§E10.25ベクトル値 L^p 空間

証明.$\mu$-強可測な$F,G$が$\mu$-a.e. に一致するならば、その強可測代表元$F^\sharp,G^\sharp$も$\mu$-a.e. に一致する。各代表元のノルムは§E10.18 命題 1.2 (3)により可測であり、§E10.22 命題 2.4を実数値関数$\|F^\sharp\|_B,\|G^\sharp\|_B$に適用すると、$\|F\|_p=\|G\|_p$となる。したがって所属条件と値は、元の写像および強可測代表元の選び方に依存しない。

$[F],[G]\in L^p(\mu;B)$とし、強可測代表元$F^\sharp,G^\sharp$をとる。§E10.18 命題 1.4 (4)により$F+G$は$\mu$-強可測であり、$F^\sharp+G^\sharp$はその強可測代表元である。点ごとの三角不等式と、スカラーの§E10.22 定理 6.1により

最初の不等式は、有限指数では積分の単調性、無限大の指数では§E10.22 補題 2.2から従う。任意の$\alpha\in\mathbb K$に対して$\alpha F$も$\mu$-強可測であり、$\|\alpha F\|_p=|\alpha|\|F\|_p$である。よって加法とスカラー倍は$L^p(\mu;B)$に閉じている。

$F=F'$と$G=G'$がそれぞれ可測零集合の外で成り立つならば、二つの可測零集合の和の外で$F+G=F'+G'$および$\alpha F=\alpha F'$が成り立つ。したがって線形演算は代表元に依存しない。ベクトル空間の恒等式は各点の恒等式から同値類へ移る。

非負性は定義から従う。スカラーの§E10.22 命題 3.4 (2)により、$\|F\|_p=0$と$\|F^\sharp\|_B=0$が$\mu$-a.e. に成り立つこととは同値である。$B$のノルムの正定値性から、後者は$[F]=[0]$と同値である。▨

証明.$p=1$の場合は§E10.18 定理 3.4による。

$1<p<\infty$とし、$L^p(\mu;B)$の列$(u_k)$が$\sum_{k=1}^{\infty}\|u_k\|_p<\infty$を満たすとする。可算選択公理により、各$u_k$の強$\Sigma$-可測な代表元$F_k$を選ぶ。$d_k(x)=\|F_k(x)\|_B$は§E10.18 命題 1.2 (3)により非負有限実数値可測関数である。$q_j=\sum_{k=j}^{\infty}d_k$とおく。§E10.22 命題 6.2により、各$j\geq1$に対して$q_j$は可測であり、

である。同命題により$q_1$はほとんど至る所で有限であるから、$N=\{q_1=\infty\}$は可測零集合である。

$x\in X\setminus N$では$\sum_k\|F_k(x)\|_B<\infty$であり、$B$の完備性と§E10.1 命題 1.5により級数$\sum_kF_k(x)$は$B$で収束する。$F(x)=\sum_kF_k(x)$を$X\setminus N$上で定め、$N$上では$F(x)=0$とする。各$F_k$を$N$上で$0$に変更した関数を$\widetilde F_k$とする。$F_k$に全点で収束する可測単関数列を$N$上で$0$に変更すると、変更後の列は可測単関数からなり、全点で$\widetilde F_k$に収束する。したがって、各$\widetilde F_k$は強$\Sigma$-可測である。§E10.18 命題 1.4 (4)により、部分和$\sum_{k=1}^m\widetilde F_k$は強$\Sigma$-可測であり、全点で$F$に収束する。§E10.18 命題 1.4 (1)により、$F$は強$\Sigma$-可測である。

$X\setminus N$上で$\|F\|_B\leq q_1$であるから、§E10.10 補題 3.3と$q_1$の評価により$[F]\in L^p(\mu;B)$である。任意の$m\geq1$に対して、$X\setminus N$上で

である。§E10.10 補題 3.3と$q_{m+1}$の評価から、

を得る。命題 1.2により$L^p(\mu;B)$はノルム空間であるから、§E10.1 命題 1.5により完備である。

$p=\infty$とし、$L^\infty(\mu;B)$の Cauchy 列$(u_n)$をとる。可算選択公理により、各$u_n$の強$\Sigma$-可測な代表元$F_n$を選ぶ。§E10.22 補題 2.2により、可測集合

はいずれも零集合である。$N=\bigcup_nN_n\cup\bigcup_{m,n}N_{m,n}$とおくと、$N$は可測零集合であり、$X\setminus N$上で

がすべての$m,n$について成り立つ。Cauchy 性と$B$の完備性から、$F(x)=\lim_nF_n(x)$を$X\setminus N$上で定めることができる。$N$上では$F=0$とおく。$N$上で$0$に変更した$F_n$の全点での極限であるから、§E10.18 命題 1.4 (1)により$F$は強$\Sigma$-可測である。

任意の$\varepsilon>0$に対して、$m,n\geq M$ならば$\|u_m-u_n\|_\infty<\varepsilon$となる$M$をとる。$n\geq M$を固定して$m\to\infty$とすると、$X\setminus N$上で$\|F-F_n\|_B\leq\varepsilon$となる。したがって$\|F-F_n\|_\infty\leq\varepsilon$である。特に$F$は$X\setminus N$上で本質的に有界な$F_M$と有界な差をもつので、$[F]\in L^\infty(\mu;B)$である。よって$u_n\to[F]$が$L^\infty$ノルムで成り立つ。▨

証明.$p=1$の場合は§E10.18 命題 3.3による。$1<p<\infty$とし、§E10.18 命題 1.2により、全点で$s_n\to F^\sharp$となり、

を満たす可測単関数列$(s_n)$をとる。第二の評価により$\int_X\|s_n\|_B^p\,d\mu<\infty$である。各$n$と$s_n$の非零の値$b$に対して、$h=\|s_n\|_B^p$および$t=\|b\|_B^p$とおく。$h$は非負可測関数であり、$0<t<\infty$である。$\{s_n=b\}\subseteq\{h\geq t\}$と§E10.10 命題 1.3により

であるから、各非零レベル集合は有限測度をもつ。非零の値は有限個であるため$\int_X\|s_n\|_B\,d\mu<\infty$である。したがって、$s_n$は可積分単関数である。

非負可測関数$\|F^\sharp-s_n\|_B^p$は全点で$0$に収束し、可積分関数$\|F^\sharp\|_B^p$によって支配される。§E10.11 定理 3.1により

となる。▨

証明. 各$s_N$は可測単関数であり、すべての$n\in\NN$に対して$s_N(n)\to F(n)$となるから、$F$は強可測である。$\|F(n)\|_{c_0}=1$と$\mu(\NN)=\sum_{n\geq1}2^{-n}=1$により、すべての指数で$\|F\|_p=1$である。有限指数では

となる。一方、$\|F(n)-s_N(n)\|_{c_0}$は$n>N$で$1$であり、この集合の測度は$2^{-N}>0$であるから、$\|F-s_N\|_\infty=1$である。

$\|F-s_N\|_1=2^{-N}\to0$であるから、§E10.18 命題 4.3により、$\int F\,d\mu$は$\int s_N\,d\mu=\sum_{n=1}^N2^{-n}e_n$のノルム極限に等しい。この極限は§E10.18 例 8.2の数列$(2^{-n})_{n\geq1}\in c_0$である。▨

証明.$s_N(n)=e_n$を$n\leq N$で、$s_N(n)=0$を$n>N$で定める。$s_N$は可測単関数であり、各$n$に対して$s_N(n)\to F(n)$であるから、$F$は強可測である。すべての$n$で$\|F(n)\|_{c_0}=1$である。数え上げ測度の零集合は空集合だけであるため、$\|F\|_\infty=1$となる。

有限値単関数$s$の値を$b_1,\ldots,b_m\in c_0$とする。各$b_i$の第$n$座標$b_i(n)$は$n\to\infty$で$0$に収束する。値が有限個であるから、任意の$\varepsilon>0$に対して、十分大きい$n$ではすべての$i$について$|b_i(n)|<\varepsilon$である。このような$n$で$s(n)=b_i$と書けば、

したがって$\|F-s\|_\infty\geq1-\varepsilon$であり、$\varepsilon\downarrow0$とすると結論を得る。▨

証明.$\mu(X)<\infty$、$1<p\leq\infty$とし、$1/p+1/q=1$を満たす$1\leq q<\infty$をとる。強可測代表元$F^\sharp$のノルムと定数関数$1$に§E10.22 定理 4.2を適用すると、

したがって$[F]\in L^1(\mu;B)$である。$p=1$の空間とノルムは Bochner 積分によるものに一致するから、§E10.18 命題 4.3により、任意の正測度について$I_\mu$は有界線形作用素であり、$\|I_\mu\|\leq1$である。有限測度での包含にこの評価を適用すると、積分の評価を得る。▨

証明.$p=1$の空間とノルムは§E10.18 定義 3.1に一致し、§E10.18 定理 2.4により、$L^1$への所属は Bochner 可積分性と同値である。したがって、三結果をこの空間に適用することができる。▨

証明.$u,v$を$L^2(\mu;H)$の元の強可測代表元とし、それぞれに全点で収束する可測単関数列$(s_n),(r_n)$をとる。関数$t\mapsto\langle s_n(t),r_n(t)\rangle_H$は可測単関数であり、§E10.3 補題 1.2による内積の連続性から、各点で$\langle u(t),v(t)\rangle_H$に収束する。したがって被積分関数は可測である。同補題の Cauchy–Schwarz の不等式と、スカラーの§E10.22 定理 4.2により

である。代表元を変更しても被積分関数はほとんど至る所で一致するので、積分内積は同値類上で定まる。線形性と共役対称性は内積とスカラー積分の性質から従い、

と命題 1.2から正定値性が従う。定理 2.1により、この内積に関して$L^2(\mu;H)$は完備である。

$R_H:H\to H^*$を$(R_Hh)(x)=\langle x,h\rangle_H$と定める。§E10.5 系 1.2により$R_H$は全単射等長写像であり、実数体では線形、複素数体では共役線形である。$R_H$とその逆は連続であるから、§E10.18 命題 1.4 (3)により、

と$T^{-1}[f]=[R_H^{-1}\circ f]$はともに強可測な同値類を対応させる。点ごとの等長性から$\|T[h]\|_2=\|h\|_2$であり、$T$は全単射等長写像である。複素数体では$T$も共役線形である。

$L^2(\mu;H)$の Riesz 対応を$R_{L^2}$と書く。§E10.5 定理 1.1と§E10.5 系 1.2により、$R_{L^2}$は全単射等長写像である。したがって$R_{L^2}\circ T^{-1}$は全単射等長写像であり、実数体では二つの線形写像の合成、複素数体では二つの共役線形写像の合成なので、いずれの場合も線形である。$[f]\in L^2(\mu;H^*)$に対して$h=R_H^{-1}\circ f$とおくと、すべての$[u]\in L^2(\mu;H)$について

である。よって$J=R_{L^2}\circ T^{-1}$であり、主張を得る。▨