Lebesgue の微分定理 | 測度と積分

定義 1.1. $d$ を正整数、 $U\subseteq\R^d$ を開集合、 $\mathbb K$ を $\R$ または $\C$ とする。 Lebesgue 可測関数 $f:U\to\mathbb K$ が、任意のコンパクト集合 $K\subseteq U$ に対して

\int_K |f|\,d\lambda_d<\infty

を満たすとき、 $f$ は $U$ 上で局所可積分 (locally integrable) であるという。局所可積分関数をほとんど至る所での一致によって同一視して得られる空間を $L^1_{\mathrm{loc}}(U;\mathbb K)$ と書く。

$x\in\R^d$ と $r>0$ に対して $B(x,r)=\{y\in\R^d:|y-x|<r\}$ と書く。 $f:U\to\mathbb K$ が局所可積分であり、 $\overline{B(x,r)}\subseteq U$ であるとき、 $f$ の球平均 (ball average) を

A_r f(x)=\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)} f(y)\,d\lambda_d(y)

と定める。

補題 1.2. $d$ を正整数とし、 $v_d=\lambda_d(B(0,1))$ とおく。このとき $0<v_d<\infty$ であり、任意の $x\in\R^d$ と $r>0$ に対して

\lambda_d(B(x,r))=v_d r^d, \qquad \lambda_d(\partial B(x,r))=0

が成り立つ。

証明. 単位球は正の体積をもつ半開直方体を含み、有界な半開直方体に含まれるため、 $0<v_d<\infty$ である。写像 $y\mapsto ry$ は、集合 $B(0,1)$ の半開直方体による可算被覆と、 $B(0,r)$ の半開直方体による可算被覆との間の全単射を与える。各直方体の体積は $r^d$ 倍になる。§E10.16 定義 5.1の下限をとり、Borel 集合上での外測度との一致§E10.16 定理 5.3を用いると、 $\lambda_d(B(0,r))=r^d v_d$ を得る。§E10.16 定理 7.1により、 $\lambda_d(B(x,r))=v_d r^d$ である。

任意の $\varepsilon>0$ に対して

\partial B(x,r)\subseteq B(x,r+\varepsilon)\setminus B(x,r)

であるから、

0\leq\lambda_d(\partial B(x,r)) \leq v_d\bigl((r+\varepsilon)^d-r^d\bigr).

$\varepsilon\downarrow0$ とすると、球の境界の測度は $0$ である。▨

補題 1.3. $d$ を正整数、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $f:\R^d\to\mathbb K$ を局所可積分関数とする。このとき、任意の $r>0$ に対して、関数 $x\mapsto A_r f(x)$ は $\R^d$ 上で連続である。

証明. $r>0$ を固定し、 $x_n\to x$ とする。点列 $(x_n)$ は有界であるから、すべての $B(x_n,r)$ と $B(x,r)$ を含むコンパクト集合 $K$ が存在する。 $y\notin\partial B(x,r)$ ならば $|y-x_n|\to|y-x|\neq r$ であるから、

\mathbf1_{B(x_n,r)}(y)\longrightarrow\mathbf1_{B(x,r)}(y)

が成り立つ。補題 1.2により、この収束はほとんど至る所で成り立つ。各関数 $f\mathbf1_{B(x_n,r)}$ の絶対値は可積分関数 $|f|\mathbf1_K$ で抑えられる。§E10.11 定理 3.1によって積分が収束し、分母はすべて $v_d r^d$ に等しいため、 $A_r f(x_n)\to A_r f(x)$ である。▨

定義 2.1. $d$ を正整数、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $f:\R^d\to\mathbb K$ を局所可積分関数とする。関数

Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))} \int_{B(x,r)}|f(y)|\,d\lambda_d(y) \qquad(x\in\R^d)

を、 $f$ の Hardy–Littlewood 極大関数 (Hardy–Littlewood maximal function) という。値 $+\infty$ を許す。上限は中心が $x$ である球についてとる。

補題 2.2. $d$ を正整数とし、 $B_1,\ldots,B_N$ を $\R^d$ の有限個の開球とする。このとき、この球族から、二つずつ交わらない球 $B_{i_1},\ldots,B_{i_k}$ を選んで

\bigcup_{j=1}^N B_j\subseteq\bigcup_{\ell=1}^k 3B_{i_\ell}

とすることができる。ただし、 $3B$ は球 $B$ と中心が同じで半径が三倍の開球を表す。

証明. 球を半径の大きい順に並べ、順に、既に選んだどの球とも交わらない球だけを選ぶ。選ばれなかった球 $B_j=B(x_j,r_j)$ は、先に選んだある球 $B_i=B(x_i,r_i)$ と交わり、 $r_j\leq r_i$ を満たす。 $y\in B_j$ ならば

|y-x_i|\leq |y-x_j|+|x_j-x_i| <r_j+(r_j+r_i)\leq3r_i

であるから、 $B_j\subseteq3B_i$ である。選んだ球自身もその三倍の球に含まれるため、求める包含が成り立つ。▨

定理 2.3. $d$ を正整数、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $f:\R^d\to\mathbb K$ を可積分関数とする。このとき、極大関数 $Mf$ は下半連続であり、したがって Borel 可測である。任意の $\alpha>0$ に対して

\lambda_d(\{x\in\R^d:Mf(x)>\alpha\}) \leq\frac{3^d}{\alpha}\int_{\R^d}|f|\,d\lambda_d

が成り立つ。特に、 $Mf(x)<\infty$ がほとんど至る所で成り立つ。

証明.補題 1.3により、各 $r>0$ について $A_r|f|$ は連続である。任意の $\alpha\in\R$ に対して

\{Mf>\alpha\}=\bigcup_{r>0}\{A_r|f|>\alpha\}

は開集合であるから、 $Mf$ は下半連続である。

$\alpha>0$ とコンパクト集合 $K\subseteq\{Mf>\alpha\}$ をとる。各 $x\in K$ に対して、ある半径 $r_x>0$ が存在して

\alpha\lambda_d(B(x,r_x))<\int_{B(x,r_x)}|f|\,d\lambda_d

を満たす。開球 $B(x,r_x)$ は $K$ を被覆するため、有限部分被覆が存在する。補題 2.2により、その有限族から二つずつ交わらない球 $B_1,\ldots,B_k$ を選んで、 $K\subseteq\bigcup_{j=1}^k3B_j$ とする。補題 1.2と積分の加法性から

\lambda_d(K)\leq\sum_{j=1}^k\lambda_d(3B_j) =3^d\sum_{j=1}^k\lambda_d(B_j) \leq\frac{3^d}{\alpha}\sum_{j=1}^k\int_{B_j}|f|\,d\lambda_d \leq\frac{3^d}{\alpha}\int_{\R^d}|f|\,d\lambda_d.

§E10.16 定理 9.1により、 $\{Mf>\alpha\}$ に含まれるコンパクト集合について上限をとると、弱型評価を得る。任意の正整数 $n$ に対して $\{Mf=\infty\}\subseteq\{Mf>n\}$ であるから、

\lambda_d(\{Mf=\infty\})\leq\frac{3^d}{n}\int_{\R^d}|f|\,d\lambda_d.

$n\to\infty$ とすると、 $\{Mf=\infty\}$ は零集合である。▨

定義 3.1. $d$ を正整数、 $U\subseteq\R^d$ を開集合、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $f:U\to\mathbb K$ を局所可積分関数とする。点 $x\in U$ が

\lim_{r\downarrow0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))} \int_{B(x,r)}|f(y)-f(x)|\,d\lambda_d(y)=0

を満たすとき、 $x$ を $f$ の Lebesgue 点 (Lebesgue point) という。極限は $\overline{B(x,r)}\subseteq U$ を満たす半径についてとる。

定理 3.2. $d$ を正整数、 $U\subseteq\R^d$ を開集合、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $f:U\to\mathbb K$ を局所可積分関数とする。このとき、ある Lebesgue 可測零集合 $N\subseteq U$ が存在して、すべての $x\in U\setminus N$ は $f$ の Lebesgue 点である。特に、同じ零集合の外で

\lim_{r\downarrow0}A_r f(x)=f(x)

が成り立つ。

証明. $U=\R^d$ かつ $f\in L^1(\R^d;\mathbb K)$ とする。§E10.23 定理 3.3の $p=1$ の場合により、 $g_n\in C_c(\R^d;\mathbb K)$ で $\|f-g_n\|_1\to0$ となる列をとる。 $h_n=f-g_n$ とおき、各 $x\in\R^d$ に対して

D_f(x)=\limsup_{r\downarrow0} \frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)-f(x)|\,d\lambda_d(y)

とおく。三角不等式から、任意の $r>0$ に対して

\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)-f(x)|\,d\lambda_d(y) \leq Mh_n(x)+|h_n(x)| +\sup_{y\in B(x,r)}|g_n(y)-g_n(x)|.

$g_n$ の $x$ における連続性により、最後の上限は $r\downarrow0$ のとき $0$ に収束する。したがって、すべての $n$ と $x$ に対して

D_f(x)\leq Mh_n(x)+|h_n(x)|

である。

$\alpha>0$ とし、可測集合

E_{\alpha,n}=\{Mh_n>\alpha/2\}\cup\{|h_n|>\alpha/2\}

を定める。定理 2.3と

\frac{\alpha}{2}\lambda_d(\{|h_n|>\alpha/2\}) \leq\int_{\R^d}|h_n|\,d\lambda_d

から

\lambda_d(E_{\alpha,n})\leq\frac{2(3^d+1)}{\alpha}\|h_n\|_1\longrightarrow0

を得る。 $\{D_f>\alpha\}\subseteq\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{\alpha,n}$ であり、右辺は可測零集合である。よって

N=\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{1/m,n}

は可測零集合であり、 $x\notin N$ ならばすべての $m\geq1$ について $D_f(x)\leq1/m$ である。従って $D_f(x)=0$ であり、非負の球平均の極限は $0$ となる。

一般の $U$ と局所可積分関数 $f$ に対して、有理数の座標をもつ中心と正の有理数の半径をもち、閉球が $U$ に含まれる開球をすべて並べる。この可算族は $U$ を被覆する。各球 $B_j$ に対して

f_j(y)=\begin{cases}f(y),&y\in B_j,\\0,&y\notin B_j\end{cases} \qquad(y\in\R^d)

と定める。 $\overline{B_j}$ は $U$ に含まれるコンパクト集合であるから、 $f_j\in L^1(\R^d;\mathbb K)$ である。既に証明した場合により、可測零集合 $N_j$ が存在して、その外のすべての点は $f_j$ の Lebesgue 点である。 $N=U\cap\bigcup_jN_j$ とおく。 $x\in U\setminus N$ をとり、 $x\in B_j$ となる $j$ を選ぶと、十分小さい $r>0$ に対して $\overline{B(x,r)}\subseteq B_j$ である。この球上では $f_j=f$ であり、 $f_j(x)=f(x)$ でもあるため、 $x$ は $f$ の Lebesgue 点である。

Lebesgue 点 $x$ では、積分の絶対値評価§E10.10 補題 2.5により

|A_r f(x)-f(x)|\leq \frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)-f(x)|\,d\lambda_d(y) \longrightarrow0

が成り立つ。▨

注意 3.3. $d$ を正整数、 $U\subseteq\R^d$ を開集合、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、局所可積分関数 $f,g:U\to\mathbb K$ が可測零集合 $Z$ の外で一致するとする。球上の積分は零集合上の変更によって変わらないため、 $A_r f(x)=A_r g(x)$ は、球平均が定義されるすべての $x,r$ について成り立つ。 $x\notin Z$ ならば $f(x)=g(x)$ でもあるので、 $x$ が $f$ の Lebesgue 点であることと $g$ の Lebesgue 点であることは同値である。したがって定理 3.2は $L^1_{\mathrm{loc}}$ の任意の可測代表元に適用されるが、個々の Lebesgue 点と例外集合は代表元に依存する。

例 3.4. $f=\mathbf1_{\Q}:\R\to\R$ とする。このとき、 $\Q$ は可測零集合であるから、 $f$ は局所可積分であり、すべての $x\in\R$ と $r>0$ に対して $A_r f(x)=0$ である。 $x\notin\Q$ ならば $f(x)=0$ であり、 $|f(y)-f(x)|$ の球平均は $0$ である。 $x\in\Q$ ならば $f(x)=1$ であり、 $|f(y)-f(x)|$ の球平均は $1$ である。したがって、 $f$ の Lebesgue 点全体は $\R\setminus\Q$ である。 $f$ は零関数とほとんど至る所で一致するが、零関数のすべての点は Lebesgue 点である。

定義 4.1. $d$ を正整数、 $E\subseteq\R^d$ を Lebesgue 可測集合とする。点 $x\in\R^d$ が

\lim_{r\downarrow0}\frac{\lambda_d(E\cap B(x,r))}{\lambda_d(B(x,r))}=1

を満たすとき、 $x$ を $E$ の密度点 (density point) という。

系 4.2. $d$ を正整数、 $E\subseteq\R^d$ を Lebesgue 可測集合とする。このとき、ほとんどすべての $x\in E$ は $E$ の密度点であり、ほとんどすべての $x\in\R^d\setminus E$ に対して

\lim_{r\downarrow0}\frac{\lambda_d(E\cap B(x,r))}{\lambda_d(B(x,r))}=0

が成り立つ。

証明. 関数 $\mathbf1_E$ は局所可積分である。定理 3.2により、ある可測零集合 $N$ の外で

\frac{\lambda_d(E\cap B(x,r))}{\lambda_d(B(x,r))} =A_r\mathbf1_E(x)\longrightarrow\mathbf1_E(x).

$x\in E\setminus N$ では右辺は $1$ であり、 $x\in(\R^d\setminus E)\setminus N$ では $0$ である。▨

系 4.3. $I\subseteq\R$ を空でない開区間、 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ とし、 $f:I\to\mathbb K$ を局所可積分関数とする。 $a\in I$ を固定し、 $F:I\to\mathbb K$ を

F(x)=\int_a^x f(t)\,d\lambda_1(t)

によって定める。ただし、 $x<a$ のとき $\int_a^x=-\int_x^a$ とする。このとき、 $f$ の任意の Lebesgue 点 $x\in I$ において $F$ は実変数について微分可能であり、 $F'(x)=f(x)$ である。特に、 $F'=f$ が $I$ 上でほとんど至る所で成り立つ。

証明. $x\in I$ と $a$ を結ぶ閉区間は $I$ に含まれるコンパクト集合であるから、 $F(x)$ の積分は有限である。 $x$ を $f$ の Lebesgue 点とし、 $h\neq0$ を、 $[x-|h|,x+|h|]\subseteq I$ となるようにとる。積分の加法性と絶対値評価から

\begin{aligned} \left|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)\right| &=\left|\frac1h\int_x^{x+h}(f(t)-f(x))\,d\lambda_1(t)\right|\\ &\leq\frac1{|h|}\int_{x-|h|}^{x+|h|}|f(t)-f(x)|\,d\lambda_1(t)\\ &=\frac2{\lambda_1(B(x,|h|))} \int_{B(x,|h|)}|f(t)-f(x)|\,d\lambda_1(t). \end{aligned}

最後の等式では区間の端点が零集合であることを用いた。右辺は $h\to0$ のとき $0$ に収束するため、 $F'(x)=f(x)$ である。定理 3.2を $d=1$ と $U=I$ に適用すると、ほとんど至る所での主張を得る。▨

§E10.45Lebesgue の微分定理

1 局所可積分関数と球平均

2 極大関数の弱型評価

3 Lebesgue 点

4 密度定理と不定積分の微分

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