L^p 空間の完備性 | 測度と積分

1 $L^p$ 空間の完備性

定理 1.1 (Riesz–Fischer の定理). 任意の測度空間 $(X,\mathcal F,\mu)$ 、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、および $1\leq p\leq\infty$ に対して、 $L^p(X,\mathcal F,\mu;\mathbb K)$ は完備なノルム空間である。

証明. $1\leq p<\infty$ とし、 $\sum_{k=1}^{\infty}\|u_k\|_p<\infty$ を満たす $L^p(\mu;\mathbb K)$ の列 $(u_k)$ をとる。可算選択公理により、各 $k$ に対して $u_k=[f_k]$ を満たす可測関数 $f_k:X\to\mathbb K$ を同時に選ぶ。§E10.22 命題 6.2を非負可測関数 $|f_k|$ に適用すると、 $S=\sum_{k=1}^{\infty}|f_k|$ は可測であり、

\left(\int_X S^p\,d\mu\right)^{1/p} \leq\sum_{k=1}^{\infty}\|u_k\|_p<\infty

である。したがって $Z=\{S=\infty\}$ は可測零集合である。 $x\in X\setminus Z$ では $\sum_k f_k(x)$ は絶対収束するので、実数体または複素数体の完備性により和をもつ。

f(x)= \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x),&x\in X\setminus Z,\\ 0,&x\in Z \end{cases}

と定める。可測関数 $\mathbf1_{X\setminus Z}\sum_{k=1}^N f_k$ は全点で $f$ に収束するため、§E10.7 定理 5.1により $f$ は可測である。複素数値の場合は実部と虚部に同じ結果を適用し、§E10.7 定理 8.1を用いる。 $|f|\leq S$ なので $[f]\in L^p(\mu;\mathbb K)$ である。

各 $N\geq1$ について、 $X\setminus Z$ 上では

\left|f-\sum_{k=1}^N f_k\right|\leq\sum_{k=N+1}^{\infty}|f_k|

である。積分のほとんど至る所での不変性と§E10.22 命題 6.2を用いると、

\left\|[f]-\sum_{k=1}^N u_k\right\|_p \leq\sum_{k=N+1}^{\infty}\|u_k\|_p\longrightarrow0

を得る。したがって、§E10.1 命題 1.5により $L^p(\mu;\mathbb K)$ は完備である。

$p=\infty$ とし、 $(u_n)_{n\geq1}$ を $L^\infty(\mu;\mathbb K)$ の Cauchy 列とする。可算選択公理により、各 $n$ に対して $u_n=[f_n]$ を満たす有限値可測関数 $f_n:X\to\mathbb K$ を同時に選ぶ。

各 $k\geq 1$ に対して

A_k =\left\{r\in\Z_{\geq 1}\ \middle|\ \forall m,n\geq r,\ \lVert u_m-u_n\rVert_\infty<2^{-k}\right\}

とおく。Cauchy 条件により $A_k$ は空でない。 $n_1=\min A_1$ とし、 $n_k$ を定めた後に

n_{k+1} =\min\{r\in A_{k+1}\mid r>n_k\}

と定める。右辺の集合は空でないから、この再帰的な定義は可能である。 $n_k\in A_k$ かつ $n_{k+1}>n_k$ であるから、

\lVert u_{n_{k+1}}-u_{n_k}\rVert_\infty<2^{-k}.

\text{(1.1.1)}

§E10.22 補題 2.2を $f_{n_{k+1}}-f_{n_k}$ へ適用し、式 (1.1.1)を用いると、

|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}| \leq\lVert u_{n_{k+1}}-u_{n_k}\rVert_\infty <2^{-k}

がほとんど至る所で成り立つ。そこで、可測集合

Z_k =\left\{x\in X\ \middle|\ |f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|\geq2^{-k}\right\}

を正準的に定める。直前のほとんど至る所での評価により $\mu(Z_k)=0$ であり、

|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|<2^{-k} \qquad(x\in X\setminus Z_k)

\text{(1.1.2)}

が成り立つ。 $Z=\bigcup_{k=1}^{\infty}Z_k$ とおく。測度の可算劣加法性§E10.8 命題 2.1により $\mu(Z)=0$ である。式 (1.1.2)から、 $X\setminus Z$ 上では $(f_{n_k})_k$ は一様 Cauchy 列である。各 $x\in X\setminus Z$ に対して、実数または複素数の完備性により $f(x)=\lim_k f_{n_k}(x)$ が存在する。 $Z$ 上では $f=0$ と定める。可測関数 $\mathbf1_{X\setminus Z}f_{n_k}$ は全点で $f$ に収束するので、§E10.7 定理 5.1と、複素数値の場合には§E10.7 定理 8.1により $f$ は可測である。さらに、 $x\in X\setminus Z$ に対して

|f(x)-f_{n_j}(x)| \leq\sum_{k=j}^{\infty}2^{-k} =2^{1-j}

\text{(1.1.3)}

である。式 (1.1.3)と§E10.22 補題 2.2から

\lVert f-f_{n_j}\rVert_\infty\leq 2^{1-j}\longrightarrow 0

\text{(1.1.4)}

を得る。 $f-f_{n_1}\in L^\infty$ かつ $f_{n_1}\in L^\infty$ であるから、§E10.22 命題 3.3により $f\in L^\infty$ である。 $\varepsilon>0$ をとる。Cauchy 性により、 $m,n\geq N$ ならば $\|u_m-u_n\|_\infty<\varepsilon/2$ となる $N$ が存在する。式 (1.1.4)により、 $n_j\geq N$ かつ $\|u_{n_j}-[f]\|_\infty<\varepsilon/2$ となる $j$ をとることができる。このとき、すべての $n\geq N$ について

\|u_n-[f]\|_\infty\leq\|u_n-u_{n_j}\|_\infty+\|u_{n_j}-[f]\|_\infty<\varepsilon

であるから、 $u_n\to[f]$ が $L^\infty$ ノルムで成り立つ。

▨

命題 1.2. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とする。有限値可測関数 $f_n,f:X\to\mathbb K$ が、すべての $n\geq1$ について $[f_n-f]\in L^\infty(\mu;\mathbb K)$ を満たすとする。このとき、 $\lVert f_n-f\rVert_\infty\to0$ であるための必要十分条件は、可測零集合 $Z\in\mathcal F$ が存在して $X\setminus Z$ 上で $(f_n)$ が $f$ に一様収束することである。

証明. 演習とする（問題 4.1）。▨

2 単関数の稠密性

定義 2.1. $(X,\mathcal F)$ を可測空間とする。§E10.18 定義 1.1で $B=\C$ とした可測単関数を複素単関数 (complex simple function) という。すなわち、複素数値可測関数 $s:X\to\C$ で、像 $s(X)$ が有限集合であるものをいう。有限値域の場合、Borel 集合の逆像は有限個のレベル集合の和集合であるため、二つの記述は一致する。この条件は、 $\Re s$ と $\Im s$ がともに§E10.7 定義 7.1の実数値単関数であることと同値である。

定理 2.2. $(X,\mathcal F,\mu)$ を任意の測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $1\leq p\leq\infty$ とする。このとき、 $L^p(\mu;\mathbb K)$ に属する $\mathbb K$ 値単関数全体は $L^p(\mu;\mathbb K)$ で稠密である。すなわち、任意の $[f]\in L^p(\mu;\mathbb K)$ と $\varepsilon>0$ に対して、 $[s]\in L^p(\mu;\mathbb K)$ である単関数 $s$ が存在して

\lVert f-s\rVert_p<\varepsilon

を満たす。

証明. $p=\infty$ の場合の証明は演習とする（問題 4.2）。以下では $1\leq p<\infty$ とする。 $\mathbb K=\R$ とし、 $f$ の正部分と負部分を

f^+=\max\{f,0\}, \qquad f^-=\max\{-f,0\}

と書く。非負単関数による増加近似§E10.7 定理 7.3を $f^+$ と $f^-$ へ適用し、

0\leq a_n\uparrow f^+, \qquad 0\leq b_n\uparrow f^-

を満たす非負単関数列をとる。 $s_n=a_n-b_n$ とおけば、 $s_n$ は実数値単関数であり、 $s_n\to f$ が各点で成り立つ。 $f^+$ と $f^-$ は同じ点で同時に正にならず、 $a_n\leq f^+$ 、 $b_n\leq f^-$ であるから、

|s_n|=a_n+b_n\leq f^++f^-=|f|

\text{(2.2.1)}

である。同様に、 $f-s_n=(f^+-a_n)-(f^--b_n)$ であり、二つの括弧内の関数は同じ点で同時に正にならないため、

|f-s_n|=(f^+-a_n)+(f^--b_n)\leq|f|

である。したがって、

|f-s_n|^p\longrightarrow 0, \qquad |f-s_n|^p\leq |f|^p

\text{(2.2.2)}

が点ごとに成り立つ。 $[f]\in L^p$ であるから $|f|^p$ は可積分である。優収束定理§E10.11 定理 3.1を式 (2.2.2)へ適用すると、

\lVert f-s_n\rVert_p^p =\int_X|f-s_n|^p\,d\mu\longrightarrow 0.

\text{(2.2.3)}

さらに、式 (2.2.1)と積分の単調性により

\int_X|s_n|^p\,d\mu \leq\int_X|f|^p\,d\mu<\infty

である。したがって、近似に用いた各 $s_n$ 自身が $L^p(\mu;\R)$ に属する。式 (2.2.3)から、任意の $\varepsilon>0$ に対して所要の $s_n$ を選ぶことができる。

$\mathbb K=\C$ とし、 $f=u+iv$ と書く。§E10.7 定理 8.1により $u$ と $v$ は実数値可測関数であり、 $|u|\leq|f|$ 、 $|v|\leq|f|$ であるから、両者は $L^p(\mu;\R)$ に属する。実数値の場合の構成を $u$ と $v$ に適用し、実数値単関数列 $(a_n)$ 、 $(b_n)$ をとる。各項は $L^p(\mu;\R)$ に属し、 $a_n\to u$ 、 $b_n\to v$ は各点で成り立つ。さらに、 $\lVert u-a_n\rVert_p\to0$ 、 $\lVert v-b_n\rVert_p\to0$ である。 $s_n=a_n+ib_n$ は複素単関数であり、各点で $s_n\to f$ である。実数値の場合の評価から

|s_n|\leq|a_n|+|b_n|\leq|u|+|v|\leq\sqrt{2}\,|f|

\text{(2.2.4)}

であり、各 $s_n$ は $L^p(\mu;\C)$ に属する。同じ実数値の誤差評価から

|f-s_n|^p\leq(|u-a_n|+|v-b_n|)^p\leq(\sqrt{2}\,|f|)^p

\text{(2.2.5)}

も成り立つ。Minkowski の不等式§E10.22 定理 6.1と実数値の場合のノルム収束により、

\lVert f-s_n\rVert_p \leq\lVert u-a_n\rVert_p+\lVert v-b_n\rVert_p\longrightarrow0.

▨

補題 2.3. $(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、および $1\leq p<\infty$ とする。 $s\in L^p(\mu;\mathbb K)$ を $\mathbb K$ 値単関数とする。 $s$ の相異なる非零値を $c_1,\dots,c_m$ とし、

E_j=\{x\in X\mid s(x)=c_j\}

とおく。このとき、各 $E_j$ は可測な有限測度集合であり、

s=\sum_{j=1}^{m}c_j\mathbf 1_{E_j}

が成り立つ。 $s=0$ の場合には右辺を空和とする。

証明. $s$ は可測であり、各一元集合 $\{c_j\}$ は $\mathbb K$ の Borel 集合であるから、 $E_j=s^{-1}(\{c_j\})\in\mathcal F$ である。 $c_1,\dots,c_m$ は $s$ の相異なる非零値をすべて列挙しているため、表示式は各点で成り立つ。さらに、

\int_X|s|^p\,d\mu =\sum_{j=1}^{m}|c_j|^p\mu(E_j)<\infty

である。各 $|c_j|^p$ は正であるから、いずれかの $\mu(E_j)$ が無限大ならば右辺は無限大となり、 $s\in L^p$ に反する。したがって、すべての $E_j$ は有限測度である。 $s=0$ の場合には非零値がなく、主張は空和について成り立つ。▨

例 2.4. $1\leq p<\infty$ とし、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とする。 $I$ を非可算集合とし、 $\mathcal P(I)$ 上に数え上げ測度

\mu(A)= \begin{cases} |A|,&A\text{ が有限集合である},\\ \infty,&A\text{ が無限集合である} \end{cases}

を入れる。このとき、この測度空間は σ-有限ではない。実際、有限測度集合は有限集合であり、可算個の有限集合の和集合は高々可算であるから、非可算集合 $I$ を覆うことができない。

この数え上げ測度は σ-有限ではないが、定理 2.2により、任意の $f\in L^p(I,\mathcal P(I),\mu;\mathbb K)$ は $L^p(I,\mathcal P(I),\mu;\mathbb K)$ に属する $\mathbb K$ 値単関数で近似することができる。この場合、 $n\geq1$ に対して

F_n=\{i\in I\mid |f(i)|\geq1/n\}

は有限集合である。もし無限集合ならば $\sum_{i\in I}|f(i)|^p\geq\sum_{i\in F_n}n^{-p}=\infty$ となるからである。 $F_n$ は有限であるから $f\mathbf 1_{F_n}$ は単関数である。また、 $|f-f\mathbf 1_{F_n}|^p\leq|f|^p$ であり、左辺は各点で $0$ へ収束するため、優収束定理により $\lVert f-f\mathbf 1_{F_n}\rVert_p\to0$ である。

3 台がコンパクトな連続関数の稠密性

定義 3.1. $d\geq1$ を整数とし、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とする。関数 $f:\R^d\to\mathbb K$ の台 (support) を

\operatorname{supp}f =\overline{\{x\in\R^d\mid f(x)\neq0\}}

と定める。台がコンパクトである $\mathbb K$ 値連続関数全体を $C_c(\R^d;\mathbb K)$ と書く。さらに、台がコンパクトである $\mathbb K$ 値 $C^\infty$ 級関数全体を $C_c^\infty(\R^d;\mathbb K)$ と書く。

補題 3.2. $d\geq1$ を整数とする。 $E\in\mathcal L_d$ とし、 $\lambda_d(E)<\infty$ とする。このとき、任意の $\delta>0$ に対して、 $0\leq\varphi\leq1$ を満たす $\varphi\in C_c(\R^d;\R)$ で

\lambda_d\bigl(\{x\in\R^d\mid \mathbf 1_E(x)\neq\varphi(x)\}\bigr)<2\delta

を満たすものが存在する。したがって、任意の $1\leq p<\infty$ に対して

\lVert\mathbf 1_E-\varphi\rVert_p^p<2\delta

である。

証明. Lebesgue 測度の内側正則性§E10.16 定理 9.1により、コンパクト集合 $K\subseteq E$ で

\lambda_d(E\setminus K)<\delta

\text{(3.2.1)}

を満たすものをとる。 $K=\emptyset$ ならば式 (3.2.1)から $\lambda_d(E)<\delta$ であるため、 $\varphi=0$ とすれば結論が成り立つ。以下では $K\neq\emptyset$ とする。

外側正則性§E10.16 定理 8.2により、 $E\subseteq U$ を満たす開集合 $U$ で

\lambda_d(U\setminus E)<\delta

\text{(3.2.2)}

となるものをとる。 $K$ は有界であるから、 $K\subseteq B(0,R)$ を満たす $R>0$ が存在する。

G=U\cap B(0,R)

とおくと、 $G$ は $K$ を含む有界開集合であり、 $G\setminus E\subseteq U\setminus E$ である。

閉集合 $\R^d\setminus G$ までの距離を

h(x)=\operatorname{dist}(x,\R^d\setminus G) =\inf\{|x-y|\mid y\in\R^d\setminus G\}

とおく。任意の $x,x'\in\R^d$ に対し、三角不等式から

|h(x)-h(x')|\leq|x-x'|

であるため、 $h$ は連続である。また、 $x\in G$ ならば $G$ の開性により $h(x)>0$ である。 $K$ は空でないコンパクト集合であり $K\subseteq G$ であるから、 $h$ は $K$ 上で正の最小値

a=\min_{x\in K}h(x)>0

をもつ。そこで

\varphi(x)=\min\left\{1,\frac{h(x)}{a}\right\}

と定める。 $\varphi$ は連続であり、 $0\leq\varphi\leq1$ を満たし、 $K$ 上で $\varphi=1$ 、 $\R^d\setminus G$ 上で $\varphi=0$ である。さらに $\operatorname{supp}\varphi\subseteq\overline G$ であり、 $\overline G$ は閉かつ有界であるから Heine–Borel の定理によりコンパクトである。よって $\varphi\in C_c(\R^d)$ である。

$K$ 上では $\mathbf 1_E=\varphi=1$ であり、 $\R^d\setminus(E\cup G)$ 上では $\mathbf 1_E=\varphi=0$ である。したがって、

\{x\mid\mathbf 1_E(x)\neq\varphi(x)\} \subseteq(E\setminus K)\cup(G\setminus E).

式 (3.2.1)、式 (3.2.2)、および測度の劣加法性により、この集合の測度は $2\delta$ 未満である。 $|\mathbf 1_E-\varphi|\leq1$ であるから、

\lVert\mathbf 1_E-\varphi\rVert_p^p =\int_{\{\mathbf 1_E\neq\varphi\}} |\mathbf 1_E-\varphi|^p\,d\lambda_d \leq \lambda_d(\{\mathbf 1_E\neq\varphi\}) <2\delta.

▨

定理 3.3. $d\geq1$ 、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、および $1\leq p<\infty$ とする。このとき、 $C_c(\R^d;\mathbb K)$ は $L^p(\R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\mathbb K)$ で稠密である。

証明. $[f]\in L^p(\R^d;\mathbb K)$ と $\varepsilon>0$ を任意にとる。定理 2.2により、 $L^p$ に属する $\mathbb K$ 値単関数 $s$ で

\lVert f-s\rVert_p<\frac{\varepsilon}{2}

\text{(3.3.1)}

を満たすものが存在する。 $s=0$ ならば $g=0\in C_c(\R^d;\mathbb K)$ とすればよい。 $s\neq0$ とし、補題 2.3により

s=\sum_{j=1}^{m}c_j\mathbf 1_{E_j}, \qquad c_j\in\mathbb K\setminus\{0\}, \qquad \lambda_d(E_j)<\infty

と書く。 $C=\sum_{j=1}^{m}|c_j|>0$ とおく。補題 3.2により、各 $j$ に対して $0\leq\varphi_j\leq1$ を満たす $\varphi_j\in C_c(\R^d;\R)$ で

\lVert\mathbf 1_{E_j}-\varphi_j\rVert_p <\frac{\varepsilon}{2C}

\text{(3.3.2)}

となるものをとる。

$g=\sum_{j=1}^{m}c_j\varphi_j$ とおく。 $g$ は $\mathbb K$ 値連続関数であり、その台は有限個の $\operatorname{supp}\varphi_j$ の和集合に含まれる。この和集合はコンパクトであるから $g\in C_c(\R^d;\mathbb K)$ である。Minkowski の不等式と式 (3.3.2)により、

\lVert s-g\rVert_p \leq\sum_{j=1}^{m}|c_j| \lVert\mathbf 1_{E_j}-\varphi_j\rVert_p <\frac{\varepsilon}{2}.

\text{(3.3.3)}

式 (3.3.1)、式 (3.3.3)、および三角不等式から

\lVert f-g\rVert_p \leq\lVert f-s\rVert_p+\lVert s-g\rVert_p <\varepsilon

を得る。▨

例 3.4. $\R$ 上の Lebesgue 測度 $\lambda_1$ を用い、 $1\leq p<\infty$ 、 $\delta>0$ 、および $f=\mathbf1_{[0,1]}$ とする。

g_\delta(x)= \begin{cases} 0,&x\leq-\delta,\\ 1+x/\delta,&-\delta\leq x\leq0,\\ 1,&0\leq x\leq1,\\ 1-(x-1)/\delta,&1\leq x\leq1+\delta,\\ 0,&x\geq1+\delta \end{cases}

と定める。このとき、各接続点で左右の値が一致するため $g_\delta$ は連続であり、 $\supp g_\delta=[-\delta,1+\delta]$ はコンパクトである。したがって、 $g_\delta\in C_c(\R;\R)$ である。端点は零測度集合であるから、誤差の積分は二つの開区間の積分の和となる。実際、 $\{0\}$ の零測度性は§E10.16 例 6.3の $d=1$ の場合であり、他の端点の零測度性は§E10.16 定理 7.1による。左右の区間でそれぞれ変数 $t=1+x/\delta$ 、 $t=1-(x-1)/\delta$ を用いると、

\lVert f-g_\delta\rVert_p^p =\int_{-\delta}^{0}(1+x/\delta)^p\,dx +\int_{1}^{1+\delta}(1-(x-1)/\delta)^p\,dx =2\delta\int_0^1t^p\,dt =\frac{2\delta}{p+1}.

したがって、 $\delta\downarrow0$ のとき $g_\delta\to f$ が $L^p$ ノルムで成り立つ。

例 3.5. $d\geq1$ を整数とする。このとき、 $\R^d$ 上の実数値定数関数 $1$ は $L^\infty(\R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\R)$ に属する。一方、任意の $g\in C_c(\R^d;\R)$ はコンパクトな台の外で $0$ であるため、 $\lVert1-g\rVert_\infty\geq1$ である。よって、 $C_c(\R^d;\R)$ は $L^\infty(\R^d,\mathcal L_d,\lambda_d;\R)$ で稠密でない。したがって、滑らかなコンパクト台関数による稠密性も、 $p=\infty$ では成り立たない。

4 演習

問題 4.1.命題 1.2の証明を完成させよ。また、 $[0,1]$ 上の Lebesgue 測度について、各点で $0$ に収束するが $L^\infty$ では $0$ に収束しない列 $(f_n)$ を与えよ。

解答.

必要性を示す。 $c_n=\lVert f_n-f\rVert_\infty$ とおき、 $Z_n=\{\,x\mid |f_n(x)-f(x)|>c_n\,\}$ とする。§E10.22 補題 2.2により $Z_n$ は可測零集合であり、§E10.8 命題 2.1 (3)により $Z=\bigcup_nZ_n$ も可測零集合である。 $x\in X\setminus Z$ ならばすべての $n$ について $|f_n(x)-f(x)|\leq c_n$ であるから、 $\sup_{x\in X\setminus Z}|f_n(x)-f(x)|\leq c_n\to0$ であり、 $X\setminus Z$ 上で一様収束が成り立つ。

十分性を示す。 $X\setminus Z$ 上で一様収束するとし、 $d_n=\sup_{x\in X\setminus Z}|f_n(x)-f(x)|$ とおく。 $X\setminus Z=\emptyset$ の場合には $d_n=0$ とおく。十分大きい $n$ で $d_n<\infty$ であり $d_n\to0$ である。そのような $n$ について $|f_n-f|\leq d_n$ がほとんど至る所で成り立つので、§E10.22 補題 2.2により $\lVert f_n-f\rVert_\infty\leq d_n$ であり、 $\lVert f_n-f\rVert_\infty\to0$ である。

例として $f_n=\mathbf 1_{(0,1/n)}$ をとる。各 $x\in[0,1]$ について $n>1/x$ （ $x>0$ の場合）ならば $f_n(x)=0$ であり、 $f_n(0)=0$ であるから、各点で $f_n\to0$ である。一方、 $\lambda((0,1/n))=1/n>0$ であるから、 $M<1$ について $|f_n|\leq M$ はほとんど至る所では成り立たず、 $\lVert f_n\rVert_\infty=1$ である。▨

問題 4.2. $(X,\mathcal F,\mu)$ を任意の測度空間とし、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 、 $[f]\in L^\infty(\mu;\mathbb K)$ とする。定理 2.2の $p=\infty$ の場合の証明を完成させよ。さらに、 $\mathbb K$ 値単関数の列 $(s_n)_{n\geq1}$ で $\lVert f-s_n\rVert_\infty\leq2^{1-n}$ を満たすものが存在することを証明せよ。

解答.

$A=\lVert[f]\rVert_\infty$ とおく。§E10.22 補題 2.2により $Z=\{\,x\mid |f(x)|>A\,\}$ は可測零集合である。 $g=f\mathbf 1_{X\setminus Z}$ とおくと $g$ は可測で、すべての点で $|g|\leq A$ であり、 $Z$ の外で $g=f$ である。§E10.22 命題 2.4により $\lVert f-s\rVert_\infty=\lVert g-s\rVert_\infty$ が任意の可測関数 $s$ について成り立つ。

$\mathbb K=\R$ とする。 $n\geq1$ に対して $K_n=\lceil A2^n\rceil$ とし、整数 $-K_n\leq k\leq K_n$ について

E_{n,k}=\{\,x\in X\mid k2^{-n}\leq g(x)<(k+1)2^{-n}\,\}

とおく。 $-A\leq g\leq A$ であるから、 $E_{n,-K_n},\dots,E_{n,K_n}$ は $X$ の可測分割である。 $s_n=\sum_{k=-K_n}^{K_n}k2^{-n}\mathbf 1_{E_{n,k}}$ は有限個の値をとる可測関数であり、各点で $0\leq g-s_n<2^{-n}$ である。したがって $\lVert g-s_n\rVert_\infty\leq2^{-n}$ である。

$\mathbb K=\C$ のときは、 $\Re g$ と $\Im g$ は§E10.7 定理 8.1により可測で、絶対値は $A$ 以下である。前段の構成をそれぞれに適用して実数値単関数 $a_n,b_n$ を得て、 $s_n=a_n+ib_n$ とおく。 $s_n$ は有限個の値をとる複素数値可測関数であり、各点で $|g-s_n|\leq|\Re g-a_n|+|\Im g-b_n|<2^{1-n}$ であるから、 $\lVert f-s_n\rVert_\infty\leq2^{1-n}$ である。この近似では単関数の非零レベル集合の測度が有限であることを要求していない。▨

§E10.23L^p 空間の完備性

1 $L^p$ 空間の完備性

2 単関数の稠密性

3 台がコンパクトな連続関数の稠密性

4 演習

参考文献

前提記事

§E10.23L^p 空間の完備性

1 LpL^pLp空間の完備性

2 単関数の稠密性

3 台がコンパクトな連続関数の稠密性

4 演習

参考文献

前提記事

1 $L^p$ 空間の完備性