§E12.2コンパクト作用素

証明.$d=\dim V$とする。$d=0$ならば$V=\{0\}$であり、点列自体が$0$へ収束する。$d\ge1$とし、$V$の基底$v_1,\dots,v_d$をとる。$\bigl\lVert\sum_{j=1}^da_jv_j\bigr\rVert_1=\sum_{j=1}^d\lvert a_j\rvert$は$V$上のノルムであるから、§E10.1 命題 2.2により、ある$c,C>0$がすべての$x\in V$について$c\lVert x\rVert_1\le\lVert x\rVert\le C\lVert x\rVert_1$を満たす。$(x_n)$を、ある$M\ge0$についてすべての$n$で$\lVert x_n\rVert\le M$を満たす$V$の点列とし、$x_n=\sum_{j=1}^da_j^{(n)}v_j$と表す。すべての$n$と$j$について$\lvert a_j^{(n)}\rvert\le\lVert x_n\rVert_1\le c^{-1}M$であるから、§E10.1 補題 2.1により、部分列$(x_{n_k})$と$a_1,\dots,a_d\in\mathbb K$が存在して、各$j$について$a_j^{(n_k)}\to a_j$$(k\to\infty)$となる。$x=\sum_{j=1}^da_jv_j$とおくと

である。▨

証明.$B_X=\{x\in X:\lVert x\rVert\le1\}$、$C=\tpcl{T(B_X)}$とおく。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$(x_n)$を$X$の有界な点列とし、すべての$n$について$\lVert x_n\rVert\le M$を満たす$M>0$をとる。$M^{-1}x_n\in B_X$であるから$(T(M^{-1}x_n))$はコンパクト距離空間$C$の点列であり、§E2.9 定理 3.1 (1)$\Leftrightarrow$(2)により、ある$y\in C$へ収束する部分列$(T(M^{-1}x_{n_k}))$をもつ。このとき$Tx_{n_k}\to My$である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$(y_n)$を$C$の点列とする。§E2.2 命題 2.6により、各$n$について$\lVert Tx_n-y_n\rVert<1/n$を満たす$x_n\in B_X$が存在する。$(x_n)$は有界であるから、仮定により、部分列$(x_{n_k})$と$y\in Y$が存在して$Tx_{n_k}\to y$となる。$\lVert y_{n_k}-y\rVert\le1/n_k+\lVert Tx_{n_k}-y\rVert\to0$であり、$C$は閉集合であるから$y\in C$である。したがって$C$は点列コンパクトであり、§E2.9 定理 3.1 (1)$\Leftrightarrow$(2)により$C$はコンパクトである。▨

証明.$(x_n)$を$X$の有界な点列とし、すべての$n$について$\lVert x_n\rVert\le M$とする。$(Tx_n)$は$\im T$の点列で$\lVert Tx_n\rVert\le\lVert T\rVert M$を満たす。$\im T$に$Y$のノルムを制限したものは有限次元ノルム空間であるから、補題 1.2により$(Tx_n)$は$\im T$の点へ収束する部分列をもつ。命題 1.3 (1)$\Leftrightarrow$(2)により$T$はコンパクトである。▨

証明.$(w_n)$を$W$の有界な点列とする。$\lVert Bw_n\rVert\le\lVert B\rVert\lVert w_n\rVert$であるから$(Bw_n)$は$X$の有界な点列であり、命題 1.3 (1)$\Leftrightarrow$(2)により、部分列$(w_{n_k})$と$y\in Y$が存在して$KBw_{n_k}\to y$となる。$A$は連続であるから$AKBw_{n_k}\to Ay$であり、命題 1.3 (1)$\Leftrightarrow$(2)により$AKB$はコンパクトである。$B=I_X$、$A=I_Y$とおくと後半を得る。▨

証明.$B_X=\{x\in X:\lVert x\rVert\le1\}$とし、$\varepsilon>0$をとって、$\lVert T_n-T\rVert<\varepsilon/3$を満たす$n$を一つ固定する。$\tpcl{T_n(B_X)}$はコンパクトであるから§E2.9 系 3.3により全有界であり、§E2.8 命題 3.1によりその部分集合$T_n(B_X)$も全有界である。したがって、有限個の$x_1,\dots,x_m\in B_X$が存在して、任意の$x\in B_X$についてある$i$が$\lVert T_nx-T_nx_i\rVert<\varepsilon/3$を満たす。このとき

であり、$Tx_1,\dots,Tx_m\in T(B_X)$である。$\varepsilon>0$は任意であったから$T(B_X)$は全有界である。$Y$は完備であるから、§E2.31 補題 4.2により$\tpcl{T(B_X)}$はコンパクトである。▨

証明.主張 (1)を示す。零作用素は有限階数作用素であるから、命題 1.4によりコンパクトである。$S,T\in\mathcal K(X,Y)$、$\alpha\in\mathbb K$とし、$(x_n)$を$X$の有界な点列とする。命題 1.3 (1)$\Leftrightarrow$(2)により$(Sx_n)$は収束する部分列$(Sx_{n_k})$をもち、同じ命題を有界な点列$(x_{n_k})$に適用すると$(Tx_{n_k})$は収束する部分列$(Tx_{n_{k_l}})$をもつ。このとき$((S+\alpha T)x_{n_{k_l}})$は収束するから、命題 1.3 (1)$\Leftrightarrow$(2)により$S+\alpha T\in\mathcal K(X,Y)$である。

主張 (2)を示す。$\mathcal K(X,Y)$の点列$(T_n)$が$T\in B(X,Y)$へ作用素ノルムで収束するならば、命題 1.6により$T\in\mathcal K(X,Y)$である。

主張 (3)を示す。主張 (1)と主張 (2)を$Y=X$に適用すると、$\mathcal K(X)$は$B(X)$の閉線形部分空間である。命題 1.5により$AKB\in\mathcal K(X)$である。▨

証明.§E12.1 例 2.8により$D$の有界性とノルム公式を得る。$\lambda_n\to0$とし、$m\ge1$について$D_mx=(\lambda_1x_1,\dots,\lambda_mx_m,0,0,\dots)$とおく。各$D_m$は有限階数作用素であり、

であるから、命題 1.4と命題 1.6により$D$はコンパクトである。

$\lambda_n\to0$でないとする。ある$\varepsilon>0$と狭義増加列$(n_k)_{k\ge1}$が存在して、すべての$k\ge1$について$\lvert\lambda_{n_k}\rvert\ge\varepsilon$となる。$(e_n)$を$\ell^2$の標準基底とすると、$k\ne l$について

であるから、有界な点列$(e_{n_k})$の像$(De_{n_k})$は収束する部分列をもたない。命題 1.3 (1)$\Leftrightarrow$(2)により$D$はコンパクトでない。▨

証明.$a$と$b$の代表元をとる。射影$(x,y)\mapsto x$と$(x,y)\mapsto y$は$\Sigma_1\otimes\Sigma_2$可測であるから、$(x,y)\mapsto a(x)b(y)$は$\Sigma_1\otimes\Sigma_2$可測であり、§E10.19 定理 2.3により

である。$a'$が$\mu$-零集合$Z$の外で$a$と一致する代表元ならば、$a(x)b(y)$と$a'(x)b(y)$は$Z\times\Omega_2$の外で一致し、§E10.15 定理 5.1により$\rho(Z\times\Omega_2)=\mu(Z)\nu(\Omega_2)=0$である。$b'$が$\nu$-零集合$Z'$の外で$b$と一致する代表元ならば、$a(x)b(y)$と$a(x)b'(y)$は$\Omega_1\times Z'$の外で一致し、$\rho(\Omega_1\times Z')=0$である。

主張の有限和の類の全体を$\mathcal D$とする。二つの有限和の和は有限和であり、有限和のスカラー倍は$a_j$をスカラー倍した有限和であるから、$\mathcal D$は$L^2(\rho)$の線形部分空間であり、その閉包$\tpcl{\mathcal D}$は閉線形部分空間である。$E\in\Sigma_1\otimes\Sigma_2$が$\rho(E)<\infty$を満たすとし、$\varepsilon>0$をとる。§E10.15 命題 6.2により、互いに交わらない可測長方形$A_1\times B_1,\dots,A_m\times B_m$で$\mu(A_j)<\infty$かつ$\nu(B_j)<\infty$を満たすものが存在し、それらの和集合$R$について$\rho(E\mathbin\triangle R)<\varepsilon^2$となる。$\mathbf 1_R(x,y)=\sum_{j=1}^m\mathbf 1_{A_j}(x)\mathbf 1_{B_j}(y)$であり、$\mathbf 1_{A_j}\in L^2(\mu)$、$\mathbf 1_{B_j}\in L^2(\nu)$であるから、$\mathbf 1_R$の類は$\mathcal D$に属する。

であるから、$\mathbf 1_E$の類は$\tpcl{\mathcal D}$に属する。$s$を、その類が$L^2(\rho)$に属する$\mathbb K$値単関数とすると、§E10.23 補題 2.3により$s=\sum_{j=1}^lc_j\mathbf 1_{E_j}$（$c_j\in\mathbb K$、$\rho(E_j)<\infty$）と表されるから、$s$の類は$\tpcl{\mathcal D}$に属する。§E10.23 定理 2.2により$\tpcl{\mathcal D}=L^2(\rho)$である。▨

証明.補題 2.1を$(\Omega_1,\Sigma_1,\mu)=(\Omega_2,\Sigma_2,\nu)=(\Omega,\Sigma,\mu)$として適用する。▨

証明.$\rho=\mu\otimes\nu$とおく。非負可測関数$\lvert K\rvert^2$に§E10.19 定理 2.3を適用すると、$k(x)=\int_{\Omega_2}\lvert K(x,y)\rvert^2\,d\nu(y)$で定まる$k\colon\Omega_1\to[0,\infty]$は$\Sigma_1$可測であり、$\int_{\Omega_1}k\,d\mu=\lVert K\rVert_{L^2(\rho)}^2<\infty$を満たす。§E10.19 系 3.1により、$N_K=\{x\in\Omega_1:k(x)=\infty\}$は$\mu$-零集合である。

$f$を$L^2(\nu)$の元の代表元とし、$x\in\Omega_1\setminus N_K$とする。§E10.19 補題 2.1により$y\mapsto K(x,y)$は$\Sigma_2$可測であり、その二乗積分は$k(x)<\infty$であるから、§E10.22 定理 4.2を$p=q=2$として適用すると

を得る。$g(x,y)=K(x,y)f(y)$は$\Sigma_1\otimes\Sigma_2$可測である。$g$の実部の正の部分と負の部分を$g_1,g_2$、虚部の正の部分と負の部分を$g_3,g_4$とすると$g=g_1-g_2+i(g_3-g_4)$であり（$\mathbb K=\R$のとき$g_3=g_4=0$）、§E10.19 定理 2.3により、$l=1,2,3,4$について$G_l(x)=\int_{\Omega_2}g_l(x,y)\,d\nu(y)$は$\Sigma_1$可測な$[0,\infty]$値関数である。$x\notin N_K$では$G_l(x)\le\int_{\Omega_2}\lvert g(x,y)\rvert\,d\nu(y)<\infty$であるから、$x\notin N_K$で$G_1(x)-G_2(x)+i(G_3(x)-G_4(x))$、$x\in N_K$で$0$をとる関数は$\Sigma_1$可測であり、$x\notin N_K$では$(T_Kf)(x)$に等しい。上の評価により、この関数の絶対値の二乗は$k(x)\lVert f\rVert_{L^2(\nu)}^2$以下であり、$\mu$について積分すると

を得る。$f'$が$f$と$\nu$-ほとんど至る所で一致する代表元ならば、各$x\notin N_K$で$K(x,\cdot)f$と$K(x,\cdot)f'$は$\nu$-ほとんど至る所で一致するから、$(T_Kf)(x)=(T_Kf')(x)$である。各$x\notin N_K$で積分は$f$について線形であるから、$T_K$は$L^2(\nu)$から$L^2(\mu)$への線形写像であり、$T_K\in B(L^2(\nu),L^2(\mu))$、$\lVert T_K\rVert\le\lVert K\rVert_{L^2(\rho)}$である。

$K'\colon\Omega_1\times\Omega_2\to\mathbb K$も$\Sigma_1\otimes\Sigma_2$可測で$\int\lvert K'\rvert^2\,d\rho<\infty$を満たすとし、$N_{K'}=\{x:\int_{\Omega_2}\lvert K'(x,y)\rvert^2\,d\nu(y)=\infty\}$とおく。$x\notin N_K\cup N_{K'}$では$\int_{\Omega_2}\lvert K(x,y)-K'(x,y)\rvert^2\,d\nu(y)<\infty$であり、積分の線形性により$(T_Kf)(x)-(T_{K'}f)(x)=(T_{K-K'}f)(x)$である。$N_K\cup N_{K'}$は$\mu$-零集合であるから、前段の評価を$K-K'$に適用して

を得る。特に$K'$が$K$と$\rho$-ほとんど至る所で一致するならば$T_{K'}=T_K$である。

$K(x,y)=\sum_{j=1}^Na_j(x)b_j(y)$（$a_j\in L^2(\mu)$、$b_j\in L^2(\nu)$の代表元）の場合、§E10.22 定理 4.2により各$b_jf$は$\nu$について可積分であり、$x\notin N_K$で

であるから、$\im T_K$は$a_1,\dots,a_N$の類が張る有限次元部分空間に含まれる。この場合$T_K$は有限階数作用素であり、命題 1.4によりコンパクトである。一般の$K$については、補題 2.1により、この形の関数$K_n$で$\lVert K-K_n\rVert_{L^2(\rho)}\to0$を満たすものが存在する。$\lVert T_K-T_{K'}\rVert\le\lVert K-K'\rVert_{L^2(\rho)}$を$K'=K_n$に適用すると$\lVert T_K-T_{K_n}\rVert\to0$であり、§E10.13 定理 2.2により$L^2(\mu)$は Banach 空間であるから、命題 1.6により$T_K$はコンパクトである。$(\Omega_2,\Sigma_2,\nu)=(\Omega_1,\Sigma_1,\mu)$とおくと最後の主張を得る。▨

証明.$f\in L^2(\nu)$の可測代表元を取る。各$x\in X$について、Cauchy–Schwarz の不等式から

である。代表元を替えても各切り口の積分は変わらず、積分は$f$について線形である。

$x_0\in X$と$\varepsilon>0$を取る。各$y\in Y$に対して、$K$の連続性により$x_0$の近傍$U_y$と$y$の近傍$V_y$を、$x\in U_y$、$z\in V_y$ならば

となるように取る。$Y$を覆う有限個の$V_y$を選び、対応する$U_y$の共通部分を$U$とすると、$x\in U$について$\|K(x,\cdot)-K(x_0,\cdot)\|_\infty\leq\varepsilon$である。したがって、

から$T_Kf$は連続であり、最初の評価から$T_K$の有界性が従う。さらに$\|q_\mu h\|_2\leq\mu(X)^{1/2}\|h\|_\infty$なので、$S_K$のノルム評価を得る。

$a\in C(X,\C)$、$b\in C(Y,\C)$による関数$a(x)b(y)$の有限和全体は、定数を含み、複素共役について閉じた$C(X\times Y,\C)$の部分代数である。§E2.19 系 6.12により各因子の連続関数は点を分離するので、この部分代数も$X\times Y$の点を分離する。§E2.32 系 3.5により、$K$を一様近似する有限和

が存在する。$\mathbb K=\R$の場合は近似の実部を取る。$\Re(ab)=(\Re a)(\Re b)-(\Im a)(\Im b)$なので、この場合も実数値の分離変数の有限和となる。

$S_{K_n}f=\sum_j(\int_Yb_{n,j}f\,d\nu)q_\mu(a_{n,j})$であるから、$S_{K_n}$は有限階数作用素である。また、上のノルム評価を$K-K_n$に適用すると

である。命題 1.4と命題 1.6により、$S_K$はコンパクトである。▨

証明.$x_0\in X\setminus M$をとり、$d=\operatorname{dist}(x_0,M)$とおく。$d=0$ならば、§E2.2 命題 2.6により$x_0$は$M$の閉包に属し、$M$は閉集合であるから$x_0\in M$となって、$x_0$の選び方に反する。したがって$d>0$である。$d/\theta>d$であるから、$\lVert x_0-z_0\rVert\le d/\theta$を満たす$z_0\in M$が存在し、$x_0\notin M$により$x_0-z_0\ne0$である。$x=(x_0-z_0)/\lVert x_0-z_0\rVert$とおく。任意の$z\in M$について$z_0+\lVert x_0-z_0\rVert z\in M$であるから