§E10.38標準 Borel 空間

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実数直線と Cantor 空間は異なる位相をもつが、Borel 集合の構造を保つ全単射によって対応させることができる。本記事では、可算性によって可測構造がどのように定まるかを扱う。

1 可測同型

定義 1.1. 可測空間(S,Σ)(S,\Sigma)と(T,T)(T,\mathcal T)の間の全単射h:S→Th:S\to Tが 可測同型 (measurable isomorphism) であるとは、hhとh−1h^{-1}がともに可測であることをいう。可測同型が存在するとき、二つの可測空間は可測同型であるという。Borel 可測空間の間の可測同型を Borel 同型 (Borel isomorphism) ともいう。

補題 1.2.YYを位相空間、F⊆YF\subseteq Yを部分空間とする。このとき、

B(F)={F∩E:E∈B(Y)}\mathcal B(F)=\{F\cap E:E\in\mathcal B(Y)\}

である。特にFFがYYの Borel 集合であるならば、FFの Borel 集合は全てYYの Borel 集合である。

証明. 右辺はFFの開集合を含む σ-加法族であるから、B(F)\mathcal B(F)を含む。逆に、F∩E∈B(F)F\cap E\in\mathcal B(F)を満たすE⊆YE\subseteq Yの全体はYYの開集合を含む σ-加法族である。したがって、全てのE∈B(Y)E\in\mathcal B(Y)に対してF∩E∈B(F)F\cap E\in\mathcal B(F)であり、等式を得る。F∈B(Y)F\in\mathcal B(Y)ならばF∩E∈B(Y)F\cap E\in\mathcal B(Y)でもある。▨

例 1.3.a0=0a_0=0、an=1/na_n=1/n（n∈N≥1n\in\NN）とし、A={an:n∈N≥0}A=\{a_n:n\in\N\}と置く。写像h:[0,1]→(0,1)h:[0,1]\to(0,1)を

h(x)={an+2,x=an(n∈N≥0),x,x∉Ah(x)= \begin{cases} a_{n+2},&x=a_n\quad(n\in\N),\\ x,&x\notin A \end{cases}

と定める。このときhhは Borel 同型であるが、連続ではない。

実際、hhはAAをA∖{0,1}A\setminus\{0,1\}へ全単射で移し、[0,1]∖A=(0,1)∖A[0,1]\setminus A=(0,1)\setminus Aの各点を固定する。したがってhhは全単射である。

AAの任意の部分集合は高々可算であり、R\Rの閉集合である一点集合の可算和として Borel 集合となる。E∈B((0,1))E\in\mathcal B((0,1))、F∈B([0,1])F\in\mathcal B([0,1])に対して、

h−1(E)=(E∖A)∪{an:n∈N≥0, an+2∈E},h^{-1}(E)=(E\setminus A)\cup\{a_n:n\in\N,\ a_{n+2}\in E\},h(F)=(F∖A)∪{an+2:n∈N≥0, an∈F}h(F)=(F\setminus A)\cup\{a_{n+2}:n\in\N,\ a_n\in F\}

である。補題 1.2により、EEとFFはR\Rの Borel 集合である。各式の右辺は Borel 集合と高々可算集合の和であるから、Borel 集合である。したがって、h−1(E)∈B([0,1])h^{-1}(E)\in\mathcal B([0,1])かつh(F)∈B((0,1))h(F)\in\mathcal B((0,1))である。よってhhと逆写像h−1h^{-1}はともに可測である。一方、an→0a_n\to0であるがh(an)=an+2→0≠h(0)=1/2h(a_n)=a_{n+2}\to0\neq h(0)=1/2であるから、hhは00で連続ではない。

補題 1.4.(S,Σ)(S,\Sigma)、(T,T)(T,\mathcal T)を可測空間とする。可測な単射f:S→Tf:S\to Tとg:T→Sg:T\to Sが存在し、全てのA∈ΣA\in\SigmaとB∈TB\in\mathcal Tに対してf(A)∈Tf(A)\in\mathcal Tとg(B)∈Σg(B)\in\Sigmaが成り立つとする。このとき(S,Σ)(S,\Sigma)と(T,T)(T,\mathcal T)は可測同型である。

証明.A0=S∖g(T)A_0=S\setminus g(T)とし、n∈N≥0n\in\Nに対してAn+1=g(f(An))A_{n+1}=g(f(A_n))、A=⋃n∈N≥0AnA=\bigcup_{n\in\N}A_nと定める。像についての仮定から、各AnA_nとAAはΣ\Sigmaに属する。S∖A⊆g(T)S\setminus A\subseteq g(T)であるから、

h(x)={f(x),x∈A,g−1(x),x∈S∖Ah(x)= \begin{cases} f(x),&x\in A,\\ g^{-1}(x),&x\in S\setminus A \end{cases}

によって写像h:S→Th:S\to Tを定めることができる。

ggの単射性とA=A0∪g(f(A))A=A_0\cup g(f(A))から、

g(T∖f(A))=g(T)∖g(f(A))=S∖Ag(T\setminus f(A))=g(T)\setminus g(f(A))=S\setminus A

である。したがって、hhはAAからf(A)f(A)への全単射と、S∖AS\setminus AからT∖f(A)T\setminus f(A)への全単射を合わせたものであり、全単射である。

B∈TB\in\mathcal TとE∈ΣE\in\Sigmaに対して、

h−1(B)=(A∩f−1(B))∪((S∖A)∩g(B))∈Σ,h^{-1}(B)=(A\cap f^{-1}(B))\cup((S\setminus A)\cap g(B))\in\Sigma,h(E)=f(E∩A)∪g−1(E∖A)∈Th(E)=f(E\cap A)\cup g^{-1}(E\setminus A)\in\mathcal T

である。第一の式からhhが可測であり、第二の式から逆写像h−1:T→Sh^{-1}:T\to Sが可測である。▨

2 Borel 構造を保つ位相の精密化

定理 2.1.(X,τ)(X,\tau)を Polish 空間、(Bn)n∈N≥1(B_n)_{n\in\NN}をXXの Borel 集合の列とする。このとき、XX上の Polish 位相τ′\tau'であって、τ⊆τ′\tau\subseteq\tau'、B(X,τ)=B(X,τ′)\mathcal B(X,\tau)=\mathcal B(X,\tau')を満たし、各BnB_nがτ′\tau'に関して開かつ閉となるものが存在する。さらに、X≠∅X\neq\emptysetならば(X,τ′)(X,\tau')が 0 次元となるようにτ′\tau'を取ることができる。

証明.X=∅X=\emptysetならばτ′=τ\tau'=\tauとする。各Bn=∅B_n=\emptysetは開かつ閉であり、Polish 性と Borel 集合族は変わらない。以下、X≠∅X\neq\emptysetとする。

主張 2.1.1.η\etaをXX上の Polish 位相とする。XX上の Polish 位相の列(τn)n∈N≥1(\tau_n)_{n\in\NN}が、各nnについてη⊆τn\eta\subseteq\tau_nとB(X,τn)=B(X,η)\mathcal B(X,\tau_n)=\mathcal B(X,\eta)を満たすとする。このとき、全てのτn\tau_nを含む最小の位相ρ\rhoも Polish 位相であり、B(X,ρ)=B(X,η)\mathcal B(X,\rho)=\mathcal B(X,\eta)である。

証明. 積空間P=∏n∈N≥1(X,τn)P=\prod_{n\in\NN}(X,\tau_n)と対角写像δ:X→P\delta:X\to P、δ(x)=(x,x,…)\delta(x)=(x,x,\ldots)を取る。(X,ρ)(X,\rho)の位相は各座標への恒等写像で生成されるので、δ\deltaは(X,ρ)(X,\rho)からD=δ(X)D=\delta(X)への同相写像である。(xn)∉D(x_n)\notin Dならばxi≠xjx_i\neq x_jを満たすi,ji,jが存在する。η\etaは Hausdorff であるから、xix_iとxjx_jには互いに交わらないη\eta開近傍が存在する。したがって、(xn)(x_n)はDDと交わらないPPの開近傍をもつ。よってDDはPPの閉集合である。§E2.27 定理 3.5と§E2.27 系 3.2によりDD、したがって(X,ρ)(X,\rho)は Polish 空間である。

各τn\tau_nの可算基底を取り、それらの元の有限個の共通部分全体をU\mathcal Uとする。U\mathcal Uはρ\rhoの可算基底であり、その各元はη\etaの Borel 集合である。任意のρ\rho開集合はU\mathcal Uの元の可算和であるから、B(X,ρ)⊆B(X,η)\mathcal B(X,\rho)\subseteq\mathcal B(X,\eta)である。逆包含はη⊆ρ\eta\subseteq\rhoから従う。▨

主張 2.1.2.σ\sigmaをXX上の Polish 位相、UUをσ\sigma開集合とする。このとき、σ\sigmaとX∖UX\setminus Uで生成される位相σU\sigma_Uは Polish 位相であり、B(X,σU)=B(X,σ)\mathcal B(X,\sigma_U)=\mathcal B(X,\sigma)である。

証明.σU\sigma_Uは、UUとX∖UX\setminus Uをともに開かつ閉とし、それぞれにはσ\sigmaの部分空間位相を入れた位相である。§E2.27 系 3.3と§E2.27 系 3.2により、二つの部分空間は Polish 空間である。各非空の部分空間の位相を定める完備距離を11以下に切り詰め、異なる部分空間の二点間の距離を22と定める。この距離はσU\sigma_Uを定める。Cauchy 列はある項以降一方の部分空間に含まれるため、この距離は完備である。二つの部分空間の可算稠密集合の和はXXで稠密であるから、(X,σU)(X,\sigma_U)は Polish 空間である。

任意のσU\sigma_U開集合は、σ\sigma開集合V,WV,Wを用いて(U∩V)∪((X∖U)∩W)(U\cap V)\cup((X\setminus U)\cap W)と書くことができる。この集合はσ\sigmaの Borel 集合であり、σ⊆σU\sigma\subseteq\sigma_Uであるから、二つの Borel 集合族は等しい。▨

D\mathcal Dを、τ\tauより細かく同じ Borel 集合族をもつ Polish 位相によって開かつ閉にすることができる部分集合B⊆XB\subseteq Xの全体とする。主張 2.1.2により、D\mathcal Dは全てのτ\tau開集合を含む。B∈DB\in\mathcal Dならば、同じ位相によってX∖BX\setminus Bも開かつ閉となるため、X∖B∈DX\setminus B\in\mathcal Dである。

各n∈N≥1n\in\NNについてCn∈DC_n\in\mathcal Dとし、CnC_nを開かつ閉とする Polish 位相τn\tau_nを選ぶ。主張 2.1.1の位相ρ\rhoでは、C=⋃n∈N≥1CnC=\bigcup_{n\in\NN}C_nは開集合である。主張 2.1.2を(X,ρ)(X,\rho)とCCに適用すると、CCを開かつ閉とする Polish 位相で、τ\tauと同じ Borel 集合族をもつものが得られる。したがってC∈DC\in\mathcal Dである。D\mathcal Dはτ\tauを含む σ-加法族であるから、B(X,τ)⊆D\mathcal B(X,\tau)\subseteq\mathcal Dとなる。

各BnB_nを開かつ閉とする位相を選び、主張 2.1.1によって合わせると、全てのBnB_nを開かつ閉とする Polish 位相ρ\rhoを得る。ρ\rhoとτ\tauの Borel 集合族は等しい。ρ\rhoの可算基底(Um)m∈N≥1(U_m)_{m\in\NN}を取り、主張 2.1.2による位相ρUm\rho_{U_m}を全て含む最小の位相をτ′\tau'とする。再び主張 2.1.1を基の位相ρ\rhoに適用すると、τ′\tau'は Polish 位相であり、Borel 集合族は変わらない。

τ′\tau'は、集合UmU_mとX∖UmX\setminus U_m（m∈N≥1m\in\NN）で生成される位相である。これらの集合の有限個の共通部分は開かつ閉であり、τ′\tau'の基底をなす。X≠∅X\neq\emptysetであるから、(X,τ′)(X,\tau')は 0 次元である。ρ⊆τ′\rho\subseteq\tau'であるから、各BnB_nはτ′\tau'に関しても開かつ閉である。▨

3 Cantor 空間による符号化

命題 3.1. 任意の標準 Borel 空間(S,Σ)(S,\Sigma)に対して、Cantor 空間2ω2^\omegaの Borel 集合EEと可測同型c:(S,Σ)→(E,B(E))c:(S,\Sigma)\to(E,\mathcal B(E))が存在する。さらに、全てのA∈ΣA\in\Sigmaに対してc(A)c(A)は2ω2^\omegaの Borel 集合である。

証明.S=∅S=\emptysetならばE=∅E=\emptysetと空写像を取ればよい。S≠∅S\neq\emptysetとし、§E10.37 定義 4.1により Polish 空間(X,τ)(X,\tau)への可測同型h:S→Xh:S\to Xを取る。定理 2.1を全ての項が空集合である列に適用すると、B(X,τ′)=B(X,τ)\mathcal B(X,\tau')=\mathcal B(X,\tau)を満たす 0 次元の Polish 位相τ′\tau'が存在する。

(X,τ′)(X,\tau')は第二可算かつ Hausdorff であるから、§E2.45 定理 4.1をκ=ℵ0\kappa=\aleph_0として適用し、位相的埋め込みe:(X,τ′)→2ωe:(X,\tau')\to2^\omegaを取る。E=e(X)E=e(X)は(X,τ′)(X,\tau')と同相であるから Polish 空間である。2ω2^\omegaは§E2.27 例 3.7 (2)により Polish 空間であるので、§E2.27 定理 3.1によりEEは2ω2^\omegaのGδG_\delta集合であり、Borel 集合である。

c=e∘hc=e\circ hと定める。hhはB(X,τ′)=B(X,τ)\mathcal B(X,\tau')=\mathcal B(X,\tau)に関しても可測同型であり、e:X→Ee:X\to Eは同相写像であるから、ccとc−1=h−1∘e−1c^{-1}=h^{-1}\circ e^{-1}は可測である。A∈ΣA\in\Sigmaならば、c−1:E→Sc^{-1}:E\to Sの可測性からc(A)∈B(E)c(A)\in\mathcal B(E)である。EEは2ω2^\omegaの Borel 集合であるから、補題 1.2によりc(A)c(A)も2ω2^\omegaの Borel 集合である。▨

4 濃度による分類

定理 4.1.(S,Σ)(S,\Sigma)と(T,T)(T,\mathcal T)を標準 Borel 空間とする。このとき、次が成り立つ。

  1. SSが高々可算ならば、Σ=P(S)\Sigma=\mathcal P(S)である。
  2. SSが非可算ならば、(S,Σ)(S,\Sigma)は(R,B(R))(\R,\mathcal B(\R))と可測同型である。
  3. (S,Σ)(S,\Sigma)と(T,T)(T,\mathcal T)が可測同型であるための必要十分条件は、SSとTTの濃度が等しいことである。

証明.主張 (1)を示す。Polish 空間XXへの可測同型h:S→Xh:S\to Xを取る。任意のs∈Ss\in Sに対して{h(s)}\{h(s)\}はXXの閉集合であるから、{s}∈Σ\{s\}\in\Sigmaである。SSが高々可算ならば、任意のA⊆SA\subseteq Sは高々可算個の一点集合の和である。したがってA∈ΣA\in\Sigmaであり、Σ=P(S)\Sigma=\mathcal P(S)となる。

主張 (2)を示す。Polish 空間XXへの可測同型h:S→Xh:S\to Xを取り、C=2ωC=2^\omegaと置く。XXは非可算であるから、§E2.45 定理 6.7 (2)によりXXの閉集合KKと同相写像j:C→Kj:C\to Kが存在する。i:K↪Xi:K\hookrightarrow Xを包含写像とし、g=h−1∘i∘j:C→Sg=h^{-1}\circ i\circ j:C\to Sと定めると、ggは可測な単射である。D∈B(C)D\in\mathcal B(C)に対してj(D)∈B(K)j(D)\in\mathcal B(K)であり、KKはXXの閉集合であるから、補題 1.2によりj(D)j(D)はXXの Borel 集合でもある。よってg(D)∈Σg(D)\in\Sigmaである。

一方、命題 3.1によって、可測な単射f:S→Cf:S\to Cで、全てのA∈ΣA\in\Sigmaに対してf(A)∈B(C)f(A)\in\mathcal B(C)を満たすものが存在する。補題 1.4により、(S,Σ)(S,\Sigma)は(C,B(C))(C,\mathcal B(C))と可測同型である。R\Rも非可算の Polish 空間であるから、同じ結論を(R,B(R))(\R,\mathcal B(\R))に適用すると、この空間も(C,B(C))(C,\mathcal B(C))と可測同型である。二つの同型を合成して、(S,Σ)(S,\Sigma)から(R,B(R))(\R,\mathcal B(\R))への可測同型を得る。

主張 (3)を示す。可測同型は全単射であるから、可測同型な空間の濃度は等しい。逆に、SSとTTの濃度が等しいとする。両方が高々可算ならば、主張 (1)により全ての部分集合が可測であり、任意の全単射S→TS\to Tは可測同型である。両方が非可算ならば、主張 (2)により、それぞれが(R,B(R))(\R,\mathcal B(\R))と可測同型である。したがって(S,Σ)(S,\Sigma)と(T,T)(T,\mathcal T)は可測同型である。▨

例 4.2.R\Rの部分集合族を

C={A⊆R:A または R∖A が高々可算}\mathcal C=\{A\subseteq\R:A\text{ または }\R\setminus A\text{ が高々可算}\}

と定める。このときC\mathcal Cは σ-加法族であり、(R,C)(\R,\mathcal C)と(R,B(R))(\R,\mathcal B(\R))は基礎集合が同じであるが、可測同型ではない。特に(R,C)(\R,\mathcal C)は標準 Borel 空間ではない。

実際、∅∈C\emptyset\in\mathcal Cであり、定義からC\mathcal Cは補集合について閉じている。(An)n∈N≥1(A_n)_{n\in\NN}をC\mathcal Cの元の列とする。全てのAnA_nが高々可算ならば、その和集合も高々可算である。あるAkA_kが非可算ならばR∖Ak\R\setminus A_kが高々可算であり、

R∖⋃n∈N≥1An⊆R∖Ak\R\setminus\bigcup_{n\in\NN}A_n\subseteq\R\setminus A_k

も高々可算である。いずれの場合も⋃n∈N≥1An∈C\bigcup_{n\in\NN}A_n\in\mathcal Cとなるので、C\mathcal Cは σ-加法族である。

R\Rの高々可算集合は Borel 集合であり、その補集合も Borel 集合であるから、C⊆B(R)\mathcal C\subseteq\mathcal B(\R)である。一方、E=(0,∞)E=(0,\infty)は Borel 集合であり、EEとR∖E\R\setminus Eはともに非可算である。全単射h:R→Rh:\R\to\Rに対して、h−1(E)h^{-1}(E)とR∖h−1(E)=h−1(R∖E)\R\setminus h^{-1}(E)=h^{-1}(\R\setminus E)もともに非可算となる。したがってh−1(E)∉Ch^{-1}(E)\notin\mathcal Cであり、h:(R,C)→(R,B(R))h:(\R,\mathcal C)\to(\R,\mathcal B(\R))は可測ではない。よって二つの可測空間の間に可測同型は存在しない。(R,C)(\R,\mathcal C)が標準 Borel 空間ならば、定理 4.1 (2)により(R,B(R))(\R,\mathcal B(\R))と可測同型になるので、(R,C)(\R,\mathcal C)は標準 Borel 空間ではない。

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