§E10.9Carathéodory の拡張定理

証明. 必要性を示す。σ-加法族は Dynkin 系の三条件を満たし、§E10.6 命題 3.3 (3)により π 系でもある。

十分性を示す。$\mathcal{F}$が π 系かつ Dynkin 系であるとする。$A,B\in\mathcal{F}$に対して

であるから、$\mathcal{F}$は有限和に対して閉じている。また、$A\setminus B=A\cap(X\setminus B)\in\mathcal{F}$である。任意の列$A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}$に対して

とおく。各$C_n$は$\mathcal{F}$に属し、二つずつ交わらない。$\bigcup_n A_n$の元$x$に対し、$x\in A_n$を満たす最小の$n\in\NN$をとれば$x\in C_n$であるから、$\bigcup_n C_n=\bigcup_n A_n$である。 Dynkin 系の可算非交和に対する閉性から、$\bigcup_n A_n\in\mathcal{F}$となる。したがって、$\mathcal{F}$は σ-加法族である。▨

証明.$\mathcal{P}(X)$は$\mathcal{G}$を含む Dynkin 系であるから、そのような Dynkin 系全体の共通部分$\mathcal{D}_0$をとることができる。各 Dynkin 系が$X$を含み、補集合と互いに交わらない可算和に対して閉じていることを共通部分へ適用すると、$\mathcal{D}_0$も同じ三条件を満たす。したがって、$\mathcal{D}_0$は Dynkin 系である。また、各 Dynkin 系が$\mathcal{G}$を含むので$\mathcal{G}\subseteq\mathcal{D}_0$であり、共通部分の定義から$\mathcal{D}_0$は$\mathcal{G}$を含むすべての Dynkin 系に含まれる。ゆえに$\mathcal{D}_0$は最小であり、最小性から一意である。▨

証明.$X\in\mathcal{D}$と補集合に対する閉性から、$\emptyset\in\mathcal{D}$である。$X\setminus B\in\mathcal{D}$であり、$A$と$X\setminus B$は互いに交わらない。Dynkin 系の第三の公理を、$A$、$X\setminus B$、および空集合からなる列に適用すると、$A\cup(X\setminus B)\in\mathcal{D}$である。補集合に対する閉性と

から、$B\setminus A\in\mathcal{D}$が従う。▨

証明.$\mathcal{D}=\lambda(\mathcal{P})$とおく。

$A\in\mathcal{P}$を固定すると、π 系の定義から$\mathcal{P}\subseteq\mathcal{D}_A$である。主張 1.8.1と$\mathcal{D}$の最小性により、$\mathcal{D}_A=\mathcal{D}$である。したがって、

が成り立つ。

$B\in\mathcal{D}$を固定すると、すべての$A\in\mathcal P$について$A\cap B\in\mathcal D$であることと共通部分の対称性から$\mathcal{P}\subseteq\mathcal{D}_B$である。主張 1.8.1と$\mathcal{D}$の最小性により、$\mathcal{D}_B=\mathcal{D}$である。ゆえに、$\mathcal{D}$は π 系であり、命題 1.4により σ-加法族である。$\mathcal{P}\subseteq\mathcal{D}$であるから、$\sigma(\mathcal{P})\subseteq\mathcal{D}$である。一方、$\sigma(\mathcal{P})$は$\mathcal{P}$を含む Dynkin 系であるから、$\mathcal{D}$の最小性により$\mathcal{D}\subseteq\sigma(\mathcal{P})$である。したがって、$\lambda(\mathcal{P})=\sigma(\mathcal{P})$である。▨

証明.主張 (1)を示す。$\mu(X)=\nu(X)<\infty$とし、

とおく。全質量の一致から$X\in\mathcal D$である。$A\in\mathcal D$ならば、§E10.8 命題 2.1 (2)と全質量の有限性から

であるから、$X\setminus A\in\mathcal D$である。二つずつ交わらない集合列$(A_j)_{j\geq1}$の各項が$\mathcal D$に属するならば、可算加法性から

である。したがって$\mathcal D$は$X$上の Dynkin 系である。仮定により$\mathcal P\subseteq\mathcal D$であるから、定理 1.8により$\sigma(\mathcal P)\subseteq\mathcal D$であり、$\mu=\nu$を得る。

主張 (2)を示す。仮定を満たす集合列$(E_n)_{n\geq1}$をとる。各$n\geq1$に対して、$\sigma(\mathcal P)$上の集合関数を

と定める。共通部分をとる操作は二つずつ交わらない集合列の和を保つので、$\mu,\nu$の可算加法性から$\mu_n,\nu_n$は測度である。また、

である。$P\in\mathcal P$ならば π 系の閉性から$P\cap E_n\in\mathcal P$であり、$\mu_n(P)=\nu_n(P)$である。したがって主張 (1)により$\mu_n=\nu_n$である。任意の$A\in\sigma(\mathcal P)$に対して$A\cap E_n$は$A$へ増加するから、§E10.8 定理 4.1 (1)により

である。▨

証明.$\mathcal A$を含むすべての単調族の共通部分を$\mathcal M$とする。$\mathcal P(X)$はそのような単調族であり、共通部分も単調族であるから、$\mathcal M$は最小の単調族である。$\sigma(\mathcal A)$は単調族であるため$\mathcal M\subseteq\sigma(\mathcal A)$である。集合族$\{E\in\mathcal M\mid X\setminus E\in\mathcal M\}$は、補集合が増加和と減少共通部分を交換することにより単調族である。この族は$\mathcal A$を含むから、最小性により$\mathcal M$に一致する。したがって$\mathcal M$は補集合に対して閉じている。

$A\in\mathcal A$を固定する。$\{E\in\mathcal M\mid A\cap E\in\mathcal M\}$は、共通部分が増加和と減少共通部分を保つことにより単調族である。この族は$\mathcal A$を含むので、最小性から$A\cap E\in\mathcal M$がすべての$E\in\mathcal M$について成り立つ。$E\in\mathcal M$を固定する。$\{B\in\mathcal M\mid B\cap E\in\mathcal M\}$も単調族であり、すべての$A\in\mathcal A$について$A\cap E\in\mathcal M$であるから$\mathcal A$を含む。したがって、最小性により、$\mathcal M$に一致する。したがって$\mathcal M$は有限共通部分に対して閉じている。補集合閉性から有限和にも閉じている。任意の$E_n\in\mathcal M$に対して、有限和$\bigcup_{j=1}^nE_j$は$\mathcal M$に属し、増加する。単調族の閉性から$\bigcup_{j=1}^\infty E_j\in\mathcal M$である。$X\in\mathcal A\subseteq\mathcal M$であるから、$\mathcal M$は σ-加法族であり、$\sigma(\mathcal A)\subseteq\mathcal M$を得る。▨

証明. 演習とする（問題 10.1 (1)）。▨

証明.$N=1$の場合は Carathéodory 可測性の定義そのものである。ある$N\geq 1$について等式が成り立つと仮定し、$D_1,\dots,D_{N+1}$が二つずつ交わらないとする。$D_{N+1}$の可測性を$A\setminus\bigcup_{n=1}^{N}D_n$に適用すると、

$D_{N+1}$は$D_1,\dots,D_N$のいずれとも交わらないので、第一項の集合は$A\cap D_{N+1}$に等しい。帰納法の仮定へ上の等式を代入すると、$N+1$個の集合に対する等式を得る。数学的帰納法により、すべての正の整数$N$について有限分割の等式が成り立つ。▨

証明. 任意の$A\subseteq X$に対して

であるから、$X\in\mathcal{M}_{\mu^*}$である。

$E\in\mathcal{M}_{\mu^*}$とする。任意の$A\subseteq X$に対して

である。$E$の Carathéodory 可測性の等式で右辺の二項を交換すると、$X\setminus E\in\mathcal{M}_{\mu^*}$を得る。

$E,F\in\mathcal{M}_{\mu^*}$とし、$A\subseteq X$を任意にとる。$E$の可測性を$A$に適用し、続いて$F$の可測性を$A\cap E$と$A\setminus E$に適用すると、

最後の三つの集合の和集合は$A\setminus(E\cap F)$である。可算劣加法性を有限個の集合に適用すると、

を得る。反対向きの不等式は、$A=(A\cap E\cap F)\cup(A\setminus(E\cap F))$と可算劣加法性から従う。したがって、$E\cap F\in\mathcal{M}_{\mu^*}$である。補集合と有限共通部分に対する閉性から、$\mathcal{M}_{\mu^*}$は有限和と差集合に対しても閉じている。

$E_1,E_2,\dots\in\mathcal{M}_{\mu^*}$とする。集合列$(D_n)_{n\geq 1}$を

によって定める。有限和と差集合に対する閉性から、各$D_n$は$\mathcal{M}_{\mu^*}$に属する。集合列$(D_n)_{n\geq 1}$は二つずつ交わらず、

が成り立つ。

任意の$A\subseteq X$と任意の$N\geq 1$に対して、補題 3.4から

を得る。$A\setminus E\subseteq A\setminus\bigcup_{n=1}^{N}D_n$であるから、単調性により

である。$N$に関する有限部分和の上限をとると、

を得る。最後の不等式では、$A\cap E=\bigcup_n(A\cap D_n)$と可算劣加法性を用いた。反対向きの不等式は$A=(A\cap E)\cup(A\setminus E)$と可算劣加法性から従う。ゆえに、$E\in\mathcal{M}_{\mu^*}$である。以上により、$\mathcal{M}_{\mu^*}$は σ-加法族である。

$\mu=\mu^*|_{\mathcal{M}_{\mu^*}}$とおく。外測度の第一の条件から$\mu(\emptyset)=0$である。$E_1,E_2,\dots\in\mathcal{M}_{\mu^*}$が二つずつ交わらないとし、$E=\bigcup_nE_n$とする。任意の$N\geq 1$に対して補題 3.4を$A=E$に適用すると、

を得る。有限部分和の上限をとることにより、

が成り立つ。外測度の可算劣加法性によって反対向きの不等式も成り立つ。したがって、

であり、$\mu$は測度である。

$Z\in\mathcal{M}_{\mu^*}$、$\mu(Z)=0$とし、$N\subseteq Z$とする。単調性から$\mu^*(N)=0$である。任意の$A\subseteq X$に対して、可算劣加法性と単調性から

を得る。ゆえに、$N\in\mathcal{M}_{\mu^*}$かつ$\mu(N)=0$である。したがって、$\mu$は完備測度である。▨

証明.$R\subseteq S$ならば$S=R\sqcup(S\setminus R)$であり、有限加法性から$c(S)=c(R)+c(S\setminus R)\geq c(R)$である。$Q_j=R_j\setminus\bigcup_{i<j}R_i$とおくと、$Q_j\in\mathcal R$は互いに交わらず、$Q_j\subseteq R_j$であり、$\bigcup_jQ_j=\bigcup_jR_j$である。有限加法性の反復と単調性から

を得る。▨

証明. 必要性を示す。$R\subseteq\bigcup_nR_n$に対して$Q_n=(R\cap R_n)\setminus\bigcup_{j<n}R_j$とおく。$Q_n\in\mathcal R$は二つずつ交わらず、和集合が$R$である。前測度の可算加法性と補題 4.3により

を得る。十分性を示す。$R_n\in\mathcal R$が二つずつ交わらず、$R=\bigcup_nR_n\in\mathcal R$とする。有限加法性と単調性から、任意の正の整数$N$について$\sum_{n=1}^Nc(R_n)\leq c(R)$である。部分和の上限をとると$\sum_nc(R_n)\leq c(R)$であり、仮定の被覆評価が逆の不等式を与える。したがって$c$は前測度である。▨

証明.主張 (1)を示す。有限非交和を空集合で補った列へ前測度の可算加法性を適用すると、有限加法性を得る。したがって、前測度は有限加法的集合関数である。補題 4.3から主張 (2)が従い、命題 4.5から主張 (3)が従う。▨

証明. すべての$n\geq 1$に対して$R_n=\emptyset$と選ぶと、$(R_n)_{n\geq 1}$は$\emptyset$の被覆であり、被覆費用は$0$である。$\mu^*$は非負値であるから、

を得る。

$A\subseteq B\subseteq X$ならば、$B$の任意の可算$\mathcal{R}$-被覆は$A$の被覆でもある。$A$に対する下限は$B$に対する下限以下であるから、

が成り立つ。

部分集合列$(A_n)_{n\geq 1}$を任意にとる。$\sum_n\mu^*(A_n)=\infty$ならば、$\mu^*(\bigcup_nA_n)\leq\infty$であるため、示すべき不等式が成り立つ。そこで、

と仮定し、$\varepsilon>0$を固定する。各$n$について$\mu^*(A_n)<\infty$であるから、各$A_n$の可算$\mathcal{R}$-被覆全体は空でない。下限の定義と可算選択公理により、集合列$(R_{n,k})_{k\geq 1}\subseteq\mathcal{R}$を同時に選んで

を満たすことができる。集合$\Z_{\geq 1}\times\Z_{\geq 1}$は可算であるから、二重列$(R_{n,k})_{n,k\geq 1}$を一つの列として並べることができる。この列は$\bigcup_nA_n$を被覆する。したがって、

$\varepsilon>0$は任意であるから、

を得る。以上により、外測度の三条件がすべて成り立つ。▨

証明.命題 5.2により、$\mu^*$は外測度である。$E\in\mathcal R$と、$\mu^*(A)<\infty$を満たす$A\subseteq X$を固定する。$\mu^*(A)<\infty$であるから、$A$の可算$\mathcal R$-被覆全体は空でない。$A$の任意の可算$\mathcal{R}$-被覆$(R_n)_{n\geq 1}$に対して、集合環の閉性から

である。さらに、

である。補題 4.6の有限加法性から

であるため、

を得る。$A$のすべての可算$\mathcal{R}$-被覆について下限をとると、

が成り立つ。命題 3.3により、$E\in\mathcal{M}_{\mu^*}$であり、主張 (1)を得る。

$E\in\mathcal R$に対して、$E,\emptyset,\emptyset,\dots$は$E$の可算$\mathcal{R}$-被覆であるから、

である。一方、$E\subseteq\bigcup_nR_n$を満たす任意の列$(R_n)_{n\geq 1}\subseteq\mathcal{R}$に対して、補題 4.6 (3)から

である。すべての被覆について下限をとると$\mu_0(E)\leq\mu^*(E)$を得る。したがって、

であり、主張 (2)が成り立つ。

定理 3.5により、$\mathcal{M}_{\mu^*}$は$\mathcal{R}$を含む σ-加法族であり、$\mu^*|_{\mathcal{M}_{\mu^*}}$は測度である。生成 σ-加法族の最小性から

である。したがって、$\mu=\mu^*|_{\sigma(\mathcal{R})}$は測度であり、主張 (2)から$\mathcal{R}$上で$\mu_0$と一致する。▨

証明. 各$n\geq1$に対して$E_n=\bigcup_{k=1}^n C_k$とおく。集合環の有限和に対する閉性から$E_n\in\mathcal R$であり、$E_n\subseteq E_{n+1}$かつ$\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n=X$である。補題 4.6 (1)と補題 4.3の有限劣加法性により

である。集合環$\mathcal R$は空でなく、有限共通部分に対して閉じているので π 系である。$\mu,\nu$は$\mathcal R$上で一致するから、定理 1.9 (2)により$\sigma(\mathcal R)$上で一致する。▨

証明.$E,G\in\mathcal{I}$とする。$E$または$G$が空集合である場合、$E\cup G$と$E\setminus G$は$E$、$G$、または空集合のいずれかであるため、$\mathcal{I}$に属する。そこで、$E$と$G$がともに空でないとする。$E$と$G$の表示に現れる端点を小さい順に