Hilbert 空間のテンソル積 | 関数解析 I

定義 1.1. $H$ を複素 Hilbert 空間とする。 $H$ と同じ集合 $\{\overline x:x\in H\}$ に、和 $\overline x+\overline y=\overline{x+y}$ 、スカラー倍 $\alpha\cdot\overline x=\overline{\overline\alpha x}$ $(\alpha\in\C)$ 、内積 $\langle\overline x,\overline y\rangle=\langle y,x\rangle$ を定めたものを、 $H$ の共役空間 (conjugate Hilbert space) といい、 $\overline H$ と書く。実 Hilbert 空間 $H$ については $\overline H=H$ とし、 $\overline x=x$ とする。

命題 1.2. $H$ を複素 Hilbert 空間とする。このとき、次が成り立つ。

$\overline H$ は $\C$ 上の Hilbert 空間であり、 $x\mapsto\overline x$ は $H$ から $\overline H$ への加法的な全単射で、 $\overline{\alpha x}=\overline\alpha\cdot\overline x$ を満たし、ノルムを保つ。
$y\in H$ に対して $\Theta(\overline y)=\langle\,\cdot\,,y\rangle\in H^*$ と定めると、 $\Theta\colon\overline H\to H^*$ は $\C$ 上の線形等長全単射である。
$(e_\alpha)_{\alpha\in A}$ が $H$ の完全正規直交系ならば、 $(\overline{e_\alpha})_{\alpha\in A}$ は $\overline H$ の完全正規直交系である。

証明.主張 (1)を示す。 $c(x)=\overline x$ とおくと、 $c$ は全単射であり、定義から $c(x+y)=c(x)+c(y)$ と $c(\gamma x)=\overline\gamma\cdot c(x)$ を満たす。 $\alpha,\beta\in\C$ について、 $\alpha\cdot(\beta\cdot c(x))=\alpha\cdot c(\overline\beta x)=c(\overline\alpha\,\overline\beta x)=c(\overline{\alpha\beta}x)=(\alpha\beta)\cdot c(x)$ であり、 $(\alpha+\beta)\cdot c(x)=c(\overline\alpha x+\overline\beta x)=\alpha\cdot c(x)+\beta\cdot c(x)$ 、 $\alpha\cdot(c(x)+c(y))=c(\overline\alpha x+\overline\alpha y)=\alpha\cdot c(x)+\alpha\cdot c(y)$ 、 $1\cdot c(x)=c(x)$ である。したがって $\overline H$ は $\C$ 上のベクトル空間である。内積について、 $\alpha,\beta\in\C$ に対して

\langle\alpha\cdot\overline x+\beta\cdot\overline{x'},\overline y\rangle=\langle\overline{\overline\alpha x+\overline\beta x'},\overline y\rangle=\langle y,\overline\alpha x+\overline\beta x'\rangle=\alpha\langle y,x\rangle+\beta\langle y,x'\rangle

であるから第1変数について線形であり、 $\langle\overline y,\overline x\rangle=\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$ であり、 $\langle\overline x,\overline x\rangle=\langle x,x\rangle$ により正定値である。したがって $\overline H$ は内積空間であり、 $\|\overline x\|=\|x\|$ である。 $c$ はノルムを保つ全単射であるから、 $\overline H$ の Cauchy 列の $c^{-1}$ による像は $H$ の Cauchy 列であり、 $H$ で収束する。したがって $\overline H$ は完備である。

主張 (2)を示す。 $R\colon H\to H^*$ を $Ry=\langle\,\cdot\,,y\rangle$ とすると、§E10.5 系 1.2により $R$ は全単射かつ等長であり、 $R(\overline\alpha y)=\alpha Ry$ である。 $\Theta=R\circ c^{-1}$ であるから、 $\Theta$ は全単射かつ等長であり、 $\Theta(\alpha\cdot\overline y)=\Theta(c(\overline\alpha y))=R(\overline\alpha y)=\alpha\Theta(\overline y)$ であり、加法的である。

主張 (3)を示す。 $\langle\overline{e_\alpha},\overline{e_\beta}\rangle=\langle e_\beta,e_\alpha\rangle=\delta_{\alpha\beta}$ である。 $\overline x\in\overline H$ がすべての $\alpha$ について $\langle\overline x,\overline{e_\alpha}\rangle=\langle e_\alpha,x\rangle=0$ を満たすならば、 $\langle x,e_\alpha\rangle=0$ がすべての $\alpha$ について成り立つから、§E12.7 補題 2.2 (2)により $x=0$ である。同じ§E12.7 補題 2.2 (2)により $(\overline{e_\alpha})$ は完全である。▨

補題 2.1. $H_1,H_2$ を $\mathbb K$ 上の内積空間とする。このとき、 $H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2$ 上の内積で、すべての $x,x'\in H_1$ と $y,y'\in H_2$ について

\langle x\otimes y,x'\otimes y'\rangle=\langle x,x'\rangle\langle y,y'\rangle

を満たすものがただ一つ存在する。この内積は、 $u=\sum_{j=1}^nx_j\otimes y_j$ と $v=\sum_{k=1}^mx'_k\otimes y'_k$ について

\langle u,v\rangle=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^m\langle x_j,x'_k\rangle\langle y_j,y'_k\rangle

を満たす。

証明. 純テンソルは $H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2$ を線形に生成し、内積は第1変数について線形、第2変数について共役線形であるから、この条件を満たす内積は、上の和の等式によって純テンソルの上の値から一つに定まる。

$(x',y')\in H_1\times H_2$ とする。 $(x,y)\mapsto\langle x,x'\rangle\langle y,y'\rangle$ は双線形であるから、§E3.11 定理 1.2により、 $L_{x',y'}(x\otimes y)=\langle x,x'\rangle\langle y,y'\rangle$ を満たす線形汎関数 $L_{x',y'}$ がただ一つ存在する。 $u=\sum_{j=1}^nx_j\otimes y_j$ に対して $L_{x',y'}(u)=\sum_j\langle x_j,x'\rangle\langle y_j,y'\rangle$ であるから、

\overline{L_{x',y'}(u)}=\sum_{j=1}^n\langle x',x_j\rangle\langle y',y_j\rangle

は $(x',y')$ について双線形である。§E3.11 定理 1.2を再び用いて、 $\ell_u(x'\otimes y')=\overline{L_{x',y'}(u)}$ を満たす線形汎関数 $\ell_u$ をとり、 $\langle u,v\rangle=\overline{\ell_u(v)}$ と定める。 $v=\sum_{k=1}^mx'_k\otimes y'_k$ について $\langle u,v\rangle=\sum_kL_{x'_k,y'_k}(u)$ であるから、補題の主張の和の等式が成り立つ。 $\langle u,v\rangle$ は、 $v$ を固定すれば各 $L_{x'_k,y'_k}$ が線形であるから $u$ について線形であり、 $u$ を固定すれば $\ell_u$ が線形であるから $v$ について共役線形である。この和の等式の右辺で $u$ と $v$ を入れ替えると、各項が複素共役になるから、 $\langle v,u\rangle=\overline{\langle u,v\rangle}$ である。

$u=\sum_{j=1}^nx_j\otimes y_j$ とし、 $M=\operatorname{span}\{x_1,\dots,x_n\}$ 、 $N=\operatorname{span}\{y_1,\dots,y_n\}$ とおく。§E3.33 定理 2.2により、 $M$ の正規直交基底 $e_1,\dots,e_p$ と $N$ の正規直交基底 $f_1,\dots,f_q$ が存在する（ $M=\{0\}$ や $N=\{0\}$ の場合は空の和とする）。 $x_j=\sum_a\langle x_j,e_a\rangle e_a$ 、 $y_j=\sum_b\langle y_j,f_b\rangle f_b$ であり、 $\otimes$ の双線形性により

u=\sum_{a=1}^p\sum_{b=1}^qc_{ab}\,e_a\otimes f_b,\qquad c_{ab}=\sum_{j=1}^n\langle x_j,e_a\rangle\langle y_j,f_b\rangle

である。この表示に和の等式を適用すると

\langle u,u\rangle=\sum_{a,b}\sum_{a',b'}c_{ab}\overline{c_{a'b'}}\langle e_a,e_{a'}\rangle\langle f_b,f_{b'}\rangle=\sum_{a,b}|c_{ab}|^2\ge0

である。 $\langle u,u\rangle=0$ ならばすべての $c_{ab}$ が $0$ であり、 $u=0$ である。▨

定義 2.2. $H_1,H_2$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間とする。補題 2.1の内積を備えた内積空間 $H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2$ の完備化を、 $H_1$ と $H_2$ の Hilbert 空間のテンソル積 (Hilbert space tensor product) といい、 $H_1\otimes H_2$ と書く。§E10.4 定理 3.1により $H_1\otimes H_2$ は Hilbert 空間であり、完備化の埋め込みは内積を保つ線形写像であるから単射である。以後、この埋め込みによって $H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2$ を $H_1\otimes H_2$ の稠密な線形部分空間とみなし、 $x\otimes y$ を $H_1\otimes H_2$ の元とみなす。

命題 2.3. $H_1,H_2$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間とする。このとき、次が成り立つ。

すべての $x,x'\in H_1$ と $y,y'\in H_2$ について $\langle x\otimes y,x'\otimes y'\rangle=\langle x,x'\rangle\langle y,y'\rangle$ であり、特に $\|x\otimes y\|=\|x\|\|y\|$ である。
すべての $x,x'\in H_1$ と $y,y'\in H_2$ について $\|x\otimes y-x'\otimes y'\|\le\|x-x'\|\|y\|+\|x'\|\|y-y'\|$ である。特に、 $(x,y)\mapsto x\otimes y$ は $H_1\times H_2$ から $H_1\otimes H_2$ へのノルム位相について連続である。
純テンソル $x\otimes y$ の線形包は $H_1\otimes H_2$ で稠密である。
$S\subseteq H_1$ と $T\subseteq H_2$ の線形包がそれぞれ $H_1$ と $H_2$ で稠密ならば、 $\{x\otimes y:x\in S,\ y\in T\}$ の線形包は $H_1\otimes H_2$ で稠密である。

証明.主張 (1)は補題 2.1の等式である。

主張 (2)を示す。 $x\otimes y-x'\otimes y'=(x-x')\otimes y+x'\otimes(y-y')$ であるから、主張 (1)と三角不等式により評価を得る。

主張 (3)を示す。 $H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2$ の元は純テンソルの有限和であり、 $H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2$ は $H_1\otimes H_2$ で稠密である。

主張 (4)を示す。 $D$ を $\{x\otimes y:x\in S,\ y\in T\}$ の線形包の閉包とする。 $y\in T$ を固定すると、 $x\mapsto x\otimes y$ は線形であり、主張 (2)により連続であって、 $S$ を $D$ へ写す。したがって $S$ の線形包の閉包 $H_1$ を $D$ へ写し、すべての $x\in H_1$ と $y\in T$ について $x\otimes y\in D$ である。 $x\in H_1$ を固定して $y\mapsto x\otimes y$ に同じ議論を行うと、すべての $y\in H_2$ について $x\otimes y\in D$ である。主張 (3)により $D=H_1\otimes H_2$ である。▨

定理 2.4. $H_1,H_2,W$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間とし、 $B\colon H_1\times H_2\to W$ を双線形写像で、すべての $x,x'\in H_1$ と $y,y'\in H_2$ について

\langle B(x,y),B(x',y')\rangle_W=\langle x,x'\rangle\langle y,y'\rangle

を満たすものとする。このとき、 $U(x\otimes y)=B(x,y)$ を満たす有界線形作用素 $U\colon H_1\otimes H_2\to W$ がただ一つ存在し、 $U$ は内積を保つ。 $U$ の値域は閉部分空間であり、 $B(H_1\times H_2)$ の線形包の閉包に等しい。したがって、 $B(H_1\times H_2)$ の線形包が $W$ で稠密であることは、 $U$ がユニタリ作用素であるための必要十分条件である。

証明.§E3.11 定理 1.2により、 $U_0(x\otimes y)=B(x,y)$ を満たす線形写像 $U_0\colon H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2\to W$ が存在する。 $u=\sum_jx_j\otimes y_j$ と $v=\sum_kx'_k\otimes y'_k$ について、仮定と補題 2.1の和の等式により

\langle U_0u,U_0v\rangle=\sum_{j,k}\langle B(x_j,y_j),B(x'_k,y'_k)\rangle=\sum_{j,k}\langle x_j,x'_k\rangle\langle y_j,y'_k\rangle=\langle u,v\rangle

である。特に $\|U_0u\|=\|u\|$ であり、 $U_0$ は有界である。 $W$ は Banach 空間であるから、§E10.4 定理 2.1により、 $U_0$ の有界線形な延長 $U\colon H_1\otimes H_2\to W$ がただ一つ存在する。 $H_1\otimes H_2$ の元 $\xi,\eta$ に対して $H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2$ の点列 $u_n\to\xi$ 、 $v_n\to\eta$ をとると、§E10.4 定理 3.1の内積の連続性により $\langle U\xi,U\eta\rangle=\lim\langle U_0u_n,U_0v_n\rangle=\lim\langle u_n,v_n\rangle=\langle\xi,\eta\rangle$ である。延長の一意性は、命題 2.3 (3)により純テンソルの上の値が $U$ を定めることからも従う。

$U$ は等長であるから、 $U$ の値域は完備であり、 $W$ で閉じている。 $U$ は連続で $H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2$ は稠密であるから、値域は $U_0(H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2)$ の閉包である。 $U_0(H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2)$ は $B(H_1\times H_2)$ の線形包に等しい。 $U$ がユニタリ作用素であることは、§E12.1 命題 2.4 (3)により全射であることと同値であり、値域が閉であるから、線形包が稠密であることと同値である。▨

定理 3.1. $H_1,H_2,G_1,G_2$ を同じ係数体 $\mathbb K\in\{\R,\C\}$ 上の Hilbert 空間とし、 $S\in B(H_1,G_1)$ 、 $T\in B(H_2,G_2)$ とする。このとき、すべての $x\in H_1$ と $y\in H_2$ について

U(x\otimes y)=Sx\otimes Ty

を満たす有界線形作用素 $U\colon H_1\otimes H_2\to G_1\otimes G_2$ がただ一つ存在する。この作用素を $S$ と $T$ のテンソル積 (tensor product of bounded operators) といい、 $S\otimes T$ と書く。このとき、次が成り立つ。

$\|S\otimes T\|=\|S\|\|T\|$ である。
$F_1,F_2$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間とし、 $S'\in B(G_1,F_1)$ 、 $T'\in B(G_2,F_2)$ とすると、 $(S'\otimes T')(S\otimes T)=(S'S)\otimes(T'T)$ である。また、 $I_{H_1}\otimes I_{H_2}=I_{H_1\otimes H_2}$ である。
$(S\otimes T)^*=S^*\otimes T^*$ である。
$S,T$ がともに等長作用素ならば、 $S\otimes T$ は等長作用素である。 $S,T$ がともにユニタリ作用素ならば、 $S\otimes T$ はユニタリ作用素である。

証明. 双線形写像 $(x,y)\mapsto Sx\otimes y$ と $(z,y)\mapsto z\otimes Ty$ に§E3.11 定理 1.2を適用し、線形写像

\begin{aligned} A_0&\colon H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2\longrightarrow G_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2, & A_0(x\otimes y)&=Sx\otimes y,\\ B_0&\colon G_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2\longrightarrow G_1\otimes_{\mathrm{alg}}G_2, & B_0(z\otimes y)&=z\otimes Ty \end{aligned}

を得る。 $u=\sum_{j=1}^n x_j\otimes y_j$ とする。§E3.33 定理 2.2により、 $\operatorname{span}\{y_1,\dots,y_n\}$ の正規直交基底 $f_1,\dots,f_q$ をとると、

u=\sum_{b=1}^q a_b\otimes f_b,\qquad a_b=\sum_{j=1}^n\langle y_j,f_b\rangle x_j

である。線形包が零空間である場合は、基底と和を空とする。補題 2.1により

\|u\|^2=\sum_{b=1}^q\|a_b\|^2,\qquad \|A_0u\|^2=\sum_{b=1}^q\|Sa_b\|^2\le\|S\|^2\|u\|^2

である。

$v=\sum_{j=1}^m z_j\otimes y_j\in G_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2$ とする。 $\operatorname{span}\{z_1,\dots,z_m\}$ の正規直交基底 $e_1,\dots,e_p$ をとり、

v=\sum_{a=1}^p e_a\otimes b_a,\qquad b_a=\sum_{j=1}^m\langle z_j,e_a\rangle y_j

と表す。線形包が零空間である場合は空の和とする。補題 2.1により

\|B_0v\|^2=\sum_{a=1}^p\|Tb_a\|^2 \le\|T\|^2\sum_{a=1}^p\|b_a\|^2 =\|T\|^2\|v\|^2

である。したがって、 $U_0=B_0A_0$ はすべての $u\in H_1\otimes_{\mathrm{alg}}H_2$ について

\|U_0u\|\le\|S\|\|T\|\|u\|

を満たす。 $G_1\otimes G_2$ は完備であるから、§E10.4 定理 2.1により $U_0$ は有界線形作用素 $U\colon H_1\otimes H_2\to G_1\otimes G_2$ にただ一つ延長され、 $\|U\|\le\|S\|\|T\|$ である。純テンソル上で指定された値をとる線形作用素は代数的テンソル積上で $U_0$ と一致するから、この延長の一意性が主張の一意性を与える。

一方、 $\|x\|\le1$ 、 $\|y\|\le1$ を満たす $x\in H_1$ 、 $y\in H_2$ に対して、命題 2.3 (1)により

\|Sx\|\|Ty\|=\|U(x\otimes y)\| \le\|U\|\|x\|\|y\|\le\|U\|

である。 $x$ 、 $y$ について順に閉単位球上の上限をとると、 $\|S\|\|T\|\le\|U\|$ を得る。各閉単位球は零ベクトルを含むので、この上限は零空間の場合にも定まり、零空間を始域とする作用素のノルムは $0$ である。これで主張 (1)は示された。

主張 (2)を示す。すべての $x\in H_1$ と $y\in H_2$ について

(S'\otimes T')(S\otimes T)(x\otimes y)=S'Sx\otimes T'Ty

であるから、存在一意性の主張を $S'S$ と $T'T$ に適用すると、合成の等式を得る。恒等作用素 $I_{H_1\otimes H_2}$ は $x\otimes y$ を $x\otimes y$ へ写すので、同じ一意性により $I_{H_1}\otimes I_{H_2}=I_{H_1\otimes H_2}$ である。

主張 (3)を示す。§E12.1 命題 1.2により $S^*\in B(G_1,H_1)$ 、 $T^*\in B(G_2,H_2)$ であるから、既に示した存在の主張を適用して $S^*\otimes T^*\in B(G_1\otimes G_2,H_1\otimes H_2)$ を得る。 $x\in H_1$ 、 $y\in H_2$ 、 $z\in G_1$ 、 $w\in G_2$ に対して

\begin{aligned} \langle(S\otimes T)(x\otimes y),z\otimes w\rangle &=\langle Sx,z\rangle\langle Ty,w\rangle\\ &=\langle x,S^*z\rangle\langle y,T^*w\rangle\\ &=\langle x\otimes y,(S^*\otimes T^*)(z\otimes w)\rangle \end{aligned}

である。半双線形性によりこの等式は両変数が有限テンソル和の場合に成り立ち、両変数についての連続性と命題 2.3 (3)により、すべての $\xi\in H_1\otimes H_2$ と $\eta\in G_1\otimes G_2$ に対して成り立つ。§E12.1 命題 1.2の一意性により $(S\otimes T)^*=S^*\otimes T^*$ である。

主張 (4)を示す。 $S,T$ が等長作用素であるとする。§E12.1 補題 2.3 (1)と§E12.1 補題 2.3 (2)により、 $S,T$ は内積を保つ。したがって、双線形写像 $B(x,y)=Sx\otimes Ty$ は

\langle B(x,y),B(x',y')\rangle =\langle Sx,Sx'\rangle\langle Ty,Ty'\rangle =\langle x,x'\rangle\langle y,y'\rangle

を満たす。定理 2.4により $B$ は等長作用素へ延長され、この延長は一意性により $S\otimes T$ に等しい。さらに $S,T$ がユニタリ作用素ならば、合成・恒等・共役についての等式により

(S\otimes T)^*(S\otimes T) =(S^*S)\otimes(T^*T)=I_{H_1\otimes H_2},\qquad (S\otimes T)(S\otimes T)^* =(SS^*)\otimes(TT^*)=I_{G_1\otimes G_2}

であるから、 $S\otimes T$ はユニタリ作用素である。▨

命題 4.1. $H_1,H_2$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間とし、 $(e_\alpha)_{\alpha\in A}$ を $H_1$ の正規直交系、 $(f_\beta)_{\beta\in B}$ を $H_2$ の正規直交系とする。このとき、 $(e_\alpha\otimes f_\beta)_{(\alpha,\beta)\in A\times B}$ は $H_1\otimes H_2$ の正規直交系である。 $(e_\alpha)$ と $(f_\beta)$ がともに完全ならば、 $(e_\alpha\otimes f_\beta)$ は完全であり、すべての $u\in H_1\otimes H_2$ について

u=\sum_{(\alpha,\beta)\in A\times B}\langle u,e_\alpha\otimes f_\beta\rangle\,e_\alpha\otimes f_\beta,\qquad\|u\|^2=\sum_{(\alpha,\beta)\in A\times B}|\langle u,e_\alpha\otimes f_\beta\rangle|^2

が成り立つ。

証明.命題 2.3 (1)により $\langle e_\alpha\otimes f_\beta,e_{\alpha'}\otimes f_{\beta'}\rangle=\delta_{\alpha\alpha'}\delta_{\beta\beta'}$ である。 $(e_\alpha)$ と $(f_\beta)$ が完全ならば、命題 2.3 (4)を $S=\{e_\alpha\}$ 、 $T=\{f_\beta\}$ に適用すると、 $(e_\alpha\otimes f_\beta)$ の線形包は $H_1\otimes H_2$ で稠密である。したがって $(e_\alpha\otimes f_\beta)$ は完全正規直交系であり、§E12.7 補題 2.2 (3)と§E12.7 補題 2.2 (4)により展開とノルムの等式を得る。▨

命題 5.1. $n\geq1$ とし、 $H_1,\ldots,H_n$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間とする。このとき、次が成り立つ。

純テンソルの線形包は $H_1\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes H_n$ で稠密であり、 $\left\langle x_1\otimes\cdots\otimes x_n,y_1\otimes\cdots\otimes y_n\right\rangle =\prod_{j=1}^n\langle x_j,y_j\rangle$ が成り立つ。代数的テンソル積から各純テンソルを同じ純テンソルに写す標準写像は単射である。
因子の順序を保った任意の二つの括弧付けの間には、純テンソルの括弧だけを変えるユニタリ作用素がただ一つ存在する。この作用素は、括弧変更の合成と整合する。
各 $H_j$ の完全正規直交系を $(e_{j,\alpha})_{\alpha\in A_j}$ とすると、 $(e_{1,\alpha_1}\otimes\cdots\otimes e_{n,\alpha_n})_{(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in A_1\times\cdots\times A_n}$ は完全正規直交系である。

零因子の積では純テンソルを $1\in\mathbb K$ とし、内積の積を $1$ 、完全正規直交系を $(1)$ とする。特に括弧変更によって $H^{\widehat\otimes n}\widehat\otimes H^{\widehat\otimes m}$ と $H^{\widehat\otimes(n+m)}$ を同一視することができ、零因子がある場合は $a\otimes x\mapsto ax$ または $x\otimes a\mapsto ax$ を用いる。

証明. 一因子では内積の等式と稠密性はそのまま成り立つ。任意の括弧付けを最後の二因子のテンソル積に分けると、命題 2.3 (1)により内積の積の式が得られる。それぞれの因子で純テンソルの線形包が稠密ならば、命題 2.3 (4)により、それらを合わせた純テンソルの線形包も稠密である。因子の個数に関する帰納法により、すべての括弧付けについて内積の式と稠密性が成り立つ。

代数的テンソル積を同じ括弧付けで反復して構成する。補題 2.1により、この代数的テンソル積には内積積で定まる正定値内積が入る。完備化した因子への標準写像は、純テンソル上の内積積を保ち、半双線形性により有限和の内積も保つ。したがって、この標準写像は単射であり、主張 (1)を得る。

二つの括弧付けによる Hilbert 空間を $E,F$ とする。 $F$ の純テンソルへの対応は各変数について線形であるから、§E3.11 定理 1.2の反復により、 $E$ の代数的テンソル積から $F$ への線形写像 $U_0$ を得る。内積積の式と半双線形性により、 $U_0$ は有限和の内積を保つ。§E10.4 定理 2.1により、 $U_0$ は $E$ から $F$ への線形等長作用素 $U$ へ一意に延長される。 $U$ の値域は閉じており、 $F$ のすべての純テンソルを含むから、稠密性により $U$ は全射である。二つの括弧変更の合成と直接の括弧変更は純テンソル上で一致するので、同じ稠密性により一致する。

命題 4.1を因子の個数について反復すると、主張 (3)を得る。零因子の場合は $\mathbb K$ の基底 $(1)$ が主張を満たす。また、双線形写像 $(a,x)\mapsto ax$ は純テンソルの内積積を保ち、その像は $H$ 全体であるから、定理 2.4により $\mathbb K\otimes H\to H$ のユニタリ作用素を与える。 $H\otimes\mathbb K$ も同じ計算で扱うことができる。これらの同一視と括弧変更との整合性も純テンソル上の一致から従う。▨

命題 6.1. $n\geq1$ とし、 $H_j,K_j$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間、 $T_j\in B(H_j,K_j)$ とする。このとき、

(T_1\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes T_n)(x_1\otimes\cdots\otimes x_n) =T_1x_1\otimes\cdots\otimes T_nx_n

を満たす有界作用素がただ一つ存在し、そのノルムは $\prod_{j=1}^n\|T_j\|$ に等しい。また、 $L_j$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間、 $R_j\in B(K_j,L_j)$ とすると、

\begin{aligned} (R_1\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes R_n)(T_1\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes T_n) &=(R_1T_1)\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes(R_nT_n),\\ I_{H_1}\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes I_{H_n} &=I_{H_1\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes H_n},\\ (T_1\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes T_n)^* &=T_1^*\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes T_n^* \end{aligned}

が成り立つ。すべての $T_j$ が等長ならばそのテンソル積も等長であり、すべての $T_j$ がユニタリならばそのテンソル積もユニタリである。これらの作用素は括弧変更のユニタリと整合する。

特に $T\in B(H,K)$ と $n\geq1$ に対して $T^{\widehat\otimes n}\in B(H^{\widehat\otimes n},K^{\widehat\otimes n})$ が定まり、 $\|T^{\widehat\otimes n}\|=\|T\|^n$ である。零次は $T^{\widehat\otimes0}=I_{\mathbb K}$ と定め、そのノルムは $1$ である。

証明. $n=1$ では作用素を $T_1$ とする。 $n$ 因子の場合に得た作用素と $T_{n+1}$ に定理 3.1を適用すると、 $n+1$ 因子で指定された純テンソル上の値をもち、ノルムが $\prod_{j=1}^{n+1}\|T_j\|$ に等しい有界作用素を得る。一意性は命題 5.1 (1)の稠密性による。合成・恒等作用素・共役作用素との整合、および等長性・ユニタリ性の保存は、同じ二因子の定理を帰納的に適用して得られる。括弧変更と作用素を合成する二つの順序は純テンソル上で一致するので、稠密性により全体で一致する。零次の作用素は $I_{\mathbb K}$ であるから、合成・恒等・共役との整合も成り立つ。▨

補題 6.2. $H,K$ を複素 Hilbert 空間、 $T\in B(H,K)$ とし、net $(T_a)\subseteq B(H,K)$ が $\sup_a\|T_a\|\leq C<\infty$ を満たし、すべての $x\in H$ 、 $y\in K$ について

\langle T_ax,y\rangle\longrightarrow\langle Tx,y\rangle

が成り立つとする。このとき、各有限整数 $n\geq0$ とすべての $u\in H^{\widehat\otimes n}$ 、 $v\in K^{\widehat\otimes n}$ について

\langle T_a^{\widehat\otimes n}u,v\rangle \longrightarrow\langle T^{\widehat\otimes n}u,v\rangle

が成り立つ。すなわち、一様有界な作用素 net の弱作用素収束は、固定した有限テンソル冪で保たれる。

証明. $n\geq1$ とし、純テンソル $x=x_1\otimes\cdots\otimes x_n$ 、 $y=y_1\otimes\cdots\otimes y_n$ を取る。命題 5.1 (1)により

\langle T_a^{\widehat\otimes n}x,y\rangle =\prod_{j=1}^n\langle T_ax_j,y_j\rangle \longrightarrow\prod_{j=1}^n\langle Tx_j,y_j\rangle =\langle T^{\widehat\otimes n}x,y\rangle.

純テンソルの有限和でも収束する。弱極限 $T$ のノルムは $C$ 以下であり、命題 6.1によってすべてのテンソル冪のノルムは $C^n$ 以下である。したがって両変数の稠密近似により任意の $x,y$ へ収束を延長することができる。 $n=0$ ではすべての作用素が $I_\C$ である。▨

命題 7.1. $n\geq1$ とし、 $H_1,\ldots,H_n$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間、 $\sigma\in S_n$ とする。このとき、

U_\sigma(x_1\otimes\cdots\otimes x_n) =x_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes x_{\sigma^{-1}(n)}

を満たすユニタリ作用素

U_\sigma:H_1\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes H_n \longrightarrow H_{\sigma^{-1}(1)}\widehat\otimes\cdots\widehat\otimes H_{\sigma^{-1}(n)}

がただ一つ存在する。特にすべての因子が $H$ に等しい場合は、 $U_\sigma^H U_\tau^H=U_{\sigma\tau}^H$ 、 $U_1^H=I$ 、 $(U_\sigma^H)^*=U_{\sigma^{-1}}^H$ が成り立つ。また、 $T\in B(H,K)$ に対し、 $T^{\widehat\otimes n}U_\sigma^H=U_\sigma^K T^{\widehat\otimes n}$ である。

証明. 各 $x_j$ を指定された位置へ送る対応は各変数について線形であるから、§E3.11 定理 1.2の反復により代数的テンソル積上の線形写像を得る。命題 5.1 (1)により、因子を同時に並べ替えても二つの純テンソルの内積積は変わらない。したがって、この線形写像は有限和の内積を保ち、§E10.4 定理 2.1により等長作用素 $U_\sigma$ へ一意に延長される。像は終域のすべての純テンソルを含むから、稠密性と等長作用素の閉値域性により全射である。

すべての因子が $H$ に等しいとする。 $U_\sigma^H U_\tau^H$ は純テンソルの第 $j$ 因子を $x_{\tau^{-1}(\sigma^{-1}(j))}=x_{(\sigma\tau)^{-1}(j)}$ とし、 $U_1^H$ は各純テンソルを固定する。稠密性により積と恒等作用素の等式が成り立つ。逆作用素は $U_{\sigma^{-1}}^H$ であり、ユニタリ性により共役作用素とも一致する。 $T^{\widehat\otimes n}U_\sigma^H$ と $U_\sigma^K T^{\widehat\otimes n}$ はともに各純テンソルを $Tx_{\sigma^{-1}(1)}\otimes\cdots\otimes Tx_{\sigma^{-1}(n)}$ へ送るから、稠密性により等しい。▨

命題 7.2. $H$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間、 $n\geq1$ とし、 $U_\sigma^H$ を命題 7.1の作用素とする。このとき、

P_+^H=\frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}U_\sigma^H,\qquad P_-^H=\frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)U_\sigma^H

はそれぞれ閉部分空間

\begin{aligned} E_+^H&=\{\xi\in H^{\widehat\otimes n}:U_\sigma^H\xi=\xi\text{ for all }\sigma\in S_n\},\\ E_-^H&=\{\xi\in H^{\widehat\otimes n}:U_\sigma^H\xi=\operatorname{sgn}(\sigma)\xi\text{ for all }\sigma\in S_n\} \end{aligned}

への直交射影である。 $T\in B(H,K)$ に対して $T^{\widehat\otimes n}P_\pm^H=P_\pm^K T^{\widehat\otimes n}$ が成り立つ。

証明. $\chi(\sigma)=1$ または $\chi(\sigma)=\operatorname{sgn}(\sigma)$ とし、 $P_\chi=(n!)^{-1}\sum_\sigma\chi(\sigma)U_\sigma^H$ とおく。§D3.4 命題 3.3により、いずれの場合も $\chi(\sigma\tau)=\chi(\sigma)\chi(\tau)$ 、 $\chi(\sigma)^2=1$ 、 $\chi(\sigma^{-1})=\chi(\sigma)$ である。各 $\gamma\in S_n$ を $\sigma\tau$ と表す組は $n!$ 個あるから、命題 7.1により

P_\chi^2=\frac1{(n!)^2}\sum_{\sigma,\tau}\chi(\sigma\tau)U_{\sigma\tau}^H =\frac1{n!}\sum_\gamma\chi(\gamma)U_\gamma^H=P_\chi

である。逆置換への添字変換により

P_\chi^*=\frac1{n!}\sum_\sigma\chi(\sigma)U_{\sigma^{-1}}^H=P_\chi

である。また、 $\gamma=\tau\sigma$ と置き換えると $U_\tau^H P_\chi=\chi(\tau)P_\chi$ となる。したがって $P_\chi$ の像は $E_\chi=\{\xi:U_\tau^H\xi=\chi(\tau)\xi\text{ for all }\tau\in S_n\}$ に含まれる。逆に $\xi\in E_\chi$ ならば

P_\chi\xi=\frac1{n!}\sum_\sigma\chi(\sigma)^2\xi=\xi

であり、像は $E_\chi$ に等しい。この像は $\ker(I-P_\chi)$ であるから閉じている。 $u\in E_\chi$ に対して

\langle\xi-P_\chi\xi,u\rangle =\langle\xi,u\rangle-\langle\xi,P_\chi u\rangle=0

であるから、 $P_\chi$ は $E_\chi$ への直交射影である。最後の等式は命題 7.1の絡条件を有限和に通して得られる。▨

例 7.3. $H$ の直交する単位ベクトルを $e,f$ とし、 $n=2$ とする。このとき、

P_\pm^H(e\otimes f)=\frac12(e\otimes f\pm f\otimes e),\qquad \|P_\pm^H(e\otimes f)\|^2=\frac12

である。実際、二つの純テンソルのノルムは $1$ 、内積は $0$ であるから、内積を展開するとノルムの等式を得る。したがって、 $\sqrt2P_+^H(e\otimes f)$ と $\sqrt2P_-^H(e\otimes f)$ はそれぞれ $E_+^H$ と $E_-^H$ の単位ベクトルである。また $P_+^H(e\otimes e)=e\otimes e$ 、 $P_-^H(e\otimes e)=0$ である。

定理 8.1. $(\Omega_1,\Sigma_1,\mu)$ と $(\Omega_2,\Sigma_2,\nu)$ をσ-有限な測度空間とし、 $\rho=\mu\otimes\nu$ とする。このとき、 $f\in L^2(\mu)$ と $g\in L^2(\nu)$ に対して関数 $(x,y)\mapsto f(x)g(y)$ の $L^2(\rho)$ における類を $f\boxtimes g$ と書くと、 $U(f\otimes g)=f\boxtimes g$ を満たすユニタリ作用素 $U\colon L^2(\mu)\otimes L^2(\nu)\to L^2(\rho)$ がただ一つ存在する。

証明.§E12.2 補題 2.1により、 $f\boxtimes g$ は代表元のとり方によらず定まり、 $\|f\boxtimes g\|=\|f\|\|g\|$ である。 $B(f,g)=f\boxtimes g$ は双線形である。 $f,f'\in L^2(\mu)$ と $g,g'\in L^2(\nu)$ について $a=f\overline{f'}$ と $b=g\overline{g'}$ とおく。§E10.22 系 6.3 (1)により $a\in L^1(\mu)$ 、 $b\in L^1(\nu)$ である。 $(x,y)\mapsto a(x)b(y)$ は $\Sigma_1\otimes\Sigma_2$ 可測であり、§E10.19 系 3.3 (1)により $\int|a(x)b(y)|\,d\rho=\|a\|_1\|b\|_1<\infty$ である。§E10.19 系 3.3 (2)により

\langle B(f,g),B(f',g')\rangle=\int_{\Omega_1\times\Omega_2}a(x)b(y)\,d\rho=\int_{\Omega_1}a(x)\Bigl(\int_{\Omega_2}b\,d\nu\Bigr)d\mu(x)=\langle f,f'\rangle\langle g,g'\rangle

である。§E12.2 補題 2.1により、 $B$ の値の線形包は $L^2(\rho)$ で稠密である。定理 2.4を適用する。▨

定理 8.2. $X,Y$ を局所コンパクト Hausdorff 空間、 $\mu,\nu$ をそれぞれの Radon 測度、 $m$ を全 Borel 集合族 $\mathcal B(X\times Y)$ 上の Radon 積測度とする。このとき、各測度の完備化の局所化に関する複素 $L^2$ 空間について、一意なユニタリ同型

U\colon L^2(\mu_{\mathrm{loc}})\otimes L^2(\nu_{\mathrm{loc}}) \longrightarrow L^2(m_{\mathrm{loc}})

が存在し、任意の $f\in C_c(X)$ 、 $g\in C_c(Y)$ に対して

U(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)

を満たす。

証明. $f,f'\in C_c(X)$ 、 $g,g'\in C_c(Y)$ を取る。§E10.36 定理 1.2の連続核の積分公式により

\begin{aligned} \langle f(x)g(y),f'(x)g'(y)\rangle_{L^2(m_{\mathrm{loc}})} &=\int_X\int_Y f(x)\overline{f'(x)}g(y)\overline{g'(y)}\,d\nu(y)\,d\mu(x)\\ &=\langle f,f'\rangle_{L^2(\mu_{\mathrm{loc}})} \langle g,g'\rangle_{L^2(\nu_{\mathrm{loc}})}. \end{aligned}

特に $\|f(x)g(y)\|_2=\|f\|_2\|g\|_2$ である。この等式により、積の $L^2(m_{\mathrm{loc}})$ における類は、各因子の代表元の選び方に依存しない。§E10.35 補題 4.1の稠密性から、各因子を $C_c$ の関数で $L^2$ 近似する。積のノルム等式と

\|f_n(x)g_n(y)-f_k(x)g_k(y)\|_2 \leq\|f_n-f_k\|_2\|g_n\|_2 +\|f_k\|_2\|g_n-g_k\|_2

により、積は一意な連続双線形写像 $B\colon L^2(\mu_{\mathrm{loc}})\times L^2(\nu_{\mathrm{loc}})\to L^2(m_{\mathrm{loc}})$ へ延長される。内積の等式も極限へ移るので、定理 2.4により $B$ は等長写像 $U$ を誘導する。その値域は閉じている。

$F\in C_c(X\times Y)$ を取る。 $F=0$ の場合は零の有限和で近似される。 $F\ne0$ とし、その台の二つの射影を $K_0\subseteq X$ 、 $M_0\subseteq Y$ とする。§E2.24 命題 2.4によって $K_0$ 上で $1$ となる $0\leq\chi\leq1$ の関数 $\chi\in C_c(X)$ と、 $M_0$ 上で $1$ となる $0\leq\psi\leq1$ の関数 $\psi\in C_c(Y)$ を固定する。 $K=\supp\chi$ 、 $M=\supp\psi$ とおくと、 $F(x,y)=\chi(x)\psi(y)F(x,y)$ である。

$K\times M$ 上の関数で、 $u\in C_c(X)$ 、 $v\in C_c(Y)$ の積 $u(x)v(y)$ の制限の有限和となるもの全体を $\mathcal A$ とする。 $\mathcal A$ は共役で閉じた部分代数である。§E2.24 命題 2.4を $K$ と $M$ へ適用すれば、それぞれの集合上で $1$ となる関数を得るので、 $\mathcal A$ は定数を含む。また、異なる二点の少なくとも一方の座標は異なる。その座標空間で、一方の点上で $1$ となり、他方の点を含まない開集合の内部に台をもつ切断関数を取る。もう一方の座標のコンパクト集合上で $1$ となる切断関数との積は、与えられた二点を分離する。したがって§E2.32 系 3.5により、各 $\ep>0$ に対して

P(x,y)=\sum_{j=1}^n u_j(x)v_j(y),\qquad \sup_{K\times M}|P-F|<\ep

となる $u_j\in C_c(X)$ 、 $v_j\in C_c(Y)$ が存在する。

$Q=\chi\psi P=\sum_j(\chi u_j)(\psi v_j)$ とおく。 $Q$ は $U$ の値域に属し、 $F-Q$ の台は固定したコンパクト集合 $K\times M$ に含まれる。さらに全空間で $|F-Q|\leq\ep$ であるから、

\|F-Q\|_{L^2(m_{\mathrm{loc}})} \leq\ep\,m(K\times M)^{1/2}.

Radon 測度はコンパクト集合上で有限なので、右辺は $\ep\downarrow0$ のとき零へ収束する。したがって、 $U$ の閉じた値域は $C_c(X\times Y)$ を含む。§E10.35 補題 4.1を積空間と $m$ に適用すると、 $C_c(X\times Y)$ は目標の $L^2$ 空間で稠密である。よって $U$ は全射である。純テンソルの稠密性と各因子の $C_c$ 稠密性から、一意性も従う。▨

定理 8.3. $(X,\Sigma,\mu)$ を任意の正測度空間とし、 $H$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間とする。このとき、次が成り立つ。

$L^2(\mu;H)$ の元 $F,G$ の強可測代表元 $F^\sharp,G^\sharp$ について、 $x\mapsto\langle F^\sharp(x),G^\sharp(x)\rangle$ は $\mu$ について可積分であり、 $\langle F,G\rangle=\int_X\langle F^\sharp(x),G^\sharp(x)\rangle\,d\mu(x)$ は代表元のとり方によらない。この内積によって $L^2(\mu;H)$ は Hilbert 空間であり、その内積が定めるノルムは $L^2(\mu;H)$ のノルムに等しい。
$f\in L^2(\mu)$ と $h\in H$ に対して、 $x\mapsto f(x)h$ の類を $f\boxtimes h$ と書くと、 $f\boxtimes h\in L^2(\mu;H)$ であり、 $U(f\otimes h)=f\boxtimes h$ を満たすユニタリ作用素 $U\colon L^2(\mu)\otimes H\to L^2(\mu;H)$ がただ一つ存在する。

証明.主張 (1)を示す。 $F^\sharp,G^\sharp$ は強 $\Sigma$ -可測であるから、すべての $x$ で $s_n(x)\to F^\sharp(x)$ 、 $t_n(x)\to G^\sharp(x)$ となる可測単関数の列 $(s_n)$ 、 $(t_n)$ が存在する。各 $n$ について、関数 $x\mapsto\langle s_n(x),t_n(x)\rangle$ は有限個の値をとる可測関数である。内積の連続性により、各 $x\in X$ について数列 $(\langle s_n(x),t_n(x)\rangle)_{n\in\NN}$ は $\langle F^\sharp(x),G^\sharp(x)\rangle$ に収束する。したがって、 $x\mapsto\langle F^\sharp(x),G^\sharp(x)\rangle$ は可測関数列の各点極限として可測である。§E10.3 補題 1.2の Cauchy–Schwarz の不等式により $|\langle F^\sharp(x),G^\sharp(x)\rangle|\le\|F^\sharp(x)\|\|G^\sharp(x)\|$ であり、§E10.22 系 6.3 (1)により右辺は可積分である。強可測代表元は $\mu$ -a.e. に一致するから、積分は代表元によらない。 $H$ の内積は第1変数について線形、第2変数について共役線形でエルミートであり、積分は線形であるから、 $\langle F,G\rangle$ は $L^2(\mu;H)$ 上のエルミートな半双線形形式であり、 $\langle F,F\rangle=\int\|F^\sharp\|^2\,d\mu=\|F\|_2^2$ である。§E10.25 命題 1.2により $\|\cdot\|_2$ はノルムであるから、 $\langle F,F\rangle=0$ ならば $F=0$ である。したがって $\langle\cdot,\cdot\rangle$ は内積であり、そのノルムは $\|\cdot\|_2$ に等しい。完備性は§E10.25 定理 2.1による。

主張 (2)を示す。 $f$ の代表元の実部・虚部の正の部分と負の部分に§E10.7 定理 7.3を適用すると、すべての点で $f$ に収束する可測単関数の列 $(\varphi_n)$ が存在する。 $\varphi_nh$ は $H$ に値をとる可測単関数であり、すべての点で $fh$ に収束するから、 $x\mapsto f(x)h$ は強 $\Sigma$ -可測である。 $\|f(x)h\|=|f(x)|\|h\|$ であるから $f\boxtimes h\in L^2(\mu;H)$ であり、 $f$ の代表元を $\mu$ -零集合上で変えても類は変わらない。 $B(f,h)=f\boxtimes h$ は双線形である。主張 (1)により

\langle B(f,h),B(f',h')\rangle=\int_Xf\overline{f'}\,d\mu\;\langle h,h'\rangle=\langle f,f'\rangle\langle h,h'\rangle

である。§E10.25 定理 3.1を $p=2$ に適用すると、可積分単関数は $L^2(\mu;H)$ で稠密である。可積分単関数 $s$ の相異なる非零の値を $h_1,\dots,h_m$ 、 $E_i=s^{-1}(\{h_i\})$ とすると、 $\int\|s\|\,d\mu=\sum_i\|h_i\|\mu(E_i)<\infty$ により $\mu(E_i)<\infty$ であり、 $\mathbf 1_{E_i}\in L^2(\mu)$ である。 $s=\sum_iB(\mathbf 1_{E_i},h_i)$ であるから、稠密性を得る。定理 2.4を適用する。▨

系 8.4. $I$ を集合とし、 $\ell^2(I)=\bigoplus_{i\in I}\mathbb K$ とする。 $\delta_i\in\ell^2(I)$ を§E12.7 命題 1.6 (1)の $J_i1$ とする。 $H$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間とし、各 $i\in I$ について $H_i=H$ として $\bigoplus_{i\in I}H$ をとる。このとき、 $U(\delta_i\otimes h)=J_ih$ $(i\in I,\ h\in H)$ を満たすユニタリ作用素 $U\colon\ell^2(I)\otimes H\to\bigoplus_{i\in I}H$ がただ一つ存在する。

証明. $f\in\ell^2(I)$ と $h\in H$ に対して、 $\sum_i\|f(i)h\|^2=\|f\|^2\|h\|^2<\infty$ であるから、 $B(f,h)=(f(i)h)_{i\in I}$ は $\bigoplus_{i\in I}H$ の元であり、 $B$ は双線形である。§E12.7 命題 1.6 (1)の内積により

\langle B(f,h),B(f',h')\rangle=\sum_{i\in I}f(i)\overline{f'(i)}\langle h,h'\rangle=\langle f,f'\rangle\langle h,h'\rangle

である。 $B(\delta_i,h)=J_ih$ であり、§E12.7 命題 1.6 (1)により $\bigoplus_{i\in I}H$ の元は $J_ix_i$ の有限和の極限であるから、 $B$ の値の線形包は稠密である。定理 2.4を適用する。▨

例 9.1. $H_1=H_2=\ell^2$ とし、 $(e_n)_{n\in\NN}$ を標準基底とする。命題 4.1により $(e_n\otimes e_n)$ は $\ell^2\otimes\ell^2$ の正規直交系であり、 $\sum_n n^{-2}<\infty$ であるから、 $u_0=\sum_{n=1}^\infty n^{-1}e_n\otimes e_n$ は $\ell^2\otimes\ell^2$ の元として収束する。 $u_0$ は $\ell^2\otimes_{\mathrm{alg}}\ell^2$ に属さない。実際、 $u_0=\sum_{j=1}^Nx_j\otimes y_j$ と仮定する。 $m,n\in\NN$ について、正規直交系の性質と内積の連続性により $\langle u_0,e_m\otimes e_n\rangle=\delta_{mn}/m$ であり、命題 2.3 (1)により

\langle u_0,e_m\otimes e_n\rangle=\sum_{j=1}^N\langle x_j,e_m\rangle\langle y_j,e_n\rangle

である。 $\mathbb K^N$ の $N+1$ 個のベクトル $a_n=(\langle y_j,e_n\rangle)_{j=1}^N$ $(n=1,\dots,N+1)$ は一次従属であるから、自明でない係数 $(c_n)$ で $\sum_nc_na_n=0$ となるものがある。 $c_m\ne0$ を満たす $m\le N+1$ をとると

\frac{c_m}{m}=\sum_{n=1}^{N+1}c_n\frac{\delta_{mn}}{m}=\sum_{j=1}^N\langle x_j,e_m\rangle\sum_{n=1}^{N+1}c_n\langle y_j,e_n\rangle=0

となり、 $c_m\ne0$ に反する。したがって $\ell^2\otimes_{\mathrm{alg}}\ell^2$ は $\ell^2\otimes\ell^2$ の真の稠密部分空間であり、閉でないから完備でない。

問題 10.1. $H_1,H_2$ を $\mathbb K$ 上の Hilbert 空間とする。 $S(x\otimes y)=y\otimes x$ $(x\in H_1,\ y\in H_2)$ を満たすユニタリ作用素 $S\colon H_1\otimes H_2\to H_2\otimes H_1$ がただ一つ存在することを証明せよ。

§E12.9Hilbert 空間のテンソル積

1 共役空間

2 Hilbert 空間のテンソル積の構成

3 有界作用素のテンソル積

4 正規直交系の積

5 有限テンソル積と括弧変更

6 有界作用素の有限テンソル積

7 因子の置換と対称化

8 二乗可積分関数の空間との同一視

9 代数的テンソル積が完備でない例

10 演習

参考文献

前提記事