§E10.6可測空間

証明.$x\in A_i$では$\sum_j c_j\mathbf1_{A_j}(x)=c_i=s(x)$である。値の逆像は互いに交わらず、和集合が$X$であるため、最初の表示を得る。逆向きでは、各$x$に対して値は$\{\sum_{j\in J}a_j\mid J\subseteq\{1,\ldots,m\}\}$に属する。この集合は有限である。▨

証明. 写像$x\mapsto(s(x),t(x))$の像は有限集合$s(X)\times t(X)$に含まれる。その像へ加法・乗法・最小値・最大値を適用しても像は有限であり、$s$の像へ絶対値を適用しても像は有限である。指示関数の等式は、$x$が$A$と$B$に属するかどうかの四場合で各辺を評価して得る。▨

証明.$\emptyset=X\setminus X\in\mathcal A$である。$A,B\in\mathcal A$に対して、$A\cap B=X\setminus((X\setminus A)\cup(X\setminus B))\in\mathcal A$であり、$A\setminus B=A\cap(X\setminus B)\in\mathcal A$である。有限共通部分に対する閉性は、二集合の共通部分について得られた閉性を反復することによって従う。空の共通部分は$X$であり、$X\in\mathcal A$である。▨

証明.$A,B\in\mathcal F$とし、$A_{2n-1}=A$、$A_{2n}=B$と定める。このとき、可算和に対する閉性から

である。$X\in\mathcal F$であり、$\mathcal F$は補集合と二集合の和集合に対して閉じているので、$\mathcal F$は集合代数である。したがって、補題 2.3により、$\mathcal F$は空集合を含み、有限共通部分と差集合に対して閉じている。また、二集合の和集合に対する閉性を反復すれば、有限和に対する閉性を得る。空の和集合は$\emptyset$、空の共通部分は$X$であり、ともに$\mathcal F$に属する。

$A_n\in\mathcal{F}$がすべての$n\geq 1$について成り立つとする。各$X\setminus A_n$は$\mathcal{F}$に属するので、可算和に対する閉性とド・モルガン則§E1.2 定理 3.2により、

である。▨

証明.$\mathcal{P}(X)$は$\mathcal{G}$を含む σ-加法族であるから、右辺で共通部分をとる集合族は空でない。その集合族を$\mathfrak{S}$とし、$\mathcal{F}_0=\bigcap_{\mathcal{F}\in\mathfrak{S}}\mathcal{F}$とおく。

すべての$\mathcal{F}\in\mathfrak{S}$が$X$を含むので、$X\in\mathcal{F}_0$である。$A\in\mathcal{F}_0$ならば、すべての$\mathcal{F}\in\mathfrak{S}$に対して$A\in\mathcal{F}$である。各$\mathcal{F}$の補集合に対する閉性から、$X\setminus A\in\mathcal{F}$がすべての$\mathcal{F}\in\mathfrak{S}$について成り立つ。したがって、$X\setminus A\in\mathcal{F}_0$である。

各$A_n$が$\mathcal{F}_0$に属するならば、各$\mathcal{F}\in\mathfrak{S}$はすべての$A_n$を含む。各$\mathcal{F}$の可算和に対する閉性から、$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}$がすべての$\mathcal{F}\in\mathfrak{S}$について成り立つ。したがって、$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal{F}_0$である。以上により、$\mathcal{F}_0$は σ-加法族である。

すべての$\mathcal{F}\in\mathfrak{S}$が$\mathcal{G}$を含むので、$\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}_0$である。また、$\mathcal{F}_0$は$\mathfrak{S}$のすべての元に含まれる。したがって、$\mathcal{F}_0$は$\mathcal{G}$を含む最小の σ-加法族であり、最小性から一意である。▨

証明. 必要性は$\mathcal H\subseteq\mathcal G$から従う。逆に、任意の$H\in\mathcal H$に対して$f^{-1}(H)\in\mathcal F$が成り立つとする。

とおく。逆像は全体集合、補集合および可算和を保つので、$\mathcal D$は$Y$上の σ-加法族である。仮定から$\mathcal H\subseteq\mathcal D$であり、命題 4.1により$\mathcal G=\sigma(\mathcal H)\subseteq\mathcal D$である。したがって、任意の$B\in\mathcal G$に対して$f^{-1}(B)\in\mathcal F$である。▨

証明.$\mathcal C\subseteq\mathcal B(X)$と生成 σ-加法族の最小性から、$\sigma(\mathcal C)\subseteq\mathcal B(X)$である。各開集合は$\mathcal C$の高々可算部分族の和集合であり、$\sigma(\mathcal C)$は空集合を含み、有限和と可算和に対して閉じているので、すべての開集合を含む。したがって、生成 σ-加法族の最小性から$\mathcal B(X)\subseteq\sigma(\mathcal C)$である。

$\mathcal C$が高々可算な開基ならば、各元は Borel 集合であり、各開集合は$\mathcal C$の部分族の和集合である。§E1.18 補題 3.4により各部分族は高々可算であるから、$\mathcal C$は補題の仮定を満たす。▨

証明.§E1.18 定理 4.1 (2)と§E1.18 定理 5.2 (1)により$\Q^{2d}$は高々可算である。端点の組から開箱を作る写像に§E1.18 補題 3.4と§E1.18 補題 3.5を適用すると、$\mathcal I_{\Q}^{(d)}$は高々可算である。また、$\mathcal I_{\Q}^{(d)}$は相異なる開箱$(0,n)^d$（$n\in\NN$）を含むので無限であり、§E1.18 定理 3.3 (2)により可算である。

$I=\prod_{j=1}^d(p_j,q_j)\in\mathcal I_{\Q}^{(d)}$と$x\in I$をとり、$\delta=\min_{1\leq j\leq d}\{x_j-p_j,q_j-x_j\}>0$とおく。$\|y-x\|<\delta$ならば各$j$について$|y_j-x_j|<\delta$であるから、$y\in I$である。したがって、各$I\in\mathcal I_{\Q}^{(d)}$は開集合である。

$U\subseteq\R^d$を開集合とし、$x\in U$とする。このとき、$B(x,\varepsilon)\subseteq U$を満たす$\varepsilon>0$が存在する。§D1.4 系 2.2の有理数の稠密性により、各$1\leq j\leq d$について

を満たす有理数$p_j,q_j$をとることができる。$I=\prod_{j=1}^d(p_j,q_j)$とおくと、$x\in I$であり、$y\in I$に対して

である。したがって、$x\in I\subseteq B(x,\varepsilon)\subseteq U$である。§E2.13 命題 1.2により$\mathcal I_{\Q}^{(d)}$は開基である。開集合を表す部分族は§E1.18 補題 3.4により高々可算であり、補題 5.2により$\mathcal B(\R^d)=\sigma(\mathcal I_{\Q}^{(d)})$である。▨

証明.補題 5.3を$d=1$に適用すると、有理端点開区間の全体$\mathcal I_{\Q}^{(1)}$は$\mathcal B(\R)$を生成する。$\mathcal I_{\Q}^{(1)}\subseteq\mathcal I\subseteq\mathcal B(\R)$と生成 σ-加法族の最小性から、$\sigma(\mathcal I)=\mathcal B(\R)$である。また、各$(-\infty,a]$は閉集合であるから、

である。

有理数$p<q$をとる。有理数の稠密性により、

が成り立つ。実際、右辺の各集合は$(p,q)$に含まれ、$p<x<q$に対しては$x<r<q$を満たす有理数$r$が存在する。各差集合は$\sigma(\mathcal H_{\Q})$に属し、添字集合は高々可算であるから、$(p,q)\in\sigma(\mathcal H_{\Q})$である。したがって、$\mathcal I_{\Q}^{(1)}\subseteq\sigma(\mathcal H_{\Q})$であり、生成 σ-加法族の最小性から$\mathcal B(\R)\subseteq\sigma(\mathcal H_{\Q})$を得る。▨