§E12.6コンパクト自己共役作用素

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有限次元の内積空間の上の自己共役作用素は、固有ベクトルからなる正規直交基底をもち、対角化することができる。しかし無限次元の Hilbert 空間では、有界な自己共役作用素であっても固有値を一つももたない場合があり、たとえばL2([0,1])L^2([0,1])の上で関数xxを掛ける作用素は固有ベクトルをもたない。コンパクト自己共役作用素は、このような困難が現れず、有限次元の場合と同じ形の固有ベクトルによる展開が成り立つ、最も基本的な作用素のクラスの一つである。有界閉区間の上で実数値かつ対称な連続関数を核とする積分作用素は、その区間上のL2L^2空間におけるコンパクト自己共役作用素である。たとえば、[0,π][0,\pi]上の境界値問題−u′′=f-u''=f、u(0)=u(π)=0u(0)=u(\pi)=0の解uuは、ffにそのような積分作用素を施して得られる。本記事では、コンパクト自己共役作用素の固有値と固有ベクトルによる展開を導き、コンパクト正規作用素の対角化、固有値の最大最小原理、およびコンパクト作用素の特異値分解を扱う。

1 正規作用素の固有空間と不変部分空間

補題 1.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、T∈B(H)T\in B(H)を正規作用素とする。

  1. すべてのλ∈K\lambda\in\mathbb Kとk≥1k\ge1についてker⁡(λI−T)k=ker⁡(λI−T)\ker(\lambda I-T)^k=\ker(\lambda I-T)である。特に、λ\lambdaに対するTTの一般固有空間Eλ(T)E_\lambda(T)（§E12.2 定義 5.6）はker⁡(λI−T)\ker(\lambda I-T)に等しく、TTのλ\lambdaにおける代数的重複度はdim⁡ker⁡(λI−T)\dim\ker(\lambda I-T)に等しい。
  2. λ,μ∈K\lambda,\mu\in\mathbb Kがλ≠μ\lambda\ne\muを満たすならば、すべてのx∈ker⁡(λI−T)x\in\ker(\lambda I-T)とy∈ker⁡(μI−T)y\in\ker(\mu I-T)について⟨x,y⟩=0\langle x,y\rangle=0である。

証明.主張 (1)を示す。λ∈K\lambda\in\mathbb Kとし、N=λI−TN=\lambda I-Tとおく。§E12.1 命題 2.4 (2)によりT−λIT-\lambda Iは正規作用素であり、N=−(T−λI)N=-(T-\lambda I)と§E12.1 命題 1.3 (2)によりN∗N=(T−λI)∗(T−λI)=(T−λI)(T−λI)∗=NN∗N^*N=(T-\lambda I)^*(T-\lambda I)=(T-\lambda I)(T-\lambda I)^*=NN^*であるから、NNも正規作用素である。§E12.1 命題 2.4 (1)により、すべてのz∈Hz\in Hについて∥Nz∥=∥N∗z∥\|Nz\|=\|N^*z\|であり、ker⁡N=ker⁡N∗\ker N=\ker N^*である。x∈Hx\in HがN2x=0N^2x=0を満たすとし、y=Nxy=Nxとおく。Ny=0Ny=0であるからN∗y=0N^*y=0であり、

∥Nx∥2=⟨Nx,y⟩=⟨x,N∗y⟩=0\|Nx\|^2=\langle Nx,y\rangle=\langle x,N^*y\rangle=0

である。したがってker⁡N2⊆ker⁡N\ker N^2\subseteq\ker Nである。k≥1k\ge1とし、N0=IN^0=Iとする。x∈ker⁡Nk+1x\in\ker N^{k+1}ならばN2(Nk−1x)=0N^2(N^{k-1}x)=0であるからNk−1x∈ker⁡NN^{k-1}x\in\ker Nであり、Nkx=0N^kx=0である。したがってker⁡Nk+1⊆ker⁡Nk\ker N^{k+1}\subseteq\ker N^kであり、逆の包含はNk+1x=N(Nkx)N^{k+1}x=N(N^kx)から従う。kkについての帰納法により、すべてのk≥1k\ge1についてker⁡Nk=ker⁡N\ker N^k=\ker Nである。Eλ(T)E_\lambda(T)はker⁡Nk\ker N^k（k≥1k\ge1）の和集合であるから、ker⁡N\ker Nに等しい。

主張 (2)を示す。x∈ker⁡(λI−T)x\in\ker(\lambda I-T)、y∈ker⁡(μI−T)y\in\ker(\mu I-T)とする。§E12.1 命題 2.4 (2)によりT∗y=μ‾yT^*y=\overline{\mu}yであるから

λ⟨x,y⟩=⟨Tx,y⟩=⟨x,T∗y⟩=⟨x,μ‾y⟩=μ⟨x,y⟩\lambda\langle x,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle=\langle x,\overline{\mu}y\rangle=\mu\langle x,y\rangle

であり、λ≠μ\lambda\ne\muから⟨x,y⟩=0\langle x,y\rangle=0を得る。▨

命題 1.2.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、T∈B(H)T\in B(H)を自己共役作用素とする。λ∈K\lambda\in\mathbb Kとx∈H∖{0}x\in H\setminus\{0\}がTx=λxTx=\lambda xを満たすならば、λ∈R\lambda\in\Rである。λ,μ∈K\lambda,\mu\in\mathbb Kがλ≠μ\lambda\ne\muを満たすならば、すべてのx∈ker⁡(λI−T)x\in\ker(\lambda I-T)とy∈ker⁡(μI−T)y\in\ker(\mu I-T)について⟨x,y⟩=0\langle x,y\rangle=0である。

証明.Tx=λxTx=\lambda x、x≠0x\ne0とする。λ∥x∥2=⟨Tx,x⟩\lambda\|x\|^2=\langle Tx,x\rangleであり、§E12.1 命題 2.7 (1)により右辺は実数である。∥x∥2>0\|x\|^2>0であるからλ∈R\lambda\in\Rである。§E12.1 定義 2.2によりTTは正規作用素であるから、固有空間の直交性は補題 1.1 (2)から従う。▨

補題 1.3.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、T∈B(H)T\in B(H)とし、NNをT(N)⊆NT(N)\subseteq NとT∗(N)⊆NT^*(N)\subseteq Nを満たすHHの閉線形部分空間とする。NNにHHの内積を制限し、TN ⁣:N→NT_N\colon N\to NをTNx=TxT_Nx=Tx、(T∗)N ⁣:N→N(T^*)_N\colon N\to Nを(T∗)Nx=T∗x(T^*)_Nx=T^*xで定める。

  1. T(N⊥)⊆N⊥T(N^\perp)\subseteq N^\perpかつT∗(N⊥)⊆N⊥T^*(N^\perp)\subseteq N^\perpである。
  2. NNは Hilbert 空間であり、TN∈B(N)T_N\in B(N)、∥TN∥≤∥T∥\|T_N\|\le\|T\|、(TN)∗=(T∗)N(T_N)^*=(T^*)_Nが成り立つ。特に、TTが正規作用素ならばTNT_Nは正規作用素であり、TTが自己共役作用素ならばTNT_Nは自己共役作用素である。
  3. TTがコンパクト作用素ならば、TNT_NはNN上のコンパクト作用素である。

証明.主張 (1)を示す。y∈N⊥y\in N^\perp、z∈Nz\in Nとする。T∗z∈NT^*z\in Nであるから⟨Ty,z⟩=⟨y,T∗z⟩=0\langle Ty,z\rangle=\langle y,T^*z\rangle=0であり、Tz∈NTz\in Nであるから⟨T∗y,z⟩=⟨y,Tz⟩=0\langle T^*y,z\rangle=\langle y,Tz\rangle=0である。したがってTyTyとT∗yT^*yはN⊥N^\perpに属する。

主張 (2)を示す。§E10.1 命題 1.4 (1)によりNNは Banach 空間であり、内積を制限したものとして Hilbert 空間である。TNT_Nは線形であり、x∈Nx\in Nについて∥TNx∥=∥Tx∥≤∥T∥ ∥x∥\|T_Nx\|=\|Tx\|\le\|T\|\,\|x\|であるから、TN∈B(N)T_N\in B(N)かつ∥TN∥≤∥T∥\|T_N\|\le\|T\|である。x∈Nx\in Nについて∥(T∗)Nx∥=∥T∗x∥≤∥T∗∥ ∥x∥\|(T^*)_Nx\|=\|T^*x\|\le\|T^*\|\,\|x\|であるから、(T∗)N∈B(N)(T^*)_N\in B(N)である。x,y∈Nx,y\in Nについて

⟨TNx,y⟩=⟨Tx,y⟩=⟨x,T∗y⟩=⟨x,(T∗)Ny⟩\langle T_Nx,y\rangle=\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle=\langle x,(T^*)_Ny\rangle

であるから、§E12.1 命題 1.2の一意性を Hilbert 空間NN上のTNT_Nに適用して(TN)∗=(T∗)N(T_N)^*=(T^*)_Nを得る。TTが正規作用素ならば、x∈Nx\in Nについて(TN)∗TNx=T∗Tx=TT∗x=TN(TN)∗x(T_N)^*T_Nx=T^*Tx=TT^*x=T_N(T_N)^*xである。TTが自己共役作用素ならば(TN)∗=(T∗)N=TN(T_N)^*=(T^*)_N=T_Nである。

主張 (3)を示す。(xn)(x_n)をNNの有界な点列とする。§E12.2 命題 1.3 (1)⇔\Leftrightarrow(2)をTTに適用すると、部分列(xnk)(x_{n_k})とy∈Hy\in Hが存在してTxnk→yTx_{n_k}\to yとなる。Txnk∈NTx_{n_k}\in NでありNNは閉集合であるから、y∈Ny\in Nである。§E12.2 命題 1.3 (1)⇔\Leftrightarrow(2)をTN∈B(N)T_N\in B(N)に適用すると、TNT_Nはコンパクト作用素である。▨

2 Rayleigh 商と固有値の存在

定義 2.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、T∈B(H)T\in B(H)を自己共役作用素とする。x∈H∖{0}x\in H\setminus\{0\}に対して

RT(x)=⟨Tx,x⟩⟨x,x⟩R_T(x)=\frac{\langle Tx,x\rangle}{\langle x,x\rangle}

を、TTのxxにおける Rayleigh 商 (Rayleigh quotient) という。§E12.1 命題 2.7 (1)によりRT(x)R_T(x)は実数であり、§E3.33 定理 1.3により∣RT(x)∣≤∥T∥|R_T(x)|\le\|T\|である。すべてのc∈K∖{0}c\in\mathbb K\setminus\{0\}についてRT(cx)=RT(x)R_T(cx)=R_T(x)である。

補題 2.2.H≠{0}H\ne\{0\}をK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、T∈B(H)T\in B(H)を自己共役作用素とする。このとき

∥T∥=sup⁡{∣RT(x)∣:x∈H∖{0}}\|T\|=\sup\{|R_T(x)|:x\in H\setminus\{0\}\}

が成り立つ。

証明. 右辺をccとおく。定義 2.1によりc≤∥T∥c\le\|T\|であり、すべてのz∈Hz\in Hについて∣⟨Tz,z⟩∣≤c∥z∥2|\langle Tz,z\rangle|\le c\|z\|^2である。x,y∈Hx,y\in Hとする。TTは自己共役作用素であるから⟨Ty,x⟩=⟨y,Tx⟩=⟨Tx,y⟩‾\langle Ty,x\rangle=\langle y,Tx\rangle=\overline{\langle Tx,y\rangle}であり、

⟨T(x+y),x+y⟩−⟨T(x−y),x−y⟩=2⟨Tx,y⟩+2⟨Ty,x⟩=4ℜ⟨Tx,y⟩\langle T(x+y),x+y\rangle-\langle T(x-y),x-y\rangle=2\langle Tx,y\rangle+2\langle Ty,x\rangle=4\Re\langle Tx,y\rangle

である（K=R\mathbb K=\Rではℜ\Re は恒等写像である）。左辺の二項に上の評価を適用し、§E10.3 命題 1.5を用いると

4ℜ⟨Tx,y⟩≤c(∥x+y∥2+∥x−y∥2)=2c(∥x∥2+∥y∥2)4\Re\langle Tx,y\rangle\le c\bigl(\|x+y\|^2+\|x-y\|^2\bigr)=2c\bigl(\|x\|^2+\|y\|^2\bigr)

を得る。x∈Hx\in Hが∥x∥=1\|x\|=1とTx≠0Tx\ne0を満たすとし、y=Tx/∥Tx∥y=Tx/\|Tx\|とおくと、ℜ⟨Tx,y⟩=∥Tx∥\Re\langle Tx,y\rangle=\|Tx\|であるから4∥Tx∥≤4c4\|Tx\|\le4cである。Tx=0Tx=0ならば∥Tx∥=0≤c\|Tx\|=0\le cである。したがって∥T∥≤c\|T\|\le cである。▨

補題 2.3.H≠{0}H\ne\{0\}をK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、T∈B(H)T\in B(H)をコンパクトな自己共役作用素とする。μ=sup⁡{RT(x):x∈H∖{0}}\mu=\sup\{R_T(x):x\in H\setminus\{0\}\}とおく。

  1. μ>0\mu>0ならば、∥x∥=1\|x\|=1とTx=μxTx=\mu xを満たすx∈Hx\in Hが存在する。特に、μ\muはRTR_Tの最大値である。
  2. ∥T∥\|T\|と−∥T∥-\|T\|の少なくとも一方はTTの固有値である。特に、T≠0T\ne0ならばTTは零でない固有値をもつ。

証明.主張 (1)を示す。μ>0\mu>0とし、B=μI−TB=\mu I-Tとおく。§E12.1 命題 1.3 (1)、§E12.1 命題 1.3 (2)、§E12.1 命題 1.3 (5)によりBBは自己共役作用素であり、μ\muの定義によりすべてのx∈Hx\in Hについて⟨Bx,x⟩=μ∥x∥2−⟨Tx,x⟩≥0\langle Bx,x\rangle=\mu\|x\|^2-\langle Tx,x\rangle\ge0であるから、BBは正作用素である。μ\muの定義とRT(cx)=RT(x)R_T(cx)=R_T(x)により、∥xn∥=1\|x_n\|=1と⟨Txn,xn⟩→μ\langle Tx_n,x_n\rangle\to\muを満たすHHの点列(xn)(x_n)が存在する。§E12.1 命題 2.7 (3)により

∥Bxn∥2≤∥B∥⟨Bxn,xn⟩=∥B∥(μ−⟨Txn,xn⟩)→0\|Bx_n\|^2\le\|B\|\langle Bx_n,x_n\rangle=\|B\|\bigl(\mu-\langle Tx_n,x_n\rangle\bigr)\to0

である。§E12.2 命題 1.3 (1)⇔\Leftrightarrow(2)により、部分列(xnk)(x_{n_k})とy∈Hy\in Hが存在してTxnk→yTx_{n_k}\to yとなる。このときμxnk=Txnk+Bxnk→y\mu x_{n_k}=Tx_{n_k}+Bx_{n_k}\to yであり、x=μ−1yx=\mu^{-1}yとおくとxnk→xx_{n_k}\to xである。ノルムの連続性により∥x∥=1\|x\|=1であり、TTの連続性によりTx=lim⁡kTxnk=y=μxTx=\lim_kTx_{n_k}=y=\mu xである。RT(x)=μR_T(x)=\muであるから、μ\muはRTR_Tの最大値である。

主張 (2)を示す。T=0T=0ならば、H≠{0}H\ne\{0\}であるから、零でないベクトルはTTの固有値0=∥T∥0=\|T\|に対する固有ベクトルである。T≠0T\ne0とする。§E12.2 命題 1.8 (1)と§E12.1 命題 1.3 (2)により−T-Tはコンパクトな自己共役作用素であり、R−T=−RTR_{-T}=-R_Tである。補題 2.2と∣r∣=max⁡{r,−r}|r|=\max\{r,-r\}（r∈Rr\in\R）により

∥T∥=max⁡{sup⁡x≠0RT(x), sup⁡x≠0R−T(x)}\|T\|=\max\Bigl\{\sup_{x\ne0}R_T(x),\ \sup_{x\ne0}R_{-T}(x)\Bigr\}

であるから、sup⁡RT=∥T∥\sup R_T=\|T\|またはsup⁡R−T=∥T∥\sup R_{-T}=\|T\|が成り立つ。前者の場合、∥T∥>0\|T\|>0であるから、主張 (1)により∥T∥\|T\|はTTの固有値である。後者の場合、主張 (1)を−T-Tに適用すると、∥x∥=1\|x\|=1と−Tx=∥T∥x-Tx=\|T\|xを満たすx∈Hx\in Hが存在するから、−∥T∥-\|T\|はTTの固有値である。▨

3 コンパクト正規作用素の固有空間による分解

補題 3.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、T∈K(H)T\in\mathcal K(H)を正規作用素とする。Λ={λ∈K∖{0}:ker⁡(λI−T)≠{0}}\Lambda=\{\lambda\in\mathbb K\setminus\{0\}:\ker(\lambda I-T)\ne\{0\}\}とし、⋃λ∈Λker⁡(λI−T)\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\ker(\lambda I-T)が張る線形部分空間のHHにおける閉包をMM、MMへの直交射影をPPとする。

  1. 各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてker⁡(λI−T)\ker(\lambda I-T)は有限次元である。任意のε>0\varepsilon>0について{λ∈Λ:∣λ∣≥ε}\{\lambda\in\Lambda:|\lambda|\ge\varepsilon\}は有限集合である。Λ\Lambdaは高々可算であり、K∖{0}\mathbb K\setminus\{0\}のどの点もΛ\Lambdaの集積点でなく、Λ\Lambdaが無限集合ならば00はΛ\Lambdaの集積点である。
  2. Λ\Lambdaの元を重複なく並べた有限列または列を(νj)(\nu_j)とし、各jjについてker⁡(νjI−T)\ker(\nu_jI-T)の正規直交基底を一つとって、これらをjjの順に並べた有限列または列を(en)(e_n)とする。ene_nがker⁡(νjI−T)\ker(\nu_jI-T)の基底に属するときλn=νj\lambda_n=\nu_jとおく。このとき(en)(e_n)はHHの正規直交系であり、すべてのnnについてTen=λnenTe_n=\lambda_ne_nとT∗en=λn‾enT^*e_n=\overline{\lambda_n}e_nを満たし、Hilbert 空間MMの完全正規直交系である。(en)(e_n)が無限列ならばλn→0\lambda_n\to0である。
  3. 主張 (2)の(νj)(\nu_j)、(en)(e_n)、(λn)(\lambda_n)と、各jjについてのker⁡(νjI−T)\ker(\nu_jI-T)への直交射影PjP_jをとる。すべてのx∈Hx\in Hについて Px=∑n⟨x,en⟩en,TPx=∑nλn⟨x,en⟩en=∑jνjPjxPx=\sum_n\langle x,e_n\rangle e_n,\qquad TPx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n=\sum_j\nu_jP_jx がノルム収束として成り立つ。(en)(e_n)が無限列ならば、N≥1N\ge1についてFN=∑n≤Nλn⟨⋅,en⟩enF_N=\sum_{n\le N}\lambda_n\langle\cdot,e_n\rangle e_nとおくと、∥TP−FN∥≤sup⁡n>N∣λn∣\|TP-F_N\|\le\sup_{n>N}|\lambda_n|であり、右辺はN→∞N\to\inftyのとき00に収束する。

証明.主張 (1)を示す。λ∈Λ\lambda\in\Lambdaならば、§E12.2 命題 5.2 (1)によりker⁡(λI−T)\ker(\lambda I-T)は有限次元である。ε>0\varepsilon>0についてΛε={λ∈Λ:∣λ∣≥ε}\Lambda_\varepsilon=\{\lambda\in\Lambda:|\lambda|\ge\varepsilon\}とおくと、§E12.2 補題 5.9によりΛε\Lambda_\varepsilonは有限集合である。Λ=⋃k≥1Λ1/k\Lambda=\bigcup_{k\ge1}\Lambda_{1/k}であるから、Λ\Lambdaは高々可算である。z∈K∖{0}z\in\mathbb K\setminus\{0\}とすると、∣λ−z∣<∣z∣/2|\lambda-z|<|z|/2を満たすλ∈Λ\lambda\in\Lambdaは有限集合Λ∣z∣/2\Lambda_{|z|/2}に属する。Λ∣z∣/2∖{z}\Lambda_{|z|/2}\setminus\{z\}の各点とzzとの距離、および∣z∣/2|z|/2の最小値をr>0r>0とすると、0<∣λ−z∣<r0<|\lambda-z|<rを満たすλ∈Λ\lambda\in\Lambdaは存在しないから、zzはΛ\Lambdaの集積点でない。Λ\Lambdaが無限集合ならば、任意のε>0\varepsilon>0についてΛ∖Λε={λ∈Λ:∣λ∣<ε}\Lambda\setminus\Lambda_\varepsilon=\{\lambda\in\Lambda:|\lambda|<\varepsilon\}は無限集合であるから、00はΛ\Lambdaの集積点である。

主張 (2)を示す。§E3.33 定理 2.2により、有限次元の内積空間ker⁡(νjI−T)\ker(\nu_jI-T)は正規直交基底をもつ。各基底は有限集合であり、(νj)(\nu_j)は有限列または列であるから、(en)(e_n)は有限列または列である。同じ基底に属する二つのベクトルは直交し、異なる基底に属する二つのベクトルは補題 1.1 (2)により直交するから、(en)(e_n)は正規直交系である。en∈ker⁡(λnI−T)e_n\in\ker(\lambda_nI-T)であるからTen=λnenTe_n=\lambda_ne_nであり、§E12.1 命題 2.4 (2)によりT∗en=λn‾enT^*e_n=\overline{\lambda_n}e_nである。各ker⁡(νjI−T)\ker(\nu_jI-T)は(en)(e_n)の有限個の元で張られるから、(en)(e_n)の線形包は⋃λ∈Λker⁡(λI−T)\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\ker(\lambda I-T)が張る線形部分空間に等しく、その閉包はMMである。§E10.1 命題 1.4 (1)によりMMは Hilbert 空間であり、(en)(e_n)はMMの完全正規直交系である。(en)(e_n)が無限列であるとし、ε>0\varepsilon>0をとる。主張 (1)により∣νj∣≥ε|\nu_j|\ge\varepsilonを満たすjjは有限個であり、それぞれのjjについてλn=νj\lambda_n=\nu_jを満たすnnはdim⁡ker⁡(νjI−T)\dim\ker(\nu_jI-T)個である。したがって∣λn∣≥ε|\lambda_n|\ge\varepsilonを満たすnnは有限個であり、λn→0\lambda_n\to0である。

主張 (3)を示す。x∈Hx\in Hとする。§E10.3 命題 2.4によりPen=enPe_n=e_nであり、⟨Px,en⟩=⟨x,Pen⟩=⟨x,en⟩\langle Px,e_n\rangle=\langle x,Pe_n\rangle=\langle x,e_n\rangleである。§E10.3 定理 3.5 (1)⇔\Leftrightarrow(3)を Hilbert 空間MMの元PxPxに適用すると、Px=∑n⟨x,en⟩enPx=\sum_n\langle x,e_n\rangle e_nがノルム収束として成り立つ。TTは連続でありTen=λnenTe_n=\lambda_ne_nであるから、TPx=∑nλn⟨x,en⟩enTPx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_nである。§E10.3 補題 3.2により、PjxP_jxはker⁡(νjI−T)\ker(\nu_jI-T)の基底に属するene_nについての⟨x,en⟩en\langle x,e_n\rangle e_nの和に等しい。したがって(νj)(\nu_j)が無限列ならば、∑j≤JνjPjx\sum_{j\le J}\nu_jP_jxはTPxTPxの級数の部分和の部分列であり、J→∞J\to\inftyのときTPxTPxに収束する。(νj)(\nu_j)が有限列ならば、二つの和はどちらも有限和であって一致する。

(en)(e_n)が無限列であるとし、N≥1N\ge1についてsN=sup⁡n>N∣λn∣s_N=\sup_{n>N}|\lambda_n|とおく。N<N′N<N'について、§E10.3 補題 3.2と§E10.3 定理 3.4により

∥∑N<n≤N′λn⟨x,en⟩en∥2=∑N<n≤N′∣λn∣2∣⟨x,en⟩∣2≤sN2∑n≥1∣⟨x,en⟩∣2≤sN2∥x∥2\Bigl\|\sum_{N<n\le N'}\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n\Bigr\|^2=\sum_{N<n\le N'}|\lambda_n|^2|\langle x,e_n\rangle|^2\le s_N^2\sum_{n\ge1}|\langle x,e_n\rangle|^2\le s_N^2\|x\|^2

である。N′→∞N'\to\inftyとすると、ノルムの連続性により∥TPx−FNx∥≤sN∥x∥\|TPx-F_Nx\|\le s_N\|x\|を得る。λn→0\lambda_n\to0であるから、N→∞N\to\inftyのときsN→0s_N\to0である。▨

補題 3.2.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、T∈K(H)T\in\mathcal K(H)を正規作用素とする。Λ\Lambda、MM、PPを補題 3.1のとおりとする。

  1. T(M)⊆MT(M)\subseteq M、T∗(M)⊆MT^*(M)\subseteq M、T(M⊥)⊆M⊥T(M^\perp)\subseteq M^\perp、T∗(M⊥)⊆M⊥T^*(M^\perp)\subseteq M^\perpである。
  2. ker⁡T⊆M⊥\ker T\subseteq M^\perpである。
  3. TTのM⊥M^\perpへの制限TM⊥ ⁣:M⊥→M⊥T_{M^\perp}\colon M^\perp\to M^\perpは、Hilbert 空間M⊥M^\perp上のコンパクトな正規作用素であり、零でない固有値をもたない。
  4. ker⁡T=M⊥\ker T=M^\perpであるための必要十分条件は、TM⊥=0T_{M^\perp}=0である。この条件が成り立つとき、H=ker⁡T⊕MH=\ker T\oplus Mであり、TP=TTP=Tである。

証明.主張 (1)を示す。λ∈Λ\lambda\in\Lambdaとe∈ker⁡(λI−T)e\in\ker(\lambda I-T)について、Te=λeTe=\lambda eであり、§E12.1 命題 2.4 (2)によりT∗e=λ‾eT^*e=\overline{\lambda}eである。したがって、⋃λ∈Λker⁡(λI−T)\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\ker(\lambda I-T)が張る線形部分空間SSはT(S)⊆ST(S)\subseteq SとT∗(S)⊆ST^*(S)\subseteq Sを満たす。TTとT∗T^*は連続であるから、M=S‾M=\tpcl{S}についてT(M)⊆T(S)‾⊆MT(M)\subseteq\tpcl{T(S)}\subseteq MとT∗(M)⊆T∗(S)‾⊆MT^*(M)\subseteq\tpcl{T^*(S)}\subseteq Mが成り立つ。補題 1.3 (1)をN=MN=Mに適用すると、残りの二つの包含を得る。

主張 (2)を示す。x∈ker⁡T=ker⁡(0I−T)x\in\ker T=\ker(0I-T)とする。補題 1.1 (2)により、xxはすべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてker⁡(λI−T)\ker(\lambda I-T)のすべての元と直交するから、SSのすべての元と直交する。§E10.3 補題 1.2による内積の連続性により、xxはM=S‾M=\tpcl{S}のすべての元と直交し、x∈M⊥x\in M^\perpである。

主張 (3)を示す。M⊥M^\perpは内積の連続性によりHHの閉線形部分空間であり、主張 (1)により補題 1.3の仮定を満たす。補題 1.3 (2)と補題 1.3 (3)により、TM⊥T_{M^\perp}は Hilbert 空間M⊥M^\perp上のコンパクトな正規作用素である。μ∈K∖{0}\mu\in\mathbb K\setminus\{0\}とv∈M⊥v\in M^\perpがTv=μvTv=\mu vを満たし、v≠0v\ne0であると仮定する。このときμ∈Λ\mu\in\Lambdaかつv∈ker⁡(μI−T)⊆Mv\in\ker(\mu I-T)\subseteq Mであるからv∈M∩M⊥v\in M\cap M^\perpであり、⟨v,v⟩=0\langle v,v\rangle=0となってv≠0v\ne0に反する。したがってTM⊥T_{M^\perp}は零でない固有値をもたない。

主張 (4)を示す。ker⁡T=M⊥\ker T=M^\perpならば、すべてのv∈M⊥v\in M^\perpについてTM⊥v=Tv=0T_{M^\perp}v=Tv=0である。逆にTM⊥=0T_{M^\perp}=0ならばM⊥⊆ker⁡TM^\perp\subseteq\ker Tであり、主張 (2)と合わせてker⁡T=M⊥\ker T=M^\perpを得る。この条件が成り立つとき、MMは閉線形部分空間であるから、§E10.3 定理 2.2によりH=M⊕M⊥=M⊕ker⁡TH=M\oplus M^\perp=M\oplus\ker Tである。§E10.3 命題 2.4によりI−PI-PはM⊥M^\perpへの直交射影であり、T(I−P)=0T(I-P)=0であるからTP=TTP=Tである。▨

4 コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理

定理 4.1 (コンパクト自己共役作用素のスペクトル定理).HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、T∈B(H)T\in B(H)をコンパクトな自己共役作用素とする。Λ={λ∈K∖{0}:ker⁡(λI−T)≠{0}}\Lambda=\{\lambda\in\mathbb K\setminus\{0\}:\ker(\lambda I-T)\ne\{0\}\}をTTの零でない固有値の全体とし、⋃λ∈Λker⁡(λI−T)\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\ker(\lambda I-T)が張る線形部分空間のHHにおける閉包をMMとする。

  1. Λ⊆R\Lambda\subseteq\Rである。各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてker⁡(λI−T)\ker(\lambda I-T)は有限次元であり、その次元はTTのλ\lambdaにおける代数的重複度に等しい。任意のε>0\varepsilon>0について{λ∈Λ:∣λ∣≥ε}\{\lambda\in\Lambda:|\lambda|\ge\varepsilon\}は有限集合である。Λ\Lambdaは高々可算であり、K∖{0}\mathbb K\setminus\{0\}のどの点もΛ\Lambdaの集積点でなく、Λ\Lambdaが無限集合ならば00はΛ\Lambdaの集積点である。相異なるλ,μ∈Λ∪{0}\lambda,\mu\in\Lambda\cup\{0\}について、ker⁡(λI−T)\ker(\lambda I-T)とker⁡(μI−T)\ker(\mu I-T)は直交する。
  2. ker⁡T=M⊥\ker T=M^\perpであり、H=ker⁡T⊕MH=\ker T\oplus Mと直交分解される。
  3. Λ\Lambdaの元を重複なく並べた有限列または列(νj)(\nu_j)と、各ker⁡(νjI−T)\ker(\nu_jI-T)の正規直交基底をjjの順に並べた有限列または列(en)(e_n)をとり、en∈ker⁡(λnI−T)e_n\in\ker(\lambda_nI-T)を満たすλn∈Λ\lambda_n\in\Lambdaを定める。QQをker⁡T\ker Tへの直交射影とする。このとき(en)(e_n)はMMの完全正規直交系であり、すべてのx∈Hx\in Hについて x=Qx+∑n⟨x,en⟩en,Tx=∑nλn⟨x,en⟩enx=Qx+\sum_n\langle x,e_n\rangle e_n,\qquad Tx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n がノルム収束として成り立つ。(en)(e_n)が無限列ならばλn→0\lambda_n\to0であり、∑n≤Nλn⟨⋅,en⟩en\sum_{n\le N}\lambda_n\langle\cdot,e_n\rangle e_nはN→∞N\to\inftyのとき作用素ノルムについてTTに収束する。

証明.§E12.1 定義 2.2によりTTは正規作用素であるから、補題 3.1と補題 3.2を適用することができる。

主張 (1)を示す。命題 1.2によりΛ⊆R\Lambda\subseteq\Rである。固有空間の次元と代数的重複度の一致は補題 1.1 (1)から、固有空間の直交性は補題 1.1 (2)から、残りの主張は補題 3.1 (1)から従う。

主張 (2)を示す。補題 3.2 (3)により、TM⊥T_{M^\perp}は Hilbert 空間M⊥M^\perp上のコンパクトな作用素であって、零でない固有値をもたない。補題 3.2 (1)によりM⊥M^\perpは補題 1.3の仮定を満たすから、補題 1.3 (2)によりTM⊥T_{M^\perp}は自己共役作用素である。M⊥≠{0}M^\perp\ne\{0\}ならば、補題 2.3 (2)により∥TM⊥∥\|T_{M^\perp}\|と−∥TM⊥∥-\|T_{M^\perp}\|の一方はTM⊥T_{M^\perp}の固有値であるから、∥TM⊥∥=0\|T_{M^\perp}\|=0である。M⊥={0}M^\perp=\{0\}ならばTM⊥=0T_{M^\perp}=0である。いずれの場合もTM⊥=0T_{M^\perp}=0であり、補題 3.2 (4)によりker⁡T=M⊥\ker T=M^\perpかつH=ker⁡T⊕MH=\ker T\oplus Mである。

主張 (3)を示す。PPをMMへの直交射影とする。§E10.3 命題 2.4と主張 (2)により、I−PI-PはM⊥=ker⁡TM^\perp=\ker Tへの直交射影であるからQ=I−PQ=I-Pであり、補題 3.2 (4)によりTP=TTP=Tである。補題 3.1 (2)と補題 3.1 (3)を適用すると、x=Qx+Pxx=Qx+Pxの展開、Tx=TPxTx=TPxの展開、λn→0\lambda_n\to0、および作用素ノルムについての収束を得る。▨

注意 4.2.HHが有限次元ならば、すべてのT∈B(H)T\in B(H)は有限階数作用素であるから、§E12.2 命題 1.4によりコンパクト作用素である。TTが自己共役作用素ならば、定理 4.1 (3)の(en)(e_n)にker⁡T\ker Tの正規直交基底を加えた系は、定理 4.1 (2)によりTTの固有ベクトルからなるHHの正規直交基底である。したがって定理 4.1は、§E3.38 定理 3.1と、§E3.38 定理 2.1の自己共役作用素の場合を含む。

例 4.3.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、u∈H∖{0}u\in H\setminus\{0\}についてTx=⟨x,u⟩uTx=\langle x,u\rangle uでT ⁣:H→HT\colon H\to Hを定める。§E3.33 定理 1.3により∥Tx∥≤∥u∥2∥x∥\|Tx\|\le\|u\|^2\|x\|であり、im⁡T⊆span⁡{u}\im T\subseteq\operatorname{span}\{u\}であるから、TTは有限階数作用素であり、§E12.2 命題 1.4によりコンパクトである。x,y∈Hx,y\in Hについて

⟨Tx,y⟩=⟨x,u⟩⟨u,y⟩=⟨x,⟨y,u⟩u⟩=⟨x,Ty⟩\langle Tx,y\rangle=\langle x,u\rangle\langle u,y\rangle=\bigl\langle x,\langle y,u\rangle u\bigr\rangle=\langle x,Ty\rangle

であるから、TTは自己共役作用素である。ker⁡T={u}⊥\ker T=\{u\}^\perpであり、Tu=∥u∥2uTu=\|u\|^2uである。λ≠0\lambda\ne0とx∈H∖{0}x\in H\setminus\{0\}がTx=λxTx=\lambda xを満たすならば、x=λ−1⟨x,u⟩ux=\lambda^{-1}\langle x,u\rangle uであるからx=cux=cu（c∈K∖{0}c\in\mathbb K\setminus\{0\}）と表され、Tx=c∥u∥2uTx=c\|u\|^2uと比べてλ=∥u∥2\lambda=\|u\|^2を得る。したがってΛ={∥u∥2}\Lambda=\{\|u\|^2\}、ker⁡(∥u∥2I−T)=span⁡{u}\ker(\|u\|^2I-T)=\operatorname{span}\{u\}、M=span⁡{u}M=\operatorname{span}\{u\}であり、e=u/∥u∥e=u/\|u\|について定理 4.1 (3)の展開はTx=∥u∥2⟨x,e⟩eTx=\|u\|^2\langle x,e\rangle eとなる。HHが無限次元ならば、零でない固有値の固有空間MMが一次元であるのに対し、ker⁡T={u}⊥\ker T=\{u\}^\perpは無限次元である。

H=L2([0,1])H=L^2([0,1])（Lebesgue 測度）とし、u(x)=xu(x)=xとおくと、TTは核K(x,y)=xyK(x,y)=xyの積分作用素(Tf)(x)=∫01xyf(y) dy(Tf)(x)=\int_0^1xyf(y)\,dyである。このときΛ={1/3}\Lambda=\{1/3\}であり、固有空間はuuで張られ、ker⁡T\ker Tは∫01yf(y) dy=0\int_0^1yf(y)\,dy=0を満たすffの全体である。

例 4.4.L2([0,π])L^2([0,\pi])を Lebesgue 測度に関するK\mathbb K値の二乗可積分関数の Hilbert 空間とし、n≥1n\ge1についてsn(x)=sin⁡nxs_n(x)=\sin nx、en=2/π sne_n=\sqrt{2/\pi}\,s_nとおく。n,m≥1n,m\ge1について

∫0πsin⁡nx sin⁡mx dx=12∫0π(cos⁡(n−m)x−cos⁡(n+m)x) dx\int_0^\pi\sin nx\,\sin mx\,dx=\frac12\int_0^\pi\bigl(\cos(n-m)x-\cos(n+m)x\bigr)\,dx

はn=mn=mのときπ/2\pi/2、n≠mn\ne mのとき00であるから、(en)(e_n)は正規直交系である。ene_nは−en′′=n2en-e_n''=n^2e_nとen(0)=en(π)=0e_n(0)=e_n(\pi)=0を満たす。すべてのnnについてAen=n2enAe_n=n^2e_nを満たすA∈B(L2([0,π]))A\in B(L^2([0,\pi]))は存在しない。実際、そのようなAAはすべてのnnについて∥A∥≥∥Aen∥=n2\|A\|\ge\|Ae_n\|=n^2を満たす。したがって、微分作用素−d2/dx2-d^2/dx^2に定理 4.1を直接適用することはできない。

[0,π]2[0,\pi]^2上の関数GGを

G(x,y)={x(π−y)/π(x≤y),y(π−x)/π(y<x)G(x,y)=\begin{cases}x(\pi-y)/\pi&(x\le y),\\y(\pi-x)/\pi&(y<x)\end{cases}

で定める。GGは連続で0≤G≤π0\le G\le\piを満たし、すべてのx,yx,yについてG(x,y)=G(y,x)G(x,y)=G(y,x)である。§E12.2 定理 2.3により、(TGf)(x)=∫0πG(x,y)f(y) dy(T_Gf)(x)=\int_0^\pi G(x,y)f(y)\,dyで定まるTGT_GはL2([0,π])L^2([0,\pi])上のコンパクト作用素である。f,g∈L2([0,π])f,g\in L^2([0,\pi])とする。§E10.22 定理 4.2によりffとggは[0,π][0,\pi]上で可積分であり、∣G(x,y)f(y)g(x)‾∣≤π∣f(y)∣∣g(x)∣|G(x,y)f(y)\overline{g(x)}|\le\pi|f(y)||g(x)|と§E10.19 定理 2.3により、(x,y)↦G(x,y)f(y)g(x)‾(x,y)\mapsto G(x,y)f(y)\overline{g(x)}は[0,π]2[0,\pi]^2上で可積分である。§E10.19 定理 3.2によって積分の順序を交換し、GGが実数値で対称であることを用いると、⟨TGf,g⟩=⟨f,TGg⟩\langle T_Gf,g\rangle=\langle f,T_Gg\rangleを得る。したがってTGT_Gはコンパクトな自己共役作用素である。部分積分により

∫0xysin⁡ny dy=sin⁡nxn2−xcos⁡nxn,∫xπ(π−y)sin⁡ny dy=sin⁡nxn2+(π−x)cos⁡nxn\int_0^xy\sin ny\,dy=\frac{\sin nx}{n^2}-\frac{x\cos nx}{n},\qquad\int_x^\pi(\pi-y)\sin ny\,dy=\frac{\sin nx}{n^2}+\frac{(\pi-x)\cos nx}{n}

であるから、

(TGsn)(x)=π−xπ∫0xysin⁡ny dy+xπ∫xπ(π−y)sin⁡ny dy=sin⁡nxn2(T_Gs_n)(x)=\frac{\pi-x}{\pi}\int_0^xy\sin ny\,dy+\frac{x}{\pi}\int_x^\pi(\pi-y)\sin ny\,dy=\frac{\sin nx}{n^2}

である。したがってTGen=n−2enT_Ge_n=n^{-2}e_nであり、n−2n^{-2}はTGT_Gの零でない固有値である。

w ⁣:[0,π]→Cw\colon[0,\pi]\to\Cがw∈C1([0,π])w\in C^1([0,\pi])を満たし、w′w'が絶対連続であって、ほとんど至る所w′′=0w''=0とw(0)=w(π)=0w(0)=w(\pi)=0を満たすとする。定数関数11とx↦xx\mapsto xは斉次方程式w′′=0w''=0の解であり、§E13.9 定理 5.2により、初期値(w(0),w′(0))(w(0),w'(0))が一致する解は等しいから、w(x)=w′(0)xw(x)=w'(0)xである。w(π)=0w(\pi)=0からw′(0)=0w'(0)=0であり、w=0w=0である。したがって、a=0a=0、b=πb=\pi、P=Q=0P=Q=0、境界係数(αa,βa)=(αb,βb)=(1,0)(\alpha_a,\beta_a)=(\alpha_b,\beta_b)=(1,0)の境界値問題の境界核は自明である。§E13.24 補題 3.2の左右の境界解はこの問題ではx↦−xx\mapsto-xとx↦π−xx\mapsto\pi-xであり、その Wronskian はπ\piであるから、この問題の Green 関数は−G-Gである。f∈L2([0,π])f\in L^2([0,\pi])とし、x∈[0,π]x\in[0,\pi]についてuf(x)=∫0πG(x,y)f(y) dyu_f(x)=\int_0^\pi G(x,y)f(y)\,dyとおく。§E10.22 定理 4.2によりffは[0,π][0,\pi]上で可積分であるから、§E13.24 境界値問題 の§E13.24 定理 3.4を右辺−f-fに適用すると、uf∈C1([0,π])u_f\in C^1([0,\pi])であり、uf′u_f'は絶対連続であって、ほとんど至る所uf′′=−fu_f''=-fであり、uf(0)=uf(π)=0u_f(0)=u_f(\pi)=0である。ufu_fは連続であり、TGfT_Gfの代表元である。

TGf=0T_Gf=0ならば、連続関数ufu_fはほとんど至る所で00であるから[0,π][0,\pi]の全点で00であり、ほとんど至る所f=−uf′′=0f=-u_f''=0である。したがってTGT_Gは単射である。τ∈K∖{0}\tau\in\mathbb K\setminus\{0\}とf∈L2([0,π])∖{0}f\in L^2([0,\pi])\setminus\{0\}がTGf=τfT_Gf=\tau fを満たすとする。命題 1.2によりτ∈R\tau\in\Rであり、c=τ−1c=\tau^{-1}とおく。ほとんど至る所f=cuff=cu_fであるから、ufu_fはuf≠0u_f\ne0を満たし、ほとんど至る所uf′′+cuf=0u_f''+cu_f=0を満たす。c>0c>0ならばh(x)=c−1/2sin⁡(c1/2x)h(x)=c^{-1/2}\sin(c^{1/2}x)、c<0c<0ならばh(x)=(−c)−1/2sinh⁡((−c)1/2x)h(x)=(-c)^{-1/2}\sinh((-c)^{1/2}x)とおくと、h′′+ch=0h''+ch=0、h(0)=0h(0)=0、h′(0)=1h'(0)=1である。ufu_fとuf′(0)hu_f'(0)hは斉次方程式w′′+cw=0w''+cw=0の解であって初期値(0,uf′(0))(0,u_f'(0))が一致するから、§E13.9 定理 5.2によりuf=uf′(0)hu_f=u_f'(0)hである。uf≠0u_f\ne0であるからuf′(0)≠0u_f'(0)\ne0であり、uf(π)=0u_f(\pi)=0からh(π)=0h(\pi)=0である。c<0c<0ならばh(π)>0h(\pi)>0であるから、c>0c>0であり、sin⁡(c1/2π)=0\sin(c^{1/2}\pi)=0からc1/2=nc^{1/2}=nを満たすn≥1n\ge1が存在する。したがってτ=n−2\tau=n^{-2}であり、uf∈span⁡{sn}u_f\in\operatorname{span}\{s_n\}とf=n2uff=n^2u_fからf∈span⁡{en}f\in\operatorname{span}\{e_n\}である。上で示したTGen=n−2enT_Ge_n=n^{-2}e_nと合わせて、TGT_Gの零でない固有値の全体は{n−2:n≥1}\{n^{-2}:n\ge1\}であり、ker⁡(n−2I−TG)=span⁡{en}\ker(n^{-2}I-T_G)=\operatorname{span}\{e_n\}である。ker⁡TG={0}\ker T_G=\{0\}であるから、定理 4.1 (2)により固有空間が張る線形部分空間はL2([0,π])L^2([0,\pi])で稠密であり、定理 4.1 (3)により(en)(e_n)はL2([0,π])L^2([0,\pi])の完全正規直交系である。

一般に、定義域が全空間でない微分作用素については、境界条件によって定義域を定め、逆作用素が存在して有界なコンパクト自己共役作用素であることを示すと、定理 4.1を逆作用素に適用して、元の作用素の固有ベクトルによる展開を得ることができる。複素数値のL2([0,π])L^2([0,\pi])上では、上のTGT_Gの逆作用素を境界条件をもつ微分作用素として実現することと、そのスペクトルを §E12.14 コンパクトなレゾルベント で扱う。

d∈N≥1d\in\NN、K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、Ω⊆Rd\Omega\subseteq\R^dを有界な開集合とする。Cc∞(Ω;K)C_c^\infty(\Omega;\mathbb K)をΩ\Omega上のK\mathbb K値の滑らかなコンパクト台関数の空間とし、u∈Cc∞(Ω;K)u\in C_c^\infty(\Omega;\mathbb K)に対して

∥u∥H1=(∫Ω∣u∣2 dx+∑j=1d∫Ω∣∂u∂xj∣2 dx)1/2\|u\|_{H^1}=\left(\int_\Omega|u|^2\,dx+\sum_{j=1}^d\int_\Omega\left|\frac{\partial u}{\partial x_j}\right|^2\,dx\right)^{1/2}

とおく。このノルムによるCc∞(Ω;K)C_c^\infty(\Omega;\mathbb K)の完備化をL2(Ω;K)L^2(\Omega;\mathbb K)の部分空間とみなし、H01(Ω)H^1_0(\Omega)と書く。u∈H01(Ω)u\in H^1_0(\Omega)とg∈L2(Ω;K)g\in L^2(\Omega;\mathbb K)が、すべてのφ∈Cc∞(Ω;R)\varphi\in C_c^\infty(\Omega;\R)について

∫Ωu∑j=1d∂2φ∂xj2 dx=∫Ωgφ dx\int_\Omega u\sum_{j=1}^d\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_j^2}\,dx=\int_\Omega g\varphi\,dx

を満たすとき、弱い意味でΔu=g\Delta u=gと書く。この等式を満たすggはL2(Ω;K)L^2(\Omega;\mathbb K)の元として一意である。弱い意味でΔu=g\Delta u=gとなるg∈L2(Ω;K)g\in L^2(\Omega;\mathbb K)が存在するu∈H01(Ω)u\in H^1_0(\Omega)の全体を定義域D(AΩ)D(A_\Omega)とし、AΩu=−ΔuA_\Omega u=-\Delta uと定める。このL2(Ω;K)L^2(\Omega;\mathbb K)上の作用素AΩA_\Omegaは、同次 Dirichlet 境界条件をもつ Laplace 作用素である。AΩA_\Omegaは自己共役作用素であり、コンパクトなレゾルベントをもつ。AΩA_\Omegaの固有関数による展開が成り立つ。この実現と展開は後の単元で紹介する。

例 4.5.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、H=L2([0,1];K)H=L^2([0,1];\mathbb K)を Lebesgue 測度に関する Hilbert 空間とする。(Af)(x)=xf(x)(Af)(x)=xf(x)とおく。可測関数ffについて∣xf(x)∣≤∣f(x)∣|xf(x)|\le|f(x)|であり、ほとんど至る所で等しい関数の積もほとんど至る所で等しいから、AAはHH上の有界線形作用素として定まり、∥A∥≤1\|A\|\le1である。すべてのf,g∈Hf,g\in Hについて

⟨Af,g⟩=∫01xf(x)g(x)‾ dx=⟨f,Ag⟩\langle Af,g\rangle=\int_0^1xf(x)\overline{g(x)}\,dx=\langle f,Ag\rangle

であるから、AAは自己共役作用素である。

任意のλ∈K\lambda\in\mathbb Kとf∈Hf\in Hについて、Af=λfAf=\lambda fならば(x−λ)f(x)=0(x-\lambda)f(x)=0がほとんどすべてのx∈[0,1]x\in[0,1]について成り立つ。集合{x∈[0,1]:x=λ}\{x\in[0,1]:x=\lambda\}は空集合または一点集合であり、Lebesgue 測度が00であるから、f=0f=0がほとんど至る所で成り立つ。したがってAAは固有値をもたず、特にker⁡A={0}\ker A=\{0\}である。零でない固有空間が張る線形部分空間の閉包も{0}\{0\}であるが、H≠{0}H\ne\{0\}であるから、定理 4.1 (2)の直交分解はAAについて成り立たない。定理 4.1 (2)により、AAはコンパクトでない。

注意 4.6.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、S∈B(H)S\in B(H)を自己共役作用素とする。このとき、R\Rの Borel 集合BBに直交射影E(B)E(B)を対応させる射影値測度EEが存在する。ここでE(R)=IE(\R)=Iであり、互いに素な Borel 集合の任意の列(Bn)n≥1(B_n)_{n\ge1}とすべてのx∈Hx\in Hについて、E(⋃n≥1Bn)x=∑n≥1E(Bn)xE(\bigcup_{n\ge1}B_n)x=\sum_{n\ge1}E(B_n)xがHHのノルム収束として成り立つ。すべてのx,y∈Hx,y\in Hについて、スカラー測度μx,y(B)=⟨E(B)x,y⟩\mu_{x,y}(B)=\langle E(B)x,y\rangleにより⟨Sx,y⟩=∫Rλ dμx,y(λ)\langle Sx,y\rangle=\int_{\R}\lambda\,d\mu_{x,y}(\lambda)が成り立つ。例 4.5の乗算作用素AAの射影値測度EEについて、E(B)E(B)は1B∩[0,1]\mathbf 1_{B\cap[0,1]}を掛ける作用素である。コンパクトな自己共役作用素TTの零でない固有値の全体をΛ\Lambdaとすると、TTの射影値測度EEについて、E(B)E(B)はB∩ΛB\cap\Lambdaに属する固有値の固有空間と、0∈B0\in Bの場合にはker⁡T\ker Tとが張る閉線形部分空間への直交射影である。

5 コンパクト正規作用素の対角化

定理 5.1.HHを複素 Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、T∈B(H)T\in B(H)をコンパクトな正規作用素とする。Λ={λ∈C∖{0}:ker⁡(λI−T)≠{0}}\Lambda=\{\lambda\in\C\setminus\{0\}:\ker(\lambda I-T)\ne\{0\}\}をTTの零でない固有値の全体とし、⋃λ∈Λker⁡(λI−T)\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\ker(\lambda I-T)が張る線形部分空間のHHにおける閉包をMMとする。

  1. 各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてker⁡(λI−T)\ker(\lambda I-T)は有限次元であり、その次元はTTのλ\lambdaにおける代数的重複度に等しい。任意のε>0\varepsilon>0について{λ∈Λ:∣λ∣≥ε}\{\lambda\in\Lambda:|\lambda|\ge\varepsilon\}は有限集合であり、Λ\Lambdaは高々可算であって、C∖{0}\C\setminus\{0\}のどの点もΛ\Lambdaの集積点でない。相異なるλ,μ∈Λ∪{0}\lambda,\mu\in\Lambda\cup\{0\}について、ker⁡(λI−T)\ker(\lambda I-T)とker⁡(μI−T)\ker(\mu I-T)は直交する。H≠{0}H\ne\{0\}ならばΛ=σ(T)∖{0}\Lambda=\sigma(T)\setminus\{0\}である。
  2. ker⁡T=M⊥\ker T=M^\perpであり、H=ker⁡T⊕MH=\ker T\oplus Mと直交分解される。
  3. Λ\Lambdaの元を重複なく並べた有限列または列(νj)(\nu_j)と、各ker⁡(νjI−T)\ker(\nu_jI-T)の正規直交基底をjjの順に並べた有限列または列(en)(e_n)をとり、en∈ker⁡(λnI−T)e_n\in\ker(\lambda_nI-T)を満たすλn∈Λ\lambda_n\in\Lambdaを定める。PjP_jをker⁡(νjI−T)\ker(\nu_jI-T)への直交射影とする。すべてのx∈Hx\in Hについて Tx=∑nλn⟨x,en⟩en=∑jνjPjx,T∗x=∑nλn‾⟨x,en⟩enTx=\sum_n\lambda_n\langle x,e_n\rangle e_n=\sum_j\nu_jP_jx,\qquad T^*x=\sum_n\overline{\lambda_n}\langle x,e_n\rangle e_n がノルム収束として成り立つ。(en)(e_n)が無限列ならばλn→0\lambda_n\to0であり、∑n≤Nλn⟨⋅,en⟩en\sum_{n\le N}\lambda_n\langle\cdot,e_n\rangle e_nはN→∞N\to\inftyのとき作用素ノルムについてTTに収束する。

証明.主張 (1)を示す。固有空間の次元と代数的重複度の一致は補題 1.1 (1)から、固有空間の直交性は補題 1.1 (2)から、有限性・可算性・集積点についての主張は補題 3.1 (1)から従う。H≠{0}H\ne\{0\}とする。λ∈Λ\lambda\in\LambdaならばλI−T\lambda I-Tは単射でないから、V(λI−T)=IV(\lambda I-T)=Iを満たすV∈B(H)V\in B(H)は存在せず、λ∈σ(T)\lambda\in\sigma(T)である。逆にλ∈σ(T)∖{0}\lambda\in\sigma(T)\setminus\{0\}ならば、§E12.2 定理 6.1 (1)によりker⁡(λI−T)≠{0}\ker(\lambda I-T)\ne\{0\}であり、λ∈Λ\lambda\in\Lambdaである。

主張 (2)を示す。補題 3.2 (3)により、TM⊥T_{M^\perp}は複素 Hilbert 空間M⊥M^\perp上のコンパクトな正規作用素であり、零でない固有値をもたない。M⊥≠{0}M^\perp\ne\{0\}とし、r=max⁡{∣μ∣:μ∈σ(TM⊥)}r=\max\{|\mu|:\mu\in\sigma(T_{M^\perp})\}とおく。§E12.1 定理 4.7によりr=∥TM⊥∥r=\|T_{M^\perp}\|であり、∣μ∣=r|\mu|=rを満たすμ∈σ(TM⊥)\mu\in\sigma(T_{M^\perp})が存在する。r>0r>0と仮定すると、μ≠0\mu\ne0であり、§E12.2 定理 6.1 (1)をTM⊥T_{M^\perp}に適用して、μ\muはTM⊥T_{M^\perp}の零でない固有値である。これはTM⊥T_{M^\perp}が零でない固有値をもたないことに反するから、r=0r=0であり、TM⊥=0T_{M^\perp}=0である。M⊥={0}M^\perp=\{0\}ならばTM⊥=0T_{M^\perp}=0である。補題 3.2 (4)によりker⁡T=M⊥\ker T=M^\perpかつH=ker⁡T⊕MH=\ker T\oplus Mである。

主張 (3)を示す。PPをMMへの直交射影とする。補題 3.2 (4)によりTP=TTP=Tであるから、補題 3.1 (3)によりTTの二つの展開と作用素ノルムについての収束を得る。λn→0\lambda_n\to0は補題 3.1 (2)による。x∈Hx\in Hとする。§E10.3 命題 2.4により(I−P)x∈M⊥=ker⁡T(I-P)x\in M^\perp=\ker Tであり、§E12.1 命題 2.4 (2)をλ=0\lambda=0について用いるとker⁡T=ker⁡T∗\ker T=\ker T^*であるから、T∗x=T∗PxT^*x=T^*Pxである。補題 3.1 (3)の展開Px=∑n⟨x,en⟩enPx=\sum_n\langle x,e_n\rangle e_nに連続なT∗T^*を作用させ、補題 3.1 (2)のT∗en=λn‾enT^*e_n=\overline{\lambda_n}e_nを用いると、T∗x=∑nλn‾⟨x,en⟩enT^*x=\sum_n\overline{\lambda_n}\langle x,e_n\rangle e_nを得る。▨

例 5.2.定理 5.1から、正規性の仮定と複素数体の仮定を外すことはできない。C2\C^2に標準内積を入れ、§E12.1 例 4.8のN(x1,x2)=(x2,0)N(x_1,x_2)=(x_2,0)をとる。NNは有限階数作用素であるからコンパクトであり、同じ例により、NNは正規作用素でなくσ(N)={0}\sigma(N)=\{0\}を満たす。したがってNNは零でない固有値をもたず、定理のMMは{0}\{0\}であってM⊥=C2M^\perp=\C^2であるが、ker⁡N={x∈C2:x2=0}≠C2\ker N=\{x\in\C^2:x_2=0\}\ne\C^2である。

R2\R^2に標準内積を入れ、J(x1,x2)=(−x2,x1)J(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)とおく。x,y∈R2x,y\in\R^2について⟨Jx,y⟩=x1y2−x2y1=⟨x,−Jy⟩\langle Jx,y\rangle=x_1y_2-x_2y_1=\langle x,-Jy\rangleであるからJ∗=−JJ^*=-Jであり、J2=−IJ^2=-IによりJ∗J=I=JJ∗J^*J=I=JJ^*であるから、JJは正規作用素である。JJは有限階数作用素であるからコンパクトである。λ∈R\lambda\in\Rとx∈R2x\in\R^2がJx=λxJx=\lambda xを満たすならば、−x2=λx1-x_2=\lambda x_1とx1=λx2x_1=\lambda x_2からx1=−λ2x1x_1=-\lambda^2x_1とx2=−λ2x2x_2=-\lambda^2x_2を得てx=0x=0であるから、JJは固有値をもたない。したがって定理のMMは{0}\{0\}であるが、ker⁡J={0}≠R2=M⊥\ker J=\{0\}\ne\R^2=M^\perpである。

6 固有値の最大最小原理

定義 6.1.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、IIをHHの恒等作用素とし、T∈B(H)T\in B(H)をコンパクトな自己共役作用素とする。Λ+\Lambda_+をTTの正の固有値の全体とし、μ∈Λ+\mu\in\Lambda_+についてdμ=dim⁡ker⁡(μI−T)d_\mu=\dim\ker(\mu I-T)とおく。定理 4.1 (1)により、任意のε>0\varepsilon>0についてΛ+∩[ε,∞)\Lambda_+\cap[\varepsilon,\infty)は有限集合であり、各dμd_\muは有限である。p=∑μ∈Λ+dμ∈N≥0∪{∞}p=\sum_{\mu\in\Lambda_+}d_\mu\in\N\cup\{\infty\}とおく。各μ∈Λ+\mu\in\Lambda_+についてΛ+∩[μ,∞)\Lambda_+\cap[\mu,\infty)は有限集合であるから、各μ∈Λ+\mu\in\Lambda_+をdμd_\mu回ずつ繰り返して大きい順に並べた有限列または列がただ一つ定まる。これを(λk+(T))k∈N≥1, k≤p(\lambda_k^+(T))_{k\in\NN,\,k\le p}と書く。p=∞p=\inftyならばλk+(T)→0\lambda_k^+(T)\to0(k→∞)(k\to\infty)である。

HHの正規直交系(ek)k∈N≥1, k≤p(e_k)_{k\in\NN,\,k\le p}が、すべてのkkについてTek=λk+(T)ekTe_k=\lambda_k^+(T)e_kを満たし、各μ∈Λ+\mu\in\Lambda_+について{ek:λk+(T)=μ}\{e_k:\lambda_k^+(T)=\mu\}がker⁡(μI−T)\ker(\mu I-T)の正規直交基底であるとき、(ek)(e_k)を(λk+(T))(\lambda_k^+(T))に 付随する正規直交系 (associated orthonormal system) という。§E3.33 定理 2.2により各ker⁡(μI−T)\ker(\mu I-T)は正規直交基底をもち、定理 4.1 (1)により相異なる固有値の固有空間は直交するから、付随する正規直交系は存在する。

補題 6.2.H,KH,KをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、T∈K(H,K)T\in\mathcal K(H,K)、(un)n≥1(u_n)_{n\ge1}をHHの正規直交系とする。このとき∥Tun∥→0\|Tu_n\|\to0(n→∞)(n\to\infty)である。

証明.∥Tun∥→0\|Tu_n\|\to0でないと仮定する。あるε>0\varepsilon>0と狭義増加列(nk)(n_k)が、すべてのkkについて∥Tunk∥≥ε\|Tu_{n_k}\|\ge\varepsilonを満たす。§E12.2 命題 1.3 (1)⇔\Leftrightarrow(2)により、(nk)(n_k)をその部分列に取り替えて、あるz∈Kz\in KについてTunk→zTu_{n_k}\to zとすることができる。ノルムの連続性により∥z∥≥ε\|z\|\ge\varepsilonであり、§E10.3 補題 1.2による内積の連続性により⟨Tunk,z⟩→∥z∥2\langle Tu_{n_k},z\rangle\to\|z\|^2である。一方、§E10.3 定理 3.4により∑n≥1∣⟨T∗z,un⟩∣2≤∥T∗z∥2<∞\sum_{n\ge1}|\langle T^*z,u_n\rangle|^2\le\|T^*z\|^2<\inftyであるから⟨un,T∗z⟩→0\langle u_n,T^*z\rangle\to0であり、⟨Tunk,z⟩=⟨unk,T∗z⟩→0\langle Tu_{n_k},z\rangle=\langle u_{n_k},T^*z\rangle\to0である。∥z∥2≥ε2>0\|z\|^2\ge\varepsilon^2>0であるから、二つの極限は一致しない。したがって∥Tun∥→0\|Tu_n\|\to0である。▨

定理 6.3.HHをK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、T∈B(H)T\in B(H)をコンパクトな自己共役作用素とする。ppとλk+=λk+(T)\lambda_k^+=\lambda_k^+(T)（k∈N≥1k\in\NN、k≤pk\le p）を定義 6.1のとおりとし、(ek)(e_k)を(λk+)(\lambda_k^+)に付随する正規直交系とする。HHの有限次元線形部分空間VVでV⊥≠{0}V^\perp\ne\{0\}を満たすものに対して

ρT(V)=sup⁡{RT(x):x∈V⊥∖{0}}\rho_T(V)=\sup\{R_T(x):x\in V^\perp\setminus\{0\}\}

とおく。

  1. k∈N≥1k\in\NNがk≤pk\le pを満たすならば、 λk+=max⁡{RT(x):x∈H∖{0}, x⊥e1,…,ek−1}\lambda_k^+=\max\{R_T(x):x\in H\setminus\{0\},\ x\perp e_1,\dots,e_{k-1}\} であり、最大値はx=ekx=e_kで達成される。
  2. k∈N≥1k\in\NNがk≤pk\le pを満たすならば、dim⁡V≤k−1\dim V\le k-1を満たすHHの線形部分空間VVはすべてV⊥≠{0}V^\perp\ne\{0\}とρT(V)≥λk+\rho_T(V)\ge\lambda_k^+を満たし、V=span⁡{e1,…,ek−1}V=\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_{k-1}\}についてρT(V)=λk+\rho_T(V)=\lambda_k^+である。したがって λk+=min⁡{ρT(V):V は H の線形部分空間で dim⁡V≤k−1}\lambda_k^+=\min\{\rho_T(V):V\text{ は }H\text{ の線形部分空間で }\dim V\le k-1\} である。
  3. HHが無限次元であり、k∈N≥1k\in\NNがk>pk>pを満たすならば、dim⁡V≤k−1\dim V\le k-1を満たすHHの線形部分空間VVはすべてρT(V)≥0\rho_T(V)\ge0を満たし、V=span⁡{e1,…,ep}V=\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_p\}についてρT(V)=0\rho_T(V)=0である。したがってmin⁡{ρT(V):dim⁡V≤k−1}=0\min\{\rho_T(V):\dim V\le k-1\}=0である。
  4. qqとλk+(−T)\lambda_k^+(-T)を−T-Tについての定義 6.1のppと列とし、(ek−)(e_k^-)を(λk+(−T))(\lambda_k^+(-T))に付随する正規直交系、λk−=−λk+(−T)\lambda_k^-=-\lambda_k^+(-T)とおく。(λk−)(\lambda_k^-)はTTの負の固有値を固有空間の次元だけ繰り返して小さい順に並べた列である。k∈N≥1k\in\NNがk≤qk\le qを満たすならば λk−=min⁡{RT(x):x∈H∖{0}, x⊥e1−,…,ek−1−}=max⁡dim⁡V≤k−1inf⁡{RT(x):x∈V⊥∖{0}}\lambda_k^-=\min\{R_T(x):x\in H\setminus\{0\},\ x\perp e_1^-,\dots,e_{k-1}^-\}=\max_{\dim V\le k-1}\inf\{R_T(x):x\in V^\perp\setminus\{0\}\} である。HHが無限次元でありk>qk>qならば、右辺の最大値は00である。

証明.mmをm≤pm\le pを満たす非負整数とし、Vm=span⁡{e1,…,em}V_m=\operatorname{span}\{e_1,\dots,e_m\}（V0={0}V_0=\{0\}）、Nm=Vm⊥N_m=V_m^\perpとおく。

主張 6.3.1.T(Nm)⊆NmT(N_m)\subseteq N_mであり、TTのNmN_mへの制限TNmT_{N_m}は Hilbert 空間NmN_m上のコンパクトな自己共役作用素である。μ>0\mu>0とv∈Nm∖{0}v\in N_m\setminus\{0\}がTv=μvTv=\mu vを満たすならば、m<pm<pかつμ≤λm+1+\mu\le\lambda_{m+1}^+である。

証明.Tej=λj+ejTe_j=\lambda_j^+e_jであるからT(Vm)⊆VmT(V_m)\subseteq V_mであり、T∗=TT^*=Tである。VmV_mは有限次元であるから§E10.1 系 2.4により閉であり、補題 1.3 (1)によりT(Nm)⊆NmT(N_m)\subseteq N_mである。NmN_mは内積の連続性により閉線形部分空間であり、T∗=TT^*=Tであるから補題 1.3の仮定を満たす。補題 1.3 (2)と補題 1.3 (3)により、TNmT_{N_m}はコンパクトな自己共役作用素である。μ>0\mu>0とv∈Nm∖{0}v\in N_m\setminus\{0\}がTv=μvTv=\mu vを満たすとする。μ∈Λ+\mu\in\Lambda_+であり、定義 6.1により{ej:λj+=μ}\{e_j:\lambda_j^+=\mu\}はker⁡(μI−T)\ker(\mu I-T)の正規直交基底である。λj+=μ\lambda_j^+=\muを満たすjjがすべてj≤mj\le mを満たすならばker⁡(μI−T)⊆Vm\ker(\mu I-T)\subseteq V_mであり、v∈Vm∩Nmv\in V_m\cap N_mから⟨v,v⟩=0\langle v,v\rangle=0となってv≠0v\ne0に反する。したがってλj+=μ\lambda_j^+=\muを満たすj>mj>mが存在し、m<j≤pm<j\le pである。(λk+)(\lambda_k^+)は大きい順に並んでいるから、μ=λj+≤λm+1+\mu=\lambda_j^+\le\lambda_{m+1}^+である。▨

主張 (1)を示す。k≤pk\le pとし、主張 6.3.1をm=k−1m=k-1について用いる。x∈H∖{0}x\in H\setminus\{0\}がe1,…,ek−1e_1,\dots,e_{k-1}と直交することはx∈Nk−1∖{0}x\in N_{k-1}\setminus\{0\}と同値であり、そのときRTNk−1(x)=RT(x)R_{T_{N_{k-1}}}(x)=R_T(x)である。μ=sup⁡{RT(x):x∈Nk−1∖{0}}\mu=\sup\{R_T(x):x\in N_{k-1}\setminus\{0\}\}とおくと、ek∈Nk−1e_k\in N_{k-1}とRT(ek)=λk+R_T(e_k)=\lambda_k^+によりμ≥λk+>0\mu\ge\lambda_k^+>0である。補題 2.3 (1)をTNk−1T_{N_{k-1}}に適用すると、∥v∥=1\|v\|=1とTv=μvTv=\mu vを満たすv∈Nk−1v\in N_{k-1}が存在し、主張 6.3.1によりμ≤λk+\mu\le\lambda_k^+である。したがってμ=λk+=RT(ek)\mu=\lambda_k^+=R_T(e_k)であり、λk+\lambda_k^+は主張の集合の最大値である。

主張 (2)を示す。k≤pk\le pとし、VVをdim⁡V≤k−1\dim V\le k-1を満たすHHの線形部分空間とする。VVは§E10.1 系 2.4により閉であるから、§E10.3 命題 2.4の直交射影PVP_Vが定まり、ker⁡PV=V⊥\ker P_V=V^\perpである。VkV_kはkk次元であり、線形写像Vk→VV_k\to V、w↦PVww\mapsto P_Vwに§E3.9 定理 1.3を適用すると、その核の次元はk−dim⁡Vk-\dim V以上であり、k−dim⁡V≥1k-\dim V\ge1である。したがってVk∩V⊥V_k\cap V^\perpは∥w∥=1\|w\|=1を満たすw=∑j≤kcjejw=\sum_{j\le k}c_je_jを含み、特にV⊥≠{0}V^\perp\ne\{0\}である。§E10.3 補題 3.2により∑j≤k∣cj∣2=1\sum_{j\le k}|c_j|^2=1であり、j≤kj\le kについてλj+≥λk+\lambda_j^+\ge\lambda_k^+であるから

RT(w)=⟨∑j≤kλj+cjej,∑j≤kcjej⟩=∑j≤kλj+∣cj∣2≥λk+R_T(w)=\Bigl\langle\sum_{j\le k}\lambda_j^+c_je_j,\sum_{j\le k}c_je_j\Bigr\rangle=\sum_{j\le k}\lambda_j^+|c_j|^2\ge\lambda_k^+

である。したがってρT(V)≥λk+\rho_T(V)\ge\lambda_k^+である。V=Vk−1V=V_{k-1}について、Vk−1⊥=Nk−1V_{k-1}^\perp=N_{k-1}と主張 (1)によりρT(Vk−1)=λk+\rho_T(V_{k-1})=\lambda_k^+である。

主張 (3)を示す。HHは無限次元であり、k>pk>pであるからppは有限である。VVをdim⁡V≤k−1\dim V\le k-1を満たすHHの線形部分空間とする。VVは§E10.1 系 2.4により閉であるから、§E10.3 定理 2.2によりH=V⊕V⊥H=V\oplus V^\perpであり、VVは有限次元であるからV⊥V^\perpは無限次元である。帰納的にvm+1∉span⁡{v1,…,vm}v_{m+1}\notin\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_m\}を満たすv1,v2,…∈V⊥v_1,v_2,\ldots\in V^\perpをとり、§E3.33 定理 2.2を各mmについてv1,…,vmv_1,\dots,v_mに適用すると、V⊥V^\perpに属する正規直交系(um)m≥1(u_m)_{m\ge1}を得る。補題 6.2により∥Tum∥→0\|Tu_m\|\to0であり、§E3.33 定理 1.3により∣RT(um)∣≤∥Tum∥|R_T(u_m)|\le\|Tu_m\|であるから、RT(um)→0R_T(u_m)\to0である。したがってρT(V)≥0\rho_T(V)\ge0である。V=VpV=V_pとし、主張 6.3.1をm=pm=pについて用いると、TNpT_{N_p}は正の固有値をもたない。sup⁡{RT(x):x∈Np∖{0}}>0\sup\{R_T(x):x\in N_p\setminus\{0\}\}>0と仮定する。Np=Vp⊥≠{0}N_p=V_p^\perp\ne\{0\}であり、x∈Np∖{0}x\in N_p\setminus\{0\}についてRTNp(x)=RT(x)R_{T_{N_p}}(x)=R_T(x)であるから、補題 2.3 (1)をTNpT_{N_p}に適用すると、TNpT_{N_p}は正の固有値をもつ。これはTNpT_{N_p}が正の固有値をもたないことに反するから、ρT(Vp)≤0\rho_T(V_p)\le0である。前半と合わせてρT(Vp)=0\rho_T(V_p)=0である。

主張 (4)を示す。§E12.2 命題 1.8 (1)と§E12.1 命題 1.3 (2)により−T-Tはコンパクトな自己共役作用素であり、R−T=−RTR_{-T}=-R_Tである。μ>0\mu>0についてker⁡(μI−(−T))=ker⁡((−μ)I−T)\ker(\mu I-(-T))=\ker((-\mu)I-T)であるから、−T-Tの正の固有値の全体はTTの負の固有値の符号を変えたものの全体であり、固有空間の次元も一致する。したがって(λk−)(\lambda_k^-)はTTの負の固有値を固有空間の次元だけ繰り返して小さい順に並べた列である。主張 (1)、主張 (2)、主張 (3)を−T-Tに適用し、sup⁡(−RT)=−inf⁡RT\sup(-R_T)=-\inf R_Tとmin⁡(−a)=−max⁡a\min(-a)=-\max aを用いて符号を変えると、主張を得る。▨

7 特異値分解

定義 7.1.H1,H2H_1,H_2をK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、T∈K(H1,H2)T\in\mathcal K(H_1,H_2)とする。§E12.2 命題 1.5によりT∗T∈K(H1)T^*T\in\mathcal K(H_1)であり、§E12.1 命題 2.7 (4)と§E12.1 命題 2.7 (1)によりT∗TT^*Tは正作用素であって自己共役作用素である。μ≠0\mu\ne0とx∈H1∖{0}x\in H_1\setminus\{0\}がT∗Tx=μxT^*Tx=\mu xを満たすならばμ∥x∥2=⟨T∗Tx,x⟩=∥Tx∥2≥0\mu\|x\|^2=\langle T^*Tx,x\rangle=\|Tx\|^2\ge0であるから、T∗TT^*Tの零でない固有値はすべて正である。ppと(λk+(T∗T))k∈N≥1, k≤p(\lambda_k^+(T^*T))_{k\in\NN,\,k\le p}をT∗TT^*Tについての定義 6.1のppと列とし、sk(T)=λk+(T∗T)1/2s_k(T)=\lambda_k^+(T^*T)^{1/2}とおく。(sk(T))k∈N≥1, k≤p(s_k(T))_{k\in\NN,\,k\le p}をTTの 特異値 (singular value) の列という。

定理 7.2.H1,H2H_1,H_2をK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間、T∈K(H1,H2)T\in\mathcal K(H_1,H_2)とし、(sk)k≤p=(sk(T))k≤p(s_k)_{k\le p}=(s_k(T))_{k\le p}をTTの特異値の列とする。(ek)k≤p(e_k)_{k\le p}を(λk+(T∗T))(\lambda_k^+(T^*T))に付随する正規直交系とし、fk=sk−1Tekf_k=s_k^{-1}Te_kとおく。

  1. (fk)(f_k)はH2H_2の正規直交系であり、すべてのkkについてTek=skfkTe_k=s_kf_kとT∗fk=skekT^*f_k=s_ke_kが成り立つ。ker⁡T\ker Tは{ek:k≤p}\{e_k:k\le p\}の直交補空間に等しい。
  2. すべてのx∈H1x\in H_1とy∈H2y\in H_2について Tx=∑ksk⟨x,ek⟩fk,T∗y=∑ksk⟨y,fk⟩ekTx=\sum_ks_k\langle x,e_k\rangle f_k,\qquad T^*y=\sum_ks_k\langle y,f_k\rangle e_k がノルム収束として成り立つ。p=∞p=\inftyならばsk→0s_k\to0であり、N≥1N\ge1についてFN=∑k≤Nsk⟨⋅,ek⟩fkF_N=\sum_{k\le N}s_k\langle\cdot,e_k\rangle f_kとおくと∥T−FN∥≤sN+1\|T-F_N\|\le s_{N+1}である。
  3. T≠0T\ne0ならば、p≥1p\ge1かつ∥T∥=s1\|T\|=s_1である。

証明.A=T∗TA=T^*Tとおく。定義 7.1により、AAはコンパクトな自己共役作用素であり、その零でない固有値はすべて正である。

主張 (1)を示す。k,l≤pk,l\le pについて⟨Tek,Tel⟩=⟨Aek,el⟩=sk2⟨ek,el⟩\langle Te_k,Te_l\rangle=\langle Ae_k,e_l\rangle=s_k^2\langle e_k,e_l\rangleであるから、⟨fk,fl⟩=δkl\langle f_k,f_l\rangle=\delta_{kl}である。Tek=skfkTe_k=s_kf_kはfkf_kの定義であり、T∗fk=sk−1Aek=skekT^*f_k=s_k^{-1}Ae_k=s_ke_kである。x∈H1x\in H_1について∥Tx∥2=⟨Ax,x⟩\|Tx\|^2=\langle Ax,x\rangleであるから、Tx=0Tx=0ならば§E12.1 命題 2.7 (3)により∥Ax∥2≤∥A∥⟨Ax,x⟩=0\|Ax\|^2\le\|A\|\langle Ax,x\rangle=0であり、Ax=0Ax=0ならば∥Tx∥2=0\|Tx\|^2=0である。したがってker⁡T=ker⁡A\ker T=\ker Aである。AAの零でない固有値を大きい順に重複なく並べた列を(νj)(\nu_j)とすると、(ek)(e_k)は各ker⁡(νjI−A)\ker(\nu_jI-A)の正規直交基底をjjの順に並べた系である。⋃jker⁡(νjI−A)\bigcup_j\ker(\nu_jI-A)が張る線形部分空間の閉包をMMとすると、定理 4.1 (3)により(ek)(e_k)の線形包はMMで稠密であり、内積の連続性により{ek:k≤p}\{e_k:k\le p\}の直交補空間はM⊥M^\perpに等しい。定理 4.1 (2)によりM⊥=ker⁡A=ker⁡TM^\perp=\ker A=\ker Tである。

主張 (2)を示す。QQをker⁡A=ker⁡T\ker A=\ker Tへの直交射影とする。定理 4.1 (3)により、x∈H1x\in H_1についてx=Qx+∑k⟨x,ek⟩ekx=Qx+\sum_k\langle x,e_k\rangle e_kがノルム収束として成り立つ。TTは連続でありTQx=0TQx=0であるから、Tx=∑k⟨x,ek⟩Tek=∑ksk⟨x,ek⟩fkTx=\sum_k\langle x,e_k\rangle Te_k=\sum_ks_k\langle x,e_k\rangle f_kである。N≤pN\le pについて、x∈H1x\in H_1とy∈H2y\in H_2に対して

⟨FNx,y⟩=∑k≤Nsk⟨x,ek⟩⟨fk,y⟩=⟨x,∑k≤Nsk⟨y,fk⟩ek⟩\langle F_Nx,y\rangle=\sum_{k\le N}s_k\langle x,e_k\rangle\langle f_k,y\rangle=\Bigl\langle x,\sum_{k\le N}s_k\langle y,f_k\rangle e_k\Bigr\rangle

であるから、§E12.1 命題 1.2の一意性によりFN∗y=∑k≤Nsk⟨y,fk⟩ekF_N^*y=\sum_{k\le N}s_k\langle y,f_k\rangle e_kである。ppが有限ならば、T=FpT=F_pであるからT∗=Fp∗T^*=F_p^*であり、主張を得る。

p=∞p=\inftyとする。定義 6.1によりsk2=λk+(A)→0s_k^2=\lambda_k^+(A)\to0である。N<N′N<N'について、§E10.3 補題 3.2と§E10.3 定理 3.4により

∥∑N<k≤N′sk⟨x,ek⟩fk∥2=∑N<k≤N′sk2∣⟨x,ek⟩∣2≤sN+12∥x∥2\Bigl\|\sum_{N<k\le N'}s_k\langle x,e_k\rangle f_k\Bigr\|^2=\sum_{N<k\le N'}s_k^2|\langle x,e_k\rangle|^2\le s_{N+1}^2\|x\|^2

であり、N′→∞N'\to\inftyとすると、ノルムの連続性により∥Tx−FNx∥≤sN+1∥x∥\|Tx-F_Nx\|\le s_{N+1}\|x\|を得る。したがって∥T−FN∥≤sN+1\|T-F_N\|\le s_{N+1}である。§E12.1 命題 1.3 (1)、§E12.1 命題 1.3 (2)、§E12.1 命題 1.2により∥T∗−FN∗∥=∥(T−FN)∗∥=∥T−FN∥→0\|T^*-F_N^*\|=\|(T-F_N)^*\|=\|T-F_N\|\to0であるから、y∈H2y\in H_2についてT∗y=lim⁡NFN∗y=∑ksk⟨y,fk⟩ekT^*y=\lim_NF_N^*y=\sum_ks_k\langle y,f_k\rangle e_kである。

主張 (3)を示す。T≠0T\ne0とする。§E12.1 命題 1.3 (6)により∥A∥=∥T∥2>0\|A\|=\|T\|^2>0であり、補題 2.3 (2)によりAAは零でない固有値をもつから、p≥1p\ge1である。x∈H1x\in H_1について、主張 (2)、§E10.3 補題 3.2、ノルムの連続性、および§E10.3 定理 3.4により

∥Tx∥2=∑ksk2∣⟨x,ek⟩∣2≤s12∥x∥2\|Tx\|^2=\sum_ks_k^2|\langle x,e_k\rangle|^2\le s_1^2\|x\|^2

であり、∥Te1∥=s1\|Te_1\|=s_1であるから、∥T∥=s1\|T\|=s_1である。▨

8 演習

問題 8.1.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、K2\mathbb K^2に標準内積を入れてN(x1,x2)=(x2,0)N(x_1,x_2)=(x_2,0)とおく。∥N∥=1\|N\|=1であり、∥x∥=1\|x\|=1を満たすすべてのx∈K2x\in\mathbb K^2について∣⟨Nx,x⟩∣≤1/2|\langle Nx,x\rangle|\le1/2が成り立ち、等号を満たすxxが存在することを示せ。また、R2\R^2上のJ(x1,x2)=(−x2,x1)J(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)について、∥J∥=1\|J\|=1であり、すべてのx∈R2x\in\R^2について⟨Jx,x⟩=0\langle Jx,x\rangle=0であることを示せ。NNとJJは自己共役作用素でなく、単位ベクトルxxにわたる∣⟨Nx,x⟩∣|\langle Nx,x\rangle|と∣⟨Jx,x⟩∣|\langle Jx,x\rangle|の上限はそれぞれの作用素ノルムより小さい。したがって、補題 2.2から自己共役性の仮定を外すことはできない。

解答.

x=(x1,x2)x=(x_1,x_2)が∥x∥=1\|x\|=1を満たすとする。⟨Nx,x⟩=x2x1‾\langle Nx,x\rangle=x_2\overline{x_1}であり、∣x1∣∣x2∣≤12(∣x1∣2+∣x2∣2)=12|x_1||x_2|\le\frac12(|x_1|^2+|x_2|^2)=\frac12であるから∣⟨Nx,x⟩∣≤1/2|\langle Nx,x\rangle|\le1/2である。x=(1,1)/2x=(1,1)/\sqrt2について⟨Nx,x⟩=1/2\langle Nx,x\rangle=1/2である。∥Nx∥=∣x2∣≤∥x∥\|Nx\|=|x_2|\le\|x\|であり、標準基底のe2e_2について∥Ne2∥=∥e1∥=1\|Ne_2\|=\|e_1\|=1であるから、∥N∥=1\|N\|=1である。

x∈R2x\in\R^2について∥Jx∥2=x22+x12=∥x∥2\|Jx\|^2=x_2^2+x_1^2=\|x\|^2であるから∥J∥=1\|J\|=1であり、⟨Jx,x⟩=−x2x1+x1x2=0\langle Jx,x\rangle=-x_2x_1+x_1x_2=0である。したがってsup⁡{∣⟨Nx,x⟩∣:∥x∥=1}=1/2<∥N∥\sup\{|\langle Nx,x\rangle|:\|x\|=1\}=1/2<\|N\|であり、sup⁡{∣⟨Jx,x⟩∣:∥x∥=1}=0<∥J∥\sup\{|\langle Jx,x\rangle|:\|x\|=1\}=0<\|J\|である。§E12.1 例 4.8によりN∗(x1,x2)=(0,x1)N^*(x_1,x_2)=(0,x_1)であり、例 5.2によりJ∗=−JJ^*=-Jであるから、NNとJJはどちらも自己共役作用素でない。▨

問題 8.2.K∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}とし、L2([0,1])L^2([0,1])を Lebesgue 測度に関するK\mathbb K値の二乗可積分関数の Hilbert 空間とする。(Af)(x)=xf(x)(Af)(x)=xf(x)とおく。

  1. A∈B(L2([0,1]))A\in B(L^2([0,1]))は正作用素であり、∥A∥=1\|A\|=1であることを示せ。
  2. L2([0,1])L^2([0,1])のすべての有限次元線形部分空間VVについてsup⁡{RA(f):f∈V⊥∖{0}}=1\sup\{R_A(f):f\in V^\perp\setminus\{0\}\}=1であることを示せ。
  3. AAはコンパクトでなく、sup⁡{RA(f):f≠0}=1\sup\{R_A(f):f\ne0\}=1は最大値でないことを示せ。

AAはコンパクトでない自己共役作用素であり、例 4.5により固有値をもたない。(3)によりRAR_Aの上限は最大値でなく、(2)により、すべてのk∈N≥1k\in\NNについて、dim⁡V≤k−1\dim V\le k-1を満たすL2([0,1])L^2([0,1])の線形部分空間VVにわたるsup⁡{RA(f):f∈V⊥∖{0}}\sup\{R_A(f):f\in V^\perp\setminus\{0\}\}の最小値は11であるが、11はAAの固有値でない。したがって、補題 2.3と定理 6.3から、コンパクト性の仮定を外すことはできない。

解答.

(1)を示す。f∈L2([0,1])f\in L^2([0,1])について⟨Af,f⟩=∫01x∣f(x)∣2 dx≥0\langle Af,f\rangle=\int_0^1x|f(x)|^2\,dx\ge0である。例 4.5によりA∈B(L2([0,1]))A\in B(L^2([0,1]))は自己共役作用素であるから、AAは正作用素であり、同例により∥A∥≤1\|A\|\le1である。0<δ<10<\delta<1についてfδ=1[1−δ,1]f_\delta=\mathbf 1_{[1-\delta,1]}とおくと

RA(fδ)=1δ∫1−δ1x dx=1−δ2R_A(f_\delta)=\frac1\delta\int_{1-\delta}^1x\,dx=1-\frac\delta2

である。補題 2.2により、すべてのδ∈(0,1)\delta\in(0,1)について∥A∥≥1−δ/2\|A\|\ge1-\delta/2であるから、∥A∥=1\|A\|=1である。

(2)を示す。VVをL2([0,1])L^2([0,1])の有限次元線形部分空間とし、d=dim⁡Vd=\dim Vとおく。定義 2.1によりRA≤∥A∥=1R_A\le\|A\|=1である。0<δ<10<\delta<1とし、j=1,…,d+1j=1,\dots,d+1についてIj=[1−δ+(j−1)δ/(d+1), 1−δ+jδ/(d+1)]I_j=[1-\delta+(j-1)\delta/(d+1),\,1-\delta+j\delta/(d+1)]、gj=1Ijg_j=\mathbf 1_{I_j}とおく。i≠ji\ne jならばIi∩IjI_i\cap I_jは高々一点であるから⟨gi,gj⟩=0\langle g_i,g_j\rangle=0であり、∥gj∥2=δ/(d+1)>0\|g_j\|^2=\delta/(d+1)>0であるから、g1,…,gd+1g_1,\dots,g_{d+1}は一次独立である。W=span⁡{g1,…,gd+1}W=\operatorname{span}\{g_1,\dots,g_{d+1}\}とおく。VVは§E10.1 系 2.4により閉であるから、§E10.3 命題 2.4の直交射影PVP_Vが定まり、ker⁡PV=V⊥\ker P_V=V^\perpである。線形写像W→VW\to V、w↦PVww\mapsto P_Vwに§E3.9 定理 1.3を適用すると、その核の次元は(d+1)−d=1(d+1)-d=1以上であるから、f∈W∩V⊥f\in W\cap V^\perpでf≠0f\ne0を満たすものが存在する。ffは[1−δ,1][1-\delta,1]の外で00であるから

⟨Af,f⟩=∫1−δ1x∣f(x)∣2 dx≥(1−δ)∫1−δ1∣f(x)∣2 dx=(1−δ)∥f∥2\langle Af,f\rangle=\int_{1-\delta}^1x|f(x)|^2\,dx\ge(1-\delta)\int_{1-\delta}^1|f(x)|^2\,dx=(1-\delta)\|f\|^2

であり、RA(f)≥1−δR_A(f)\ge1-\deltaである。δ∈(0,1)\delta\in(0,1)は任意であるから、sup⁡{RA(f):f∈V⊥∖{0}}=1\sup\{R_A(f):f\in V^\perp\setminus\{0\}\}=1である。

(3)を示す。例 4.5によりAAはコンパクトでない。定義 2.1によりRA≤∥A∥=1R_A\le\|A\|=1であり、前半のfδf_\deltaによりsup⁡RA=1\sup R_A=1である。f≠0f\ne0がRA(f)=1R_A(f)=1を満たすと仮定すると、

∫01(1−x)∣f(x)∣2 dx=∥f∥2−⟨Af,f⟩=0\int_0^1(1-x)|f(x)|^2\,dx=\|f\|^2-\langle Af,f\rangle=0

であり、1−x>01-x>0がほとんどすべてのx∈[0,1]x\in[0,1]について成り立つからf=0f=0となって、f≠0f\ne0に反する。したがってsup⁡RA=1\sup R_A=1は最大値でない。▨

問題 8.3.

  1. ℓ2\ell^2をK\mathbb K値数列の Hilbert 空間とし、(en)(e_n)を標準基底、SSを§E12.1 例 2.9の右シフトとする。N={x∈ℓ2:x1=0}N=\{x\in\ell^2:x_1=0\}はS(N)⊆NS(N)\subseteq Nを満たす閉線形部分空間であるが、S∗(N)⊈NS^*(N)\not\subseteq NかつS(N⊥)⊈N⊥S(N^\perp)\not\subseteq N^\perpであることを示せ。
  2. ℓ2(Z)\ell^2(\Z)を、∑n∈Z∣xn∣2<∞\sum_{n\in\Z}|x_n|^2<\inftyを満たすK\mathbb K値の両側数列x=(xn)n∈Zx=(x_n)_{n\in\Z}の全体に内積⟨x,y⟩=∑n∈Zxnyn‾\langle x,y\rangle=\sum_{n\in\Z}x_n\overline{y_n}を入れた Hilbert 空間とし、(Wx)n=xn−1(Wx)_n=x_{n-1}とおく。WWはユニタリ作用素であり、N′={x∈ℓ2(Z):n<0 ならば xn=0}N'=\{x\in\ell^2(\Z):n<0\text{ ならば }x_n=0\}はW(N′)⊆N′W(N')\subseteq N'を満たす閉線形部分空間であるが、W∗(N′)⊈N′W^*(N')\not\subseteq N'かつW(N′⊥)⊈N′⊥W(N'^\perp)\not\subseteq N'^\perpであることを示せ。

二つの組(S,N)(S,N)と(W,N′)(W,N')は、どちらもT(N)⊆NT(N)\subseteq Nを満たしT∗(N)⊆NT^*(N)\subseteq NとT(N⊥)⊆N⊥T(N^\perp)\subseteq N^\perpを満たさない作用素TTと閉線形部分空間NNの組であり、WWは正規作用素である。したがって、補題 1.3 (1)から仮定T∗(N)⊆NT^*(N)\subseteq Nを外すことはできず、TTが正規作用素であっても外すことはできない。TTが自己共役作用素ならば、この仮定はT(N)⊆NT(N)\subseteq Nと同じである。

解答.

(1)を示す。N={e1}⊥N=\{e_1\}^\perpであるから、NNは内積の連続性により閉線形部分空間である。x∈Nx\in Nならば(Sx)1=0(Sx)_1=0であるからSx∈NSx\in Nである。§E12.1 例 2.9によりS∗S^*は左シフトLLであり、e2∈Ne_2\in NについてS∗e2=e1∉NS^*e_2=e_1\notin Nである。e1∈N⊥e_1\in N^\perpであり、Se1=e2Se_1=e_2は⟨e2,e2⟩=1\langle e_2,e_2\rangle=1を満たすNNの元であるからN⊥N^\perpに属さない。したがってS(N⊥)⊈N⊥S(N^\perp)\not\subseteq N^\perpである。

(2)を示す。ℓ2(Z)\ell^2(\Z)はZ\Z上の数え上げ測度に関するL2L^2空間であるから、§E10.13 定理 2.2により Hilbert 空間である。n∈Zn\in\Zについて、第nn項だけが11である両側数列をεn\varepsilon_nとする。(Vx)n=xn+1(Vx)_n=x_{n+1}とおくと、∥Wx∥=∥Vx∥=∥x∥\|Wx\|=\|Vx\|=\|x\|であり、VW=WV=IVW=WV=Iである。x,y∈ℓ2(Z)x,y\in\ell^2(\Z)について

⟨Wx,y⟩=∑n∈Zxn−1yn‾=∑m∈Zxmym+1‾=⟨x,Vy⟩\langle Wx,y\rangle=\sum_{n\in\Z}x_{n-1}\overline{y_n}=\sum_{m\in\Z}x_m\overline{y_{m+1}}=\langle x,Vy\rangle

であるから、§E12.1 命題 1.2の一意性によりW∗=VW^*=Vであり、W∗W=WW∗=IW^*W=WW^*=Iである。したがってWWはユニタリ作用素であり、特に正規作用素である。N′N'はn<0n<0についての{εn}⊥\{\varepsilon_n\}^\perpの共通部分であるから閉線形部分空間であり、x∈N′x\in N'とn<0n<0について(Wx)n=xn−1=0(Wx)_n=x_{n-1}=0であるからW(N′)⊆N′W(N')\subseteq N'である。ε0∈N′\varepsilon_0\in N'についてW∗ε0=ε−1∉N′W^*\varepsilon_0=\varepsilon_{-1}\notin N'である。ε−1\varepsilon_{-1}はすべてのx∈N′x\in N'について⟨ε−1,x⟩=x−1‾=0\langle\varepsilon_{-1},x\rangle=\overline{x_{-1}}=0を満たすからN′⊥N'^\perpに属し、Wε−1=ε0W\varepsilon_{-1}=\varepsilon_0は⟨ε0,ε0⟩=1\langle\varepsilon_0,\varepsilon_0\rangle=1を満たすN′N'の元であるからN′⊥N'^\perpに属さない。したがってW(N′⊥)⊈N′⊥W(N'^\perp)\not\subseteq N'^\perpである。▨

問題 8.4.H1,H2H_1,H_2をK∈{R,C}\mathbb K\in\{\R,\C\}上の Hilbert 空間とし、v∈H1∖{0}v\in H_1\setminus\{0\}、u∈H2∖{0}u\in H_2\setminus\{0\}についてTx=⟨x,v⟩uTx=\langle x,v\rangle uでT ⁣:H1→H2T\colon H_1\to H_2を定める。

  1. TTはコンパクト作用素であり、T∗y=⟨y,u⟩vT^*y=\langle y,u\rangle vと∥T∥=∥u∥ ∥v∥\|T\|=\|u\|\,\|v\|が成り立つことを示せ。
  2. TTの特異値の列は一項s1=∥u∥ ∥v∥s_1=\|u\|\,\|v\|からなり、e1=v/∥v∥e_1=v/\|v\|は(λk+(T∗T))(\lambda_k^+(T^*T))に付随する正規直交系であって、f1=u/∥u∥f_1=u/\|u\|についてTx=s1⟨x,e1⟩f1Tx=s_1\langle x,e_1\rangle f_1であることを示せ。
  3. L2([0,1])L^2([0,1])（Lebesgue 測度）上の作用素(Tf)(x)=x∫01f(y) dy(Tf)(x)=x\int_0^1f(y)\,dyについて、TTの特異値の列は一項s1=1/3s_1=1/\sqrt3からなり、TTの零でない固有値は1/21/2だけであって、TTは自己共役作用素でないことを示せ。
解答.

(1)を示す。§E3.33 定理 1.3により∥Tx∥=∣⟨x,v⟩∣ ∥u∥≤∥u∥ ∥v∥ ∥x∥\|Tx\|=|\langle x,v\rangle|\,\|u\|\le\|u\|\,\|v\|\,\|x\|であり、im⁡T⊆span⁡{u}\im T\subseteq\operatorname{span}\{u\}であるから、TTは有限階数作用素であり、§E12.2 命題 1.4によりコンパクトである。x∈H1x\in H_1、y∈H2y\in H_2について⟨Tx,y⟩=⟨x,v⟩⟨u,y⟩=⟨x,⟨y,u⟩v⟩\langle Tx,y\rangle=\langle x,v\rangle\langle u,y\rangle=\langle x,\langle y,u\rangle v\rangleであるから、§E12.1 命題 1.2の一意性によりT∗y=⟨y,u⟩vT^*y=\langle y,u\rangle vである。∥Tv∥=∥v∥2∥u∥\|Tv\|=\|v\|^2\|u\|と上の評価により∥T∥=∥u∥ ∥v∥\|T\|=\|u\|\,\|v\|である。

(2)を示す。x∈H1x\in H_1についてT∗Tx=⟨x,v⟩T∗u=∥u∥2⟨x,v⟩vT^*Tx=\langle x,v\rangle T^*u=\|u\|^2\langle x,v\rangle vである。μ≠0\mu\ne0とx≠0x\ne0がT∗Tx=μxT^*Tx=\mu xを満たすならば、x=μ−1∥u∥2⟨x,v⟩v∈span⁡{v}x=\mu^{-1}\|u\|^2\langle x,v\rangle v\in\operatorname{span}\{v\}であり、T∗Tv=∥u∥2∥v∥2vT^*Tv=\|u\|^2\|v\|^2vと比べてμ=∥u∥2∥v∥2\mu=\|u\|^2\|v\|^2を得る。したがってT∗TT^*Tの零でない固有値は∥u∥2∥v∥2\|u\|^2\|v\|^2だけであり、その固有空間はspan⁡{v}\operatorname{span}\{v\}である。定義 7.1により特異値の列は一項s1=∥u∥ ∥v∥s_1=\|u\|\,\|v\|からなり、{e1}\{e_1\}はspan⁡{v}\operatorname{span}\{v\}の正規直交基底であるから、e1e_1は付随する正規直交系である。f1=s1−1Te1=s1−1∥v∥u=u/∥u∥f_1=s_1^{-1}Te_1=s_1^{-1}\|v\|u=u/\|u\|であり、Tx=⟨x,v⟩u=∥v∥ ∥u∥⟨x,e1⟩f1=s1⟨x,e1⟩f1Tx=\langle x,v\rangle u=\|v\|\,\|u\|\langle x,e_1\rangle f_1=s_1\langle x,e_1\rangle f_1である。

(3)を示す。u(x)=xu(x)=x、v(x)=1v(x)=1とおくと、⟨f,v⟩=∫01f(y) dy\langle f,v\rangle=\int_0^1f(y)\,dyであるから、作用素TTはH1=H2=L2([0,1])H_1=H_2=L^2([0,1])についての上の形の作用素である。∥u∥2=∫01x2 dx=1/3\|u\|^2=\int_0^1x^2\,dx=1/3、∥v∥=1\|v\|=1であるから、(2)によりTTの特異値の列は一項s1=∥u∥ ∥v∥=1/3s_1=\|u\|\,\|v\|=1/\sqrt3からなる。μ≠0\mu\ne0とf≠0f\ne0がTf=μfTf=\mu fを満たすならば、f=μ−1⟨f,v⟩u∈span⁡{u}f=\mu^{-1}\langle f,v\rangle u\in\operatorname{span}\{u\}である。Tu=(∫01y dy)u=u/2Tu=\bigl(\int_0^1y\,dy\bigr)u=u/2と比べてμ=1/2\mu=1/2を得るから、TTの零でない固有値は1/21/2だけである。(1)により(T∗g)(x)=∫01yg(y) dy(T^*g)(x)=\int_0^1yg(y)\,dyであり、T∗u=13vT^*u=\frac13vはTu=u/2Tu=u/2と異なるから、T∗≠TT^*\ne Tである。▨

問題 8.5.ℓ2\ell^2をK\mathbb K値数列の Hilbert 空間、(en)(e_n)を標準基底とし、dn=(−1)n/nd_n=(-1)^n/n（n≥1n\ge1）についてD(xn)n≥1=(dnxn)n≥1D(x_n)_{n\ge1}=(d_nx_n)_{n\ge1}とおく。

  1. DDはコンパクトな自己共役作用素であり、DDの零でない固有値の全体は{dn:n≥1}\{d_n:n\ge1\}であって、ker⁡(dnI−D)=span⁡{en}\ker(d_nI-D)=\operatorname{span}\{e_n\}、ker⁡D={0}\ker D=\{0\}であることを示し、定理 4.1 (3)の展開を書け。
  2. −∥D∥-\|D\|はDDの固有値であるが、∥D∥\|D\|はDDの固有値でないことを示せ。DDはコンパクトな自己共役作用素であるから、補題 2.3 (2)の結論を「∥T∥\|T\|はTTの固有値である」に強めることはできない。
  3. λk+(D)=1/(2k)\lambda_k^+(D)=1/(2k)とλk+(−D)=1/(2k−1)\lambda_k^+(-D)=1/(2k-1)（k≥1k\ge1）を示し、sup⁡{RD(x):x≠0}=1/2<∥D∥\sup\{R_D(x):x\ne0\}=1/2<\|D\|であることを示せ。
解答.

(1)を示す。(dn)(d_n)は実数の有界な数列であるから、§E12.1 例 2.8によりD∈B(ℓ2)D\in B(\ell^2)は自己共役作用素であり、∥D∥=sup⁡n∣dn∣=1\|D\|=\sup_n|d_n|=1である。dn→0d_n\to0であるから、§E12.2 命題 1.9によりDDはコンパクトである。μ∈K\mu\in\mathbb Kとx∈ℓ2x\in\ell^2について、Dx=μxDx=\mu xはすべてのnnについて(dn−μ)xn=0(d_n-\mu)x_n=0であることと同値である。∣dn∣=1/n|d_n|=1/nであるからdnd_nは互いに異なり、いずれも00でない。したがって、μ=dm\mu=d_mならばDx=μxDx=\mu xはn≠mn\ne mについてxn=0x_n=0であることと同値であってker⁡(dmI−D)=span⁡{em}\ker(d_mI-D)=\operatorname{span}\{e_m\}であり、μ∉{dn:n≥1}\mu\notin\{d_n:n\ge1\}ならばx=0x=0である。特にker⁡D={0}\ker D=\{0\}であり、DDの零でない固有値の全体は{dn:n≥1}\{d_n:n\ge1\}である。νn=dn\nu_n=d_nとker⁡(dnI−D)\ker(d_nI-D)の正規直交基底{en}\{e_n\}をとると、定理 4.1 (3)により、すべてのx∈ℓ2x\in\ell^2についてDx=∑n≥1dnxnenDx=\sum_{n\ge1}d_nx_ne_nがノルム収束として成り立ち、部分和は作用素ノルムについてDDに収束する。

(2)を示す。∥D∥=1\|D\|=1であり、d1=−1d_1=-1であるから−∥D∥-\|D\|は固有値である。dn>0d_n>0となるのはnnが偶数のときであり、そのときdn≤1/2d_n\le1/2であるから、1∉{dn:n≥1}1\notin\{d_n:n\ge1\}であり、∥D∥\|D\|は固有値でない。

(3)を示す。DDの正の固有値はd2k=1/(2k)d_{2k}=1/(2k)（k≥1k\ge1）であり、それぞれの固有空間は一次元であるから、定義 6.1によりλk+(D)=1/(2k)\lambda_k^+(D)=1/(2k)である。−D-Dの正の固有値は−d2k−1=1/(2k−1)-d_{2k-1}=1/(2k-1)（k≥1k\ge1）であり、それぞれの固有空間は一次元であるからλk+(−D)=1/(2k−1)\lambda_k^+(-D)=1/(2k-1)である。(e2k)k≥1(e_{2k})_{k\ge1}は(λk+(D))(\lambda_k^+(D))に付随する正規直交系であり、定理 6.3 (1)をk=1k=1について用いるとsup⁡{RD(x):x≠0}=λ1+(D)=1/2\sup\{R_D(x):x\ne0\}=\lambda_1^+(D)=1/2である。∥D∥=1\|D\|=1であるから、sup⁡RD<∥D∥\sup R_D<\|D\|である。▨

参考文献

  1. John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1990.コンパクト自己共役作用素とコンパクト正規作用素のスペクトル定理の扱いを参考にした。
  2. Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, revised and enlarged ed., Academic Press, New York, 1980.固有値の最大最小原理と特異値分解の扱いを参考にした。

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