共役作用素 | 関数解析 I

1 有界な形式と共役作用素

定理 1.1. $H,K$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とする。

$A\in B(H,K)$ に対して、写像 $H\times K\to\mathbb K$ 、 $(x,y)\mapsto\langle Ax,y\rangle$ は第1変数について線形、第2変数について共役線形（ $\mathbb K=\R$ では線形）であり、 $\|A\|=\sup\{|\langle Ax,y\rangle|:x\in H,\ y\in K,\ \|x\|\le1,\ \|y\|\le1\}$ が成り立つ。
写像 $a\colon H\times K\to\mathbb K$ が第1変数について線形、第2変数について共役線形（ $\mathbb K=\R$ では線形）であり、ある $M\ge0$ がすべての $x\in H$ と $y\in K$ について $|a(x,y)|\le M\|x\|\|y\|$ を満たすとする。このとき、すべての $x\in H$ と $y\in K$ について $a(x,y)=\langle Ax,y\rangle$ を満たす $A\in B(H,K)$ がただ一つ存在し、 $\|A\|=\sup\{|a(x,y)|:x\in H,\ y\in K,\ \|x\|\le1,\ \|y\|\le1\}\le M$ が成り立つ。

証明.主張 (1)を示す。写像 $(x,y)\mapsto\langle Ax,y\rangle$ の第1変数についての線形性は $A$ の線形性と内積の第1変数についての線形性から従い、第2変数についての共役線形性は内積の共役線形性から従う。 $z\in K$ とする。§E10.5 系 1.2の写像 $R\colon K\to K^*$ 、 $(Rz)(y)=\langle y,z\rangle$ は等長であるから

\|z\|=\|Rz\|=\sup_{\|y\|\le1}|\langle y,z\rangle|=\sup_{\|y\|\le1}|\langle z,y\rangle|

である。 $z=Ax$ とおき、 $\|x\|\le1$ を満たす $x\in H$ について上限をとると、所要の等式を得る。

主張 (2)を示す。 $x\in H$ を固定し、 $f_x(y)=\overline{a(x,y)}$ （ $y\in K$ ）とおく。 $a$ は第2変数について共役線形であるから $f_x$ は線形であり、 $|f_x(y)|\le M\|x\|\|y\|$ であるから $f_x\in K^*$ である。§E10.5 定理 1.1により、すべての $y\in K$ について $f_x(y)=\langle y,w\rangle$ を満たす $w\in K$ がただ一つ存在する。この $w$ を $Ax$ と書くと、複素共役をとって

a(x,y)=\overline{\langle y,Ax\rangle}=\langle Ax,y\rangle\qquad(y\in K)

を得る。 $x,x'\in H$ 、 $\alpha,\beta\in\mathbb K$ とし、 $v=A(\alpha x+\beta x')-\alpha Ax-\beta Ax'$ とおく。 $a$ の第1変数についての線形性から、すべての $y\in K$ について

\langle v,y\rangle=a(\alpha x+\beta x',y)-\alpha a(x,y)-\beta a(x',y)=0

であり、 $y=v$ とおくと $v=0$ を得る。したがって $A$ は線形である。§E10.5 系 1.2の等長性を $z=Ax$ に適用すると

\|Ax\|=\sup_{\|y\|\le1}|\langle Ax,y\rangle|=\sup_{\|y\|\le1}|a(x,y)|\le M\|x\|

であるから、 $A\in B(H,K)$ であり、 $\|x\|\le1$ を満たす $x$ について上限をとると $\|A\|=\sup\{|a(x,y)|:\|x\|\le1,\ \|y\|\le1\}\le M$ を得る。 $A'\in B(H,K)$ もすべての $x\in H$ と $y\in K$ について $a(x,y)=\langle A'x,y\rangle$ を満たすならば、 $\langle Ax-A'x,y\rangle=0$ に $y=Ax-A'x$ を代入して $Ax=A'x$ を得る。▨

命題 1.2. $H,K$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とし、 $T\in B(H,K)$ とする。このとき、すべての $x\in H$ と $y\in K$ について

\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle

を満たす写像 $T^*\colon K\to H$ がただ一つ存在する。 $T^*$ を $T$ の共役作用素 (adjoint operator) という。さらに $T^*\in B(K,H)$ であり、 $\|T^*\|=\|T\|$ が成り立つ。

証明. 写像 $b\colon K\times H\to\mathbb K$ を $b(y,x)=\langle y,Tx\rangle$ で定める。 $b$ は第1変数について線形、第2変数について共役線形であり、§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式により $|b(y,x)|\le\|T\|\|y\|\|x\|$ を満たす。定理 1.1 (2)を $K\times H$ 上の $b$ に適用すると、すべての $y\in K$ と $x\in H$ について $\langle y,Tx\rangle=\langle Ay,x\rangle$ を満たす $A\in B(K,H)$ が存在する。両辺の複素共役をとると、すべての $x\in H$ と $y\in K$ について $\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ay\rangle$ である。定理 1.1 (1)を $A$ と $T$ に適用すると

\|A\|=\sup_{\|y\|\le1,\ \|x\|\le1}|\langle Ay,x\rangle|=\sup_{\|x\|\le1,\ \|y\|\le1}|\langle Tx,y\rangle|=\|T\|

を得る。写像 $S\colon K\to H$ もすべての $x\in H$ と $y\in K$ について $\langle Tx,y\rangle=\langle x,Sy\rangle$ を満たすとする。 $y\in K$ を固定すると、すべての $x\in H$ について $\langle x,Sy-Ay\rangle=0$ であり、 $x=Sy-Ay$ とおくと $Sy=Ay$ を得る。したがって $A$ が条件を満たすただ一つの写像である。▨

命題 1.3. $G,H,K$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とし、 $S,T\in B(H,K)$ 、 $R\in B(K,G)$ 、 $\alpha\in\mathbb K$ とする。

$(S+T)^*=S^*+T^*$ である。
$(\alpha T)^*=\overline{\alpha}\,T^*$ である。
$(RT)^*=T^*R^*$ である。
$(T^*)^*=T$ である。
$H$ の恒等作用素 $I_H$ について $I_H^*=I_H$ である。
$\|T^*T\|=\|T\|^2$ である。
$V\in B(K,H)$ が $VT=I_H$ と $TV=I_K$ を満たすならば、 $T^*V^*=I_H$ と $V^*T^*=I_K$ が成り立つ。

証明. $x\in H$ 、 $y\in K$ 、 $z\in G$ とする。

$\langle(S+T)x,y\rangle=\langle Sx,y\rangle+\langle Tx,y\rangle=\langle x,(S^*+T^*)y\rangle$ であるから、命題 1.2の一意性により主張 (1)が成り立つ。 $\langle\alpha Tx,y\rangle=\alpha\langle x,T^*y\rangle=\langle x,\overline{\alpha}T^*y\rangle$ であるから、同じ一意性により主張 (2)が成り立つ。 $\langle RTx,z\rangle=\langle Tx,R^*z\rangle=\langle x,T^*R^*z\rangle$ であるから、同じ一意性により主張 (3)が成り立つ。

すべての $y\in K$ と $x\in H$ について $\langle T^*y,x\rangle=\overline{\langle x,T^*y\rangle}=\overline{\langle Tx,y\rangle}=\langle y,Tx\rangle$ であるから、命題 1.2の一意性を $T^*\in B(K,H)$ に適用して主張 (4)を得る。 $\langle I_Hx,x'\rangle=\langle x,I_Hx'\rangle$ （ $x,x'\in H$ ）であるから、同じ一意性により主張 (5)が成り立つ。

§E10.2 命題 2.4と命題 1.2により $\|T^*T\|\le\|T^*\|\|T\|=\|T\|^2$ である。§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式により

\|Tx\|^2=\langle Tx,Tx\rangle=\langle T^*Tx,x\rangle\le\|T^*Tx\|\|x\|\le\|T^*T\|\|x\|^2

であり、 $\|x\|\le1$ を満たす $x$ について上限をとると $\|T\|^2\le\|T^*T\|$ を得る。これで主張 (6)は示された。

$VT=I_H$ と $TV=I_K$ に主張 (3)と主張 (5)を適用すると、 $T^*V^*=(VT)^*=I_H$ と $V^*T^*=(TV)^*=I_K$ を得る。これで主張 (7)は示された。▨

命題 1.4. $H,K$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とし、 $T\in B(H,K)$ とする。

$\ker T^*=(\im T)^\perp$ である。
$\tpcl{\im T}=(\ker T^*)^\perp$ である。
$\ker T=(\im T^*)^\perp$ である。
$\tpcl{\im T^*}=(\ker T)^\perp$ である。

証明. $y\in K$ とする。 $T^*y=0$ ならばすべての $x\in H$ について $\langle x,T^*y\rangle=0$ であり、逆にすべての $x\in H$ について $\langle x,T^*y\rangle=0$ ならば $x=T^*y$ とおいて $T^*y=0$ を得る。 $\langle x,T^*y\rangle=\langle Tx,y\rangle$ であるから、 $y\in\ker T^*$ であることと、すべての $x\in H$ について $\langle y,Tx\rangle=0$ であること、すなわち $y\in(\im T)^\perp$ であることは同値である。これで主張 (1)は示された。

§E10.3 命題 2.3と主張 (1)により $\tpcl{\im T}=((\im T)^\perp)^\perp=(\ker T^*)^\perp$ である。これで主張 (2)は示された。

主張 (1)と主張 (2)を $T^*\in B(K,H)$ に適用し、命題 1.3 (4)により $(T^*)^*=T$ であることを用いると、主張 (3)と主張 (4)を得る。▨

2 自己共役作用素、正規作用素、ユニタリ作用素、正作用素

定義 2.1. $H$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とし、 $B(H)=B(H,H)$ と書く。 $T\in B(H)$ がすべての $x,y\in H$ について $\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle$ を満たすとき、 $T$ を自己共役作用素 (self-adjoint operator) という。命題 1.2の一意性により、 $T$ が自己共役作用素であることは $T^*=T$ と同値である。

定義 2.2. $H,K$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とする。 $T\in B(H)$ が $T^*T=TT^*$ を満たすとき、 $T$ を正規作用素 (normal operator) という。 $U\in B(H,K)$ が $U^*U=I_H$ と $UU^*=I_K$ を満たすとき、 $U$ をユニタリ作用素 (unitary operator) という。自己共役作用素 $T$ は $T^*T=T^2=TT^*$ を満たすので、正規作用素である。

補題 2.3.

$V$ を複素ベクトル空間とし、写像 $a\colon V\times V\to\C$ が第1変数について線形、第2変数について共役線形であるとする。このとき、すべての $x,y\in V$ について $a(x,y)=\frac14\sum_{k=0}^{3}i^k\,a(x+i^ky,\,x+i^ky)$ が成り立つ。
$V$ を実ベクトル空間とし、写像 $a\colon V\times V\to\R$ が双線形であり、すべての $x,y\in V$ について $a(x,y)=a(y,x)$ を満たすとする。このとき、すべての $x,y\in V$ について $a(x,y)=\frac14\bigl(a(x+y,x+y)-a(x-y,x-y)\bigr)$ が成り立つ。
$H$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とし、 $A\in B(H)$ とする。 $\mathbb K=\R$ の場合はさらに $A$ が自己共役作用素であると仮定する。すべての $x\in H$ について $\langle Ax,x\rangle=0$ ならば、 $A=0$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $c\in\C$ が $|c|=1$ を満たすとき、 $a$ の線形性と共役線形性により

a(x+cy,x+cy)=a(x,x)+\overline{c}\,a(x,y)+c\,a(y,x)+a(y,y)

である。 $c=i^k$ とおいて両辺に $i^k$ を掛けると、 $i^k\,\overline{i^k}=1$ により右辺は $i^ka(x,x)+a(x,y)+i^{2k}a(y,x)+i^ka(y,y)$ となる。 $\sum_{k=0}^3i^k=0$ と $\sum_{k=0}^3i^{2k}=0$ であるから、 $k=0,1,2,3$ について和をとると右辺の和は $4a(x,y)$ である。

主張 (2)を示す。 $a$ の双線形性と対称性により $a(x\pm y,x\pm y)=a(x,x)\pm2a(x,y)+a(y,y)$ （複号同順）であり、二式の差は $4a(x,y)$ である。

主張 (3)を示す。 $a(x,y)=\langle Ax,y\rangle$ とおく。 $\mathbb K=\C$ ならば $a$ は第1変数について線形、第2変数について共役線形であり、すべての $z\in H$ について $a(z,z)=0$ であるから、主張 (1)により $a=0$ である。 $\mathbb K=\R$ ならば $a$ は双線形であり、 $A$ が自己共役作用素であるから $a(x,y)=\langle x,Ay\rangle=\langle Ay,x\rangle=a(y,x)$ を満たすので、主張 (2)により $a=0$ である。いずれの場合も、 $x\in H$ について $\|Ax\|^2=a(x,Ax)=0$ であるから $A=0$ である。▨

命題 2.4. $H,K$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とする。

$T\in B(H)$ が正規作用素であるための必要十分条件は、すべての $x\in H$ について $\|Tx\|=\|T^*x\|$ が成り立つことである。
$T\in B(H)$ が正規作用素ならば、すべての $\lambda\in\mathbb K$ について $T-\lambda I_H$ は正規作用素であり、 $\ker(T-\lambda I_H)=\ker(T^*-\overline{\lambda}I_H)$ が成り立つ。
$U\in B(H,K)$ がユニタリ作用素であるための必要十分条件は、 $U$ が全射であり、すべての $x,y\in H$ について $\langle Ux,Uy\rangle=\langle x,y\rangle$ が成り立つことである。

証明.主張 (1)を示す。 $T\in B(H)$ と $x\in H$ について、命題 1.3 (4)により

\|Tx\|^2-\|T^*x\|^2=\langle T^*Tx,x\rangle-\langle TT^*x,x\rangle=\langle(T^*T-TT^*)x,x\rangle

である。 $T$ が正規作用素ならば右辺は $0$ である。逆に、すべての $x\in H$ について左辺が $0$ であるとする。命題 1.3 (1)、命題 1.3 (3)、命題 1.3 (4)により $B=T^*T-TT^*$ は $B^*=B$ を満たす自己共役作用素であり、すべての $x\in H$ について $\langle Bx,x\rangle=0$ であるから、補題 2.3 (3)により $B=0$ である。

主張 (2)を示す。命題 1.3 (1)、命題 1.3 (2)、命題 1.3 (5)により $(T-\lambda I_H)^*=T^*-\overline{\lambda}I_H$ である。 $T^*T=TT^*$ を用いると

(T^*-\overline{\lambda}I_H)(T-\lambda I_H)=T^*T-\lambda T^*-\overline{\lambda}T+|\lambda|^2I_H=(T-\lambda I_H)(T^*-\overline{\lambda}I_H)

であるから、 $T-\lambda I_H$ は正規作用素である。主張 (1)を $T-\lambda I_H$ に適用すると、すべての $x\in H$ について $\|(T-\lambda I_H)x\|=\|(T^*-\overline{\lambda}I_H)x\|$ であり、二つの核は一致する。

主張 (3)を示す。 $U$ がユニタリ作用素であるとする。 $z\in K$ は $z=U(U^*z)$ と表されるから $U$ は全射であり、 $x,y\in H$ について $\langle Ux,Uy\rangle=\langle U^*Ux,y\rangle=\langle x,y\rangle$ である。逆に、 $U$ が全射であり内積を保つとする。 $x\in H$ を固定すると、すべての $y\in H$ について $\langle U^*Ux-x,y\rangle=\langle Ux,Uy\rangle-\langle x,y\rangle=0$ であり、 $y=U^*Ux-x$ とおくと $U^*Ux=x$ を得る。したがって $U^*U=I_H$ である。 $z\in K$ に対して $Ux=z$ を満たす $x\in H$ をとると、 $UU^*z=U(U^*U)x=Ux=z$ であるから、 $UU^*=I_K$ である。▨

定義 2.5. $H$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とし、 $T\in B(H)$ とする。すべての $x\in H$ について $\langle Tx,x\rangle$ が $0$ 以上の実数であり、 $\mathbb K=\R$ の場合はさらに $T$ が自己共役作用素であるとき、 $T$ を正作用素 (positive operator) といい、 $T\ge0$ と書く。

注意 2.6. $\mathbb K=\R$ の場合に定義 2.5で課した自己共役性は、 $\langle Tx,x\rangle\ge0$ から従わない。 $\R^2$ に標準内積を入れ、 $J(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)$ とおく。 $J$ は等長な線形写像であるから $J\in B(\R^2)$ であり、すべての $x\in\R^2$ について $\langle Jx,x\rangle=-x_2x_1+x_1x_2=0$ である。しかし標準基底 $e_1,e_2$ について $\langle Je_1,e_2\rangle=1$ と $\langle e_1,Je_2\rangle=-1$ が成り立つので、 $J$ は自己共役作用素でない。一方、 $\mathbb K=\C$ の場合には、命題 2.7 (1)により、自己共役性は $\langle Tx,x\rangle\in\R$ から従う。

命題 2.7. $H,K$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とする。

$T\in B(H)$ が自己共役作用素ならば、すべての $x\in H$ について $\langle Tx,x\rangle\in\R$ である。 $\mathbb K=\C$ の場合には、すべての $x\in H$ について $\langle Tx,x\rangle\in\R$ を満たす $T\in B(H)$ は自己共役作用素である。特に、正作用素は自己共役作用素である。
$T\in B(H)$ が正作用素ならば、すべての $x,y\in H$ について $|\langle Tx,y\rangle|^2\le\langle Tx,x\rangle\langle Ty,y\rangle$ が成り立つ。
$T\in B(H)$ が正作用素ならば、すべての $x\in H$ について $\|Tx\|^2\le\|T\|\langle Tx,x\rangle$ が成り立つ。
すべての $S\in B(H,K)$ について、 $S^*S$ は正作用素である。

証明.主張 (1)を示す。 $T$ が自己共役作用素ならば $\langle Tx,x\rangle=\langle x,Tx\rangle=\overline{\langle Tx,x\rangle}$ である。 $\mathbb K=\C$ とし、すべての $x\in H$ について $\langle Tx,x\rangle\in\R$ であるとする。このとき $\langle T^*x,x\rangle=\langle x,Tx\rangle=\overline{\langle Tx,x\rangle}=\langle Tx,x\rangle$ であるから、すべての $x\in H$ について $\langle(T-T^*)x,x\rangle=0$ であり、補題 2.3 (3)により $T=T^*$ である。正作用素は、 $\mathbb K=\R$ の場合には定義により、 $\mathbb K=\C$ の場合にはいま示したことにより、自己共役作用素である。

主張 (2)を示す。 $[x,y]=\langle Tx,y\rangle$ とおく。 $T$ は主張 (1)により自己共役作用素であるから $[y,x]=\overline{[x,y]}$ であり、すべての $z\in H$ について $[z,z]\ge0$ である。 $x,y\in H$ と $t\in\mathbb K$ について

0\le[x-ty,x-ty]=[x,x]-2\Re\bigl(\overline{t}\,[x,y]\bigr)+|t|^2[y,y]

である。 $[y,y]>0$ ならば $t=[x,y]/[y,y]$ を代入して $[x,x]-|[x,y]|^2/[y,y]\ge0$ を得る。 $[y,y]=0$ ならば、実数 $s>0$ について $t=s[x,y]$ を代入して $[x,x]-2s|[x,y]|^2\ge0$ を得る。この不等式はすべての $s>0$ について成り立つから $[x,y]=0$ である。いずれの場合も $|[x,y]|^2\le[x,x][y,y]$ である。

主張 (3)を示す。 $Tx=0$ ならば左辺は $0$ であり、右辺は $0$ 以上である。 $Tx\ne0$ とする。主張 (2)を $y=Tx$ に適用し、§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式を用いると

\|Tx\|^4=|\langle Tx,Tx\rangle|^2\le\langle Tx,x\rangle\langle T(Tx),Tx\rangle\le\langle Tx,x\rangle\|T\|\|Tx\|^2

であり、両辺を $\|Tx\|^2>0$ で割ると主張を得る。

主張 (4)を示す。命題 1.3 (3)と命題 1.3 (4)により $(S^*S)^*=S^*S$ であるから $S^*S$ は自己共役作用素であり、 $x\in H$ について $\langle S^*Sx,x\rangle=\langle Sx,Sx\rangle=\|Sx\|^2\ge0$ である。▨

例 2.8. $\ell^2$ を $\mathbb K$ 値数列の Hilbert 空間とし、 $e_n$ （ $n\ge1$ ）を標準基底とする。 $(d_n)_{n\ge1}$ を $\mathbb K$ の有界な数列とし、 $D(x_n)_{n\ge1}=(d_nx_n)_{n\ge1}$ によって $D\colon\ell^2\to\ell^2$ を定める。 $x\in\ell^2$ について $\|Dx\|^2=\sum_{n=1}^\infty|d_n|^2|x_n|^2\le(\sup_n|d_n|)^2\|x\|^2$ であり、 $\|De_n\|=|d_n|$ であるから、 $D\in B(\ell^2)$ かつ $\|D\|=\sup_n|d_n|$ である。 $x,y\in\ell^2$ について

\langle Dx,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty d_nx_n\overline{y_n}=\sum_{n=1}^\infty x_n\overline{\overline{d_n}\,y_n}

であるから、命題 1.2の一意性により $D^*$ は数列 $(\overline{d_n})_{n\ge1}$ から同じ式で定まる作用素である。 $D^*D$ と $DD^*$ はともに数列 $(|d_n|^2)_{n\ge1}$ から同じ式で定まる作用素であるから、 $D$ は正規作用素である。 $D^*e_n=\overline{d_n}e_n$ と $De_n=d_ne_n$ を比べると、 $D$ が自己共役作用素であるための必要十分条件はすべての $n$ について $d_n\in\R$ であることである。 $\langle Dx,x\rangle=\sum_{n=1}^\infty d_n|x_n|^2$ と $\langle De_n,e_n\rangle=d_n$ により、 $D$ が正作用素であるための必要十分条件はすべての $n$ について $d_n\ge0$ であることである。 $D^*D$ と $DD^*$ はともに $e_n$ を $|d_n|^2e_n$ へ送るから、 $D$ がユニタリ作用素であるための必要十分条件はすべての $n$ について $|d_n|=1$ であることである。

例 2.9. $\ell^2$ を $\mathbb K$ 値数列の Hilbert 空間とし、 $e_n$ （ $n\ge1$ ）を標準基底とする。右シフト $S$ と左シフト $L$ を

S(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots),\qquad L(x_1,x_2,\ldots)=(x_2,x_3,\ldots)

で定めると、§E10.2 例 2.5の $p=2$ の場合により $S,L\in B(\ell^2)$ である。 $x,y\in\ell^2$ について

\langle Sx,y\rangle=\sum_{n=1}^\infty x_n\overline{y_{n+1}}=\langle x,Ly\rangle

であるから、命題 1.2の一意性により $S^*=L$ であり、命題 1.3 (4)により $L^*=S$ である。 $LS=I$ であるから $S^*S=I$ であり、 $S$ はすべての $x,y\in\ell^2$ について $\langle Sx,Sy\rangle=\langle x,y\rangle$ を満たす。一方、 $SLe_1=0\ne e_1$ であるから $SS^*\ne I=S^*S$ であり、 $S$ はユニタリ作用素でも正規作用素でもない。 $e_1$ は $S$ の値域に属さないので、 $S$ は内積を保つが全射でない。したがって、命題 2.4 (3)から全射性の条件を外すことはできない。

3 レゾルベント集合とスペクトル

補題 3.1 (Neumann 級数). $X$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Banach 空間とし、 $B(X)=B(X,X)$ と書き、 $I$ を $X$ の恒等作用素とする。 $A\in B(X)$ が $\|A\|<1$ を満たすならば、 $A^0=I$ とする級数 $\sum_{n=0}^\infty A^n$ は $B(X)$ で作用素ノルムについて収束し、その和 $V$ は $V(I-A)=(I-A)V=I$ と $\|V\|\le(1-\|A\|)^{-1}$ を満たす。

証明. $V_n=\sum_{k=0}^nA^k$ とおく。§E10.2 命題 2.4により $\|A^k\|\le\|A\|^k$ であるから、 $m<n$ について

\|V_n-V_m\|\le\sum_{k=m+1}^{n}\|A\|^k\le\frac{\|A\|^{m+1}}{1-\|A\|}

であり、 $(V_n)$ は $B(X)$ の Cauchy 列である。§E10.2 定理 2.2により $(V_n)$ は作用素ノルムについてある $V\in B(X)$ に収束する。 $(I-A)V_n=V_n(I-A)=I-A^{n+1}$ であり、§E10.2 命題 2.4により

\|(I-A)V-(I-A)V_n\|\le\|I-A\|\|V-V_n\|,\qquad\|V(I-A)-V_n(I-A)\|\le\|V-V_n\|\|I-A\|

である。 $\|A^{n+1}\|\le\|A\|^{n+1}\to0$ であるから、 $n\to\infty$ として $(I-A)V=V(I-A)=I$ を得る。 $\|V_n\|\le\sum_{k=0}^n\|A\|^k\le(1-\|A\|)^{-1}$ であり、 $\|V\|=\lim_n\|V_n\|$ であるから $\|V\|\le(1-\|A\|)^{-1}$ である。▨

定義 3.2. $X\ne\{0\}$ を複素 Banach 空間とし、 $T\in B(X)$ とする。 $\lambda\in\C$ について、 $V(\lambda I-T)=(\lambda I-T)V=I$ を満たす $V\in B(X)$ が存在するとき、 $\lambda I-T$ は $B(X)$ で可逆 (invertible) であるという。このような $V$ はただ一つである。実際、 $V'\in B(X)$ も同じ等式を満たすならば $V'=V'(\lambda I-T)V=V$ である。

\rho(T)=\{\lambda\in\C:\lambda I-T\text{ は }B(X)\text{ で可逆である}\}

を $T$ のレゾルベント集合 (resolvent set)、その補集合 $\sigma(T)=\C\setminus\rho(T)$ を $T$ のスペクトル (spectrum) という。 $\lambda\in\rho(T)$ に対して上の $V$ を $R(\lambda,T)=(\lambda I-T)^{-1}$ と書き、 $T$ のレゾルベント作用素 (resolvent operator) という。

定義 3.3. $X\ne\{0\}$ を複素 Banach 空間とし、 $T\in B(X)$ とする。

$\lambda I-T$ が単射でない $\lambda\in\sigma(T)$ の全体 $\sigma_p(T)$ を、 $T$ の点スペクトル (point spectrum) という。
$\lambda I-T$ が単射であり、値域 $\im(\lambda I-T)$ が $X$ で稠密である $\lambda\in\sigma(T)$ の全体 $\sigma_c(T)$ を、 $T$ の連続スペクトル (continuous spectrum) という。
$\lambda I-T$ が単射であり、値域 $\im(\lambda I-T)$ が $X$ で稠密でない $\lambda\in\sigma(T)$ の全体 $\sigma_r(T)$ を、 $T$ の剰余スペクトル (residual spectrum) という。

$\sigma(T)$ は $\sigma_p(T)$ 、 $\sigma_c(T)$ 、 $\sigma_r(T)$ の非交和である。 $\lambda\in\rho(T)$ ならば $R(\lambda,T)(\lambda I-T)=I$ により $\lambda I-T$ は単射であるから、 $\sigma_p(T)$ は $T$ の固有値の全体に等しい。

命題 3.4. $X\ne\{0\}$ を複素 Banach 空間とし、 $T\in B(X)$ とする。

$\lambda_0\in\rho(T)$ とし、 $R_0=R(\lambda_0,T)$ とおく。 $h\in\C$ が $|h|\,\|R_0\|<1$ を満たすならば $\lambda_0+h\in\rho(T)$ であり、
$R(\lambda_0+h,T)=\sum_{n=0}^{\infty}(-h)^nR_0^{\,n+1}$ $\text{(3.4.1)}$
が作用素ノルムについての収束として成り立つ。特に $\rho(T)$ は $\C$ の開集合である。
$\lambda,\mu\in\rho(T)$ ならば
$R(\lambda,T)-R(\mu,T)=(\mu-\lambda)R(\lambda,T)R(\mu,T)$ $\text{(3.4.2)}$
が成り立ち、 $R(\lambda,T)R(\mu,T)=R(\mu,T)R(\lambda,T)$ である。
写像 $\rho(T)\to B(X)$ 、 $\lambda\mapsto R(\lambda,T)$ は作用素ノルムについて連続であり、各 $\lambda\in\rho(T)$ において $\lim_{h\to0}\frac{R(\lambda+h,T)-R(\lambda,T)}{h}=-R(\lambda,T)^2$ が作用素ノルムについての極限として成り立つ。
$x\in X$ と $f\in X^*$ に対して、関数 $\rho(T)\to\C$ 、 $\lambda\mapsto f(R(\lambda,T)x)$ は $\rho(T)$ の上で正則であり、その導関数は $\lambda\mapsto-f(R(\lambda,T)^2x)$ である。

証明.主張 (1)を示す。 $(\lambda_0I-T)R_0=R_0(\lambda_0I-T)=I$ であるから

(\lambda_0+h)I-T=(\lambda_0I-T)(I+hR_0)=(I+hR_0)(\lambda_0I-T)

である。 $\|-hR_0\|<1$ であるから、補題 3.1により $W=\sum_{n=0}^\infty(-h)^nR_0^{\,n}$ は $W(I+hR_0)=(I+hR_0)W=I$ を満たす。 $W$ は $R_0$ の多項式の作用素ノルムについての極限であるから $R_0$ と可換であり、 $R_0$ は $I+hR_0$ と可換である。 $V=WR_0$ とおくと

V\bigl((\lambda_0+h)I-T\bigr)=W(I+hR_0)R_0(\lambda_0I-T)=I,\qquad\bigl((\lambda_0+h)I-T\bigr)V=(\lambda_0I-T)(I+hR_0)WR_0=I

であるから、 $\lambda_0+h\in\rho(T)$ かつ $R(\lambda_0+h,T)=WR_0$ である。§E10.2 命題 2.4により右からの $R_0$ の積は作用素ノルムについて連続であるから、 $WR_0=\sum_{n=0}^\infty(-h)^nR_0^{\,n+1}$ である。 $X\ne\{0\}$ であり $R_0$ は $B(X)$ で可逆であるから $\|R_0\|>0$ であり、 $\lambda_0$ を中心とする半径 $\|R_0\|^{-1}$ の開円板は $\rho(T)$ に含まれる。

主張 (2)を示す。 $R(\lambda,T)(\lambda I-T)=I$ と $(\mu I-T)R(\mu,T)=I$ により

R(\lambda,T)-R(\mu,T)=R(\lambda,T)\bigl((\mu I-T)-(\lambda I-T)\bigr)R(\mu,T)=(\mu-\lambda)R(\lambda,T)R(\mu,T)

である。 $\lambda$ と $\mu$ を入れ替えると $R(\mu,T)-R(\lambda,T)=(\lambda-\mu)R(\mu,T)R(\lambda,T)$ であり、二式から $\lambda\ne\mu$ のとき $R(\lambda,T)R(\mu,T)=R(\mu,T)R(\lambda,T)$ を得る。 $\lambda=\mu$ のとき、二つの積は同じ作用素である。

主張 (3)を示す。 $\lambda\in\rho(T)$ とし、 $R_0=R(\lambda,T)$ とおく。 $0<|h|\,\|R_0\|<1$ のとき、式 (3.4.1)により

\|R(\lambda+h,T)-R_0\|\le\sum_{n=1}^\infty|h|^n\|R_0\|^{n+1}=\frac{|h|\,\|R_0\|^2}{1-|h|\,\|R_0\|}

と

\left\|\frac{R(\lambda+h,T)-R_0}{h}+R_0^{\,2}\right\|\le\sum_{n=2}^\infty|h|^{n-1}\|R_0\|^{n+1}=\frac{|h|\,\|R_0\|^3}{1-|h|\,\|R_0\|}

が成り立つ。 $h\to0$ のとき二つの右辺は $0$ に収束する。

主張 (4)を示す。 $\lambda\in\rho(T)$ とし、 $h\ne0$ を $\lambda+h\in\rho(T)$ を満たす複素数とする。 $Q_h=h^{-1}\bigl(R(\lambda+h,T)-R(\lambda,T)\bigr)+R(\lambda,T)^2$ とおくと

\left|\frac{f(R(\lambda+h,T)x)-f(R(\lambda,T)x)}{h}+f(R(\lambda,T)^2x)\right|=|f(Q_hx)|\le\|f\|\,\|Q_h\|\,\|x\|

であり、主張 (3)により $h\to0$ のとき右辺は $0$ に収束する。 $\rho(T)$ は主張 (1)により開集合であるから、主張を得る。▨

定理 3.5. $X\ne\{0\}$ を複素 Banach 空間とし、 $T\in B(X)$ とする。 $\lambda\in\C$ が $|\lambda|>\|T\|$ を満たすならば $\lambda\in\rho(T)$ であり、

R(\lambda,T)=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^{-n-1}T^n

\text{(3.5.1)}

が作用素ノルムについての収束として成り立ち、

\|R(\lambda,T)\|\le\frac{1}{|\lambda|-\|T\|}

\text{(3.5.2)}

である。 $\sigma(T)$ は $\C$ の閉集合であり、 $\{\lambda\in\C:|\lambda|\le\|T\|\}$ に含まれる。したがって $\sigma(T)$ はコンパクトである。

証明. $|\lambda|>\|T\|$ とする。 $\lambda\ne0$ かつ $\|\lambda^{-1}T\|<1$ であるから、補題 3.1により $V=\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n}T^n$ は $V(I-\lambda^{-1}T)=(I-\lambda^{-1}T)V=I$ と $\|V\|\le(1-\|T\|/|\lambda|)^{-1}$ を満たす。 $\lambda I-T=\lambda(I-\lambda^{-1}T)$ であるから、 $\lambda^{-1}V$ は $\lambda I-T$ の $B(X)$ での逆であり、 $\lambda\in\rho(T)$ かつ

R(\lambda,T)=\lambda^{-1}V=\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-n-1}T^n,\qquad\|R(\lambda,T)\|\le\frac{1}{|\lambda|}\cdot\frac{1}{1-\|T\|/|\lambda|}=\frac{1}{|\lambda|-\|T\|}

である。したがって $\sigma(T)\subseteq\{\lambda\in\C:|\lambda|\le\|T\|\}$ である。命題 3.4 (1)により $\rho(T)$ は開集合であるから、 $\sigma(T)$ は閉集合である。 $\sigma(T)$ は $\C=\R^2$ の有界閉集合であるから、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。▨

命題 3.6. $\ell^2$ を複素数値数列の Hilbert 空間とし、 $(d_n)_{n\ge1}$ を複素数の有界な数列とする。 $D\in B(\ell^2)$ を $D(x_n)_{n\ge1}=(d_nx_n)_{n\ge1}$ で定め、 $\Lambda=\{d_n:n\ge1\}$ とおく。このとき $\sigma(D)=\tpcl{\Lambda}$ である。さらに、すべての $\lambda\in\C\setminus\tpcl{\Lambda}$ と $x=(x_n)_{n\ge1}\in\ell^2$ について

R(\lambda,D)x=\bigl((\lambda-d_n)^{-1}x_n\bigr)_{n\ge1}

が成り立つ。

証明. 演習とする（問題 6.1）。▨

例 3.7. $\ell^2$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 値数列の Hilbert 空間とし、 $D(x_n)_{n\ge1}=(x_n/n)_{n\ge1}$ とおく。例 2.8により $D\in B(\ell^2)$ である。 $D$ は単射であり、像は $\ell^2$ で稠密であるが閉集合でなく、 $D$ は全射でない。 $\mathbb K=\C$ の場合は $0\in\sigma_c(D)$ である。

$Dx=0$ ならばすべての $n\ge1$ について $x_n/n=0$ であるから、 $x=0$ である。有限列 $y\in\ell^2$ に対し、 $x_n=ny_n$ で定まる有限列 $x$ は $Dx=y$ を満たす。任意の $y\in\ell^2$ に対し、 $n\le N$ では $y_n$ に等しく、 $n>N$ では $0$ である数列を $y^{(N)}$ とおくと、 $y^{(N)}\in\im D$ であり、

\|y-y^{(N)}\|^2=\sum_{n>N}|y_n|^2\to0

である。したがって $\im D$ は $\ell^2$ で稠密である。一方、 $z=(1/n)_{n\ge1}$ は $\ell^2$ に属するが、 $Dx=z$ ならばすべての $n\ge1$ について $x_n=1$ となり、 $x\in\ell^2$ に反する。したがって $z\notin\im D$ であり、 $D$ は全射でない。像が稠密であるから、 $\im D$ が閉集合ならば $\im D=\ell^2$ となり、 $z\notin\im D$ と両立しない。

$\mathbb K=\C$ とする。 $1/n\to0$ であるから、命題 3.6により $0\in\sigma(D)$ である。 $-D$ は単射であり、 $\im(-D)=\im D$ は $\ell^2$ で稠密であるから、定義 3.3 (2)により $0\in\sigma_c(D)$ である。

4 Hilbert 空間上の作用素のスペクトル

定理 4.1. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間とし、 $T\in B(H)$ とする。このとき $\sigma(T)\ne\emptyset$ である。

証明. $\sigma(T)=\emptyset$ と仮定し、 $x\in H\setminus\{0\}$ をとる。 $y\in H$ を固定し、 $\C=\rho(T)$ 上の関数 $g(\lambda)=\langle R(\lambda,T)x,y\rangle$ を考える。写像 $z\mapsto\langle z,y\rangle$ は $H^*$ に属するから、命題 3.4 (4)により $g$ は $\C$ の上で正則であり、命題 3.4 (3)により $g$ は連続である。 $|\lambda|\ge\|T\|+1$ ならば、式 (3.5.2)により

|g(\lambda)|\le\|R(\lambda,T)\|\,\|x\|\,\|y\|\le\frac{\|x\|\,\|y\|}{|\lambda|-\|T\|}\le\|x\|\,\|y\|

である。閉円板 $\{\lambda\in\C:|\lambda|\le\|T\|+1\}$ は§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであるから、§E2.9 定理 1.7により $|g|$ はこの閉円板の上で有界である。したがって $g$ は $\C$ 上で有界であり、§E5.9 定理 4.1により定数 $c$ に等しい。 $|\lambda|>\|T\|$ を満たすすべての $\lambda$ について $|c|=|g(\lambda)|\le\|x\|\|y\|/(|\lambda|-\|T\|)$ であるから、 $c=0$ である。特に $\langle R(0,T)x,y\rangle=g(0)=0$ である。 $y\in H$ は任意であったから、 $y=R(0,T)x$ とおくと $\|R(0,T)x\|^2=0$ であり、 $R(0,T)x=0$ を得る。 $(0I-T)R(0,T)=I$ であるから $x=-TR(0,T)x=0$ である。これは $x\ne0$ に反する。したがって $\sigma(T)\ne\emptyset$ である。▨

注意 4.2. 複素 Banach 空間 $X\ne\{0\}$ 上の有界線形作用素 $T$ についても、 $\sigma(T)\ne\emptyset$ が成り立つ。この主張は、§E12.47 Banach 環で、単位的 Banach 環の元のスペクトルが空でないことから導かれる。

補題 4.3. $H$ を $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とし、 $T\in B(H)$ を正規作用素とする。このとき、 $VT=TV=I$ を満たす $V\in B(H)$ が存在するための必要十分条件は、ある $c>0$ がすべての $x\in H$ について $\|Tx\|\ge c\|x\|$ を満たすことである。

証明. 必要性を示す。 $VT=TV=I$ を満たす $V\in B(H)$ をとると、 $x\in H$ について $\|x\|=\|VTx\|\le\|V\|\,\|Tx\|\le(\|V\|+1)\|Tx\|$ であるから、 $c=(\|V\|+1)^{-1}$ が条件を満たす。

十分性を示す。 $c>0$ がすべての $x\in H$ について $\|Tx\|\ge c\|x\|$ を満たすとする。 $Tx=0$ ならば $x=0$ であるから、 $T$ は単射である。 $(x_n)$ を $H$ の点列とし、 $Tx_n\to z$ とする。 $\|x_n-x_m\|\le c^{-1}\|Tx_n-Tx_m\|$ であるから $(x_n)$ は Cauchy 列であり、 $H$ の完備性によりある $x\in H$ に収束する。 $T$ の連続性により $Tx=z$ であるから、 $\im T$ は閉集合である。命題 2.4 (2)を $\lambda=0$ で用いると $\ker T^*=\ker T=\{0\}$ であり、命題 1.4 (2)により $\im T=\tpcl{\im T}=\{0\}^\perp=H$ である。したがって $T$ は全単射である。逆写像 $V\colon H\to H$ は線形であり、 $z\in H$ について $\|Vz\|\le c^{-1}\|TVz\|=c^{-1}\|z\|$ であるから $V\in B(H)$ であり、 $VT=TV=I$ を満たす。▨

命題 4.4. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間とし、 $A\in B(H)$ を自己共役作用素とする。

m=\inf\{\langle Ax,x\rangle:x\in H,\ \|x\|=1\},\qquad M=\sup\{\langle Ax,x\rangle:x\in H,\ \|x\|=1\}

とおく。

$m$ と $M$ は実数であり、 $\sigma(A)\subseteq[m,M]$ である。
$m\in\sigma(A)$ かつ $M\in\sigma(A)$ である。
$A$ が正作用素であるための必要十分条件は、 $\sigma(A)\subseteq[0,\infty)$ が成り立つことである。

証明.主張 (1)を示す。命題 2.7 (1)によりすべての $x\in H$ について $\langle Ax,x\rangle\in\R$ であり、 $\|x\|=1$ ならば§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式により $|\langle Ax,x\rangle|\le\|A\|$ である。 $H\ne\{0\}$ であるから単位ベクトルが存在し、 $m$ と $M$ は $-\|A\|\le m\le M\le\|A\|$ を満たす実数である。単位ベクトルへの正規化により、すべての $x\in H$ について $m\|x\|^2\le\langle Ax,x\rangle\le M\|x\|^2$ である。 $\lambda\in\C\setminus[m,M]$ とし、 $d=\inf\{|t-\lambda|:t\in[m,M]\}$ とおく。 $[m,M]$ は $\C$ の閉集合であり $\lambda$ を含まないから、 $d>0$ である。 $x\in H\setminus\{0\}$ とし、 $u=x/\|x\|$ とおく。 $\langle Au,u\rangle\in[m,M]$ であるから

|\langle(A-\lambda I)x,x\rangle|=\|x\|^2\,|\langle Au,u\rangle-\lambda|\ge d\,\|x\|^2

であり、§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式により $\|(A-\lambda I)x\|\,\|x\|\ge d\,\|x\|^2$ である。 $x=0$ のときは両辺が $0$ であるから、すべての $x\in H$ について $\|(A-\lambda I)x\|\ge d\,\|x\|$ が成り立つ。 $A$ は正規作用素であるから、命題 2.4 (2)により $A-\lambda I$ は正規作用素であり、補題 4.3により $A-\lambda I$ は $B(H)$ で可逆である。 $\lambda I-A=-(A-\lambda I)$ も $B(H)$ で可逆であるから、 $\lambda\in\rho(A)$ である。

主張 (2)を示す。 $B=MI-A$ とおく。 $B$ は自己共役作用素であり、すべての $x\in H$ について $\langle Bx,x\rangle=M\|x\|^2-\langle Ax,x\rangle\ge0$ であるから正作用素である。 $M$ の定義により、単位ベクトルの列 $(x_n)$ で $\langle Ax_n,x_n\rangle\to M$ を満たすものが存在する。命題 2.7 (3)により

\|Bx_n\|^2\le\|B\|\langle Bx_n,x_n\rangle=\|B\|\bigl(M-\langle Ax_n,x_n\rangle\bigr)\to0

である。 $M\in\rho(A)$ と仮定すると、 $V=R(M,A)$ は $VB=I$ を満たし、すべての $n$ について $1=\|x_n\|=\|VBx_n\|\le\|V\|\,\|Bx_n\|$ である。一方 $\|V\|\,\|Bx_n\|\to0$ であり、二つは両立しない。したがって $M\in\sigma(A)$ である。 $-A$ は自己共役作用素であり、 $\sup\{\langle-Ax,x\rangle:\|x\|=1\}=-m$ であるから、いま示したことにより $-m\in\sigma(-A)$ である。 $\lambda I-(-A)=-\bigl((-\lambda)I-A\bigr)$ により $\sigma(-A)=\{-\lambda:\lambda\in\sigma(A)\}$ であるから、 $m\in\sigma(A)$ である。

主張 (3)を示す。 $A$ は自己共役作用素であるから、 $A$ が正作用素であることはすべての $x\in H$ について $\langle Ax,x\rangle\ge0$ であること、すなわち $m\ge0$ であることと同値である。 $m\ge0$ ならば主張 (1)により $\sigma(A)\subseteq[m,M]\subseteq[0,\infty)$ である。 $\sigma(A)\subseteq[0,\infty)$ ならば、主張 (2)により $m\in\sigma(A)$ であるから $m\ge0$ である。▨

命題 4.5. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間とし、 $U\in B(H)$ をユニタリ作用素とする。このとき $\sigma(U)\subseteq\{\lambda\in\C:|\lambda|=1\}$ である。

証明. $\lambda\in\C$ が $|\lambda|\ne1$ を満たすとする。 $U^*U=I$ によりすべての $x\in H$ について $\|Ux\|=\|x\|$ であるから、逆三角不等式により

\|(U-\lambda I)x\|\ge\bigl|\|Ux\|-\|\lambda x\|\bigr|=|1-|\lambda||\,\|x\|

である。 $U^*U=UU^*=I$ により $U$ は正規作用素であるから、命題 2.4 (2)により $U-\lambda I$ は正規作用素である。 $|1-|\lambda||>0$ であるから、補題 4.3により $U-\lambda I$ は $B(H)$ で可逆である。したがって $\lambda I-U=-(U-\lambda I)$ も $B(H)$ で可逆であり、 $\lambda\in\rho(U)$ である。▨

補題 4.6. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間、 $T\in B(H)$ とし、 $r=\max\{|\lambda|:\lambda\in\sigma(T)\}$ とおく。このとき、 $s>r$ を満たすすべての実数 $s$ について $M_s=\max\{\|R(\lambda,T)\|:\lambda\in\C,\ |\lambda|=s\}$ が定まり、すべての $n\in\N$ について

\|T^n\|\le s^{n+1}M_s

が成り立つ。特に $\limsup_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n}\le r$ である。

証明.定理 4.1と定理 3.5により $\sigma(T)$ は空でないコンパクト集合であるから、§E2.9 定理 1.7により $r$ は定まる。 $s>r$ とする。円周 $\{\lambda\in\C:|\lambda|=s\}$ は $\rho(T)$ に含まれ、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。命題 3.4 (3)により $\lambda\mapsto\|R(\lambda,T)\|$ は連続であるから、§E2.9 定理 1.7により $M_s$ は定まる。

$x,y\in H$ を固定し、 $f(\lambda)=\langle R(\lambda,T)x,y\rangle$ とおく。命題 3.4 (4)を汎関数 $z\mapsto\langle z,y\rangle$ に適用すると、 $f$ は $\rho(T)$ の上で正則であり、特に円環 $A(0;r,\infty)\subseteq\rho(T)$ の上で正則である。 $|\lambda|>\|T\|$ のとき、式 (3.5.1)と内積の連続性により

f(\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\langle T^nx,y\rangle\lambda^{-n-1}

である。 $\|T\|<s_1\le s_2$ に対して、閉円環 $\{\lambda:s_1\le|\lambda|\le s_2\}$ の上で第 $n$ 項の絶対値は $\|T\|^ns_1^{-n-1}\|x\|\,\|y\|$ 以下であり、 $\sum_{n=0}^\infty\|T\|^ns_1^{-n-1}$ は収束するから、この級数は閉円環の上で一様収束する。§E5.11 命題 2.2を円環 $A(0;\|T\|,\infty)$ の上の $f$ に適用すると、 $t>\|T\|$ と $n\in\N$ について

\langle T^nx,y\rangle=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_t}f(w)\,w^n\,dw

を得る。§E5.11 定理 2.1を円環 $A(0;r,\infty)$ の上の $f$ に適用すると、右辺の積分は $t\in(r,\infty)$ によらないから、この等式は $t=s$ についても成り立つ。 $C_s$ の上で $|f(w)w^n|\le M_s\,s^n\|x\|\,\|y\|$ であり、 $C_s$ の長さは $2\pi s$ であるから、§E5.4 命題 3.2により

|\langle T^nx,y\rangle|\le\frac{1}{2\pi}\cdot2\pi s\cdot M_s\,s^n\|x\|\,\|y\|=s^{n+1}M_s\|x\|\,\|y\|

である。 $x,y$ は任意であったから、定理 1.1 (1)により $\|T^n\|\le s^{n+1}M_s$ である。

$H\ne\{0\}$ であり $R(\lambda,T)$ は $B(H)$ で可逆であるから $M_s>0$ である。 $n\ge1$ について $\|T^n\|^{1/n}\le s^{1+1/n}M_s^{1/n}$ であり、右辺は $n\to\infty$ のとき $s$ に収束するから、 $\limsup_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n}\le s$ である。 $s>r$ は任意であるから、 $\limsup_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n}\le r$ である。▨

定理 4.7. $H\ne\{0\}$ を複素 Hilbert 空間とし、 $T\in B(H)$ を正規作用素とする。このとき

\max\{|\lambda|:\lambda\in\sigma(T)\}=\|T\|

が成り立つ。

証明. $r=\max\{|\lambda|:\lambda\in\sigma(T)\}$ とおく。定理 3.5により $r\le\|T\|$ である。

$N\in B(H)$ を正規作用素とする。 $x\in H$ について、命題 2.4 (1)をベクトル $Nx$ に適用すると $\|N^2x\|=\|N^*Nx\|$ であるから、命題 1.3 (6)により $\|N^2\|=\|N^*N\|=\|N\|^2$ である。 $m\ge1$ について、命題 1.3 (3)により帰納的に $(T^m)^*=(T^*)^m$ であり、 $T$ と $T^*$ が可換であるから $(T^*)^mT^m=T^m(T^*)^m$ である。したがって $T^m$ は正規作用素である。 $k\in\N$ について $N=T^{2^k}$ とおくと $\|T^{2^{k+1}}\|=\|T^{2^k}\|^2$ であり、 $k$ についての帰納法により $\|T^{2^k}\|=\|T\|^{2^k}$ を得る。数列 $(\|T^n\|^{1/n})_{n\ge1}$ の部分列 $(\|T^{2^k}\|^{2^{-k}})_{k\ge0}$ は定数 $\|T\|$ であるから、補題 4.6により

\|T\|\le\limsup_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n}\le r

である。したがって $r=\|T\|$ である。▨

例 4.8. $\C^2$ に標準内積を入れ、 $N(x_1,x_2)=(x_2,0)$ とおく。 $N^2=0$ である。 $\lambda\ne0$ ならば $(\lambda I-N)(\lambda^{-1}I+\lambda^{-2}N)=(\lambda^{-1}I+\lambda^{-2}N)(\lambda I-N)=I-\lambda^{-2}N^2=I$ であるから $\lambda\in\rho(N)$ であり、標準基底の $e_1$ について $Ne_1=0$ であるから $0\in\sigma_p(N)$ である。したがって $\sigma(N)=\{0\}$ である。一方 $\|Nx\|=|x_2|\le\|x\|$ と $Ne_2=e_1$ により $\|N\|=1$ である。 $N^*(x_1,x_2)=(0,x_1)$ であり、 $N^*Ne_2=e_2$ と $NN^*e_2=0$ から $N$ は正規作用素でない。したがって、定理 4.7から正規性の仮定を外すことはできない。

5 片側シフトのスペクトル

例 5.1. $\ell^2$ を複素数値数列の Hilbert 空間とし、 $S$ を例 2.9の右シフトとする。このとき、 $S$ は固有値をもたない。実際、 $\lambda\in\C$ と $x\in\ell^2$ が $Sx=\lambda x$ を満たすとすると、第1成分を比べて $\lambda x_1=0$ であり、第 $n+1$ 成分を比べて $x_n=\lambda x_{n+1}$ （ $n\ge1$ ）である。 $\lambda=0$ ならば、第二の等式からすべての $n$ について $x_n=0$ である。 $\lambda\ne0$ ならば $x_1=0$ であり、第二の等式から帰納的にすべての $n$ について $x_n=0$ である。したがって $\sigma_p(S)=\emptyset$ である。

補題 5.2. $\ell^2$ を複素数値数列の Hilbert 空間とし、 $S$ と $L$ を例 2.9の右シフトと左シフトとする。このとき、すべての $\lambda\in\C$ について

(\im(\lambda I-S))^\perp=\ker(\overline{\lambda}I-L)

\text{(5.2.1)}

と

\tpcl{\im(\lambda I-S)}=(\ker(\overline{\lambda}I-L))^\perp

\text{(5.2.2)}

が成り立つ。

証明.例 2.9により $S^*=L$ であるから、命題 1.3 (1)、命題 1.3 (2)、命題 1.3 (5)により $(\lambda I-S)^*=\overline{\lambda}I-L$ である。命題 1.4 (1)と命題 1.4 (2)を $\lambda I-S$ に適用すると、二つの等式を得る。▨

命題 5.3. $\ell^2$ を複素数値数列の Hilbert 空間とし、 $L$ を例 2.9の左シフトとする。 $\mu\in\C$ について $u_\mu=(\mu^{n-1})_{n\ge1}$ とおく（ $\mu^0=1$ とする）。 $|\mu|<1$ ならば $\ker(\mu I-L)=\{cu_\mu:c\in\C\}$ であり、 $|\mu|\ge1$ ならば $\ker(\mu I-L)=\{0\}$ である。特に $\sigma_p(L)=\{\mu\in\C:|\mu|<1\}$ である。

証明. $x\in\ell^2$ とする。 $Lx=\mu x$ であることは、すべての $n\ge1$ について $x_{n+1}=\mu x_n$ であること、すなわちすべての $n\ge1$ について $x_n=\mu^{n-1}x_1$ であることと同値である。このとき $\|x\|^2=|x_1|^2\sum_{n=1}^\infty|\mu|^{2(n-1)}$ であり、右辺の級数は $|\mu|<1$ のときに限り収束する。したがって、 $|\mu|<1$ ならば $u_\mu\in\ell^2\setminus\{0\}$ であって $\ker(\mu I-L)=\{cu_\mu:c\in\C\}$ であり、 $|\mu|\ge1$ ならば $x_1=0$ となって $x=0$ である。定義 3.3 (1)により $\sigma_p(L)$ は $L$ の固有値の全体であるから、 $\sigma_p(L)=\{\mu\in\C:|\mu|<1\}$ である。▨

定理 5.4. $\ell^2$ を複素数値数列の Hilbert 空間とし、 $S$ を例 2.9の右シフトとする。このとき

\sigma(S)=\{\lambda\in\C:|\lambda|\le1\},\quad\sigma_p(S)=\emptyset,\quad\sigma_r(S)=\{\lambda\in\C:|\lambda|<1\},\quad\sigma_c(S)=\{\lambda\in\C:|\lambda|=1\}

が成り立つ。

証明.例 2.9により $S^*S=I$ であるから、 $x\in\ell^2$ について $\|Sx\|=\|x\|$ であり、 $\|S\|=1$ である。定理 3.5により $\sigma(S)\subseteq\{\lambda\in\C:|\lambda|\le1\}$ である。例 5.1により $\sigma_p(S)=\emptyset$ であり、すべての $\lambda\in\C$ について $\lambda I-S$ は単射である。

$|\lambda|<1$ とする。命題 5.3により $u_{\overline{\lambda}}\in\ker(\overline{\lambda}I-L)\setminus\{0\}$ であり、 $\langle u_{\overline{\lambda}},u_{\overline{\lambda}}\rangle\ne0$ であるから $u_{\overline{\lambda}}\notin(\ker(\overline{\lambda}I-L))^\perp$ である。式 (5.2.2)により $\im(\lambda I-S)$ は $\ell^2$ で稠密でなく、特に $\lambda I-S$ は全射でないから $\lambda\in\sigma(S)$ である。したがって $\lambda\in\sigma_r(S)$ である。

$\sigma(S)$ は定理 3.5により閉集合であり、開単位円板を含むから、閉単位円板を含む。したがって $\sigma(S)=\{\lambda\in\C:|\lambda|\le1\}$ である。 $|\lambda|=1$ とすると、命題 5.3により $\ker(\overline{\lambda}I-L)=\{0\}$ であり、式 (5.2.2)により $\im(\lambda I-S)$ は $\ell^2$ で稠密である。したがって $\lambda\in\sigma_c(S)$ である。以上により、 $\sigma_r(S)=\{\lambda\in\C:|\lambda|<1\}$ かつ $\sigma_c(S)=\{\lambda\in\C:|\lambda|=1\}$ である。▨

6 演習

問題 6.1.命題 3.6のスペクトルの同定とレゾルベントの式を証明せよ。

解答.

$D$ と $\Lambda$ を命題 3.6のとおりとする。 $\lambda\in\C\setminus\tpcl{\Lambda}$ とし、 $\delta=\inf_n|\lambda-d_n|$ とおく。 $\lambda\notin\tpcl{\Lambda}$ であるから $\delta>0$ である。数列 $((\lambda-d_n)^{-1})_{n\ge1}$ は $\delta^{-1}$ 以下の絶対値をもつ有界な数列であるから、例 2.8によりこの数列から同じ式で定まる作用素 $E$ は $B(\ell^2)$ に属する。 $\lambda I-D$ は数列 $(\lambda-d_n)_{n\ge1}$ から同じ式で定まる作用素であるから、 $E(\lambda I-D)=(\lambda I-D)E=I$ である。したがって $\lambda\in\rho(D)$ であり、

R(\lambda,D)(x_n)_{n\ge1}=\bigl((\lambda-d_n)^{-1}x_n\bigr)_{n\ge1}

である。一方、標準基底の $e_k$ について $De_k=d_ke_k$ であるから、 $d_k$ は $D$ の固有値であり、定義 3.3により $\Lambda\subseteq\sigma_p(D)\subseteq\sigma(D)$ である。定理 3.5により $\sigma(D)$ は閉集合であるから $\tpcl{\Lambda}\subseteq\sigma(D)$ である。以上により $\sigma(D)=\tpcl{\Lambda}$ である。▨

問題 6.2. $X\ne\{0\}$ を複素 Banach 空間とし、 $T\in B(X)$ 、 $\lambda\in\rho(T)$ とする。すべての $\mu\in\sigma(T)$ について $|\mu-\lambda|\,\|R(\lambda,T)\|\ge1$ であることを示せ。さらに、命題 3.6の作用素 $D$ と $\lambda\in\rho(D)$ について、 $\|R(\lambda,D)\|\cdot\inf\{|\lambda-\mu|:\mu\in\sigma(D)\}=1$ であることを示せ。

解答.

$R_0=R(\lambda,T)$ とおく。 $\mu\in\C$ が $|\mu-\lambda|\,\|R_0\|<1$ を満たすならば、命題 3.4 (1)を $h=\mu-\lambda$ に適用して $\mu\in\rho(T)$ を得る。したがって $\mu\in\sigma(T)$ ならば $|\mu-\lambda|\,\|R_0\|\ge1$ である。

$D$ について、 $\Lambda=\{d_n:n\ge1\}$ とおく。命題 3.6により $\sigma(D)=\tpcl{\Lambda}$ であり、 $R(\lambda,D)$ は数列 $((\lambda-d_n)^{-1})_{n\ge1}$ から定まる作用素である。例 2.8により

\|R(\lambda,D)\|=\sup_n|\lambda-d_n|^{-1}=\Bigl(\inf_n|\lambda-d_n|\Bigr)^{-1}

である。 $\mu\in\tpcl{\Lambda}$ ならば $d_{n_k}\to\mu$ を満たす $\Lambda$ の点列 $(d_{n_k})$ があり、 $|\lambda-\mu|=\lim_k|\lambda-d_{n_k}|\ge\inf_n|\lambda-d_n|$ である。 $\Lambda\subseteq\tpcl{\Lambda}$ と合わせて $\inf\{|\lambda-\mu|:\mu\in\sigma(D)\}=\inf_n|\lambda-d_n|$ であり、所要の等式を得る。▨

問題 6.3. $\ell^2$ を複素数値数列の Hilbert 空間とし、 $L$ を例 2.9の左シフトとする。 $\sigma(L)$ 、 $\sigma_p(L)$ 、 $\sigma_c(L)$ 、 $\sigma_r(L)$ を求めよ。

解答.

$\sigma(L)=\{\lambda\in\C:|\lambda|\le1\}$ 、 $\sigma_p(L)=\{\lambda\in\C:|\lambda|<1\}$ 、 $\sigma_c(L)=\{\lambda\in\C:|\lambda|=1\}$ 、 $\sigma_r(L)=\emptyset$ である。

§E10.2 例 2.5により $\|L\|=1$ であるから、定理 3.5により $\sigma(L)\subseteq\{\lambda\in\C:|\lambda|\le1\}$ である。命題 5.3により $\sigma_p(L)=\{\lambda\in\C:|\lambda|<1\}$ であり、 $\sigma(L)$ は閉集合であるから $\sigma(L)=\{\lambda\in\C:|\lambda|\le1\}$ である。 $|\lambda|=1$ とする。命題 5.3により $\lambda I-L$ は単射である。例 2.9により $L^*=S$ であるから、命題 1.3 (1)、命題 1.3 (2)、命題 1.3 (5)により $(\lambda I-L)^*=\overline{\lambda}I-S$ である。例 5.1により $\ker(\overline{\lambda}I-S)=\{0\}$ であり、命題 1.4 (2)により $\tpcl{\im(\lambda I-L)}=\{0\}^\perp=\ell^2$ である。したがって $\lambda\in\sigma_c(L)$ である。開単位円板は $\sigma_p(L)$ に、単位円周は $\sigma_c(L)$ に含まれるから、 $\sigma_r(L)=\emptyset$ である。▨

問題 6.4. $\R^2$ に標準内積を入れ、 $J(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)$ とおく。すべての $\lambda\in\R$ について、 $V(\lambda I-J)=(\lambda I-J)V=I$ を満たす $V\in B(\R^2)$ が存在することを示せ。さらに、同じ式で定まる $\C^2$ 上の作用素 $J_\C(z_1,z_2)=(-z_2,z_1)$ について $\sigma(J_\C)=\{i,-i\}$ を示せ。

解答.

$J^2=-I$ である。 $\lambda\in\R$ について $(\lambda I-J)(\lambda I+J)=(\lambda I+J)(\lambda I-J)=\lambda^2I-J^2=(\lambda^2+1)I$ であり、 $\lambda^2+1>0$ であるから、 $V=(\lambda^2+1)^{-1}(\lambda I+J)$ が条件を満たす。 $J$ は等長な線形写像であるから、 $V\in B(\R^2)$ である。

$J_\C^2=-I$ であるから、 $\lambda\in\C\setminus\{i,-i\}$ について同じ計算により $(\lambda^2+1)^{-1}(\lambda I+J_\C)$ は $\lambda I-J_\C$ の $B(\C^2)$ での逆であり、 $\lambda\in\rho(J_\C)$ である。一方 $J_\C(1,-i)=(i,1)=i(1,-i)$ と $J_\C(1,i)=(-i,1)=-i(1,i)$ により $i$ と $-i$ は $J_\C$ の固有値であり、定義 3.3により $\sigma(J_\C)$ に属する。したがって $\sigma(J_\C)=\{i,-i\}$ である。前半により、実数体の上では $\lambda I-J$ が可逆でない実数 $\lambda$ が存在しないので、定理 4.1から複素数体の仮定を外すことはできない。▨

§E12.1共役作用素

1 有界な形式と共役作用素

2 自己共役作用素、正規作用素、ユニタリ作用素、正作用素

3 レゾルベント集合とスペクトル

4 Hilbert 空間上の作用素のスペクトル

5 片側シフトのスペクトル

6 演習

参考文献

前提記事