符号付き測度 | 測度と積分

1 符号付き測度の値域と可算和

定義 1.1. $a_1,a_2,\dots\in[-\infty,\infty]$ とする。各 $n\geq 1$ に対して

a_n^{+}=\max\{a_n,0\}, \qquad a_n^{-}=\max\{-a_n,0\}

とおき、

S^{+}=\sum_{n=1}^{\infty}a_n^{+}, \qquad S^{-}=\sum_{n=1}^{\infty}a_n^{-}

を非負項級数として $[0,\infty]$ に定める。

$S^{+}$ と $S^{-}$ が同時に $\infty$ でないとき、列 $(a_n)_{n\geq 1}$ の順序不変な和 (order-independent sum) を

\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S^{+}-S^{-}

によって定める。右辺では、有限な数を $\infty$ から引いた値を $\infty$ とし、 $\infty-\infty$ は定義しない。この和は添字の並べ替えによって変わらない。

定義 1.2. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とする。関数

\nu:\mathcal{F}\longrightarrow[-\infty,\infty]

が $(X,\mathcal{F})$ 上の符号付き測度 (signed measure) であるとは、次の三条件が成り立つことをいう。

$\nu(\emptyset)=0$ である。
$\nu$ の値域は $+\infty$ と $-\infty$ を同時には含まない。
$A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}$ が二つずつ交わらないならば、 $\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)$ は定義 1.1の意味で定義され、 $\nu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)$ が成り立つ。

条件 (c)を符号付き測度の可算加法性 (countable additivity) という。値域が $[0,\infty]$ に含まれる符号付き測度は§E10.8 定義 1.1の正測度である。したがって、正測度は符号付き測度の特別な場合である。

条件 (b)の条件だけでは、互いに交わらない集合列の値の正の部分と負の部分がそれぞれ無限大になる場合は除かれない。条件 (c)の条件は和が定義されることを含むので、そのような列は符号付き測度の可算加法性から明示的に除かれる。

補題 1.3. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\nu$ をその上の符号付き測度とする。このとき、 $A_1,\dots,A_k\in\mathcal{F}$ が二つずつ交わらないならば、

\nu\left(\bigcup_{i=1}^{k}A_i\right) =\sum_{i=1}^{k}\nu(A_i)

が成り立ち、右辺は定義される。

証明. $n>k$ に対して $A_n=\emptyset$ と定める。定義 1.2の可算加法性と $\nu(\emptyset)=0$ から主張を得る。可算加法性は右辺の可算和が定義されることも要求するため、最初の $k$ 項の有限和も $\infty-\infty$ を含まない。▨

補題 1.4. 可測空間 $(X,\mathcal F)$ 上の正測度 $\alpha,\beta$ の少なくとも一方が有限であるとする。このとき、 $\nu(A)=\alpha(A)-\beta(A)$ （ $A\in\mathcal F$ ）は符号付き測度である。両測度が有限ならば $\nu$ はすべての可測集合で有限値をとる。

証明. $\beta(X)<\infty$ とする。したがって、すべての可測集合で差が定義され、 $\nu$ は $-\infty$ をとらず、 $\nu(\emptyset)=0$ である。二つずつ交わらない可測集合列 $(A_n)$ に対して、 $a_n=\alpha(A_n)$ 、 $b_n=\beta(A_n)$ 、 $c_n=a_n-b_n$ とおく。 $c_n^-=\max(b_n-a_n,0)\leq b_n$ なので $\sum_nc_n^-\leq\beta(X)<\infty$ であり、順序不変な和は定義される。 $a_n+c_n^-=b_n+c_n^+$ を非負項級数として足すと

\sum_na_n+\sum_nc_n^-=\sum_nb_n+\sum_nc_n^+

である。 $\sum_na_n<\infty$ ならば両辺は有限なので、有限値を移項して $\sum_nc_n=\sum_na_n-\sum_nb_n$ を得る。 $\sum_na_n=\infty$ ならば、 $\sum_nb_n<\infty$ により $\sum_nc_n^+=\infty$ であり、同じ等式の両辺は $\infty$ である。両測度の可算加法性から $\nu(\bigcup_nA_n)=\sum_n\nu(A_n)$ を得る。 $\alpha(X)<\infty$ の場合は、上の議論を $\beta-\alpha$ に適用して符号を反転する。両測度が有限ならば各差は実数である。▨

例 1.5. $X=\NN$ 、 $\mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$ とする。 $A\subseteq X$ に対して

\nu(A) = \sum_{n\in A}w_n, \qquad w_1=-1,\quad w_n=1\ (n\geq 2)

と定める。右辺は、 $1\notin A$ ならば $A$ の要素数であり、 $1\in A$ ならば $A\setminus\{1\}$ の要素数から $1$ を引いた値である。 $A\setminus\{1\}$ が無限集合ならば $\nu(A)=\infty$ とする。

このとき、 $\alpha(A)=|A\cap\{2,3,\ldots\}|$ 、 $\beta(A)=\mathbf1_{\{1\in A\}}$ は正測度であり、 $\beta(X)=1$ である。したがって、補題 1.4により $\nu=\alpha-\beta$ は符号付き測度である。

符号付き測度 $\nu$ は $-\infty$ を取らないが、無限集合 $A\subseteq\{2,3,\dots\}$ に対して $\nu(A)=\infty$ を取る。また、 $\nu(\{1\})=-1$ であるため、正測度ではない。

2 正集合、負集合、零集合

定義 2.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\nu$ をその上の符号付き測度とする。 $E\in\mathcal{F}$ について、次のように定める。

$E$ が $\nu$ の正集合 (positive set) であるとは、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して、 $A\subseteq E$ ならば $\nu(A)\geq 0$ が成り立つことをいう。
$E$ が $\nu$ の負集合 (negative set) であるとは、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して、 $A\subseteq E$ ならば $\nu(A)\leq 0$ が成り立つことをいう。
$E$ が $\nu$ の零集合 (null set of a signed measure) であるとは、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して、 $A\subseteq E$ ならば $\nu(A)=0$ が成り立つことをいう。

最後の定義は、正測度に対する§E10.8 定義 3.1と同値である。一方、一般の符号付き測度では、 $\nu(E)=0$ だけでは $E$ が零集合であるとは限らない。

補題 2.2. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\nu$ をその上の符号付き測度とする。このとき、次が成り立つ。

正集合または負集合の可測部分集合は、それぞれ正集合または負集合である。
可算個の正集合の和集合は正集合であり、可算個の負集合の和集合は負集合である。
可測集合が零集合であることと、その集合が正集合かつ負集合であることは同値である。
可算個の零集合の和集合は零集合である。

証明. 正集合 $E$ の可測部分集合 $B$ に含まれる任意の可測集合 $A$ は $E$ にも含まれるので、 $\nu(A)\geq0$ である。したがって $B$ は正集合である。 $-\nu$ に同じ議論を適用すると負集合の部分集合の主張を得る。正集合列 $(E_n)$ と可測集合 $A\subseteq\bigcup_nE_n$ に対して $B_n=(A\cap E_n)\setminus\bigcup_{j<n}E_j$ とおく。この列は二つずつ交わらず $A$ を覆い、各値は非負であるから、可算加法性により $\nu(A)=\sum_n\nu(B_n)\geq0$ である。 $-\nu$ に同じ議論を適用すると負集合の可算和の主張を得る。可測集合が正集合かつ負集合であることは、任意の可測部分集合の値が零であることと同値である。この特徴づけと正集合・負集合の可算和の閉性から、零集合の可算和の閉性を得る。▨

例 2.3. $X=\{1,2\}$ 、 $\mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$ とし、

\nu(A)=\mathbf{1}_{\{1\in A\}}-\mathbf{1}_{\{2\in A\}}

と定める。このとき、 $\nu=\delta_1-\delta_2$ であり、補題 1.4により有限符号付き測度である。 $\nu(X)=0$ であるが、 $\nu(\{1\})=1$ かつ $\nu(\{2\})=-1$ である。したがって、 $X$ は $\nu$ の零集合ではない。

3 Hahn 分解

補題 3.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\nu$ を $-\infty$ を値に取らない符号付き測度とする。このとき、 $E\in\mathcal{F}$ かつ $\nu(E)<0$ ならば、可測な負集合 $N\subseteq E$ が存在して

\nu(N)\leq\nu(E)<0

が成り立つ。

証明. $R_0=E$ とおく。可測集合 $R\subseteq E$ に対して

\beta(R) = \sup\bigl(\{0\}\cup \{\,\nu(A)\mid A\in\mathcal{F},\ A\subseteq R,\ \nu(A)>0\,\}\bigr) \in[0,\infty]

と定める。 $\nu(R)<0$ である場合、 $R$ の可測部分集合 $A$ が $\nu(A)>0$ を満たすならば $\nu(A)<\infty$ である。実際、 $R=A\mathbin{\sqcup}(R\setminus A)$ に有限加法性を適用したとき、 $\nu(A)=\infty$ かつ $\nu(R\setminus A)>-\infty$ ならば $\nu(R)=\infty$ となり、 $\nu(R)<0$ に反する。

各 $k\geq 1$ において、 $R_{k-1}$ と $\beta(R_{k-1})$ から $A_k$ を次のように選び、 $R_k=R_{k-1}\setminus A_k$ と定める。

$\beta(R_{k-1})=0$ ならば、 $A_k=\emptyset$ とする。
$0<\beta(R_{k-1})<\infty$ ならば、 $A_k\in\mathcal{F},\quad A_k\subseteq R_{k-1},\quad \nu(A_k)>\frac{\beta(R_{k-1})}{2}$ を満たす $A_k$ を選ぶ。
$\beta(R_{k-1})=\infty$ ならば、 $A_k\in\mathcal{F},\quad A_k\subseteq R_{k-1},\quad \nu(A_k)>1$ を満たす $A_k$ を選ぶ。

(2)と(3)の場合に候補が存在することは上限の定義から従う。各状態から次の状態を選ぶことができるため、§E1.20 定義 4.2の従属選択公理により、この反復をすべての $k\geq 1$ について行う列が存在する。したがって、集合列 $(A_k)_{k\geq 1}$ は二つずつ交わらず、各 $\nu(A_k)$ は非負の有限値である。

各有限段階で

E=\left(\bigcup_{k=1}^{m}A_k\right)\mathbin{\sqcup}R_m

である。 $\nu(E)<0$ かつ $\sum_{k=1}^{m}\nu(A_k)\geq 0$ であるから、有限加法性により

\nu(R_m) =\nu(E)-\sum_{k=1}^{m}\nu(A_k)<0

である。ここでは有限値だけを引いている。

$A=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$ および $N=E\setminus A$ とおく。したがって、 $A$ と $N$ は可測であり、 $E=A\mathbin{\sqcup}N$ である。可算加法性から

\nu(A)=\sum_{k=1}^{\infty}\nu(A_k)

である。この非負項級数が $\infty$ ならば、 $\nu(N)>-\infty$ と有限加法性から $\nu(E)=\infty$ が従い、 $\nu(E)<0$ に反する。したがって、

\sum_{k=1}^{\infty}\nu(A_k)<\infty.

\text{(3.1.1)}

$N$ が負集合でないと仮定する。すると、可測集合 $B\subseteq N$ と実数 $b>0$ が存在して $\nu(B)=b$ となる。実際、負集合でないことから正の値をもつ可測部分集合が存在し、その部分集合は $E$ に含まれるため、証明の冒頭で示した有限性によって値は実数である。すべての $k$ について $B\subseteq R_{k-1}$ であるため、 $\beta(R_{k-1})\geq b$ である。 $\beta(R_{k-1})$ が有限ならば $\nu(A_k)>b/2$ であり、無限ならば $\nu(A_k)>1$ である。したがって、すべての $k$ について

\nu(A_k)>\min\{b/2,1\}>0

となる。これは式 (3.1.1)に反する。ゆえに $N$ は負集合である。

最後に、 $\nu(A)<\infty$ と $E=A\mathbin{\sqcup}N$ から

\nu(N)=\nu(E)-\nu(A)\leq\nu(E)<0

を得る。この差は二つの有限値の差である。▨

定理 3.2 (Hahn 分解). $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\nu:\mathcal{F}\to[-\infty,\infty]$ を $+\infty$ と $-\infty$ を同時には取らない符号付き測度とする。このとき、互いに交わらない $P,N\in\mathcal{F}$ が存在して、

X=P\mathbin{\sqcup}N

となり、 $P$ は $\nu$ の正集合、 $N$ は $\nu$ の負集合となる。この組 $(P,N)$ を $\nu$ の Hahn 分解 (Hahn decomposition) という。

証明. $\nu$ が $-\infty$ を取らないと仮定し、

\alpha=\inf\{\,\nu(E)\mid E\in\mathcal{F},\ E\text{ は $\nu$ の負集合}\,\}

とおく。空集合は負集合であるから、 $\alpha\in[-\infty,0]$ である。負集合 $V$ とその可測部分集合 $U$ に対して、 $V\setminus U$ も負集合であり、有限加法性から

\nu(V)=\nu(U)+\nu(V\setminus U)\leq\nu(U)

が成り立つ。ここに現れる測度の値はいずれも非正であり、 $-\infty$ を取らないため有限である。

$\alpha=-\infty$ と仮定する。下限の定義により、各 $n\geq 1$ について $\nu(E_n)<-n$ を満たす負集合 $E_n$ を選ぶことができる。この列の選択には、条件を満たす有限列を一項延長する関係に§E1.20 定義 4.2の従属選択公理を適用する。補題 2.2により $V=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$ は負集合であり、上の不等式から $\nu(V)\leq\nu(E_n)<-n$ がすべての $n$ について成り立つ。したがって $\nu(V)=-\infty$ となり、 $\nu$ が $-\infty$ を取らないという仮定に反する。ゆえに $\alpha$ は有限である。

各 $n\geq 1$ について

\nu(E_n)<\alpha+\frac1n

を満たす負集合 $E_n$ を選び、 $N=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$ とおく。この列も、条件を満たす有限列を一項延長する関係へ従属選択公理を適用して得られる。補題 2.2により $N$ は負集合である。下限の定義と $E_n\subseteq N$ から

\alpha\leq\nu(N)\leq\nu(E_n)<\alpha+\frac1n \qquad(n\geq 1)

であるため、 $\nu(N)=\alpha$ を得る。

$P=X\setminus N$ が正集合でないと仮定する。すると、 $\nu(B)<0$ を満たす可測集合 $B\subseteq P$ が存在する。補題 3.1により、負集合 $C\subseteq B$ で $\nu(C)\leq\nu(B)<0$ を満たすものが存在する。集合 $N$ と $C$ は交わらず、その和集合は負集合である。有限加法性により

\nu(N\mathbin{\sqcup}C)=\nu(N)+\nu(C)=\alpha+\nu(C)<\alpha

となるが、これは $\alpha$ がすべての負集合の測度の下限であることに反する。したがって $P$ は正集合であり、 $(P,N)$ は Hahn 分解である。

$\nu$ が $-\infty$ を取る場合は、値域条件により $+\infty$ を取らない。したがって、集合関数 $-\nu$ は $-\infty$ を取らない符号付き測度である。実際、空集合の値は零であり、可算加法性の両辺と各項の符号を反転すると、級数の正の部分と負の部分が交換される。 $-\nu$ に対して上で得た Hahn 分解を $(P',N')$ とすると、 $N'$ は $\nu$ の正集合、 $P'$ は $\nu$ の負集合である。よって $(N',P')$ は $\nu$ の Hahn 分解である。▨

定理 3.3. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\nu$ をその上の符号付き測度とする。このとき、 $(P_1,N_1)$ と $(P_2,N_2)$ が $\nu$ の二つの Hahn 分解ならば、

P_1\mathbin{\triangle}P_2 \quad\text{および}\quad N_1\mathbin{\triangle}N_2

は $\nu$ の零集合である。ここで、 $A\mathbin{\triangle}B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ は対称差である。

証明. $P_1\cap N_2$ は正集合 $P_1$ の可測部分集合であると同時に、負集合 $N_2$ の可測部分集合でもある。補題 2.2により、 $P_1\cap N_2$ は零集合である。集合 $N_1\cap P_2$ は負集合 $N_1$ の可測部分集合であると同時に、正集合 $P_2$ の可測部分集合でもあるから、同じ補題により零集合である。

$X=P_2\mathbin{\sqcup}N_2$ および $X=P_1\mathbin{\sqcup}N_1$ から

P_1\setminus P_2=P_1\cap N_2, \qquad P_2\setminus P_1=P_2\cap N_1

である。したがって、

P_1\mathbin{\triangle}P_2 =(P_1\cap N_2)\cup(P_2\cap N_1)

は零集合の有限和であり、零集合である。 $N_1\mathbin{\triangle}N_2$ についても同じ二つの交差集合の和になるため、零集合である。▨

4 Jordan 分解

定理 4.1 (Jordan 分解). $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\nu$ をその上の符号付き測度とする。このとき、正測度 $\nu^{+},\nu^{-}:\mathcal{F}\to[0,\infty]$ の組で、次の性質を満たすものが一意に存在する。

$\nu^{+}\perp\nu^{-}$ である。
$\nu^{+}$ と $\nu^{-}$ の少なくとも一方は有限測度であり、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して $\nu(A)=\nu^{+}(A)-\nu^{-}(A)$ が成り立つ。右辺に $\infty-\infty$ は生じない。

具体的には、 $(P,N)$ を $\nu$ の任意の Hahn 分解とすると、

\nu^{+}(A)=\nu(A\cap P), \qquad \nu^{-}(A)=-\nu(A\cap N) \qquad(A\in\mathcal{F})

\text{(4.1.1)}

である。この定義は Hahn 分解の選び方に依存しない。また、

\nu^{+}(A) =\sup\{\,\nu(B)\mid B\in\mathcal{F},\ B\subseteq A\,\},

\text{(4.1.2)}

\nu^{-}(A) =\sup\{\,{-\nu(B)}\mid B\in\mathcal{F},\ B\subseteq A\,\}

\text{(4.1.3)}

が成り立つ。

さらに、 $\alpha,\beta$ が正測度であり、任意の $A\in\mathcal{F}$ について $\alpha(A)$ と $\beta(A)$ が同時に $\infty$ にならず、

\nu(A)=\alpha(A)-\beta(A)

\text{(4.1.4)}

を満たすならば、

\nu^{+}(A)\leq\alpha(A), \qquad \nu^{-}(A)\leq\beta(A) \qquad(A\in\mathcal{F})

\text{(4.1.5)}

である。特に、式 (4.1.4)に加えて $\alpha\perp\beta$ が成り立つならば、

\alpha=\nu^{+}, \qquad \beta=\nu^{-}

である。

証明.定理 3.2により Hahn 分解 $(P,N)$ をとる。式 (4.1.1)によって $\nu^+,\nu^-$ を定める。 $P$ 上の値は非負、 $N$ 上の値は非正であり、可算非交和との交差は可算非交和を保つ。 $\nu$ の可算加法性を $P$ と $N$ 上で用いると、両成分は正測度である。 $\nu^+(N)=\nu^-(P)=0$ なので $\nu^+\perp\nu^-$ である。有限加法性を $A=(A\cap P)\sqcup(A\cap N)$ へ適用すると $\nu(A)=\nu^+(A)-\nu^-(A)$ である。 $\nu$ が $-\infty$ をとらなければ $\nu^-(X)=-\nu(N)<\infty$ である。 $-\infty$ をとる場合は $+\infty$ をとらないため $\nu^+(X)=\nu(P)<\infty$ である。したがって差はすべての可測集合で定義される。

任意の可測集合 $B\subseteq A$ に対して

\nu(B)=\nu(B\cap P)+\nu(B\cap N)\leq\nu^+(B)\leq\nu^+(A)

であり、 $B=A\cap P$ で等号を得る。したがって式 (4.1.2)が成り立つ。 $-\nu$ の Hahn 分解 $(N,P)$ に同じ議論を適用すると式 (4.1.3)が成り立つ。両内在式の右辺は $\nu$ と $A$ だけによるため、成分は Hahn 分解の選び方に依存しない。

正測度 $\alpha,\beta$ が式 (4.1.4)を満たすならば、任意の可測集合 $B\subseteq A$ について $\nu(B)\leq\alpha(B)\leq\alpha(A)$ 、 $-\nu(B)\leq\beta(B)\leq\beta(A)$ である。内在式の上限をとると式 (4.1.5)を得る。さらに $\alpha\perp\beta$ ならば、 $\alpha(X\setminus S)=\beta(S)=0$ を満たす可測集合 $S$ をとる。 $S$ の可測部分集合では $\nu=\alpha\geq0$ 、その補集合の可測部分集合では $\nu=-\beta\leq0$ なので $(S,X\setminus S)$ は Hahn 分解である。その制限公式から $\nu^+=\alpha$ 、 $\nu^-=\beta$ である。▨

注意 4.2 (相互特異な差表示の定義可能性). 相互特異な二つの正測度 $\alpha,\beta$ だけを与えても、 $\alpha(X)=\beta(X)=\infty$ ならば $\alpha(X)-\beta(X)$ は定義されない。したがって、正測度の差を符号付き測度として用いるときは、少なくとも一方が有限測度であること、または各可測集合で両者が同時に無限大にならないことを確認する必要がある。

例 4.3.例 1.5の符号付き測度について、

P=\{2,3,4,\dots\}, \qquad N=\{1\}

は Hahn 分解である。したがって、

\begin{align} \nu^{+}(A)&=\lvert A\cap\{2,3,4,\dots\}\rvert,\tag{4.3.1}\\ \nu^{-}(A)&=\mathbf{1}_{\{1\in A\}} \end{align}

である。式 (4.3.1)では集合が無限ならば値を $\infty$ とする。 $\nu^{+}$ は有限測度ではないが、 $\nu^{-}(X)=1$ であるため、 $\nu^{+}-\nu^{-}$ はすべての可測集合で定義される。

5 全変動測度

定義 5.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\nu$ をその上の符号付き測度とする。定理 4.1の Jordan 分解を $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$ とする。正測度

\lvert\nu\rvert=\nu^{+}+\nu^{-}

を $\nu$ の全変動測度 (total variation measure) という。すなわち、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して

\lvert\nu\rvert(A)=\nu^{+}(A)+\nu^{-}(A)

である。

定理 5.2. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\nu$ をその上の符号付き測度とする。このとき、 $\lvert\nu\rvert$ は正測度であり、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して

\lvert\nu\rvert(A) = \sup\left\{ \sum_{i=1}^{m}\lvert\nu(A_i)\rvert \ \middle|\ \begin{array}{l} m\geq 1,\ A_1,\dots,A_m\in\mathcal{F},\\ A=A_1\mathbin{\sqcup}\cdots\mathbin{\sqcup}A_m \end{array} \right\}

\text{(5.2.1)}

が成り立つ。各有限和は $[0,\infty]$ に値をとるものとする。

さらに、 $\lvert\nu\rvert$ は

\lvert\nu(A)\rvert\leq\lambda(A) \qquad(A\in\mathcal{F})

\text{(5.2.2)}

を満たす正測度 $\lambda$ の中で最小である。すなわち、式 (5.2.2)を満たす任意の正測度 $\lambda$ に対して

\lvert\nu\rvert(A)\leq\lambda(A) \qquad(A\in\mathcal{F})

が成り立つ。

証明. $|\nu|=\nu^++\nu^-$ は二正測度の和であるから正測度である。任意の可測集合 $B$ に対して、定義された差に関する $|s-t|\leq s+t$ から

|\nu(B)|\leq\nu^+(B)+\nu^-(B)=|\nu|(B)

\text{(5.2.3)}

である。任意の有限可測分割 $A=\bigsqcup_{i=1}^mA_i$ に対して、この不等式と有限加法性から $\sum_i|\nu(A_i)|\leq|\nu|(A)$ を得る。

Hahn 分解 $(P,N)$ をとる。したがって、 $A\cap P$ と $A\cap N$ による分割について、正集合と負集合上での符号から

|\nu(A\cap P)|+|\nu(A\cap N)|=\nu^+(A)+\nu^-(A)=|\nu|(A)

である。空の成分も含めて $A=(A\cap P)\mathbin{\sqcup}(A\cap N)$ は有限可測分割であるから、有限分割の上限の等式が成り立つ。

正測度 $\lambda$ が式 (5.2.2)を満たすならば、任意の有限可測分割について $\sum_i|\nu(A_i)|\leq\sum_i\lambda(A_i)=\lambda(A)$ である。上限をとると $|\nu|(A)\leq\lambda(A)$ である。▨

定義 5.3. $(X,\mathcal{F})$ 上の符号付き測度 $\nu$ が有限符号付き測度 (finite signed measure) であるとは、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して $\nu(A)\in\R$ が成り立つことをいう。

命題 5.4. $(X,\mathcal{F})$ 上の符号付き測度 $\nu$ について、次の四条件は同値である。

$\nu$ は有限符号付き測度である。
$\nu(X)\in\R$ である。
Jordan の両成分 $\nu^{+}$ と $\nu^{-}$ が有限測度である。
$\lvert\nu\rvert(X)<\infty$ である。

特に、有限符号付き測度の全変動測度は有限測度である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。主張 (1)から主張 (2)は直ちに従う。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。主張 (2)を仮定する。Jordan 分解から

\nu(X)=\nu^{+}(X)-\nu^{-}(X)

であり、 $\nu^{+}(X)$ と $\nu^{-}(X)$ の少なくとも一方は有限である。差が実数であるため、他方も有限でなければならない。したがって、主張 (3)が成り立つ。

(3) $\Rightarrow$ (4)を示す。主張 (3)を仮定すると、

\lvert\nu\rvert(X)=\nu^{+}(X)+\nu^{-}(X)<\infty

であるため、主張 (4)が成り立つ。

(4) $\Rightarrow$ (1)を示す。主張 (4)を仮定する。任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して、式 (5.2.3)と正測度の単調性から

\lvert\nu(A)\rvert\leq\lvert\nu\rvert(A) \leq\lvert\nu\rvert(X)<\infty

である。したがって $\nu(A)\in\R$ であり、主張 (1)が成り立つ。▨

例 4.3では

\lvert\nu\rvert(A)=\lvert A\rvert

であり、全変動は $X$ 上の数え上げ測度である。したがって、この符号付き測度は有限符号付き測度ではない。

例 5.5. $X=[-1,1]$ とし、 $\mathcal{F}$ を $X$ の Lebesgue 可測部分集合全体とする。§E10.16 定理 6.2の一次元 Lebesgue 測度を $\lambda$ と書き、 $A\in\mathcal{F}$ に対して

\alpha(A)=\lambda(A\cap[0,1]),\qquad \beta(A)=\lambda(A\cap[-1,0)),\qquad \nu(A)=\alpha(A)-\beta(A)

と定める。固定した可測集合との共通部分をとる操作は、可算非交和を保つ。したがって、 $\lambda$ の可算加法性から $\alpha$ と $\beta$ は正測度であり、 $\alpha(X)=\beta(X)=1$ である。また、 $\alpha([-1,0))=\beta([0,1])=0$ であるため、 $\alpha\perp\beta$ である。

補題 1.4により $\nu=\alpha-\beta$ は有限符号付き測度である。定理 4.1の一意性により $\nu^{+}=\alpha$ 、 $\nu^{-}=\beta$ であり、

|\nu|(A)=\alpha(A)+\beta(A)=\lambda(A)\qquad(A\in\mathcal{F})

となる。すなわち、 $|\nu|$ は $\lambda$ の $X$ への制限である。

$Z\subseteq X$ を Lebesgue 零集合、 $B\subseteq Z$ を任意の部分集合とする。 Lebesgue 測度の完備性により $B$ と $Z\setminus B$ は可測な零集合である。

P_B=([0,1]\setminus Z)\cup B,\qquad N_B=([-1,0)\setminus Z)\cup(Z\setminus B)

とおくと、両者は可測であり、 $X=P_B\mathbin{\sqcup}N_B$ である。可測集合 $A\subseteq P_B$ に対して $A\cap[-1,0)\subseteq B$ であるから、 $\beta(A)=0$ となり、 $\nu(A)=\alpha(A)\geq0$ である。可測集合 $A\subseteq N_B$ に対して $A\cap[0,1]\subseteq Z\setminus B$ であるから、 $\alpha(A)=0$ となり、 $\nu(A)=-\beta(A)\leq0$ である。したがって、 $(P_B,N_B)$ は Hahn 分解である。

$P_B\cap Z=B$ であるため、 $B$ の選び方が異なれば Hahn 分解も異なる。しかし、どの分解からも Jordan 成分として $\alpha$ と $\beta$ を得る。零集合の配分は Hahn 分解の集合を変えるが、 Jordan の両成分と全変動測度は変えない。

命題 5.6. 可測空間 $(X,\mathcal F)$ 上の符号付き測度 $\nu$ に対して、可測集合の増加列 $A_n\uparrow A$ は $\nu(A_n)\to\nu(A)$ を $[-\infty,\infty]$ において満たす。可測集合の減少列 $A_n\downarrow A$ が $\nu(A_1)\in\R$ を満たすならば、 $\nu(A_n)\to\nu(A)$ である。

証明. 演習とする（問題 7.1 (2)）。▨

命題 5.7. 任意の可測空間 $(X,\mathcal F)$ 上の有限符号付き測度全体 $M(X)$ は、点ごとの和と実数倍に関して実ベクトル空間である。 $\|\nu\|=|\nu|(X)$ はこのベクトル空間上のノルムである。

証明. 演習とする（問題 7.1 (3)）。▨

命題 5.8. 可測空間 $(X,\mathcal F)$ 上の有限正測度 $\alpha,\beta$ に対して、 $\nu=\alpha-\beta$ は有限符号付き測度であり、 $|\nu|\leq\alpha+\beta$ である。また、 $|\nu|(X)=\alpha(X)+\beta(X)$ であることと $\alpha\perp\beta$ は同値である。

証明. 演習とする（問題 7.1 (4)）。▨

6 絶対連続性と特異性

定義 6.1. $(X,\mathcal{F})$ を可測空間とし、 $\nu$ をその上の符号付き測度、 $\mu$ をその上の正測度とする。

$\nu$ が $\mu$ に関して絶対連続 (absolutely continuous) であるとは、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して $\mu(A)=0\quad\Longrightarrow\quad\nu(A)=0$ が成り立つことをいう。この関係を $\nu\ll\mu$ と書く。
$\nu$ が可測集合 $S\in\mathcal{F}$ に集中する (concentrated) とは、 $X\setminus S$ が $\nu$ の零集合であることをいう。
$\nu$ と $\mu$ が相互特異 (mutually singular) であるとは、ある $S\in\mathcal{F}$ が存在して、 $\nu$ が $S$ に集中し、 $\mu(S)=0$ が成り立つことをいう。この関係を $\nu\perp\mu$ と書く。

補題 6.2. $(X,\mathcal{F})$ 上の符号付き測度 $\nu$ と $A\in\mathcal{F}$ について、次の四条件は同値である。

$A$ は $\nu$ の零集合である。
$\lvert\nu\rvert(A)=0$ である。
$\nu^{+}(A)=\nu^{-}(A)=0$ である。
任意の可測集合 $B\subseteq A$ に対して $\lvert\nu(B)\rvert=0$ である。

証明. $|\nu|(A)=\nu^+(A)+\nu^-(A)$ と各成分の非負性により、主張 (2)と主張 (3)は同値である。 $A$ が $\nu$ の零集合ならば Jordan の二つの内在式の上限は零なので両成分の値は零である。逆に $|\nu|(A)=0$ ならば、任意の可測集合 $B\subseteq A$ に対して $|\nu(B)|\leq|\nu|(B)\leq|\nu|(A)=0$ である。したがって $A$ は零集合である。主張 (4)は零集合の定義と同じ条件である。▨

定理 6.3. $(X,\mathcal{F})$ 上の符号付き測度 $\nu$ と正測度 $\mu$ について、次の三条件は同値である。

$\nu\ll\mu$ である。
$\lvert\nu\rvert\ll\mu$ である。
$\nu^{+}\ll\mu$ かつ $\nu^{-}\ll\mu$ である。

証明. $\nu\ll\mu$ とする。 $\mu(A)=0$ を満たす任意の可測集合 $A$ と、任意の可測部分集合 $B\subseteq A$ をとる。正測度の単調性から $0\leq\mu(B)\leq\mu(A)=0$ であり、絶対連続性から $\nu(B)=0$ である。したがって $A$ は $\nu$ の零集合であり、補題 6.2により $|\nu|(A)=0$ である。ゆえに $|\nu|\ll\mu$ である。逆に $|\nu|\ll\mu$ とすると、 $\mu(A)=0$ を満たす任意の可測集合 $A$ について $|\nu(A)|\leq|\nu|(A)=0$ であるから、 $\nu\ll\mu$ である。 $|\nu|=\nu^++\nu^-$ であり各成分は非負なので、 $|\nu|\ll\mu$ と $\nu^+\ll\mu$ かつ $\nu^-\ll\mu$ は同値である。▨

定理 6.4. $(X,\mathcal{F})$ 上の符号付き測度 $\nu$ と正測度 $\mu$ について、次の三条件は同値である。

$\nu\perp\mu$ である。
$\lvert\nu\rvert\perp\mu$ である。
$\nu^{+}\perp\mu$ かつ $\nu^{-}\perp\mu$ である。

証明.補題 6.2により、 $\nu$ が可測集合 $S$ に集中することと $|\nu|(X\setminus S)=0$ は同値である。したがって、 $\mu(S)=0$ を満たすこのような $S$ の存在について、 $\nu\perp\mu$ と $|\nu|\perp\mu$ は同値である。 $|\nu|$ の特異性の支持集合は、 $\nu^+,\nu^-$ の双方の特異性の支持集合でもある。逆に、各成分の支持集合を $S_+,S_-$ とすると、その和集合 $S=S_+\cup S_-$ は $\mu$ -零集合であり、 $\nu^+(X\setminus S)=\nu^-(X\setminus S)=0$ である。したがって $|\nu|(X\setminus S)=0$ となる。▨

定義 6.5. $\nu,\eta$ を $(X,\mathcal{F})$ 上の符号付き測度とする。

\nu\ll\eta \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert\nu\rvert\ll\lvert\eta\rvert,

\nu\perp\eta \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert\nu\rvert\perp\lvert\eta\rvert

によって、二つの符号付き測度の絶対連続性 (absolute continuity) と相互特異性 (mutual singularity) を定義する。この定義では、 $\eta(A)=0$ という相殺だけを $\eta$ の零集合とはみなさない。

例 6.6. $X=\{1,2,3\}$ 、 $\mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$ とし、

\nu=\delta_1-\delta_2, \qquad \mu=\delta_1+\delta_2, \qquad \lambda=\delta_3

とする。このとき、Jordan 分解は $\nu^{+}=\delta_1$ 、 $\nu^{-}=\delta_2$ であり、 $\lvert\nu\rvert=\delta_1+\delta_2=\mu$ である。したがって、定理 6.3により $\nu\ll\mu$ である。

$\lvert\nu\rvert$ は $\{1,2\}$ に集中し、 $\lambda(\{1,2\})=0$ であるため、定理 6.4により $\nu\perp\lambda$ である。

7 演習

問題 7.1. 各問では、定義を展開し、用いる可算加法性の和が定義される理由も述べよ。

例 2.3の符号付き測度について、すべての Hahn 分解を求め、どの二つの Hahn 分解についても正集合側の対称差が零集合になることを直接確認せよ。
命題 5.6の証明を完成させよ。 $\nu$ を符号付き測度とする。可測集合の減少列 $(A_n)_{n\geq1}$ が $\nu(A_1)\in\R$ を満たすならば $\nu(\bigcap_nA_n)=\lim_{n\to\infty}\nu(A_n)$ であることを証明し、 $\nu(A_1)\in\R$ の仮定を外すとこの等式が成り立たない例を与えよ。
命題 5.7の証明を完成させよ。
命題 5.8の証明を完成させよ。
$X=\NN$ とし、 $\nu(A)=\sum_{n\in A}(-1)^n2^{-n}$ と定める。この級数がどの $A\subseteq X$ についても絶対収束することから、 $\nu$ が有限符号付き測度であることを証明せよ。Hahn 分解、Jordan の両成分、および $\lvert\nu\rvert(X)$ を求め、定理 5.2の二項分割で上限が達成されることを確認せよ。
$X=\{1,2,3\}$ 、 $\mathcal F=\mathcal P(X)$ とし、 $\nu=\delta_1-\delta_2$ 、 $\mu_1=\delta_1+\delta_2$ 、 $\mu_2=\delta_3$ とする。定理 6.3を用いて $\nu\ll\mu_1$ と $|\nu|\ll\mu_1$ を判定せよ。また、 $\nu\ll\mu_2$ が成り立たないことを具体的な可測集合によって示し、 $\nu(X)=0$ でも $X$ が $\nu$ の零集合ではないことを確認せよ。

解答.

(1)について、正集合 $P$ は点 $2$ を含まない。実際、 $2\in P$ ならば $\nu(\{2\})=-1$ が正集合の定義に反する。同じく、負集合 $N$ は $\nu(\{1\})=1$ であるため点 $1$ を含まない。 $X=P\mathbin{\sqcup}N$ から $P=\{1\}$ 、 $N=\{2\}$ に限られ、この組は実際に Hahn 分解である。したがって、二つの Hahn 分解の正集合側の対称差は空集合であり、零集合である。 $\nu$ の値は $-1,0,1$ のいずれかの有限値であり、互いに交わらない集合列で値が $0$ でない項は高々二つであるから、可算加法性の和はどの列についても有限個の有限値の和として定義される。

(2)について、定理 4.1により $\nu=\nu^{+}-\nu^{-}$ と書くと、 $\nu^{+}$ と $\nu^{-}$ の少なくとも一方は有限測度である。 $\nu^{-}$ は有限測度であるとする。 $\nu^{+}$ が有限である場合は、 $-\nu$ に同じ議論を適用すればよい。増加列 $(A_n)$ と $A=\bigcup_nA_n$ について、§E10.8 定理 4.1 (1)により $\nu^{+}(A_n)\uparrow\nu^{+}(A)$ 、 $\nu^{-}(A_n)\uparrow\nu^{-}(A)\leq\nu^{-}(X)<\infty$ である。 $\nu^{+}(A)<\infty$ ならば、二つの実数列の差の極限として $\nu(A_n)\to\nu^{+}(A)-\nu^{-}(A)=\nu(A)$ である。 $\nu^{+}(A)=\infty$ ならば、 $\nu(A_n)\geq\nu^{+}(A_n)-\nu^{-}(X)\to\infty$ であるから $\nu(A_n)\to\infty=\nu(A)$ である。各差 $\nu^{+}(A_n)-\nu^{-}(A_n)$ は引く値が有限であるから定義される。

減少列 $(A_n)$ が $\nu(A_1)\in\R$ を満たすとし、 $(P,N)$ を Hahn 分解とする。 $\nu(A_1)=\nu(A_1\cap P)+\nu(A_1\cap N)$ の第一項は $[0,\infty]$ 、第二項は $[-\infty,0]$ に属し、和が実数であるから、両項とも有限である。ゆえに式 (4.1.1)により $\nu^{+}(A_1)$ と $\nu^{-}(A_1)$ は有限である。§E10.8 定理 4.1 (2)を $\nu^{+}$ と $\nu^{-}$ に適用すると、 $B=\bigcap_nA_n$ について $\nu^{\pm}(A_n)\downarrow\nu^{\pm}(B)$ であり、実数列の差として $\nu(A_n)\to\nu^{+}(B)-\nu^{-}(B)=\nu(B)$ を得る。

仮定を外した例として、 $\NN$ 上の数え上げ測度 $\kappa$ （正測度であるから符号付き測度である）と $A_n=\{n,n+1,\dots\}$ をとる。 $\kappa(A_n)=\infty$ がすべての $n$ について成り立つが、 $\bigcap_nA_n=\emptyset$ であり $\kappa(\emptyset)=0$ である。

(3)について、 $\nu\in M(X)$ ならば命題 5.4により $\lvert\nu\rvert(X)<\infty$ であり、式 (5.2.3)により、互いに交わらない可測集合列 $(A_n)$ について $\sum_n\lvert\nu(A_n)\rvert\leq\sum_n\lvert\nu\rvert(A_n)\leq\lvert\nu\rvert(X)<\infty$ である。したがって、 $\nu_1,\nu_2\in M(X)$ について級数 $\sum_n(\nu_1(A_n)+\nu_2(A_n))$ と $\sum_nc\nu_1(A_n)$ は絶対収束し、定義 1.1の和は通常の絶対収束級数の和に一致する。絶対収束級数の和の線形性から

(\nu_1+\nu_2)\Bigl(\bigcup_nA_n\Bigr)=\sum_n\nu_1(A_n)+\sum_n\nu_2(A_n)=\sum_n(\nu_1+\nu_2)(A_n)

であり、 $c\nu_1$ についても同様である。空集合での値は $0$ であり、値はすべて実数であるから、 $\nu_1+\nu_2,c\nu_1\in M(X)$ である。

$\lVert\nu\rVert\in[0,\infty)$ である。 $\lVert\nu\rVert=0$ ならば、任意の $A$ について $\lvert\nu(A)\rvert\leq\lvert\nu\rvert(A)\leq\lvert\nu\rvert(X)=0$ であるから $\nu=0$ である。有限可測分割 $X=A_1\sqcup\dots\sqcup A_m$ について

\sum_i\lvert c\nu(A_i)\rvert=\lvert c\rvert\sum_i\lvert\nu(A_i)\rvert, \qquad \sum_i\lvert(\nu_1+\nu_2)(A_i)\rvert\leq\sum_i\lvert\nu_1(A_i)\rvert+\sum_i\lvert\nu_2(A_i)\rvert

である。分割について上限をとると、式 (5.2.1)により $\lVert c\nu\rVert=\lvert c\rvert\lVert\nu\rVert$ と $\lVert\nu_1+\nu_2\rVert\leq\lVert\nu_1\rVert+\lVert\nu_2\rVert$ を得る。したがって $\lVert\cdot\rVert$ は $M(X)$ 上のノルムである。

(4)について、補題 1.4により $\nu=\alpha-\beta$ は有限符号付き測度である。式 (4.1.5)により $\nu^{+}\leq\alpha$ かつ $\nu^{-}\leq\beta$ であるから、 $\lvert\nu\rvert=\nu^{+}+\nu^{-}\leq\alpha+\beta$ である。

$\alpha\perp\beta$ ならば、定理 4.1により $\nu^{+}=\alpha$ 、 $\nu^{-}=\beta$ であるから $\lvert\nu\rvert(X)=\alpha(X)+\beta(X)$ である。逆に $\lvert\nu\rvert(X)=\alpha(X)+\beta(X)$ とする。 $\nu^{+}(X)$ 、 $\nu^{-}(X)$ 、 $\alpha(X)$ 、 $\beta(X)$ の四つの値は有限である。 $\nu^{+}(X)\leq\alpha(X)$ 、 $\nu^{-}(X)\leq\beta(X)$ と $\nu^{+}(X)+\nu^{-}(X)=\alpha(X)+\beta(X)$ が成り立つので、 $\nu^{+}(X)=\alpha(X)$ かつ $\nu^{-}(X)=\beta(X)$ である。任意の $A\in\mathcal{F}$ について、 $\alpha(A)-\nu^{+}(A)\geq0$ と $\alpha(X\setminus A)-\nu^{+}(X\setminus A)\geq0$ の和は $\alpha(X)-\nu^{+}(X)=0$ であるから、 $\nu^{+}(A)=\alpha(A)$ である。同様に $\nu^{-}=\beta$ である。定理 4.1 (1)により $\nu^{+}\perp\nu^{-}$ であるから、 $\alpha\perp\beta$ である。ここで用いた差はすべて有限値どうしの差である。

(5)について、任意の $A\subseteq\NN$ に対して $\sum_{n\in A}|(-1)^n2^{-n}|\leq\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}=1$ であるため、 $\nu(A)$ は有限に定まる。互いに交わらない集合列 $(A_j)_{j\geq1}$ について、各整数 $n$ は高々一つの $A_j$ に属する。したがって $\sum_j\sum_{n\in A_j}2^{-n}\leq1$ であり、絶対収束級数を括り直すと

\nu\left(\bigcup_jA_j\right) =\sum_{n\in\bigcup_j A_j}(-1)^n2^{-n} =\sum_j\sum_{n\in A_j}(-1)^n2^{-n} =\sum_j\nu(A_j)

を得る。右辺も絶対収束し、 $\nu(\emptyset)=0$ であるから、 $\nu$ は有限符号付き測度である。偶数全体を $P$ 、奇数全体を $N$ とすると、 $P$ の各部分集合の値は非負、 $N$ の各部分集合の値は非正である。よって $(P,N)$ は Hahn 分解であり、

\nu^{+}(A)=\sum_{n\in A\cap P}2^{-n},\qquad \nu^{-}(A)=\sum_{n\in A\cap N}2^{-n},\qquad |\nu|(A)=\sum_{n\in A}2^{-n}

となる。特に $\nu^{+}(X)=1/3$ 、 $\nu^{-}(X)=2/3$ 、 $|\nu|(X)=1$ である。任意の集合 $A\subseteq X$ について、空成分も含めた $A=(A\cap P)\mathbin{\sqcup}(A\cap N)$ は有限可測分割であり、

|\nu(A\cap P)|+|\nu(A\cap N)| =\nu^{+}(A)+\nu^{-}(A)=|\nu|(A)

を満たすため、有限可測分割に関する上限を達成する。

(6)について、Jordan 分解は $\nu^+=\delta_1$ 、 $\nu^-=\delta_2$ であるから、 $|\nu|=\delta_1+\delta_2=\mu_1$ である。したがって $|\nu|\ll\mu_1$ であり、定理 6.3により $\nu\ll\mu_1$ である。一方、 $\mu_2(\{1\})=0$ かつ $\nu(\{1\})=1$ であるから、 $\nu\ll\mu_2$ は成り立たない。また、 $\nu(X)=1-1=0$ であるが、可測部分集合 $\{1\}\subseteq X$ で $\nu(\{1\})=1$ であるから、 $X$ は $\nu$ の零集合ではない。▨

§E10.26符号付き測度

1 符号付き測度の値域と可算和

2 正集合、負集合、零集合

3 Hahn 分解

4 Jordan 分解

5 全変動測度

6 絶対連続性と特異性

7 演習

参考文献

前提記事