2^n\mathbf1_C(u)

によって定める。このとき、 $K(s,\cdot)$ は、各点 $n$ に質量 $2^{-n}$ を与える測度である。可算加法性は、二つずつ交わらない集合列の和集合上の非負項級数を各集合上の級数に分けることによる。 $L(n,\cdot)$ は点 $u$ に質量 $2^n$ を与える測度である。始域 $S$ と $T$ の可測集合族はべき集合であるから、各集合に対する核の値は可測である。 $K(s,T)=1$ 、 $L(n,U)=2^n<\infty$ であるので、 $K$ と $L$ は有限核である。

一方、非負可測関数 $y\mapsto L(y,U)$ は

L(y,U)=\sum_{n=1}^\infty 2^n\mathbf1_{\{n\}}(y)

と表示される。§E10.11 系 1.5により、

(KL)(s,U)=\sum_{n=1}^\infty 2^nK(s,\{n\}) =\sum_{n=1}^\infty 1=\infty

である。したがって、有限核の合成は有限核であるとは限らない。

§E10.42測度核

1 測度核と非負積分

2 測度と核の合成

3 核の合成と結合則

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